Universidad Nacional de Cajamarca Matemática

AXIOMAS Y TEOREMAS DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

1. INTRODUCCIÓN.
La estructuración del sistema de los números reales se enfoca usualmente de dos formas; una de
ellas es el método usado por Dedekind, que introduce primero en forma axiomática el estudio de los
números naturales, para extenderse luego a los números enteros, racionales, y; en base a éstos últimos
definir los números reales. La otra forma, define axiomáticamente el sistema de los números reales y
luego demostrar que los números racionales, enteros y naturales son subconjuntos de los números reales.
En el desarrollo de esta unidad didáctica, usaremos esta última forma.
2. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES.
Se llama sistema de los números reales a un conjunto no vacío ℝ dotado de dos operaciones internas,
llamadas adición y multiplicación, de un axioma de distribución de la multiplicación respecto de la adición,
axiomas relativos a la igualdad, axiomas relativos a la relación de orden “menor que”, denotada por “<” y
de un axioma del supremo.
2.1. AXIOMAS PARA LA ADICIÓN.
La adición es una operación interna (cerrada o de clausura) definida en ℝ, tal que, a cada par (a; b)
de números reales corresponde el único número real (a + b), llamado suma de a y b.
NOTACIÓN: (+): ℝ×ℝ→ℝ
(a; b) → a + b
A.1: Si a y b ∈ ℝ ⟶ (a + b) ∈ ℝ (Clausura)
(La suma de dos números reales es una operación cerrada)
A.2: a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ℝ (Conmutativa)
A.3: (a + b) + c = a + (b + c), ∀ a, b, c ∈ ℝ (Asociativa)
A.4: Ǝ! 0 ∈ ℝ / a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ ℝ
(Existencia del elemento neutro aditivo)
A.5: ∀a ∈ ℝ, Ǝ! (-a) ∈ ℝ / a + (-a) = (-a) + a = 0
(Existencia del elemento inverso aditivo)
2.2. AXIOMAS PARA LA MULTIPLICACIÓN.
La multiplicación es una operación interna definida en ℝ, de tal modo que a cada par (a; b) de
números reales corresponde el único número real (a·b).
NOTACIÓN: (·): ℝ×ℝ→ℝ
(a; b) → a·b
M.1: Si a y b ∈ ℝ ⟶ (a·b) ∈ ℝ (Clausura)
(El producto de dos números reales es una operación cerrada)
M.2: a·b = b·a, ∀ a, b ∈ ℝ (Conmutativa)
M.3: (a·b)·c = a·(b·c), ∀a, b, c ∈ ℝ (Asociativa)
M.4: Ǝ! 1 ∈ ℝ / a·1= 1·a = a, ∀a ∈ ℝ
(Existencia del elemento neutro multiplicativo)
1 1 1
M.5: ∀a ∈ ℝ - {0}, Ǝ! 𝑎𝑎−1 = ∈ ℝ /𝑎𝑎 � � = � � 𝑎𝑎 = 1
𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎
(Existencia del elemento inverso multiplicativo)
2.3. AXIOMAS DISTRIBUTIVOS (Axiomas del factor común).
Si a, b, c ∈ ℝ, entonces:
D.1: a (b + c) = ab + ac (Distributiva por la izquierda)
D.2: (b + c) a = ba +ca (Distributiva por la derecha)
2.4. AXIOMAS DE IGUALDAD.
Para a, b, c ∈ ℝ, se tiene:
I.1: Dicotomía: a = b o a ≠b

