Escuela Politécnica Nacional

Curso de Geometrı́a de Nivelación

Clase No. 22
Preparada por Paul Acevedo∗

Semestre 2021-A

1 Tema
1. Teoremas de concurrencia de las mediatrices, de las alturas, de las bisectrices y de las
medianas.

2 Resultados de aprendizaje
2.1. De conocimientos.

1) Explicar el problema de las concurrencias de mediatrices, alturas, bisectrices y media-

nas de un triángulo.
2) Enunciar los teoremas de concurrencia de mediatrices, alturas, bisectrices y medianas
de un triángulo.
3) Identificar los puntos de concurrencia de mediatrices, alturas, bisectrices y medianas
por sus nombres.

2.2. Destrezas.

1) Justificar los argumentos en las demostraciones de los teoremas sobre la concurrencia

de mediatrices, alturas, bisectrices y medianas de un triángulo.
2) Aplicar los teoremas de concurrencia para determinar longitudes de lados y medidas
angulares de un triángulo.

3 Introducción
3.1. Presentación de la clase. El objetivo de esta clase es abordar el problema de concurrencia de
dos o más rectas coplanares. Para ello, se define el concepto de concurrencia y se plantea
el siguiente cuestionamiento: ¿existen condiciones suficientes bajo las cuales podremos
saber cuándo dos o más rectas son concurrentes? La respuesta a esta pregunta nos lleva
a estudiar los clásicos teoremas de concurrencia de los cuatro “elementos notables” en un
triángulo.
∗ Departamento de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional
4 Teoremas de concurrencia
4.1. Definición: rectas concurrentes. Anteriormente, se hizo referencia a un concepto funda-
mental que involucra a la intersección de dos o más rectas en un mismo plano. A conti-
nuación, se precisa dicho concepto:

Dos o más rectas son rectas concurrentes si existe un único punto común a todas
ellas. Al punto en común se le denomina punto de concurrencia.
10
En la siguiente figura, se ilustran dos ejemplos de rectas concurrentes:
9

4
Nótese que en, ambos casos, el único punto en común es P; este punto es el punto de
10concurrencia
3 de las rectas.
Por otro lado, en el siguiente dibujo se ilustra dos casos de rectas no concurrentes:
9 2

8 1

7
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3
En el primer caso, las rectas l y m son paralelas (y por tanto, no hay punto de concurren-
2cia para ellas), mientras que, en el segundo caso, las rectas l, m y n se intersecan, pero
únicamente cada par de rectas concurren a los puntos A, B y C.
1 Lo anterior nos sugiere la siguiente caracterización de dos rectas concurrentes, propo-
sición que no es difı́cil de deducir de la definición de concurrencia y del teorema sobre la
unicidad
1 2
de la3 intersección
4 5
de dos6 rectas7 diferentes:
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-1 dos rectas coplanares son concurrentes si y solo si no son paralelas.

En el caso de tres rectas coplanares, la concurrencia de dichas rectas es una situación más
compleja. Dicho de otra manera, ¿existe alguna condición suficiente para determinar si
tres rectas coplanares con concurrentes? En general, la respuesta es no. Sin embargo, exis-
ten ciertos casos particulares donde tres rectas coplanares tienen que ser concurrentes: la
concurrencia de las rectas que contienen (o son) los “elementos notables” de un triángulo.
En los siguientes teoremas, nos ocupamos de estos casos especiales.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 2

4.2. Teorema: concurrencia de las mediatrices.

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes. Además, su punto de con-

currencia,10
denominado circuncentro de triángulo, equidista de los tres vértices
del triángulo.
9
Las hipótesis son: 4 ABC es un triángulo cualquiera, l la mediatriz del lado AB , m la
mediatriz del lado AC y n la mediatriz del lado BC .
8

2
9

1
La8 conclusión es: existe un único punto D tal que D ∈ l, D ∈ m y D ∈ n; y, DA = DB = DC.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

