UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FÍSICAS Y QUÍMICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ASIGNATURA:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

TAREA 4. MC

TEMA:

-RANGO
-DESVIACIÓN MEDIA
-VARIANZA
-DESVIACIÓN ESTÁNDAR
ALUMNA:

BARREZUETA TELLO JEAN POOL

DOCENTE:

ING. LARRY CASTRO COELLO

 NIVEL:

QUINTO SEMESTRE

PARALELO

"B"

10 EJEMPLOS DE RANGO 
Ejemplo 1
Las ganancias de la primera mitad del año pasado de una empresa que vende ositos de peluche
en lata, son las siguientes:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Ganancias $16 800 $34 500 $17 300 $12 500 $14 000 $18 600

Calcular el rango.

Solución:
Rango = valor máximo – valor mínimo
Rango = $ 34 500 – $ 12 500
Rango = $ 22 000

Ejemplo 2
Supongamos que tenemos una empresa que produce microchips para luego venderlos a las
principales marcas de computadoras. Esta empresa encarga a un economista que realice un
estudio sobre la evolución de las ventas (últimos 4 años) para, posteriormente, ofrecer consejos
que mejoren los resultados empresariales. Entre otras muchas métricas, se pide que se calcule el
rango de producción de microchips. A continuación se muestra la siguiente tabla de datos:
El mes que más microchips produjo la empresa (MÁXIMO) fue el mes 32 con 49.079
microchips producidos. Por su parte, el momento que menos microchips produjo tuvo lugar en el
mes 16 con 10.124 microchips producidos. Por tanto, el rango estadístico que es la diferencia
(49.079-10.124) se sitúa en 38.955.

¿Cómo se interpreta esto? Esto quiere decir, que durante los últimos 4 años la variación máxima
que ha habido ha sido de 38.955 microchips producidos. Gráficamente podemos verlo del
siguiente modo:

El punto verde es el máximo, el punto rojo el mínimo y la línea discontinua amarilla situada a la
derecha es la diferencia. Esto es, el rango.
Ejemplo 3
Se mide la estatura de 25 alumnos varones de una clase de universidad. El estudiante con mayor
estatura mide 1,93 metros, mientras que el alumno con una estatura menor mide 1,67 metros.
Ahora hemos de aplicar la fórmula anterior:

R = Máxx – Mínx
R = 1,93 – 1,67 = 0,26 m
R = 0,26 metros
¿Cómo debemos interpretar este resultado? Es muy sencillo: esto quiere decir que la variación
máxima de estatura entre el alumno más bajo y el alumno más alto es de 26 centímetros, de
forma que las estaturas del resto de los alumnos se situarán dentro de este rango cuya longitud es
de 26 centímetros.

El rango es la medida a través de la cual podemos conocer cómo de dispersos están los datos.
Así, gracias al rango podemos conocer cómo de homogénea es la muestra en concreto, de forma
que, cuanto menor sea el valor del rango, más homogeneidad habrá en la muestra en cuestión, ya
que los datos estarán más cercanos entre sí y la dispersión será menor. Por ejemplo, y siguiendo
con el ejemplo de los 25 alumnos, la muestra será más heterogénea cuanto mayor sea el rango.
Sin embargo, entre el alumno más bajo y el alumno más alto solo hay 26 centímetros de
diferencia, por lo que podemos concluir que se trata de una muestra bastante homogénea.

Ejemplo 4
Para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros,
tendríamos:

Es posible ordenar los datos como sigue:

Donde la notación x(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este

modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:

En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.

Ejemplo 5
Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se
encuentran en un rango de:
Ejemplo 6
Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor
valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

Representación del medio rango: 

Ejemplo 7
La diferencia entre el menor y el mayor valor.

En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3, y el mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6.

Rango puede significar también todos los valores de resultado de una función.

                                             

Ejemplo 8
En una escala del 0 al 20, un grupo de 16 estudiantes de matemáticas I obtuvo las siguientes
calificaciones (puntos) en un examen parcial:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Encontrar:

a) El rango o recorrido de los datos.

Solución

Lo primero que hay de hacer para encontrar el recorrido es ordenar los datos de forma creciente
o decreciente. Por ejemplo en orden creciente se tiene:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Mediante la fórmula dada al comienzo: R = xmáx – xmín

R = 20 – 1  puntos = 19 puntos.

De acuerdo al resultado, estas calificaciones tienen una gran dispersión.