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I.2: Reflexividad: a = a
I.3: Simetría: Si a = b ⟶ b = a
I.4: Transitividad: Si a = b ˄ b = c ⟶ a = c
I.5: Unicidad de la adición: Si a = b ⟶ a + c = b + c
I.6: Unicidad de la multiplicación: Si a = b ⟶ a·c = b·c
2.5. AXIOMAS DE ORDEN
O.1: Ley de tricotomía.
Para dos números a ∈ ℝ y b ∈ ℝ, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero:
a < b, a = b, b < a
O.2: Ley transitiva.
Si a < b ˄ b < c ⟶ a < c
O.3: Leyes de Monotonía.
a) Si 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ⟶ ∀c ∈ ℝ, 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 (Consistencia Aditiva)
b) Si 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 y 0 < 𝑐𝑐 ⟶ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑏𝑏 (Consistencia Multiplicativa)
c) Si 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 < 0 ⟶ 𝑏𝑏𝑏𝑏 < 𝑎𝑎𝑎𝑎 (Consistencia Multiplicativa)
+ +
O.4: Existe un conjunto ℝ , tal que ℝ ⊂ ℝ, llamado conjunto de números reales positivos, el cual
satisface las siguientes propiedades:
a) Si a ∈ ℝ+ 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ∈ ℝ+ ⟶ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) ∈ ℝ+ 𝑦𝑦 (𝑎𝑎 · 𝑏𝑏) ∈ ℝ+
b) Para cada 𝑎𝑎 ≠ 0: 𝑎𝑎 ∈ ℝ+ 𝑜𝑜 − 𝑎𝑎 ∈ ℝ+ , pero no ambos
c) 0 ∉ ℝ+
2.6. EL AXIOMA DEL SUPREMO.
Si S es un conjunto no vacío de elementos de ℝ superiormente acotado, entonces S tiene un
supremo en ℝ.
Este último axioma nos garantiza que los números reales ℝ incluyen los números racionales
ℚ y que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y
los números reales.
OBSERVACIÓN: Debe tenerse presente que en la definición axiomática del sistema de los
números reales sólo se formulan axiomas específicos referentes a las operaciones binarias
de adición y multiplicación como también a sólo a una relación de orden “menor que (<)”.
Según esto, las demás operaciones y las demás relaciones de orden tendrán que definirse
en función de las propiedades formuladas en los axiomas anteriores, por ejemplo, las
operaciones de sustracción y división se definen del siguiente modo:
a) SUSTRACCIÓN: ∀ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + (−𝑏𝑏)
𝑎𝑎
b) DIVISIÓN: ∀ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑏𝑏 ≠ 0: = 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏 −1
𝑏𝑏

3. TEOREMAS SOBRE LA ADICIÓN

TEOREMA 01. El elemento neutro aditivo (e=0) es único.
DEFINICIÓN 01. El único elemento neutro para la adición en ℝ se llama cero, se escribe 0, de modo que:
∀𝑎𝑎 ∈ ℝ: 𝑎𝑎 + 0 = 0 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
TEOREMA 02. Dado 𝑎𝑎 ∈ ℝ, el inverso aditivo es único.
DEFINICIÓN 02. Para cada 𝑎𝑎 ∈ ℝ, el inverso aditivo de a se llama el opuesto de a, se denota –a, de modo
que: ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ: 𝑎𝑎 + (−𝑎𝑎) = (−𝑎𝑎) + 𝑎𝑎 = 0
TEOREMA 03. Ley de cancelación para la adición:
Para los números a, b y c ∈ ℝ, se cumple: 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 → 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏
COROLARIO. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, se cumple: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0 → 𝑏𝑏 = −𝑎𝑎
TEOREMA 04. Para cada 𝑎𝑎 ∈ ℝ, se cumple: −(−𝑎𝑎) = 𝑎𝑎
TEOREMA 05. Para los números a y b ∈ ℝ, se cumple: −(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = (−𝑎𝑎) + (−𝑏𝑏)
DEFINICIÓN 03. Sean dos números a∈ ℝ y b ∈ ℝ. Se define la diferencia de a y b como la suma de a con el
inverso aditivo de b. Esto es: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + (−𝑏𝑏), ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ
TEOREMA 06. Para los números a, b, c, y d que pertenecen al conjunto de los números reales, se cumplen
las siguientes propiedades:
a) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 b) 𝑎𝑎 − (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) − 𝑐𝑐 c) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 → 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑
d) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) + (𝑐𝑐 − 𝑑𝑑) = (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) − (𝑏𝑏 + 𝑑𝑑) e) 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑 → �
𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑
f) 𝑎𝑎 − (−𝑏𝑏) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 g) −0 = 0
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4. TEOREMAS SOBRE LA MULTIPLICACIÓN

