Análisis de Varianza - ANOVA

Ho → Las medias de los tratamientos son iguales (𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = ⋯ = 𝜇𝑘 )

Ha → Al menos un par de medias no son iguales (𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 )

𝛼 → Nivel de significancia
𝑘 → Número de tratamientos

No se rechaza Ho
𝑛 → Número total de réplicas
1−𝛼 Zona Crítica
Se rechaza Ho 𝑛𝑖 → Número de réplicas del tratamiento 𝑖
𝑥𝑖𝑗 → Réplica 𝑗 del tratamiento 𝑖
𝛼
𝑓𝛼,(𝑘−1),(𝑛−𝑘) 𝑓

1. Medias de los tratamientos:

𝑛𝑖
1
𝑥̅𝑖 = ∑ 𝑥𝑖𝑗 → 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑘
𝑛𝑖
𝑗=1

2. Media general:
𝑘
1
𝑥̅ = ∑ 𝑥̅𝑖
𝑘
𝑖=1

3. Suma Total de Cuadrados:

𝑘 𝑛𝑖
2
𝑆𝑇𝐶 = ∑ ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅ )
𝑖=1 𝑗=1

4. Suma de los Cuadrados del Tratamiento:

𝑘

𝑆𝐶𝑇 = ∑ 𝑛𝑖 (𝑥̅𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑖=1

5. Suma de los Cuadrados del Error:

𝑘 𝑛𝑖
2
𝑆𝐶𝐸 = ∑ ∑(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅𝑖 )
𝑖=1 𝑗=1

𝑆𝑇𝐶 = 𝑆𝐶𝑇 + 𝑆𝐶𝐸

6. Media Cuadrática del Tratamiento:
𝑆𝐶𝑇
𝑀𝐶𝑇 =
𝑘−1
7. Media Cuadrática del Error:
𝑆𝐶𝐸
𝑀𝐶𝐸 =
𝑛−𝑘
8. Estadístico de prueba:
𝑀𝐶𝑇
𝑓=
𝑀𝐶𝐸
 Prueba de Tukey

Ho → 𝜇𝑖 = 𝜇𝑗
𝑖≠𝑗
Ha → 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗

En esta prueba, Ho se rechaza para cada par de medias, 𝜇𝑖 y 𝜇𝑗 si:

𝑀𝐶𝐸
|𝑥̅𝑖 − 𝑥̅𝑗 | > 𝑇𝛼 = 𝑞𝛼,𝑘,𝛽 √
𝑛𝑖

donde 𝑞𝛼,𝑘,𝑓 se toma de la tabla de puntos porcentuales del estadístico del rango studentizado para
un nivel de significancia 𝛼, 𝑘 tratamientos y 𝛽 = 𝑛 − 𝑘 grados de libertad. Si se rechaza Ho, se dice que
hay una diferencia significativa entre el par de medias.

Prueba del Rango Múltiple de Duncan

Ho → 𝜇𝑖 = 𝜇𝑗
𝑖≠𝑗
Ha → 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗

En esta prueba, Ho se rechaza para cada par de medias, 𝜇𝑖 y 𝜇𝑗 si:

𝑀𝐶𝐸
𝑥̅𝑖 − 𝑥̅𝑗 > 𝑅𝛼 𝑝 = 𝑟𝛼,𝑝,𝛽 √
𝑛𝑖

donde 𝑟𝛼,𝑝,𝑓 se toma de la tabla de rangos significativos para la prueba del rango múltiple de Duncan
para un nivel de significancia 𝛼, 𝑝 = 2, 3, ⋯ , 𝑘 y 𝛽 = 𝑛 − 𝑘 grados de libertad. Si se rechaza Ho, se dice
que hay una diferencia significativa entre el par de medias.
 Puntos Porcentuales del Estadístico del Rango Studentizado (Prueba de Tukey)