7
-1

Demostración.
2
←→
i. Supongamos, por reducción al absurdo, que las rectas l y m son paralelas. Como l ⊥ AB , pues
←→ ←→ ←→ ←→
es su mediatriz, y como m k l, entonces m ⊥ AB ; pero, como m ⊥ AC , entonces AB k AC
1
por el teorema de las rectas perpendiculares a una tercera recta. Pero esto es una contradicción,
←→ ←→
3 pues AB4 y AC 5se intersecan
6 8 A.
en7el vértice 9 10 11

ii. De i., existe un punto D donde l y m se intersecan.

iii. De la hipótesis sobre la recta m y de ii., por el teorema de caracterización de las mediatrices, se
tiene que DA = DB.
iv. De manera similar, por el teorema de caracterización de las mediatrices, se tiene que DA = DC,
pues D ∈ m.
v. De iii. y iv, se tiene que DB = DC por la propiedad transitividad de la igualdad entre números
reales. Por tanto, una vez más por el teorema de caracterización de las mediatrices, se colige que
D ∈ n.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 3

 vi. De ii. y v., se concluye que las mediatrices concurren en el punto D y, además, que DA =
DB = DC.
vii. Ahora falta probar que D es el único punto de concurrencia. Ası́, supongamos que existe otro
punto E tal que es punto de concurrencia de las rectas l, m y n. Como D ∈ l y D ∈ m y, por la
suposición, E ∈ l y E ∈ m, entonces D y E son dos puntos comunes a las rectas l y m, lo que
es falso si D 6= E.
viii. Por tanto, se concluye que hay un único punto de concurrencia de las tres mediatrices.

Los siguientes teoremas son corolarios de este. Sus demostraciones son sencillas y se
realizarán en las sección de los ejercicios resueltos. Antes de enunciarlo, requerimos definir
el concepto de circunferencia.

4.3. Definición: cı́rculo y circunferencia.

Dados un P en un plano β y r un número real positivo, la circunferencia con

centro en P y de radio r, es el conjunto de todos los puntos Q que están en el
plano β tales que la distancia entre P y Q es igual a r; es decir, tales que PQ = r.

En otras palabras,

Si C es la circunferencia con centro en P y radio r, entonces

C = { Q ∈ β : PQ = r } .

El siguiente dibujo ilustra el concepto de circunferencia: los puntos que están en esta
son únicamente los de color celeste:

Nótese que el punto P (el centro de la circunferencia) no está en la circunferencia.

Cualquier segmento cuyos extremos sean el centro de la circunferencia y un punto en
ella se denomina radio de la circunferencia. Luego, si X es un punto de la circunferencia
de centro Y y radio s, entonces el segmento YX es un radio de esta circunferencia. Nótese
que una circunferencia tiene tantos radios como puntos, y todos ellos son congruentes
entre sı́ y su longitud es igual al “radio” de la circunferencia.
Tómese en cuenta que la palabra “radio” se está utilizando con un significado doble: el
número real de la definición de circunferencia y el segmento cuyos extremos son el centro
de la circunferencia y un punto cualesquiera de ella.

4.4. Corolario: tres puntos en una circunferencia.

Tres puntos en un plano que no son colineales se encuentran en una única cir-
cunferencia.

4.5. Corolario: intersección de dos circunferencias.

Dos circunferencias distintas pueden intersecarse a lo más en dos puntos.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 4

4.6. Teorema: concurrencia de las alturas.

Las rectas que contienen las tres alturas de un triángulo son concurrentes; el
punto de concurrencia se denomina ortocentro del triángulo.
←→
Las hipótesis son: 4 ABC es un triángulo cualquiera, AD es la recta que contiene la
←→
altura correspondiente al lado BC , BE es la recta que contiene la altura correspondiente al
←→
lado AC y CF es la recta que contiene la altura correspondiente al lado AB .