TEOREMA 07. El elemento neutro multiplicativo (e=1) es único.
DEFINICIÓN 04. El único elemento neutro para la multiplicación en ℝ se llama uno o unidad, se denota 1,
de modo que: ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ: 𝑎𝑎 · 1 = 1 · 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
TEOREMA 08. Dado 𝑎𝑎 ∈ ℝ, 𝑎𝑎 ≠ 0, el elemento inverso multiplicativo de a es único.
DEFINICIÓN 05. Para cada 𝑎𝑎 ∈ ℝ − {0}, el inverso de a para la multiplicación, se llama inverso
multiplicativo o recíproco de a, se denota 𝑎𝑎−1 𝑜𝑜 1⁄𝑎𝑎 , de modo que:
∀𝑎𝑎 ∈ ℝ − {0}: 𝑎𝑎 · 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎−1 · 𝑎𝑎 = 1
TEOREMA 09. Propiedad cancelativa para la multiplicación.
Para los números a, b y c que pertenecen a ℝ, se cumple: 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ≠ 0 → 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐
TEOREMA 10. Para 𝑎𝑎 ∈ ℝ − {0} 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ∈ ℝ, se cumple: 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1 ↔ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎−1
TEOREMA 11. Para cada 𝑎𝑎 ≠ 0 en ℝ, se cumple: (𝑎𝑎−1 )−1 = 𝑎𝑎
TEOREMA 12. Si 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≠ 0, entonces la ecuación 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, tiene solución única: 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎−1 · 𝑏𝑏
TEOREMA 13. Para 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ se cumple: (𝑎𝑎𝑎𝑎)−1 = 𝑎𝑎−1 · 𝑏𝑏 −1 , 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0
DEFINICIÓN 06. Definición de división de números reales.
Dado dos números 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ. Se define el cociente de a entre b, como el producto de a con el inverso
𝑎𝑎
multiplicativo de b. Esto es: = 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 , ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ
𝑏𝑏
TEOREMA 14. Para los números 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ, se cumplen las siguientes propiedades:
a) 𝑎𝑎 · 0 = 0 · 𝑎𝑎 = 0, ∀𝑎𝑎 b) (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 c) −𝑎𝑎 = (−1)𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎
d) 𝑎𝑎(−𝑏𝑏) = −(𝑎𝑎𝑎𝑎) = (−𝑎𝑎)𝑏𝑏, ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e) (−𝑎𝑎)(−𝑏𝑏) = 𝑎𝑎𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏
e) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 ↔ 𝑎𝑎 = 0 ˅ 𝑏𝑏 = 0
TEOREMA 15. Para los números a, b, c y d ∈ ℝ, se cumplen las siguientes propiedades:
a) (𝑏𝑏⁄𝑎𝑎)𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ≠ 0
𝑎𝑎 𝑎𝑎 1 1 𝑎𝑎
b) = � � � � = � � � � , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑦𝑦 𝑐𝑐 ≠ 0
𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑐𝑐
𝑎𝑎 𝑏𝑏
c) 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑 ⟶ (𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏) ˅ ( = , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐 ≠ 0)
𝑐𝑐 𝑑𝑑
𝑎𝑎 𝑐𝑐
d) = ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑦𝑦 𝑑𝑑 ≠ 0
𝑏𝑏 𝑑𝑑
𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎
e) � �� � = , si 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑦𝑦 𝑑𝑑 ≠ 0
𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎
f) = , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑦𝑦 𝑐𝑐 ≠ 0
𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏

𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎+𝑏𝑏𝑏𝑏
g) + = , 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑦𝑦 𝑑𝑑 ≠ 0
𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑎𝑎⁄𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎
h) = , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑏𝑏 ≠ 0, 𝑐𝑐 ≠ 0, 𝑑𝑑 ≠ 0
𝑐𝑐⁄𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑏𝑏

5. POTENCIA DE UN NÚMERO REAL

DEFINICIÓN 07. Si 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝑏𝑏 ∈ ℝ, entonces 𝑏𝑏 𝑛𝑛 , llamada n-ésima potencia de b, representa el producto de n
factores iguales a b, esto es: 𝑏𝑏 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 · 𝑏𝑏 · 𝑏𝑏 · … · 𝑏𝑏, en donde el exponente 𝑛𝑛 indica las veces que se debe
repetir la base b como factor.
TEOREMA 16. Si 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, entonces:
𝑎𝑎𝑚𝑚
a) 𝑎𝑎𝑚𝑚 · 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛 b) (𝑎𝑎𝑚𝑚 )𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 c) (𝑎𝑎 · 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 · 𝑏𝑏 𝑛𝑛 d) = 𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛 , 𝑎𝑎 ≠ 0
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑛𝑛
e) ( )𝑛𝑛 = , 𝑏𝑏 ≠ 0
𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑛𝑛
DEFINICIÓN 08. Si 𝑐𝑐, 𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑛𝑛 ∈ ℕ, entonces 𝑥𝑥 se llama raíz n-ésima principal de 𝑥𝑥, se denota 𝑥𝑥 = √𝑐𝑐, si y
sólo si 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑐𝑐, bajo la condición de que si 𝑛𝑛 es par, entonces 𝑥𝑥 > 0 𝑦𝑦 𝑐𝑐 > 0.
𝑛𝑛
Formalmente: 𝑥𝑥 = √𝑐𝑐 ↔ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑐𝑐, 𝑛𝑛 par ⟶ 𝑐𝑐 > 0, 𝑥𝑥 > 0
𝑛𝑛
DEFINICIÓN 09. Si 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑛𝑛 ∈ ℕ, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐 1⁄𝑛𝑛 = √𝑐𝑐, con la condición de que si 𝑛𝑛 es par, 𝑐𝑐 ≥ 0
DEFINICIÓN 10. Si 𝑐𝑐 ∈ ℝ, 𝑚𝑚 ∈ ℤ 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ∈ ℤ, entonces:
𝑛𝑛 𝑛𝑛
𝑐𝑐 𝑚𝑚⁄𝑛𝑛 = ( √𝑐𝑐 )𝑚𝑚 = √𝑐𝑐 𝑚𝑚
Con la condición de que si 𝑛𝑛 es par, 𝑐𝑐 debe ser positivo.