Ejemplo 9
Supongamos que deseamos calcular el rango de las edades del once inicial de un equipo de

fútbol.

El jugador más mayor (máximo del conjunto) tiene 31 años, mientras que el más joven
(mínimo) 18. Por lo tanto el rango es:

Ejemplo 10

Según las ganancias de la segunda mitad del año pasado de una empresa fabricante de
electrodomésticos, calcule el rango.
 10 EJEMPLOS DE LA DESVIACIÓN MEDIA
Ejemplo 1:

Calcular la desviación media de los siguientes datos: 2, 4, 6 y 8.

Solución:
Empezamos calculando la media aritmética de los datos, teniendo en cuenta que tenemos 4
datos (n = 4).

El valor de la media aritmética es de 5.

Ahora aplicamos la fórmula de la desviación media:

El valor de la desviación media, es de 2.

Ejemplo 2

Calcular la desviación media de los siguientes datos: 3, 5, 8, 6, 2, 4, 7 y 5.

Solución:
Como son muchos datos, vamos a colocar los datos en una tablita:

Sumamos los datos y calculamos su media aritmética, teniendo en cuenta que son 8 datos (n =
8).

Ahora sí, viene el cálculo de la media aritmética.

El valor de la media aritmética es 5.
Agregamos una columna más a la tabla donde colocaremos los valores de xi – μ :

Agregamos otra columna más a la tabla donde colocaremos los valores de |xi – μ| :

Ahora sí, calculamos la desviación media con los valores obtenidos en la tabla:

El valor de la desviación media es de 1,5.

La desviación media siempre queda expresada en las mismas unidades que los datos originales,
por ejemplo, si los datos originales están expresados en kilogramos, pues la desviación media
también quedará expresada en kilogramos. 

Ejemplo 3

Medir la desviación media de las notas de una clase 18 alumnos.

Solución:

Las notas aparecen en la primera columna de la tabla. Se trata de los mismos datos de notas
y alumnos del ejercicio 1 de la página Desviación estándar.

En el paso 1 se ha obtenido la media, después la columna con las diferencias y a la derecha,

las diferencias en valor absoluto.
 Finalmente, en el paso 2, aplicamos la fórmula de la desviación media:

Se verifica aquí que la desviación media nunca supera a la desviación estándar:

Ejemplo 4
calcular la desviación media. Vamos a calcular la desviación media de las notas del Amigo C:

Vamos a utilizar tablas, ya que así el procedimiento para calcular la desviación media te sirve
para cuando tengas muchos datos y para cuando tengas pocos.
Vamos a empezar calculando la media, ya que la necesitamos para obtener las desviaciones.
Añadimos una tercera columna para escribir el resultado de multiplicar cada dato por su
frecuencia absoluta. En la última fila sumamos los resultados:

La suma de las multiplicaciones de los datos por la frecuencia absoluta es 25 y lo tenemos en la

última fila de la tercera columna. El número total de datos es 5 y lo tenemos al final de la
segunda columna:

La media es 5.

Una vez tenemos la media, ya podemos calcular la distancia o la desviación de cada dato, como
el valor absoluta de la diferencia entre cada dato con la media:

Para ello, añadimos una cuarta columna donde iremos escribiendo la distancia de cada dato:

Por ejemplo, para el dato 1, la distancia sería:

Lo hacemos igual para el resto de datos y los vamos escribiendo en la columna. En la última fila,
realizamos la suma de todas las distancias:

La suma de las distancias es 12 y lo tenemos en la última fila de la cuarta columna. El número

total de datos es 5, que lo tenemos al final de la segunda columna:

Por tanto, la desviación media para el Amigo C es 2,4.

Las desviaciones medias para el resto de amigos son:

 Desviación media Amigo A= 1,2

 Desviación media Amigo B= 2,8
 Desviación media Amigo D= 1,2
La mayor desviación media es del Amigo B, lo que significa que sus notas están muy dispersas.
Para el Amigo A y el Amigo D, la desviación media es menor, lo que significa que sus notas
están más cerca de su nota media, que es 5.

Ejemplo 5

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Ejemplo 6
Calcular la desviación media de la distribución:

Ejemplo 7

Calcular la desviación media de las longitudes de la tabla:

Solución:
Empezamos calculando el número de valores o elementos “n”, simplemente sumando las
frecuencias absolutas fi.
El número de valores es 25.