En la ilustración, se muestran los tres casos que pueden suceder bajo las hipótesis dadas,
según 4 ABC sea un triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
←→ ←→ ←→
La tesis es: existe un único punto O tal que O ∈ AD , O ∈ BE y O ∈ CF :

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 5

 Demostración. Se realizará la demostración en el caso en que el triángulo 4 ABC es obtusángulo.
Las deducciones en los otros dos casos son similares.

i. Supongamos que 4 ABC es un triángulo obtusángulo.

ii. De i., por el postulado de las paralelas, por cada vértice del triángulo pasa una, y solo una, recta
paralela al lado opuesto; es decir, por A, B y C pasan las rectas l, m y n, respectivamente,
paralelas a los lados BC , AC y AB , respectivamente.
iii. Dos cualesquiera de estas rectas no pueden ser paralelas. En efecto, supongamos que l k m.
Como l k BC y m k AC , por la propiedad transitiva del paralelismo, se tiene que BC k AC , que
es una contradicción, pues BC y AC se intersecan en el punto C.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 6

 iv. De iii., las intersecciones de las tres rectas l, m y n determinan un triángulo, digamos 4 PQR.

Mediante los teoremas deducidos del postulado de separación, se deduce que P − B − Q,

P − A − R y Q − C − R (su deducción se deja como un ejercicio propuesto).
v. De ii. y iv., se tiene que los cuadriláteros  PBCA,  BQCA y  RABC son paralelogramos.
vi. De v., por el teorema sobre los lados opuestos de un paralelogramo, se tiene que las siguientes
proposiciones son verdaderas:

PB ∼
= AC , AC ∼
= BQ ,

QC ∼
= BA , BA ∼
= CR ,
PA ∼
= BC , BC ∼
= AR .

vii. De vi., por la definición de congruencia entre segmentos, se colige que:

PB = BQ, QC = CR y PA = AR.

viii. Por la definición de mediatriz de un segmento y por el teorema sobre una perpendicular a dos rectas
paralelas, se infiere que
1: la altura desde el vértice A es la mediatriz del segmento PR del triángulo 4 PQR;
2: la altura desde el vértice B es la mediatriz del segmento PQ del triángulo 4 PQR; y
3: la altura desde el vértice C es la mediatriz del segmento QR del triángulo 4 PQR.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 7

 ix. De viii., por el teorema sobre la concurrencia de las mediatrices, las mediatrices del triángulo
4 PQR son concurrentes en un único punto O; y al ser estas las alturas del triángulo 4 ABC,
se concluye que las alturas son concurrentes en el punto O.

Obrsérvese que

si las alturas de un triángulo se consideran como segmentos, estos no necesaria-

mente se intersecan y, por tanto, no serán concurrentes necesariamente.

4.7. Teorema: concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo.

Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo son concurrentes. Su pun-

to de concurrencia se conoce con el nombre incentro del triángulo; este punto
equidista de los tres lados del triángulo.

Las hipótesis son: 4 ABC es un triángulo cualquiera; D, E y F puntos en el interior del

−−→ −→ −→
triángulo 4 ABC tales que AD , BE y CF son las bisectrices de los ángulos ∠ A, ∠ B y ∠C,
respectivamente.

La tesis es: existe un único punto I en las bisectrices de los ángulos ∠ A, ∠ B y ∠C. Además,
IL = I M = I N, donde L, M y N son los pies de las perpendiculares a los lados AB , AC y
BC que pasan por I, respectivamente.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 8

 Demostración.

i. Sea I la intersección de las bisectrices de los ángulos ∠ A y ∠ B.

ii. De i, por la definición de la bisectriz de un ángulo de un triángulo, I está en el interior del triángulo,
pues está en el interior de los ángulos ∠ A, ∠ B y ∠C.
←→
iii. De i., por el teorema de caracterización de la bisectriz de un ángulo, I equidista de las rectas AB y
←→ ←→ ←→
AC y, al mismo tiempo, equidista de las rectas BC y BA .
iv. De iii., existen puntos L, M y N tales que A − L − B, A − M − C, B − N − C y IL = I M = I N.