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TEOREMA 17. Sea 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑛𝑛 ∈ ℕ, y ningún radicando es negativo si 𝑛𝑛 es par. Entonces:

𝑛𝑛
√𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑎𝑎
𝑛𝑛
√𝑎𝑎
a) � 𝑛𝑛 b) √𝑎𝑎𝑎𝑎 = √𝑎𝑎 · √𝑏𝑏 c) � = 𝑛𝑛 , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑏𝑏 ≠ 0
√𝑎𝑎 = |𝑎𝑎|, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑛𝑛 𝑏𝑏 √𝑏𝑏
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚
d)( √𝑏𝑏)𝑚𝑚 = √𝑏𝑏𝑚𝑚 e) � √𝑎𝑎 = � √𝑎𝑎 = √𝑎𝑎
DEFINICIÓN 11. Sean a, b y c constantes reales y 𝑎𝑎 ≠ 0, entonces la función 𝑓𝑓, definida por la ecuación de
segundo grado: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, se llama función cuadrática.
DEFINICIÓN 12. Dada la ecuación 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0, el número 𝛥𝛥 = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 se llama discriminante de
dicha ecuación. Entonces:
i) Si ∆ > 0, la ecuación admite dos soluciones reales y diferentes.
ii) Si ∆ = 0, la ecuación admite dos raíces iguales (raíz única).
iii) Si ∆ < 0, la ecuación no admite raíces reales.
TEOREMA 18. Si la ecuación cuadrática 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≠ 0, admite soluciones r y s en ℝ, se
cumplen:
𝑏𝑏 𝑐𝑐 √𝑏𝑏2 −4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏2 −4𝑎𝑎𝑎𝑎
a) 𝑆𝑆 = 𝑟𝑟 + 𝑠𝑠 = − b) 𝑃𝑃 = 𝑟𝑟𝑟𝑟 = c) |𝑟𝑟 − 𝑠𝑠| = d) Vértice Parábola = �− ; �
𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 2𝑎𝑎 4𝑎𝑎
6. TEOREMAS DE ODEN. DESIGUALDADES.
La relación de orden en los números reales, se introducen a través de cuatro axiomas específicos que se
refieren a la relación “menor que”, denotado por “<”. Además, debemos tener en cuenta que: si a, b ∈ ℝ →
𝑎𝑎 ˂ 𝑏𝑏 ↔ (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) ∈ ℝ+ .
Esta relación de orden “menor que”, conjuntamente con la relación “mayor que”, denotada por “>”,
constituyen las desigualdades estrictas; aparte de ellas, frecuentemente, en las aplicaciones tendremos que
operar con las relaciones de orden no estrictas; es decir, con las desigualdades indeterminadas que son: la
relación “menor o igual que”, denotada por “≤”, y la relación “mayor o igual que”, denotada por “≥”, para
las cuales son válidas las siguientes definiciones: (a, b y c ∈ ℝ)
(1) Si a > 0 ↔ a es positivo
(2) Si a < 0 ↔ a es negativo
(3) Si a > b ↔ a – b es positivo
(4) Si a < b ↔ a – b es negativo
(5) Si 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏
(6) Si 𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏
(7) Si a < b < c ↔ (a < b) ˄ (b < c)
(8) Si a < b ≤ c ↔ [(a < b) ˄ (b < c ˅ b = c)]
(9) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ↔ 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎
TEOREMA 19. Para a, b ∈ ℝ, se cumple:
a) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 < 0
b) 𝑎𝑎 < 0 ↔ −𝑎𝑎 > 0
c)𝑎𝑎 > 0 ↔ −𝑎𝑎 < 0
TEOREMA 20. La suma y el producto de números positivos en ℝ, es positivo, esto es:
𝑎𝑎) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 > 0
𝑎𝑎 > 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 > 0 ⟶ �
𝑏𝑏) 𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0
TEOREMA 21. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 > 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 < 0, 𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 < 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 > 0, entonces se cumple que 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 0
TEOREMA 22. La suma de dos números negativos en ℝ, es negativo, mientras que el producto es positivo,
esto es:
𝑎𝑎) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 < 0
𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 < 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 < 0 ⟶ �
𝑏𝑏) 𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0
2
TEOREMA 23. 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑎𝑎 ≠ 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡: 𝑎𝑎 > 0
𝑎𝑎) 𝑎𝑎 > 0 ⟶ 𝑎𝑎−1 > 0
TEOREMA 24. 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎−1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑎𝑎, 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑: �
𝑏𝑏) 𝑎𝑎 < 0 ⟶ 𝑎𝑎−1 < 0

