Estudio de los

Conceptos de la
Probabilidad
Capítulo 5

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Objetivos de Aprendizaje
◼ O5-1 Definir probabilidad, experimento, evento y
resultado.
◼ O5-2 Asignar probabilidades usando un enfoque
clásico, empírico, o subjetivo.
◼ O5-3 Calcular probabilidades mediante reglas de
Adición.
◼ O5-4 Calcular probabilidades mediante reglas de
Multiplicación.
◼ O5-5 Calcular probabilidades mediante tabla de
contingencia.
◼ O5-6 Calcular probabilidades mediante el teorema de
Bayes.
◼ O5-7 Determinar el número de resultados por medio del
principio apropiado de conteo.
5-2
Estadística Inferencial
◼ O llamada también Inferencia Estadística se vincula con
las conclusions relacionadas con una población con base a
una muestra.
◼ Cuando se toman decisiones pocas veces se cuenta con
toda la información completa y esto ocasiona incertidumbre
y por lo tanto es importante valorar todos los riesgos
implicados.
◼ La teoría de la probabilidad, llamada también ciencia de la
incertidumbre resulta útil para hacer estas valoraciones, su
aplicación permite al tomador de decisiones que posee
información limitada analizar y reducir los riesgos al mínimo,
por ej: Si va a lanzar un nuevo producto
◼ En este capítulo se introduce el lenguaje básico de la
probabilidad.
5-3
 O5-1

Probabilidad
Es un valor entre cero y uno, inclusive, que describe la
posibilidad relativa (oportunidad o casualidad) de que
ocurra un evento. Es común expresarla como decimal:
0.70, 0.27 o como fracción 70/10, 27/100 o 1/2.

Basándose en las reglas de probabilidad, la suma de las

probabilidades debe ser una. Si la probabilidad del
primer resultado es .61, entonces lógicamente, y por la
regla del complemento, la probabilidad del otro
resultado es (1,0-. 61) =. 39.

5-4
 O5-1

Probabilidad

5-5
 O5-1

Probabilidad
A veces, la probabilidad de un evento se expresa utilizando otros
términos como chances o posibilidades.

Ej: Si se indica que los chances son “cinco a dos” de que un

evento suceda, significa que de un total de 7 ensayos (5+2) el
evento ocurrirá 5 veces y no dos, esto es 5(5+2) o 5/7, por lo
tanto los chances o posibilidades son x y la probabilidad del
evento es x(x+y).

En el estudio de la probabilidad se utilizan tres palabras claves:

Experimento, resultado y evento.

5-6
 O5-1

Experimento, Resultado y Evento

◼ Experimento Es un proceso
◼ Resultado Salida del proceso del experimento o suma de
experimentos.
◼ Evento criterio que define el resultado de un experimento.

Elecciones Estudiantiles
Experimento: Preguntar a estudiantes por quién vota?
Resultado: Cantidad de votos para cada lista
Evento: Ganador lista…. por mayoría de votos.

Juegos de Azar
Experimento: Lanzar los dados
Resultado: 6 posibilidades de resultados
Evento: Algunos posibles resultados número par, número mayor que 4,
número menor que 3…….
5-7
 O5-1

Enfoques para asignar Probabilidades

◼ Clásico: Los resultados de un experimento tienen la misma
probabilidad de ocurrencia, se asigna un valor equitativo (igual) a
cada posible resultado, que se conoce de antemano.
◼ Empírico: No se asigna la misma probabilidad de ocurrencia
porque no se conoce su comportamiento. Parte de información
disponible sustentada en evidencia que se calcula en base a
observaciones previas, se trabaja con frecuencias relativas.
◼ Subjetivo: No hay suficiente información sólo nociones por lo tanto
la probabilidad de un evento en particular la asigna un individuo a
partir de cualquier información disponible.
El clásico y empírico son objetivos y se basan en datos e
información. El subjetivo se basa en la estimación de una persona
acerca de la probabilidad de un evento.
Resulta innecesario llevar a cabo un experimento para determinar la
probabilidad de un evento mediante el enfoque clásico , porque el
total de resultados se sabe antes de realizar el experimento.
5-8
 O5-2

