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Funciones, Paquetes y Módulos

Adrián F. Hernandez,* Daniel F. Angarita,** and Eider D. Torres***
Escuela de Física
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Avenida Central del Norte #35-115
(Dated: 13 de diciembre de 2021)
El presente informe contiene un desarrollo minucioso de algunos programas sencillos que utilizan
los conceptos de función, paquete y módulo. Presenta un análisis de los ejercicios propuestos, su
solución y conclusiones. Aunque los ejercicios presentados se relacionan con distintas ramas de la
física, tienen su punto común en la solución computacional y algorítmica. Esto último es precisamente
el objetivo del presente artículo.
Keywords: Palabras clave: Función, Paquete, Módulo, Python, Relatividad, Mecánica Cuántica, Leyes de
Kepler

I. INTRODUCCIÓN tícula de masa m que encuentra un paso de potencial

unidimensional, como este:
Existen muchas cálculos que no resultan tan sim-
ples como sumar, restar, multiplicar o dividir. Para ello
Python incluye ciertas facilidades que nos permiten tra-
tar una amplia gama de este tipo de operaciones. Estas
facilidades reciben el nombre de paquetes, funciones y
módulos. Un paquete es la “colección de cosas útiles re-
lacionadas” y cada paquete posee su nombre propio que
lo distingue de otro. Las funciones son herramientas ma-
temáticas contenidas en paquetes y los módulos son di-
visiones de los paquetes cuando estos últimos son muy
grandes (ejemplo, el paquete numpy y el módulo fft). √ con energía cinética inicial E y vector de
La partícula
Por último, cabe mencionar que Python trae consigo onda k1 = 2mE/~ entra por la izquierda y encuen-
ciertas funciones que, en el sentido riguroso de la compu- tra un salto repentino en la energía potencial de altu-
tación, se diferencian un poco del concepto previamente ra V en la posición x = 0. Resolviendo la ecuación de
dado. Dichas funciones son llamadas funciones incorpo- Schrödinger, uno puede demostrar que cuando E > V
radas y su nombre surge a partir de lo anteriormente la partícula puede (a) pasar el paso, en cuyo caso tie-
dicho. ne una energía cinética menor de E − V en el otro lado
y un vector
p de onda correspondientemente más pequeño
de k2 = 2m(E − V )/~, o (b) puede reflejarse, mante-
niendo toda su energía cinética y un vector de onda sin
II. PROBLEMAS PLANTEADOS
cambios pero moviéndose en la dirección opuesta. Las
probabilidades T y R de transmisión y reflexión están
Ejercicio 2.4 Una nave espacial viaja desde la tierra dadas por
en una linea recta a una velocidad relativa vx̂ a otro
planeta a ∆x años luz de distancia. Escriba un programa  2
4k1 k2 k1 − k2
que pida al usuario el valor de ∆x y la rapidez v como T = , R=
(k1 + k2 )2 k1 + k2
una fracción de la velocidad de la luz c; luego imprima
el tiempo (∆t) en años que toma la nave para alcanzar Suponga que tenemos una partícula con masa igual a
su destino en el marco en reposo de un observador en la la masa del electrón m = 9,11 × 10−31 kg y energía de
tierra, y como percibido por un pasajero a bordo de la 10 eV que encuentra un paso potencial de altura de 9 eV .
nave. Escriba un programa Python para calcular e imprimir
Ejercicio 2.5 Paso de potencial cuántico: Un co- las probabilidades de transmisión y reflexión usando las
nocido problema de mecánica cuántica involucra una par- fórmulas anteriores.
Ejercicio 2.6 Órbitas planetarias: La órbita en el
espacio de un cuerpo alrededor de otro, como un plane-
ta alrededor del Sol, no necesita ser circular. En general,
* adrian.hernandez@uptc.edu.co; toma la forma de una elipse, con el cuerpo a veces más
** daniel.angarita@uptc.edu.co; cerca hacia adentro y otras más hacia afuera. Si se le da
*** eider.torres@uptc.edu.co; la distancia `1 de aproximación más cercana que hace un
 2

