S09. AplicacVibraMecanCircMaterial

CÁLCULO PARA LA TOMA
DE DECISIONES
UNIDAD: 02
Ecuaciones diferenciales de orden superior
S09. Aplicaciones a vibraciones mecánicas amortiguadas.

Aplicaciones a circuitos eléctricos RLC.
Logro de la Sesión
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aplica las

ecuaciones diferenciales a vibraciones mecánicas y circuitos
eléctricos RLC.
UTILIDAD:
Muchos fenómenos físicos son modelados por ecuaciones
diferenciales de segundo orden, entre ellas tenemos :
1.- Movimiento vibratorio

2.- Circuitos RLC
Datos/Observaciones
APLICACIONES MECANICAS Y ELECTRICAS
Ya es momento de aplicar los métodos y técnicas para la solución de

problemas físicos.
Nos apoyaremos en las leyes de Kirchhoff, de Hooke y de Newton para
establecer nuestros modelos matemáticos a través de una ED.
Y realizaremos las interpretaciones físicas de acuerdo a las situaciones
particulares que se den.
Datos/Observaciones
Sea un cuerpo de masa 𝑚 que está sujeto al
techo por medio de un resorte de constante 𝑘 .
Supongamos que no hay fuerzas retardadoras
que actúen sobre el sistema y que la masa
vibre libre de otras fuerzas externas, entonces:
Fuerza Total resultante es:
𝐹𝑇 = 𝐹𝑅𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 + 𝑃𝑒𝑠𝑜
Entonces de la Segunda Ley de Newton
𝑑2 𝑥
𝑚 𝑑𝑡 2 = −𝑘 𝑥 + 𝑠 + 𝑚𝑔
ED que modela las vibraciones libres

no amortiguadas
𝑑2𝑥
𝑚 𝑑𝑡 2 + 𝑘𝑥 = 0
x 0 = 𝑥0 posición inicial y x′ 0 = 𝑣0 la velocidad inicial.
EJERCICIO EXPLICATIVO 1:
Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En 𝑡 = 0 se libera la masa
desde un punto que esta 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una
velocidad ascendente de 4/3 pie/s. Determine la ecuación del movimiento.
𝑝𝑖𝑒𝑠
. (g = 32 𝑠2 )
1pie=12pulg
Suponga que se agrega ahora un amortiguador al
sistema masa – resorte que reduce la velocidad
de la masa cuando el sistema se encuentra
vibrando libre de fuerzas externas.
La fuerza del amortiguador es : 𝐹𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡 = 𝑐 𝑣
Luego la fuerza que ejerce el amortiguador:
𝑑𝑥
𝐹𝐴 = −𝑐𝑣 𝑡 = −𝑐
𝑑𝑡
La fuerza total resultante: 𝐹𝑇 = 𝐹𝑅𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡 + 𝐹𝐴 + 𝑃𝑒𝑠𝑜
Entonces de la Segunda Ley de Newton
𝑑2 𝑥 𝑑𝑥
𝑚 𝑑𝑡 2 = −𝑘 𝑥 + 𝑠 − 𝑐 𝑑𝑡 + mg
ED que modela las vibraciones 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥

amortiguadas libres 𝑚 𝑑𝑡 2 + 𝑐 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 0
Datos/Observaciones
Una masa que pesa 8 𝑙𝑏 alarga 2 𝑝𝑖𝑒𝑠 un resorte. Suponiendo que una fuerza
amortiguadora que es igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el
sistema. Determine la ecuación del movimiento si la masa se libera inicialmente
𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑠
desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 𝑠 . (g = 32 𝑠2 )
Una masa que pesa 32Lb, alarga 8 pies un resorte . Suponiendo que una fuerza
amortiguada que es igual a cinco veces la velocidad instantánea actúa sobre el
sistema, determinar la ecuación del movimiento si la masa inicialmente se libera
desde 1 pie por debajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente
de 1ft/s
Un peso de 16 𝑙𝑏 se adhiere a un resorte de 5 𝑝ies de largo. En equilibrio el resorte
mide 8.2 pies . Si el peso se impulsa y se libera del reposo en un punto situado a
2 𝑝𝑖𝑒𝑠 sobre la posición de equilibrio y el medio circundante ofrece una resistencia
𝑝𝑖𝑒𝑠
igual a la velocidad instantánea; Halle la ecuación del movimiento. (g = 32 𝑠2 )
2 −𝑡
𝑦= −2𝑒 −𝑡 cos 3𝑡 − 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑡
3
Consideremos un circuito formado
por un resistor R, un capacitor C y
un inductor L conectados en serie
con una fuente de voltaje 𝑉0 .
De acuerdo a la segunda ley
Kirchhoff se tiene:
𝑑𝐼 𝑞
L + 𝑅𝐼 + = 𝑉0
𝑑𝑡 𝐶
𝑑𝑞
Como 𝐼 = 𝑑𝑡 , entonces obtenemos
la ED que modela la carga en el
capacitor :
𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 𝑞
L 𝑑𝑡 2 + 𝑅 𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑉0
1
Un circuito RLC esta formado por un resistor R = 10Ω ; un capacitor C = F ; y un
30
5
inductor L = 3 H. Se conecta a una fuente de voltaje que suministra 300 V. Si
inicialmente el capacitor esta descargado y no circula corriente alguna por el circuito,
encuentre la ecuación para la carga y la corriente como función del tiempo.
𝑦 = 𝐴𝑒 −3𝑡 cos 3𝑡 + 𝐵𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + 10 =