←→ ← →
v. De iv., se colige que I equidista de las rectas CA y CB y, por tanto, por el teorema de caracteri-
zación de la bisectriz de un ángulo, el punto I está en la bisectriz del ángulo ∠C.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 9

 vi. De v., se concluye que I es el único punto que está en las bisectrices de los ángulos ∠ A, ∠ B y
∠C y, además, IL = I M = I N, como se dijo.

4.8. Teorema: concurrencia de las medianas.

Las tres medianas de un triángulo son concurrentes. Su punto de concurren-

cia se conoce con el nombre baricentro o centroide del triángulo1 . La distancia
entre este punto y cada vértice es los dos tercios de la longitud de la respecti-
va mediana; dicho de otra manera, el baricentro “divide” cada mediana en una
proporción 2 : 1.

Las hipótesis son: 4 ABC es un triángulo cualquiera y, D y E dos puntos tales que AD
y BE son dos de las medianas del triángulo 4 ABC.

La tesis es: existen dos únicos puntos Q y F tales que

←→ ←→ ←→
1: Q ∈ AD , Q ∈ BE , Q ∈ CF ;
2: AF = FB;
3: AQ = 23 AD, BQ = 23 BE y CQ = 23 CF o, de manera equivalente,

AQ BQ CQ
= = = 2.
DQ EQ FQ
1 También se conoce con el nombre de centro de gravedad del triángulo.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 10

 Demostración.

i. Sea Q el punto de intersección de las medianas AD y BE ; luego, Q está en el interior del

−→
triángulo y, por tanto, el rayo CQ interseca el lado AB en un único punto, digamos en el
punto F.

ii. Por el postulado de las paralelas, existe una única recta paralela l a la mediana BE que pasa
−→
por el punto A. Es fácil probar que l no es paralela a CF (se deja como ejercicio propuesto esta
demostración).
−→
Sea P la intersección de l con el rayo CF .

iii. Se mostrará que CF es la tercera mediana del triángulo 4 ABC. Para ello, se mostrará que F
es el punto medio del lado AB .
iv. La correspondencia de triángulos 4CQE ←→ 4CPA es una semejanza. En efecto, se tiene
que ∠CQE ∼ = ∠CPA por ser ángulos correspondientes entre paralelas y ∠QCE ∼
= ∠ PCA, porque

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 11

 son iguales (es un ángulo común a los dos triángulos). Luego, por el teorema de semejanza AA,
se sigue que 4CQE ∼ 4CPA.
CQ CE
v. De iv., por la definición de congruencia entre triángulos, se deduce que = y, dado que
QP EA
CQ
CE = EA (E es el punto medio de AC ), se tiene que = 1; ası́, se obtiene que CQ = QP.
QP
En otras palabras, Q es el punto medio del segmento CP .

vi. De v., por una de las hipótesis se tiene que CQ ∼

= QP y CD ∼ = DB , por tanto, DQ k BP ,
←→ ← → ←→ ← →
ya que las rectas BC y PC están cortadas por las transversales QD y BP y los segmentos
determinados son proporcionales.

Más aún, se infiere también que DA k BP .

vii. Ası́, se ha probado que el cuadrilátero  PBQA es un paralelogramo, con lo cual las diagonales
PQ y AB se bisecan, digamos que en el punto F. Por tanto, F es el punto medio del lado AB
del triángulo 4 ABC.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 12

 Es decir, el segmento CF es la tercera mediana del triángulo 4 ABC.
←→ ←
→ ←→
viii. De vii., se concluye que Q ∈ AD , Q ∈ BE , Q ∈ CF y AF = FB, se querı́a probar.
ix. Como CQ ∼ = QP y FQ ∼ = FP , entonces CQ = 2FQ, de donde se tiene que
CQ
= 2.
FQ

x. La correspondencia 4 ABC ←→ 4 EDC es una semejanza.