planeta al Sol, también llamado perihelio, y su velocidad el instante en que sale de la tierra hasta el instante
en
lineal v1 en el perihelio, entonces cualquier otra propie- el que arriba al planeta lejano. Sean S ≡ ct, x, y, z y
S 0 ≡ ct0 , x0 , y 0 , z 0 dos marcos de referencia inerciales


dad de la órbita se puede calcular a partir de estos dos
de la siguiente manera. ubicados en la tierra y en la nave respectivamente, y se
relacionan entre sí por medio de la transformación de
a) La segunda ley de Kepler nos dice que la distancia
coordenadas
l2 y la velocidad v2 del planeta en su punto más
distante, o afelio, satisfacen `1 v1 = `2 v2 . Al mismo  0
ct

γ γβ 0 0 ct
 
tiempo, la energía total, cinética más gravitacional, x  0
−γv γ 0 0  x 
de un planeta con velocidad v y distancia r del Sol  y0  =  0 0 1 0  y 
está dada por z 0
0 0 0 1 z
1 mM
E= mv 2 − G , (1)
2 r γ −1 =
p
1 − β2
donde m es la masa del planeta, M = 1,9891 × v
β =
1030 kg es la masa del Sol, y G = 6,6738 × c
10−11 m3 kg −1 s−2 es la constante gravitacional de
Newton. Dado que la energía debe conservarse , de- Situando S en reposo, S 0 se mueve con velocidad v x̂.
muestre que v2 es la raíz más pequeña de la ecua- Como los marcos
de referencia
se encuentran sincroniza-
ción cuadrática dos, 0, 0, 0, 0 S = 0, 0, 0, 0 S 0 , el tiempo que toma la
  nave en recorrer la distancia ∆x respecto a S es simple-
2 2GM 2 2GM mente
v2 − v2 − v1 − =0 (2)
v1 l1 l1
∆x
∆t =
Una vez que tenemos v2 podemos calcular l2 usando v
la relación l2 = l1 v1 /v2 .
Como ∆t ≡ tf − ti , puede mostrarse a partir de III que
b) Dados los valores de v1 , l1 y l2 , otros parámetros
de la órbita se dan mediante fórmulas simples que ∆t0 = γ −1 ∆t
pueden derivarse de las leyes de Kepler y del hecho
de que la órbita es una elipse: donde ∆t0 es el tiempo del viaje respecto a S 0
1 Ejercicio 2.5 Transmisión y reflexión de partí-
Eje Semi-mayor: a= (`1 + `2 ),
2
p culas: Si hemos de considerar a las partículas atómicas
Eje Semi-menor: b = `1 `2 , y subatómicas no como partículas sólidas cuya posición
2πab y momentum son conocidos con exactitud sino como on-
Periodo Orbital: T = , das de materia, entonces podemos anticipar que habrá
`1 v1
algunos cambios substanciales en el comportamiento de
`2 − `1
Excentricidad Orbital: e= . estas ondas de materia al pasar por alguna región en la
`2 + `1 cual haya un cambio de energía potencial con respecto
Escriba un programa que le pida al usuario que a la energía potencial de la región en la que se estaban
ingrese la distancia al Sol y la velocidad en el pe- moviendo anteriormente (por ejemplo, en el caso de una
rihelio, luego calcule e imprima las cantidades l2 , partícula libre al pasar por la cercanía de un átomo). Y
v2 , T y e. es en estas situaciones en donde debemos echar mano de
la ecuación de onda de Schrödinger.
c) Pruebe su programa haciendo que calcule las pro- Existen casos en los cuales esperamos que el compor-
piedades de las órbitas de la Tierra (para las cua- tamiento de las partículas como ondas de materia sea
les `1 = 1,47101011 m y v1 = 3,0287104 ms−1 ) exactamente el mismo sin importar la naturaleza ondu-
y el cometa Halley (`1 = 8,78301010 m y v1 = latoria de las partículas. Un caso tal lo sería el de una par-
5,4529104 ms−1 ). Entre otras cosas, debería encon- tícula libre que “choca” elásticamente (sin transferencia
trar que el período orbital de la Tierra es de un año de energía) en forma directa con una barrera de poten-
y el del cometa Halley es de unos 76 años. cial infinitamente grande (o, más exactamente, con una
barrera de potencial cuya altura V0 es substancialmente
mayor que la energía E de la partícula). En este caso,
III. MARCO TEÓRICO la onda de materia será reflejada en dirección opuesta
al igual que como ocurriría con una partícula sólida que
Ejercicio 2.4: Desde que la velocidad relativa de la choca elásticamente con una pared. Sin embargo, si la ba-
nave es comparable con la velocidad de la luz c, es pre- rrera de potencial no es muy grande en comparación con
ciso utilizar la teoría de la relatividad especial para en- la energía de la partícula, y si además se trata de una ba-
contrar el intervalo de tiempo que tarda la nave desde rrera de potencial de anchura finita, debemos considerar
 3

