UNIVERSIDAD SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

ALGEBRA BOOLEANA
1. INTRODUCCION

El concepto moderno de algebra abstracta fue desarrollado por el matemático ingles George Boole en
su estudio de los sistemas abstractos generales, opuestos a los casos particulares de tales sistemas. En
su obra publicada en 1854, An Investigation of the Lows of Thought, creó un Sistema de lógica
matemática en términos que ahora llamamos álgebra booleana.

2. ALGEBRA DE BOOLE

Sea B un conjunto con al menos dos elementos. Se denomina álgebra de Boole a una estructura
algebraica que admite dos operaciones binarias ∧ 𝑦 ∨ en B, y una operación unitaria: la
complementación, que verifican los siguientes axiomas:

i) 𝑎∧𝑏 =𝑏∧𝑎 ; 𝑎∨𝑏 =𝑏∨𝑎 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠

ii) (𝑎 ∨ 𝑏) ∨ 𝑐 = 𝑎 ∨ (𝑏 ∨ 𝑐) ; (𝑎 ∧ 𝑏) ∧ 𝑐 = 𝑎 ∧ (𝑏 ∧ 𝑐) 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠
iii) 𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑐) = (𝑎 ∧ 𝑏) ∨ (𝑎 ∧ 𝑐) ; 𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) = (𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎 ∨ 𝑐) 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠
iv) ∀𝑎 ∈ 𝐵, 𝑎 ∧ 1 = 𝑎 , 𝑎 ∨ 0 = 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 𝑦 0 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠
v) 𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎̅, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑎 ∨ 𝑎̅ = 1 , 𝑎 ∧ 𝑎̅ = 0
2.1. EL PRINCIPIO DE DUALIDAD

Se denomina proposición dual correspondiente a una proposición del algebra de Boole, a la que resulta
de ella cambiando ∨ 𝑝𝑜𝑟 ∧ y viceversa, así como 0 por 1 y viceversa. Por ejemplo, son duales las
siguientes proposiciones

𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑎) ⇔ 𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 𝑎)
𝑎 ∧ (𝑏 ∨ 0) ⇔ 𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 1)
(0 ∨ 1) ∧ 𝑎 ⇔ (1 ∧ 0) ∨ 𝑎

2.2. PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE

Para cualquier álgebra booleana (B,∧,∨) si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵, entonces

1) 𝑎 ∨ 𝑎 = 𝑎 , 𝑎∧𝑎 =𝑎
2) 𝑎 ∨ 1 = 1 , 𝑎∧0 =0
3) 𝑎 ∨ (𝑎 ∧ 𝑏) = 𝑎 , 𝑎 ∧ (𝑎 ∨ 𝑏) = 𝑎
4) ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 ∨ 𝑏 = 𝑎̅ ∧ 𝑏̅ , ̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎̅ ∨ 𝑏̅

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5) 𝑎̿ = 𝑎 , ̅=0
1 , ̅=1
0

Ahora se definirá una importante álgebra+ de Boole que será la base en las siguientes secciones.
Sea B={0,1} y sean ∨= + 𝑦 ∧= ∙ las operaciones binarias suma y producto lógico,
respectivamente, definidas como sigue:

+ 0 1

0 0 1
1 1 1

. 0 1
0 0 0
1 0 1
Así pues, es fácil demostrar que el conjunto B junto con las operaciones indicadas es un álgebra de
Boole. Asimismo el conjunto 𝐵𝑛 = {(𝑎1 , 𝑎2 , … . . , 𝑎𝑛 )⁄𝑎𝑖 ∈ 𝐵, 𝑖 = 1, 2, … … . , 𝑛} es un álgebra de
Boole.