NOTA: Este teorema se aplica en la resolución de inecuaciones racionales.

TEOREMA 25. Para a, b, c y d en ℝ:

Si 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑐𝑐 < 𝑑𝑑 ⟶ 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑

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TEOREMA 26. Para a, b y c en ℝ, se cumple: 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ⟶ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 (Propiedad de cancelación aditiva

para una desigualdad)
TEOREMA 27. Para a, b y c en ℝ, se cumple:
𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑐𝑐 < 0 ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 > 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑐𝑐 < 0 ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑏𝑏
TEOREMA 28. Para a, b, c ∈ ℝ, se cumple:
a) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ 𝑐𝑐 > 0 ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑏𝑏 b) 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑐𝑐 > 0 ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 > 𝑏𝑏𝑏𝑏
1 1
TEOREMA 29. Si 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 ∈ ℝ y tienen el mismo signo (𝑎𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏𝑏 ≠ 0) y si: 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ⟶ > .
𝑎𝑎 𝑏𝑏
NOTA: Este teorema se utiliza para invertir.
TEOREMA 30. Para a y b ∈ ℝ, se cumplen: (Se utiliza para resolver inecuaciones)
i) 𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0 ↔ (𝑎𝑎 > 0 ˄ 𝑏𝑏 > 0) ˅ (𝑎𝑎 < 0 ˄ 𝑏𝑏 < 0)
ii) 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 0 ↔ (𝑎𝑎 > 0 ˄ 𝑏𝑏 < 0) ˅ (𝑎𝑎 < 0 ˄ 𝑏𝑏 > 0)
TEOREMA 31. Si:
𝑎𝑎
i) > 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ≠ 0 ↔ (𝑎𝑎 > 0 ˄ 𝑏𝑏 > 0) ˅ (𝑎𝑎 < 0 ˄ 𝑏𝑏 < 0)
𝑏𝑏

𝑎𝑎
ii) < 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ≠ 0 ↔ (𝑎𝑎 > 0 ˄ 𝑏𝑏 < 0) ˅ (𝑎𝑎 < 0 ˄ 𝑏𝑏 > 0)
𝑏𝑏
NOTA: Este teorema se aplica para resolver inecuaciones racionales.
TEOREMA 32.
i) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ≥ 0 ⟶ 𝑎𝑎2 > 𝑏𝑏 2 ↔ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏
ii) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ≥ 0 ⟶ 𝑎𝑎2 < 𝑏𝑏 2 ↔ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏
TEOREMA 33. Si:
i) 𝑏𝑏 ≥ 0 → 𝑎𝑎2 > 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 > √𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 < −√𝑏𝑏
ii) 𝑏𝑏 ≥ 0 → 𝑎𝑎2 ≥ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ √𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 ≤ −√𝑏𝑏
TEOREMA 34. Si:
i) 𝑏𝑏 > 0 → 𝑎𝑎2 < 𝑏𝑏 ↔ −√𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < √𝑏𝑏
ii)𝑏𝑏 ≥ 0 → 𝑎𝑎2 ≤ 𝑏𝑏 ↔ −√𝑏𝑏 ≤ 𝑎𝑎 ≤ √𝑏𝑏
PROPIEDAD. Si: 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 = √𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 = −√𝑏𝑏. (Se aplica para resolver ecuaciones de segundo grado
completando el cuadrado).
TEOREMA 35.
i) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ≥ 0 ⟶ (√𝑎𝑎 ≤ √𝑏𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏)
ii) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 > 0 ⟶ (√𝑎𝑎 < √𝑏𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏)
TEOREMA 36. Si n es un número entero positivo impar, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛
i) √𝑎𝑎 ≤ √𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ii) √𝑎𝑎 < √𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 iii) √𝑎𝑎 > 0 ↔ 𝑎𝑎 > 0
𝑛𝑛
iv) √𝑎𝑎 < 0 ↔ 𝑎𝑎 < 0
TEOREMA 37. Para a y b en ℝ se cumplen las siguientes propiedades:
i) √𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 ≥ 0 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ 𝑏𝑏 ≥ 0 ii) √𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 ≤ 0 ↔ 𝑎𝑎 = 0 ˄ 𝑏𝑏 = 0
TEOREMA 38. i) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ (𝑏𝑏 > 0 ˄ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 2 )
ii) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ (𝑏𝑏 > 0 ˄ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 2 )
TEOREMA 39. i) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ [𝑏𝑏 < 0 ˅ (𝑏𝑏 ≥ 0 ˄ 𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏 2 )]
ii) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ [𝑏𝑏 < 0 ˅ (𝑏𝑏 ≥ 0 ˄ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 2 )]

7. ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES

7.1. ECUACIONES CON RADICALES: Son expresiones en que la variable aparece bajo un signo radical. Por
ejemplo, si p(x) es una proposición que contiene a la variable x, entonces:
3 4
�𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏, �𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐, �𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑, etc. Son ecuaciones con radicales.
En esta unidad solo desarrollaremos ecuaciones con radicales que contengan raíces cuadradas. Antes de
resolver problemas recordemos que:
Si 𝑝𝑝(𝑥𝑥) es un número real positivo, entonces 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ∈ ℝ ˄ 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ≥ 0. Esta inecuación constituye el universo
U dentro del cual se resuelve la inecuación radical.
La técnica de resolver ecuaciones con radicales consiste en escribir una ecuación equivalente que contenga
un solo radical en un miembro y todos los demás términos en el otro. Después eliminar el radical elevando
al cuadrado a ambos miembros, aplicando el siguiente teorema:

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TEOREMA 40. Si 𝑏𝑏 ∈ ℝ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 ∈ ℝ+ , entonces:

√𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ (𝑏𝑏 ≥ 0 ˄ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 2 )
Ejemplos.
7.2. INECUACIONES CON RADICALES: Para resolver inecuaciones con radicales se sigue el mismo criterio que
para resolver ecuaciones con radicales, teniendo en cuenta los siguientes teoremas:

TEOREMA 35.
i) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ 𝑏𝑏 ≥ 0 ⟶ (√𝑎𝑎 ≤ √𝑏𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏)
ii) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ 𝑏𝑏 > 0 ⟶ (√𝑎𝑎 < √𝑏𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏)
COROLARIO: Si n es un número entero positivo par, entonces:
𝑛𝑛 𝑛𝑛
a) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ 𝑏𝑏 ≥ 0 ⟶ ( √𝑎𝑎 ≤ √𝑏𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏)
𝑛𝑛 𝑛𝑛
b) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ 𝑏𝑏 > 0 ⟶ ( √𝑎𝑎 < √𝑏𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏)
TEOREMA 36. Si n es un número entero positivo impar, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛
i) √𝑎𝑎 ≤ √𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ii) √𝑎𝑎 < √𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 iii) √𝑎𝑎 > 0 ↔ 𝑎𝑎 > 0
𝑛𝑛
iv) √𝑎𝑎 < 0 ↔ 𝑎𝑎 < 0
TEOREMA 37: Para a y b en ℝ se cumplen las siguientes propiedades:
i) √𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 ≥ 0 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ 𝑏𝑏 ≥ 0 ii) √𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 ≤ 0 ↔ 𝑎𝑎 = 0 ˄ 𝑏𝑏 = 0
TEOREMA 38. i) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ (𝑏𝑏 ≥ 0 ˄ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 2 )
ii) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ (𝑏𝑏 > 0 ˄ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 2 )
TEOREMA 39. i) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ [𝑏𝑏 < 0 ˅ (𝑏𝑏 ≥ 0 ˄ 𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏 2 )]
ii) 𝑆𝑆𝑆𝑆 √𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 0 ˄ [ 𝑏𝑏 < 0 ˅ (𝑏𝑏 ≥ 0 ˄ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 2 )]
Ejemplos.
8. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL: El valor absoluto de un número real a, denotado por |𝑎𝑎|, se
define por la regla:
𝑎𝑎, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ≥ 0
|𝑎𝑎| = �
−𝑎𝑎, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 < 0
Ejemplos.
Las ecuaciones e inecuaciones donde intervienen valores absolutos se resuelven teniendo como base los
siguientes teoremas:
TEOREMA 41. ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ: i) |𝑎𝑎| ≥ 0
ii) |𝑎𝑎| = 0 ↔ 𝑎𝑎 = 0
TEOREMA 42. ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ: |𝑎𝑎| = 𝑎𝑎2 2

