Matsa22e6b 1

CUADERNO DE ACTIVIDADES
Matemática
María de los Ángeles Tapia • Matías Nuñez M. • Marcela Rojas C.
Granja
Productos
Mitad
precio
-15%
hoy -20%
-20%
-10%
-10% -30% -30%
3x2
e2
pa g u 3
e
y l lev
kg 5 en -10%
00 $1000
$15
$230 c/u
$1050 kg -20%
Sem
illa
$990
-50% -30%
Edición especial para el

Ministerio de Educación.
Prohibida su comercialización.
Matemática
6
º
básico
Cuaderno de Actividades
Marcela Rojas Carvajal

Licenciada en Matemática
Profesora de Educación Media en Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
Magíster en Didáctica de la Matemática
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
María Tapia González

Licenciada en Educación
Profesora de Educación Media en Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
Matías Núñez Malhue

Licenciado en Educación
Profesor de Matemática
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Este cuaderno pertenece a:
Nombre:
Curso:
Colegio:
El Cuaderno de Actividades Matemática 6° básico es una obra colectiva, creada y diseñada por el
Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección editorial de:
Rodolfo Hidalgo Caprile
Subdirección editorial: Cristian Gúmera Valenzuela

Coordinación editorial: Marcela Briceño Villalobos
Jefatura del área Matemática: Patricio Loyola Martínez
Edición: Daniel Catalán Navarrete
Autoría: Marcela Rojas Carvajal
Matías Núñez Malhue
Solucionario: Rebeca Suárez del Puerto
Corrección de estilo: Rodrigo Silva Améstica
Subdirección de Diseño: María Verónica Román Soto
Diseño y diagramación: Marcela Ojeda Ampuero
Claudia Barraza Martínez
Daniel Monetta Moscoso
Fotografías: Archivo Santillana
Getty Images
Shutterstock
Documentación: Cristian Bustos Chavarría
Producción: Rosana Padilla Cencever
En este libro se usan de manera inclusiva términos como «los niños»,

«los padres», «los hijos», «los apoderados», «los profesores» y otros
que se refieren a hombres y mujeres.
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas
en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
La editorial ha hecho todo lo posible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con
copyright que aparecen en el presente texto. Cualquier error u omisión será rectificado en futuras
impresiones a medida que la información esté disponible.
© 2021, by Santillana del Pacífico S. A. de Ediciones.
Avda. Andrés Bello 2299, piso 10, Providencia, Santiago (Chile).
www.santillana.cl - infochile@santillana.com
PRINTED IN Chile. Impreso en Chile por A Impresores.
ISBN: 978-956-15-3688-3 / Inscripción Nº: 2020-A-9532
Se terminó de imprimir esta 2ª edición de 128.416 ejemplares, en el mes de agosto del año 2021.
Santillana® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S. L. Todos los derechos reservados.
Pirmer año de uso facultativo
Presentación
Las actividades de este cuaderno te ayudarán a consolidar los

aprendizajes que alcanzarás este año. En cada unidad encontrarás
actividades diversas que te permitirán:
- Reforzar de manera autónoma los contenidos aprendidos en clase.
- Aplicar estrategias para resolver problemas con prácticas
desafiantes.
- Ampliar y profundizar tus habilidades de pensamiento crítico.
- Desarrollar tus habilidades comunicativas y de trabajo en equipo.
Iconografía
Trabaja en Usa una

forma grupal. calculadora.
En el Texto del Estudiante encontrarás invitaciones a trabajar en este

Cuaderno de Actividades a través de los íconos y .
Presentación 3
Índice
1 2
Unidad
Unidad
Nuestro planeta 6 La tecnología 58
Lección 1 Lección 5
Operaciones, múltiplos y factores....... 6 Patrones y lenguaje algebraico................... 58
• Operaciones de adición, sustracción, • Patrones en tablas .................................................... 58
multiplicación y división .......................................... 6 • Lenguaje algebraico ................................................ 64
• Múltiplos, factores y divisores ............................ 10 ¿Cómo vas?......................................................... 7O
• Números primos y compuestos ....................... 14
¿Cómo vas?.......................................................... 16 Lección 6
Ecuaciones .................................................................. 72
Lección 2
• Representación de ecuaciones ......................... 72
Fracciones y números mixtos.................. 18 • Resolución de ecuaciones ................................... 78
• Fracciones impropias y números mixtos ...... 18 ¿Cómo vas?......................................................... 84
• Fracciones impropias y números mixtos
en la recta numérica ............................................... 22 ¿Qué aprendiste?............................................ 86
• Adición y sustracción de fracciones
y números mixtos ..................................................... 26
¿Cómo vas?......................................................... 3O
Lección 3
Números decimales .......................................... 32
• Multiplicación con números decimales ...... 32
• División con números decimales .................... 38
¿Cómo vas?.......................................................... 42
Lección 4
Razones y porcentajes................................... 44
• Razones ........................................................................... 44
• Porcentajes ................................................................... 48
¿Cómo vas?.......................................................... 54
¿Qué aprendiste?............................................. 56
4
3 4
Unidad
Unidad
El arte 88 La salud 138
Construcciones geométricas................... 88 Representación de datos......................... 138
• Estimación y medición de ángulos.................. 88 • Comparación de distribuciones ..................... 138
• Construcción de ángulos....................................... 92 • Gráfico de barras dobles .................................... 142
• Construcción de triángulos................................... 96 • Gráfico circular ......................................................... 146
¿Cómo vas?...................................................... 1OO ¿Cómo vas?....................................................... 15O
Ángulos ....................................................................... 102 Tendencia de resultados........................... 152
• Ángulos en rectas que se intersecan .......... 102 • Experimentos aleatorios ..................................... 152
• Ángulos en triángulos y cuadriláteros ....... 106 • Repetición de experimentos y tendencia .... 155
• Cálculo de ángulos ................................................ 110 ¿Cómo vas?....................................................... 16O
¿Cómo vas?........................................................ 114 ¿Qué aprendiste?.......................................... 162
Lección 9
Teselaciones............................................................. 116
Solucionario.......................................................... 164
• Teselaciones regulares ......................................... 116
• Otras teselaciones .................................................. 120 Recortables............................................................ 190
¿Cómo vas?....................................................... 122
Lección 1O
Área y volumen.................................................... 124
• Área de cubos y paralelepípedos ................. 124
• Cálculo del área de cubos y
paralelepípedos ....................................................... 128
• Cálculo del volumen de cubos y
paralelepípedos ....................................................... 132
¿Cómo vas?....................................................... 134
¿Qué aprendiste?.......................................... 136
Índice 5
1 Nuestro planeta
Unidad
Lección 1: Operaciones, múltiplos y factores
Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división

1. Calcula.
a. 1 855 + 3 088 = f. 995 – 4 • 180 =
b. 10 088 – 7 116 = g. 996 : 12 + 99 =
c. 1 165 • 15 = h. 660 + 17 • 140 – 750 =
d. 12 • 3 099 = i. (5 762 – 2 178) : 14 =
e. 1 003 : 17 = j. 5 643 – (5 835 – 5 797) • 27 =
66 Unidad 1 • Nuestro planeta

2. Calcula.
a. 204 722 + 182 509 = e. 23 108 • 28 =
b. 2 043 124 – 1 576 773 = f. 256 162 : 526 =
c. 24 099 + 18 111 – 15 345 = g. 55 • 12 649 – 223 920 =
d. 405 335 – 62 040 + 13 854 = h. 10 824 : 123 + 1 045 =
3. Ciencias Analiza la información del problema .
Chile genera gases de efecto invernadero (GEI), tales como el dióxido de carbono (CO2) y
el metano. En 2016, se estima que se emitieron 13 959 687 500 kg de CO2 y
2 215 823 412 kg de metano.
Fuente: Ministerio del Medio Ambiente. «Tercer informe bienal de actualización de Chile sobre cambio climático, 2018».
a. ¿Cuántos kilogramos más de CO2 que de metano se emitieron en Chile en 2016?

Respuesta:
b. ¿Cuántos kilogramos de CO2 y metano se emitieron en total en Chile en 2016?

Respuesta:
4. Analiza cada problema y selecciona la operación que te permite resolverlo (adición,

sustracción, multiplicación o división).
a. El costo de un vehículo pequeño es $3 750 900. En un día se vendieron 45 de estos vehículos.
¿Cuánto dinero se recaudó?
Operación: .
b. En febrero asistieron al cine 1 425 950 personas y en marzo, 120 534 menos que en febrero.
¿Cuántas personas asistieron en marzo?
Operación: .
c. Un estanque puede contener hasta 18 500 L de líquido. Si hay 120 estanques iguales al
anterior llenos de agua, ¿cuántos litros de agua hay en total?
Operación: .
d. A un encuentro de tecnología asistieron 18 976 estudiantes de Perú, 8 954 de Argentina y

15 007 de Chile. ¿Cuántos estudiantes asistieron al encuentro?
Operación: .
Lección 1 • Operaciones, múltiplos y factores 77

5. Analiza la información del problema . Determina qué quiere comprar cada niño a partir de
la operación que imagina.
Una tienda ofrece los juguetes de las imágenes.
$5 000 $8 000 $9 000 $3 000
a.
Respuesta:
2 • 3 000 + 5 000
b.
Respuesta:
3 000 + 2 • 9 000 + 3 • 8 000
6. Resuelve el problema .
La población proyectada para nuestro país es:

2030 20 735 289 personas
2040 21 409 418 personas
2050 21 626 079 personas
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE, 2018).

«Estimaciones y proyecciones de la población de Chile 1992-1950».
a. ¿Cuántas personas más habrá en 2040 que en 2030?

Respuesta:
b. ¿Cuántas personas más habrá en 2050 que en 2040?
Respuesta:
c. ¿Cómo puedes saber cuántas personas más habrá en 2050 que en 2030 usando los resultados
que obtuviste antes?
Respuesta:

7. Resuelve los problemas .
a. Un parque tenía 12 543 hectáreas de bosques. Un incendio consumió 5 876 y una campaña de
reforestación recuperó 3 850. ¿Cuántas hectáreas tiene ahora?
Respuesta:
b. Amelia compró un computador. Pagó $200 000 en efectivo y el resto, en 3 cuotas de $95 400.
¿Cuánto pagó en total?
Respuesta:
c. La masa de un avión sin carga es 252 234 kg. Se le cargan 48 500 kg de combustible y suben
a ella 408 personas, de una masa promedio de 70 kg cada una. Si, en promedio, cada persona
transporta 20 kg de equipaje, ¿cuál es la masa total del avión, aproximadamente?
Respuesta:
d. Lee la situación y crea una pregunta cuya respuesta sea la que señala cada persona.
Un carro de un nuevo tipo de tren puede transportar a 220 personas, 40 de

ellas sentadas. Cada tren posee 6 de estos carros.
• • Aproximadamente,
•
Aproximadamente,
1 320 personas. 180 personas.
En 4 trenes.
Pregunta: Pregunta: Pregunta:

Múltiplos, factores y divisores
1. Compara los conceptos de factor y divisor, y describe cómo se relacionan.
2. Define el concepto de mínimo común múltiplo y describe cómo puedes calcularlo.
3. Determina los primeros seis múltiplos de los números.

a. M(5) = # , , , , , -
b. M(8) = # , , , , , -
c. M(10) = # , , , , , -
d. M(12) = # , , , , , -
e. M(15) = # , , , , , -
f. M(20) = # , , , , , -
g. M(45) = # , , , , , -
4. Descubre los múltiplos de los números destacados y márcalos en la lista.

a. b. c. d.
4 9 44 13
14 99 44 33
12 3 111 65
44 9 1 130
8 23 99 39
28 89 65 1 313
34 199 88 104
60 33 100 13
42 76 1 100 103
72 39 144 42

5. Considera esta sección de recta numérica:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
a. Representa con un los múltiplos de 3 y con un los de 6.

b. Relaciona tus marcas y resalta los números en que coinciden un y un .
c. De acuerdo con lo anterior, ¿qué múltiplos comunes de 3 y 6 hay en la sección de recta?
6. ¿Qué números naturales tienen como múltiplos comunes a 24, 36 y 40? Márcalos.
2 4 6 8 12
7. Determina el m. c. m. de los grupos de números.

a. 2 y 7
m. c. m.
b. 6 y 10
m. c. m.
c. 3, 4 y 5
m. c. m.
d. 10, 12 y 15
m. c. m.
e. 12, 16 y 20
m. c. m.

8. Recorta 24 cuadrados de papel. Forma rectángulos usando todos los cuadrados cada vez
y haz lo que se indica.
a. Representa con un dibujo cada rectángulo.
b. Escribe las posibles medidas de los lados de cada rectángulo.
9. Completa la tabla con los pares de factores y con los divisores de los números.
Número Pares de factores Divisores

8
16
28
32
96
10. Explica cómo determinarías el m. c. m. de los números 5, 6, 7 y 10.
11. Escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.
a. El número 16 tiene exactamente seis múltiplos.
b. Todo número impar tiene solo factores impares.
c. Para los números naturales 4 y 12, si 4 es divisor de 12, entonces 12 es múltiplo de 4.
d. Todos los divisores de 100 son 1, 2, 5, 10, 20, 50 y 100.

12. Resuelve los problemas . Reloj 1 Reloj 2
a. Cada vez que se vacía el vaso superior de uno de

los relojes de arena de la imagen, se lo voltea para
reiniciarlo. Si ambos relojes comenzaron a funcionar
al mismo tiempo, ¿en cuántos minutos se los
volteará simultáneamente?
6 min 9 min
Respuesta:
b. Inés va al cine cada 6 días y Juan, cada 10. Si ambos coincidieron un martes, ¿qué día de la
semana será su siguiente encuentro en el cine?
Respuesta:
c. La calle Los Cuervos recorre 30 cuadras. Cada 2 cuadras hay un semáforo; cada 3, un paradero, y
cada 4, una cámara de vigilancia. ¿Cuántas veces coinciden estos objetos en Los Cuervos?
Respuesta:
13. Explica cómo determinarías los primeros veinte múltiplos de 18 con la calculadora.
14. Analiza lo que dice cada niño y escribe 5 números que cumplan con lo que afirma.
a. b.
Tres de sus divisores
son 1, 2 y 3.
Cuatro de sus divisores
son 7, 8, 9 y 12.

Números primos y compuestos
1. Define.
a. Número primo.
b. Número compuesto.
.
2. Historia Dos integrantes. Cada uno lee la información del problema y modela el
procedimiento. Luego, comunican sus resultados y corrigen si es necesario.
Eratóstenes fue un matemático griego que midió con gran precisión la longitud del radio de
la Tierra. Es conocido también por su criba, procedimiento que permite determinar números
primos. Este consiste en eliminar todos los números compuestos de un listado de números.
El procedimiento de Eratóstenes es el siguiente:

- Encierra el primer número de la tabla y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
tacha todos sus múltiplos.
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
- Encierra el primer número no encerrado ni
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
tachado, y tacha todos sus múltiplos.
- Repite esto hasta que todos los números 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
estén encerrados o tachados. 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
a. ¿Cuáles son los números primos menores 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
o iguales que 100? 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
Respuesta: 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 98 99 100
b. ¿Coincidiste con tu compañero en la respuesta anterior?
Respuesta:
c. ¿Qué correcciones debes hacer?
Respuesta:
3. Descompón estos números y escríbelos como el producto de sus factores primos.

a. 20 = c. 57 =
b. 42 = d. 120 =

4. Responde cada pregunta. Escribe un ejemplo que apoye tu respuesta y argumenta.
a. ¿Son impares todos los números primos?
Respuesta:
b. ¿Existen números primos cuya última cifra sea 0?
Respuesta:
c. ¿Son primos todos los números impares?
Respuesta:
5. Analiza lo que concluye cada estudiante de la siguiente definición:
Dos números son primos relativos entre sí cuando su único divisor común es 1.
a y b son números naturales

a y b son números naturales mayores que 1 y primos
mayores que 1 y primos relativos entre sí. Entonces,
relativos entre sí. Entonces, a y b son números primos.
en sus descomposiciones
en factores primos no hay
factores comunes.
Sofía Martín
a. Verifica cada conclusión e indica si es correcta o incorrecta. Ejemplifica en cada caso.

Sofía: Martín:
b. Crea una definición para el concepto de «números primos relativos» aplicado a tres números
naturales y ejemplifícala.
Sintetiza
Relata una situación real en la que hayas aplicado alguno de los aprendizajes de esta lección.
¿Cuál fue la situación? ¿Qué contenido aplicaste?
Situación:
Contenido:

¿Cómo vas?
a. Un nuevo punto de reciclaje recibió 2 345 botellas el lunes, 3 098 el martes y 1 945 el
miércoles. Si el miércoles fueron retiradas 4 125 botellas, ¿cuántas hay el jueves, al iniciar el día?
Respuesta:
b. Alejandra leyó que un árbol maduro puede producir 300 L de oxígeno al día. Si en su patio
hay 20 árboles, ¿cuántos litros de oxígeno pueden producir en 1 año, aproximadamente?
Respuesta:

Pingüino emperador
La población actual del pingüino de la imagen se estima en

600 000 individuos. En 2019, la revista Global Change Biology
publicó un estudio que indica que esta cantidad disminuirá
drásticamente al 2100 debido al calentamiento global.
Dependiendo del aumento de la temperatura global, podemos
esperar los siguientes escenarios:
Variación de temperatura Población de pingüinos
Aumento en 1,5 °C 414 000 individuos
Aumento en 2 °C 336 000 individuos
Aumento en 5 °C 114 000 individuos
a. ¿Cuántos individuos menos habrá en 2100 si la temperatura aumenta 1,5 °C?

Respuesta:
b. ¿Cuántos individuos menos habrá en 2100 si la temperatura aumenta 2 °C?
Respuesta:
c. Considera los escenarios de aumento de temperatura en 1,5 °C y en 5 °C. ¿Cuál es la diferencia
entre la población de pingüinos estimada para 2100 en uno y otro escenario?
Respuesta:

3. Dos integrantes. Cada uno analiza una estrategia para obtener el m. c. m. de 12 y 20.
Estrategia 1 Estrategia 2
1° Multiplica los números. 12 • 20 = 240
12 20 :2
6 10 :2 2° Anota sus divisores e identifica el mayor
3 5 :3 de los que son comunes a ambos.
1 5 :5
1 Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Divisores de 20 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
El m. c. m. es el producto de los números 3° Divide el número obtenido en 1° por
primos por los que se fue dividiendo: el identificado en 2°. 240 : 4 = 60
2 • 2 • 3 • 5 = 60 4° El m. c. m. es 60.
Etapa 1 (grupal): El integrante que analizó la estrategia 1 la explica a su compañero, y el que

analizó la estrategia 2 la ejemplifica determinando el m. c. m. de 10 y 22.
Etapa 2 (individual): Evalúa las estrategias y señala una ventaja y una desventaja de cada una.
Estrategia 1
Estrategia 2
Etapa 3 (individual): Determina el m. c. m. de los pares de números usando la estrategia
que analizaste.
• 20 y 24 m. c. m. • 42 y 64 m. c. m.
• 28 y 36 m. c. m. • 50 y 75 m. c. m.
4. Verifica la afirmación «el producto de dos números primos también es primo». Decide si es
verdadera o falsa justificando y ejemplificando tu decisión.
Retroalimentación
Si tuviste dificultades con los siguientes contenidos, accede a estas actividades extras:
Realización de operaciones: Refuerza en https://bit.ly/39A2iye y revisa en https://bit.ly/2OOVGnm.
Comprensión de múltiplos y factores: Refuerza en https://bit.ly/37jZxPL y revisa en
https://bit.ly/2UNk50t.
¿Cómo vas? • Evaluación de Lección 1 17

Lección 2: Fracciones y números mixtos
Fracciones impropias y números mixtos

1. ¿Cómo diferencias una fracción propia de una impropia?
Respuesta:
2. Expresa como número mixto.
a. 15 = d. 21 =
4 2
b. 30 = e. 89 =
7 10
c. 18 = f. 74 =
4 9
3. Expresa como fracción impropia.
a. 1 4 = d. 17 5 =
5 6
b. 5 1 = e. 23 5 =
9 14
c. 7 3 = f. 45 9 =
5 44

4. Expresa cada fracción impropia como número mixto. Luego, señala la parte entera, el
numerador y el denominador del número mixto.
a. 15 c. 34
2 7
b. 17 d. 59
5 9
5. Determina la fracción con denominador 39 equivalente a 2 5 .

13
6. Relaciona cada representación de la izquierda con una de la derecha.
21
4
2 1
7
9
2
5 1
9
37
14
7. Explica la diferencia entre número natural y número mixto.
8. Analiza la afirmación «al amplificar una fracción impropia por un número natural, siempre se
obtiene otra fracción impropia». ¿Es verdadera?, ¿por qué?
Respuesta:
Lección 2 • Fracciones y números mixtos 19

a. Se reúnen 28 personas a comer pizza. Cada una
comerá un trozo como el que se muestra en la figura.
1 trozo
• ¿Cuántas pizzas deben comprar para que cada uno

coma al menos una porción?
Respuesta:
• ¿Qué número mixto representa la cantidad total de pizza que comerán?

Respuesta:
• ¿Es correcto afirmar que sobrará 1 de pizza?, ¿por qué?

2
Respuesta:
b. Lucas tiene botellas con las capacidades representadas.
Botella 1 Botella 2 Botella 3
• ¿Qué fracciones representan las capacidades?

Respuesta:
• ¿Qué números mixtos representan las capacidades?
Respuesta:
• ¿Cuál tiene mayor capacidad?, ¿y menor?
Respuesta:

c. Dos corredores están dando 14 vueltas a una cancha de fútbol.
4 3
Yo llevo 11 vueltas. Y yo, 13 .
5 4
Érika Sebastián
• Representa cada recorrido recortando trozos de papel y pintando de azul y rojo lo que
llevan y lo que les falta del trayecto total, respectivamente.
• Representa los recorridos con regiones.
Érika
Sebastián
• ¿Es correcto afirmar que Érika ha recorrido 44

5
del trayecto total?, ¿por qué?
Respuesta:
• ¿Puedes afirmar que Sebastián ha recorrido 55

3
del trayecto total?, ¿por qué?
Respuesta:
• ¿Es correcto afirmar que Sebastián ha recorrido una distancia mayor que Érika?, ¿por qué?
Respuesta:

Fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica
1. Dibuja una recta numérica y ubica los números.
2 1 17 5 2 1 1 11 4 3 5 7 21
4 4 4 4 8 8 8 8
2. Completa.
a. Una fracción propia se ubica entre los números naturales y en la recta numérica.
b. Un número mixto se ubica a la derecha del número natural en la recta numérica.
3. Explica cómo ubicas fracciones impropias y números mixtos en la recta numérica.
4. Evalúa y escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.

a. Una fracción impropia es siempre mayor que una propia.
b. Un número mixto puede expresarse como una fracción propia.
c. El número 1 1 expresado como fracción es 12 .

11 11
d. El número 3 1 es equivalente a 6 2 .
4 8
e. El número 11 expresado como número mixto es 4 3 .

2 2

5. Observa la sección de recta numérica:
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
Aplica las siguientes acciones:

- Expresa los números como fracciones.
- Encierra en azul aquellos cuyo numerador es menor que su denominador.
- Encierra en verde aquellos cuyo numerador es igual que su denominador.
- Encierra en rojo aquellos cuyo numerador es mayor que su denominador.
a. ¿Con qué color encerraste las fracciones impropias?
Respuesta:
b. ¿Con qué color encerraste las fracciones propias?

Respuesta:
6. Utiliza la regla para determinar si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica.
Considera cada medida

como un punto en la
recta numérica definida
en la regla.
a. 2 1 cm se ubica a la derecha de 3 cm.

3
b. 4,5 cm y 9 cm se ubican en la misma posición.

2
c. 8 3 cm se ubica entre 8 cm y 17 cm.

10 2
d. 7 1 cm se ubica entre 7 1 cm y 7 3 cm.

3 2 5
e. Si un punto ubicado en 33 cm se mueve 12 mm a la derecha, estará en 9 cm.

