Tema 1 Métodos de Energía

Third Edition
MECHANICS OF
11
CHAPTER
MATERIALS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr. Métodos de
John T. DeWolf
Energía
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS
Editio
Third
Beer • Johnston • DeWolf
Métodos de energía
Energía de deformación
Densidad de energía de deformación
Trabajo y energía bajo varias carga
Energía de deformación elástica para
Teorema de Castigliano
esfuerzos normales
Energía de deformación elástica para Deflexiones por el teorema de
esfuerzos cortantes Castigliano
Energía de deformación para un estado Teorema modificado de Castigliano
general de esfuerzos Estructuras estáticamente
Diseño para cargas de impacto indeterminadas
Trabajo y energía bajo una carga única Ejemplos
Deflexión bajo una carga única por el
método de trabajo-energía
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Editio
Third
Energía de deformación
Una barra uniforme se somete a una carga que aumenta
lentamente: el trabajo elemental realizado por la carga P
a medida que la varilla se alarga por una pequeña dx es
dU=P dx=trabajo
que es igual al área de ancho dx bajo el diagrama de
deformación de carga.
El trabajo total realizado por la carga para una
deformación x1,
x1
U= ∫ P dx =Trabajo total=Energíadedeformación
0
lo que resulta en un aumento de la energía de
deformación en la barra.
En el caso de una deformación elástica lineal
x1
1 2 1
U=∫ kx dx= kx 1 = P1 x 1
0 2 2
Editio
Third
Densidad de energía de deformación

Para eliminar los efectos del tamaño, evalúe la energía
de deformación por unidad de volumen,
x1
U P dx
=∫
V 0A L
ε1
u=∫ σ x dε=densidad de energía de deformación

0
La densidad de energía de deformación total resultante de

la deformación es igual al área bajo la curva de 
A medida que el material se descarga, el esfuerzo vuelve
a cero pero hay una deformación permanente. Solo se
recupera la energía de deformación representada por el
área triangular.
El resto de la energía gastada en la deformación del
material se disipa en forma de calor.

Editio
Third
Densidad de Energía de deformación

La densidad de energía de deformación
resultante del ajuste R es el módulo de
tenacidad. (Capacidad de soportar impactos)
La energía por unidad de volumen requerida
para que el material se rompa está relacionada
con su ductilidad así como con su resistencia
máxima.
Si el esfuerzo permanece dentro del límite
elástico
ε1 2 2
Eε 1 σ 1
u=∫ Eε 1 dε x= =
0 2 2E
La densidad de energía de deformación
resultante del ajuste Y. Y es el módulo de
resiliencia 2
σY
uY = = Módulo de Resilencia
2E

Editio
Third
Energía de deformación elástica para esfuerzo normal

En un elemento con una distribución de tensión no
uniforme.
ΔU dU
= U=∫ u dV =energía de deformación elástica
ΔV dV
Para valores de u < uY, es decir, por debajo del
límite proporcional,
2
σx
U=∫ dV= energía de deformación elástica
2E
• Bajo carga axial: σ x =P / A dV=A dx
L 2
P
U=∫ dx
0 2 AE
• Para una barra de sección

transversal uniforme: 2
P L
U=
2 AE
Editio
Third
Energía de tensión elástica para tensiones normales: EJEMPLO
• Para una viga con las cargas dadas:

2
σx M y
2 2
U=∫ dV=∫ 2 dV
2E 2 EI
• Sustituyendo: dV = dA dx,
L 2 2 L 2
M y M
U= ∫ ∫ 2 dA dx=∫
( )
∫ y dA dx
My 2
σ x= 2
I 0 A 2 EI 0 2EI A
L
M2
∫ 2 EI dx
0
• Para una viga en voladizo con carga en el

extremo:
M=− Px
L 2 2 2 3
Px PL
U=∫ dx=
0 2 EI 6 EI
Editio
Third
Energía de Deformación para esfuerzo cortante:

Para un material sometido a esfuerzo
cortante en el plano:
γ xy
u=∫ τ xy dγ xy=densidad de energía de deformación

0
• Para valores de xy dentro del rango elástico:

2
1 2 1 τ xy
u= Gγ xy= τ xy γ xy=
2 2 2G
La energía de deformación total se encuentra a

partir de:
2
τ xy
U=∫ u dV =∫ dV
2G

Editio
Third
Energía de deformación elástica para esfuerzo cortante

Para un eje sometido a una carga torsional:
2
τ xy 2 2
T ρ
U=∫ dV =∫ 2 dV
2G 2GJ
• Sustituyendo: dV = dA dx,
L 2 2 L 2
T ρ T
U= ∫∫ 2 dA dx=∫ 2
( )
∫ 2
ρ dA dx
0 A 2GJ 0 2GJ A
Tρ L
τ xy = T2
J ∫ 2GJ dx
0
• Para un eje circular de sección transversal

uniforme: 2
T L
U=
2GJ

Editio
Third
Ejemplo
SOLUCIÓN:
Determine las reacciones en A y B a
partir de un diagrama de cuerpo libre
de la viga AB.
Dibuje un diagrama de fuerzas

cortantes y momentos flector de la
viga.
Considerando sólo el efecto de los Integre el momento flector en las
esfuerzos normales debidas a la secciones AD y BD.
flexión, determine la energía de
deformación de la viga AB para la Sustituya los valores de P, L, a, b y E
carga que se muestra en la figura. dadas para obtener la energía de
deformación total de la viga.
Determine la energía de deformación
sabiendo que la viga es una W10x45, P
= 40 kips, L = 12 ft, a = 3 ft, b = 9 ft,
and E = 29x106 psi.
Editio
Third
Ejemplo
SOLUCIÓN:
Determine las reacciones en A y B a
partir de un D.C.L. de la viga AB:
Pb Pa
RA= R B=
L L
• Determinar los valores del

momento flector para las
secciones AD y BD
Pb Pa
M 1= x M 2= v
L L

Editio
Third
Ejemplo
• Sustituyendo los valores de M1 y M2 en
formula de Energía de deformación U para una
viga:
a
M 21 b
M 22
U=∫ dx+∫ dv
0 2 EI 0 2 EI
Over the portion AD,
Pb
M 1= x
L
Over the portion BD,
Pa
M 2= v
L a b
L
( ) ( )
2
M
2
1 Pb 1 Pa 2
U=∫ dX ∫ x dx+ ∫ x dx
0 2 EI 2 EI 0 L 2 EI 0 L
P=40 kips L=144 in.

a=36 in. b=108 in.
2 EI L 3
2
+ (
1 P 2 b2 a3 a2 b3 P 2 a2 b2
3
=
6 EIL 2 )
( a+b )
2 2 2
P a b
E=29×103 ksi I= 248 in4 U=
6 EIL
sustituyendovalores
2 2 2
( 40 kips ) ( 36 in ) ( 108 in )
U=
6 ( 29×103 ksi ) ( 248 in 4 ) ( 144 in )
U= 3.89 in⋅kips
Editio
Third
Energía de deformación para un estado general de esfuerzos
En las secciones anteriores ya habíamos calculado la Energía de

deformación debido a esfuerzo axial y a esfuerzo cortante en el
plano. Para un cuerpo en estado general de estrés, tenemos:
1
u=
2
( σ x ε x +σ y ε y +σ z ε z +τ xy γ xy +τ yz γ yz +τ zx γ zx )
Con respecto a los ejes principales para un cuerpo elástico isotrópico:
1
u=
2E
[ σ 2
a +σ 2
b +σ c −2 ν ( σ a σ b +σ b σ c +σ c σ a ) ]
2
uv +u d
1−2 v
uv = ( σ a +σ b +σ c ) 2 = debido al cambio de volumen
6E
1
ud =
12G
[ ( σ a −σ b)
2
+ ( σ b −σ c)
2
+( σ c −σ a ) ] = debido a la distorsión
2
Base para los criterios de falla de energía de distorsión máxima:

2
σY
ud < ( u d ) Y = para un especimen de tensión
6G

Editio
Third
Cargas de Impacto
Para determinar el esfuerzo máximo m
Suponga que la energía cinética se
transfiere completamente a la
estructura:
1
Um= mv 02
2
Suponga que el diagrama de esfuerzo-

deformación obtenido de una prueba
estática también es válido bajo carga de
impacto.
Considere una barra que se golpea en
Valor máximo de la energía de
su extremo con un cuerpo de masa m
deformación: 2
σm
que se mueve con una velocidad v0. U m =∫ dV
2E
La varilla se deforma bajo impacto. • Para un eje uniforme:
Las tensiones alcanzan un valor
√ √
2
máximo m y luego desaparecen. 2 Um E mv 0 E
σm= =
V V
Editio
Third
Exjemplo
SOLUCIÓN:
Debido al cambio de diámetro, la
distribución normal de los esfuerzos no es
uniforme.
Encuentre la carga estática Pm que
produce la misma energía de
deformación que el impacto.
Evaluar la tensión máxima resultante de
El cuerpo de masa m con velocidad v0 la carga estática Pm
golpea el extremo de la barra no
uniforme BCD. Sabiendo que el
diámetro de la porción BC es dos
veces el diámetro de la porción CD,
determine el valor máximo de la
tensión normal en la barra.

Editio
Third
Ejemplo
deformación que el impacto..
P2m ( L/2 ) P 2m ( L/ 2) 5 P2m L
Um= + =
AE 4 AE 16 AE
SOLUCIÓN:
P m=
√
16 U m AE
5 L
la carga estática Pm
Debido al cambio de diámetro, la Pm
distribución normal de tensiones no σm=
A
es uniforme.
U m=
1
2
mv 20 √ 16 U m E
5 AL
√
2
σ 2
σ V 2 8 mv 0 E
∫2E dV m
≠
2E
m
5 AL

Editio
Third
Ejemplo
SOLUCIÓN:
El esfuerzo normal varía linealmente a lo
largo de la longitud de la viga a través de
una sección transversal.
deformación que el impacto.
la carga estática Pm
Se deja caer un bloque de peso W desde
una altura h sobre el extremo libre de la
viga en voladizo. Determine el valor
máximo de las tensiones en la viga.

Editio
Third
Ejemplo
deformación que el impacto: Para una
viga en voladizo cargada al final:
P2m L3
Um=
6 EI
SOLUCIÓN:
La tensión normal varía
√
6 U m EI
P m= 3
L
Evaluar la tensión máxima resultante
linealmente a lo largo de la de la carga estática Pm
longitud de la viga a través de una |M|m c Pm Lc
sección transversal. σm= =
I I
U m =Wh
σm
2
σm V
∫ 2 E dV ≠ 2 E
2
√6Um E
L ( I /c )
2
=
√
6 WhE
L ( I /c )
2

Editio
Third
Desiño para cargas de Impacto

• Para el caso de una barra uniforme:
σm=
√ 2 Um E
V
• Para el caso de una barra no uniforme:
σm=
√
16 U m E
5 AL
V=4 A ( L/ 2) +A ( L/ 2) =5 AL/2
σm=
V √
8U m E
• Para una viga en Voladizo:
Máximo estrés reducido por:

• Uniformidad del esfuerzo
σm=
√ 6U m E
L ( I /c )
2
• Bajo modulo de elasticidad con

alto grado de elasticidad
( 4 )
1 4 2 1
4
2 1
L ( I / c ) =L πc / c = ( πc L) = V
2
4
• Volumen alto
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σm=
√ 24U m E
V
11 - 19
Editio
Third
Trabajo y Energía para carga única

La energía de deformación también se
puede encontrar en el trabajo de la carga
individual P1 : x1
U=∫ P dx
0
• Para una deformación elástica:

x1 x1
Anterior mente , encontramos la 1 2 1
U=∫ P dx=∫ kx dx= kx 1 = P1 x1
energía de tensión integrando la 0 0 2 2
densidad de energía sobre el
volumen. Para una barra uniforme:
• Si se conoce la relación entre la fuerza
2
σ
U= ∫ u dV=∫ dV aplicada y la deformación:
2E P1 L
2 x1 =
L
( 1 )
P / A P21 L AE
∫ 2 E Adx=2 AE
0
1
U= P1
2 ( )P1 L P21 L
AE
=
2 AE
Editio
Third
Trabajo y Energía para una carga única

La energía de deformación puede encontrarse en el trabajo de otros tipos de
cargas concentradas individuales.
• Para carga Transversal • Para momento • Para un Torsor
y1 θ1 φ1
1 1 1
U=∫ P dy= P1 y1 U=∫ M dθ= M 1 θ1 U=∫ T dφ= T 1 φ1
0 2 0 2 0 2
( ) ( ) ( )
2 2
1 P1 L P L3 2 3
1 M 1 L M 1L 1 T 1 L T 1L
P1 = 1 M1 = T1 =
2 3 EI 6 EI 2 EI 2 EI 2 JG 2 JG

Editio
Third
Deflexión bajo una carga única

Si se conoce la energía de deformación de una
estructura debido a una sola carga concentrada,
entonces se puede usar la igualdad entre el
trabajo de la carga y la energía para encontrar
la deflexión:
• Energía de deformación de la
estructura:
F2BC LBC F 2BD LBD
U= +
2 AE 2 AE
P l [ ( 0.6 ) + ( 0 .8 ) ]
2 3 3
Datos obtenidos P2 l
=0 .364
geometricamente: , 2 AE AE
LBC =0 . 6 l LBD =0 . 8 l • Igualando las Energías de deformación:
Del análisis estático: P2 L 1
U=0.364 = Py B
AE 2
F BC =+0 . 6 P F BD =−0. 8 P
Pl
y B=0.728
AE
Editio
Third
Ejemplo
SOLUCIÓN:
• Dibuje el D.C.L. y encuentre las
reacciones en los apoyos A y B.
• Utilice el método de nodos para

encontrar las fuerzas axiales en
cada uno de los elementos de la
estructura en términos de P
Los miembros de la armadura que se • Evaluar la energía de
muestran consisten en secciones de deformación de la estructura
tubería de aluminio con las áreas de debido a la carga P.
sección transversal indicadas. Usando • Equilibre la energía de deformación
E = 73 GPa, determine la deflexión con el trabajo de P y resuelva el
vertical del punto E causada por la desplazamiento.
carga P.

Editio
Third
Ejemplo
SOLUCIÓN:
• Encuentre las reacciones en los apoyos A y B,
por medio del análisis estático
A x=−21 P /8 , A y =P y B= 21 P /8
• Utilizando el método de los nodos,
determine las fuerzas axiales para cada uno
de los miembros de la estructura
F DE =−
17
P 15 5
F DE = P F AB=0
8 F AC =+ P 4
8
15 FCD =0 21
F CE =+ P FCE =− P
8 8

Editio
Third
Ejemplo
• Evaluando la Energía de • Se igualan la ecuaciones de la Energía de

deformación de la estructura deformación para determinar la deflexión del
punto E cuando se aplica una carga P = 40
Fi2 Li 1 F 2i Li kN. 1
U= ∑ = ∑
2 Ai E 2 E Ai Py E =U
2
1
( 29700 P 2)
( )
2
2E 2U 2 29700 P
y E= =
P P 2E
( 29.7×103) ( 40×10 3) y E=16.27mm ↓
y E=
73×10 9
Editio
Third
Trabajo y Energía bajo varias cargas

• La deflexión en una viga elástica bajo dos
cargas concentradas P1 y P2:
x1 =x 11 +x 12 =α 11 P1 +α 12 P2
x 2 =x 21 +x 22 =α 21 P1 +α 22 P 2
Calculando la energía de deformación en la
viga mediante la evaluación del trabajo
realizado aplicando primero P1 seguido por P2:
1
U=
2
( α 11 P 21 + 2α 12 P 1 P 2 +α 22 P 22 )
Al invertir la secuencia de aplicación de las

fuerzas primero P2 y luego P1, obtenemos:
1
U=
2
( α 22 P 22 +2 α 21 P 2 P 1 +α 11 P 21 )
Las expresiones de energía de deformación

deben ser equivalentes. Resulta que
(Teorema reciproco de Maxwell).

Editio
Third
El teorema de Castigliano
La Energía de deformación para cualquier
estructura elástica sometida a dos cargas
concentradas es:
1
U=
2
( α 11 P 21 + 2α 12 P 1 P 2 +α 22 P 22 )
• Derivando con respecto a una de las cargas:

∂U
=α P +α P =x
∂ P1 11 1 12 2 1
∂U
=α P +α P =x
∂ P 2 12 1 22 2 2
• Teorema de Castigliano: Para una estructura elástica sujeta a
n-fuerzas concentradas, la deflexión xj en el punto de
aplicación de la carga esta dada por:
∂U ∂U ∂U
x j= además θ j= y φj=
∂Pj ∂Mj ∂Tj

Editio
Third
Deflexiones utilizando el Teorema de Castigliano

La aplicación del teorema de Castigliano se simplifica
si la diferenciación con respecto a la carga Pj se
realiza antes de la integración o suma para obtener la
energía de deformación U, (T.M.C.):
• Para el caso de una viga:
L 2 L
M ∂U M ∂M
U=∫ dx x j = =∫ dx
0 2 EI ∂ P j 0 EI ∂ P j
• Para una estructura:

n 2 n
F i Li ∂U Fi Li ∂ F i
U= ∑ x= =∑
i=1 2 Ai E j ∂ P j i= 1 Ai E ∂ P j

Editio
Third
Método de la carga ficticia “Q”

SOLUCIÓN:
• Para poder utilizar el teorema de Castigliano,
se coloca una carga vertical ficticia Q en el
punto C. Determinar las reacciones en A y B
considerando la carga ficticia Q.
• Utilizando el método de los nodos, se
calcula la fuerza axial en cada uno de los
miembros de la estructura.
Los miembros de una estructura
están hechas de secciones de Combine con los resultados del problema
tubería de aluminio con las áreas de muestra 11.4 para evaluar la derivada
de sección transversal indicadas. con respecto a Q de la energía de
Usando E = 73 GPa, determine la deformación de la estructura debido a las
desviación vertical de la junta C cargas P y Q.
causada por la carga P. • Sustituyendo Q = 0, evalué la derivada
de la energía de deformación con
respecto al punto C.
Editio
Third
Ejemplo: Carga ficticia “Q”

SOLUCIÓN:
• Con la carga ficticia Q en C, encuentre las reacciones
en los apoyos en A y B, las fuerzas tienen que quedar
en términos de Q y P:
3 3
A x=− Q, A y =Q y B= Q
4 4
• Utilizando el método de los nodos, determine las
fuerzas axiales para cada uno de los miembros de la
estructura, las fuerzas deben quedar en términos de
Q y P:
FCE =F DE =0
F AC=0; F CD=−Q
3
F AB=0; F BD =− Q
4

Editio
Third
Ejemplo: carga ficticia “Q”
Ordene -tabule- los datos y las fuerzas axiales de la estructura, derive cada
fuerza axial en términos de Q (T.M.C.) para determinar la deflexión
“vertical” del punto C, recuerde que Q=0:
y C =∑
( )F i Li ∂ F i 1
Ai E ∂Q E
= ( 4306 P+ 4263Q )
• Sustituyendo Q = 0, se obtiene la deflexión o desplazamiento vertical del

punto C:
4306 ( 40×10 3 N )
y C= y C =2 .36 mm ↓( Respuesta )
73×10 9 Pa

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Third Edition

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Densidad de energía de deformación

u=∫ σ x dε=densidad de energía de deformación

La densidad de energía de deformación total resultante de

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Densidad de Energía de deformación

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Energía de deformación elástica para esfuerzo normal

• Para una barra de sección

Energía de tensión elástica para tensiones normales: EJEMPLO

• Para una viga con las cargas dadas:

• Para una viga en voladizo con carga en el

Energía de Deformación para esfuerzo cortante:

u=∫ τ xy dγ xy=densidad de energía de deformación

• Para valores de xy dentro del rango elástico:

La energía de deformación total se encuentra a

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Energía de deformación elástica para esfuerzo cortante

• Para un eje circular de sección transversal

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Dibuje un diagrama de fuerzas

• Determinar los valores del

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P=40 kips L=144 in.

Energía de deformación para un estado general de esfuerzos

En las secciones anteriores ya habíamos calculado la Energía de

Base para los criterios de falla de energía de distorsión máxima:

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Suponga que el diagrama de esfuerzo-

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Desiño para cargas de Impacto

• Para una viga en Voladizo:

Máximo estrés reducido por:

• Bajo modulo de elasticidad con

Trabajo y Energía para carga única

• Para una deformación elástica:

Trabajo y Energía para una carga única

• Para carga Transversal • Para momento • Para un Torsor

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Deflexión bajo una carga única

• Utilice el método de nodos para

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• Evaluando la Energía de • Se igualan la ecuaciones de la Energía de

Trabajo y Energía bajo varias cargas

Al invertir la secuencia de aplicación de las

Las expresiones de energía de deformación

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• Derivando con respecto a una de las cargas:

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Deflexiones utilizando el Teorema de Castigliano

• Para una estructura:

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Método de la carga ficticia “Q”

Ejemplo: Carga ficticia “Q”