Probabilidad Clásica

Considere un experimento de rodar un dado de seis lados. ¿Cuál es la

probabilidad del evento: "un número par de manchas aparecen boca
arriba"?. Los posibles resultados son:

Hay tres resultados "favorables" (un dos, un cuatro y un seis) en el

conjunto de seis resultados igualmente posibles.
Probabilidad de número par: 3/6 = 0.5

5-9
 O5-2

Probabilidad Clásica
Cuando se indica la totalidad de posibilidades o condiciones diferentes
de una variable son mutuamente excluyentes. Ejemplo: El género da
lugar a resultados mutuamente excluyentes hombre o mujer.

Y se trata de eventos colectivamente exhaustivos, porque no hay otras

características adicionales que tengan que ver con la variable por ejemplo
género o si se lanzan dados cada resultado será par o impar. Se es
exhaustivo en definir posibilidades de respuestas.

Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son

mutuamente excluyentes la suma de las probabilidades es 1.

5-10
 O5-2

Probabilidad Empírica
La probabilidad empírica o frecuencia relativa, se basa en el
número de veces que ocurre el evento como proporción del
número de intentos conocidos.

El enfoque empírico de la probabilidad se basa en lo que se

denomina “ley de los grandes números”. Una mayor cantidad de
observaciones proporcionarán un cálculo más preciso de la
probabilidad.

5-11
 O5-2

Probabilidad Empírica

5-12
 O5-2

Probabilidad Empírica-Ejemplo
El 1 de febrero de 2003, el transbordador espacial Columbia
explotó. Este fue el segundo desastre en 113 misiones
espaciales para la NASA. Sobre la base de esta información,
¿cuál es la probabilidad de que una futura misión se
complete exitosamente?

5-13
 O5-2

Probabilidad Subjetiva
Si hay poca o ninguna experiencia e información para calcular una
probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. Es decir, se
evalúan las opciones y la información disponibles y luego se calcula
o asigna la probabilidad.

Ejemplos, calcular la posibilidad de:

1. Que los patriotas de Nueva Inglaterra jugaran en el Super Bowl
el próximo año.
2. Que una persona se case antes de los 30 años.
3. Que el déficit presupuestario de Estados Unidos se reduzca a la
mitad en los próximos 10 años.

5-14
 O5-2

Resumiendo La Probabilidad

5-15
 O5-3

Reglas Adición para Calcular probabilidades:

Especial y General

▪ Regla Especial: Si dos eventos A y B son mutuamente

excluyentes, es decir que se indica la totalidad de posibilidad o
condiciones diferentes de una variable que no se interceptan, la
probabilidad de que ocurra uno u otro evento equivale a la suma de
sus probabilidades.

Fórmula de la Regla Especial: P (A o B) = P (A) + P (B)

◼ En el caso de tres eventos mutuamente excluyentes: A, B y C, la

regla se expresa:

Fórmula: P (A o B o C) = P (A) + P (B) + P(C)

5-16
 O5-3

Ejemplo
Una máquina llena con bolsas de plástico de una mezcla de
frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas
contienen el peso correcto, pero debido a la variación en el
tamaño de los frijoles y otras verduras, un paquete podría ser de
bajo peso o sobrepeso. Un chequeo de 4.000 paquetes llenados
en el mes pasado reveló:

5-17
 O5-3

Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular sea bajo peso
o sobrepeso?
P(A o C) = P(A) + P(C) = .025 + .075 = .10