5

7. Analiza la información del problema y expresa tus respuestas en kilómetros.
Se está realizando una carrera de 10 km. Los tres primeros kilómetros se

representan en la imagen.
A B C
0 1 2 3
a. ¿Cuál es la ubicación de los corredores A, B y C?

Respuesta:
b. ¿En qué ubicación estará A si avanza 1 km?

4
Respuesta:
c. ¿Qué distancia separa a C de A?, ¿y a C de la meta?

Respuesta:
8. Tres integrantes.
Etapa 1 (individual): Ubica 19 en la recta numérica.
2
Etapa 2 (grupal): Cada integrante amplifica fracción por 2, 3 y 4, respectivamente.
Etapa 3 (individual): Ubica en la recta numérica la fracción que obtuviste por amplificación.
Etapa 4 (grupal): Establecen en conjunto una conclusión respecto de la ubicación de las
fracciones anteriores.
Conclusión:

Una serie de estudios de cambio climático y medioambiente indican que las

concentraciones de gases de efecto invernadero (GEI) han alcanzado niveles récord.
Concentración de GEI en el planeta
Tiempo (años) Cantidad de GEI (ppm) ppm (partes por millón):

indica las partes de un ga
s
1985 - 1995 1 21 presentes en 1 millón de
50 partes del total.
1995 - 2005 186
100
2005 - 2015 309
150
Fuente: Noticias ONU. «Esto es lo que dicen los científicos: el
cambio climático llega antes y más fuerte de lo previsto, 2019».
a. Expresa las concentraciones como fracciones con denominador 50.

Respuesta:
b. Expresa las concentraciones como números decimales y ubícalos, en forma aproximada, en

una recta numérica.
c. Escribe las concentraciones de la menor a la mayor. A lo largo del tiempo, ¿ha habido un
aumento o una disminución en la concentración de GEI?
Respuesta:
d. Expresa las concentraciones como fracciones de denominador 1 000. Compara los

numeradores y propón una estimación para la concentración de GEI en el período 2015-2025.
Respuesta:

Adición y sustracción de fracciones y números mixtos
1. Calcula.
a. 1 3 + 5 4 = f. 25 9 + 21 – 10 5 =
11 22 18 18 18
b. 137 – 5 7 = g. 9 – 33 – 1 1 =
6 9 9 4
c. 9 + 3 5 – 7 = h. 27 + 11 – 3 1 =
12 8 4 6 3 9
d. 7 5 – 3 + 1 5 = i. 5 1 + 1 1 – 7 =
9 12 2 2
e. 138 + 11 + 5 1 = j. 11 4 – c39 – 51 m =

13 26 13 12 6 18

2. Relaciona uniendo con una línea cada operación de la izquierda con una de la derecha.
Considera que las regiones están divididas en partes equivalentes.
11 – 15
«menos» 3 7
28 + 11
«menos» 18 8
«más» 13 + 1
10
33 – 13
«menos» 12 8
«más» 1 7 – 7
8 4
3. Analiza la situación.
Juan escribió
7 1 + 37 = 64 + 37 = 64 + 3 + 37 + 1 = 67 + 38 = 105
9 27 9 27 27 27 27
a. ¿Qué error cometió?

Respuesta:
b. Escribe el desarrollo correcto.
c. Describe un método para enseñar a Juan a sumar fracciones y números mixtos.

4. Escribe la operación o el número que corresponde para que se cumpla cada igualdad.
a. 2 3 1 = 11 c. – 23 = 87
8 8 7 10
b. 23 + = 4 7 d. 3 9 7 1 = 487
5 10 11 4 44
5. Analiza los procedimientos de Ana y Carlos.
El profesor de Matemática pidió a Ana y a Carlos resolver 3 5 + 1 4 . Cada uno aplicará

7 9
una estrategia diferente.
Sumaré primero las partes

Primero transformaré los
enteras entre sí y luego las
números mixtos en fracciones
fracciones. Después, sumaré
impropias y después sumaré.
los resultados.
Ana Carlos
a. ¿Qué resultado obtendrá cada estudiante?, ¿serán iguales o diferentes?
Respuesta:
b. Ahora, el profesor les pide que, en vez sumar, resten los mismos números. ¿Qué resultado
obtendrá cada estudiante si aplica su estrategia?, ¿serán iguales o diferentes?
Respuesta:

c. Reflexiona acerca de las estrategias. ¿Qué conclusiones puedes obtener para la adición y la
sustracción, respectivamente?
Respuesta:
6. Dos integrantes. Cada uno selecciona una estrategia para resolver 3 1 + 37 – 1 4 .

5 10 15
Estrategia 1 Estrategia 2
1. Expresa todos los términos como fracciones impropias.
2. Calcula el m. c. m. de 5, 10 y 15 y expresa cada
2. Amplifica cada término por 30, 15 y 10,
término como una fracción cuyo denominador sea
respectivamente.
este valor.
3. Opera las fracciones y expresa el resultado como número mixto.
Etapa 1 (individual): Resuelve la operación.
Etapa 2 (grupal): Explica tu estrategia a tu compañero de grupo. Comparen sus resultados:

¿son iguales o diferentes?
Respuesta:
Etapa 3 (grupal): Concluyan. ¿Siempre se obtiene el mismo resultado aplicando las estrategias
propuestas?, ¿por qué?
Respuesta:
Sintetiza
Crea un juego que requiera aplicar los aprendizajes que lograste en la lección. ¿Cuáles de los
contenidos te parecieron atractivos?, ¿cuáles no? Explica por qué.
Contenidos atractivos: Contenidos atractivos:

Explicación: Explicación:


¿Cómo vas?
1. Expresa como número mixto.
a. 18 = b. 49 =
7 9
2. Expresa como fracción impropia.
a. 4 3 = b. 11 5 =
8 11
3. En la siguiente recta numérica cada unidad se ha dividido en partes iguales:
0 A 1 B C 2 D E F G 3
a. ¿Qué número se ubica en A? Exprésalo como fracción.
b. ¿Qué números se ubican en B, C, D, E, F y G? Exprésalos como fracción y como número mixto.
B y D y F y
C y E y G y
c. Crea tres adiciones y tres sustracciones con los valores obtenidos, y resuélvelas.
Adiciones = = =
Sustracciones = = =

En la figura se muestran algunas medidas de una cancha de fútbol.
54 1 m 54 1 m
2 2
Punto de
penal Centro
183 m
20
80 1 m
4
a. ¿Cuál es el largo de la cancha?, ¿y cuál su perímetro?

Respuesta:
b. ¿Cuál es la distancia entre el punto de penal y el centro?, ¿y entre los dos puntos de penal?
Respuesta:
Retroalimentación
Si tuviste dificultades con los siguientes contenidos, refuerza en estos enlaces:

Conversión de fracciones y números mixtos https://bit.ly/2TgtU6x.
Fracciones impropias en la recta numérica https://bit.ly/2Tn14RU.
Adición y sustracción de fracciones y números mixtos https://bit.ly/2QP9JLj.

Lección 3: Números decimales
Multiplicación con números decimales

1. Describe cómo reconoces un número decimal.
2. Expresa como número decimal.
a. 29 = c. 56 =
5 7
b. 1 5 = d. 6 =
8 1 000
3. Expresa como adición y resuelve.

a. 0,1 • 4 = =
b. 0,04 • 6 = =
c. 4,542 • 5 = =
4. Expresa como multiplicación y resuelve.

a. 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 = =
b. 1,83 + 1,83 = =
c. 0,34 + 0,34 + 0,34 + 0,34 + 0,34 + 0,34 = =
d. 10,05 + 10,05 + 10,05 + 10,05 + 10,05 = =
e. 5,6 + 5,6 + 5,6 + 5,6 + 5,6 + 5,6 + 5,6 + 5,6 + 5,6 + 5,6 = =

5. Escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.
a. El producto de dos números decimales siempre es un número decimal.
b. En una multiplicación, si un factor es un número decimal menor que 1, el producto es

menor que el otro factor.
c. En una división, si el divisor es menor que 1, el cociente es menor que el dividendo.
d. El cociente de 0,5 : 0,25 es menor que 1.
e. Dividir por 0,2 equivale a multiplicar por 5.
f. Multiplicar por 0,4 equivale a dividir por 1,5.
6. Descubre las multiplicaciones representadas y resuelve.
a. c.
= =
b. d.
= =
Lección 3 • Números decimales 33

7. Resuelve en la recta numérica.
a. 2,1 • 3 = c. 0,7 • 4 =
b. 0,3 • 5 = d. 11,25 • 2 =
8. Descubre las multiplicaciones representadas y resuelve.

a. c.
= =
b. d.
= =

9. Determina el producto.
a. 0,8 • 4 = g. 5,8 • 0,34 =
b. 5,7 • 10 = h. 12,75 • 3,31 =
c. 2,7 • 12 = i. 0,92 • 15,62 =
d. 8,1 • 1 000 = j. 1,35 • 1,222 =
e. 0,2 • 0,4 = k. 30,815 • 0,21 =
f. 0,45 • 1,2 = l. 7,714 • 1,338 =

a. Observa las equivalencias:
1 metro (m) = 100 centímetros (cm)

1 centímetro (cm) = 10 milímetros (mm)
• ¿Cuántos centímetros equivalen a 0,75 m?, ¿y a 1,25 m?

Respuesta:
• ¿Cuántos milímetros equivalen a 39,6 cm?, ¿y a 4,02 m?

Respuesta:
b. Un sitio web ofrece dos juegos. El costo de uno de ellos se indica en dólares estadounidenses
(USD). Considera un valor del dólar de $700.
Juego A Juego B
USD 18,5
• El valor del juego B equivale a 1,2 veces el del juego A. ¿Cuántos dólares cuesta el juego B?
¿Cuántos pesos chilenos vale el juego A?
Respuesta:
• ¿Cuántos pesos chilenos hay de diferencia entre los valores de los juegos A y B?
Respuesta:

c. Dos de los ingredientes para una receta de empanadas son agua y manteca.
1 taza de agua tibia Manteca vegetal
0,18 kg
• ¿Cuántos kilogramos de manteca se necesitan para 0,5 tazas de agua tibia?, ¿y para 2,5 tazas?
Respuesta:
• Se agregan 2,5 tazas de agua tibia y después, 1,25 tazas más. ¿Cuántos kilogramos de
manteca se necesitan?
Respuesta:
d. La Universidad Católica de Chile realizó un estudio en comunas del país respecto de la

cantidad de basura generada por habitante.
Comuna La Granja Quinta Normal Puerto Varas

Cantidad de basura diaria por
1,60 1,54 1,41
persona (kg)
Fuente: La Tercera. «Las 10 comunas del país que generan más basura por persona al día» (11 de julio de 2019).
• ¿Cuántos kilogramos diarios de basura generan en promedio 3 personas de La Granja?, ¿y

una familia de 5 integrantes de Quinta Normal?
Respuesta:
• ¿Cuántos kilogramos diarios de basura genera en promedio un curso de 42 alumnos de

Puerto Varas?
Respuesta:

División con números decimales
1. Define los elementos de una división y ejemplifica.
2. Resuelve usando regiones.
a. 4,6 : 2 = c. 10,5 : 5 =
b. 0,8 : 8 = d. 0,66 : 3 =
3. Resuelve en la recta numérica.
a. 0,9 : 3 = d. 1,8 : 6 =
b. 2,8 : 4 = e. 4,8 : 8 =
c. 4,5 : 5 = f. 7,2 : 9 =

4. Determina el cociente.
a. 2,7 : 3 = g. 10,25 : 2,5 =
b. 12,5 : 5 = h. 0,93 : 0,62 =
c. 4,9 : 10 = i. 23,56 : 2,48 =
d. 1,28 : 4 = j. 1,625 : 0,65 =
e. 25,5 : 0,5 = k. 15,925 : 3,25 =
f. 0,18 : 0,6 = l. 2,025 : 1,125 =

5. Relaciona cada operación de la izquierda con su solución representada a la derecha.
Usa líneas.
0,25 : 5
2,72 : 2
0,28 : 0,7
12,60 : 3
a. ¿Qué número dividido por 0,3 da como cociente 0,624 con resto 0?
Respuesta:
b. Un kilómetro (km) equivale a 1 000 metros (m). ¿Cuántos kilómetros son 3 247,9 m?
Respuesta:
c. Compara las estrategias para calcular el promedio de las notas 5,5; 6,1; 5,9 y 6,5.
Calculo el promedio de 2
notas y luego el de las otras 2. Sumo todas las notas y
Finalmente, saco el promedio divido el resultado por la
de estos 2 valores. cantidad total de notas.
¿Los resultados son iguales o distintos?, ¿por qué?
Respuesta:

7. Analiza la información del problema .
El profesor de Educación Física y Estudiantes

Masa (libras)
Salud midió la masa corporal de los (cantidad)
estudiantes en una balanza que trabaja Niñas 1 522,51 18
con la unidad de medida «libra». La suma Niños 1 407,19 16
de las masas se muestra en la tabla. Total 2 929,70 34
Para transformar libras en kilogramos, buscó en internet y encontró lo siguiente:
El punto equivale
a la coma decimal.
Como son muchas cifras decimales, decidió considerar solo la primera.

a. ¿Cuál es la masa corporal promedio (en libras) de un estudiante?
Respuesta:
b. ¿Cuál es la masa corporal promedio (en kilogramos) de las niñas?, ¿y la masa total (también en
kilogramos) de los estudiantes?
Respuesta:
Sintetiza
Confecciona un resumen en una cartulina con los aprendizajes que lograste en la lección.
¿Cuáles de los contenidos te gustaron?, ¿cuáles no? Explica por qué.
Contenidos que te gustaron Contenidos que no te gustaron



¿Cómo vas?
1. Expresa como adición y resuelve.
a. 0,9 • 6 = =
b. 0,24 • 3 = =
c. 3,561 • 5 = =
2. Expresa como multiplicación y resuelve.

a. 0,4 + 0,4 = =
b. 3,102 + 3,102 + 3,102 + 3,102 + 3,102 = =
3. Resuelve en la recta numérica y comprueba usando una calculadora.
a. 0,7 • 5 =
b. 2,7 : 3 =
4. Determina el resultado de cada operación.
a. 0,8 • 0,35 = c. 1,12 • 2,125 =
b. 2,24 : 0,5 = d. 3,92 : 1,75 =
5. Tres integrantes.
Etapa 1 (grupal): Creen dos problemas, uno que pueda resolverse usando la multiplicación
0,25 • 8 y otro, utilizando la división 4,8 : 6.
Problema 1 Problema 2

Etapa 2 (individual): Aplica una estrategia para resolver: representación en regiones, uso de la
recta numérica o uso del algoritmo.
Resolución problema 1 Resolución problema 2
Etapa 3 (grupal): Comparen sus resultados, comenten los errores y corrijan.
Terreno A Terreno B
Voluntarios de distintos 0,09 km

0,12 km
países reforestarán dos
terrenos rectangulares.
0,15 km
0,2 km
Para proteger los terrenos reforestados se instalará un cerco en sus contornos.

a. ¿Cuántos kilómetros de cerco se necesitarán para el terreno A?, ¿y para el B?
Respuesta:
b. ¿Cuál es el área del terreno A?, ¿y del B?
Respuesta:
c. Se plantará 1 árbol por cada 0,004 km2. ¿Cuántos se plantarán en total, aproximadamente?
Respuesta:
Retroalimentación
Si tuviste dificultades con los siguientes contenidos, accede a actividades extras:

Multiplicación de números decimales https://bit.ly/2sqmKRZ.
División de números decimales https://bit.ly/2Tr3SNL.

Lección 4: Razones y porcentajes
Razones
1. Define qué es una razón, indica sus partes y da 3 ejemplos.
2. Escribe las razones.

a. Antecedente es 8 y consecuente, 2. b. Consecuente es 25 y antecedente, 15.

3. Observas las figuras.
a. Escribe la razón entre la cantidad de estrellas y la cantidad de triángulos.
b. Escribe la razón entre la cantidad de triángulos y la cantidad de cuadrados.
c. Escribe la razón entre la cantidad de cuadrados y la cantidad total de figuras.
4. Escribe 3 razones equivalentes a cada razón.

a. 26 : 8 b. 15 : 135
5. Verifica en https://bit.ly/2RsjWfA si las razones son equivalentes o no.

a. 3 : 7 y 9 : 24 b. 12 : 28 y 3 : 7 c. 15 : 9 y 10 : 6 d. 7 : 13 y 42 : 78

6. Propón 2 razones para cada imagen y explícalas.
a. b.
Razón 1 Razón 1
Razón 2 Razón 2
7. Analiza los conjuntos de piezas de ajedrez.
Conjunto 1 Conjunto 2
a. ¿En qué conjunto es mayor la razón de la cantidad de piezas blancas respecto del total?
Respuesta:
b. ¿En cuál es menor la razón de la cantidad de piezas negras respecto del total?
Respuesta:
c. ¿Qué pieza trasladarías de un conjunto a otro de manera que la razón de la cantidad de piezas
blancas respecto del total sea la misma en ambos conjuntos? [Profundización]
Respuesta:
Lección 4 • Razones y porcentajes 45

8. Relaciona cada razón de la izquierda con su posible representación de la derecha.
Usa líneas.
5:6
1:6
8:1
3:5

a. La imagen representa la razón entre gatos y perros vacunados en 2 días.
• El primer día se vacunaron 7 gatos y 12 perros. ¿Cuál es la cantidad mínima de gatos y

perros que podrían haber recibido su vacuna el segundo día?
Respuesta:
• En los 2 días fueron vacunados 10 gatos. ¿Cuántos perros recibieron su vacuna?

Respuesta:

b. La tabla muestra la cantidad de rellenos 2015 2016
sanitarios y vertederos en algunas regiones REGIÓN Rellenos
Vertederos
Rellenos
Vertederos
sanitarios sanitarios
(2015-2016). (n°)
(n°)
(n°)
(n°)
• ¿Cuál es la razón entre el número de Tarapacá 2 3 2 2

vertederos en Aysén y en Biobío en 2016? Coquimbo 3 10 1 9
Biobío 4 4 5 2
La Araucanía 1 15 3 10
Los Ríos 0 4 0 2
Los Lagos 2 6 2 8
Aysén 0 13 4 6
Respuesta:
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas. «Informe
anual de medio ambiente, 2018».
• ¿Cuál es la razón entre el número de vertederos en 2015 y 2016 en La Araucanía?

Respuesta:
• ¿Cuál es la razón entre el número de vertederos en Coquimbo y Los Ríos en 2015?
Respuesta:
• ¿Cuántos rellenos sanitarios había en La Araucanía por cada relleno en Tarapacá en 2015?
Respuesta:
• ¿Cómo puedes interpretar la razón 6 : 8 con los datos de Los Lagos?
Respuesta:
10. Dos integrantes.

Etapa 1 (grupal): Analicen la razón 12 : 18.
Etapa 2 (individual): Represéntala, usando fichas de colores o figuras de papel.
Etapa 3 (grupal): Intercambien sus representaciones, evalúenlas y corríjanlas.

Porcentajes
1. Identifica el porcentaje representado.
a. c.
b. d.
2. Expresa como razón, fracción irreducible y número decimal.

a. 15 % e. 60 %
b. 75 % f. 22 %
c. 58 % g. 98 %
d. 34 % h. 62 %

3. Completa.
a. El 1 % de 10 000 es . h. El 30 % de 600 es .
b. El 100 % de 39 es . i. El 99 % de 1 000 es .
c. El 25 % de 100 es . j. El 45 % de 4 000 es .
d. El 50 % de 18 es . k. El 15 % de 20 es .
e. El 90 % de 50 es . l. El 60 % de 500 es .
f. El 80 % de 20 es . m. El 18 % de 25 es .
g. El 75 % de 16 es . n. El 70 % de 60 es .

4. Verifica y escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.
a. 90 es el 30 % de 300.
b. 12 corresponde al 50 % de 26.
c. La razón de antecedente 3 y consecuente 5 se puede expresar como 60 %.
d. Como 7 representa un 70 %, 7 + 1 representa un 71 %.

10 10

a. María dividió su pastel en trozos iguales.
• ¿En cuántos trozos lo dividió?
Respuesta:
• ¿Qué porcentaje representa 1 trozo, aproximadamente?,
¿y 4 trozos?
Respuesta:
• Cada trozo se divide por la mitad. ¿Qué porcentaje representa cada nuevo trozo,
aproximadamente?
Respuesta:
• María afirma que «al ir dividiendo los trozos en mitades, el porcentaje que representa cada
uno disminuye». ¿Está en lo correcto o no?, ¿por qué?
Respuesta:

b. Beatriz está leyendo un libro de 250 páginas. Ella representó la cantidad de páginas que ha
leído respecto del total.
Páginas leídas.
• ¿Qué razón representa la cantidad de páginas leídas respecto del total?

Respuesta:
• ¿Qué porcentaje del libro ha leído?, ¿qué porcentaje aún no lee?
Respuesta:
• ¿Cuántas páginas ya ha leído?, ¿cuántas aún no lee?

Respuesta:
c. En unidades de almacenamiento se cumple que 1 GB = 1 000 MB.

• ¿Qué porcentaje del espacio total está disponible?
Espacio de almacenamiento
Espacio total
8 GB
Disponible
400 MB
Respuesta:
• ¿Qué porcentaje está ocupado?
Respuesta:

d. Según el Ministerio del Medio Ambiente, el parque vehicular nacional en 2017 fue de alrededor
de 5 000 000.
• Aproximadamente, el 62 % del parque eran automóviles. ¿Cuántos había?
Respuesta:
• Aproximadamente, el 17 % eran camionetas. ¿Cuántas había?
Respuesta:
e. Iván separó los desechos orgánicos e inorgánicos de su casa. Luego, midió la masa total
de desechos y obtuvo 20 kg. Finalmente, calculó el porcentaje que representa la masa de
desechos orgánicos de la total.
65 % ?
• ¿Qué porcentaje de la masa total son desechos inorgánicos?

Respuesta:
• ¿Cuántos kilogramos de los desechos son orgánicos?

Respuesta:
• ¿Cuántos kilogramos de los desechos son inorgánicos?

Respuesta:

f. Una campaña de reciclaje reunió los siguientes desechos:
Vidrios Latas Plásticos Papeles y cartones
55 % en masa ? ? ?
Se sabe que:
- Se recicló la misma masa de plásticos que de papeles y cartones.
- La razón entre la masa de plásticos y de vidrios es 2 : 11.
• ¿Qué porcentaje de la masa de desechos corresponde a plásticos?, ¿y a papeles y cartones?,
¿y a latas?
Respuesta:
• Se recolectaron en total 80 kg de desechos. ¿Qué masa de cada tipo se reunió?
Respuesta:
Sintetiza
Propón un esquema gráfico que muestre los aprendizajes que lograste en la lección. ¿Cuáles
de los contenidos te parecieron interesantes?, ¿cuáles no? Explica por qué.
Contenidos interesantes Contenidos no interesantes



¿Cómo vas?
1. Representa con regiones y describiendo una situación con manzanas rojas y verdes, o piezas
de ajedrez blancas y negras.
a. 3 : 5
Con regiones:
Situación:
b. 75 %
Con regiones:
Situación:
2. Escribe 5 razones equivalentes a:

a. 6 : 30
b. 5 : 50
c. 42 : 6
d. 15 : 12
e. 42 : 7
f. 30 : 12
3. Expresa como razón y explica qué representa.
a. 12 % b. 64 %
4. Expresa como porcentaje y explica qué representa.
a. 8 : 25 b. 7 : 10

5. Ciencias Sociales Analiza la información del problema y expresa tus respuestas
aproximadas sin cifras decimales.
Resultados del Censo 2017 con base en 17 574 003 encuestados:
De acuerdo con el Censo de 2017, 1 de cada 8 encuestados se considera

perteneciente a algún pueblo indígena u originario. De estos, aproximadamente,
el 80 % declara que proviene del pueblo mapuche.
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas. «Segunda entrega de resultados definitivos Censo 2017».
a. ¿Cuántos encuestados consideran que pertenecen a algún pueblo indígena u originario?,

¿cuántos no?
Respuesta:
b. ¿Cuántos encuestados declaran que provienen del pueblo mapuche?
Respuesta:
c. ¿Qué porcentaje del total representan las personas encuestadas que declaran que provienen
del pueblo mapuche?
Respuesta:
Retroalimentación
Si tuviste dificultades con los siguientes contenidos, accede a estas actividades extras:
Razones https://bit.ly/2GbpfuA. Porcentajes https://bit.ly/2G9TNNn.

