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    Número Complejos Forma Trigonometrica

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    La forma trigonométrica o polar de un número complejo representa el número como la magnitud r y el ángulo θ, donde r es la distancia del número a el origen y θ es el ángulo que forma con el eje real. La multiplicación de números complejos en forma trigonométrica es el producto de sus magnitudes y la suma de sus ángulos, y la división es el cociente de sus magnitudes y la diferencia de sus ángulos.

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    La forma trigonométrica o polar de un número complejo representa el número como la magnitud r y el ángulo θ, donde r es la distancia del número a el origen y θ es el ángulo que forma con el eje real. La multiplicación de números complejos en forma trigonométrica es el producto de sus magnitudes y la suma de sus ángulos, y la división es el cociente de sus magnitudes y la diferencia de sus ángulos.

    Descripción original:

    matemática

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    La forma trigonométrica o polar de un número complejo representa el número como la magnitud r y el ángulo θ, donde r es la distancia del número a el origen y θ es el ángulo que forma con el eje real. La multiplicación de números complejos en forma trigonométrica es el producto de sus magnitudes y la suma de sus ángulos, y la división es el cociente de sus magnitudes y la diferencia de sus ángulos.

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    La forma trigonométrica o polar de un número complejo representa el número como la magnitud r y el ángulo θ, donde r es la distancia del número a el origen y θ es el ángulo que forma con el eje real. La multiplicación de números complejos en forma trigonométrica es el producto de sus magnitudes y la suma de sus ángulos, y la división es el cociente de sus magnitudes y la diferencia de sus ángulos.

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    Forma trigonométrica o polar de un número complejo

    La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo


    amarillo de la Figura 3:

    Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.

    𝑦
    𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑟 = ‖𝑍‖ = ‖(𝑥, 𝑦)‖ 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑥 )

    Luego:

    𝑦
    𝑠𝑒𝑛𝜃 = ⟹ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
    { 𝑟
    𝑥
    𝑐𝑜𝑠𝜃 = ⟹ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
    𝑟

    Por lo tanto:

    𝑍 = (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

    Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos
    del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por 𝑍 = 𝑟𝜃

    Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica

    𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑟𝜃 𝑦 𝑣 = 𝑠𝛽 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢𝑣 = (𝑟𝑠)𝜃+𝛽 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:

    𝑢𝑣 = (𝑟𝑠)(𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛽 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝛽 ))
    División de números complejos en su forma trigonométrica

    𝑢
    𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑟𝜃 𝑦 𝑣 = 𝑠𝛽 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = (𝑟𝑠)𝜃−𝛽 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:
    𝑣

    𝑢 𝑟
    = ( ) (𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝛽 ) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛽 ))
    𝑣 𝑠

    Calcular:

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