Semipresencial – Programa Gente que Trabaja

Asignatura

Propagación y Radiación Electromagnética

Docente : Mg. Alberto Sergio Tejada Rojas
Facultad : Ingeniería
NOMBRE :
Instrucciones:
1. El examen tiene una duración de 75 minutos
2. No está permitido el uso de celulares, Tablet etc.
3. Una vez iniciado el examen el alumno no se puede retirar del salón hasta finalizar el mismo.
4. Está permitido usar calculadoras

1. Indique que implica la Ley de Faraday (02 Puntos):

La tensión inducida en un circuito cerrado es directamente proporcional a la razón de cambio en

el tiempo del flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito mismo
como borde, donde que se representa la fuerza electromotriz inducida la tensión y se muestra la
relación para el cálculo de la tasa de variación temporal del flujo magnético.

2. Una línea de Transmisión de parámetros L = 1.2 μHy/m, C = 30 nF/m, R = 0.01 Ω/m, G = 10 -4

1/Ωm se usa como circuito sintonizado.
a) Hallar la mínima longitud para tener una frecuencia de resonancia de 10MHz.

n 1
f n= ⇒ I min =I = =26.35cm
2 I √ LC 2 f √ LC

b) Determinar las posibles posiciones de la entrada al circuito.

(2 m+1)
z m= =(m +1/2) I
4 f √ LC

I
z 0= =13.17 cm
2

Ya que sólo se puede tomar m = 0.

c) Calcular el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el ancho de banda del circuito

sintonizado. (03 Puntos):
 Propagación y Radiación Electromagnética

2 πf
Q= =5386
R G
( + )
L C

Z 0=
√ R+iωL
G+iωC
=6.3 Ω

2 Q Z0
Ri= =21.68 K Ω
π

f
∆f= =1.86 kHz
Q

Se observa que el ancho de banda es muy bajo comparado con el valor de la frecuencia
central, lo que se asocia al alto valor del Q.

3. En una red eléctrica hay n resistencias que cruzan desde la línea superior a la línea inferior, y
hay n-1 resistencias a lo largo de la línea superior e inferior. El número total de resistencias es
3n-2. Todas las resistencias son iguales y de valor R. Determine el valor de R1, R2, R3 y R ∞ (Ri
es la resistencia equivalente vista desde los terminales para el caso n = i). En la Figura se
muestra el caso n = 4. (05 Puntos)

En un principio hay que encontrar la recurrencia de la red de resistencias. Para el caso de n = 1,

siguiendo todos los datos del enunciado se tiene.

n=1

Donde evidentemente R1=R , nuevamente cumpliendo los requisitos del enunciado R2 es:
 Propagación y Radiación Electromagnética

n=2

( ) = 1115 R.
−1
1 1
En este caso R3= + En este punto, es posible verificar que la
R R+ R2 + R
recurrencia de resistencias está dada por:

( )
−1
1 1
Rn = +
R 2 R+ Rn−1

Ahora se debe suponer la sucesión de redes de resistencias converge a un valor R∞ , de modo

que:

lim Rn= lim R n−1 =R ∞

n→∞ n→ ∞

Luego, para N suficientemente grande se cumple que:

( )
−1
1 1
R∞ = +
R 2 R+ R∞

2 2
R∞ +2 R R∞ −2 R =0

R∞ =( √ 3−1) R
 Propagación y Radiación Electromagnética

4. Un alambre en forma de L lleva corriente I. El alambre coincide con el semeje x positivo y con el
eje semipositivo y. Calcule el vector campo magnético en un punto P del eje z, ubicado en z = D.
(03 puntos)

Para el cálculo del campo magnético se usará la definición:

μ0 I ⃗d l∗( ⃗r −r⃗ ' )

⃗
B=
4π
∫ 3
( ⃗r −⃗r ' )

Se calcula la contribución de campo magnético que genera el cable que está sobre el semi-eje
positivo X.

