TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHIHUAHUA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

DISTRIBUCIONES DE
VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS

Sayra Mabelly González Rios

19060656
 3.3 Distribución Binomial.
Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que
describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre
sí, acerca de una variable aleatoria.

Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser

caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el
lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como
el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara)
que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una
distribución binomial.

Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o

ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo
el éxito nuestra variable aleatoria.

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución
binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

• En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados

(éxito o fracaso).
• La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la
letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta
es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las
probabilidades de sacar cara son constantes.
• La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa
mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación,
sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
• El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por
lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
• Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al
mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al
lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
• Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2
ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si
no sale cara ha de salir cruz.
• La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar
como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p
la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es:

Donde: n = Número de

ensayos/experimentos x = Número de

éxitos p = Probabilidad de éxito q =

Probabilidad de fracaso (1-p)

Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión

matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se
obtiene con la siguiente formula:

El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de

factorial.

Ejemplo de distribución binomial

Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la

final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a
conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?

Definamos las variables del experimento:

n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que

buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto. p =
probabilidad de éxito (0,8)

q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el

denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial
sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el
segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos

por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4
amigos haya visto el partido de la final del mundial.

Ejemplo 1:

De un lote de 40 microcomponentes, cada uno se denomina aceptable si no

tiene más de 3 defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la
selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un
componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el
lote?
Ejemplo 2:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas

de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son
similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas
aleatoriamente para analizarlas.

¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de

narcóticos?
3.4 Distribución Hipergeométrica.
Suponga que está seleccionando una muestra de elementos de una población
y anota si cada uno posee cierta característica o no. Usted está registrando
los datos característicos de "éxito" ó "fracaso" encontrados en el experimento
binomial.
Si el número de elementos en la población es grande en relación con el
número en la muestra, la probabilidad de seleccionar un éxito en un solo
ensayo es igual a la proporción p de éxitos en la población. Debido a que la
población es grande con respecto al tamaño de la muestra, esta probabilidad
permanecerá constante (para fines prácticos) de un ensayo a otro, y el
numero x de éxitos en la muestra seguirá una distribución de probabilidad
binomial. Sin embargo, si el número de elementos en la población es pequeño
con respecto al tamaño de la muestra (n/N 2>05), la probabilidad de un éxito
para un ensayo dado depende de los resultados de ensayos anteriores.
Entonces el numero x de éxitos sigue una distribución de probabilidad
hipergeométrica.
Es fácil visualizar la variable aleatoria hipergeométrica x si se piensa en un
recipiente que contiene M pelotas rojas y N - M pelotas blancas, para un total
de N pelotas en el recipiente. Usted selecciona n pelotas del recipiente y
anota x, el número de pelotas rajas que ve. Si ahora define que una pelota
raja es un "éxito", tiene un ejemplo de variable aleatoria hipergeométrica x.
La fórmula para calcular la probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos
se da a continuación.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA
Una población contiene M éxitos y N - M fracasos.

La probabilidad de exactamente k éxitos en

una muestra aleatoria de tamaño n es Características de la
distribución hipergeométrica
Características de la distribución hipergeométrica
La distribución hipergeométrica se utiliza en lugar de la binomial
cuando n es relativamente grande en comparación de N . Un
experimento hipergeométrico cumple con las siguientes dos
características:
1. Una muestra aleatoria de tamaño n se escoge de una población de tamaño
N
2. S de las N entidades se clasifican como éxitos y N-S se clasifican como
fracasos.
Nota: Para usar la distribución hipergeométrica en lugar de la binomial,
recuerde que:
(N/n<10)

N = Tamaño de la población. n
= Tamaño de la muestra.
S = Número de éxitos en toda la población.
X = Número de éxitos en el experimento.

Ejemplo 1:

De un lote de 40 microcomponentes, cada uno se denomina aceptable si no

tiene más de 3 defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la
selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un
componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el
lote?
Ejemplo 2:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas

de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son
similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas
aleatoriamente para analizarlas.

¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de

narcóticos?
3.4.1 Aproximación de la Hipergeométrica por la Binomial.
Ejemplo 1

Dada una variable aleatoria X con distribución Hg(n,r,N), si se tiene que

p(r/N), con 0<p<10<p<1 cuando r, N ∞, entonces, la función de densidad
de X tiende a la función de densidad de una distribución Bin(n,p). Demuestre
que este enunciado es verdadero mediante simulación.

Solución:
Ejemplo 2

Diez refrigeradores de cierto tipo han sido devueltos a un distribuidor debido al

a presencia de un ruido oscilante agudo cuando el refrigerador está
funcionando. Supongamos que 4 de estos 10 refrigeradores tienen
compresores defectuosos y los otros 6 tienen problemas más leves. Si se
examinan al azar 5 de estos 10 refrigeradores, y se define la variable aleatoria
X: “el número entre los 5 examinados que tienen un compresor defectuoso”.
Indicar:

1. La distribución de la variable aleatoria X

2. La probabilidad de que no todos tengan fallas leves
3. La probabilidad de que a lo sumo cuatro tengan fallas de compresor

-lustremos con un esquema la situación:

El tamaño de la población finita es de 10 N=10 N=10. En esa población

finita hay 4 éxitos (compresores defectuosos) y 6 fracasos (problemas más
leves). M=4 M=4. El tamaño de la muestra es de 5, n=5 n=5.
Entonces la variable X número de refrigeradores con compresores
defectuosos de un total de 5 analizados, tiene distribución:

Es conveniente pensar cómo expresar en términos de X a la condición “que

no todos tengan fallas leves”. Si no ocurre que todos tengan fallas leves, es
porque alguno tiene compresores defectuosos. Es decir que X≥1X≥1.
3.4.2 Distribución Hipergeométrica multivariada o generalizada.

Hipergeométrica e Hipergeométrica Multivariada

HIPERGEOMÉTRICA

Hasta ahora hemos analizado distribuciones que proporcionan

situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una
dicotomía (proceso de
Bernouilli) de manera que en cada experiencia la probabilidad de
obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía
constante. Si el proceso consistía en una serie de extracciones o
selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o
selección , o bien la consideración de una población muy grande.
Sin embargo si la población es pequeña y las extracciones no se
remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes . En
ese caso las distribuciones anteriores no nos servirán para la
modelizar la situación. La distribución hipergeométrica viene a
cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con
probabilidades no constantes (sin reemplazamiento) .

La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos

casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias
repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación
experimental inicial.

Modeliza , de hecho, situaciones en las que se repite un número

determinado de veces una prueba dicotómica de manera que con
cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener
en la siguiente prueba uno u otro resultado. Es una distribución
.fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones
.pequeñas y en el cálculo de probabilidades de, juegos de azar y
tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros
procesos experimentales en los que no es posible retornar a la
situación de partida.

La distribución hipergeométrica puede derivarse de un proceso

experimental puro o de Bernouilli con las siguientes características:
• El proceso consta de n pruebas , separadas o separables de
entre un conjunto de N pruebas posibles.

• Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados

mutuamente excluyentes: A y no A.

• En la primera prueba las probabilidades son : P(A)= p y P(A)= q

; con p + q = l.

Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un

resultado no A varían en las sucesivas pruebas, dependiendo de los
resultados anteriores.

• Derivación de la distribución: Si estas circunstancias

aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X sea el número de
resultados A obtenidos en n pruebas la distribución de X será una
Hipergeométrica de
Parámetros N, n, p así

X -> H (N, n, p)

Un típico caso de aplicación de este modelo es el siguiente:

Supongamos la extracción aleatoria de n elementos de un conjunto
formado por N elementos totales, de los cuales Np son del tipo A y Np son
del tipo ‾A(p + q = l). Si realizamos las extracciones sin devolver los
elementos extraídos, y llamamos X. al número de elementos del tipo A
que extraemos en n extracciones X seguirá una distribución
hipergeométrica de parámetros N , n , p.

