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    Este documento presenta 5 preguntas sobre probabilidad y estadística. La primera pregunta involucra determinar la independencia de dos variables aleatorias X e Y y calcular probabilidades basadas en su función de densidad conjunta. La segunda pregunta involucra calcular la constante en la función de densidad conjunta de X e Y y determinar su independencia. La tercera pregunta determina la independencia de X e Y basada en otra función de densidad conjunta. La cuarta pregunta calcula el valor esperado y varianza de una variable aleatoria dada su función de densidad. La qu

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    Tarea #1

    UEA Métodos de Pronóstico Numérico I


    Mario Alan Quiroz Juárez

    Cada pregunta correctamente ejecutada tiene un valor de 2 puntos. Por favor incluya
    el procedimiento en su desarrollo, y en el caso de graficas, incluya el notebook del
    codigo.
    1. La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X y Y viene dada por:
    
    xy si 0 < x < 1, 0 < y < 2
    fXY (x, y) = (1)
    0 otro caso

    a) Determine si las variables aleatorias X y Y son independientes.


    b) Calcule P {X + Y < 1}.
    c) Calcule P {X + Y < 2}.
    2. La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X y Y viene dada por:
    
    kxy si 0<x<y<1
    fXY (x, y) = (2)
    0 otro caso

    a) Calcule el valor de la constante k y las densidades de probabilidad marginales.


    b) ¿Son independientes las variables aleatorias X y Y ?
    3. Determine si las variables aleatorias X y Y son independientes dada la siguiente función de densidad de
    probabilidad conjunta:

    xy + cex
    
    si 0 < x < 1, 0 < y < 1
    fXY (x, y) = (3)
    0 otro caso

    a) Determine la constante c.
    b) Obtenga la función de distribución F (X, Y ) y grafiquela en el intervalo X, Y ∈ [0, 1]
    4. Dada la siguiente función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X,
    
    6x(1 − x) si 0<x<1
    fX (x) = (4)
    0 otro caso

    a) Calcule el valor esperado.


    b) Calcule la varianza.
    5. Considere la siguiente funcion de distribución de la variable aleatoria X,

    1 − 32 e−2x/3 − 13 e−x/3
    
    si 0<x<6
    FX (x) = (5)
    0 otro caso

    a) Calcule la función de densidad de probabilidad fX (X).


    b) Calcule el valor esperado de la variable aleatoria X.
    c) Obtenga la probabilidad P {3 < x < 6}

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