la posibilidad de que por tratarse de una onda parte de para x > 0. La partícula nunca es regresada hacia atrás
la onda será reflejada y parte de la onda podrá atravesar por esta fuerza impulsiva siempre y cuando V0 sea me-
la barrera de potencial. Estas dos situaciones se ilustran nor que la energía E de la partícula. La situación cambia
en las siguientes figuras: dramáticamente si en vez de una partícula sólida conside-
ramos una onda de materia que incide sobre el potencial
escalón desde la izquierda. En tal caso, de acuerdo con la
relación de De Broglie, el momentum de la onda de ma-
teria en cada región en función de su longitud de onda λ
tendrá un valor diferente dado por:

h h
λ1 = λ2 =
p1 p2

Esto significa que la longitud de onda λ de la onda de

materia cambiará abruptamente de λ1 a λ2 de acuerdo
con:
h h
λ1 = √ λ2 = p
2mE 2m(E − V0 )

y, finalmente, los vectores de onda serán:

√ p
2π 2mE 2π 2m(E − V0 )
k1 = = k2 = =
λ1 ~ λ2 ~

Las probabilidades de transmisión y reflexión (T y R)

se pueden expresan en términos de k1 y k2 tal como se
muestra en el enunciado del ejercicio. Cabe agregar que
T + R = 1 (lo cual puede demostrarse fácilmente), esto
En este caso, también tenemos dos regiones que deben
debido a que la probabilidad total debe ser igual a la
ser tomadas en consideración:
unidad.
Ejercicio 2.6: Fue Kepler quien logró describir el mo-
vimiento de los planetas. En concreto la segunda ley de
Kepler establece que el radio vector que une un planeta
y el Sol recorre áreas iguales en tiempos iguales.

Para x < 0 (Región 1) la velocidad de la partícula es:

1 Esta ley (también conocida como la ley de las áreas)

E = mv 2
p2 es equivalente a la conservación del momento angular, es
v = 2E/m decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio)
su velocidad es menor que cuando está más cercano al
En x = 0 la partícula recibe una fuerza impulsiva que Sol (perihelio). El afelio y el perihelio son los dos únicos
cambia su velocidad a: puntos de la órbita en los que el radio vector y la velo-
cidad son perpendiculares. Por ello solo en esos 2 puntos
1 el módulo del momento angular L se puede calcular di-
E − V0 = mv 2
p 2 rectamente como el producto de la masa del planeta por
v = 2(E − V0 )/m su velocidad y su distancia al centro del Sol:
 4