Los eventos son mutuamente excluyentes porque se indica la

totalidad de posibilidades que se pueden presentar: un paquete de
verduras mixtas no puede pesar menos, tener el peso satisfactorio y
pesar más al mismo tiempo.
Los eventos son colectivamente exhaustivos, non hay otras
características adicionales para el peso: un paquete seleccionado debe
pesar menos, tener un peso satisfactorio o pesar más.
El Diagrama de Venn representa de forma gráfica el resultado del
experimento

5-18
 O5-3

Regla del Complemento

La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que
un evento ocurra restando de 1 la probabilidad de un evento que no ha
ocurrido. A veces es más fácil calcular la probabilidad de que un evento
suceda determinando la probabilidad de que no suceda.
La probabilidad de que una bolsa de verdura pesa menos: P(A), más la
probabilidad de que no sea una bolsa con menos peso: P(~ A) que se
lee no A, debe ser por lógica = 1.

En el ejemplos anterior A y ~ A son mutuamente excluyentes, por lo tanto la

suma de ambos es 1.

5-19
 O5-3

Regla del Complemento

5-20
 O5-3

Regla General de la Adición

Una encuesta determinó que de 200 turistas que visitan Florida
durante el año: 120 fueron a Disney World, 100 fueron a Busch
Gardens, y 60 visitaron ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que una
persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens?

Respuesta: 1) sume la probabilidad de que un turista haya visitado

Disney World y la probabilidad de que haya visitado Busch Gardens;
2) a esto reste la probabilidad de que haya visitado ambas.

P(Disney o Busch) = P(Disney) + P(Busch) -P (tanto Disney como Busch)

= 120/200 + 100/200 – 60/200
= .60 + .50 – .80

Cuando dos eventos ocurren al mismo tiempo se habla de

probabilidad conjunta

5-21
 O5-3

Reglas Adición para Calcular probabilidades:

Regla General

Que un turista visite ambas atracciones (0.30) es un ejemplo.

5-22
 O5-3

Regla General de la Adición

La expresión P(A o B) sugiere que puede ocurrir A o B, esto

también incluye la posibilidad de que ambas ocurran, el uso de o
se denomina inclusivo P(A o B o ambos).

Para la aplicación de la regla especial o general, se debe

determinar si los eventos son mutuamente excluyentes, si lo son
entonces se aplica la regla especial de la adición, en la que no
existe intersección, caso contrario se considera la probabilidad
conjunta y se aplica la regla general de la adición, porque existe
intersección.

5-23
 O5-3

Ejemplo

5-24
 O5-4

Regla de la Multiplicación: Especial

Se utiliza para determinar la probabilidad de dos eventos que se
presentan de forma simultánea (probabilidad conjunta). Los
diagramas de Venn la presentan como intersección de dos eventos.
La regla especial de la multiplicación calcula la probabilidad
conjunta de dos eventos A y B que son independientes.
Independencia: Si un evento ocurre, no tiene ningún efecto sobre la
probabilidad de la ocurrencia del otro, ocurren en momentos
diferentes, si ambas probabilidades son exactamente iguales existen
independencia.
La probabilidad de que A y B ocurran se determina multiplicando las
dos probabilidades:
P (A y B) = P (A) P (B)
En el caso de tres eventos independientes A, B y C se utiliza:
P (A y B y C) = P (A) P (B) P (C)

5-25
 O5-4

Ejemplo
Una encuesta realizada por la Asociación Americana del automóvil
(AAA) reveló que el 60 por ciento de sus miembros hicieron
reservaciones de aerolíneas el año pasado. Se seleccionan dos
miembros al azar, puesto que el número de miembros AAA es muy
grande, podemos asumir que el R1 y el R2 son independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan hecho reservaciones
aéreas el año pasado?