¿Qué aprendiste?
1. Calcula.
a. 7 + 2 3 + 34 = c. 85 – 1 5 – 8 =
15 5 10 9 6 12
b. 8,73 • 1 000 = d. 21,307 : 2,86 =
2. Completa la tabla.
Número Tres múltiplos Un par de factores ¿Número primo o compuesto?

81
11
3. Ubica en la recta numérica 8 , 13 y 2 3 .

5 17 8
4. Trabaja en https://bit.ly/2v6koIW u ocupa una calculadora.

a. Escribe la fracción equivalente de denominador 100 y el porcentaje asociado a cada fracción.
Fracción Fracción con denominador 100 Porcentaje

3
10
7
25
b. Explica lo que ocurre al considerar la fracción 4 . ¿Qué conclusión puedes sacar?

6
Respuesta:
56 Unidad 1 • Números y operaciones

a. Se tabularon los datos con las ventas de entradas al cine en Chile en 2018.
Actividades
Películas exhibidas Festivales Otras exhibiciones
cinematográficas
Asistentes (cantidad) 27 826 075 21 582 171 260
Recaudación ($) 90 222 350 022 44 371 995 585 820 204
Fuente: Ministerio de las Culturas, las Artes y el Patrimonio. «Resultados estudio Oferta y consumo de cine en Chile, 2018».
• ¿Cuántos espectadores hubo en total en 2018?

Respuesta:
• ¿Cuál fue el monto promedio aproximado que se recaudó por persona en «Festivales»?
Respuesta:
Evaluación de Chile en materia de actividad física

b. Educación Física y Salud Un estudio en niños de 5 a 17 años.
internacional de la Universidad de La Frontera
concluye lo que se indica en la imagen.
• ¿Cuál es la razón entre los niños y niñas 1 de cada 5 niños y niñas de 9 a 11 años
de entre 9 y 11 años que son físicamente es físicamente activo.
activos y los que no lo son?
Respuesta:
• ¿Qué porcentaje de niños y niñas no son físicamente activos?

Respuesta:
Para finalizar Unidad 1
¿Has aplicado alguno de los Sí Explica a tus compañeros.

contenidos de la unidad en tu
vida cotidiana? No Crea una situación ficticia en que debas
aplicar dos de ellos.
¿Qué aprendiste? • Evaluación de Unidad 1 57

2 La tecnología
Unidad
Lección 5: Patrones y lenguaje algebraico
Patrones en tablas
1. Describe un patrón de tu entorno.
2. Describe un patrón en la siguiente secuencia de figuras.
3. Completa de acuerdo con un patrón.

a.
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8
Valor 4 5 6
b.
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8
Valor 1 4 10 16
c.
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8
Valor 1 9 16 64
58
58 Unidad 2 • La tecnología
4. Identifica un patrón. Exprésalo con lenguaje algebraico.
a.
Posición 1 3 5 7 9 11
Valor 3 9 15 21 27 33
b.
Posición 1 2 3 4 5 6
Valor 7 12 17 22 27 32
5. Analiza la secuencia.
Paso 1 Paso 2 Paso 3
a. Construye una tabla que relacione los pasos con la cantidad de emojis.
b. Identifica un patrón y exprésalo con lenguaje algebraico.
c. Dibuja los elementos del paso 4.
Paso 4
59
Lección 5 • Patrones y lenguaje algebraico 59
a. Analiza los días destacados en el calendario.
• ¿Qué día de la semana se destaca?
Respuesta:
• ¿Qué patrón siguen los números destacados?

Respuesta:
• ¿Qué tabla permitiría representar este patrón?
• Si hoy fuera martes 3, ¿qué número tendría el martes siguiente?

Respuesta:
• Si hoy fuera sábado 14, ¿qué fecha sería dos semanas después?
Respuesta:
• Si hoy fuera domingo 1, ¿qué fecha sería tres semanas después?

Respuesta:
b. Analiza la secuencia.
Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4
• Construye una tabla que relacione los pasos con la cantidad de cuadrados.
• ¿Qué patrón se representa en tu tabla?
Respuesta:
• Completa la tabla.
Paso (n°) 1 2 3 4 5 6 7 8
Círculos (cantidad) 2 8
• ¿Qué patrón se representa en la tabla anterior?

Respuesta:
• ¿Cuántos círculos tendrá el paso 12?

Respuesta:
• ¿Cuántas figuras en total tendrá el paso 20?

Respuesta:
c. Carlos tiene un canal en Por cada 500 visitas,

Youtube con 5 000 visitas. Tras aumentan mis «Me
gusta» en 250 y mis
su último video publicado,
«No me gusta» en 5.
identificó un patrón.
• De acuerdo con el patrón, ¿cuántos «Me gusta» debería tener en 8 000 visitas?
Respuesta:
• Expresa usando lenguaje algebraico el patrón que relaciona el número de visitas y los
«Me gusta».
• De acuerdo con el patrón, ¿cuántos «No me gusta» debería tener en 12 000 visitas?
Respuesta:

• Expresa utilizando lenguaje algebraico el patrón que relaciona el número de visitas y los
«No me gusta».
• ¿Cuántos «Me gusta» y «No me gusta» debería tener en total cuando llegue a las 80 000 visitas?
Respuesta:
d. Los últimos siete dígitos de los números telefónicos de dos niños son:
Amanda Daniel
XX 67 074 24 XX 38 176 25
Cada uno cree identificar en ambos números el patrón que describe:
Si multiplicas el primer dígito

Si sumas los 5 primeros
con el último, obtienes el
dígitos, obtienes el
número formado por los
número formado por
últimos 2 dígitos.
los últimos 2 dígitos.
Amanda Daniel
• ¿Quién está en lo correcto?, ¿por qué?
Respuesta:
• Inventa un número celular de acuerdo con el patrón de Daniel, otro según el de Amanda y
otro que considere ambos patrones a la vez.
7. Construye una tabla con los primeros 10 valores de la secuencia generada por cada patrón.
a. Un número aumentado en 10 y luego multiplicado por 2.
b. El doble del doble de un número y el resultado disminuido en 2.
c. Un número multiplicado por la mitad de sí mismo.
8. Verifica si los valores de la tabla son generados por la regla «un número multiplicado por 7
y luego disminuido en 3». Marca con los que sí lo hacen y corrige los que no.
Entrada 1 3 4 9 12
Salida 4 24 25 60 87

Lenguaje algebraico
1. Describe qué es el lenguaje algebraico y da un ejemplo.
2. Expresa con lenguaje algebraico.
a. Un número aumentado en 20.
b. Un número multiplicado por 2 y dividido por 5.
c. Un número disminuido en su cuarta parte.
d. Un número multiplicado por sí mismo.
e. Un número triplicado y luego disminuido en 7.
f. La octava parte de un número aumentada en 1.
3. Expresa con lenguaje cotidiano.

a. x + 11
b. 18 – x
c. 2x – 4
d. 12 – 3x
e. ]x + 3g • 2
f. 4x + 3x + 2x – 1
4. Analiza las figuras.
Cuadrado Rectángulo Triángulo Hexágono

q 2q
q
q q q
q 2q
2q q
q 3q
a. Completa la tabla.
q (cm) Perímetro (cm)

1
2
Cuadrado
5
12
1
2
Rectángulo
5
12
1
2
Triángulo
5
12
1
2
Hexágono
5
12
b. Modela cada perímetro mediante una expresión algebraica.
• Cuadrado • Triángulo
• Rectángulo • Hexágono
5. Traduce a lenguaje algebraico.

a. El cuádruplo de un número es 48.
b. Un número aumentado en 8 equivale al doble del mismo número.

c. La mitad de un número aumentada en 37 equivale a 350 disminuido en 12.
d. El cociente entre 125 y un número es 5.
e. El producto de dos números es 63.
f. La sexta parte de un número aumentado en 7 equivale al 50 % de 4.
g. El doble de un número equivale a la suma de 8 y 10.
h. El triple de un número más su doble equivale a 500.
i. El doble de un número dividido por 5 equivale a 24 disminuido en el doble del número.
a. El lenguaje algebraico permite representar propiedades de los números.
b. Las expresiones x – 15 y 15 – x son equivalentes.
c. Una ecuación puede definirse como una expresión algebraica en que hay términos
desconocidos.
d. Solo se puede utilizar el lenguaje algebraico para representar ecuaciones.
e. La igualdad a + b = b + a, en que a y b son números naturales, permite representar la

propiedad conmutativa.
p
7. Dos integrantes. Analicen el rectángulo.
Etapa 1 (grupal): Construyan una tabla de valores naturales para
p y q.
q
Rectángulo A B C D E F G
p (cm)
q (cm)
Etapa 2 (individual): Calcula el área del rectángulo usando una de las multiplicaciones: p • q o q • p.
Rectángulo A B C D E F G
Área (cm )
2
Etapa 3 (grupal): Comparen los valores de área obtenidos de esta manera. Relaciónenlos con la
propiedad conmutativa de la multiplicación y redacten una conclusión. [Profundización]
Conclusión:
8. Traduce a lenguaje cotidiano de acuerdo con la situación del problema .
En las imágenes, el precio de venta de dos equipos se representa con letras.
$E
$D
a. D + E
b. 2 • E
c. 2 • D = E
E
d. =D
2

9. Inventa una situación cotidiana que pueda modelarse con cada expresión.
a. A – 500
b. 3B + 1
c. C • C

a. Lee las afirmaciones.
Cualquier número par Cualquier número impar

se puede representar se puede representar como
como 2n, en que n es 2n + 1, en que n es un
un número natural. número natural.
Javiera Alberto
• ¿Cuál de los niños hace una afirmación correcta?, ¿cómo lo sabes?

Respuesta:
• ¿Cuál de los niños hace una afirmación incorrecta?, ¿cómo lo sabes? [Profundización]
Respuesta:
b. Analiza la información.
El gobierno, a través del Ministerio de Transportes y Telecomunicaciones, se

propuso como meta que a 2022 haya 100 veces más vehículos eléctricos
en el parque automotor que en 2018.
Fuente: www.latercera.com. «La revolución de los autos eléctricos en Chile y el mundo». Noviembre, 2019.
• ¿Con qué expresión algebraica puedes representar la situación?

Respuesta:
• Se estima que en 2018 había 120 autos eléctricos. ¿Cuántos habría en 2022?
Respuesta:
c. Analiza la oferta.
Precio original: C Descuento: $15 000 Precio final: $84 000
• ¿Qué ecuación permite modelarla?

Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de C?
Respuesta:
d. El ancho de una cancha de fútbol debe medir entre 45 m y 90 m, y su largo, entre 90 m y

120 m. Considera una cancha en que el largo mide 35 metros más que el ancho.
• ¿Qué ecuación permite modelar su perímetro?, ¿y su área? [Profundización]
Respuesta:
• ¿Qué medidas puede tener la cancha? [Profundización]

Respuesta:
Sintetiza
Crea un juego que requiera aplicar los aprendizajes que lograste en la lección. ¿Cuáles de los
contenidos te parecieron atractivos?, ¿cuáles no? Explica por qué.
Contenidos atractivos Contenidos no atractivos



¿Cómo vas?
1. Observa ambas filas de cada tabla y describe un patrón que identifiques.
Usa lenguaje algebraico.
a.
b.
Entrada 5 15 25 35
Salida 1 2 3 4
2. Propón una fórmula para el área de las figuras.

a. Un rectángulo de ancho x y largo y.
b. Un cuadrado cuyo lado mide z.
c. Un rectángulo de ancho (m – w) y de largo (m + w).
3. Observa y analiza los valores de la tabla.

Entrada 1 2 3 4 5
Salida 0 2 4 6 8
a. Un patrón observable para obtener un valor de salida es el siguiente: «Al valor de entrada se
suma el de salida anterior y luego se resta 1». ¿Es correcto este patrón?, ¿por qué?
Respuesta:
b. Describe un patrón. Usa lenguaje algebraico.
a. Las características de una nueva máquina para construir lápices 3D son las siguientes:
- En 1 hora produce 18 lápices.

- Demora 5 horas en fabricar 78 lápices.
- Al prender la máquina, ya hay 3 lápices.
- Demora 9 horas en construir 138 lápices.
• Construye una tabla que relacione el tiempo y la cantidad de lápices construidos.
• ¿Qué patrón identificas? Explícalo usando lenguaje algebraico.

Respuesta:
• ¿Cuántos lápices fabricará en 15 horas?
Respuesta:
b. Una tienda ofrece los artículos de la imagen.

• Primero se compra el reloj inteligente y luego la tablet.
¿Existe una diferencia en el costo total si se hubiera
comprado primero la tablet y luego el reloj?, ¿por qué?
Respuesta:
Valor: $L Valor: $J
• ¿Qué propiedad observas en tu respuesta anterior? Exprésala con lenguaje algebraico.

Respuesta:
Retroalimentación
Si tuviste dificultades con los siguientes contenidos, repasa en tu Texto del Estudiante:
Patrones en tablas Páginas 58 a 63.
Lenguaje algebraico Páginas 64 a 69.

Lección 6: Ecuaciones
Representación de ecuaciones
1. Marca con un las expresiones que representan ecuaciones.
a. 20 = 10 + 5 + 5 d. 135 – 47 < 2 • 45 g. t – 2a
b. x + 12 = 38 e. 2z = 100 – 9z h. 2 • `184 – u j > 6

4
c. 6n – 1 = 0 f. 25 = 25 i. a + b – 11 = 3a + 7
x
2. Dibuja 2 alternativas para equilibrar cada balanza.
1 kg 7 kg 2 kg 3 kg
a.
Alternativa 1: Alternativa 2:
b.
c.
d.
3. Traduce a lenguaje algebraico.

a. La suma de 131 y un número es 200.
b. La diferencia entre un número y 23 es 45.
c. El triple de un número es 120.
d. El cociente entre un número y 25 es 7.
e. El doble de un número equivale al triple de otro número.
4. Descubre la ecuación representada.

a. 20 c. 36
16 1x 3 3 3 3 3 3 3 3 p
b. d.
1 1 3 5 1
1 a 1 5 5 4 5 1 5 5
w 5 5 5 5
Lección 6 • Ecuaciones 73
5. Resuelve las ecuaciones usando una balanza y comprueba utilizando barras.
a. 12 + b = 15 f. 23 = h + 11
b= h=
b. m + 8 = 13 g. 120 = 10z
m= z=
c. 2a = 10 h. 2 • (25 + 11) + y = 100
a= y=
d. p + 12 = 29 i. c + 33 = 9
11
p= c=
e. x + (125 : 25) = 40 j. q + (2 • 3 – 5) = 17
x= q=
a. Observa la balanza equilibrada.
• ¿Qué ecuación se representa? 2 2 4 12
w 2 w 1 w 1
Respuesta:
• Juan dice que para resolver la ecuación se pueden retirar
de cada lado una de las incógnitas y 4 unidades. ¿Estás de
acuerdo con él o no?, ¿por qué?
Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de la incógnita? Resuelve la ecuación planteada.
Respuesta:
• ¿Cómo puedes verificar en la balanza si el resultado es correcto?

Respuesta:
b. Ciencias Analiza la información. Verifica tus resultados en https://bit.ly/3asORjU.
Una estrategia para expresar en grados Fahrenheit (°F) una temperatura medida
en grados Celsius (°C) es multiplicar la cantidad de grados Celsius por 18, sumar
320 a este producto y el resultado dividirlo por 10.
• ¿Qué ecuación permite efectuar la transformación? Representa con C y F las incógnitas.

[Profundización]
Respuesta:
• ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 10 °C?
Respuesta:
• ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 25 °C?
Respuesta:
c. Pamela compró 5 entradas al cine por $15 000.
• ¿Qué ecuación modela la situación?
Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de una entrada?
Respuesta:
d. En 5 años más, el papá de Eduardo cumplirá cuatro décadas.

Respuesta:
• ¿Qué edad tiene actualmente el papá?
Respuesta:
e. Dos integrantes. Ambos analizan la información y cada uno elige duplicar o triplicar
los elementos de la balanza.
1 1
Lorena afirma que «al duplicar o triplicar la t 1 1 4 5 3
cantidad de elementos en la balanza, la solución
de la ecuación representada no cambia».
Etapa 1 (individual): Dibuja la balanza duplicando o triplicando la cantidad de elementos en

ambos lados. Escribe la ecuación que queda representada.
Ecuación:
Etapa 2 (grupal): Identifiquen y resuelvan la ecuación de la balanza original. ¿Cuál es el valor

de la incógnita?
t=
Etapa 3 (individual): Resuelve ahora la ecuación de la balanza que dibujaste.
Valor de la incógnita =
Etapa 4 (grupal): Comparen sus resultados y respondan.

• ¿Es correcta la afirmación de Lorena?, ¿por qué?
Respuesta:
• ¿Cuál sería la solución si se cuadruplica la cantidad de elementos en la balanza?, ¿y si se

aumenta en 9 veces?
Respuesta:
• ¿Qué conclusión pueden sacar de los resultados obtenidos?

Respuesta:
f. En un colegio se hizo una campaña para reunir la basura electrónica. [Profundización]
Curso A B Total
Basura electrónica (kg) 2x + 7 3x + 3 50
• ¿Cuántos kilogramos de basura electrónica se reunieron?

Respuesta:
• ¿Cuántos kilogramos recolectó el curso A?
Respuesta:
• ¿Cuántos kilogramos recolectó el curso B?
Respuesta:
• ¿Cuántos kilogramos de diferencia hay entre lo recolectado por los cursos?
Respuesta:
Resolución de ecuaciones
1. Completa de manera que se verifique la igualdad.
a. 2 • + 13 = 15 c. 81 + 7 = 16
b. 25 – =8• d. 18 + = 25 • – 20
2. Descompón de 2 formas distintas los números. Usa una o varias operaciones.
Número 18 36 84 161 161

Descomposición
1
2
3. Descompón los números de la forma • + .
a. 11 c. 101
b. 30 d. 350
4. Resuelve usando la correspondencia «uno a uno». Comprueba en https://bit.ly/2wv6u3S.

a. 96 + w = 120 c. 11q – 5 = 72
w= q=
b. 20 = 5z d. 909 = 9c – 9
z= c=
e. 8a – 7 = 41 h. 7g + 4 = 130
a= g=
t
f. = 10 i. 680 – 5f = 610
3
t= f=
g. 5x + 2 = 17 j. 2 • (m + 3) = 16
x= m=
5. Resuelve usando la operación inversa. Comprueba en https://bit.ly/2wv6u3S.

a. n + 7 = 25 c. r – 3 = 7
n= r=
b. z + 400 = 808 d. u + 0,5 = 3
z= u=
e. t – 47 = 59 j. 5p – 8 = 37
t= p=
f. 4 + x = 17 k. 7h + 12 = 33
x= h=
g. 55 = 11 + a l. 4 • (d + 1) = 36
a= d=
h. 23 = 2s + 1 m. k • (12 + 6) = 72
s= k=
i. 4v + 12 = 36 n. 10 • (9 + y) = 890
v= y=
6. Evalúa la estrategia de Ramiro.
5k – 25 = 125
PASO 1 5k – 25 + 25 = 125 + 25
PASO 2 5k + 0 = 150
PASO 3 k = 150
Ramiro cometió un ERROR. Identifícalo, corrige y obtén la solución correcta.

ERROR Corrección
k=
7. Dos integrantes. Ambos analizan la información.
Se estima que en marzo de 2019 las suscripciones de internet fijo fueron de 3 300 000.
Esta cifra fue superior a la de marzo del año 2018, que alcanzó a 3 113 207.
Fuente: Subsecretaria de Telecomunicaciones. «Conoce la historia y evolución del internet en Chile, 2018».
Etapa 1 (grupal): Traduzcan la información y exprésenla como una ecuación, en que la

incógnita sea el aumento en la cantidad de conexiones.
Ecuación:
Etapa 2 (individual): Cada integrante resuelve la ecuación usando uno de las siguientes
estrategias: correspondencia «uno a uno» o aplicación de la operación inversa.
Solución:
Etapa 3 (grupal): Comparen sus trabajos y respondan:

• ¿Cómo son las soluciones entre sí?
Respuesta:
• ¿Depende el resultado de la estrategia utilizada?, ¿por qué?

Respuesta:
a. Una empresa debe fabricar 1 346 alarmas más para llegar a su meta anual de 60 000 unidades.
Respuesta:
• ¿Cuántas unidades llevan fabricadas?
Respuesta:
b. Raquel pagó con su tarjeta un videojuego de $47 990. Ahora le quedan $202 010.

Respuesta:
• ¿Cuánto dinero tenía antes de su compra?
Respuesta:
c. Si al doble de un número se le agrega 100, se obtiene 1 700.

Respuesta:
• ¿Cuál es el número?
Respuesta:
d. Geografía Analiza la información.
El volcán Nevado Ojos del Salado es 64 m más bajo que el Aconcagua, que es
considerado la montaña más alta de América con 6 959 metros de altitud.
Fuente: https://geografia.laguia2000.com «Chile: Relieve».
• ¿Qué ecuación modela la información?

Respuesta:
• ¿Cuál es la altura del volcán Nevado Ojos del Salado?
Respuesta:
e. Los precios de tres artículos domésticos están relacionados en forma algebraica.
$(x + 80 000) $(2x – 40 000) $x
Considera que el precio del refrigerador es $170 000.

• ¿Cuál es el precio de la lavadora?
Respuesta:
• ¿Cuál es el precio de la cocina?

Respuesta:
• ¿Cuánto habría que pagar por los tres artículos si el precio del refrigerador aumenta a $200 000?
Respuesta:
Sintetiza
Crea un afiche que proponga un problema relacionado con la tecnología y pide a tus
compañeros que lo resuelvan. ¿Qué contenidos de los estudiados has aplicado en tu vida
cotidiana?, ¿cuáles no? Describe una aplicación real y una imaginada.
Contenidos aplicados Contenidos no aplicados

Descripción de aplicación real: Descripción de aplicación imaginada:

¿Cómo vas?
1. Resuelve las ecuaciones representándolas en una balanza o con barras.
a. h + 14 = 25 b. 5j – 13 = 22
h= j=
2. Resuelve las ecuaciones aplicando la correspondencia «uno a uno». Comprueba usando la

operación inversa.
a. 1 022 = 4m + 194 b. 3k – 3 = 18
m= k=

a. Si se descuentan $9 000 al valor de un videojuego, habría que pagar $20 990.
Respuesta:
• ¿Cuál es el precio original del videojuego?
Respuesta:
b. Tamara gastó toda su mesada y $4 000 más que le regaló su abuelo para comprar unos
audífonos. Su precio es de $9 000.
Respuesta:
• ¿Cuál es la mesada de Tamara?
Respuesta:
c. A Alejandro le faltan por ver 6 capítulos para terminar la saga de 4 temporadas de una serie
de ciencia ficción. Cada temporada tiene 18 capítulos.
Respuesta:
• ¿Cuántos capítulos de la serie ya ha visto?
Respuesta:
d. Leo explica el procedimiento que usará para resolver la ecuación representada en la balanza:
1. Escribo la ecuación.
2 2 2 2 2. Elimino cuatro «2» de la parte izquierda de la
2 2 2 2 b 4 4 balanza y dos «4» de la parte derecha.
2 2 2 2 b b b 3. Elimino tres «2» de la parte izquierda de la balanza
y tres «b» de la parte derecha.
4. Al final, resulta lo siguiente:
10 = b
• ¿Estás de acuerdo con el procedimiento que usó Leo?, ¿por qué?

Respuesta:
• Si Leonardo se equivocó, ¿en qué paso cometió el error? Si no se equivocó, ¿cómo podría
mejorar su estrategia?
Respuesta:
• ¿Qué procedimiento aplicarías tú para resolver la ecuación?

Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de b?
Respuesta:
Retroalimentación
Representación de ecuaciones Páginas 72 a 77.
Resolución de ecuaciones Páginas 78 a 83.