Si 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , … . . , 𝑎𝑛 ) ∈ 𝐵𝑛 𝑦 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 , … . . , 𝑏𝑛 ) ∈ 𝐵𝑛

Entonces

𝑎 + 𝑏 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , … . . , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )

𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎1 𝑏1 , 𝑎2 𝑏2 , … . . , 𝑎𝑛 𝑏𝑛 )

𝑎̅ = (𝑎
̅̅̅,
1 ̅̅̅,
𝑎2 … . . , ̅̅̅)
𝑎𝑛

3. FUNCIONES BOOLEANAS
Sea 𝐵 = {0,1} y sea Bn , una función definida como 𝑓: 𝐵𝑛 → 𝐵 es una función booleana, o de
conmutación. Estas funciones pueden verse como funciones de n variables, donde cada uno
de ellas toma solo valores 0 y 1. A estas variables se denominan variables booleanas.
Ejemplo
Sea 𝑓: 𝐵3 → 𝐵 tal que 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧 + 𝑦 . Encuentre el valor de la función booleana, para
cada una de las 23 posibles asignaciones a las variables x, y, z.
Solución
Primero construyamos una tabla con las 8 posibles combinaciones de ceros y unos (ídem a una
tabla de verdad en lógica)

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Luego, considerando la definición anterior para la suma y el producto lógico, se obtiene los
valores de la función booleana como sigue:
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑧 𝑓 = 𝑥𝑧 + 𝑦
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1

Nota: la definición anterior indica

0+0 = 0 ; 0+1 = 1+0 = 1 ; 1+1 = 1
0∙0 =0 ; 0∙1 = 1∙0 = 0 ; 1∙1 = 1

3.1. PROPIEDADES
Sean 𝑓, 𝑔, ℎ: 𝐵𝑛 → 𝐵 funciones booleanas arbitrarias y sean x, y, z las variables booleanas
arbitrarias. Las propiedades que satisfacen estas funciones y las variables booleanas son:
1. Leyes de Idempotencia
𝑓+𝑓 = 𝑓 ; 𝑓∙𝑓=𝑓
𝑥+𝑥 = 𝑥 ; 𝑥∙𝑥=𝑥
2. Leyes asociativas:
(𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ ) ; (𝑓 ∙ 𝑔) ∙ ℎ = 𝑓 ∙ (𝑔 ∙ ℎ)
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) ; (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑧)
3. Leyes Conmutativas:
𝑓+𝑔 = 𝑔+𝑓 ; 𝑓∙𝑔 = 𝑔∙𝑓
𝑥+𝑦 = 𝑦+𝑥 ; 𝑥∙𝑦 = 𝑦∙𝑥
4. Leyes Distributivas
𝑓 ∙ (𝑔 + ℎ ) = 𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ ℎ ; 𝑓 + (𝑔 ∙ ℎ ) = (𝑓 + 𝑔) ∙ (𝑓 + ℎ)
𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 ; 𝑥 + (𝑦 ∙ 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑧)
5. Leyes de identidad
𝑓+0= 𝑓 ; 𝑓+1=1 ; 𝑓∙1= 𝑓 ; 𝑓∙0= 0
𝑥+0 =𝑥 ; 𝑥+1 =1 ; 𝑥∙1= 𝑥 ; 𝑥∙0 = 0

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6. Leyes de Complemento
̅=1
0 ; 𝑓 + 𝑓̅ = 1 ; ̅=0
1 ; 𝑓 ∙ 𝑓̅ = 0
̅=1
0 ; 𝑥 + 𝑥̅ = 1 ; ̅=0
1 ; 𝑥 ∙ 𝑥̅ = 0
7. Ley del doble Complemento
𝑓̿ = 𝑓 ; 𝑥̿ = 𝑥
8. Leyes de De Morgan
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑓 + 𝑔) = 𝑓 ̅ ∙ 𝑔̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑓 ̅ + 𝑔̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑥 + 𝑦) = 𝑥̅ ∙ 𝑦̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑥̅ + 𝑦̅
9. Leyes de Absorción
𝑓 + (𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑓 ; 𝑓 ∙ (𝑓 + 𝑔) = 𝑓
𝑥 + (𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑥 ; 𝑥 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥
𝑥 + (𝑥̅ ∙ 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 ; 𝑥̅ ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥̅ ⋅ 𝑦
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ; 𝐴𝑐 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑝 ; 𝑝 ∨ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) = 𝑝 ∨ 𝑞