TEOREMA 43. ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ: |𝑎𝑎| = √𝑎𝑎2

TEOREMA 44. ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ: |𝑎𝑎| = |−𝑎𝑎|
TEOREMA 45. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ: |𝑎𝑎𝑎𝑎| = |𝑎𝑎||𝑏𝑏|
𝑎𝑎 |𝑎𝑎|
TEOREMA 46. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑏𝑏 ≠ 0, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒: � � = |𝑏𝑏|
𝑏𝑏
TEOREMA 47. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ: |𝑎𝑎 + 𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑏𝑏| (Desigualdad triangular)
TEOREMA 48. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ: i) |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑏𝑏|
ii) |𝑎𝑎| − |𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|
TEOREMA 49. |𝑎𝑎| = 𝑏𝑏 ↔ (𝑏𝑏 ≥ 0) ˄ (𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏)
TEOREMA 50. |𝑎𝑎| = |𝑏𝑏| ↔ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏
TEOREMA 51. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 ≥ 0 𝑦𝑦 |𝑎𝑎| ≤ 𝑏𝑏 ↔ −𝑏𝑏 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏
COROLARIO: 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 ≥ 0 𝑦𝑦 |𝑎𝑎| < 𝑏𝑏 ↔ −𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏
TEOREMA 52. 𝑆𝑆𝑆𝑆 |𝑎𝑎| ≥ 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 ≤ −𝑏𝑏
COROLARIO: 𝑆𝑆𝑆𝑆 |𝑎𝑎| > 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 < −𝑏𝑏
TEOREMA 53. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ: |𝑎𝑎| ≤ |𝑏𝑏| ↔ 𝑎𝑎2 ≤ 𝑏𝑏 2
OTRAS PROPIEDADES:
i) ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ ⟶ �|𝑎𝑎| − |𝑏𝑏|� ≤ |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|
ii) ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ ⟶ 𝑎𝑎 ≤ |𝑎𝑎|
iii) ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ ⟶ −𝑎𝑎 ≤ |𝑎𝑎|
iv) ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ ⟶ −|𝑎𝑎| ≤ 𝑎𝑎 ≤ |𝑎𝑎|

Ing. José Ramón Herrera Machuca 6 Sistema de los Números Reales

Universidad Nacional de Cajamarca Matemática

8.1. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. Los teoremas que nos permiten solucionar ecuaciones con valor
absoluto son los siguientes:
TEOREMA 49. |𝑎𝑎| = 𝑏𝑏 ↔ (𝑏𝑏 ≥ 0) ˄ (𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏)
Donde b es el universo dentro del cual se resuelve la ecuación.
TEOREMA 50. |𝑎𝑎| = |𝑏𝑏| ↔ (𝑎𝑎 = 𝑏𝑏) ˅ (𝑎𝑎 = −𝑏𝑏)
Ejemplos.
8.2. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. En la resolución de inecuaciones con valor absoluto usaremos
los siguientes teoremas:
TEOREMA 51. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 ≥ 0 𝑦𝑦 |𝑎𝑎| ≤ 𝑏𝑏 ↔ −𝑏𝑏 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏
COROLARIO: 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 ≥ 0 𝑦𝑦 |𝑎𝑎| < 𝑏𝑏 ↔ −𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏
TEOREMA 52. 𝑆𝑆𝑆𝑆 |𝑎𝑎| ≥ 𝑏𝑏 ↔ (𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏) ˅ (𝑎𝑎 ≤ −𝑏𝑏)
COROLARIO: 𝑆𝑆𝑆𝑆 |𝑎𝑎| > 𝑏𝑏 ↔ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ˅ 𝑎𝑎 < −𝑏𝑏
TEOREMA 53. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ: |𝑎𝑎| ≤ |𝑏𝑏| ↔ 𝑎𝑎2 ≤ 𝑏𝑏 2
Ejemplos.
9. EL MÁXIMO ENTERO DE UN NÚMERO REAL. Sea 𝑥𝑥 un número real fijo y 𝑀𝑀𝑀𝑀 el conjunto de los números
enteros 𝑛𝑛 que son menores o iguales a 𝑥𝑥, esto es,
𝑀𝑀𝑀𝑀 = {𝑛𝑛 ∈ ℤ⁄𝑛𝑛 ≤ 𝑥𝑥}
Entonces, al mayor de los números enteros de este conjunto se le conoce como el máximo entero real de 𝑥𝑥,
y se denota:
⟦𝑥𝑥 ⟧ = max(𝑀𝑀𝑀𝑀) = max {𝑛𝑛 ∈ ℤ⁄𝑛𝑛 ≤ 𝑥𝑥}
7
Por ejemplo, para 𝑥𝑥 = = 3,5 tendremos el conjunto:
2
𝑀𝑀3,5 = {𝑛𝑛 ∈ ℤ⁄𝑛𝑛 ≤ 3,5} = {… , −2, −1,0,1,2,3}
Es decir: ⟦3,5⟧ = max(𝑀𝑀3,5 ) = 3
Que geométricamente se interpreta así:

⟦3,5⟧
𝑀𝑀3,5 𝑥𝑥

−∞ -1 0 1 2 3 3,5 4 +∞

DEFINICIÓN: En el sistema de los números reales se define el máximo entero de un número real 𝑥𝑥, a la
expresión denotada por ⟦𝑥𝑥 ⟧ = 𝑛𝑛, donde 𝑛𝑛 es el mayor entero, menor o igual a 𝑥𝑥, es decir:
⟦𝑥𝑥 ⟧ = 𝑛𝑛 ↔ ⟦𝑥𝑥 ⟧ = max {𝑛𝑛 ∈ ℤ⁄𝑛𝑛 ≤ 𝑥𝑥}
Ejemplos.
TEOREMAS SOBRE EL MÁXIMO ENTERO DE UN NÚMERO REAL
TEOREMA 54. ⟦𝑥𝑥 ⟧ ∈ ℤ, ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ
TEOREMA 56. ⟦𝑥𝑥 ⟧ ≤ 𝑥𝑥 < ⟦𝑥𝑥 ⟧ + 1, ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ
TEOREMA 57. 𝑆𝑆𝑆𝑆 ⟦𝑥𝑥 ⟧ = 𝑛𝑛 ↔ 𝑛𝑛 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑛𝑛 + 1, 𝑛𝑛 ∈ ℤ
TEOREMA 58. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ∈ ℤ, ⟦𝑥𝑥 ⟧ ≥ 𝑎𝑎 ↔ 𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎
TEOREMA 59. 𝑆𝑆𝑆𝑆 ⟦𝑥𝑥 ⟧ < 𝑎𝑎 ↔ 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎 ∈ ℤ
TEOREMA 60. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 ∈ ℤ 𝑦𝑦 ⟦𝑥𝑥 ⟧ ≤ 𝑎𝑎 ↔ 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎 + 1
TEOREMA 61. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑚𝑚 ∈ ℤ → ⟦x + m⟧ = ⟦x⟧ + m
TEOREMA 62. ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℝ, ⟦𝑥𝑥 ⟧ + ⟦𝑦𝑦⟧ < ⟦𝑥𝑥 + 𝑦𝑦⟧
0, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ∈ ℤ
TEOREMA 63. ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ: ⟦𝑥𝑥 ⟧ + ⟦−𝑥𝑥 ⟧ = �
−1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ∈ (ℝ − ℤ)
TEOREMA 64. ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑥𝑥 − 1 < ⟦𝑥𝑥 ⟧ ≤ 𝑥𝑥
TEOREMA 65. ∀𝑦𝑦 ∈ ℤ, y 𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 > 𝑥𝑥 → 𝑦𝑦 ≥ ⟦𝑥𝑥 ⟧ + 1 > 1⟦𝑥𝑥 ⟧
TEOREMA 66. ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ ℝ, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 → ⟦𝑥𝑥 ⟧ ≤ ⟦𝑦𝑦⟧
TEOREMA 67. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 − ⟦𝑥𝑥 ⟧ → 0 ≤ 𝑛𝑛 < 1
TEOREMA 68. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥 ∈ ℝ⁄𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 𝑛𝑛, 0 ≤ 𝑛𝑛 < 1 → 𝑦𝑦 = ⟦𝑥𝑥 ⟧
⟦𝑥𝑥⟧ 𝑥𝑥
TEOREMA 69. ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ y cualquier 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑛𝑛 > 0, se cumple: � � = � �
𝑛𝑛 𝑛𝑛
Bibliografía:
Figueroa, R. (2016) Matemática Básica I. Lima. Edit. RGM.

Ing. José Ramón Herrera Machuca 7 Sistema de los Números Reales