¿Qué aprendiste?
1. Identifica el patrón y exprésalo usando lenguaje algebraico.
a.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Patrón:
b. Entrada 2 3 8 13 Patrón:
Salida 4 9 64 169
2. Modela con una ecuación.

a. El cociente entre un número y 8 es 12.
b. El doble de un número disminuido en 5 es igual a la diferencia entre 31 y 8.
c. Si a 124 se le sustrae el doble de un número, se obtiene 58.
3. Resuelve las ecuaciones en las balanzas.

a. b.
1 1 1 1 w 1
1 1 2 2 2 1 w w w 1 2 1
1 1 2 1 x x x w 2 1 1 2 2 w 2
x= w=
4. Completa cada tabla de acuerdo con un patrón.

a. b.
Posición 1 2 3 4 5 6 Posición 1 3 5 10 15 20
Valor 8 28 38 Valor 10 22 94
5. Resuelve las ecuaciones.
a. 3n – 13 = 14 c. 6q + 1 = 49
n= q=
b. h + 5 = 8 • 10 d. 111 – 5k = 96
h= k=

a. Observa las mascotas.
R kilogramos U kilogramos S kilogramos

U
¿Qué representa la expresión 2S + R = ?
2
Respuesta:
b. Lucas tiene (v + 8) videojuegos. Fabián tiene el doble de esta cantidad. Lucas tiene
11 videojuegos menos que Fabián. ¿Cuántos videojuegos tiene cada uno? [Profundización]
Respuesta:
¿Aprendiste estrategias nuevas Sí Explica una de ellas.

para resolver ecuaciones?
No Crea una estrategia personal para hacerlo.

3 El arte
Unidad
Lección 7: Construcciones geométricas
Estimación y medición de ángulos

1. Describe cómo puedes medir 1 grado sexagesimal.
2. Responde.
a. ¿Cuántas veces debes replicar 1° para obtener 50°?
b. ¿Cuántas veces debes replicar 45° para obtener 360°?
c. ¿Cuántas veces debes replicar 30° para obtener 90°?
d. ¿Cuántas veces debes replicar 90° para obtener 360°?
3. Analiza cada imagen e identifica las medidas de los dos ángulos definidos.
a. c.
0 80 7 0 80 7
10 10 90 0 10 10 90 0
01 100 11 6 01 100 11 6
12 70 80 01 0 5 12 70 80 01 0 5
0 20 0 0 20
13 0 6
0 13 0 13 0 6 13 0
5 0 5 0
0 140
0 140
40 0 150
40 0 150
14
14
40
40
Ángulo 2 Ángulo 1
0 10 2 0 150
0 10 2 0 150
Ángulo 2
30 160 170 180
30 160 170 180
0 3
0 3
20
20
6
6
Ángulo 1
180 170 1
180 170 1
10 0
10 0
y y
b. d.
0 80 7
10 10 90 0
01 100 11 6
12 70 80 01 0 5 80 70
0 0 20 00 90 100 11 60 5
13 0 6 13 0 01 0 0 120 0
5 0 11 8 13
Ángulo 2 0 1 40
0 140
0
40 0 150
0
12 0 7
14
40
40
0 10 2 0 150
Ángulo 1 Ángulo 1
6
30 160 170 180
40 130
30 160
0 3
15
Ángulo 2
50
20
0 10 20 30 140
0
6
20 170 180
180 170 1
180 170 160 150

10 0
10
0
y
y
88
88 Unidad 3 • El arte
4. Mide los ángulos con transportador.
a. f.
f
a
a= f=
b. g.
b g
b= g=
c. h.
c h
c= h=
d. i.
d= i=
e. j.
j
e= j=
89
Lección 7 • Construcciones geométricas 89
5. Explica en tres pasos cómo mides el ángulo con el transportador.
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
6. Estima las medidas de los ángulos interiores de las figuras.
a. c.
1 4 4
1 3
2
2 3
B 1:
B 1: B 2:
B 2: B 3:
B 3: B 4:
B 4:
b. d.
3 5 4
1 3
2
1 2
B 1:
B 1:
B 2:
B 2:
B 3:
B 3:
B 4:
B 5:
7. Estima la medida de (180 – α).
a. b.
α α
8. Resuelve el problema.
2
1
Una ruleta se puede representar por el círculo de la imagen. 3
5
4
a. ¿Qué ángulo determina el sector 2?
Respuesta:
b. ¿Qué sector es determinado por un ángulo de 54°?
Respuesta:
c. ¿Qué porcentaje de la ruleta completa representa el sector 3?
Respuesta:

Construcción de ángulos
1. Mide los ángulos destacados y completa la tabla.
Ángulo Medida (°) Clasificación
b a
e
c b
d
d
c
e
2. Construye 1 ángulo recto, 3 ángulos agudos y 3 obtusos.
Recto
Agudos
Obtusos
3. Explica cómo construirías un ángulo de 75° con el transportador.
4. Explica cómo construirías un ángulo de 120° con el compás.
5. Construye y clasifica los ángulos.
a. 20° e. 50°
b. 90° f. 130°
c. 180° g. 55°
d. 100° h. 195°

6. Construye los ángulos con un software geométrico. Bosquéjalos aquí.
a. 14° b. 78° c. 145°
7. Construye 3 ángulos adyacentes que, en conjunto, formen un ángulo de 90°.
8. Resuelve los problemas.

a. Mide el ángulo de la imagen.
• ¿Su medida es mayor o menor que 90°?
Respuesta:
• ¿Cuánto mide su ángulo suplementario?
Respuesta:
• ¿Cómo construirías su ángulo suplementario?
Respuesta:
b. Mide los siguientes ángulos:
A B C
Considera que puedes construir la cantidad de ángulos A, B y C que necesites.

• ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos A y B?
Respuesta:
• ¿Qué combinación de ángulos adyacentes permite formar un ángulo recto?
Respuesta:
• ¿Qué combinación de ángulos adyacentes permite formar un ángulo de 140°?
Respuesta:
c. Tres integrantes. Cada uno selecciona uno de los siguientes ángulos:
1 2 3
tapa 1 (individual): Construye un ángulo adyacente al que seleccionaste, de manera que

E
en conjunto formen uno recto.
E
tapa 2 (individual): ¿Cuánto mide el ángulo que construiste? Por lo tanto, ¿cuánto deduces
que mide el ángulo que seleccionaste?
E
tapa 3 (grupal): Midan los ángulos 1, 2 y 3. ¿Coinciden estas medidas con las que
dedujeron en la Etapa 2? Evalúen sus trabajos.

Construcción de triángulos
1. Clasifica los triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos interiores.
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
2. Analiza las medidas de cada trío de segmentos e indica si es posible construir un triángulo
con ellos. Justifica.
a. 4 cm, 4 cm y 5 cm d. 20 cm, 10 cm y 5 cm
b. 10 cm, 4 cm y 6 cm e. 1 cm, 1 cm y 3 cm
c. 9 cm, 15 cm y 8 cm f. 6 cm, 2 cm y 7 cm

a. Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 30°. ¿Cuántos triángulos que cumplen
esta condición puedes dibujar?, ¿por qué? [Profundización]
Respuesta:
b. Dos lados de un triángulo isósceles miden 6 cm y 9 cm, respectivamente. ¿Cuántos triángulos
que cumplen esta condición puedes dibujar?, ¿por qué? [Profundización]
Respuesta:

4. En la imagen se muestran 6 segmentos de diferentes longitudes. El lado de cada mide
1 unidad.
A D
B E
C F
a. Determina tres tríos de segmentos diferentes con los que sí se puede construir un triángulo.
b. Determina tres tríos de segmentos diferentes con los que no se puede construir un triángulo.
c. Analiza las medidas de los segmentos. ¿Cuál es el triángulo de mayor perímetro que se
puede construir?, ¿cuál es su perímetro?
Respuesta:
d. Construye un triángulo cuyo perímetro sea 11 unidades. Utiliza tres segmentos diferentes.
5. Construye los triángulos.
a. Uno de sus ángulos interiores mide 90°. d. Uno de sus lados mide 3 cm. Los ángulos
interiores en cada uno de sus extremos
miden 40°.
b. Dos de sus lados miden 3 cm y 2 cm, e. Dos de sus lados miden 3 cm. El ángulo
respectivamente. interior que forman mide 60°.
c. Dos de sus ángulos interiores miden f. Sus ángulos interiores miden 120°, 35° y 25°.
30° y 70°.
Sintetiza
Relata una historia real o ficticia en que sea necesario construir una figura 2D de las que se
trabajaron en esta lección. ¿Qué figura 2D se construyó? ¿Qué herramienta matemática fue
utilizada en la construcción?
Figura 2D:
Herramienta matemática:

¿Cómo vas?
1. Mide y clasifica los ángulos.
a. d.
d
a
a= d=
b. e.
b
e
b=
e=
c. f.
c= f=
2. Construye los triángulos y estima las medidas de sus ángulos interiores.

a. Sus lados miden 2 cm, 2 cm y 3 cm. b. Sus lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm.

3. Construye con un software geométrico 3 triángulos. Mide con las herramientas del
programa sus ángulos interiores y sus lados. Bosquéjalos acá.
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3
Ángulos interiores: Ángulos interiores: Ángulos interiores:
Lados: Lados: Lados:

Mario dividió una pizza para servir a sus amigos. Los cortes C B
realizados en ella se representan en la imagen. Considera que
A
un círculo completo mide 360°. D
a. ¿Cuál de los trozos es más grande? F

E
Respuesta:
b. ¿Cuál de los trozos es más pequeño?
Respuesta:
c. ¿Qué porcentaje de la pizza completa representa el trozo A?
Respuesta:
Retroalimentación
Medición y construcción de ángulos Páginas 103 a 113.
Construcción de triángulos Páginas 114 a 117.

Lección 8: Ángulos
Ángulos en rectas que se intersecan

1. Identifica si los ángulos son adyacentes u opuestos por el vértice. Completa las oraciones.
Los ángulos que miden:
a. a y b son .
a
b. b y d son . d b
c
c. a y d son .
d. c y b son .
2. Identifica si los ángulos son correspondientes, alternos internos o alternos externos.
Completa las oraciones.
Los ángulos que miden:
a. d y h son .
g
h
b. b y h son . f
c e
d
c. b y f son . b
a L1 ll L2
d. f y d son .
L1 L2
3. Determina el valor de x.
a. c.
145°
x 44°
x
b. d.
x x
155° 93°

4. Analiza la figura.
L1 ll L2
a b
120° c
L1
d e
g f
L2
a. Completa la tabla.
Ángulo Medida (°)

a
b
c
d
e
f
g
b. Calcula.
• b + d = • 120° – d =
• b – g = • a + b + c =
• f + e = • 2g + a =
Lección 8 • Ángulos 103

5. Determina x + y.
a. c.
x y
x 35°
55°
y
b. d.
x y
90° 68°
x
y
6. Evalúa las relaciones en la figura. Explica si son verdaderas o falsas.
e h
f g L1
L1 ll L2
a d L y L1 no son perpendiculares.
c L2
b
L
a. b + c = e + h
b. g + e = 180°
c. d = b
d. f + d = 180°
e. h + g = h + e
f. e + g + a + c = 360°

a. En la figura, L1 II L2 y L ⊥ L1.
2β
L α
L1 L2
• ¿Cuál es el valor de α?
Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de β?
Respuesta:
b. En la figura, L1 II L2 y se cumple que γ = 83°.

• ¿Cuál es el valor de α + γ? α γ β
Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de α? L1 L2
Respuesta:
Respuesta:
c. En la figura, L1 II L2.
• ¿Cuál es el valor de α + 2α? α
L1
2α
L2
Respuesta:
Respuesta:

Ángulos en triángulos y cuadriláteros
1. Evalúa si los ángulos interiores de un triángulo pueden tener las medidas indicadas. Escribe
Sí o No.
a. 40°, 40° y 100°. d. 30°, 60° y 90°.
b. 20°, 40° y 120°. e. 15°, 80° y 80°.
c. 45°, 45° y 85°. f. 130°, 10° y 40°.
2. Evalúa si es posible construir cada triángulo. Escribe Sí o No. Justifica.

a. Un triángulo con tres ángulos rectos.
b. Un triángulo con un ángulo interior obtuso.
c. Un triángulo con tres ángulos interiores agudos.

3. Evalúa si los ángulos interiores de un cuadrilátero pueden tener las medidas indicadas.
Escribe Sí o No.
a. 100°, 100°, 80° y 80°. d. 90°, 90°, 90° y 90°.
b. 20°, 40°, 120° y 100°. e. 60°, 100°, 150° y 50°.
c. 30°, 60°, 90° y 120°. f. 90°, 100°, 110° y 60°.
4. Evalúa si es posible construir cada cuadrilátero. Escribe Sí o No. Justifica tu respuesta.

a. Un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.
b. Un cuadrilátero con un ángulo interior de 200°.
c. Un cuadrilátero con cuatro ángulos interiores agudos.

a. Uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles mide 100°.
• ¿Cuánto deben sumar las medidas de sus otros dos ángulos interiores?
Respuesta:
• ¿Cuánto miden sus otros dos ángulos interiores?
Respuesta:
b. Los tres ángulos interiores de un triángulo miden lo mismo.
• ¿Cómo lo clasificas?, ¿por qué?
Respuesta:
• ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?
Respuesta:
c. Tomás quiere dibujar un triángulo rectángulo. La relación entre las medidas de sus ángulos
agudos debe ser 1 : 2.
• ¿Cuánto deben sumar las medidas de sus ángulos agudos?
Respuesta:
• ¿Cuánto medirán sus ángulos agudos?
Respuesta:

d. La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un cuadrilátero es 120°. ¿Cuánto deben
sumar los otros dos?
Respuesta:
e. Tres ángulos interiores de un cuadrilátero miden 120°, 40° y 150°, respectivamente. ¿Cuál es la
medida del cuarto ángulo interior?
Respuesta:
f. Andrea dibujará un cuadrilátero. Uno de los ángulos interiores medirá 80°. Si sus otros ángulos
interiores fueran iguales entre sí, ¿cuáles serían sus medidas?
Respuesta:
g. En la figura, el valor de α es 80°.
• ¿Cuál es el valor de x + 2x + 4x?
2x
Respuesta: 4x
• ¿Cuál es el valor de los ángulos interiores del cuadrilátero?
Respuesta:

Cálculo de ángulos
1. Determina el valor de x e y.
a. d.
L1 ll L2 L1
y
45°
y x L2
x
125°
x= y= x= y=
b. e.
L1 ll L2
x 102° x y
y
75°
78° 78°
L1 L2
x= y= x= y=
c. f.
y 55° x
100°
50°
x 64° y
50°
x= y= x= y=

g. j.
x y
85°
y
159° x
37°
x= y= x= y=
h. k.
83° x 25° 115°

x y
44° y 52°
x= y= x= y=
i. l.
y 92°
37° 20°
y 106°
88° x
x 76°
x= y= x= y=

2. Determina el valor de las expresiones a partir de los valores de x e y.
25° 81° 142°

y 34°
157°
x
a. x + y = c. x – y =
b. 2x + y = d. 3y – x =
3. Analiza la figura.
En ella, se cumple que CB II DE, CE ⊥ AB y CA ⊥ CB. Además, el

ángulo BECB mide 25°.
a. α =
E
ε
b. β = B
α
c. γ =
ζ
d. δ =
e. ε = δ γ β
C D A
f. ζ =

a. En el plano inclinado de la figura, se cumple que CB II ED, FE ⊥ AC C
y BA ⊥ BC.
• ¿Cuánto mide el ángulo BACB?
63°
E
F
Respuesta:
• ¿Cuánto mide el ángulo BEFB? A B
D
Respuesta:
b. En la figura se cumple que L1 II L2.

• ¿Cuál es el valor de 2α + 3α?
2α
3α
Respuesta: L1 L2
Respuesta:
Sintetiza
Organiza los contenidos de esta lección en un esquema gráfico que te sirva para recordarlos.
¿Cuál de ellos crees que aplicarás en otras asignaturas?, ¿cuál no? Explica por qué.
Contenidos que crees que aplicarás Contenido que crees que no aplicarás



¿Cómo vas?
1. Evalúa respecto de la figura. Escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.
a. Los ángulos BDBA y BBDC miden lo mismo.
AB ll EC
b. Los ángulos BEDB y BCBD miden lo mismo.

E
D
C
c. Los ángulos BEDB y BBDC son complementarios.
A
d. E l ángulo BEDB mide la suma de las medidas de los B
ángulos BCBD y BDCB.

a. En la figura, se cumple que:
δ
α = x γ = 2x δ = 3x γ
β
Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de γ?
Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de δ?
Respuesta:
Respuesta:

b. Observa la figura.
3x 2x
• ¿Cuál es el valor de x?
4x
Respuesta: x
• ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?
Respuesta:
c. En la figura, L1 II L2 y se cumple que: α

β
α = x + 20° β = x + 100°
• ¿Cuál es el valor de α + β?
L2 L2
Respuesta:
• ¿Cuál es el valor de x?
Respuesta:
Respuesta:
Respuesta:
Retroalimentación
Ángulos en rectas que se intersecan Páginas 121 a 125 y 132 a 135.
Ángulos en triángulos y cuadriláteros Páginas 126 a 135.

Lección 9: Teselaciones
Teselaciones regulares
1. Define y ejemplifica.
a. Traslación.
b. Rotación.
c. Reflexión.
2. Describe las características de una teselación regular.
3. Identifica las figuras 2D regulares que permiten teselar el plano. Marca con un .
a. c. e.
b. d. f.
116
4. Explica por qué este diseño de círculos no es una teselación.
5. Indica si la teselación es regular o no. Justifica.

a.
b.
c.
117
Lección 9 • Teselaciones 117
6. Construye una teselación con la figura 2D.
a. Cuadrado.

b. Triángulo equilátero.

c. Hexágono regular.

a. Las figuras regulares tienen sus lados y ángulos interiores iguales.
b. Una teselación regular puede estar formada por rectángulos.
c. Es posible construir una teselación regular con triángulos equiláteros aplicando

únicamente traslaciones. [Profundización].
d. Es posible construir una teselación regular con cuadrados aplicando únicamente

traslaciones. [Profundización]

8. Explica los pasos de la construcción de la teselación mediante transformaciones isométricas.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4

Otras teselaciones
1. Describe las características de una teselación:
a. semirregular.
b. irregular.
2. Identifica y describe las transformaciones isométricas que permiten construir cada teselación.
a.
b.
c.

3. Analiza cada teselación. Dibuja la figura o combinación de figuras que permite construirla.
a.
b.
c.
d.
Sintetiza
Crea un juego de mesa a partir de los contenidos de esta lección. Preséntalo a tus compañeros
y juega con ellos. ¿Qué contenido comprendiste mejor?, ¿en cuál tuviste más dificultades?
Explica por qué.
Contenido que comprendiste mejor Contenido que no comprendiste



¿Cómo vas?
1. Analiza la figura combinada.
a. ¿Qué figuras 2D la forman?
Respuesta:
b. ¿Qué tipo de teselación permite construir: regular, semirregular o
irregular?, ¿por qué?
Respuesta:
2. Relaciona cada teselación de la izquierda con la figura 2D de la derecha que permite

formarla. Usa líneas.

3. Construye una teselación usando cada patrón.
a.
b.
c.
d.
Retroalimentación
Si tuviste dificultades con los contenidos de esta lección, repasa en las páginas 139 a 145 de tu
Texto del Estudiante.

Lección 1O: Área y volumen
Área de cubos y paralelepípedos

1. Construye una red de la figura 3D. Usa una regla para medir las longitudes.
a.
2 cm
2 cm
2 cm
b.
3 cm
1 cm 2 cm

2. Analiza la red de un paralelepípedo.
a
5 b
1 2 3 4 c
a. ¿Qué rectángulos son congruentes entre sí?

Respuesta:
b. ¿Qué relación tendría que existir entre a, b y c para que con la red se pudiera armar un cubo?
Respuesta:
c. Si las medidas a, b y c de los segmentos de la figura fueran 2 cm, 3 cm y 4 cm, ¿cuál sería el
área del paralelepípedo que podría armarse?
Respuesta:
3. Determina el área de cada red y dibuja la figura que puede armarse con ella.
a. Red formada por 6 cuadrados.
5 cm
Área =
Lección 10 • Área y volumen 125

b. Red formada por 6 cuadrados.
6 cm
Área =
c. Red formada por 6 rectángulos, congruentes de a pares.

6 cm
4 cm
10 cm
Área =
d. Red formada por 6 rectángulos, congruentes de a pares.

4 cm
4 cm
12 cm
Área =

a. María quiere construir una caja con forma de cubo. La red que usará está compuesta por
cuadrados cuyos lados miden 5 cm.
• ¿Cuál es el área de una cara del cubo?
Respuesta:
• ¿Cuál será el área de la red que usará?
Respuesta:
• ¿Cómo se relaciona el área de la caja que armará María con la de su red?

Respuesta:
b. Ricardo envolverá la caja de la imagen. Para hacerlo, tiene 800 cm2 de papel.
• ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel ocupará como mínimo?
8 cm
Respuesta:
• ¿Cuántos centímetros cuadrados le sobrarán? 10 cm

9 cm
Respuesta:

Cálculo del área de cubos y paralelepípedos
1. Determina el área A de un cubo cuya arista mide p y completa la tabla.
p (cm) A (cm2)
1
3
5
7
9
11
20
24
2. Determina el área A de los paralelepípedos y completa la tabla.

Alto (cm) Largo (cm) Ancho (cm) A (cm2)
1 5 2
3 6 4
6 8 6
4 6 5
3 10 2
7 11 7
9 10 8
5 11 10
2 5 3,5
1,5 8 3
4 5,5 4
3 9,5 7
3. Determina la longitud p de la arista de un cubo de área A y completa la tabla. [Profundización]
A (cm2) p (cm)
24
96
216
384
600
726
1 944

4. Propón posibles medidas para las aristas de los paralelepípedos de área A.
A (cm2) Alto (cm) Largo (cm) Ancho (cm)

76
94
112
144
240

a. Analiza el paralelepípedo.
6 cm
• ¿Cuál es el área de su cara de mayor área?
3 cm
2 cm
Respuesta:
• ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartulina se necesitan como mínimo para construirlo?
Respuesta:
b. Un estudiante quiere cubrir con cartulinas las caras de un cubo cuyas aristas miden 15 cm.
• ¿Cuánto mide la superficie de la cartulina que necesita como mínimo para cubrir una cara?
Respuesta:
• ¿Cuánto mide la que utilizará como mínimo para cubrir todas las caras?
Respuesta:

c. Alejandro y Natalia construyeron paralelepípedos con el mínimo posible de cartón. El de
Alejandro mide 20 cm de alto, 15 cm de largo y 10 cm de ancho. El de Natalia, 18 cm de alto,
15 cm de largo y 12 cm de ancho.
• ¿Cuánto cartón ocupó Alejandro?
Respuesta:
• ¿Cuánto cartón utilizó Natalia?
Respuesta:
• ¿Cuál de los niños empleó más cartón en su construcción?
Respuesta:
d. La figura se armó con 5 cubos cuyas aristas miden 7,5 cm. [Profundización]
• ¿Cuál es el área de uno de los cubos?
Respuesta:
• ¿Cuál es el área de la figura compuesta?
Respuesta:

e. La figura se armó con cubos cuyas aristas miden 5 cm. [Profundización]
• ¿Cuál es el área de uno de los cubos?
Respuesta:
• ¿Cuál es el área de la figura compuesta?
Respuesta:
f. Adriana va a pintar las paredes y el cielo de su pieza. Esta tiene forma de paralelepípedo,
cuyo alto, largo y ancho son 2,5 m, 4 m y 3,5 m, respectivamente. Además, hay 2 ventanas
cuadradas de 1 m de lado. [Profundización]
• ¿Cuál es el área de las paredes de su pieza?
Respuesta:
• ¿Cuál es el área del cielo de su pieza?
Respuesta:
• ¿Cuál es el área total que pintará Adriana?
Respuesta:

Cálculo del volumen de cubos y paralelepípedos
1. Determina el volumen V de un cubo cuya arista mide q y completa la tabla.
q (cm) V (cm3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. Determina el área V de los paralelepípedos y completa la tabla.
Alto (cm) Largo (cm) Ancho (cm) V (cm3)

4 9 8
5 10 7
9 13 9
1 25 2
4 20 12
12 22 15
10 32 10
19 29 15
2,5 8 5
3 11 3,5
9 10,5 7
8 8,5 8
3. Determina la longitud q de la arista de un cubo de volumen V y completa la tabla. [Profundización]
V (cm3) q (cm)
27
64
125
343
1 000

a. La figura se armó con cubos cuyas aristas miden 3,5 cm. [Profundización]
• ¿Cuál es el volumen de uno de los cubos?
Respuesta:
• ¿Cuál es el volumen de la figura compuesta?
Respuesta:
Respuesta:
b. Las aristas basales de un paralelepípedo miden 3 cm y 2 cm; y su altura, 6 cm. [Profundización]

• Si su altura aumenta al doble, ¿en qué porcentaje se incrementa su volumen?
Respuesta:
Respuesta:
• Si cada arista aumenta al doble, ¿cuál es la razón entre sus volumenes final e inicial?
Respuesta:
Respuesta:
Sintetiza
Crea una maqueta de cartón a partir de la red de un cubo o paralelepípedo, y calcula su área
y su volumen. ¿Qué contenidos de los estudiados has aplicado en otras asignaturas?, ¿cuáles
no? Describe un ejemplo en cada caso.
Contenidos aplicados Contenidos no aplicados

Ejemplo: Ejemplo:


¿Cómo vas?
1. Analiza las redes.
Red A: formada por 6 cuadrados. Red B: formada por 6 rectángulos

congruentes de a pares.
1 cm
3 cm
4 cm
3 cm
a. ¿Qué figura 3D puede armarse con cada red?