𝑞𝛼=0.01,𝑘,𝛽

𝑘
𝛽
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 90.00 135.00 164.00 186.00 202.00 216.00 227.00 237.00 246.00 253.00 260.00 266.00 272.00 272.00 282.00 286.00 290.00 294.00 298.00
2 14.00 19.00 22.30 24.70 26.60 28.20 29.50 30.70 31.70 32.60 33.40 31.40 34.80 35.40 36.00 36.50 37.00 37.50 37.90
3 8.26 10.60 12.20 13.30 14.20 15.00 15.60 16.20 16.70 17.10 17.50 17.90 18.20 18.50 18.80 19.10 19.30 19.50 19.80
4 6.51 8.12 9.17 9.96 10.60 11.10 11.50 11.90 12.30 12.60 12.80 13.10 13.30 13.50 13.70 13.90 14.10 14.20 14.40
5 5.70 6.97 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.24 10.48 10.70 10.89 11.08 11.24 11.40 11.55 11.68 11.81 11.93
6 5.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10 9.30 9.49 9.65 9.81 9.95 10.08 10.21 10.32 10.43 10.54
7 4.95 5.92 6.54 7.01 7.37 7.68 7.94 8.17 8.37 8.55 8.71 8.86 9.00 9.12 9.24 9.35 9.46 9.55 9.65
8 4.74 5.63 6.20 6.63 6.96 7.24 7.47 7.68 7.87 8.03 8.18 8.31 8.44 8.55 8.66 8.76 8.85 8.94 9.03
9 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.32 7.49 7.65 7.78 7.91 8.03 8.13 8.23 8.32 8.41 8.49 8.57
10 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21 7.36 7.48 7.60 7.71 7.81 7.91 7.99 8.07 8.15 8.22
11 4.39 5.14 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84 6.99 7.13 7.25 7.36 7.46 7.56 7.65 7.73 7.81 7.88 7.95
12 4.32 5.04 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81 6.94 7.06 7.17 7.26 7.36 7.44 7.52 7.59 7.66 7.73
13 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53 6.67 6.79 6.90 7.01 7.10 7.19 7.27 7.34 7.42 7.48 7.55
14 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54 6.66 6.77 6.87 6.96 7.05 7.12 7.20 7.27 7.33 7.39
15 4.17 4.83 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44 6.55 6.66 6.76 6.84 6.93 7.00 7.07 7.14 7.20 7.26
16 4.13 4.78 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35 6.46 6.56 6.66 6.74 6.82 6.90 6.97 7.03 7.09 7.15
17 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15 6.27 6.38 6.48 6.57 6.66 6.73 6.80 6.87 6.94 7.00 7.05
18 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.20 6.31 6.41 6.50 6.58 6.65 6.72 6.79 6.85 6.91 6.96
19 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02 6.14 6.25 6.34 6.43 6.51 6.58 6.65 6.72 6.78 6.84 6.89
20 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.09 6.19 6.29 6.37 6.45 6.52 6.59 6.65 6.71 6.76 6.82
24 3.96 4.54 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81 5.92 6.02 6.11 6.19 6.26 6.33 6.39 6.45 6.51 6.56 6.61
30 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5.40 5.54 5.65 5.76 5.85 5.93 6.01 6.08 6.14 6.20 6.26 6.31 6.36 6.41
40 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.27 5.39 5.50 5.60 5.69 5.77 5.84 5.90 5.96 6.02 6.07 6.12 6.17 6.21
60 3.76 4.28 4.60 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.45 5.53 5.60 5.67 5.73 5.79 5.84 5.89 5.93 5.98 6.02
120 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30 5.38 5.44 5.51 5.56 5.61 5.66 5.71 5.75 5.79 5.83
∞ 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16 5.23 5.29 5.35 5.40 5.45 5.49 5.54 5.57 5.61 5.65
 Puntos Porcentuales del Estadístico del Rango Studentizado (Prueba de Tukey)