12 límites de los ejes

13 Activar malla
L = mra va = mrp vp 14 Graficar t_s en términos de v
15 Graficar punto (v_s,t_moving)
ra va = rp vp 16 Graficar t_e en términos de v
17 Graficar punto (v_e,t_e)
En cualquier otro punto de la órbita distinto del Afelio 18 Activar legendas
o del Perihelio el cálculo del momento angular es más 19 Mostrar fig
complicado, pues como la velocidad no es perpendicular Así el programa principal se reduce a
al radio vector, hay que utilizar el producto vectorial
Imprimir ("This program allows you to find the
time dilatation for a spaceship that
~ = m · ~r × ~v
L travels with speed 'v' a fraction of
speed of light")
Definir x
Por otra parte, para demostrar el resultado de la ecua- Leer x como flotante
ción 2, partimos de la ecuación 1. Por conservación de la Definir v
energía, la energía en el perihelio E1 debe ser igual a la Leer v como flotante
energía en el afelio E2 . Esto es: Mietras |v|>=1:
Definir v
1 mM 1 mM Leer v como flotante
mv12 − G = mv22 − G Llamar función compute_time(x,v)
2 l1 2 l2 Llamarfunción plot_time(x,v_s,t_rest,t_moving)

Dividiendo entre m, multiplicando por 2 y reordenan- Ejercicio 2.5:

do, tenemos:
1 Pregúntele al usuario la masa, la energía
2GM

2GM
 2 cinética inicial y el valor o altura de la
v22 − − v12 − =0 3 barrera de potencial y guardelos en m, E
l2 l1 4 y V, respectivamente
5
Como l2 v2 = l1 v1 → l2 = l1 (v2 /v1 ), finalmente resulta: 6 Imponga el siguiente condicional
7 Si E<V es verdadero:
Imprima: "The potential V is greater than
 
2GM 2GM 8
v22 − v2 − v12 − =0 9 the initial energy E and, therefore, the
v1 l1 l1 10 particle never will pass the step"
11 Sino, realice las siguientes operaciones:
12 - Defina y guarde la variable h (h-barra)
IV. PSEUDOCÓDIGO 13 - Realice los cálculos correspondientes
14 para encontrar k1 y k2 (vectores de onda)
15 _ Con k1 y k2 encuentre las probabilidades
Ejercicio 2.4: Se puede implementar el uso de funcio- 16 de transmisión y reflexión y guárdelas en
nes para hacer más sencilla la comprensión del programa. 17 T y R
-Imprima los porcentaje de probabilidad
Para la función que computa el intervalo ∆t0 y ∆t. 18
19 para T y R, utilizando 2 decimales después
1 función compute_time(x,v) 20 de la coma.
2 Declarar t_nave y t_tierra como
3 variables globales Ejercicio 2.6:
4 Definir t_nave como |x/v|*(1-(v^2))^0.5
1 -Damos valores a las constantes con las que
5 Definir t_tierra como |x/v|
2 trabajaremos
6 Imprima("the time measured in earth
3 G=constante de gravitación universal
7 reference frame is" + string(t_tierra)
4 Ms=masa del sol
8 + "years")
5
9 Imprima("the time measured in spaceship
6 -Pida al usuario la distancia del perihelio
10 reference frame is" + string(t_nave)
7 y la velocidad en el perihelio como variables
11 + "years")
8 de punto flotante.
Ahora Una función para graficar el comportamiento de 9 -Definimos los coeficientes del polinomio de
segundo grado comparando con nuestra ecuación
∆t y ∆t0 . 10
11 también de segundo grado.
1 definir función plot_time(x,v_s,t_rest,t_moving) 12 -metemos estos coeficientes en una matriz
2 Definir v como un arreglo linspaced 13 -encontramos la raíces del polinomio ingresando
3 en el intervalo (0.001,0.999) 14 estos valores de la matriz en la función adecuada,
4 15 de donde tomaremos la raíz mas pequeña que sera
5 t_s = |x/v|*(1-(v^2))^0.5 16 nuestra velocidad en el afelio
6 t_e = |x/v| 17 -creamos un bucle for para la disposición de las
7 18 raíces obtenida y condicionamos a imprimir la
8 Definir fig como figura de pyplot 19 raíz que es diferente de la velocidad ingresada
9 20 valor (perihelio) además convertimos a km/h
10 Definir ax como subplot de fig 21 multiplicando por 3.6
11 Configurar título, etiquetas de los ejes, 22 -ya con el valor de velocidad en el afelio podemos
 5