Ejemplo:
1. Demuestre que 𝑥 + 𝑥̅ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
Solución
𝑥 + 𝑥̅ ∙ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦

2. Simplificar
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 (𝑥̅ + 𝑦) + 𝑧̅ + 𝑦𝑧
Solución: Por la propiedad distributiva, de complemento y de absorción se obtiene
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 ∙ (𝑥̅ + 𝑦) + 𝑧̅ + 𝑦 ∙ 𝑧 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑧̅ + 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦 + 𝑧̅ 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 + 𝑧̅

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3.2. FORMAS NORMALES DISYUNTIVA Y CONJUNTIVA

Para cualquier 𝑛 ∈ 𝑁, si 𝑓 es una función booleana sobre las n variables 𝑥1 , 𝑥2 , … … … . , 𝑥𝑛

entonces se dice que:

i) Una representación de 𝑓 como una suma de productos es una forma normal

disyuntiva (f.n.d.) de 𝑓. Por ejemplo:
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 + 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ + 𝑥𝑦𝑧̅
La función 𝑓 está en la f.n.d. porque cada una de las variables x, y, z aparece (a veces
complementada, a veces no) en cada uno de los productos (o términos). Cada
producto se denomina mintérmino.
ii) Una representación de 𝑓 como un producto de sumas es una forma normal conjuntiva
(f.n.c.) de 𝑓. Por ejemplo:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦̅ + 𝑧) ∙ (𝑥̅ + 𝑦 + 𝑧) ∙ (𝑥̅ + 𝑦 + 𝑧̅)
La función 𝑓 está en la f.n.c. pues está expresada como un producto de términos, cada
uno de los cuales es una suma de variables individuales, unas veces complementada y
otras no. Cada término, o suma completa, se denomina maxtérmino.
23 = 8

Ejemplo

Encuentre la f.n.d y f.n.c. de 𝑓: 𝐵3 → 𝐵 dada en la siguiente tabla de valores

Nro. De
𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 = 𝑥𝑧 + 𝑦
equivalencia
decimal

0 0 0 0 0 𝑥+𝑦+𝑧
1 0 0 1 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧̅
2 0 1 0 1 𝑥̅ 𝑦𝑧̅
3 0 1 1 1 𝑥̅ 𝑦𝑧
4 1 0 0 0 𝑥̅ + 𝑦 + 𝑧
5 1 0 1 1 𝑥𝑦̅𝑧
6 1 1 0 1 𝑥𝑦𝑧̅
7 1 1 1 1 𝑥𝑦𝑧

Así, la f.n.d. de f es 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ + 𝑥̅ 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦̅𝑧 + 𝑥𝑦𝑧̅ + 𝑥𝑦𝑧 SUMA DE PRODUCTOS

Esta función puede expresarse también como 𝑓 = ∑(2,3,5,6,7) MINITERMINOS

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Así, la f.n.c. de f es 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧̅)(𝑥̅ + 𝑦 + 𝑧) PRODUCTO DE SUMAS

Esta función puede expresarse también como 𝑓 = ∏(0,1,4) MAXTERMINOS

4. REDES DE PUERTAS LOGICAS

La importancia de las funciones booleanas, o de conmutación, radica en su implementación
por medio de puertas lógicas (dispositivos electrónicos).
4.1. FUNCION AND
El símbolo del dispositivo que puede realizar el producto lógico de dos variables x e y,
asimismo el dispositivo que realice el producto lógico de muchas variables.
4.2. FUNCION OR
La representación del dispositivo que realiza la suma lógica de dos variables x e y, también
del dispositivo que realiza la suma lógica de muchas variables.
4.3. INVERSOR (NOT)
Un inversor es una puerta lógica que tiene solamente una entrada y una salida, donde la
salida es el complemento lógico de la entrada.
4.4. FUNCION OR-EXCLUSIVE
Se llama función or-exclusive a la operación binaria que se representa por el símbolo ⊕ y
se define como:
𝑥⨁𝑦 = 𝑥𝑦̅ + 𝑥̅ 𝑦
Cuya tabla de valores es:
x y 𝑥⨁𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

4.5. FUNCION NAND Y NOR

Se llama función NAND al complemento de la función AND, es decir, para dos variables x
e y se escribe 𝑥𝑦
̅̅̅ y se lee “NOT x AND y”. Está operación NOT-AND abreviadamente se
denomina NAND. Análogamente, la función NOR es el complemento de la función OR, es
decir, ̅̅̅̅̅̅̅
𝑥 + 𝑦 que se lee “NOT x OR y”.