Red A: Red B:
b. ¿Cuál es el área de estas figuras?
Respuesta:
c. Si se usará el mínimo de cartón para construirlas, ¿en cuál se ocupará menos?
Respuesta:
2. Determina el área de un cubo cuya arista mide 5 cm. Luego, representa su red.
Red
Área =

3. Determina el área de un paralelepípedo de 1 cm de alto, 4 cm de largo y 1 cm de ancho.
Luego, representa su red.
Red
Área =

a. El área de un cubo de madera es 2 400 cm2.
• ¿Cuánto mide su arista?
Respuesta:
• ¿Cuál es su volumen?
Respuesta:
b. El alto, largo y ancho de un paralelepípedo son 4 cm, 12 cm y 8 cm, respectivamente.

• ¿Cuál es la razón entre el área basal y el área lateral mayor del paralelepípedo?
Respuesta:
• ¿Cuál es la razón entre el área basal y el área lateral menor del paralelepípedo?
Respuesta:
Retroalimentación
Área de cubos y paralelepípedos Páginas 149 a 157.
Volumen de cubos y paralelepípedos Páginas 158 a 161.

¿Qué aprendiste?
1. Mide los ángulos con un transportador.
α=
β=
α β
2. Establece si la figura 2D podría tener ángulos interiores de las medidas indicadas. Justifica.
a. Triángulo. 20°, 30° y 120°.
b. Cuadrilátero. 40°, 80°, 100° y 140°.
c. Triángulo. 47°, 75° y 78°.
d. Cuadrilátero. 66°, 32°, 116° y 136°.
3. Clasifica los triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos interiores.
Triángulo A:
Triángulo B:
A B C
Triángulo C:
4. Determina el valor de α.
60°
130°
α=
α 100°

5. Dibuja y recorta triángulos equiláteros congruentes.
a. Construye una teselación con ellos y represéntala.
b. ¿Qué transformaciones isométricas aplicaste para construir la teselación?

Respuesta:
c. ¿Cómo clasificas la teselación?

Respuesta:
6. En la figura se cumple que L1 L2.

L1 L2
a. ¿Cuáles son los valores de α y β?
Respuesta: β
115°
α
b. ¿Qué relación existe entre α y β?
Respuesta:
7. Resuelve el problema . [Profundización]
La figura está formada por cubos cuya arista mide 6 cm.
¿Cuál es la razón entre su área y su volumen?
Respuesta:
¿Te ayuda lo aprendido en Sí Da un ejemplo.

esta unidad a comprender
mejor tu entorno? No Enumera figuras 2D que observas a tu alrededor.

4 La salud
Unidad
Lección 11: Representación de datos
Comparación de distribuciones
1. Explica cómo lees la información de un diagrama de:
a. tallo y hojas.
b. puntos.
2. Construye un diagrama de tallo y hojas para cada conjunto de datos.

a. Altura (cm) b. Masa corporal (kg)
141 136 131 146 36 38 41 42
142 138 132 149 46 46 32 34
156 154 136 138 28 30 25 44
126 139 127 155 37 35 33 33

a. Analiza el diagrama con los tiempos registrados por un grupo de atletas en una carrera
de atletismo.
• ¿Cuántos atletas compitieron? Tiempos de atletas
en completar
Respuesta: carrera (min)
• ¿Cuál fue el menor tiempo registrado? Tallo Hojas
Respuesta: 1 2 8
2 1 3 5 7 7
• ¿Cuántos atletas tardaron menos de 30 minutos?
3 3 6 7
Respuesta:
138
138 Unidad 4 • La salud
b. Los datos corresponden a los tiempos de espera en dos cajas de un supermercado.
Tiempo de espera
15 14 13 22 15 7 10 35 20 33 27 33 36
en caja A (min)
Tiempo de espera
11 23 21 30 12 27 15 10 18 10 16 33 10
en caja B (min)
• Construye un diagrama de tallo y hojas para cada caja.
• ¿Cuál fue el mayor tiempo de espera por caja?

Respuesta:
• ¿Cuántos clientes esperaron más de 12 minutos?
Respuesta:
c. Los diagramas muestran la cantidad de puntos que convirtió por partido un equipo infantil
de básquetbol en dos torneos.
Puntos obtenidos por partido de un equipo

de básquetbol en dos torneos
Torneo 1 Torneo 2
Tallo Hojas Tallo Hojas
1 0 2 3 6 7 9 1 1 2 2 3 3 5 7
2 0 0 4 4 7 8 2 0 1 1 1 8 9
3 0 3 5 3 0 0
• ¿Cuál fue la menor cantidad de puntos que convirtió en un partido?
Respuesta:
• ¿En cuántos partidos el equipo convirtió menos de 21 puntos?
Respuesta:
• ¿En qué torneo convirtió más puntos?
Respuesta:
139
Lección 11 • Representación de datos 139
d. Los diagramas muestran la cantidad de partidos ganados (G), empatados (E) y perdidos (P)
por dos equipos de fútbol en un torneo regional.
Resultados de dos equipos de fútbol en un torneo regional
G E P G E P
Equipo 1 Equipo 2
• ¿Cuántos partidos jugó cada equipo?

Respuesta:
• ¿Cuál de los equipos ganó más partidos?
Respuesta:
• ¿Cuál es la diferencia entre las cantidades de partidos empatados?
Respuesta:
• Completa la tabla. G representa la cantidad de partidos ganados, E los empatados y P,

los perdidos.
Resultado G E P
Equipo
1
2
• Un equipo obtiene 3 puntos por partido ganado, 1 por partido empatado y 0 por partido
perdido. ¿Cuál de los equipos logró más puntos en el torneo?
Respuesta:

4. Dos integrantes. Cada uno analiza uno de los siguientes conjuntos de datos, que
representan las edades de dos grupos de estudiantes:
Conjunto A (años)
12 13 12 14 12 10 11 12 13 14 13 12 14 12 13 10
Conjunto B (años)
11 11 12 13 12 13 14 13 12 12 11 10 12 11 12 15
tapa 1 (individual): Construye un diagrama de puntos y uno de tallo y hojas de la distribución

E
que seleccionaste.
Diagrama de puntos Diagrama de tallo y hojas
tapa 2 (individual): Crea tres preguntas que relacionen las distribuciones. Pídele a tu
E
compañero de grupo que las responda y responde las que él proponga.
Pregunta 1:
Respuesta:
Pregunta 2:
Respuesta:
Pregunta 3:
Respuesta:
Etapa 3 (grupal): Revisen en conjunto el trabajo realizado y respondan.

• ¿Cuál de los diagramas usaron para responder las preguntas?, ¿por qué?
Respuesta:
• ¿Ambos diagramas son útiles para describir las distribuciones y compararlas?, ¿por qué?
Respuesta:

Gráfico de barras dobles
1. Analiza el gráfico.
Preferencias de dos grupos respecto de las categorías A, B, C y D
12
Preferencias 10
(cantidad) 8
Grupo 1
6 Grupo 2
4
2
O A B C D Categoría
a. ¿Qué grupo tiene menos preferencias por la categoría A?

Respuesta:
b. ¿Qué grupo tiene más preferencias por la categoría B?
Respuesta:
c. ¿Cuántas preferencias por la categoría C hay en el grupo 1 ?
Respuesta:
d. ¿Cuántas preferencias por la categoría D hay en total ?
Respuesta:
e. ¿Cuál es la diferencia entre las cantidades de preferencias por la categoría B en los grupos
1y2?
Respuesta:
f. ¿En qué categorías el grupo 2 supera al grupo 1 en cantidad de preferencias?

Respuesta:
g. ¿Por qué categorías el grupo 1 tiene menos de 7 preferencias?
Respuesta:
h. Supón que los datos son los puntajes obtenidos por dos equipos en cuatro pruebas A, B, C y
D. ¿Cuál de los equipos obtuvo un promedio mayor?
Respuesta:

a. Dos amigos compiten en un juego que se divide en cuatro etapas. El puntaje que obtuvieron
se representa a continuación:
Puntaje en cuatro etapas de un juego
18
16
Puntaje (puntos) 14
12
10 Diego
8 Mónica
6
4
2
O 1 2 3 4 Etapa (n°)
• ¿Cuántos puntos obtuvo Diego en la etapa 3?

Respuesta:
• ¿Cuántos puntos logró Mónica en la etapa 1?
Respuesta:
• ¿En qué etapa Mónica tuvo su puntaje menor?
Respuesta:
• ¿Cuál fue la diferencia de puntajes en la etapa 2?
Respuesta:
• ¿Cuál de los niños tenía un puntaje acumulado mayor al cabo de la segunda etapa?
Respuesta:
• Gana el juego el que obtiene más puntaje acumulado en las cuatro etapas. ¿Cuál de los
niños ganó el juego? [Profundización]
Respuesta:

b. El gráfico representa las ventas semanales en dos tiendas de juegos.
Ventas semanales de dos tiendas de juegos
40
35
Venta (cantidad) 30
25
Tienda 1
20 Tienda 2
15
10
5
Tipo de juego
O Consolas Juegos de mesa Bicicletas
• ¿Qué tienda vendió más juegos de mesa?

Respuesta:
• ¿Cuántas bicicletas vendió la tienda 2?
Respuesta:
• ¿Cuántas consolas vendieron las dos tiendas en conjunto?
Respuesta:
• ¿Cuál de los tres juegos se vendió más en la tienda 2?
Respuesta:
• ¿Cuál de las tiendas vendió más bicicletas?
Respuesta:
• ¿Cuál de las tiendas vendió una mayor cantidad de juegos?
Respuesta:
• El precio de una consola es de $18 000 en la tienda 1 y de $24 500 en la tienda 2. ¿Cuál de
las tiendas recibió más dinero por la venta de consolas? [Profundización]
Respuesta:

c. El gráfico se construyó a partir de encuestas realizadas a nivel nacional. En él se muestra la
evolución de dos de las respuestas a una de las preguntas planteadas.
Habitualmente, ¿qué hace usted en su tiempo libre?
Porcentaje (%)
25
20
15 Veo televisión.
Practico un deporte
10 o actividad física.
5
O 2006 Tiempo (año)

2009 2012 2015 2018
Fuente: Ministerio del Deporte. «Encuesta Nacional de Actividad
Física y Deporte en Población de 18 años y más, 2018».
• ¿Cuál de las dos respuestas fue más frecuente en todos los años considerados?
Respuesta:
• ¿Qué porcentaje de los encuestados, aproximadamente, preferían ver televisión en 2012?
Respuesta:
• ¿Qué porcentaje de los encuestados, aproximadamente, preferían practicar un deporte o
actividad física en 2006?
Respuesta:
• ¿En qué año la diferencia porcentual entre las dos respuestas fue menor?
Respuesta:
• ¿Qué tendencia a lo largo del tiempo se produce en el porcentaje de encuestados que
declaran practicar un deporte o actividad física?
Respuesta:
• Supón que se encuestó a 6 000 personas en 2012. ¿Cuántos de ellos declararon practicar un
deporte o actividad física? [Profundización]
Respuesta:

Gráfico circular
1. Calcula el porcentaje desconocido en cada gráfico circular.
a.
20 %
70 %
b.
35 %
35 %
c.
18 %
36 %
2. Un comerciante compra cuatro tipos de productos para su negocio: A, B, C y D. El gráfico

representa los porcentajes que adquiere de cada producto cada vez que realiza una compra.
Determina la cantidad de unidades que adquiere de cada producto para las compras que se
muestran en la tabla.
Compra A B C D
(cantidad) (cantidad) (cantidad) (cantidad) (cantidad) 25 % 15 %
20 B
C
40
D A
60
20 % 40 %
100
15 000

3. Un robot realizó cuatro tipos de movimientos: arriba, abajo, izquierda y derecha. El
porcentaje de cada tipo de movimiento realizado se muestra en el gráfico circular de la
imagen. Completa la tabla con la cantidad de movimientos de cada tipo que realizó.
20 % 24 % Tipo de movimiento Movimientos (cantidad)

Arriba Derecha
Arriba
Abajo Abajo
Izquierda
12 % Izquierda
44 %
Derecha
4. Construye un gráfico circular a partir de la tabla de datos. [Profundización]
Tipo de fruta Porcentaje (%)

Manzana 25
Pera 25
Naranja 50

a. Analiza el gráfico con los resultados de un equipo de fútbol en un torneo.
• ¿Cuánto suman los porcentajes del gráfico?
Porcentaje de partidos ganados,

empatados y perdidos
Respuesta: 15 %
25 %
• ¿Cuál es la razón entre los partidos ganados Ganados
y perdidos? Empatados
Perdidos
60 %
Respuesta:
• El equipo jugó 20 partidos en el torneo. ¿Cuántos ganó, empató y perdió?
Respuesta:

b. Analiza el gráfico que representa el destino de 300 pasajeros de un avión que despegó de Iquique.
Destino de pasajeros del vuelo
25 % Antofagasta
Santiago
50 % Concepción
Punta Arenas
10 %
• ¿Qué porcentaje de los pasajeros descenderá en su primera parada, Antofagasta?
Respuesta:
• ¿A cuántos pasajeros equivale ese porcentaje?
Respuesta:
• ¿Cuántos de los pasajeros que se embarcaron en Iquique descenderán en Punta Arenas?
Respuesta:
6. Dos integrantes.
Etapa 1 (grupal): Analicen la tabla. Calculen los porcentajes y los ángulos asociados a cada
categoría. Como a un círculo se le puede asociar una medida de 360°, pueden expresar cada
porcentaje como una razón de consecuente 360. Anoten sus resultados en la tabla. [Profundización]
Preferencias Porcentaje Medida del

Categoría
(cantidad) (%) ángulo (°)
A 60
B 50
C 25
D 65
Total

tapa 2 (individual): Construye el gráfico circular que representa los datos. Puedes utilizar un
E
transportador y un compás.
Etapa 3 (grupal): Comparen sus trabajos y corrijan de forma conjunta.

tapa 4 (grupal): Inventen tres preguntas relacionadas con los datos graficados. Formulen estas
E
peguntas a los integrantes de otro grupo y ayúdenlos a responderlas.
Pregunta 1:
Respuesta:
Pregunta 2:
Respuesta:
Pregunta 3:
Respuesta:
Sintetiza
Confecciona un afiche con información referida a tu curso (por ejemplo, estatura, número de
mascotas, etc.), que contenga dos de las representaciones gráficas estudiadas en esta lección.
¿Cuál de estas representaciones conocías de cursos anteriores?, ¿cuál no? Describe ambas.
Representación conocida: Representación no conocida:

Descripción Descripción


¿Cómo vas?
1. Observa los diagramas, evalúa y escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.
Notas de la prueba de Matemática de los estudiantes de 6° básico
2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7
6º A 6º B
a. Rindieron la prueba más alumnos del 6° B que del 6° A.
b. Hubo más notas 7 en el 6° A que en el 6° B.
c. Hubo la misma cantidad de notas 4 en ambos cursos.
d. El 6° A tuvo más notas iguales o mayores que 4 que el 6° B.
e. El 6° A tuvo mayor promedio que el 6° B.

a. Los inscritos a clases de natación fueron divididos en dos grupos.
Edad en años de los inscritos a clases de natación

Grupo 1 Grupo 2
Tallo Hojas Tallo Hojas
1 1 1 2 4 8 1 0 1 2 2 6 8
2 1 2 3 5 9 9 2 1 2 2 7 7
3 2 4 3 1
• ¿Cuál de los grupos tiene más integrantes?

Respuesta:
• ¿Cuál de los grupos tiene más integrantes cuya edad es igual o menor que 21 años?
Respuesta:

• ¿Cuántos integrantes de 25 años o más hay en cada grupo?
Respuesta:
• ¿Cuál es la suma de las edades de los integrantes de cada grupo?
Respuesta:
b. A una feria de comida natural llegaron 700 personas. Nacionalidad de los visitantes
de una feria de comida
• ¿Qué porcentaje representan los visitantes
no chilenos? 8 %
Peruana
33 % Venezolana
42 % Chilena
Colombiana
17 %
Respuesta:
• ¿Cuántos visitantes de cada nacionalidad hubo?
Respuesta:
Ventas de platos saludables
c. Laura y Andrés venden platos saludables.
8
Platos (cantidad)
• ¿Qué días Laura vendió más 7

platos que Andrés? 6
5 Andrés
Respuesta: 4 Laura
• ¿Cuántos platos vendieron en 3
2
total entre los dos? 1
Respuesta: O Lunes Martes Miércoles Jueves Día
Retroalimentación
Comparación de distribuciones Páginas 169 a 173.
Interpretación de gráficos de barras dobles y circulares Páginas 174 a 181.

Lección 12: Tendencia de resultados
Experimentos aleatorios
1. Clasifica en experimento aleatorio o no aleatorio.
a. Determinar la cantidad de goles que anotará un equipo en su próximo partido.
b. Enfriar agua a 0 °C y ver si se congela o no.
c. Determinar el número de automóviles que pasarán por un peaje en 1 hora.
d. Determinar la cantidad de días que tendrá el próximo mes.
e. Determinar el número que se obtendrá al lanzar un dado honesto.
2. Una tómbola tiene bolitas del mismo tamaño, numeradas del 1 al 30. Se selecciona una al azar.
a. ¿Puedes saber con certeza que número tendrá? Explica.
Respuesta:
b. Escribe todos los posibles resultados del experimento.
3. Dos integrantes.
Etapa 1 (individual): Describe tres experimentos, aleatorios o no aleatorios.
Experimento 1:
Experimento 2:
Experimento 3:
Etapa 2 (individual): Clasifica los experimentos de tu compañero en aleatorios o no aleatorios.
Experimento 1:
Experimento 2:
Experimento 3:
Etapa 3 (grupal): Compartan y discutan sus respuestas.
152
4. Analiza el juego «piedra, papel o tijera». Completa el diagrama y responde.
Jugador A Jugador B Situación

jugador A
Piedra
Piedra Papel
Tijera Gana A
Gana A
Gana A
a. ¿De cuántas formas puede ganar el jugador A?

Respuesta:
b. ¿De cuántas formas puede empatar el jugador A?
Respuesta:
c. ¿De cuántas formas puede perder el jugador A?
Respuesta:
d. ¿El juego «piedra, papel o tijera» es aleatorio o no aleatorio? Justifica.
Respuesta:
153
Lección 12 • Tendencia de resultados 153
5. Analiza el experimento de lanzar dos veces una moneda honesta. Completa el diagrama
con C si el resultado fue cara y con S, si fue sello.
Lanzamiento 1 Lanzamiento 2
a. ¿De cuántas formas se pueden obtener una cara y un sello?

Respuesta:
b. ¿De cuántas formas se pueden obtener dos caras?
Respuesta:
c. ¿Es más posible obtener dos caras o una cara y un sello?
Respuesta:
6. Construye un diagrama de árbol para representar el lanzamiento de cuatro monedas honestas.

Repetición de experimentos y tendencia
1. Repite el experimento de lanzar una moneda honesta y registra los resultados.
a. 5 veces.
Frecuencia Fracción respecto Número decimal

Resultado
(cantidad) del total equivalente
Cara
Sello
b. 20 veces.

Resultado
Cara
Sello
c. 50 veces.

Resultado
Cara
Sello
d. Comparte tus resultados para las 50 repeticiones del experimento con un compañero y
completa la tabla.
Los de tu Suma de las Fracción respecto

Tus resultados
compañero frecuencias del total
Frecuencia Frecuencia Frecuencia Número decimal
Resultado
(cantidad) (cantidad) (cantidad) equivalente
Cara
Sello
Total 50 50 100 1
e. Responde.
• A medida que más veces se realiza el experimento, ¿qué tendencia observas en el valor del
número decimal para el resultado «cara»? Explica.
Respuesta:
• ¿La tendencia identificada es similar para el resultado «sello» o es diferente? Compara.
Respuesta:
• ¿Qué puedes concluir sobre el experimento realizado? Argumenta.
Respuesta:

2. Se lanza una moneda muchas veces. Los resultados se registran en la tabla.
Resultado Cara Sello
Frecuencia (cantidad) 748 752
a. ¿Cuántas veces se lanzó la moneda?

Respuesta:
b. Determina la fracción respecto del total de cada resultado del experimento. Propón una
conjetura para asociar esta fracción con la posibilidad de que se verifique el resultado.
[Profundización]
Respuesta:
c. Simula el experimento en una hoja de cálculo. Compara tus resultados con los de la tabla de
esta actividad. ¿Son iguales o distintos?, ¿por qué?
Respuesta:
3. En una tómbola hay bolitas con los números 1 al 5. Se extrae una bolita, se registra su
número y se devuelve a la tómbola. Analiza la tabla y complétala.
Número Frecuencia
Fracción respecto del total
obtenido (cantidad)
1 6
2 5
3 6
4 12
5 6
a. ¿Cuántas veces se repitió el experimento?
Respuesta:
b. ¿Qué fracción obtuviste en la tercera columna para cada número obtenido?
Respuesta:
c. ¿Qué número tiene más posibilidades de obtenerse en la tómbola? Haz una conjetura.
Justifica. [Profundización]
Respuesta:

4. Lanza un dado honesto de seis caras y registra los resultados.
a. 10 lanzamientos.
Fracción respecto Número decimal
Resultado Frecuencia (cantidad)
del total equivalente
Número par
Número impar
b. 20 lanzamientos.
Número par
Número impar
c. 50 lanzamientos.
Número par
Número impar
d. Comparte tus resultados para las 50 repeticiones del experimento con un compañero y
completa la tabla.
Los de tu Suma de las Fracción respecto

Tus resultados
compañero frecuencias del total
Frecuencia Frecuencia Frecuencia Número decimal

Resultado
(cantidad) (cantidad) (cantidad) equivalente
Número par
Número impar
Total 50 50 100 1
e. Responde.
• A medida que más veces se realiza el experimento, ¿qué tendencia identificas en el valor
del número decimal equivalente para el resultado «número par»? Explica.
Respuesta:
• ¿Esta tendencia es similar para el resultado «número impar» o es diferente? Compara.

Respuesta:
• ¿Qué puedes concluir sobre el experimento realizado? Argumenta.

Respuesta:

5. Dos integrantes.
Etapa 1 (individual): Pinta un dado honesto de seis caras de tres colores diferentes. Dos caras de
un color 1, otras dos de un color 2 y las dos últimas de un color 3.
Etapa 2 (individual): Lanza el dado y registra el color que se obtiene.
10 veces.
Fracción respecto del Número decimal

total equivalente
Color 1
Color 2
Color 3
20 veces.

total equivalente
Color 1
Color 2
Color 3
30 veces.

total equivalente
Color 1
Color 2
Color 3
40 veces.

total equivalente
Color 1
Color 2
Color 3
Etapa 3 (grupal): Respondan.