En efecto. Nótese que ∠ ACB ∼

= ∠ECD, por ser el mismo ángulo; y, dado que E y D son los
puntos medios de los lados AC y BC , respectivamente, se tiene que

AC 2EC BC 2DC
= =2 y = = 2.
EC EC DC DC
AC BC
Por lo tanto, = y, gracias al teorema de semejanza de triángulos LAL, se sigue que
EC DC
4 ABC ∼ 4 EDC.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 13

 AB AC
xi. De x., por la definición de triángulos semejantes, colegimos que = = 2 y que los ángulos
ED EC
∠CDE y ∠CBA.
←→ ←→ ←→
xii. Las rectas DE y BA están cortadas por la transversal BD y los ángulos ∠CDE y ∠CBA son
correspondientes. Ası́, DE k BA por el teorema de ángulos correspondientes congruentes entre dos
rectas.

xiii. La siguiente 4 AQB ←→ 4 DQE es una semejanza. En efecto: ∠ ABQ ∼ = ∠ DEQ (por ser
ángulos alternos internos entre paralelas) y ∠ AQB ∼ = ∠ DQE (porque forman un par vertical).
Ası́, por el teorema de semejanza de triángulos AA, se sigue que 4 AQB ∼ 4 DQE.
AQ AB
xiv. De xiii., por la definición de semejanza entre triángulos, se tiene que = .
DQ ED

AB AQ BQ
xv. De xi., se tiene que = 2; entonces = 2. De manera similar, se tiene que = 2.
ED DQ EQ
AQ BQ CQ
xvi. De ix. y xv., se concluye que = = = 2, como se querı́a.
DQ EQ FQ

5 Ejercicios resueltos
5.1. Muestre que dados tres puntos en un plano que no son colineales, estos se encuentran en
una única circunferencia.

Demostración.

i. Sean A, B y C tres puntos en un plano que no son colineales.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 14

 9

ii. Considere el 94triángulo 4 ABC.

3
8
2 3 4 5 6 7 8

iii. Gracias al teorema

4 de concurrencia de las mediatrices, las tres mediatrices l, m y n correspondien-
tes a los lados AB , AC y BC , respectivamente, concurren al circuncentro D del triángulo.
Este mismo teorema,
9 asegura que DA = DB = DC.
3
2 3 4 5 6 7 8

iv. Por tanto, existe una única circunferencia de centro D y radio r igual a DA (o a DB, DC) que
pasa por A, B y3 C.
2 3 4 5 6 7 8

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 15

5.2. Dado un triángulo, demuestre que existe una única circunferencia con centro el incentro
del triángulo y que pasa por al menos un punto de cada uno de los lados del triángulo.

Demostración. Sea 4 ABC un triángulo cualquiera. Sea I el incentro del triángulo. Por el teorema de
concurrencia de las bisectrices, I equidista de los lados del triángulo; es decir, se tiene que

IL = I M = I N,
←→ ←→ ← →
donde L, M y N son los “pies” de las perpendiculares desde I a las rectas AB , AC y BC , respecti-
vamente:

Por tanto, por el ejercicio anterior, existe una única circunferencia que pasa por L, M y N, cada uno
un punto de un lado del triángulo.

6 Ejercicios propuestos
6.3. Ilustre gráficamente la demostración del teorema de concurrencia de las alturas para los
triángulos acutángulo y rectángulo.

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 16

 6.4. Considere un triángulo rectángulo isósceles tal que la altura correspondiente a la hipote-
nusa es 7. Halle el área del triángulo.

6.5. Se dice que un cuadrilátero es cı́clico si sus cuatro vértices están en una circunferencia.
Muestre que las mediatrices de los cuatro lados de un cuadrilátero cı́clico, junto con las
mediatrices de sus dos diagonales, son concurrentes.

6.6. Sea 4 ABC un triángulo cualquiera. Considere un ángulo cualquiera del triángulo y los
ángulos externos de los otros dos ángulos del triángulo que contienen dos puntos en
común. Muestre que las bisectrices de estos tres ángulos son concurrentes.

6.7. Sea 4 ABC un triángulo cualquiera y considere CD una mediana y el punto Q el baricen-
tro del triángulo 4 ABC. Muestre que la altura de Q hasta AB es un tercio de la altura de
C hasta AB .

Paul Acevedo T. EPN - 2021 - A. Versión 1.1: 16/07/2021 17