EJERCICIOS PROPUESTOS CICLO SEMIANUAL UNHEVAL 2022

PRÁCTICA DIRIGIDA DE ARITMÉTICA

PRÁCTICA DIRIGIDA DE ARITMETICA
DIVISIBILIDAD Ejemplo:
Halla los divisores de 10 y 18.
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD DENTRO DE LOS
NÚMEROS NATURALES • 10: 1; 2; 5; 10

La divisibilidad es parte de la teoría de los números que • 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18

estudia las condiciones que debe tener un número natural
para que se divida en forma exacta entre otro número natural
Ejemplo:
diferente de cero. Consideraremos como números naturales
a los siguientes: {0; 1; 2; 3; ...}. Indique los múltiplos de 7 en los naturales:

Múltiplos de 7 
 7K
Números divisibles o múltiplos K:0 1 2 3 ...............
Sean A y B dos números naturales. 7K: 0 7 14 21 ...............

1. Se dice que A es múltiplo de B si y sólo si existe K  

tal que A = B · K Observación

2. Si B  0 se dice que B divide a A o A es divisibile por B 1. El cero es múltiplo de todo número natural.
y se denota. o
0  n0  n ; n 
B A 
 si y sólo si A es múltiplo de B.
2. Todo número natural es múltiplo de sí mismo.
Nota: Si B A significa que B  0. o
nn
Ejemplos:
3. Todo número natural es múltiplo de la unidad.
24 8 24 es divisible entre 8. o
0 3 8 es divisor de 24. n 1 , n 1

Además: 4. Para números no divisibles: Si al dividir A entre B la

división no es exacta se obtendrá un residuo r d por
24 = 8(3)  24 es múltiplo de 8.
defecto y un residuo r e por exceso, se cumple
8 es “módulo” de 24. entonces:
o o
A=B  rd  B  re
En general:
Ejemplos:
Para A  , B    0 y K   :
o o
A=7  2  7  5
A B A es divisible entre B
0 K B es divisor de A o o
B=13  6  13  7
o o
Notación: A=B ó A=B ó A = BK

1
 TEORÌA CICLO SEMIANUAL UNHEVAL 2022

OBSERVACIONES: En consecuencia:

1. Operaciones con múltiplos de igual módulo. o

A=B  R o
Adición Sustracción  A  MCM B, C R
o
A=C  R
o o o o o o o
n n n  n n n  n

ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Multiplicación Potenciación
Son aquellas ecuaciones cuyas constantes son números
o o
enteros positivos.
o
n k   n
o
nk  n
Estas ecuaciones pueden tener dos o más incógnitas.
k k    0 La forma más común que se tiene para ecuaciones
diofánticas es:
Consecuencia: Ax + By = C
o
• abcde ( n )  n  e Donde A, B y C; x, y deben ser números enteros. Para
2 que la ecuación tenga solución se tiene la siguiente
o
• abcde ( n )  n  de ( n ) condición.
3
o
• abcde ( n )  n  cde ( n ) º
C=MCD  A, B

2. Si el producto de dos números es múltiplo de un Ejemplo:

módulo y uno de ellos tiene ningún factor en común
Halle las soluciones   de 4x + 6y = 18.
con dicho módulo, el otro número será múltiplo de o
dicho número. Como: 18  2 ; MCD(4; 6) = 2

Ejemplos: se tiene soluciones   .

o o
• 3n  7  n  7 2x + 3y = 9
o o o o
• 7 m  11  m  11 2x  3  3
o
2x  3
3. Si A es múltiplo de B entonces es múltiplo de cada
x=3
uno de los divisores de B.
y=1
Ejemplos:
Si:
A=3o APLICACIONES UTILIZANDO LA DIVISIBILIDAD

 Y EL BINOMIO DE NEWTON
o o
A=15  A=5 Con formas de producto:
 o
A=15
  no  R  no  R   no  R R
 1  2 1 2
  
4. Si A es múltiplo de B y tambien A es múltiplo de C Donde:
entonces A es múltiplo del mínimo común múltiplo
de B y C. R1 , R 2   
o
A=B o Ejemplos:
  A=MCM(B, C)
o  8o  2  8o  3   8o  6
A=C •   
  
o
A=4 o o •
 9o  1 9o  2  9o  4   9o  8
   
  A=MCM(4; 6)  12    
o
A=6 

2
TEORIA CICLO SEMIANUAL UNHEVAL 2022
Con formas potenciales: Criterio de divisibilidad por 8 y por 125
k
 no  R  no  R k Sea:
•   k 
 
N  abcde
k o o
 no  R  n  R k o
•   k es par N  ab  1000
  cde  N  8  cde  N  125  cde
  8 125

k o
 no  R  n R k Luego:
•   k es impar
  o o o
N = 8  cde = 8  4c + 2d + e = 8
Ejemplo: 000; 008; 016; 024; ....; 992

20
7o  2 o
 7  2 20
o o
  N  125  cde  125  cde : 000;125; 250;.....; 875
 
12
 9o  5  o Criterio de divisibilidad por 3 y por 9
   9  512
  Sea:
13
 8o  3  o N  abcde
   8  313
  N  a  10 4  b  10 3  c  10 2  d  10  e
Debemos recordar que si el número 1 se lleva a cualquier o o n

exponente, este sigue siendo igual a uno. Observamos: 10 n   3  1  3  1; n   

 

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Luego:
Son reglas prácticas aplicadas a las cifras de un numeral y
que nos permiten averiguar si dicho numeral es múltiplo o o o o
N = a(3 + 1) + b(3 + 1) + c(3 + 1) + d(3 + 1) + e
con respecto a cierto módulo, caso contrario, calcularemos
el residuo en forma directa. Los criterios a estudiar son
o
aplicables en el sistema decimal. N  3 a  b  c  d  e
o o
Criterio de divisibilidad por 2 y por 5 N  3abcde  3
o o n
Sea: Observamos: 10 n   9  1  9  1; n   
 
N  abcde
Luego:
o o
N  abcde  10
  e  N  2 e  N  5  e o o o o
2 5 N = a(9 + 1) + b(9 + 1) + c(9 + 1) + d(9 + 1) + e
Luego:
o o o
N  2  e  2  e : 0; 2; 4; 6; 8 N  9 a  b  c  d  e
o o o o
N  5  e  5  e : 0; 5 N 9 abcde 9

Criterio de divisibilidad por 4 y por 25 Criterio de la divisibilidad por 11

Sea: Sea:
A partir de la derecha las cifras del numeral
N  abcde N = abcdef se multiplican por +1; _ 1; +1; _1;...

o o
o o
N  abcde  100
  de  N  4  de  N  25  de N = 11  _a + b _ c + d _ e + f = 11
4 5

Luego: Ejemplos:

o o o o o
N = 4  de = 4  2d + e = 4 • 11341  11 ya que: 1 – 1 + 3 – 4 + 1 = 0 = 11
{

   
00; 04; 08; 12; ....; 96
o
o o
N  25  de  25  de : 00; 25; 50; 75 • 4755748  11 8 ya que: 4 – 7 + 5 – 5 + 7 – 4 + 8 =
     

o
8 = 11 8