• A medida que más veces realizaron el experimento, ¿qué tendencia en el el valor del número
decimal equivalente lograron identificar para cada color? Expliquen.
Respuesta:
• ¿Qué pueden concluir acerca de este experimento? Argumenten.

Respuesta:

En una urna hay bolitas con los números 1, 2, 3, 4 y 5 pintados en su superficie. Se extrae
una bolita, se anota el resultado y se devuelve a la urna. Los resultados de repetir este
experimento 5 000 veces se muestran en la tabla.
Resultado (n°) 1 2 3 4 5
Frecuencia (cantidad) 1 201 789 703 1 309 998
a. El experimento realizado, ¿es aleatorio o no aleatorio?

Respuesta:
b. ¿Cuál es la razón parte-todo asociada a cada resultado?
1 2 3 4 5
c. ¿Qué número tiene mayor posibilidad de ser seleccionado? Realiza una conjetura.
Respuesta:
d. Supón que la urna tiene 100 bolitas. ¿Cuántas tendrían pintado en su superficie cada número:
1, 2, 3, 4 y 5? Realiza conjeturas y calcula. [Profundización]
1 2 3 4 5
Sintetiza
Simula un experimento aleatorio usando una hoja de cálculo y plantea diversas conjeturas.
¿Cuáles de los contenidos estudiados en la lección te resultaron entretenidos?, ¿cuáles no?
Explica por qué.
Contenidos entretenidos Contenidos no entretenidos



¿Cómo vas?
1. Propón un experimento aleatorio y uno no aleatorio. Justifica.
Experimento aleatorio:
Experimento no aleatorio:
2. Una persona puede viajar en un bus tipo A o tipo B. En ambos tipos de bus puede
seleccionar asiento clásico, semicama o cama. Construye un diagrama de árbol para
representar las distintas formas en que una persona puede viajar.
3. Se simula en una hoja de cálculo el lanzamiento de un dado de seis caras 100, 1 000 y 10 000
veces. Los resultados fueron los siguientes:
Frecuencia (cantidad de lanzamientos)

Resultado 100 lanzamientos 1 000 lanzamientos 10 000 lanzamientos
1 27 168 1 667
2 13 169 1 664
3 21 179 1 668
4 18 171 1 661
5 7 166 1 659
6 14 147 1 681
a. El experimento, ¿es aleatorio o no? Justifica.

Respuesta:

b. Completa la tabla.
Fracción respecto de la cantidad total de lanzamientos

Resultado (n°) 100 lanzamientos 1 000 lanzamientos 10 000 lanzamientos
1
2
3
4
5
6
c. ¿Qué ocurre con la fracción respecto del número total de lanzamientos de cada resultado
posible a medida que el número de lanzamientos aumenta? Explica.
Respuesta:
La tabla muestra los colores obtenidos al hacer girar una ruleta muchas veces.
a. ¿Cuántas veces se repitió el experimento?

Frecuencia
Color
Respuesta: (cantidad)
b. ¿El experimento es aleatorio o no aleatorio?, ¿por qué? Rojo 145

Negro 103
Respuesta:
Verde 52
c. ¿Cuál es el valor de la razón parte-todo para cada color?
Respuesta:
d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada color? Haz conjeturas.

Respuesta:
Retroalimentación
Experimentos aleatorios Páginas 185 y 186.
Repetición de experimentos aleatorios y tendencia Páginas 187 a 189.

¿Qué aprendiste?
a. S eleccionar una ficha de un dominó con los ojos cerrados y registrar la suma de sus
puntos es un experimento aleatorio.
b. En un diagrama de puntos NO se puede conocer el valor individual de cada dato.
c. E n un gráfico circular a mayor área del sector circular, mayor es el porcentaje

representado.
d. E l sector que representa el 50 % de los datos corresponde a la cuarta parte del círculo de
un gráfico circular.

a. La cantidad de horas semanales que entrenan los atletas de dos grupos es la siguiente:
Horas de entrenamiento semanal de

dos grupos de atletas
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Grupo A Grupo B
• ¿Cuántos atletas entrenan 3 horas semanales en el grupo B?

Respuesta:
• ¿Cuántos atletas en total entrenan menos de 2 horas semanales?
Respuesta:
• ¿Cuántos atletas integran cada grupo?
Respuesta:
• ¿En qué grupo hay más atletas que entrenan 4 horas o más semanales?
Respuesta:

b. Los resultados de una prueba de cuatro preguntas se muestran a continuación:
Resultados de una prueba de cuatro preguntas
25
Estudiantes (cantidad)
20
15 Correcta
Incorrecta
10
O 1 2 3 4 Pregunta (n°)
• ¿Qué pregunta presenta una mayor diferencia entre correctas e incorrectas?

Respuesta:
• ¿En qué preguntas hubo más respuestas correctas que incorrectas?
Respuesta:
• ¿Cuántos estudiantes rindieron la prueba?
Respuesta:
c. Se lanza 500 veces un dado de seis caras. [Profundización]
Resultado (n°) 1 2 3 4 5 6
Frecuencia (cantidad) 83 86 87 78 85 81
• ¿Qué fracción conjeturas que expresa la probabilidad de obtener un número múltiplo de 3?

Respuesta:
• ¿Qué fracción conjeturas que expresa la probabilidad de obtener un número par?
Respuesta:
para finalizar Unidad 4
• ¿Te ayudaron los contenidos Sí Da un ejemplo.

de esta unidad a comprender
No ombra dos situaciones en las que has oído
N
información de tu entorno?
hablar de información estadística o de azar.

Solucionario
Unidad 1: Nuestro planeta más números. Para calcular el m. c. m. se escriben los

múltiplos de cada número y luego se considera el
número menor que tengan en común.
Lección 1: Operaciones, múltiplos 3. a. 5, 10, 15, 20, 25, 30.
y factores b. 8, 16, 24, 32, 40, 48.
c. 10, 20, 30, 40, 50, 60.
Página 6
d. 12, 24, 36, 48, 60, 72.
1. a. 4 943 f. 275
e. 15, 30, 45, 60, 75, 90.
b. 2 972 g. 182
f. 20, 40, 60, 80, 100, 120.
c. 17 475 h. 2 290
g. 45, 90, 135, 180, 225, 270.
d. 37 188 i. 256
4. a. 12, 44, 8, 28, 60, 72
e. 59 j. 4 617
b. 99, 9
Página 7 c. 44, 88, 1 100
2. a. 387 231 e. 647 024 d. 65, 130, 39, 1 313, 104, 13
b. 466 351 f. 487
Página 11
c. 26 865 g. 471 775
5. a. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
d. 357 149 h. 1 133
3. a. Se emitieron 11 743 864 088 kg más de CO2 que de b. Al ser 6 divisible en 3, todos los múltiplos de 6 son
también múltiplos de 3.
metano.
b. Se emitieron 16 175 510 912 kg en total. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
4. a. Multiplicación c. Multiplicación c. Múltiplos comunes son: 6, 12, 18, 24 y 30.

b. Sustracción d. Adición
6. 2, 4
Página 8 7. a. 14 b. 30 c. 60 d. 60 e. 240
5. a. 2 tambores y 1 pelota.
Página 12
b. 1 tambor, 2 pares de patines y 3 robots.
8. a. Rectángulo A:
6. a. 674 129 personas más en 2040 que en 2030.
b. 216 661 personas más en 2050 que en 2040. Rectángulo B: Rectángulo C: Rectángulo D:
c. Sumando los resultados anteriores.
Página 9
7. a. 10 517 hectáreas. b.
b. $ 486 200 en total. Rectángulo Largo Ancho Cuadrados
(n° cuadrados) (n° cuadrados)
c. 337 454 kilos.
A 24 1 24
d. • ¿Cuántas personas puede transportar un tren?
B 12 2 24
• ¿Cuántas personas van de pie en un carro? C 8 3 24
• ¿Cuántos trenes se necesitan para transportar a D 6 4 24
5 280 personas?
9. Número Pares de factores Divisores
Página 10
8 1 y 8, 2 y 4 1, 2, 4, 8
1. Factor es el término en que se puede descomponer
multiplicativamente un número y el divisor es un 16 1 y 16, 2 y 8, 4 y 4 1, 2, 4, 8, 16
número natural que divide en forma exacta a otro. 28 1 y 28, 2 y 14, 4 y 7 1, 2, 4, 7, 14, 28
Relación: todos los factores de un numero son divisores 32 1 y 32, 2 y 16, 4 y 8 1, 2, 4, 8, 16, 32
de él. 1 y 96, 2 y 48, 3 y 32, 4 y 24, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24,
96 6 y 16, 8 y 12 32, 48, 96
2. Es el menor de los múltiplos comunes entre dos o
164 Solucionario
10. Por ejemplo: Escribiendo los múltiplos de cada uno Página 16
de los números y determinando el menor de ellos ¿Cómo vas?
que tengan todos en común.
1. a. 3 263 botellas.
11. a. F, tiene exactamente 5 múltiplos: 1, 2, 4, 8 y 16.
b. Pueden producir 2 190 000 L de oxígeno.
b. V, todo número impar no es divisible por 2 que
es el mínimo número par, por lo tanto, no tiene 2. a. 186 000 pingüinos menos en 2100.
factores pares. b. 264 000 pingüinos menos en 2100.
c. V, porque 12 se puede descomponer como pares c. Si aumenta en 1,5 ºC la diferencia es 186 000
de factores donde uno de ellos es 4. pingüinos y si aumenta en 5 ºC la diferencia es
d. F, también tiene como divisores al 4 y al 25. 486 000 pingüinos.
Página 13 Página 17
12. a. Se les volteará simultáneamente en 18 minutos 3. Respuesta variada. Por ejemplo: La Estrategia 1 es más
conveniente cuando se tienen números pequeños y
b. Siguiente encuentro será un jueves.
la Estrategia 2 para números más grandes.
c. Los objetos coinciden 2 veces en Los Cuervos. • 120 • 252 • 1 344 • 150
13. Multiplicando 18 y 1 es el primer múltiplo, luego 18 y 2 4. Falsa. Respuesta variada. Por ejemplo: el producto
es el segundo múltiplo y así sucesivamente hasta llegar obtenido será un número compuesto, ya que tiene
a multiplicar 18 y 20, que sería el múltiplo número 20. como factores los 2 números primos. 7 y 5 son
14. a. Por Ejemplo: 6, 24, 30, 36, 60. números primos, el producto entre ellos es 35 y éste
b. Por Ejemplo: 504, 1 008, 1 512, 2016, 5 040. es un número compuesto, ya que sus factores son:
35 y 1, 5 y 7.
Página 14
1. a. Es un número natural mayor a 1 que solo es divisible
por 1 y por sí mismo. Lección 2: Fracciones y números mixtos
b. Es un número natural mayor a 1 que es divisible
Página 18
por 1, por sí mismo y por otros números naturales
mayores a 1. 1. a. En la fracción propia el numerador es menor que el
denominador y en la fracción impropia el numerador
2. a. Los números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
es mayor que el denominador.
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
3 2 9
b. Respuesta personal. 2. a. 3 c. 4 e. 8
4 4 10
c. Respuesta personal. 2 1 2
b. 4 d. 10 f. 8
7 2 9
3. a. 2 • 2 • 5 c. 3 • 19
9 38 327
b. 2 • 3 • 7 d. 2 • 2 • 2 • 3 • 5 3. a. c. e.
5 5 14
Página 15 46 107 1 989
b. d. f.
9 6 44
4. a. No, el 2 es número primo par.
b. No, ya que todos los números cuya última cifra es 0 Página 19
son divisibles en 2 y 5. 1
4. a. Parte entera: 7, numerador: 1, denominador: 2 es 7 .
2
c. No, el 9 es impar y no es primo. 2
b. Parte entera: 3, numerador: 2, denominador: 5 es 3 .
5. a. Sofía: Correcta, ejemplo de respuesta: 6 y 35 5
6
son números primos relativos entre sí, sus c. Parte entera: 4, numerador: 6, denominador: 7 es 4 .
7
descomposiciones son 3 y 2, 7 y 5, donde no hay 5
factores primos en común. d. Parte entera: 6, numerador: 5, denominador: 9 es 6 .
9
Martín: Incorrecta, ejemplo de respuesta: 6 y 35 son 93
5.
números primos relativos entre sí, pero 35 es un 39
número compuesto, y 6 también lo es.
b. Tres números son primos relativos entre sí cuando su
único divisor común es 1. Ejemplo de respuesta: 5,
12 y 23 son primos relativos entre sí, porque su único
divisor común es el 1.
Solucionario 165
6. 21 El denominador indica en cuántas partes se divide
4 el entero y el numerador indica la cuántas partes se
debe avanzar.
2 1 4. a. V, una fracción impropia representa un número
7 mayor a 1 y una fracción propia uno menor a 1.
9 b. F, un número mixto puede expresarse solo como
2 una fracción impropia.
c. V, al representarlo con regiones tiene 12 partes
5 1 pintadas.
9
d. F, al amplificar un número mixto no se obtiene
37 un número mixto equivalente. El número mixto
14 2
equivalente es 3 .
8 1
e. F, expresado como número mixto es 5 .
7. El número natural tiene solo parte entera, mientras 2
que el número mixto tiene una parte entera y una Página 23
parte fraccionaria.
8. Verdadera, porque al amplificar aumenta el 5.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
numerador y también el denominador, donde la 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
relación entre ambos se mantiene. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Página 20 a. Color rojo.

b. Color azul.
9. a. • 4 pizzas
6. a. F, se ubica a la izquierda de 3 cm.
• 3 48
b. V, porque ambos números son iguales, pero escritos
• Sí, porque 12 es equivalente a 48 . de forma diferente.
5 10 3 17 1 3
b. • Botella 1: ; Botella 2: ; Botella 3: c. V,
2
como número mixto es 8 , al comparar es
2 10
4 4 2 1
• Botella 1: 1 4 ; Botella 2: 2 4 ; Botella 3: 1 12
1 2 menor que .
2
d. F, las partes enteras son iguales, pero al comparar las
• Mayor capacidad: Botella 2 y menos capacidad: 1 1 3
Botella 1. partes fraccionarias, es menor que y , por lo
3 2 5
c. • Erika: 1
tanto, el número se ubica a la izquierda de 7 cm.
2
e. F, su nueva ubicación será 7,8 cm.
• Sebastián:
Página 24
1 3
• No es correcto, lleva 59
5
vueltas. 7. a. Los corredores A, B y C se ubican: 1
2 4
km, 1 km y
4
2km respectivamente.
• No, porque lleva 554
vueltas. 4
1
b. El corredor A estará a 1 km.
• Es correcto, porque la parte entera del número 2
1
mixto es mayor que la de Érika. c. El corredor C está separado de A por 1 km y está
1 4
separado de la meta por 7 km.
Página 22 2
1 1 17 2 8. Al amplificar una fracción por cualquier número
17 24 4 54
1. entero, se ubican en el mismo lugar de la recta
0 1 11 2 21 3 4 43 5 7
58 6 numérica, ya que son equivalentes.
8 8 8
2. a. 0 y 1 Página 25
b. 1 71 93 103
9. a. ppm; ppm; ppm.
50 50 50 1,86 2,06
3. Fracciones impropias: se divide cada entero en la
0 1 1,42 2 3
cantidad de partes que indique el denominador y b.
luego se avanza la cantidad que indica el numerador.
71 93 103
Números mixtos: el entero indica entre qué números 50 50 50
se ubica y la fracción se ubica entre dichos números.
166 Solucionario
c. Ha aumento en la concentración de GEI. 6. Etapa 1
d. La concentración de GEI en el periodo 2015-2025 se (Estrategia 1):
2 160 108 16 37 19 480 555 190 845 19
estima que será de = ppm. + – = + – = =5 .
1 000 50 5 10 15 150 150 150 150 30
(Estrategia 2):
Página 26 16 37 19 96 111 38 169
+ – = + – = =5 .
19
5 10 15 30 30 30 30 30
10 7
1. a. 6 f. 16 Etapa 2: Los resultados son iguales.
22 18
1 1 Etapa 3: Siempre se obtiene el mismo resultado
b. 17 g. 4 independiente de la estrategia utilizada, porque en
18 12 ambas estrategias se obtiene un múltiplo en común a
5 1 todos los denominadores.
c. 2 h. 5
8 18
35 Página 30
d. 5 i. 0
36 ¿Cómo vas?
3 2 4
e. 16 j. 7 1. a. 2
26 3 7
4
Página 27 b. 5
9
2. 35
11 – 15 2. a.
«menos»
3 7
8
126
b.
11
28 + 11 2
«menos» 18 8 3. a.
5
5 1 6 2 15 1 17 3
b. B: y 1 ; C: y 1 ; D: y 2 ; E: y 2 ;
«más»
13 + 1 4 4 4 4 7 7 7 7
10
19 5 20 6
F: y 2 ; G: y 2
7 7 7 7
33 – 13 c. Respuesta variada. Por ejemplo:
«menos» 12 8
Adiciones:
15 19 34 1 2 3
+ = 1 +1 =2
«más» 1 7 – 7 7 7 7 4 4 4
8 4
2 6 2 • 4 + 6 • 5 38 19
+ = = =
5 4 20 20 10
3. a. En la amplificación de las fracciones con el mcm
(27) los números 3 y 1 deben multiplicar a los Sustracciones:
20 17 3 5 2 5 • 5 – 2 • 4 17
numeradores y no sumarse como se planteo. – = – = =
7 7 7 4 5 20 20
64 64 64 • 3 + 64 • 1 192 + 64 256 19 6 19 • 4 – 6 • 7 34 17
b. + = = = – = = =
9 27 27 27 27 7 4 28 28 14
c. El número mixto se transforma a fracción impropia,
luego se busca el m.c.m entre los denominadores, Página 31
se amplifican las fracciones para igualar los 2
4. a. Largo de la cancha: 109 m. Perímetro: 378 m.
denominadores y se suman las fracciones. 4
7
b. Distancia entre punto de penal y el centro: 45 m.
20
Página 28 14
69 Distancia entre los dos puntos de penal: 90 m.
4. a. Sustracción 20
c. 11
1 70
b.
10 d. Adición Lección 3: Números decimales
10
5. a. Ambos obtienen 5
63
46 17 Página 32
b. Serán diferentes. Ana: 1 ; Carlos: 2 .
63 63 1. Los números decimales tienen una parte entera y una
Página 29 parte decimal separadas por una coma (entero, decimal).
c. Para la adición se pueden aplicar ambas estrategias. 2. a. 5,8 c. 8
Para la sustracción, solo sirve la de Carlos, ya que la b. 1,625 d. 0,006
de Ana da un resultado erróneo.
Solucionario 167
3. a. 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4 Resto: cantidad que sobra al realizar una división.
b. 0,04 + 0,04 +0,04 +0,04 +0,04 +0,04 = 0,24 Ejemplo: 17 : 3 = 5
2
c. 4,542 + 4,542 + 4,542 + 4,542 + 4,542 = 22,71
Dividendo: 17; divisor: 3; cociente: 5; resto: 2.
4. a. 0,9 • 4 = 3,6 2. a. 2,3 c. 2,1
b. 1,83 • 2 = 3,66 b. 0,1 d. 0,22
c. 0,34 • 6 = 2,04 3. a. 0,3 c. 0,9 e. 0,6
d. 10,05 • 5 = 50,25 b. 0,7 d. 0,3 f. 0,8
e. 5,6 • 10 = 56
Página 39
Página 33 4. a. 0,9 g. 4,1
5. a. F. Ejemplo: 0,8 • 1,25 = 1. b. 2,5 h. 1,5
b. V. Ejemplo: 0,3 • 7,64 = 2,292. c. 0,49 i. 9,5
c. F. Ejemplo: 8,52 : 0,4 = 21,3. d. 0,32 j. 2,5
d. F. Es 2. e. 51 k. 4,9
e. V. Ejemplo: 7,16 : 0,2 = 35,8 y 7,16 ∙ 5 = 35,8 f. 0,3 l. 1,8
f. F. Multiplicar por 0,4 equivale a dividir por 2,5
6. a. 0,2 • 7 = 1,4 c. 0,7 • 4 = 2,8 Página 40
b. 1,6 • 3 = 4,8 d. 1,5 • 2 = 3 5.
0,25 : 5
Página 34
7. a. 6,3 8. a. 0,8 • 0,2 = 0,16 2,72 : 2
b. 1,5 b. 0,3 • 0,5 = 0,15
c. 2,8 c. 0,9 • 0,9 = 0,81
0,28 : 0,7
d. 22,50 d. 0,7 • 0,4 = 0,28
Página 35 12,60 : 3
9. a. 3,2 g. 1,972
b. 57 h. 42,2025 6. a. 0,1872
c. 32,4 i. 14,3704 b. 3,2479 km
d. 8 100 j. 1,6497 c. Son iguales, porque se están promediando
e. 0,08 k. 6,47115 los mismos números, pero en distinto orden y
f. 0,54 l. 10,321332 agrupación.
10. a. • 75 cm y 125 cm 7. a. La masa promedio aproximada es 86,1 libras.
• 396 mm y 4 020 mm. b. Masa promedio de niñas es de 38,4 kg y la masa total
b. • Juego B: US $ 22,2; juego A: $12 950 de los estudiantes es 1 328,9 kg.
• $2 590
Página 42
Página 37 ¿Cómo vas?
c. • 0,09 kg y 0,45 kg de manteca respectivamente. 1. a. 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 + 0,9 = 5,4
• 0,675 kg de manteca. b. 0,24 + 0,24 + 0,24 = 0,72
d. • 4,8 kg y 7,7 kg de basura respectivamente.
c. 3,561 + 3,561 + 3,561 + 3,561 + 3,561 = 17,805
• 59,22 kg de basura.
2. a. 0,4 • 2 = 0,8
Página 38 b. 3,102 • 5 = 15,510
1. Dividendo: cantidad que se quiere dividir. 3. a. 3,5 b. 0,9
Divisor: cantidad por la que se divide el dividendo.
4. a. 0,28 b. 4,48 c. 2,38 d. 2,24
Cociente: resultado de la división.
168 Solucionario
5. Etapa 1 Página 46
Problema 1. Ejemplo de respuesta: La vuelta completa
8.
a una piscina son 0,25 km. ¿Cuántos km se recorren 5:6
dando 8 vueltas completas?
Problema 2. Ejemplo de respuesta: La compra de 1:6
un terreno vale 4,8 millones de pesos y lo desean
comprar 6 amigos. ¿Cuánto dinero deberá pagar cada
uno? 8:1
Página 43
3:5
Etapa 2
Problema 1. Ejemplo de respuesta: 2 km en total. 9. a. • 1 gato y 8 perros.
Problema 2. Ejemplo de respuesta: 0,8 millones de • 25 perros.
pesos cada uno.
6. a. Terreno A: 0,48 km y terreno B: 0,64 km. Página 47
b. Terreno A: 0,0135 km2 y terreno B: 0,024 km2. b. • 3 : 1
c. 9 árboles aproximadamente (no se puede plantar •3:2
9,375 árboles). •5:2
• 0,5 rellenos
• Por cada 3 vertederos en 2015 hay 4 vertederos en 2016.
Lección 4: Razones y porcentajes 10. Etapa 1
Respuesta variada. Por ejemplo: 12 : 18 es equivalente
Página 44 a 6 : 9 y 2 : 3.
1. Es una comparación entre dos cantidades a través Etapa 2
de su división y sus partes son antecedente y
consecuente. Ejemplos: 1 : 2; 5 : 13; 41 : 20.
2. a. 8 : 2
b. 15 : 25
3. a. 6 : 4 Etapa 3
b. 4 : 4 Respuesta personal.
c. 4 : 14 Página 48
4. a. 13 : 4; 52 : 16; 39 : 12 1. a. 51 % b. 80 % c. 50 % d. 1 %
b. 3 : 27; 1 : 9; 2 : 18 15 3 60 3
2. a. ; ; 0,15 e. ; ; 0,6
100 20 100 5
5. a. No son equivalentes
75 3 22 11
b. Son equivalentes b. ; ; 0,75 f. ; ; 0,22
100 4 100 50
c. Son equivalentes 58 29 98 49
c. ; ; 0,58 g. ; ; 0,98
d. Son equivalentes
100 50 100 50
34 17 62 31
d. ; ; 0,34 h. ; ; 0,62
Página 45 100 50 100 50
6. a. Respuesta variada. Por ejemplo: Página 49
• Razón 1. 3 : 5, por cada 3 pelotas de básquetbol hay 3. a. 100 e. 45 i. 990 m. 4,5
5 pelotas de tenis.
b. 39 f. 16 j. 1 800 n. 42
• Razón 2. 5 : 8, por cada 5 pelotas de tenis hay 8 pelotas.
c. 25 g. 12 k. 3
b. Respuesta variada. Por ejemplo:
• Razón 1. 4: 1, por cada 4 violines hay un triángulo. d. 9 h. 180 l. 300
• Razón 2. 2 : 4, por cada 2 trompetas hay 4 violines. Página 50
7. a. En el Conjunto 1.
4. a. V
b. En el Conjunto 1.
b. F. El 50% de 26 es 13.
c. Traspasaría una ficha blanca del conjunto 1 al
c. V.
conjunto 2.
7+1
d. F. representa un 80%.
10
Solucionario 169
5. a. • 6 trozos e. Por ejemplo, 6 : 1, 12 : 2, 18 : 3, 24 : 4 y 30 : 5.
• 17% 1 trozo y 67% 4 trozos. f. Por ejemplo, 5 : 2, 10 : 4, 20 : 8, 40 : 16 y 80 : 32.
• 8%
• Sí, porque el número total va aumentando cada vez 3. a. 12 : 100, hay 12 en un total de 100.
más y el trozo va representando cada vez menos.
b. 64 : 100, hay 64 en un total de 100.
Página 51 4. a. 32 %, 32 de cada 100.
b. • La razón es 150 : 250 = 3 : 5. b. 70 %, 70 de cada 100.
• Leído el 60 % y no leído el 40 %.
• 150 páginas leídas y 100 páginas por leer. Página 55
c. • 5 % 5. a. 2 196 750 pertenecen y 15 377 253 no.
• 95 % b. 1 757 400 encuestados.
Página 52 c. 10% aproximadamente.
d. • Aproximadamente 3 100 000. Página 56