23 calcular la distancia del afelio con La=(Vp*Lp)/Va 55 ylabel=r'$\Delta t$ [years]')

24 -imprimimos(longitud en afelio y convertimos en 56 # limits for x and y axis
25 km multiplicando por mil) 57 ax.set_xlim(0, 1)
26 -para la parte B realizamos las operaciones 58 ax.set_ylim(0, t_moving*1e2)
27 para el semi-eje mayo, semi.eje menor, periodo 59
28 orbital, excentricidad de la orbita. 60 # ax1.set_aspect('equal')
29 61 # Show a grid
30 - imprimimos(periodo orbital*3.171e-8 para 62 ax.grid(True)
31 obtener el periodo en años 63 #
32 imprimimos(excentricidad) 64 ax.plot(v, t_s,'k-',label=r"$\Delta t' (v)$")
65 ax.plot([v_s],[t_moving],'+k',label=r"$\Delta t' = $" +
66 str(round(t_moving,2)) + r'y for $v = $' +
67 str(round(v_s,2)) + 'c')
V. CÓDIGO
68 ax.plot(v,t_e,'r-',label=r"$\Delta t (v)$")
69 ax.plot([v_s],[t_rest],'+r',label=r"$\Delta t = $" +
Ejercicio 2.4 70 str(round(t_rest,2)) + r'y for $v = $' +
71 str(round(v_s,2)) + 'c')
1 # load numpy module and pyplot from matplotlib library 72 plt.tight_layout()
2 import numpy as np 73 plt.legend()
3 from matplotlib import pyplot as plt 74 plt.show()
4
75
5
76 # main program
6
77
7 #define function to find time in earth or spacecraft frame78for # short exlpanation about what this program does
8 #any especific value of v 79
9
80 print("This program allows you to find the
10 def compute_time(x,v): 81 time dilatation for a spaceship that
11
82 travels with speed 'v' a fraction of
12 global t_spaceship, t_earth 83 speed of light")
13
84
14 # compute time for both of reference frames 85 # enter x and v as floating point variables
15
86
16 t_earth = np.abs(x/v) 87 x = float(input("Enter the distance 'x' in light
17 t_spaceship = np.abs(x / v) * np.sqrt(1 - (v**2)) 88 year \nx = "))
18 # print out the time in the selected frame 89 v = float(input("Enter the fraction of speed of light 'v',
19
90 between (0,1)\nv = "))
20 print(f'the time measured in earth reference 91
21 frame is:\nt = {t_earth:1.2f} years') 92 # next line guarantees that user has to enter a
22 print(f'the time measured in spaceship reference 93 # number between (0,1) for speed v
23 frame is:\nt = {t_spaceship:1.2f} years') 94
24
95 while np.abs(v) >= 1:
25 # define function to plot t in spaceship reference frame 96 v = float(input("Enter the fraction of speed of light 'v',
26
97 between (0,1)\nv = "))
27 def plot_time(x,v_s,t_rest,t_moving): 98
28
99 # call functions to main program
29 # using numpy define de domain set for velocities 100
30 # linspace function returns a vector with equally 101 compute_time(x,v)
31 # spaced numbers between an interval 102 plot_time(x,v,t_earth,t_spaceship)
32
33 v = np.linspace(0.001,0.999,200) Ejercicio 2.5
34
35 # create a range set using time equations 1 import numpy as np
36 2 from math import *
37 t_s = np.abs(x / v) * np.sqrt(1 - (v**2)) 3 #Defining variables
38 t_e = np.abs(x/v) 4
39 5 m=float(input("Enter the mass of the
40 # Create a pyplot figure for plotting 6 particle in MeV/c^2: "))
41 7
42 fig = plt.figure() 8 E=float(input("Enter the initial kinetic
43 # two subfigures are shown in a two columns arrange 9 energy E of the particle in eV: "))
44 10
45 # create a subplot in fig for plotting 11 V=float(input("Enter the potential
46 # time interval in spacecraft and earth 12 energy V of the particle in eV: "))
47 # depending on its velocity first subplot 13 #Conditional
48 14 if E<V:
49 ax = fig.add_subplot(111) 15 print("The potential V is greater than
50 # title 16 the initial energy E and, therefore,
51 ax.set_title(f'Time for traveling to {x:1.2f} 17 the particle never will pass the step")
52 light\nyears away planet.') 18 else:
53 # x and y labels 19 h=6.582119569*(10**-16)
54 ax.set(xlabel=r'$\beta=\frac{v}{c}$', 20 k1=(sqrt(2*m*(10**-6)*E))/h
 6