Solución:
La probabilidad de que el primer miembro hiciera una reservación de
aerolínea el año pasado es. 60, escrito como P (R1) =. 60
La probabilidad de que el segundo miembro seleccionado hizo una reserva
es también. 60, por lo que P (R2) =. 60.
P (R1 y R2) = P (R1) P (R2) = (. 60) (. 60) =. 36

5-26
 O5-4

Regla General de la Multiplicación

La regla general de la multiplicación se utiliza para encontrar la
probabilidad conjunta de que se produzcan dos eventos
cuando no son independientes sino que son dependientes, es
decir si ambas probabilidades son diferentes hay dependencia.
Su valor se encuentra condicionado por ello se denomina
probabilidad condicional: Es la probabilidad de que un
evento en particular ocurra, dado que otro evento haya
acontencido con anterioridad.
La probabilidad conjunta de que ambos eventos sucedan se
encuentra multiplicando la probabilidad de que el evento A
ocurra por la probabilidad condicional de que ocurra el evento
B, dado que A ha ocurrido.

5-27
 O5-4

Ejemplo
◼ Suponga que hay 10 latas de refrescos en la refri, 7
normales y 3 de dieta, si saca una lata de la refri, la
probabilidad de que sea de dieta es 3/10 y la de uno
normal es 7/10. Si elige una segunda lata sin devolver la
primera, la probabilidad es menor 2/9 si es dietética o
3/9 si la primera lata que sacó no fue de dieta. La
fracción 2/9 o 3/9 es condicionado es decir depende de
que fue lo que sacó la primera vez.
◼ Si hubieren 3 eventos A, B y C:
P(A y B y C) = P(A)P(B/A)P(C/A y B)

5-28
 O5-4

Regla General de la Multiplicación -Ejemplo

Un golfista tiene 12 camisas de golf en su armario. Supongamos
que 9 de estas camisas son blancas y las otras azules. Como se
viste por la noche sólo toma una camisa y se la pone, juega dos
veces seguidas y no las vuelve a guardar.

¿Cuál es la probabilidad de que ambas camisas seleccionadas

sean blancas?
5-29
 O5-4

Regla General de la Multiplicación -Ejemplo

◼ La probabilidad de que la primera camisa seleccionada sea blanca es P (W1) = 9/12.

◼ La probabilidad de seleccionar una segunda camisa blanca (W2) depende de la primera
selección. Por lo tanto, la probabilidad condicional es la probabilidad de que la segunda
camisa seleccionada sea blanca, dado que la primera camisa seleccionada también es
blanca: P (W2 | W1) = 8/11.
◼ Aplicar la regla general de multiplicación: P (A y B) = P (A) P (B | A)
◼ La probabilidad conjunta de seleccionar 2 camisas blancas es:
P (W1 y W2) = P (W1) P (W2 | W1) = (9/12) (8/11) = 0,55

Si fueran tres camisas la probabilidad sería:

P (W1 y W2 y W3) = P (W1) P (W2 | W1) P (W3 | W1 y W2) = (9/12) (8/11)(7/10) = 0,38

5-30
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

Clasifica observaciones de una muestra según dos o más
características identificables. Resume dos variables de interés así
como su relación. El nivel de medición puede ser nominal.

Basándose en la encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que una

persona tenga cero cuentas o(Regla Adición) sea masculina?

Aplicación de la regla general de la adición:

P (cero cuentas o masculino) = P (cero cuentas) + P (masculino) – P (cero
cuentas y masculino)= 60/150 + 70/150 – 20/150 = 0,733
5-31
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

Basándose en la encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que una
persona sea masculina y(Regla multiplicación) tenga cero cuentas?

Aplicación de la regla general de la multiplicación

P (masculino y cero cuentas) = P (masculino) P (cero cuentas | masculino)
= (70/150) (20/70) = 0,133

5-32
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

Basándose en la encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que una
persona tenga cero cuentas si una persona es masculina?

Aplicando el concepto de probabilidad condicional:

P (cero cuentas | masculino) = 20/70 = 0,286

5-33
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

5-34
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

5-35
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

5-36
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

5-37
 O5-5

Tabla de Contingencia - Ejemplo

5-38
 O5-5

Diagramas de Árbol
Un diagrama de árbol es:
1. Útil para representar probabilidades condicionales y
conjuntas.
2. Particularmente útil para analizar decisiones de
negocios que implican varias etapas.
3. Útil en la organización de cálculos que implican varias
etapas.
Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las
ramas de un diagrama de árbol son ponderadas por
probabilidades.

5-39
 O5-5

Diagrama de Árbol - Ejemplo

El mes anterior, la Asociación Nacional de Administradores de Salas
Cinematográficas realizo una encuesta entre 500 adultos
seleccionados al azar. La encuesta preguntaba a las personas su
edad y el número de veces que habían visto una película en un cine.
Los resultados se resumen en la tabla.

5-40
 O5-5

Diagrama de Árbol - Ejemplo

Es un diagrama que resume todas las probabilidades basado en la tabla
de contingencia: Probalidad condicional y conjunta. Todas las
posibilidades suman 1.

5-41
 O5-6

Teorema de Bayes

Hace referencia a aquella información que es empleada para saber

cuál es la probabilidad condicional que tiene un suceso. Determina la
probabilidad de un suceso con respecto a la probabilidad de otro
suceso diferente. Este teorema da sustento al avance tecnológico
porque permite las búsquedas en google.

Se debe tener en cuenta los siguientes datos:

Por un lado, P(A1) que será la probabilidad A priori: Se basa en el

nivel de información actual.

Por otro lado, P(B|A) será la probabilidad A posteriori: Se revisa a

partir de información adicional.

5-42
 O5-6

Teorema de Bayes - Ejemplo

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 O5-6

Teorema de Bayes - Ejemplo

5-44
 O5-6

Teorema de Bayes - Ejemplo

5-45
 O5-7

Reglas de Conteo – Multiplicación

Cuando la cantidad de posibles resultados es pequeña resulta
fácil contarlos pero si la cantidad es grande resulta más complejo:
Para facilitar se utilizan tres fórmulas de conteo:
Multiplicación, permutación y combinaciones.
La fórmula de multiplicación Se aplica para determinar el
número de posibles disposiciones de dos o más grupos. Indica
que si hay m maneras de hacer una cosa y n maneras de hacer
otra cosa, hay m x n maneras de hacer ambos.

Ejemplo: el Dr. DeLong tiene 10 camisas y 8 lazos. ¿Cuántos

trajes de camisa y corbata tiene?
10 (8) = 80

5-46
 O5-7

Reglas de Conteo - Combinación

Cuando el orden de los objetos no es importante, cualquier selección
se denomina combinación. La fórmula para contar el número de r
combinaciones de objetos de un conjunto de n objetos.

5-47
 O5-7

Reglas de Conteo - Permutación

Cuando el orden es importante se llaman permutaciones. Se aplica para
determinar el número posible de disposiciones cuando sólo hay un grupo de
objetos. Es cualquier distribución de r objetos seleccionados de n posibles
objetos.

5-48
 O5-7

Reglas de Conteo - Permutación

5-49
 O5-7

Ejemplos de Combinación y Permutación: Las

combinaciones siempre son menores a las permutaciones.
EJEMPLO DE COMBINACIÓN EJEMPLO DE PERMUTACIÓN
Hay 12 jugadores en el equipo Supongamos que además de
de básquetbol de la preparatoria seleccionar el grupo, también debe
Carolina Forest. El entrenador clasificar cada uno de los
Thompson debe elegir a cinco jugadores en esa alineación de
jugadores entre los doce en el partida de acuerdo a su capacidad.
equipo para que comprendan la ¿Cuántos rankings diferentes son
alineación inicial. ¿Cuántos posibles para cinco jugadores
grupos diferentes son posibles? seleccionados de los 12?

12! 12!
12 C5 = = 792 12 P 5 = = 95,040
5!(12 − 5)! (12 − 5)!

5-50