FUNCIÓN DE CUANTÍA

La función de cuantía de una distribución Hipergeométrica hará

corresponder a cada valor de la variable X (x = 0,1,2, . . . n) la
probabilidad del suceso "obtener x resultados del tipo A ", y (n-x)
resultados del tipo no A en las n pruebas realizadas de entre las N
posibles.

Veamos :

Hay un total de formas distintas de obtener

x resultados del tipo A y n-x del tipo ‾A , 
si partimos de una
población formada por Np elementos del tipo A y Nq elementos del
tipo ‾A.

Por otro lado si realizamos n pruebas o extracciones hay un

total de posibles muestras ( grupos de n elementos) aplicando

la regla de Laplace tendríamos:

Figura 4.2.1 Función de Cuantía

Que para valores de X comprendidos entre el conjunto de

enteros 0,1,…. .n será la expresión de la función de cuantía de una
distribución , Hipergeométrica de parámetros N, n, p.
MEDIA Y VARIANZA

Considerando que una variable hipergeométrica de parámetros N,

n, p puede considerarse generada por la reiteración de un proceso
dicotómico n veces en el que las n dicotomías NO son
independientes ; podemos considerar que una variable
hipergeométrica es la suma de n variables dicotómicas NO
independientes.

Es bien sabido que la media de la suma de variables aleatorias

(sean éstas independientes o no) es la suma de las medias y por
tanto la media de una distribución hipergeométrica será , como en
el caso de la binomial :

En cambio si las variables sumando no son independientes la

varianza de la variable suma no será la suma de las varianzas.

Si se evalúa el valor de la varianza para nuestro caso se obtiene

que la varianza de una distribución hipergeométrica de parámetros
N, n, p es : si

X -> H (N, n, p)
 Figura 4.2.2 Fórmula de Varianza

Esta forma resulta ser la expresión de la varianza de una

binomial (n, p) afectada por un coeficiente corrector [N-n/N-1],
llamado coeficiente de exhaustividad o Factor Corrector de
Poblaciones Finitas (F.C.P.F.) y que da cuenta del efecto que
produce la no reposición de los elementos extraídos en el muestreo.

Este coeficiente es tanto más pequeño cuanto mayor es el tamaño

muestral (número de pruebas de n ) y puede comprobarse como tiende a
aproximarse a 1 cuando el tamaño de la población N es muy grande . Este
último hecho nos confirma lo ya comentado sobre la irrelevancia de la
reposición o no cuando se realizan extracciones sucesivas sobre una
población muy grande. Con una población muy grande se cual fuere el
tamaño de n , el factor corrector sería uno lo que convertiría , en cierto
modo a la hipergeométrica en una binomial (ver D. Binomial) . Así

Límite de la distribución hipergeométrica cuando N

tiende a infinito.

Hemos visto como la media de la distribución hipergeométrica [

H ( N, n, p ) ], tomaba siempre el mismo valor que la media de una
distribución binomial [ B ( n, p ) ] también hemos comentado que si
el valor del parámetro N crecía hasta aproximarse a infinito el
coeficiente de exhaustividad tendía a ser 1, y, por lo tanto, la
varianza de la hipergeométrica se aproximaba a la de la binomial :
puede probarse asimismo , cómo la función de cuantía de una
distribución hipergeométrica tiende a aproximarse a la función de
cuantía de una distribución binomial cuando

N->∞

Puede comprobarse en la representación gráfica de una

hipergeométrica con N =100000 como ésta ,es idéntica a la de una
binomial con los mismos parámetros restantes n y p , que utilizamos
al hablar de la binomial.
 Figura 4.2.3 Gráfica de la distribución hipergeométrica

De manera análoga a como se obtenía la moda en la distribución

binomial es fácil obtener la expresión de ésta para la distribución
hipergeométrica. De manera que su expresión X0 sería la del valor
o valores enteros que verificasen.

HIPERGEOMÉTRICA MULTIVARIADA

Justo como la distribución hipergeométrica toma el lugar de

distribución binomial para el muestreo sin reemplazo, también
existe una distribución multivariada análoga a la distribución
multinomial que aplica al muestreo sin reemplazo. Para derivar esta
formula, consideremos un conjunto de N elementos, de los cuales
M1, son elementos de la primera clase, M2 son elementos de la
segundo clase …. y Mk son elementos de la k-esima clase tales
que.

Figura 4.2.5 Fórmula Hipergeométrica Multivariada

Como en relación con la distribución multinomial, estamos

interesados en la probabilidad de obtener X1 elementos
(resultados) de la primera clase, X2 elementos de la segunda clase
…. y Xk elementos de la k-esima clase, pero ahora estamos
escogiendo sin reemplazo, n de los N elementos del conjunto.

Hay maneras de escoger X1 de los M1

elementos de la primera clase maneras de escoger X2

elementos de los M2 elementos de la segunda clase,

…..y manera de escoger Xk elementos de los Mk

elementos de la k-esima clase, y por

tanto, maneras de escoger

elementos requeridos. Puesto que

hay maneras de escoger n de los N elementos en el conjunto y
suponemos que todas son igualmente posibles (que es lo que
queremos decir cuando afirmamos que la selección es al azar), se
sigue que la probabilidad deseada

esta dada por

Figura 4.2.6 Distribución Hipergeométrica Multivariada

Así la distribución conjunta de las variables aleatorias bajo

consideración, esto es, la distribución de los números de resultados
de la diferentes clases, es una distribución hipergeométrica
multivariada con los parámetros n, M1, M2, … y Mk.
 3.5 Distribución Geométrica.
La distribución hipergeométrica es una distribución discreta que modela el
número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el
número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra.
Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles (es un evento o
un no evento). Las muestras no tienen reemplazo, por lo que cada elemento
de la muestra es diferente. Cuando se elige un elemento de la población, no
se puede volver a elegir. Por lo tanto, la probabilidad de que un elemento sea
seleccionado aumenta con cada ensayo, presuponiendo que aún no haya
sido seleccionado.

Utilice la distribución hipergeométrica para muestras obtenidas de

poblaciones relativamente pequeñas, sin reemplazo. Por ejemplo, la
distribución hipergeométrica se utiliza en la prueba exacta de Fisher para
probar la diferencia entre dos proporciones y en muestreos de aceptación por
atributos cuando se toman muestras de un lote aislado de tamaño finito.
La distribución hipergeométrica se define por 3 parámetros: tamaño de la
población, conteo de eventos en la población y tamaño de la muestra.

La diferencia entre las distribuciones hipergeométrica y binomial

Tanto la distribución hipergeométrica como la distribución binomial describen

el número de veces que un evento ocurre en un número fijo de ensayos. Para
la distribución binomial, la probabilidad es igual para cada ensayo. Para la
distribución hipergeométrica, cada ensayo cambia la probabilidad de cada
ensayo subsiguiente porque no hay reemplazo.

Formula de distribución hipergeometrica:

Ejemplo 1:

De un lote de 40 microcomponentes, cada uno se denomina aceptable si no

tiene más de 3 defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la
selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un
componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el
lote?
Ejemplo 2:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas

de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son
similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas
aleatoriamente para analizarlas.

¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de

narcóticos?
3.6 Distribución Multinomial.
Ejemplo 1

Según una nueva ley se plantea la donación de órganos de los cuales existe
una probabilidad de que el 15% estén en contra, el 40% sean indiferentes a la
ley y el 45% estén a favor, si se extrae una muestra aleatoria de 20 sujetos.
¿Cuál es la probabilidad de que 5 estén en contra, 10 sean indiferentes y 5
estén a favor?

Datos:

X1: en contra= 0.15

X2: indiferente= 0.40
X3: a favor= 0.45

Ejemplo 2

Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un

delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en
automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entren 9 delegados
seleccionados aleatoriamente en esta convención 3 hayan llegado por aire, 3
en autobús, 1 en auto y 2 en tren?

3.7 Distribución de Poisson.

Ejemplo 1

La probabilidad de que en una mascletà en fallas una persona se desmaye es

de 0,001. Considerando que acuden unas 5000 personas a ver la mascletà el
día de San José, ¿cúal es la probabilidad de que se desmayen 25 personas?

Se trata de una binomial con n=5000 y p=0,001.

La probabilidad solicita sería:

Que resulta complejo de calcular. Por eso se prefiere aproximar a una
distribución de Poisson, con λ=5000*0,001=50, y quedaría:

La distribución de Poisson se puede expresar de forma gráfica, ya que en

realidad consiste en un diagrama de barras, similar a los obtenidos en la
función de probabilidad, pero con forma asimétrica positiva como sucede con
la distribución binomial. Sin embargo al ir aumentando los valores de λ, va
adquiriendo la típica forma de campana de Gauss, pudiendo a deducirse, que
conforme aumenta λ, las variables de Poisson van a poder aproximarse a la
distribución normal, por el Teorema Central del Límite. La aproximación se
considera buena para valores de λ iguales o superiores a 9.
 Ejemplo 2
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b)
10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al
banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc.

λ = 6 cheques sin fondo por

día ε = 2.718

X= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al
banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

λ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos

días consecutivos

3.8 Aproximación de la Binomial por la de Poisson.

Ejemplo 1

Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen

encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100
libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas,
usando,

a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la

distribución Binomial.

Solución:

a) n = 100 p = 0.05 = p(encuadernación

defectuosa) = p(éxito) q = 0.95 = p(encuadernación

no defectuosa) = p(fracaso)

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la

muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas
b)n = 100

encuadernaciones p =

0.05

= np = (100)(0.05)= 5

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la

muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución,

nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo
0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para
calcular probabilidades Binomiales.

Ejemplo 2

Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840

generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que
cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la
probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que
más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.

Solución:

a) n = 3840 generadores

p = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de

garantía

= np = (3840)(1/1200) = 3.2 motores en promedio pueden fallar en el año

de garantía
x = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año
de garantía = = 0, 1, 2, 3,....,3840 motores que pueden fallar en el año de
garantía

3.9 Distribución Binomial Negativa.

Ejemplo 1

Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen

encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100
libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas,
usando,

a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la

distribución Binomial.
Solución:

a) n = 100 p = 0.05 = p(encuadernación

defectuosa) = p(éxito) q = 0.95 = p(encuadernación

no defectuosa) = p(fracaso)

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la

muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

b)n = 100

encuadernaciones p =

0.05

= np = (100)(0.05)= 5

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la

muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución,

nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo
0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para
calcular probabilidades Binomiales.

Ejemplo 2

Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840

generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que
cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la
probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que
más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.
Solución:

a) n = 3840 generadores

p = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de

garantía

= np = (3840)(1/1200) = 3.2 motores en promedio pueden fallar en el año

de garantía

x = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año
de garantía = = 0, 1, 2, 3,....,3840 motores que pueden fallar en el año de
garantía

3.10 Distribución Uniforme (Discreta).

Ejemplo 1

X resultados de lanzar un dado de 6 caras

Función de probabilidad

Esperanza o media:
Esto es igual a:

Varianza:

Esto es igual a:

Propiedades:

Solución:
Ejemplo 2

En la fabricación de un cierto producto se produce con fallas, suponiendo que

el número de fallas sigue la siguiente distribución uniforme

Determine la probabilidad de que en cierto producto se encuentren

a) 2 fallas
b) 3 fallas
c) Más de 3 fallas Solución:

a) 2 fallas

b) 3 fallas

c) Más de tres fallas