21 k2=(sqrt(2*m*(10**-6)*(E-V)))/h VI. CONCLUSIONES

22 T=(4*k1*k2)/((k1+k2)**2)
23 R=((k1-k2)/(k1+k2))**2
24
25 print("The probability that the Ejercicio 2.4: Podemos ver la implementación del programa
26 particle is transmitted is como el enunciado del mismo nos pide, dando valores de entrada
27 about: ",round((T*100),2),"%") ∆x = 10 año luz y v = 0,99c
28
29 print("The probability that the
30 particle is reflected is
31 about: ",round((R*100),2),"%"
Al solucionar el problema especifico propuesto en donde Time for traveling to 10.00 light
years away planet.
m = 0,5109M eV , E = 10eV y V0 = 9eV , obtenemos los valores 140 t 0(v)
probabilísticos T = 73,01 % y R = 26,99 %. Lo cual indica que el t 0 = 1.42y for v = 0.99c
electrón tiene mayor probabilidad de transmitirse que de reflejarse. t(v)
120 t = 10.1y for v = 0.99c

Ejercicio 2.6 100

1 import numpy as np
2 80

t [years]
3 # We name the constants with which we are going to work.
4 # The constant of gravitation and the mass of the Sun. 60
5 G=6.6738E-11#N*m^2/kg^2
6 Ms=1.9891E30#kg 40
7 '' 'For the planet or orbiting body' ''
8
20
9 #we ask the user to enter the values of the distance and
10 #speed at perihelion
# LP = perihelion distance 0
11 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
12 # Vp = velocity at perihelion = vc
13
14 Lp=float(input("Enter the distance to the Sun
15 at perihelion:"))
Figura 1. Comparación entre los tiempos medidos desde los
16
17 Vp=float(input("Enter the value of velocity
marcos de referencia inerciales puestos en la tierra y en la nave
18 at perihelion:")) que se desplaza a velocidad v = 0,99c y recorre una distancia
19 ''' ∆x = 10 años luz.
20 We look for the roots of our polynomial of degree two
21 Va = velocity at aphelion
22 Va**2-(2*G*Ms)/(Lp*Vp)Va-(Vp**2-2*G*(Ms/Lp)
23 comparing with ax ** 2 + bx + c we have that
24 '''
25 a=1 De la gráfica notamos que existe un intervalo de tiempo mínimo
26 b=-(2*G*Ms)/(Lp*Vp) en el cual la nave puede recorrer la distancia, que sería
27 c= -(2*G*Ms)/(Lp*Vp)
28 #then
29 pol_Va=[a, b,c]
30 #the function np.roots to find the reices of min∆t0 = lı́m ∆t0 = ∆x
v→
31 #the polynomial
32 raices=np.roots(pol_Va) min∆t0 = ∆x = 10 y
33
34 for i in raices:
35 if (round(i,2)!=Vp ):
36 Va=i
37 print(f'v_2={Va*3.6} km/h')
38 Además cuando la velocidad es muy baja comparada con la ve-
39 #finally with the value of Va we find the locidad de la luz, se tiene que ∆t → ∞ y ∆t0 → ∞
40 #length of the aphelion
41 La=(Vp*Lp)/Va
Ejercicio 2.5: Se evidencia que al sumar los porcentajes de
42 print(f'l_2={La*1000} km')
probabilidad de transmisión y reflexión, se obtiene la probabilidad
43 #PART B AND C
total del 100 %, esto demuestra lo que se mencionó en el marco teó-
44 # WE DECLARE THE OPERATIONS GIVEN FOR THE EXERCISE
rico de que T + R = 1. Tras realizar varias veces el experimento nos
45 a=0.5*(Lp+La)
percatamos de un hecho importante: La probabilidad no depende de
46 b=np.sqrt(Lp*La)
la masa de la partícula.
47 T=(2*np.pi*a*b)/(Lp*Vp)
48 e=(La-Lp)/(La+Lp)
49 #Finally, it remains for us to print the Se observa también que, dado un valor arbitrario de E (energía
50 #orbital period and the ecentricity of the orbits. cinética inicial), conforme más se acerque V0 (barrera de potencial)
51 print(f'Orbital period {T*3.171e-8} years') a dicho valor, mayor es la probabilidad de que la partícula se refleje.
52 print(f'Eccentricity {e}') De hecho, si E = V0 , la partícula estaremos seguros de que la
partícula se reflejará.
 7