μ0 ∞ I ⃗d x x^ ∗( z ^z −x x^ )
⃗
B 1= ∫ ( ^ ^ )3
4π 0 z z −x x

−μ0 ∞
⃗
B 1= ∫ zdx ^y
4 π 0 ( z 2+ x2 )3 /2

−μ0 I ∞
⃗
B 1= ∫ zdx ^y
4 π 0 ( z 2 + x 2) 3/ 2

π
Se cambia las variables x=ztanθ  dx=z sec 2 θdθ , por lo que si x∞ se tiene que θ → .
2
π
2
−μ0 I 2 2
z sec θdθ
⃗
B 1= ∫
4 π 0 ( z 2 + z 2 tan 2 θ )3/ 2
^y
 Propagación y Radiación Electromagnética

π
2
−μ0 I
⃗
B 1=
4π 0
∫ cosθdθ
−μ0 I
⃗
B 1= ^y
4π

El otro aporte de campo magnético en ese punto está dado por la generación de campo
magnético en el semi-eje y. El campo estará dado por:

μ0 0 I ⃗d y ^y∗( z ^z − y ^y )
⃗
B 2= ∫ ( ^ ^ )3
4π ∞ z z− y y

−μ0 I ∞ zdy
⃗
B 2= ∫
4 π 0 ( z + y 2 )3 /2
2
^x

Se calcula con el campo de campo total:

−μ0 I
⃗
B ( z =D )=⃗
B 1 ( z=D ) =⃗
B 2 ( z=D )= ( x^ + ^y )
4 πD
 Propagación y Radiación Electromagnética

5. Considere un segmento AC recorrido por una corriente de intensidad I como se muestra en la

Figura.
a) Determine el valor del campo magnético en el punto O en función ∝ A , ∝C , y r
b) Use el resultado calculado en a) para determinar el campo magnético producido por un
polígono regular de n lados en su centro. Considere que el polígono es de lado a y es recorrido
por una corriente I.
c) Demuestre que si n η → ∞ ͢ el modulo del campo magnético en el centro del polígono
coincide con el de una espira circular de radio r.( 04 puntos)

a) Se fija un sistema de referencia de centro P para luego usar la definición de campo

magnético.

μ0 I d⃗ l∗( ⃗r −r⃗ ' )

d⃗
B=
4 π ( r⃗ −⃗r ' )3

μ0 I −rtan∝ A dx ^x∗( r ^y −x ^x )
⃗
B= ∫
4 π rtan∝ C 3 /2
( r2 + x2 )

μ0 Ir z^ −rtan ∝ A dx
⃗
B= ∫
4 π rtan∝ C ( r 2+ x2 )3 /2

De este modo, usando el cambio de variables x=r tanθ  dx=r sec 2 θdθ .

μ0 I ^z −∝ A
⃗
B=
4 π r ∝C
∫ cosθdθ
μ0 I
⃗
B= (sin (−∝ A ) −sin ( ∝C ) ) ^z
4πr

−μ0 I
⃗
B= (sin ( ∝ A ) + sin ( ∝C ) ) ^z
4πr
 Propagación y Radiación Electromagnética

b) En el caso del polígono regular se pueden formar n triángulos isósceles, de forma que
a
π r=
∝ A=∝C = y además π . El aporte de campo magnético en el centro del polígono
2 2 tan
n
es realizado por n segmentos como el calculado en la parte “a)”, por lo que el resultado final
es:

B=−μ 0∋ ¿ tan ⁡
⃗
πa
π
n () ()
sin ⁡
π
n
z^ ¿

6. Una Considere un disco de radio R que posee una densidad de carga superficial,
uniformemente distribuida. Partiendo del reposo, el disco comienza a girar, hasta alcanzar una
velocidad angular constante w en torno a su eje de simetría.
Encuentre una expresión para el campo magnético en z = R. (Propuesto: ¿Cuánto vale el campo
magnético para cualquier punto en el eje?). (03 puntos)

Calculando el campo magnético por definición, se tiene que:

μ0 I ⃗
dl∗(⃗r −⃗r ')
d⃗
B=
4 π ( r⃗ −⃗r ' )3

Aquí:

dq ⃗
I ⃗d l= dl
dt

d⃗ l
I ⃗d l=dq
dt

I ⃗d l=σdS∗⃗v
 Propagación y Radiación Electromagnética

I ⃗d l=σ r d rdθ∗⃗v

w∗⃗r ' =wr θ^ se tiene que

Luego, dado que r⃗ =R z^ , r⃗ ' =r r^ y ⃗v =⃗

μ0 σω R r 3 dr
⃗
B= ∫
2 0 ( R2 +r 2 )3 /2
z^

Resolviendo las integrales anteriores, resulta que:

μ0 σω
⃗
B= ( 3 √2−4 ) R ^z
4