𝑞𝛼=0.05,𝑘,𝛽

𝑘
𝛽
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 18.10 26.70 32.80 37.20 40.50 43.10 45.40 47.30 49.10 50.60 51.90 53.20 54.30 55.40 56.30 57.20 58.00 58.80 59.60
2 6.09 8.28 9.80 10.89 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99 14.39 14.75 15.08 15.38 15.65 15.91 16.14 16.36 16.57 16.77
3 4.50 5.88 6.83 7.51 8.04 8.47 8.85 9.18 9.46 9.72 9.95 10.16 10.35 10.52 10.69 10.84 10.98 11.12 11.24
4 3.93 5.00 5.76 6.31 6.73 7.06 7.35 7.60 7.83 8.03 8.21 8.37 8.52 8.67 8.80 8.92 9.03 9.14 9.24
5 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99 7.17 7.32 7.47 7.60 7.72 7.83 7.93 8.03 8.12 8.21
6 3.46 4.34 4.90 5.31 5.63 5.89 6.12 6.32 6.49 6.65 6.79 6.92 7.04 7.14 7.24 7.34 7.43 7.51 7.59
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.35 5.59 5.80 5.99 6.15 6.29 6.42 6.54 6.65 6.75 6.84 6.93 7.01 7.08 7.16
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.92 6.05 6.18 6.29 6.39 6.48 6.57 6.65 6.73 6.80 6.87
9 3.20 3.95 4.42 4.76 5.02 5.24 5.43 5.60 5.74 5.87 5.98 6.09 6.19 6.28 6.36 6.44 6.51 6.58 6.65
10 3.15 3.88 4.33 4.66 4.91 5.12 5.30 5.46 5.60 5.72 5.83 5.93 6.03 6.12 6.20 6.27 6.34 6.41 6.47
11 3.11 3.82 4.26 4.58 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49 5.61 5.71 5.81 5.90 5.98 6.06 6.14 6.20 6.27 6.33
12 3.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.40 5.51 5.61 5.71 5.80 5.88 5.95 6.02 6.09 6.15 6.21
13 3.06 3.73 4.15 4.46 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32 5.43 5.53 5.63 5.71 5.79 5.86 5.93 6.00 6.06 6.11
14 3.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25 5.36 5.46 5.56 5.64 5.72 5.79 5.86 5.92 5.98 6.03
15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.20 5.31 5.40 5.49 5.57 5.65 5.72 5.79 5.85 5.91 5.96
16 3.00 3.65 4.05 4.34 4.56 4.74 4.90 5.03 5.15 5.26 5.35 5.44 5.52 5.59 5.66 5.73 5.79 5.84 5.90
17 2.98 3.62 4.02 4.31 4.52 4.70 4.86 4.99 5.11 5.21 5.31 5.39 5.47 5.55 5.61 5.68 5.74 5.79 5.84
18 2.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.83 4.96 5.07 5.17 5.27 5.35 5.43 5.50 5.57 5.63 5.69 5.74 5.79
19 2.96 3.59 3.98 4.26 4.47 4.64 4.79 4.92 5.04 5.14 5.23 5.32 5.39 5.46 5.53 5.59 5.65 5.70 5.75
20 2.95 3.58 3.96 4.24 4.45 4.62 4.77 4.90 5.01 5.11 5.20 5.28 5.36 5.43 5.50 5.56 5.61 5.66 5.71
24 2.92 3.53 3.90 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92 5.01 5.10 5.18 5.25 5.32 5.38 5.44 5.50 5.55 5.59
30 2.89 3.48 3.84 4.11 4.30 4.46 4.60 4.72 4.83 4.92 5.00 5.08 5.15 5.21 5.27 5.33 5.38 5.43 5.48
40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.74 4.82 4.90 4.98 5.05 5.11 5.17 5.22 5.27 5.32 5.36
60 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.65 4.73 4.81 4.88 4.94 5.00 5.06 5.11 5.15 5.20 5.24
120 2.80 3.36 3.69 3.92 4.10 4.24 4.36 4.47 4.56 4.64 4.71 4.78 4.84 4.90 4.95 5.00 5.04 5.09 5.13
∞ 2.77 3.32 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47 4.55 4.62 4.68 4.74 4.80 4.84 4.98 4.93 4.97 5.01
 Rangos Significativos para la Prueba del Rango Múltiple de Duncan

𝑟𝛼=0.01,𝑝,𝛽

𝑝
𝛽
2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100
1 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00
2 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00
3 8.26 8.50 8.60 8.70 8.80 8.90 8.90 9.00 9.00 9.30 9.30 9.30
4 6.51 6.80 6.90 7.00 7.10 7.10 7.20 7.20 7.30 7.50 7.50 7.50
5 5.70 5.96 6.11 6.18 6.26 6.33 6.40 6.44 6.50 6.80 6.80 6.80
6 5.24 5.51 5.65 5.73 5.81 5.88 5.95 6.00 6.00 6.30 6.30 6.30
7 4.95 5.22 5.37 5.45 5.53 5.61 5.69 5.73 5.80 6.00 6.00 6.00
8 4.74 5.00 5.14 5.23 5.32 5.40 5.47 5.51 5.50 5.80 5.80 5.80
9 4.60 4.86 4.99 5.08 5.17 5.25 5.32 5.36 5.40 5.70 5.70 5.70
10 4.48 4.73 4.88 4.96 5.06 5.13 5.20 5.24 5.28 5.55 5.55 5.55
11 4.39 4.63 4.77 4.86 4.94 5.01 5.06 5.12 5.15 5.39 5.39 5.39
12 4.32 4.55 4.68 4.76 4.84 4.92 4.96 5.02 5.07 5.26 5.26 5.26
13 4.26 4.48 4.62 4.69 4.74 4.84 4.88 4.94 4.98 5.15 5.15 5.15
14 4.21 4.42 4.55 4.63 4.70 4.78 4.83 4.87 4.91 5.07 5.07 5.07
15 4.17 4.37 4.50 4.58 4.64 4.72 4.77 4.81 4.84 5.00 5.00 5.00
16 4.13 4.34 4.45 4.54 4.60 4.67 4.72 4.76 4.79 4.94 4.94 4.94
17 4.10 4.30 4.41 4.50 4.56 4.63 4.68 4.73 4.75 4.89 4.89 4.89
18 4.07 4.27 4.38 4.46 4.53 4.59 4.64 4.68 4.71 4.85 4.85 4.85
19 4.05 4.24 4.35 4.43 4.50 4.56 4.61 4.64 4.67 4.82 4.82 4.82
20 4.02 4.22 4.33 4.40 4.47 4.53 4.58 4.61 4.65 4.79 4.79 4.79
30 3.89 4.06 4.16 4.22 4.32 4.36 4.41 4.45 4.48 4.65 4.71 4.71
40 3.82 3.99 4.10 4.17 4.24 4.30 4.34 4.37 4.41 4.59 4.69 4.69
60 3.76 3.92 4.03 4.12 4.17 4.23 4.27 4.31 4.34 4.53 4.66 4.66
100 3.71 3.86 3.98 4.06 4.11 4.17 4.21 4.25 4.29 4.48 4.64 4.65
∞ 3.64 3.80 3.90 3.98 4.04 '4.09 4.14 4.17 4.20 4.41 4.60 4.68
 Rangos Significativos para la Prueba del Rango Múltiple de Duncan

𝑟𝛼=0.05,𝑝,𝛽

𝑝
𝛽
2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100
1 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00 18.00
2 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09
3 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50
4 3.93 4.01 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02
5 3.64 3.74 3.79 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83
6 3.46 3.58 3.64 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68
7 3.35 3.47 3.54 3.58 3.60 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61
8 3.26 3.39 3.47 3.52 3.55 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56
9 3.20 3.34 3.41 3.47 3.50 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52
10 3.15 3.30 3.37 3.43 3.46 3.47 3.47 3.47 3.47 3.48 3.48 3.48
11 3.11 3.27 3.35 3.39 3.43 3.44 3.45 3.46 3.46 3.48 3.48 3.48
12 3.08 3.23 3.33 3.36 3.40 3.42 3.44 3.44 3.46 3.48 3.48 3.48
13 3.06 3.21 3.30 3.35 3.38 3.41 3.42 3.44 3.45 3.47 3.47 3.47
14 3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.39 3.41 3.42 3.44 3.47 3.47 3.47
15 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 3.38 3.40 3.42 3.43 3.47 3.47 3.47
16 3.00 3.15 3.23 3.30 3.34 3.37 3.39 3.41 3.43 3.47 3.47 3.47
17 2.98 3.13 3.22 3.28 3.33 3.36 3.38 3.40 3.42 3.47 3.47 3.47
18 2.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.35 3.37 3.39 3.41 3.47 3.47 3.47
19 2.96 3.11 3.19 3.26 3.31 3.35 3.37 3.39 3.41 3.47 3.47 3.47
20 2.95 3.10 3.18 3.25 3.30 3.34 3.36 3.38 3.40 3.47 3.47 3.47
30 2.89 3.04 3.12 3.20 3.25 3.29 3.32 3.35 3.37 3.47 3.47 3.47
40 2.86 3.01 3.10 3.17 3.22 3.27 3.30 3.33 3.35 3.47 3.47 3.47
60 2.83 2.98 3.08 3.14 3.20 3.24 3.28 3.31 3.33 3.47 3.48 3.48
100 2.80 2.95 3.05 3.12 3.18 3.22 3.26 3.29 3.32 3.47 3.53 3.53
∞ 2.77 2.92 3.02 3.09 3.15 3.19 3.23 3.26 3.29 3.47 3.61 3.67