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5. MAPAS DE KARNAUGH
Para la simplificación y minimización de funciones booleanas con no más de seis variables,
usamos un método gráfico llamado mapa de Karnaugh, desarrollado en 1953 por Maurice
Karnaugh.
El mapa es un diagrama hecho de cuadrados, en que cada cuadrado representa un
minitérmino. Los cuadrados a los minitérmino que producen 1 para la función se marcan con
un "1" y los restantes con "0" o se dejan vacíos. Para reconocer varios patrones y combinar
cuadrados marcados por 1 en el mapa, es posible derivar las expresiones algebraicas alternas
para la función, a partir de las cuales se puede seleccionar la más conveniente.
Los mapas para las funciones de dos, tres y cuatro variables se muestran en las siguientes
figuras.

𝟐𝟐 = 𝟒

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XY 0 = 𝑦̅ 1=𝑦
0 = 𝑥̅ 0 1
1=𝑥 2 3

𝟐𝟑 = 𝟖

𝟐𝟒 = 𝟏𝟔

xy
zu 00 01 11 10
00 0 1 3 2 𝑥̅ ; 𝑦̅
01 4 5 7 6 𝑥̅ ; 𝑦
11 12 13 15 14 𝑥 ; 𝑦
10 8 9 11 10 𝑥 ; 𝑦̅
𝑧̅ ; 𝑢̅ 𝑧̅ ; 𝑢 𝑧 ; 𝑢 𝑧 ; 𝑢̅

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El número de cuadrados en un mapa de "n" variables es 2n minitérminos y son listados por un

número decimal equivalente para fácil referencia. Los números de minitérminos son asignados
en un arreglo ordenado de tal manera que los cuadrados adyacentes representen los
minitérminos que difieren solamente en una variable. Los nombres de las variables son listados
a través de ambos lados de la línea diagonal en la esquina del mapa. Los 1 y 0 marcados a lo
largo de cada fila y de cada columna designan el valor de las variables. Cada variable debajo
de los paréntesis contiene la mitad de los cuadrados en el mapa en donde aquella variable
aparece sin comillas (no complementada). La variable aparece con una comilla
(complementada) en la mitad de los cuadrados. Toda la información que aparece en los mapas
de la figura, no siempre es necesaria, en esta oportunidad se muestra solamente a modo
explicativo.

El minitérmino representado por un cuadrado es determinado de la asignación binaria de las

variables a lo largo de los bordes izquierdo y superior del mapa. Note que el orden de las
combinaciones no es binario natural, sino que es código Gray(00, 01, 11, 10), esto debido a
que el funcionamiento del método se basa en combinaciones adyacentes.

A continuación se muestran algunos ejemplos de representación en mapa de Karnaugh de