• Aproximadamente 850 000. 7 17
1. a. 6 b. 8 730 c. 6 d. 7,45
e. • 35 % son desechos inorgánicos. 15 18
• 13 kilos de desechos orgánicos. 2.
• 7 kg Número Tres Un par de ¿Número primo o
múltiplos factores compuesto?
Página 53 81 162, 243 y 3 y 27 Compuesto
324
f. • 10 % plásticos, 10 % papeles y cartones y 25 % latas.
11
• 44 kg vidrios, 20 kg latas, 8 kg plásticos y 8 kg 22, 33 y 44 1 y 11 Primo
papeles y cartones. A D C I E L F
3.
0 13 1 8 2 3 3
Página 54 17 5 28
4. a.
¿Cómo vas? Fracción con
Fracción Porcentaje
1. a. Ejemplo de respuesta: por cada 3 manzanas rojas hay denominador 100
5 manzanas verdes. 3 30
30 %
b. Ejemplo de respuesta: en una caja, el 75 % de las 10 100
piezas de ajedrez son negras. 7 28
28 %
25 100
2. a. Por ejemplo, 2 : 10, 1 : 5, 3 : 15, 4 : 20 y 20 : 100.
2
b. Se transforma en , ya que la calculadora simplifica
b. Por ejemplo, 1 : 10, 10 : 100, 100 : 1 000, 1 000 : 10 000
3
al máximo.
y 10 000 : 100 000.
Página 57
c. Por ejemplo, 7 : 1, 14 : 2, 21 : 3, 28 : 4 y 35 : 5.
5. a. • 28 018 917 espectadores.
d. Por ejemplo, 5 : 4, 10 : 8, 50 : 40, 25 : 20 y 100 : 80. • $2 055,97
1
b. •
4
• 80 %
170 Solucionario
Unidad 2: La tecnología •
Paso (n°) 1 2 3 4 5 6 7 8
Lección 5: Patrones y lenguaje Círculos
2 4 8 16 32 64 128 256
(cantidad)
algebraico
• Se multiplica por dos la cantidad de círculos del
Página 58 paso anterior.
1. Ejemplo de respuesta: el diseño de una cerámica, la • 4 096 círculos.
fachada de un edificio. • 1 048 576 figuras en total.
2. Una figura dada está formada por 2 cuadrados más c. • 4 000 “Me gusta”.
que la anterior. • La expresión es:
Número de visitas
.
3.a. 2
• 120 “No me gusta”.
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8
Página 62
Valor 4 5 6 7 8 9 10 11 Número de visitas
• La expresión es: .
b. 100
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8
• 40 000 “Me gusta” y 800 “No me gusta”.
Valor 1 4 7 10 13 16 19 22 d. • Amanda está en lo correcto, porque la teoría de
Daniel no se cumple para su número telefónico.
c.
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8
Página 63
Valor 1 4 9 16 25 36 49 64
• Respuestas variadas. Por ejemplo:
Daniel: XX 69 547 12; Amanda: XX 34 294 22;
Página 59 Ambos: XX 61 221 12
4.a. El patrón es 3x, donde x es la entrada. 7.a. Ejemplo de respuesta:
b. El patrón es 5x + 2, donde x es la entrada. Posición 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5.a. Valor 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Paso (n°) 1 2 3
b. Ejemplo de respuesta:
Emojis (cantidad) 2 6 10
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b. La cantidad de emojis corresponde a la Valor 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38
multiplicación del número de paso (n) por 4 y luego
disminuido en 2, es decir: 4 • n – 2. c. Ejemplo de respuesta:
c. Posición 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Valor 0 2 8 18 32 50 72 98 128 162
Página 60
6.a. • Jueves. • Sumar 7 días. 8.
• Entrada 1 3 4 9 12
Salida 4 24 25 60 87
Semana (n°) 1 2 3 4
Día 5 12 19 26 18 81
• 10 Página 64
• 28 de marzo. • 22 de marzo. 1. Ejemplo de respuesta: Lenguaje matemático que
incluye números y letras. Ejemplo: 3x – 4 = 16
b. •
2.a. x + 20
Paso 1 2 3 4
x x
Cuadrados (cantidad) 1 2 3 4 b. 2x : 5 c. x – d. x • x e. 3x – 7 f. +1
4 8
Página 61
• La cantidad de cuadrados es igual que el número
del paso.
Solucionario 171
3.a. Un número aumentado en 11. Página 67
b. Dieciocho disminuido en un número. 7. * Etapa 1. Ejemplo de respuesta:
c. El doble de un número y luego disminuido en 4. Rectángulo A B C D E F G
d. Doce disminuido en el triple de un número. p (cm) 1 2 5 8 10 15 20
e. Un número aumentado en 3 y luego multiplicado q (cm) 2 3 6 9 11 16 21
por 2.
* Etapa 2. Ejemplo de respuesta:
f. El cuádruplo de un número sumado al triple del A B C D E F G
Rectángulo
número y luego sumado al doble del número para
Área (cm2) 2 6 30 72 110 240 420
finalmente disminuirlo en 1.
Página 65 * Etapa 3. El área es la misma; ya que se aplica la
propiedad conmutativa en la multiplicación.
4.a.
8.a. El precio del notebook más el precio del computador
q (cm) Perímetro (cm)
de escritorio.
1 4
b. El precio de dos computadores de escritorio.
2 8
Cuadrado c. El precio de dos notebooks es igual al precio de un
5 20
12 48
computador de escritorio.
1 6 d. La mitad del precio del computador de escritorio es
2 12 igual al precio de un notebook.
Rectángulo
5 30 Página 68
12 72
9. Respuestas variadas. Por Ejemplo:
1 3
2 6 a. Un tanque de agua tiene A litros y se extraen de él
Triángulo 500 litros.
5 15
12 36 b. El peso de un bolón es 3 veces el peso de una bolita
1 10 más 1.
2 20 c. El área de una cartulina cuadrada de lado C.
Hexágono
5 50 10.a. • Javiera, porque considera todos los números pares
12 120 naturales.
b. • Cuadrado: 4q • Triángulo: 3q • Alberto, porque considera todos los números
• Rectángulo: 6q • Hexágono: 10q impares naturales a partir del 3, no considera el 1.
5.a. 4x = 48 b. x + 8 = 2x b. • 100x, donde x es la cantidad de autos eléctricos.
x x • 12 000 autos eléctricos.
c. + 37 = 350 – 12 f. + 7 = 50 • 4
2 6 100 c. • La ecuación: C – 15 000 = 84 000
d. 125 : x = 5 g. 2x = 8 + 10 • El valor de C es $ 99 000.
e. xy = 63 h. 3x + 2x = 500 d. • P = 4a + 70 m ; A = a • (a + 35) m2
i. 2x : 5 = 24 – 2x • El ancho puede medir entre 55 y 85 m y el largo
6.a. V, permite modelar distintas situaciones. entre 90 y 120 m.
b. F, no aplica la propiedad conmutativa para la Página 70
sustracción. ¿Cómo vas?
c. F, además de esa condición debe existir una igualdad 1.a. cantidad de triángulos = 3 • cantidad de círculos
entre dos partes. b. (E + 5) : 10 = S
d. F, ya que se puede utilizar para modelar distintas
2.a. Área = x • y b. Área = z • z
situaciones.
c. Área = (m – w) • (m + w)
e. V, el resultado no se ve alterado por el orden.
3.a. No es correcto, ya que no se cumple para todos los
valores de salida.
b. El patrón corresponde a: salida = 2 • entrada – 2
172 Solucionario
Página 71 • 16.
4.a. • • Reemplazando w por 16, resolver las operaciones y
Tiempo (horas) 0 1 5 9 comprobar que en ambos lados de la igualdad se
Lápices construidos (cantidad) 3 18 78 138 obtiene el mismo valor.
b. • Ecuación: 1,8C + 32. • 50 °F • 77 °F
• Cantidad de lápices = 15 • n° horas + 3.
• En 15 horas fabricará 228 lápices. Página 76
b. • No, porque el orden de los sumandos no afecta la c. • 5x = 15 000, donde x es el número de entradas.
suma. • $ 3 000.
• La propiedad conmutativa. L + J = J + L d. • x + 5 = 4 • 10, donde x es la edad actual.
• 35 años.
Lección 6: Ecuaciones
e. Etapa 1: Ejemplo de respuesta al duplicar.
Página 72 2t + 8 = 24
1.a. c. e. g. i. Etapa 2: t = 8
b. d. f. h. Página 77
2.a. Etapa 3: t = 8
Alternativa 1: Alternativa 2: Etapa 4:
• Es correcta la afirmación.
• La solución sería la misma, t = 8.
• Al amplificar por cualquier valor ambos lados de la
b.
ecuación, se obtendrá siempre el mismo resultado.
f. • 50 kilos. • 27 kg.
• 23 kg. • 4 kilos.
Página 78
c. 1.a. 1 b. 9 y 2. c. 9 d. 12 y 2.
Alternativa 1: Alternativa 2: 2. Respuesta variada. Por ejemplo:
18 36 84 161 240
1 9•2 12 + 24 9 • 9 + 3 40 • 4 + 1 60 • 4
2 5 • 3 + 3 8 • 5 – 4 28 • 3 93 + 68 24 • 10
Página 73
3. Ejemplo de respuesta:
d.
a. 5 • 2 + 1 c. 20 • 5 + 1
b. 2 • 11 + 8 d. 80 • 4 + 30
4.a. 24 b. 4 c. 7 d. 102
Página 79
3.a. 131 + x = 200 c. 3x = 120 e. 2x = 3y
e. 6 f. 30 g. 3 h. 18 i. 14 j. 5
b. x – 23 = 45 d. x : 25 = 7
5.a. n = 18 b. z = 408 c. r = 10 d. u = 25
4.a. 16 + x = 20 c. 24 + p = 36
Página 80
b. 4 + a = 17 d. 11 + w = 31
e. 106 g. 44 i. 6 k. 3 m. 4
Página 74
f. 13 h. 11 j. 9 l. 8 n. 80
5.a. 3 c. 5 e. 35 g. 12 i. 6
b. 5 d. 17 f. 12 h. 28 j. 16 Página 81
Página 75 6. Error: Paso 3: No despeja la incógnita (5k).
6.a. • 2w + 4 = w + 20. Corrección: 5k = 150

5k : 5 = 150 : 5
• Es correcto, porque elimina la misma cantidad
k = 30
de elementos en ambos lados, por lo tanto, se
k = 30
mantiene la igualdad.
Solucionario 173
7. Etapa 1: 3 113 207 + x = 3 300 000. Página 85
Etapa 2: Ejemplo de respuesta: c. • Ecuación: x + 6 = 4 • 18, donde x es el número de
Solución: x = 186 793 capítulos vistos.
Etapa 3: • Las soluciones entre sí son iguales. • 66 capítulos.
• El resultado es el mismo, independiente del método d. • El procedimiento es adecuado en pasos 1 y 2, pero
utilizado. presenta error en pasos 3 y 4.
Página 82 • Paso 3, porque eliminó cada letra b = 2.
8.a. • Ecuación: x + 1 346 = 60 000, donde x son las • Ejemplo de respuesta: mantener pasos 1 y 2. El
unidades fabricadas. paso 3 es agrupar los “2” de la izquierda y las “b”
y “4” de la derecha. Identificar la ecuación y luego
• 58 654 unidades.
resolver.
b. • Ecuación: x – 47 990 = 202 010, donde x es el
• 4
dinero inicial en la tarjeta.
• $ 250 000. Página 86
1.a. 4x + 1
c. • Ecuación: 2x + 100 = 1 700, donde x es el número.
• El número es 800. b. x • x
d. • Ecuación: x + 64 = 6 959, donde x es la altura del 2.a. x : 8 = 12

Nevado Ojos del Salado. b. 2x – 5 = 31 – 8
• La altura es 6 895 m. c. 124 – 2x = 58
Página 83 3.a. 5
e. • El precio es $ 140 000. b. 2

• El precio es $ 90 000. 4.a.
• El precio de los 3 artículos sería $ 520 000. Posición 1 2 3 4 5 6
Valor 8 18 28 38 48 58
Página 84
¿Cómo vas? b.
1.a. b. Posición 1 3 5 10 15 20
1 5 Valor 10 22 34 64 94 124
2 2 2 j j 5 5 5
2 h 2 2 2 j j j 5 5 5
2 2 2 2 2 2
Página 87
2 2 2 2 2 2 5.a. 9 b. 75 c. 8 d. 3
j=7 6.a. El doble del peso del gato más el peso del perro
pequeño es igual a la mitad del peso del perro
h = 11
grande.
2.a. 207 b. 7 b. Lucas: 11 videojuegos ; Fabián: 22 videojuegos.
3.a. • Ecuación: x – 9 000 = 20 990, donde x es el valor
del videojuego.
• El precio original es $ 29 990.
b. • Ecuación: x + 4 000 = 9 000, donde x es el valor de
la mesada.
• La mesada de Tamara es $5 000.
174 Solucionario
Unidad 3 : La tecnología Página 92
1. Ángulo Medida (°) Clasificación
Lección 7 :Construcciones a 90 Recto
geométricas b 90 Recto
c 135 Obtuso
Página 88
d 135 Obtuso
1. Por ejemplo, dibujar una línea recta, poner el centro
e 45 Agudo
del transportador en un extremo (vértice), y marcar la
medida 1. Finalmente, unir la marca el punto marcado y 2. Recto
D´
el extremo (vértice).
2. a. 50 veces. 90º D
b. 8 veces. E
c. 3 veces. Agudos
d. 4 veces. F´ H´ J´ J
3. a. 70º y 290°.
60º K
b. 100° y 260°. G 80º I 45º H
F
c. 25º y 335°.
d. 125° y 235°. Obtusos
Página 89 L´ P´ N´
135º 150º
4. a. 50º f. 15º 120º N
L P O
M Q
b. 90º g. 100º
c. 110º h. 75º
3. Dibujar una línea recta, poner el centro del
d. 65º i. 200º
transportador en un extremo (vértice), y marca la
e. 45º j. 210º medida de 75º. Finalmente, unir el punto marcado y el
Página 90 extremo (vértice).
5. Paso 1: Poner la línea horizontal del transportador sobre 4. Poner el compás en un extremo (vértice) de un
un lado del ángulo. segmento. Con el compás trazar un arco de radio,
luego, con la misma apertura, poner el compás en la
Paso 2: Poner el centro del transportador sobre el
intersección del arco con el segmento y trazar otro
vértice del ángulo.
arco. Luego, en la intersección de los arcos, trazar otro
Paso 3: identificar el ángulo en el transportador. con la misma apertura. La intersección de los dos
6. a. 1: 105º ; 2: 75º ; 3: 75º ; 4: 105º últimos arcos se une al extremo (vértice).
b. 1: 40º ; 2: 40º ; 3: 100º Página 93
c. 1: 40º ; 2: 140º ; 3: 40º ; 4: 140º 5. a. Agudo
d. 1: 45º ; 2: 150º ; 3: 60º ; 4: 140º ; 5: 145º A´
Página 91
7. a. 95º. B 20º A
b. 140º.
8. a. 90°
b. Sector 5.
c. 20%
Solucionario 175
b. Recto Página 94
C´ 6. a. Q´
R Q
14º
D 90º C
b.
S´
c. Extendido
E´ 180º E
d. Obtuso
G´
100º
H G
78º
S
e. Agudo
I´ c.
Q´
50º 145º
J I
Q
R
f. Obtuso
7. Q´
K´ S
130º
K
L
Q´1
g. Agudo
15º
M´
45º
R 30º Q
8. a.
N 55º M
• Es mayor que 90°.
• 60°
h. Cóncavos
• Prolongando uno de sus lados.
195º O
O´ P
176 Solucionario
Página 95 d.
b. B
• 70°
• Un ángulo A, un ángulo B y un ángulo C. 4u
2u
• Tres ángulos A y un ángulo C.
c. Etapa 2: Ángulos adyacentes: 1: 70º ; 2: 50º ; 3: 10º
C A
5u
Etapa 3: Ángulos seleccionados: 1: 20º ; 2: 40º ; 3: 80º
1. a. Isósceles – Rectángulo 5. a.
b. Escaleno – Obtusángulo A´
A
c. Equilátero – Acutángulo
d. Escaleno – Rectángulo
e. Isósceles – Acutángulo
f. Isósceles – Acutángulo B
g. Isósceles – Obtusángulo
b.
h. Escaleno – Acutángulo F
Página 97
2. a. Sí es posible. 2 cm
b. No es posible.
c. Sí es posible. D
C 3 cm
d. No es posible.
e. No es posible. c.
f. Sí es posible. G`
3. a. Infinitos triángulos, ya que a pesar de tener las
70º
mismas medidas de ángulos, las medidas de sus
lados pueden variar, obteniendo triángulos más I
pequeños o más grandes.
b. Dos triángulos, uno con dos lados de 6 cm y uno de
9 cm y otro triángulo con dos lados de 9 cm y uno de
6 cm.
Página 98
4. a.
• 3 u, 4 u y 5 u. 30º
• 2 u, 6 u y 7 u.
H
• 3 u, 4 u y 6 u.
b. d.
• 2 u, 3 u y 7 u. L
• 2 u, 4 u y 6 u.
• 2 u, 5 u y 7 u.
c. Triángulo de lados 5 u, 6 u y 7 u. Su perímetro es 18 u.
J 40º 40º K
3 cm
Solucionario 177
e. b.
N K
3 cm
O
60º
5 cm
3 cm
3 cm
M I J
f. 4 cm
P´
Página 101
3.
35º
Triángulo 1 S U
120º R T
25º
Q
Ángulos interiores: 64º 70º 46º
Página 100 Lados: 1,3 cm 1,6 cm 1,7 cm
¿Cómo vas?
1. a. 35º ; agudo. Triángulo 2
V
b. 145º ; obtuso.
c. 80º ; agudo.
W Z
d. 210º ; cóncavo.
e. 52º ; agudo.
Ángulos interiores: 71º 49º 60º
f. 17º ; agudo.
Lados: 0,9 cm 1,1 cm 1,1 cm
2. a.
D Triángulo 3
A1
3 cm
2 cm B1 C1
B Ángulos interiores: 54º 90º 36º

A
2 cm
Lados: 1 cm 1,3 cm 1,6 cm
4.
a. El trozo D.
b. El trozo C.
c. 12,5 %, aproximadamente.
178 Solucionario
d. Falsa, f y d son ángulos alternos internos, por lo tanto,
Lección 8 : Ángulos miden lo mismo. L y L1 no son perpendiculares por lo
que no mide 90º cada uno.
e. Verdadera, h + g = 180º y h + e = 180º, además, g y
Página 102 e son opuestos por el vértice, por lo tanto, miden lo
1. a. Son adyacentes. mismo.
b. Son opuestos por el vértice. f. Falsa, e + g + f + h es mayor que 360°
c. Son adyacentes.
Página 105
d. Son adyacentes.
7. a.
2. a. Son correspondientes.
• α = 90º
b. Son alternos internos.
c. Son correspondientes.
• β = 45º
d. Son alternos externos. b.
3. a. 145º • 180º

b. 25º • α = 97º
c. 136º • β = 83º
d. 87º c.
Página 103 • α + 2α = 180º

4. a. • α = 60º
Letra Medida (°)
a 60 Página 106
b 120 1. a. SÍ d. SÍ
c 60 b. SÍ e. NO
d 60 c. NO f. SÍ
e 120 2. a. No, porque los ángulos internos de un triángulo
f 60 deben medir 180º y en este caso medirían 270º.
g 120 b. Sí, un ángulo interior obtuso y dos ángulos interiores
b. agudos, por ejemplo: 125º, 30º y 25º.
c. Sí, por ejemplo: 40º, 55º y 85º.
• 180º • 60º
• 0º • 240º Página 107
• 180º • 300º 3. a. SÍ
b. NO
Página 104
c. NO
5. a. 250º
d. SÍ
b. 180º
e. SÍ
c. 180º
f. SÍ
d. 224º
4. a. Sí, porque los ángulos internos de un cuadrilátero
6. a. Verdadera, b + c = 180º y e + h = 180º. deben medir 360º y en este caso medirían 360º.
b. Falsa, g y e son opuestos por el vértice, por lo tanto, b. Sí, un ángulo interior de 200º y los otros 3 ángulos
miden lo mismo. L y L1 no son perpendiculares por lo interiores deben sumar 160º.
que no mide 90º cada uno. c. No, no puede construirse, ya que la suma de 4
c. Verdadera, ya que son opuestos por el vértice. ángulos agudos es menor que 360°.
Solucionario 179
Página 108 e. 25º
5. a. f. 115º
• 80º Página 113
• 40º 4. a.
b. • 27º
• Equilátero - acutángulo. Equilátero porque al tener • 117º
tres ángulos iguales, sus lados también serán
b.
iguales y acutángulo, porque si sus tres ángulos
miden lo mismo, deben ser los tres agudos. • 180º
• 60º • 36º
c. Página 114
• 90º ¿Cómo vas?
• 30º y 60º
1. a. V, porque son ángulos alternos internos.
Página 109 b. F, si AB se proyectara en B hasta F, EDB y DBF
d. 240º medirían lo mismo.
e. 50º c. F, son suplementarios, ya que suman 180º.
f. 93,3º aproximadamente. d. V, porque la suma de dos ángulos internos de un

triángulo es igual al ángulo exterior del tercer ángulo
g.
interno.
• 280º
2. a.
• 40º, 80º, 80º y 160º • 36º
Página 110 • 72º
1. a. 55° y 55° • 108º
b. 75° y 105° • 72º
c. 30° y 80°
d. 45° y 135° Página 115
e. 102° y 78° b.
f. 139° y 116° • 36º