Figura 2. Propiedades orbitales de la Tierra.

Y para el cometa Halley:

De la misma manera si V0 → 0, la probabilidad de transmi-

sión tiende a ser del 100 %, como se muestra en la anterior figura.
Asimismo observamos que existe un punto especifico en el cual las
probabilidades de reflexión y transmisión son del 50 %, dicho pun-
to depende del valor de V0 y puede encontrarse solucionando la Figura 3. Propiedades orbitales del cometa Halley.
ecuación: Se evidencia que los resultados de las figuras 1 y 2 concuer-
dan con lo esperado. Para solucionar algunos problemas en python
p muchas veces cálculos matemáticos podemos realizar estos manual-
2E − V0 − 6 E(E − V0 ) = 0 mente de forma tediosa y que consumen una parte del tiempo, pero
también podemos obtener de muchas librerías funciones y constan-
tes para simplificarnos el trabajo, como en este caso la función
En nuestro caso por ejemplo, si E = 10eV , tenemos: .roots de la librería numpy para la hallar raíces de polinomios de
grado n Se entiende sobre la segunda ley de Kepler,que las raíces
resultantes de la ecuación de segundo grado corresponden a dos ve-
locidades la menor a la velocidad en el afelio y la mayor la velocidad
del perihelio
p Se logra comprobar el periodo orbital de la tierra y del cometa
20 − V0 − 6 10(10 − V0 ) = 0 Halley siendo de 1 año y 76 años respectivamente, también com-
probando sus excentricidad vemos una diferencia grande la tierra
con una excentricidad de 0,0164 y Halley con 0,967 es decir Halley
tiene una orbita mucho mas alargada.

Y al resolver para V0 obtenemos V0 = 9,7056eV . Al poner estos

VII. REFERENCIAS
valores en el programa, evidenciamos que T y R son iguales al
50 %.
1. Newman M. (2013). Computational Physics. University of
Michigan.
Ejercicio 2.6: Tras realizar el ejercicio especifico propuesto 2. Martínez A. (2009). Transmisión y reflexión de partículas I.
inciso c, donde para la Tierra l1 = 1,47 × 101 1m y v1 = 3,0287 × En Martínez A., La Mecánica Cuántica. Tomado de *.
104 ms−1 , obtenemos las siguientes propiedades de órbita: