Guía Polinomios

Universidad Austral de Chile
Facultad de Ciencias
Instituto de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Álgebra (MATM024)
Guı́a 3
Polinomios
1 En cada caso encuentre a, b, c ∈ R tal que los polinomios p(x) y q(x) sean iguales:
a) p(x) = x3 + (a + b)x2 + 7x − 5 y q(x) = x3 + 8x2 − (a − 2b)x − 5.
b) p(x) = −x4 + (a − b)x3 + 8x2 + x − 1 y q(x) = −x4 + 6x3 + (2a − b)x2 + x − 1.
c) p(x) = a(x − 2)(x − 3) + b(x − 1)(x − 3) + c(x − 1)(x − 2) y q(x) = 5x2 − 19x + 18.
2 En cada caso encuentre a, b ∈ R tal que p(x) verifique las condiciones dadas.
a) p(x) = x3 + ax2 + 6x + b, p(0) = 1, p(1) = 5.

b) p(x) = x4 − 2x3 − ax2 − b, p(0) = −1, p(1) = 8.
3 En cada caso utilice el algoritmo de Euclides para escribir p(x) = c(x)q(x) + r(x), donde c(x) y r(x),
son el cociente y resto, respectivamente, de la división de p por q.
a) p(x) = x2 + 4, q(x) = x − 1. f) p(x) = x6 −x5 +2x4 −x3 +x2 +2, q(x) = x2 +2.
b) p(x) = x6 + 2x3 − 3x + 4, q(x) = x + 2. g) p(x) = x9 − 7x6 + 11x3 − 5, q(x) = x3 − 5.
c) p(x) = x5 + 2x3 − 3, q(x) = x − 1. h) p(x) = x5 − 1, q(x) = x − 1.
4 3 2 7
d) p(x) = x − x + 2x − x + 3, q(x) = x − 1. i) p(x) = x − 1, q(x) = x − 1.
4 3 2 9
e) p(x) = x +2x +3x +4x−4, q(x) = x+2. j) p(x) = x − 1, q(x) = x − 1.
4 En cada caso utilice el algoritmo de Euclides para escribir p(x) = c(x)q(x) + r(x), donde c(x) y r(x),
son el cociente y resto, respectivamente, de la división de p por q.
a) p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2, q(x) = x2 + x − 2.
b) p(x) = x3 − 3x + 2, q(x) = x2 + x + 1.
c) p(x) = x4 − x2 − 4x − 3, q(x) = x3 + x − 5.
d) p(x) = x6 + 6x4 + 7x2 − 1, q(x) = x6 − 3x − 1.
e) p(x) = x2 − 3, q(x) = x3 − x − 1.
f) p(x) = 2x3 + 6x2 − x − 3, q(x) = x4 + 4x3 + 3x2 + x + 1.
g) p(x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1, q(x) = x3 − 1.
h) p(x) = x3 − 2, q(x) = x − 1.
i) p(x) = x5 + 2x3 + x2 + x + 1, q(x) = x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1.
j) q(x) = x3 + 4x2 + x − 6, p(x) = x5 − 6x + 5.
k) p(x) = 3x3 − 7x2 + 4, q(x) = x2 + 3x − 10.
l) p(x) = x5 − 12x4 + 55x3 − 120x2 + 124x − 48, q(x) = x3 − 2x2 − 4x + 8.
5 ¿En cuál de los casos de los dos ejercicios anteriores, el polinomio divisor es un factor del dividendo?
6 ¿Qué valor debe tomar a, para que al dividir x4 − 6x2 + x − a por x − 2, el resto sea cero?
7 ¿Qué valor debe tomar a, para que al dividir x3 − 4x2 + ax − 3 por x + 2, el resto sea cero?
8 ¿Qué valor debe tomar a, para que al dividir 3x4 − x3 + 2x2 − ax + 1 por x − 1, el resto sea 5?
9 Encuentre un polinomio real, de grado 4, con coeficientes enteros que tenga como raı́ces a 5, 4, y −3 .
√
10 Encuentre un polinomio real, de grado 4, con coeficientes enteros que tenga como raı́ces a 2 y 2 + 3 .
11 Si 3 es una raı́z de multiplicidad dos del polinomio q(x) = x3 − 5x2 + ax + b. Determine a y b.
12 Se sabe que 1 y 2 son soluciones de la ecuación x3 + ax2 − bx − 6 = 0. Encuentre a y b.
13 Encuentre el valor de k de manera que x − 3 sea un factor de 2x3 + 4x2 − 5x + k.
14 Es posible que un polinomio de grado 4 tenga solo una raz real?
15 Encuentre los valores de k de manera que x − 1 sea un factor de x4 − 4x + k. Para este valor de k
factorice el polinomio.
16 En cada caso encuentre el resto de dividir p(x) entre q(x) donde
a) p(x) = x12 + 4, q(x) = x − 1.
6 4
b) p(x) = x − 3x + 8, q(x) = x − 3.
5 2
c) p(x) = x + 6x + 20, q(x) = x + 2.
1234 21 2
d) p(x) = x +x − 5x − 2, q(x) = x − 1.
99999 3 2
e) p(x) = x + 4x − 5x + 2, q(x) = x + 1.
51 19 3
f) p(x) = −x + 2x − 5x − 9, q(x) = x.
8 6 2
g) p(x) = 16x + 2x − 4x − 1, q(x) = 2x + 1.
6 3
h) p(x) = 8x + 4x − 10x − 5, q(x) = 4x + 5.
2n 2n−1 3
i) p(x) = x + 7x − 5x − 2, q(x) = x − 1, con n ∈ N
2m+1 2m−1 2m−2
j) p(x) = x + 2x − 4x − 3, q(x) = x + 1 con m ∈ N y m > 1.
17 Sea el siguiente polinomio p(x) = x3 + 2x − 12. Resuelva lo siguiente:

a) Verifique que 2 es raı́z del polinomio p.
b) Utilice el teorema del Factor, y factorice el polinomio p.
c) Calcule todas las raı́ces del polinomio p.
d) Encuentre el producto de las tres raı́ces. Era posible encontrar tal producto sin conocer las raı́ces?
18 En cada caso encuentre un polinomio p(x) que cumpla con lo pedido.

a) Que sea múltiplo de x − 4 y que el resto al dividirlo entre x − 3 sea 2.
b) Que sea múltiplo de x2 + 1 y que el resto al dividirlo entre x − 1 sea 1.
c) Que el resto al dividirlo entre x sea 4 y que el resto al dividirlo entre x + 1 sea 2.
d) Que sea de grado 3, múltiplo de x2 − x + 1 y que el resto al dividirlo entre x + 1 sea 5.
e) Que sea de grado 4, múltiplo de x2 − x + 1 y que el resto al dividirlo entre x + 1 sea 5.
f) Que los restos al dividirlo entre x, x − 1 y x + 2 sean 5, −2 y 2 respectivamente.
√ √
19 Encuentre un polinomio con coeficientes en Z tal que 2 + 3 sea una de sus raı́ces.

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a) p(x) = x3 + ax2 + 6x + b, p(0) = 1, p(1) = 5.

11 Si 3 es una raı́z de multiplicidad dos del polinomio q(x) = x3 − 5x2 + ax + b. Determine a y b.

12 Se sabe que 1 y 2 son soluciones de la ecuación x3 + ax2 − bx − 6 = 0. Encuentre a y b.

13 Encuentre el valor de k de manera que x − 3 sea un factor de 2x3 + 4x2 − 5x + k.

14 Es posible que un polinomio de grado 4 tenga solo una raz real?

17 Sea el siguiente polinomio p(x) = x3 + 2x − 12. Resuelva lo siguiente:

18 En cada caso encuentre un polinomio p(x) que cumpla con lo pedido.

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