• 36º, 72º, 108º y 144º
Página 111
c.
g. 21° y 74°
• 180º
h. 136° y 53°
• 30º
i. 104° y 104°
j. 143° y 37°
• 50º
k. 12° y 168° • 130º
l. 49° y 57°
Página 112
2. a. 101º
b. 175º
c. 47º
d. 7º
3. a. 65º
b. 25º
c. 90º
d. 65º
180 Solucionario
b.
Lección 9 : Teselaciones
Página 116
1. a. Desplazamiento de una figura, sin alterar ni la forma,
ni el tamaño.
Ejemplo: la Tierra se traslada alrededor del sol.
b. Giro de una figura en torno a un punto, sin alterar la c.
forma ni el tamaño.
Ejemplo: las aspas de un molina rotan en torno a un
eje central.
c. Efecto espejo, la figura se refleja respecto de una
línea recta llamada eje de simetría.
Ejemplo: la Torre Eifel.
2. Es aquella teselación que cubre una superficie con un
único polígono regular. Los polígonos que permiten 7. a. V.
formar teselados regulares son: triángulos equiláteros,
b. F, porque el rectángulo no es un polígono regular.
cuadrados y hexágonos regulares.
c. F, sí es posible construir una teselación regular
3.
con triángulos equiláteros, pero se debe aplicar
a. c. e. traslaciones y reflexiones.
d. V.
Página 119
8.
b. d. f. • Paso 1: Construir un hexágono regular y luego
reflejarlo respecto al lado de abajo.
• Paso 2: Trasladar el uno de los hexágonos de
manera que el nuevo hexágono quede entre ambos
hexágonos dibujados en el paso 1.
• Paso 3: Reflejar el hexágono construido en el paso
Página 117
2 hasta que esté completamente rodeado de
4. Porque las figuras quedan sobrepuestas unas de otras. hexágonos.
5. a. No, porque las figuras no son polígonos regulares • Paso 4: Continuar teselando hasta cubrir toda la
b. b. Sí, porque está formada por hexágonos regulares. superficie aplicando traslaciones y reflexiones.
c. c. No, porque las figuras no son triángulos Página 120
equiláteros, ni cuadrados, ni hexágonos regulares.
1. a. Aquella que cubre una superficie con más de un
Página 118 polígono regular. Existen 8 teselaciones con estas
características.
6. a.
b. Aquella que cubre una superficie con polígonos no
regulares.
2. a. Traslación, reflexión y rotación.
b. Traslación, reflexión y rotación.
c. Traslación, reflexión y rotación.
Solucionario 181
3. a. 3. a.
b.
b.
c.
d.
c.
Página 122
¿Cómo vas?
d.
1. a. Un triángulo equilátero y un cuadrado.
b. Semirregular, porque usa más de un polígono regular.
2.
182 Solucionario
Página 128
Lección 1O: Á
rea y volumen 1. 2.
P (cm) A (cm ) 2
Alto Largo Ancho
A (cm2)
1 6 (cm) (cm) (cm)
Página 124
3 54 1 5 2 34
1.a. b. 5 150 3 6 4 108
2 cm
1 cm 7 294 6 8 6 264
3 cm 4 6 5 148
9 486
2 cm 2 cm 2 cm 1 cm 1 cm
11 726 3 10 2 112
2 cm
20 2 400 7 11 7 406
24 3 456 9 10 8 484
1 cm 5 11 10 430
2 5 3,5 69
1,5 8 3 81
2 cm
4 5,5 4 120
3 9,5 7 232
Página 125 3.
2.a. 1 y 3 ; 2 y 4 ; 5 y 6. A (cm2) p (cm)

24 2
b. Los tres deben ser iguales.
96 4
c. 52 cm2.
216 6
3.a. 150 cm2. 384 8
5 cm 600 10
726 11
5 cm 1 944 18
Página 129
5 cm 4.
A (cm2) Alto (cm) Largo (cm) Ancho (cm)
Página 126
76 2 5 4
b. 216 cm2. c. 248 cm2.
94 3 5 4
6 cm
112 2 8 4
6 cm 144 3 6 6
6 cm 240 6 7 6
4 cm 5.a. • 18 cm2. • 72 cm2.
10 cm
6 cm b. • 225 cm2. • 1 350 cm2.
d. 224 cm2. Página 130
4 cm
c. • 1 300 cm2. • 1 332 cm2. • Natalia.
4 cm
d. • 337,5 cm2. • 1 237,5 cm2.
12 cm Página 131
e. • 150 cm2. • 450 cm2.
f. • 37,5 m2.
Página 127 • 14 m2.
4.a. • 25 cm . 2
• 150 cm . 2
• 49,5 m2.
• El área de la red es igual al área de la caja que
armará María.
b. • 484 cm2.
• 316 cm2.
Solucionario 183
Página 132 4.a. • 20 cm. • 8 000 cm3.
1. 2. b. • 2 : 1 • 3 : 1
q (cm) V (cm ) 3
Alto Largo Ancho V Página 136
1 1 (cm) (cm) (cm) (cm3)
1. α = 130º ; β = 50º
2 8 4 9 8 288
3 27 5 10 7 350 2.a. No, porque la suma de los ángulos interiores debe
4 64 9 13 9 1 053 ser 180º.
5 125 1 25 2 50 b. Sí, porque la suma de los ángulos interiores debe ser
6 216 4 20 12 960 360º.
7 343 12 22 15 3 960 c. No, porque la suma de los ángulos interiores debe
8 512 10 32 10 3 200 ser 180º.
9 729 19 29 15 8 265
d. No, porque la suma de los ángulos interiores debe
10 1 000 2,5 8 5 100 ser 360º.
11 1 331 3 11 3,5 115,5
3. Triángulo A: Isósceles Rectángulo ; Triángulo B: Escaleno
12 1 728 9 10,5 7 661,5
Acutángulo ; Triángulo C: Escaleno Obtusángulo.
8 8,5 8 544
4. 70º
3.
Página 137
V (cm3) q (cm)
27 3 5.a. b. Traslación y reflexión.
64 4 c. Teselación regular.
125 5
343 7
1 000 10
Página 133 6.a. 65º y 65º.

4.a. • 42,875 cm3. • 214,375 cm3. b. Son ángulos opuestos por el vértice.
b. • Aumenta en un 100%. • 8 : 1 7. 936 : 1 296
Página 134 Unidad 4: La salud

¿Cómo vas?
1.a. Red A: Cubo ; Red B: Paralelepípedo.
b. Red A : 54 cm2 ; Red B: 38 cm2. Lección 11: R
epresentación de datos
c. Red B.
2. Área = 150 cm2.
5 cm Página 138
1.a. Leer el título, observar los números del tallo y luego
5 cm 5 cm 5 cm los números de las hojas.
b. Leer el título, observar los datos y luego analizar las
columnas de puntos.
2.a. b.
Altura (cm) Masa corporal (kg)
Página 135 12 6 7 2 5 8
13 1 2 6 6 8 8 9 3 0 2 3 3 4 5 6 7 8
3. Área = 18 cm . 2
14 1 2 6 9 4 1 2 4 6 6
4 cm 15 4 5 6
1 cm
3.a. • 10 atletas.
1 cm
1 cm • 12 minutos.
• 7 atletas.
1 cm
1 cm
1 cm
184 Solucionario
b. • 1.a. Grupo 2. e. 6.
Caja A Caja B b. Grupo 1. f. En la categoría C.
0 7 1 0 0 0 1 2 5 6 8 c. 12. g. En la categoría C.
1 0 3 4 5 5 2 1 3 7 d. 12. h. El equipo 1.
2 0 2 7 3 0 3
3 3 3 5 6 Página 143
2.a. • 12 puntos. • En la etapa 2 y 4. • Diego.
• Caja A: 36 minutos ; Caja B: 33 minutos.
• 15 puntos. • 3 puntos. • Empataron.
• 19 clientes.
c. • 10 puntos. • 16 partidos. • En el torneo 2. Página 144
b. • Tienda 2. • Tienda 1.
Página 140
• 20 bicicletas. • Tienda 1.
d. • 12 partidos.
• 50 consolas. • Tienda 1.
• Ganaron la misma cantidad de partidos.
• Juegos de mesa.
• 3
• Página 145
c. • Ver televisión. • 18%. • 2015.
Resultado G E P
Equipo • Aumento de un 1% aproximadamente.
1 4 2 6 • 600 personas.
2 4 5 3
Página 146
• Equipo 2. 1.a. 10% b. 30% c. 46%
Página 141 2.
4. Etapa 1: Compra A B C D
Conjunto A Conjunto B (cantidad) (cantidad) (cantidad) (cantidad) (cantidad)
20 8 3 5 4
40 16 6 10 8
60 24 9 15 12
100 40 15 25 20
10 11 12 13 14 15 10 11 12 13 14 15 15 000 6 000 2 250 3 750 3 000
1 0 0 1 0 Página 147
1 1 1 1 1 1 1
3. 4.
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
Tipo de Movimientos Tipo de fruta
1 3 3 3 3 1 3 3 3
movimiento (cantidad)
1 4 4 4 1 4
1 5 Arriba 50 Manzana
25 %
Abajo 30 50 % Pera
Etapa 2: 1) ¿Cuántos elementos tiene cada conjunto? Izquierda 110 25 % Naranja
Respuesta: 16 elementos cada conjunto. Derecha 60
2) ¿Cuál es el dato menor y mayor de cada conjunto?
Respuesta: 10 es el dato menor en ambos conjuntos 5.a. • 100%
y 14 y 15 son los datos mayores del conjunto A y B • 4 : 1
respectivamente. • Ganó 12 partidos, empató 5 partidos y perdió
3) ¿Cuál es la diferencia entre los datos mayores de 3 partidos.
cada conjunto? Respuesta: 1.
Página 148
Etapa 3: • El diagrama de puntos, porque grafica
mejor la información entregada. b. • 15%
• En este caso, el diagrama de tallo y hojas no es • 45 pasajeros.
útil porque todos los datos entregados de ambos • 75 pasajeros.
conjuntos tienen el mismo tallo.
Solucionario 185
6. Etapa 1:
Categoría
Preferencias Porcentaje Medida del Lección 12: T
endencia de resultados
(cantidad) (%) ángulo (°)
A 60 30 108
B 50 25 90 Página 152
C 25 12,5 45 1.a. Aleatorio.
D 65 32,5 117 b. No aleatorio.
Total 200 100 360
c. Aleatorio.
Página 149 d. No aleatorio.
Categorías
e. Aleatorio.
32,5 % 30 % A 2.a. No, ya que hay 30 opciones distintas posibles.
Etapa 2: B b. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
C 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 30.
D
12,5 % 25 % 3. Etapa 1 y 2: - Experimento 1: Determinar la suma de las
Etapa 4: Pregunta 1: ¿Qué porcentaje corresponde a edades en una familia. (Aleatorio)
la categoría B? - Experimento 2: Determinar cuántas horas tiene un
Respuesta 1: 25% día. (No aleatorio)
Pregunta 2: ¿Cuál es la razón entre la categoría B y - Experimento 3: Determinar la temperatura de
la categoría C? diferentes personas. (Aleatorio)
Respuesta 2: 2 Página 153
Pregunta 3: ¿Cuál es la diferencia porcentual entre 4.
Jugador A Jugador B Situación
la categoría mayor y menor? jugador A
Respuesta 3: 20%
Piedra Empate
Página 150
¿Cómo vas?
Piedra Papel Gana B
1.a. F, en el 6º A rindieron 20 alumnos la prueba y en Tijera Gana A

el 6º B, 18 alumnos.
b. V, en el 6º A hubieron dos 7 y en el 6º B, 1. Piedra Gana A
c. V, en ambos cursos hubo cinco notas 4.
Papel Papel Empate
d. F, ambos cursos tuvieron quince notas iguales o
mayores que 4. Tijera Gana B
e. F, el 6º A tuvo promedio 4,65 y el 6º B, 4,77.
Piedra Gana B
2.a. • Grupo 1.
• Grupo 2. Tijera Papel Gana A
Página 151 Tijera Empate

• Grupo 1: 5 integrantes ; Grupo 2: 3 integrantes.
a. Tres.
• Grupo 1: 281 ; Grupo 2: 229.
b. Tres.
b. • 58%
c. Tres.
• Peruanos: 231 ; Venezolanos: 119 ; Chilenos: 294 ;
d. Aleatorio, porque no se sabe qué sacará el otro
Colombianos: 56
jugador con certeza.
c. • Miércoles y jueves.
• 40 platos.
186 Solucionario
Página 154 d. Respuesta variadas Por ejemplo:
5. Fracción
Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Tus Los de tu Suma de las
respecto del
resultados compañero frecuencias
total
C
Número
Frecuencia Frecuencia Frecuencia
C Resultado decimal
(cantidad) (cantidad) (cantidad)
equivalente
S Cara 24 23 47 0,47
Sello 26 27 53 0,53
C Total 50 50 100 1
S e. • Se acerca más a 0,5, que es la probabilidad teórica

de obtener cara al lanzar una moneda.
S
• Es la misma, a medida que se realiza más veces el
a. Dos. c. Una cara y un experimento, la tendencia de obtener sello es 0,5.
b. Una. sello. • A medida que se realiza más veces el experimento,
6. el valor del número decimal se acerca más a la
probabilidad teórica.
Página 156
2.a. 1 500.
b. Cara: 748 : 1 500 = 0,50 aproximadamente ; Sello:
752 : 1 500 = 0,50 aproximadamente. La probabilidad
de obtener cara o sello al lanzar una moneda es la
misma, 0,5.
c. La cantidad varía levemente, pero el valor de la razón
parte-todo es la misma, porque al repetir muchas
veces el experimento, tiende a la probabilidad teórica
del lanzamiento de una moneda.
3.
Página 155 Frecuencia Fracción respecto
Número obtenido
(cantidad) del total
1.a. Respuesta variadas Por ejemplo:
6
Frecuencia Fracción respecto Número decimal 1 6
Resultado 35
(cantidad) del total equivalente 5
2 5
Cara 4
4 0,8
35
5 6
3 6
Sello 1
1 0,2
35
5 12
4 12
b. Respuesta variadas Por ejemplo: 35
Frecuencia Fracción respecto Número decimal 6
5 6
Resultado
35
Cara 8
8 0,4 a. 35.
20 6 ; 5 ; 6 ; 12 ; 6
12 b.
Sello 12 0,6 35 35 35 35 35
20 c. Todos tienen la misma posibilidad de salir al extraer
c. Respuesta variadas Por ejemplo: una bolita de la tómbola.
Resultado
Cara 24
24 0,48
50
Sello 26
26 0,52
50
Solucionario 187
4.a. Respuesta variadas Por ejemplo: 5. Etapa 2: Respuestas variadas. Por ejemplo:
Fracción Número Fracción Número
Frecuencia Frecuencia
Resultado respecto del decimal Resultado respecto del decimal
(cantidad) (cantidad)
total equivalente total equivalente
Número par 7
7 0,7 Color 1 3
3 0,3
10 10
Número impar 3
3 0,3 Color 2 4
4 0,4
10 10
3
b. Respuesta variadas Por ejemplo: Color 3 3 0,3
10
Fracción Número
Frecuencia Fracción Número
Resultado respecto del decimal Frecuencia
(cantidad) Resultado respecto del decimal
total equivalente (cantidad)
total equivalente
Número par 12
12 0,6
20 Color 1 8
8 0,4
20
Número impar 8
8 0,4
20 Color 2 6
6 0,3
20
c. Respuesta variadas Por ejemplo: 6
Color 3 6 0,3
Fracción Número 20
Frecuencia
Resultado respecto del decimal
(cantidad) Fracción Número
total equivalente Frecuencia
Resultado respecto del decimal
28 (cantidad)
Número par 28 0,56 total equivalente
50
Color 1 12
12 0,4
Número impar 22
22 0,44 30
50 Fracción Número
Color 2 Frecuencia
7
7 0,23
Resultado respecto
30 del decimal
d. Respuesta variadas Por ejemplo: (cantidad)
total equivalente
Color 3 11
11 0,37
Fracción 15
30
Tus Los de tu Suma de las Color 1 15 0,375
respecto del 40
resultados compañero frecuencias
total
Número Color 2 13
13 0,315
Frecuencia Frecuencia Frecuencia 40
Resultado decimal
(cantidad) (cantidad) (cantidad)
equivalente
Color 3 12
12 0,3
Número 40
28 26 54 = 0,54
par
Etapa 3:
Número
22 24 46 = 0,46 • A medida que se realiza más veces el experimento, el
impar
Total 50 50 100 1 valor del número decimal se acerca más a la probabilidad
teórica, que en este caso, es 0,33 aproximadamente.
e. • Se acerca más a 0,5, que es la probabilidad teórica
• Que la posibilidad de obtener un color es la misma para
de obtener número par al lanzar un dado honesto. cada color.
• Es la misma, a medida que se realiza más veces el
experimento, la tendencia de obtener un número Página 159
impar es 0,5. 6.a. Aleatorio.
• A medida que se realiza más veces el experimento, b.
el valor del número decimal se acerca más a la 1 1201 : 5000 2 789 : 5000 3 703 : 5000
probabilidad teórica.
4 1309 : 5000 5 998 : 5000
188 Solucionario
c. Todos los números tienen la misma posibilidad de Página 162
ser seleccionados, por lo tanto, la posibilidad de sacar 1.a. V, porque no se sabe con certeza el resultado.
cualquier número es 0,2.
b. F, se sabe el valor individual de cada dato.
d.
c. V, el área del sector circular es proporcional al
1 24 2 16 3 14 4 26 5 20 porcentaje representado.
Página 160 d. F, el sector que representa el 50% de los datos
corresponde a la mitad del círculo.
¿Cómo vas?
2.a. • 2 atletas.
1. - Determinar cuántos arándanos hay en cada caja.
• 6 atletas.
- Determinar si una persona sin paraguas se moja
bajo la lluvia. • Grupo A: 15 atletas; Grupo B: 15 atletas.
• En el grupo A.
2.
Viaje Página 163
b. • La pregunta 4.
Bus A Bus B • En la pregunta 3 y 4.
• 35 estudiantes.
Clásico Semicama Cama Clásico Semicama Cama c. •
1
3
3.a. Aleatorio, porque no se sabe con certeza el resultado • 1
que se obtendrá. 2
Página 161
b.
Fracción respecto de la cantidad
total de lanzamientos
Resultado 100 1 000 10 000
(n°) lanzamientos lanzamientos lanzamientos
1 27 : 100 = 0,27 168 : 1 000 = 0,168 1 667 : 10 000 = 0,1667
2 13 : 100 = 0,13 169 : 1 000 = 0,169 1 664 : 10 000 = 0,1664
3 21 : 100 = 0,21 179 : 1 000 = 0,179 1 668 : 10 000 = 0,1668
4 18 : 100 = 0,18 171 : 1 000 = 0,171 1 661 : 10 000 = 0,1661
5 7 : 100 = 007 166 : 1 000 = 0,166 1 659 : 10 000 = 0,1659
6 14 : 100 = 0,14 147 : 1 000 = 0,147 1 681 : 10 000 = 0,1681
c. A medida que se realiza más veces el experimento,

el valor del número decimal equivalente a la fracción
se acerca más a la probabilidad teórica, que en este
caso, es 0,167 aproximadamente.
4.a. 300 veces. b. Aleatorio.
c. Rojo: 0,48 aproximadamente ; Negro: 0,34
aproximadamente ; Verde: 0,17 aproximadamente.
d. Rojo: 0,33 aproximadamente ; Negro: 0,33
aproximadamente ; Verde: 0,33 aproximadamente.
Solucionario 189
Recortables
Recortable 1
Tabla de valor posicional desde las unidades de millón hasta las unidades
Usa este recortable en la página 9 de la Lección 1 de la Unidad 1 del Texto del Estudiante.
Unidades
U
Decenas
D
Centenas
C
Unidades
de mil
UM
Decenas de
DM
mil
Centenas
de mil
CM
Unidades
de millón
UMi
Recortables 191
Recortable 2
Tabla de valor posicional desde las unidades a las milésimas
milésimas
m
centésimas
c
décimas
d
decimal
Coma
,
Unidades
Recortables 193
Recortable 3
Suma de los ángulos interiores de un triángulo
En cada triángulo, recorta los ángulos interiores, ubícalos uno a continuación del otro y verifica
que forman un semicírculo (180°).
Recortables 195
Recortable 4
Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero
En cada cuadrilátero, recorta los ángulos interiores, ubícalos uno a continuación del otro y verifica
que forman un círculo (360°).
Recortables 197
Recortable 5
Usa estos recortables en las páginas 149 y 150 de la Lección 10 de la Unidad 3 del Texto
del Estudiante.
Red de cubo
Red de paralelepípedo
Recortables 199
200
$1300 5 en
kg $1000
10 kg
$990 por mayor $5000 kg
hoy -70%
hoy -20%
Pasteles y café

Matsa22e6b 1

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Matsa22e6b 1

Cargado por

Información del documento

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Matsa22e6b 1

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

CUADERNO DE ACTIVIDADES

-10% -30% -30%

Edición especial para el

Marcela Rojas Carvajal

María Tapia González

Matías Núñez Malhue

Este cuaderno pertenece a:

Rodolfo Hidalgo Caprile

Subdirección editorial: Cristian Gúmera Valenzuela

En este libro se usan de manera inclusiva términos como «los niños»,

Las actividades de este cuaderno te ayudarán a consolidar los

Trabaja en Usa una

En el Texto del Estudiante encontrarás invitaciones a trabajar en este

Lección 1: Operaciones, múltiplos y factores

Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división

b. 10 088 – 7 116 = g. 996 : 12 + 99 =

c. 1 165 • 15 = h. 660 + 17 • 140 – 750 =

d. 12 • 3 099 = i. (5 762 – 2 178) : 14 =

e. 1 003 : 17 = j. 5 643 – (5 835 – 5 797) • 27 =

66 Unidad 1 • Nuestro planeta

b. 2 043 124 – 1 576 773 = f. 256 162 : 526 =

c. 24 099 + 18 111 – 15 345 = g. 55 • 12 649 – 223 920 =

d. 405 335 – 62 040 + 13 854 = h. 10 824 : 123 + 1 045 =

3. Ciencias Analiza la información del problema .

a. ¿Cuántos kilogramos más de CO2 que de metano se emitieron en Chile en 2016?

b. ¿Cuántos kilogramos de CO2 y metano se emitieron en total en Chile en 2016?

4. Analiza cada problema y selecciona la operación que te permite resolverlo (adición,

d. A un encuentro de tecnología asistieron 18 976 estudiantes de Perú, 8 954 de Argentina y

Lección 1 • Operaciones, múltiplos y factores 77

Una tienda ofrece los juguetes de las imágenes.

$5 000 $8 000 $9 000 $3 000

3 000 + 2 • 9 000 + 3 • 8 000

La población proyectada para nuestro país es:

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE, 2018).

a. ¿Cuántas personas más habrá en 2040 que en 2030?

8 Unidad 1 • Nuestro planeta

Un carro de un nuevo tipo de tren puede transportar a 220 personas, 40 de

Pregunta: Pregunta: Pregunta:

Lección 1 • Operaciones, múltiplos y factores 9

2. Define el concepto de mínimo común múltiplo y describe cómo puedes calcularlo.

3. Determina los primeros seis múltiplos de los números.

4. Descubre los múltiplos de los números destacados y márcalos en la lista.

10 Unidad 1 • Nuestro planeta

a. Representa con un los múltiplos de 3 y con un los de 6.

7. Determina el m. c. m. de los grupos de números.

Lección 1 • Operaciones, múltiplos y factores 11

b. Escribe las posibles medidas de los lados de cada rectángulo.

Número Pares de factores Divisores

10. Explica cómo determinarías el m. c. m. de los números 5, 6, 7 y 10.

11. Escribe V (verdadero) o F (falso). Justifica.

a. El número 16 tiene exactamente seis múltiplos.

b. Todo número impar tiene solo factores impares.

c. Para los números naturales 4 y 12, si 4 es divisor de 12, entonces 12 es múltiplo de 4.

d. Todos los divisores de 100 son 1, 2, 5, 10, 20, 50 y 100.

12 Unidad 1 • Nuestro planeta

a. Cada vez que se vacía el vaso superior de uno de

Lección 1 • Operaciones, múltiplos y factores 13

El procedimiento de Eratóstenes es el siguiente:

b. ¿Coincidiste con tu compañero en la respuesta anterior?

Subdirección editorial: Cristian Gúmera Valenzuela