En la tabla, iremos buscando las expresiones que aparecen en la fórmula. Por ello, agregamos
una columna más a nuestra tabla, en la cual colocaremos los valores de xi・fi:

Ahora sí, aplicamos la fórmula:

El valor de la media es de 4 m.

La fórmula de la desviación media para datos agrupados es:

Agregamos 3 columnas más en la tabla de frecuencias:

Aplicamos la fórmula:

El valor de la desviación media es de 0,56 m. Recuerda que la desviación media siempre queda
expresada en las mismas unidades que los datos originales. En nuestro ejercicio, las longitudes
estaban expresadas en metros, por ello, la desviación media también queda expresada en metros. 

Ejemplo 8
Calcula la desviación media de los datos tabulados siguientes:

Ejemplo 9
Las siguientes calificaciones se obtuvieron de un grupo de estudiantes de una prueba de
Matemáticas:
71, 85, 65, 53, 90, 84, 81, 40,64.

Obtener la desviación media de los datos de la muestra:

Primer paso: obtener la media aritmética de los datos.

Eso indica que debemos restarle a cada dato la media aritmética, recordando que, aunque haya
resultado negativos siempre se colocan positivos, ya que las barras de la formula indica valor
absoluto:
71– 70.3 = 0.7

85 – 70.3 = 14.7

65 – 70.3 = 5.3

53 – 70.3 = 17.3

90 – 70.3 = 19.7

84 – 70.3 = 13.7

81 – 70.3 = 10.7

40 – 70.3 = 30.3

64 – 70.3 = 6.3

Ahora sumamos todos los resultados para luego dividirlos entre el total de datos.

0.7+14.7+5.3+17.3+19.7+13.7+10.7+30.7+6.3 = 119.1

Ahora, la desviación media será…

Ejemplo 10

Tres alumnos son sometidos a una competencia para probar sus conocimientos en 10 materias
diferentes, cada una sustentada con 10 preguntas. La idea del concurso es encontrar al alumno
más idóneo para representar al colegio en un torneo a nivel nacional.
El número de preguntas buenas por materia se muestra a continuación:

Solución

La desviación media es de aproximadamente 8,8 c.c. Concluimos que con datos

suministrados de una muestra, el dispensador llenó los 30 envases con un promedio de
157,095 c.c. con una desviación media de 8,8 c.c.

La desviación media describe un rango de dispersión promedio de llenado del

dispensador, ubicándolo entre 148,295 c.c. (equivale a restar la media a la desviación
media) y 165,895 c.c. (sumar una desviación media a la media aritmética).
10 EJEMPLOS DE LA VARIANCIA 

Ejemplo 1
Calcule la varianza de los siguientes datos muestrales: 6, 8, 7, 10, 3, 5, 9, 8
Solución
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
 Σxᵢ = 56
 N = 8
 x̄ = 56/8 = 7
Ejemplo 2
Un grupo de amigos miden la altura de sus perros (en milímetros):

Las alturas (hasta los hombros) son: 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm y 300 mm. Calcule la
varianza.

Solución

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

 Σxᵢ = 1970
 N = 5
 x̄ = 1970/5 = 394
Ejemplo 3
Los rendimientos porcentuales anuales de las letras del Tesoro de Estados Unidos fueron los
siguientes: 6.5%, 4.4%, 3.8%, 6.9%, 8.0%, 5.8%, 5.1%. Calcule la varianza muestral:

Solución

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

 Σxᵢ = 40.5
 N = 7
 x̄ = 40.5/7 = 5.7857

Ejemplo 4
Encuentre la varianza para la siguiente muestra: 12, 13, 24, 24, 25, 26, 34, 35, 38, 45, 46, 52, 53,
78, 78, 89

Solución

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

 Σxᵢ = 672
 N = 16
 x̄ = 672/16 = 42
Ejemplo 5
Halla la varianza de las temperaturas medias registradas durante un periodo de cinco días del
pasado invierno: 18, 22, 19, 25, 12.

Solución

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  Σxᵢ = 96
 N = 5
 x̄ = 96/5 = 19.2

Ejemplo 7
Para entender mejor este concepto, proponemos el ejemplo de una empresa que quiere calcular la
varianza de las toneladas de alimento que ha vendido en los últimos 6 meses:

El primer paso para calcular la varianza consiste en calcular la media aritmética (el promedio).
Esta se obtiene teniendo en cuenta que la cantidad de valores a analizar son 6 (los últimos 6
meses):
(18 + 20 + 20 + 22 + 20 + 20) / 6 = 20
Una vez obtenida la media aritmética, en este caso 20, procedemos a calcular la varianza,
utilizando la fórmula antes mencionada:

σ²= [(18-20)2 + (20-20)2 + (20-20)2 + (22-20)2 + (20-20)2 + (20-20)2] / 6 = 1,33

De esta manera, obtenemos una varianza (σ²) de 1,33.