= −10𝑒 −3𝑡 cos 3𝑡 − 10𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + 10
En este caso la ED que modela la
carga del circuito es:
𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 𝑞
L 𝑑𝑡 2 + 𝑅 𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑉(𝑡)
Derivando esta ED, se obtiene la

ED que modela la corriente
eléctrica en el circuito :
𝑑2𝐼 𝑑𝐼 𝐼 𝑑𝑉 𝑡
L 2+𝑅 + =
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡
1
Un circuito RLC esta formado por un resistor R = 12Ω ; un capacitor C = 10 F ; y un
inductor L = 2H. Se conecta a una fuente de voltaje que suministra 20cos(5t) V. Si
1 5 −𝑡 2 3
𝑦 = 𝑒 −5𝑡 − 𝑒 − cos 5𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(5𝑡) =
4 52 13 13
Datos/Observaciones
EJERCICIO RETO
Una cuerpo de masa 5kg se une al techo mediante un resorte de constante 5 N/m
y a un amortiguador de constante 26 N s/m. La masa se suelta del punto 𝑥0 =
− 0.1𝑚, con velocidad 𝑣0 = 1.94 m/s. Determine la función de posición y velocidad
de la masa.
Datos/Observaciones
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Un cuerpo de masa 2kg que descansa sobre un piso lizo, se une a una pared
mediante un resorte de constante 200 N/m . Si se comprime el resorte una
distancia de 0.08 m y se suelta imprimiendo una velocidad de 0.4 m/s. Halle la
ecuación del movimiento para el cuerpo.
2.- Un cuerpo de masa 5kg se une al techo mediante un resorte de constante 5 N/m y a
un amortiguador de constante 26 N s/m. La masa se suelta desde 0.8m por encima de
la posición de equilibrio y con una velocidad descendente de 2 m/s.
Halle la ecuación del movimiento para el cuerpo.
3.- Un cuerpo de masa 1kg se une a la pared mediante un resorte de constante 1 N/m y a
un amortiguador de constante 2 N s/m. Si se aplica una fuerza externa 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 16𝑐𝑜𝑠𝑡.;
determine la función de posición de la masa si inicia su movimiento desde su posición de
equilibrio y con velocidad nula. Halle la ecuación del movimiento para el cuerpo.
1
4.- Un circuito RLC esta formado por un resistor R = 6Ω ; un capacitor C = F ; y un
8
inductor L = 1H. Se conecta a una fuente de voltaje que suministra 40cos(2t) V. Si
CONCLUSIONES:
1.- Las ecuaciones diferenciales de orden superior modelan problemas de

sistemas masa resorte amortiguador.
2.- Las ecuaciones diferenciales de orden superior modelan problemas de

circuitos eléctricos RLC.
3.- Las ecuaciones diferenciales y sus soluciones permiten interpretar estos

fenómenos según sus caracteristicas
Ecuación diferencial lineal de primer orden

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Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aplica las

1.- Movimiento vibratorio

Ya es momento de aplicar los métodos y técnicas para la solución de

ED que modela las vibraciones libres

ED que modela las vibraciones 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = 𝐴𝑒 −3𝑡 cos 3𝑡 + 𝐵𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + 10 =

Derivando esta ED, se obtiene la

1.- Las ecuaciones diferenciales de orden superior modelan problemas de

2.- Las ecuaciones diferenciales de orden superior modelan problemas de

3.- Las ecuaciones diferenciales y sus soluciones permiten interpretar estos

Ecuación diferencial lineal de primer orden

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