distintas funciones a partir de su tabla de verdad, este mapa representará los valores a
minimizar cuando la función arroje un valor igual a 1.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. 𝑓: 𝐵4 → 𝐵
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝑥̅ 𝑦 + 𝑧𝑡 + 𝑦̅)(𝑥𝑦𝑧 + 𝑦̅𝑡 )(𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡)
a. Simplificar con las leyes del algebra de Boole
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝑥̅ 𝑦 + 𝑧𝑡 + 𝑦̅)(𝑥𝑦𝑧 + 𝑦̅𝑡 )(𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡) 𝑓. 𝑛. 𝑐.
(𝑥̅ 𝑦 + 𝑧𝑡 + 𝑦̅)(𝑥𝑦𝑧 + 𝑦̅𝑡 )(𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
[(𝑥̅ 𝑦 + 𝑧𝑡 + 𝑦̅)𝑥𝑦𝑧 + (𝑥̅ 𝑦 + 𝑧𝑡 + 𝑦̅)𝑦̅𝑡](𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
(𝑥̅ 𝑦𝑥𝑦𝑧 + 𝑧𝑡𝑥𝑦𝑧 + 𝑦̅𝑥𝑦𝑧 + 𝑥̅ 𝑦𝑦̅𝑡 + 𝑧𝑡𝑦̅𝑡 + 𝑦̅𝑦̅𝑡)(𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
(0 + 𝑡𝑥𝑦𝑧 + 0 + 0 + 𝑧𝑦̅𝑡 + 𝑦̅𝑡)(𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
(𝑡𝑥𝑦𝑧 + 𝑧𝑦̅𝑡 + 𝑦̅𝑡)(𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡) 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
(𝑡𝑥𝑦𝑧 + 𝑧𝑦̅𝑡 + 𝑦̅𝑡)𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + (𝑡𝑥𝑦𝑧 + 𝑧𝑦̅𝑡 + 𝑦̅𝑡)𝑦 + (𝑡𝑥𝑦𝑧 + 𝑧𝑦̅𝑡 + 𝑦̅𝑡)𝑥𝑧̅𝑡
𝑡𝑥𝑦𝑧𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑧𝑦̅𝑡𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦̅𝑡𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑡𝑥𝑦𝑧𝑦 + 𝑧𝑦̅𝑡𝑦 + 𝑦̅𝑡𝑦 + 𝑡𝑥𝑦𝑧𝑥𝑧̅𝑡 + 𝑧𝑦̅𝑡𝑥𝑧̅𝑡 + 𝑦̅𝑡𝑥𝑧̅𝑡
0 + 0 + 0 + 𝑡𝑥𝑧𝑦 + 0 + 0 + 0 + 0 + 𝑦̅𝑥𝑧̅𝑡 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑡𝑥𝑧𝑦 + 𝑦̅𝑥𝑧̅𝑡
𝑥𝑦𝑧𝑡 + 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡

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b. Verificar el resultado anterior con las tablas de verdad, obteniéndose la sumatoria de mintérminos.
24 = 16
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝑥̅ 𝑦 + 𝑧𝑡 + 𝑦̅)(𝑥𝑦𝑧 + 𝑦̅𝑡 )(𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡)

Nro de x y z t (𝑥̅ 𝑦 + 𝑧𝑡 + 𝑦̅) (𝑥𝑦𝑧 + 𝑦̅𝑡 ) (𝑥̅ 𝑧𝑡̅ + 𝑦 + 𝑥𝑧̅𝑡) 𝑓

equivalenci
a decimal
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0
3 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
4 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
5 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0
7 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
8 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
9 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1
10 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
11 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
12 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
13 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
14 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
15 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = ∑ (9,15)
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑦𝑧𝑡

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c. Conducir el resultado a un mapa de Karnaugh

xy
zt 00 01 11 10
0 1 3 2
00 𝑥̅ ; 𝑦̅
4 5 7 6
01 𝑥̅ ; 𝑦
12 13 14
11 1 15 𝑥 ; 𝑦
8 11 10
10 1 9 𝑥 ; 𝑦̅

𝑧̅ ; 𝑡̅ 𝑧̅ ; 𝑡 𝑧 ; 𝑡 𝑧 ; 𝑡̅

Agrupando las casillas 9: 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 15: 𝑥𝑦𝑧𝑡

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑥𝑦𝑧𝑡 + 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡

d. Elaborar una red de puertas lógicas

x
y

2. Dada la función booleana 𝑓: 𝐵4 → 𝐵

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝑥𝑦̅ + 𝑦̅𝑧̅ + 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅)(𝑥̅ 𝑧̅𝑡 + 𝑦̅𝑡 )(𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑦̅𝑡̅ + 𝑥𝑧𝑡̅)

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