Ejemplo 8
En un partido de baloncesto, se tiene la siguiente anotación en los jugadores de un equipo:
0,2,4,5,8,10,10,15,38. Calcular la varianza de las puntuaciones de los jugadores del equipo.

Aplicando la fórmula x=0+2+4+5+8+10+10+15+38 / 9 = 92 / 9 = 10.22 obtenemos la media

Seguidamente se aplica la fórmula de la varianza:

σ2=(0−10.22)2+(2−10.22)2+(4−10.22)2+(5−10.22)2+(8−10.22)2+(10−10.22)2+(10−10.22)2+(15−1
0.22)2+(38−10.22)2/ 9 =

10.222+8.222+6.222+5.222+2.222+0.222+4.782+27.782 / 9 =

104.4484+67.5684+38.6884+27.2484+4.9284+0.0484+22.8484+771.72849 = 1037.5556 / 9 =
115.28 será la varianza estadística.

Ejemplo 9
Vamos a acuñar una serie de datos sobre salarios. Tenemos cinco personas, cada uno con un
salario diferente:

Juan: 1.500 euros

Pepe: 1.200 euros

José: 1.700 euros

Miguel: 1.300 euros

Mateo: 1.800 euros

La media del salario, la cual necesitamos para nuestro cálculo, es de ((1.500 + 1.200 + 1.700 +
1.300 + 1.800) /5) 1.500 euros.

Obtendremos que se debe calcular tal que:

El resultado es de 52.000 euros al cuadrado. Es importante recordar que siempre que calculamos
la varianza tenemos las unidades de medida al cuadrado. Para pasarlo a euros, en este caso
tendríamos que realizar la desviación típica. El resultado aproximado sería de 228 euros. Esto
quiere decir que, en media, la diferencia entre los salarios de las distintas personas será de 228
euros.

Ejemplo 10
Para comprender completamente lo que es la varianza es necesario analizar el siguiente
ejemplo: En este, se demuestra que la varianza se calcula utilizando el promedio de los datos:
Una empresa de arroz desea calcular la varianza de las toneladas que ha vendido en los últimos
6 meses. La venta durante este período fue:
 Marzo = 180 toneladas

 Abril = 200 toneladas

  Mayo = 200 toneladas

 Junio = 220 toneladas

 Julio = 200 toneladas

 Agosto = 200 toneladas

Para calcular la varianza, primero se debe calcular la media aritmética, que es el promedio de
los datos. Se obtiene de la siguiente manera:

Luego de obtener la media aritmética, ya es posible calcular la varianza mediante la siguiente

fórmula:

Eso quiere decir que la varianza obtenida es de 26,7 toneladas.

10 EJEMPLOS DE DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE DATOS NO

AGRUPADOS

Ejemplo 1
Calcular de la desviación típica con ambas fórmulas para ilustrar cómo se han de utilizar cada
una de ellas.
1.- La raíz cuadrada de la varianza:

En primer lugar, hemos de calcular la media aritmética. Supongamos que los datos utilizados son
9, 3, 8, 9 y 16.
Media aritmética=9+3+ 8+9+16 /5=9
A continuación, tenemos que aplicar a la fórmula de la varianza la raíz cuadrada. Veámoslo.
 Desviación típica=(9 – 9)2+(3 – 9)2+(8 – 9)2+(9 – 9)2+(16 – 9) 2/5=ü 86 / 5=ü 17,2=4,14

Ejemplo 2
Suma de las desviaciones y dividir entre el total de observaciones:
En primer lugar, hemos de calcular la media aritmética. Supongamos que los datos utilizados son
los siguientes: 2, 4, 2, 4, 2 y 4.

Media aritmética=2+ 4+2+ 4+2+ 4/6=3

A continuación, hemos de calcular la desviación típica sumando todas las deviaciones
y dividiendo el resultado obtenido entre el número total de observaciones. Veámoslo:

Desviación típica=(2 – 3)+( 4 – 3)+(2 – 3)+( 4 – 3)+(2 – 3)+(4 – 3)/6=1+1+1+1+1+1/6=1

Ejemplo 3
Calcular la desviación típica de la distribución:

Calculamos la media aritmética

Sustituimos en la fórmula de la desviación típica

Ejemplo 4
Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

 .
Solución
 
 .
 Desviación típica

Ejemplo 5
Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números
siguientes:

 .

Desviación típica

Ejemplo 6
Calcular la desviación típica de las siguientes notas de un alumno en los últimos exámenes:

Valores de las notas:

9 , 10 ,10 ,11 , 10 ,10

Calculamos la media aritmética ():  

Número de valores: 6

Media Aritmética = (9 + 10 + 10 + 11 + 10 + 10) / 6 = 60 / 6 = 10

Calculamos la Desviación Típica:

σ2 = [(9-10)2 + (10-10)2 + (10-10)2 + (11-10)2 + (10-10)2 + (10-10)2] / 6 = 2 / 6 = 1 /3 = 0,33

Desviación típica: σ = √ 0,33 = 0,58

Ejemplo 7
Calcular la desviación típica de las siguientes notas de otro alumno diferente en los últimos
exámenes:

Valores de las notas:

2 ,16 ,12 , 13 ,20 , 15

Calculamos la media aritmética:  

Número de valores: 6

Media Aritmética = (5 + 16 + 12 + 13 + 20 + 12) / 6 = 78 / 6 = 13

Calculamos la Desviación Típica:

σ2 = [(5-13)2 + (16-13)2 + (12-13)2 + (13-13)2 + (20-13)2 + (15-13)2] / 6 = (64 + 9 + 1 + 0 +
49) / 6 = 20,5

Desviación típica: σ = √ 20,5 = 4,5

Como conclusión tenemos que el segundo alumno saca mejores notas (media aritmética = 13
respecto a 10 del primero) pero sin embargo es menos constante ya que su desviación típica es
mucho más alta (vemos como saca notas muy diferentes).

Ejemplo 8
Calcular la varianza y desviación tópica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Solución: Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor

con respecto al cual vamos a medir las diferencias.

siendo la desviación típica su raíz cuadrada:

Ejemplo 9
El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques
(en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de
ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos
respectivamente.

Por lo que su media es:

Ejemplo 10
Si se tiene el siguiente conjunto de datos 6, 3, 4 y 7, el primero paso es conocer el total o la
sumatoria de todos los elementos, que en este ejercicio sería 20.
Se calcula la media, lo cual no es más que el cociente entre la sumatoria de los valores y el total
de los eventos. Es decir:

20/ 4=5

Por lo tanto, la media es 5 y hay un N (total de los eventos) de 4.

Se reservan esos dos valores porque serán la base de los demás cálculos.

Ya con la media y el N calculado, se busca la distancia de cada dato con respecto a la media y se
eleva al cuadrado.
En el caso del primer dato que es el número 6, se resta de la media y se eleva al cuadrado.

Por ejemplo: 6 – 5 = 1. Ese resultado se eleva al cuadrado, que sería: 12 = 1.

Y así sucesivamente con cada dato. Por lo que los resultados obtenidos aplicando esta
metodología con cada uno de los datos son: 1, 4, 1, 4.
Ahora, esos cuadrados se suman para dar un total de: 10.

El siguiente paso es dividir esa sumatoria o cuadrados encontrados entre el valor de N.

 10/ 4=2,5.
Falta calcular la raíz cuadrada de 2,5 y se redondea a la centésima más cercana. Ya con eso se
obtiene la desviación estándar.
Por lo tanto, esa desviación estándar específica sería una medida aproximada de 1,58.

3 REACTIVO O PREGUNTA

1 ¿Qué es el rango?

Es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los
datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, aún más
dispersos están los datos. 

2. ¿Cuál es la importancia de la desviación estándar?

Una propiedad útil de la desviación estándar es que, a diferencia de la varianza, se expresa en las
mismas unidades que los datos a partir de los que se calcula. Además de expresar la variabilidad
de una población, la desviación estándar se usa comúnmente para medir la fiabilidad de las
conclusiones estadísticas.

3. ¿Cómo se define la varianza?

La Varianza es una medida de dispersión que se utiliza para representar la variabilidad de un

conjunto de datos respecto de la media aritmética de los mismo. Así, se calcula como la suma de
los residuos elevados al cuadrado y divididos entre el total de observaciones.