UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL NORTE

FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

GUÍA DE ESTUDIO N.5: Intervalos de confianza

Ingenierı́as Base Cientı́fica y Geologı́a.
Estadı́stica DAMA 312

1. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes de una universidad muestra una
media de 174.5 centı́metros y una desviación estándar de 6.9 centı́metros.

a) Construya un intervalo de confianza de 98 % para la estatura media de todos los estu-

diantes de la universidad.

2. Una compañı́a automotriz considera dos tipos de baterı́as para sus vehı́culos. Se emplea la
información muestral de la vida de las baterı́as. Se utilizan 20 baterı́as del tipo A y 20 baterı́as
del tipo B. El extracto de los estadı́sticos es xA = 32.91, xB =30.47, sA = 1.57 y sB = 1.74.
Suponga que los datos de cada baterı́a se distribuyen normalmente y que σA = σB .

a) Encuentre un intervalo de confianza de 95 % para µA -µB .

b) A partir del inciso a) obtenga algunas conclusiones que ayuden a decidir si se deberı́a
adoptar A o B.

3. El número de reservas semanales de billetes de cierto vuelo de una compañı́a aérea sigue una
distribución normal. Se toma una muestra aleatoria de 30 observaciones de número de reserva
de este vuelo. El número medio de reserva muestral resulta ser 112 y la desviación tı́pica
muestral 36.

a) Calcular un intervalo de confianza de 95 % para el número medio poblacional de reservas

para este vuelo.
b) Calcular un intervalo de confianza de 95 % para la varianza poblacional del número de
reserva para este vuelo.

4. Suponga que una máquina de llenado se utiliza para llenar envases de cartón con un producto
lı́quido, el cual se distribuye normal con varianza de 1 onda2 . La especificaci´pn técnica que es
estrictamente indispensable cumplir que el llenado medio de la máquina se mantenga dentro
del rango 9 ± 0,5 onzas. Si cualquier llenado se produce fuera de tales lı́mites, el proveedor lo
considera como defectuoso, ya que podrı́a rebasar el contenido del envase o suministrar muy
poco del producto lı́quido.

a) Para realizar un control de calidad de máquina, se toma una muestra aleatoria de 16

llenados en los envases del producto lı́quido. ¿Con qué nivel de confianza podemos decir
que el contenido medio de llenado se encuentra dentro del rango considerado adecuado?
b) Supongamos ahora que no se conoce la varianza de llenado del envase. Un ingeniero
plantea que el problema deberı́a apuntar hacia la desviación estándar del proceso de
llenado, ya que cuantificarı́a la variabilidad con que el lı́quido cae sobre el vaso desde la
máquina. El ingeniero cree que para que se mantenga el llenado dentro de lo considerado
aceptable, la desviación estándar del volumen de llenado deberı́a ser de a lo más 0,8
onzas. Si una muestra aleatoria de 20 vasos otorga una varianza de 0,26 onzas2 , indique
realizando un intervalo de confianza de 95 % si la desviación estándar poblacional cumple
con la especificación requerida por el ingeniero.

5. Un fabricante de baterı́as para automóvil afirma que sus baterı́as durarán, en promedio, 3 años
con una varianza de 1 año. Si 5 de estas baterı́as tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2
años, construya un intervalo de confianza de 95 % para σ2 y decida si es válida la afirmación del
fabricante de que σ2 = 1. Suponga que la población de duraciones de las baterı́as se distribuye
de forma aproximadamente normal.
6. Una empresa de bebidas desea controlar el proceso de llenado de lı́quido en sus botellas de
3 litros. La media (en litros) del lı́quido llenado en las botellas no puede ser superior a 3
porque se estarı́a entregando más bebida de lo que el cliente está pagando, pero tampoco
puede ser inferior a 3 porque corren el riesgo de ser demandados por publicidad engañosa.
Además, la varianza no puede ser superior a 0.01 para asegurar que todas las botellas tengan
aproximadamente la misma cantidad de lı́quido. Para sostener la hipótesis que todo está bajo
control, se toma una muestra de 20 botellas y se mide la cantidad de lı́quido con la que fueron
llenadas. El promedio de llenado de estas botellas fue de 3.12 con una varianza de 0.0153. Para
todos los procedimientos, asuma que la cantidad de lı́quido en cada botella es una variable
que se distribuye normal.

a) Realice un intervalo de confianza para la media de la cantidad de lı́quido de las botellas

utilizando una significancia del 3 %.
b) Realice un intervalo de estimación de la desviación estándar poblacional utilizando un
95 % de confianza.

7. Se afirma que una nueva dieta reducirá en 4.5 kilogramos el peso de un individuo, en promedio,
en un lapso de 2 semanas. Los pesos de 7 mujeres que siguieron esta dieta se registraron antes
y después de un periodo de 2 semanas.

Mujer 1 2 3 4 5 6 7
Peso antes 58.5 60.3 61.7 69.0 64.0 62.6 56.7
Peso después 60.0 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4

Pruebe la afirmación del fabricante calculando un intervalo de confianza de 95 % para la

diferencia media en el peso. Suponga que las diferencias de los pesos se distribuyen de forma
aproximadamente normal.

8. Se cree que la resistencia de un alambre fabricado por la empresa A mayor que la del alam-
bre fabricado por una empresa B, ya que la empresa A tiene procesos más rigurosso en la
fabricación. Un experimento sobre alambres muestra los siguientes reultados (en ohms):

Alambre A 14.1 13.8 14.3 14.2 14.4 13.7

Alambre B 13.5 14.7 13.6 14.2 13.8 14.5

a) Podrı́a asegurar que los resultados muestran una diferencia significativa entre las varian-
zas de las resistencias de los alambres. Utilice una confianza del 95 %.
b) Basado en el inciso a) verifique si los alambres de la empresa A tienen una mayor resis-
tencia. Utilice una confianza del 95 %.
c) Ahora suponga que cada empresa informa las varianzas poblacionales de las resistencias
de sus alambres y estas son σA 2 = 0,0049; σ 2 = 0,0009. ¿Puede mantener la decisión del
B
inciso b)?. Utilice una confianza del 95 %.
d ) Cuanto deberı́a ser la confianza a utilizar en el inciso c) para cambiar la decisión del
inciso b)?.

9. Se ha estudiado el agrietamiento por corrosión cáustica bajo tensiones de hierro y acero, debido
a que suelen presentarse fallas en torno a los remaches en calderas de acero y en rotores de
máquinas de vapor. A continuación se presentan las observaciones adjuntas de X: longitud
de la grieta (en micras) como resultado de pruebas de corrosión bajo tensiones con carga
constante en especı́menes de barras lisas a la tensión, durante un determinado tiempo:

16.1 9.6 24.9 20.4 12.7 21.2 30.2

25.8 18.5 10.3 25.3 14.0 27.1 45.0
23.3 24.2 14.6 8.9 32.4 11.8 28.5

Suponiendo que X se distribuye aproximadamente normal,

a) obtener un intervalo de confianza de 98 % para la media poblacional de X;

2
 b) obtener un intervalo de confianza de 95 % para la la desviación estándar poblacional de
X.

10. Se realizó un estudio sobre la economización de combustible para dos automóviles alemanes:
Mercedes Benz y Volkswagen. Para ello se escogieron vehı́culos que tuvieran similares condi-
ciones de conducción, dimensiones, año de fabricación, etc. Se tomó una muestra aleatoria de
16 vehı́culos Mercedes Benz, obteniendo un rendimiento promedio de 10,67 km/litro, mientras
que de una muestra aleatoria de 16 automóviles Volkswagen, se obtiene un consumo promedio
de 12,95 km/litro. Suponga que las poblaciones son independientes y se distribuyen normal
con desviaciones estándar poblacionales iguales a 3,5 km/litro.

a) Construya un intervalo de confianza al 90 % de confianza para determinar si alguna de las

marcas de vehı́culos bajo estudio tiene un mejor rendimiento promedio de combustible.
b) Indique qué nivel de confianza habrı́a que utilizar para concluir que no existe una diferen-
cia significativa en los rendimientos promedio de combustible en las marcas de vehı́culos
bajo estudio.
c) Si la muestra aleatoria de vehı́culos Mercedez-Benz arrojó una desviación estándar de
3,01 km/litros y la muestra aleatoria de vehı́culos Volkswagen entregó una desviación
estándar de 4,71 km/litros, realice un intervalo de confianza al 95 % de confianza para
confirmar o desmentir la información entregada anteriormente de que las desviaciones
estándar poblacionales son iguales.

Respuestas:

1. (172.23,176.77)

2. a) (1.37,3.51)
b) Como es evidente que la baterı́a tipo A tiene una vida útil más larga, debe adoptarse.

3. a) (109.7598,114.2401)
b) (22.0584,65.0584)

4. a) (1 − α)100 % = 95,44 %
b) (0.3878,0.7446). Como el lı́mite superior es menor que 0.8, la desviación estándar pobla-
cional cumple con la especificación requerida por el ingeniero con un nivel de confianza
de 95 %

5. (0.293,6.736). El valor 1 está dentro del intervalo, por lo que la afirmación del fabricante es
válida con un nivel de confianza de 95 %.

6. a) (3.05511,3.18488)
b) (0.09407,0.18062)

7. (0.99,6.12), Como el 0 no está en el intervalo, el reclamo parece válido.

8. a) (0.0447,2.2853). Podemos afirmar que no existe evidencia para decir que las varianzas
poblacionales de la resistencia de los alambres son distintas con un 95 % de confianza.
b) (-0.4820,0.5480). Podemos a
rmar que no existe evidencia para decir que un alambre resiste más que el otro con un
95 % de confianza.
c) (-0.0279,0.0939). Con los nuevos antecedentes no cambia la decisión del inciso b).
d ) 1 − α = 0,7108. La confianza tendrı́a que ser de un 71,08 % o menos para cambiar la
decisión del inciso c).

9. a) (17.1638,25.1981)
b) (47.4291,168.995)

10. a) (-4.3156,-02444). Con un 90 % se concluye que µ1 < µ2 , es decir, la marca Volkswagen

tiene en promedio un mayor consumo promedio de combustible que Mercedez Benz.

3
b) 1 − α = 0,9342. Por tanto, al utilizar un nivel de confianza de a lo menos un 93,42 %
concluimos que no existe una diferencia significativa en los rendimientos promedio de
combustible en las marcas de vehı́culos bajo estudio.
c) (0.1427,1.1689). Al observar el intervalo obtenido y con un 95 % de confianza se puede
afirmar que las desviaciones estándar poblacionales son iguales.