INTRODUCCIÓN

0.1 ORIGEN Y SISTEMAS NUMÉRICOS

- Orden de los números
0.2 NÚMEROS NATURALES
UNIDAD 01: NÚMEROS ENTEROS
1.1 Conjunto de números enteros
- Números enteros
- Representación en la recta numérica
- Aplicaciones en la vida cotidiana
1.2 Valor absoluto y relación de orden.
- Números opuestos
- Relación de orden de los números enteros
- Relación de desigualdad de los números enteros
1.3 Adición y sustracción
- Propiedades
- Signos de agrupación
- Solución de problemas
1.4 Multiplicación y división
- Propiedades
- Solución de problemas
1.5 Potenciación y radicación
1.6 Polinomios aritméticos.
UNIDAD 02; NÚMEROS RACIONALES
2.1 El conjunto de los números racionales y su clasificación.
- Números fraccionarios (términos)
- Fracciones equivalente
- Orden de los números fraccionarios
- Clases de fracciones
- Números decimales
- Clasificación de los números decimales
- Transformación de expresiones decimales a fraccionarias.
2.2 Representación de los racionales en la recta numérica y en el plano cartesiano.
- Relación de orden entre números enteros, racionales fraccionarios y decimales.
2.3 Adición y sustracción.
2.4 Multiplicación y división.
2.5 Potenciación y radicación.
2.6 Solución de problemas
2.7 Polinomios aritméticos.
UNIDAD 03: INTRODUCCION AL ALGEBRA
3.1 Expresiones algebraicas
- Clasificación
- Elementos de un término
- Clases de términos
 - Términos semejantes
- Valor numérico de expresiones algebraicas
- Valor numérico de formulas
3.2 Adición y sustracción.
3.3 Multiplicación
3.4 División
UNIDAD 04: LÓGICA Y CONJUNTOS
4.1 Proposicones
4.2 Operadores Lógicos
4.3 Conjuntos
4.4 Operaciones entre conjutnos
UNIDAD 05: GEOMETRÍA
3.1 Transformaciones en el plano.
3.2 Triángulos y su clasificación.
- Clasificación por sus lados y por sus ángulos
3.3 Líneas y puntos notables del triángulo
- Construcción de alturas, bisectrices, medianas y mediatrices.
- Altura, ortocentro
- Bisectriz, incentro
- Mediana, baricentro
- Mediatriz, circuncentro
3.4 Congruencia de triángulos.
- Semejanza de triángulos
- Criterios de semejanza de triángulos
- Aplicaciones de los triángulos semejantes en la solución de problemas
3.5 Razones y proporciones y teorema de Thales.
- Triángulos en posición de thales
- Semejanza de triángulos rectángulos
- Semejanza de polígonos
3.6 Polígonos semejantes.
UNIDAD 06: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
6.1 Conceptos generales.
6.2 Tablas de distribución de frecuencias.
6.3 Medidas de tendencia central
6.4 Experimentos aleatorios.
6.5 Probabilidad
INTRODUCCIÓN
0.1 ORIGEN Y SISTEMA DE NUMERACIÓN
Desde las primeras civilización, los seres humanos han tenido la necesidad de contar cosas
(animales, arboles, personas, objetos que ellos observaban en general). Utilizaban los dedos,
las manos, marcas que hacían en huesos o maderas. Cuando evolucionaron y necesitaban
contar cantidades más grandes crearon los sistemas de numeración que son los símbolos
utilizados, así como las normas de su uso.
Los más conocidos por orden cronológico serían:
A) Sistema de numeración en el antiguo Egipto
El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta
millones, desde el inicio del uso de la escritura de jeroglíficos. A principios del tercer
milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal (numeración
de base 10). Aunque no era un sistema posicional, sino aditivo, permitía el uso de
grandes números.
El 1 era un palito vertical, el 2 se representaba por
dos palitos, el 3 por tres y así hasta llegar al 9.
Para escribir el 10 utilizaban una cuerda que servía
para ligar un haz de palitos. Por el 20 dibujaban
dos cuerdas, por el 30 tres y así has llegar al 90.
Para poner el 100 también utilizaban una cuerda
pero más grande. Por el 200 dos, por el 300 tres y
así sucesivamente.
Para poner el 1.000, dibujaban una flor muy
abundante en Egipto que crece en las orillas del ríe
Nilo y que se decía “flor de loto”. El 2000 eran dos
flores, etc.
Para poner el 10.000 dibujaban un dedo. Con él se
pueden señalar muchas cosas. Por eso representa
un número grande. El 20.000 dos dedos, etc
Para el 100.000 que es más grande todavía,
dibujaban una rana pequeña que ya sabrás que es
muy abundante en las orillas de los ríos. El
200.000 dos ranas, etc...
Para representar 1.000.000 dibujaban a un
hombre arrodillado con los brazos levantados al
cielo y mirando las estrellas, sorprendiéndose de
la cantidad tan grande que puede observar. Ten en
cuenta que en Egipto llueve muy poco y por las
noches, al estar raso, puedes ver muchísimas.
 TU TURNO
Para practicar, puedes escribir junto a cada pregunta la cantidad pedida y bajo, los
símbolos adecuados para representar el número que has escrito:
a) Los años que tienes
b) Los años que tiene tu madre
c) Los kilómetros que hay entre Quito y Riobamba
d) El año en que llegó el hombre a la luna
e) El año en qué naciste
f) El año en el cual estamos ahora
g) Los habitantes que tiene Guaranda
h) Los habitantes de tu casa
i) Los compañeros de tu aula
B) Sistema de numeración mesopotámica o babilónico
Esta escritura se denomina cuneiforme. Se escribía sobre tablillas de arcilla húmeda
mediante un corte vegetal biselado en forma de cuña. De ahí su nombre.

Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1800-1900 a. C. También se acredita
como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dígito
particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere
representar. Solamente dos símbolos usados en una variedad de combinaciones eran
utilizados para denotar los 59 números. Un espacio fue dejado para indicar un cero (siglo
III a. C.), sin embargo idearon más adelante una manera de representarlo mediante un
lugar vacío.
Aunque era también un sistema decimal prefirieron utilizar 60 como la segunda unidad
más pequeña en vez de
100 como lo hacemos hoy, y por eso se considera un sistema mixto de las bases 10 y
60.
 La teoría más comúnmente
adoptada es que el 60, un
número compuesto de muchos
factores (los números anterior y
siguiente de la serie serían el 12
y el 120), fue elegido como base
debido a su factorización
2×2×3×5, que lo hace divisible
por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
y 30.
De hecho, es el entero más pequeño divisible por todos los enteros del 1 al 6. El origen de
elegir el 60 se debe de posiblemente a las 12 falanges de una mano sin contar el pulgar, y
los 5 dedos de la otra. El producto de 12 por 5 son 60.

Quedan vestigios del sistema sexagesimal en la medición del tiempo. Hay 24 horas en
un día, 60 minutos en una hora y 60 segundos en un minuto. Las unidades menores que
un segundo se miden con el sistema decimal. En la medición de ángulos también se
utiliza el sistema sexagesimal

C) Sistema de numeración Romano.

Utilizaban los siguientes símbolos:

Normas de uso:
Los símbolos I, X, C y M se pueden repetir 3 veces como mucho.
Si un símbolo está a la izquierda de otro se restan sus valores y si está a la derecha se
suman.
El símbolo I solo puede restar al V y al X; el X solo resto al L y al C; la C solo al D y al M.
Ejemplos

XIV →14

XL → 40

CXX → 120

MMCLCC → 2170
0.1.1 ORDEN DE LOS NÚMEROS
Dados dos números naturales cualquiera se cumplirá una de las siguientes opciones:
 El primero es menor que el segundo. <
 El primero es igual que el segundo. =
 El primero es mayor que el segundo. >
 Ejemplo
344 < 433 (344 es menor que 433)
5538756 > 553675 (5538756 es mayor que 553675)

0.2 NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales, representado por la letra (ℕ), es el conjunto de números
usado para contar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , sin embargo hay que tomar en cuenta que existen números
más grandes de otros, que son ubicados en la recta numérica. Dentro de este conjunto numérico
se cumplen las operaciones de: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación, las mismas que se verán a continuación.
0.2.1 SUMA DE NÚMEROS NATURALES
Es la composición de un solo elemento conformado por los elementos de un conjunto a
y los elementos del conjunto b. esta operación se representa simbólicamente por: a + b
=c
Para sumar números se toma en cuenta los valores relativos de sus cifras. Por ejemplo:
14 + 27 = 41
Decenas Unidad
4 + 7 = 11
d u
+1 Escribo la unidad y sumo 1 en la
1 4 columna de decenas (d)
+2 7
4 1

Ejemplo
el conjunto de nuevas
tecnologías nos ha costado en
total:
1183 + 357 + 162 =1702 $
1183
+ 357
162
1702

TU TURNO

0.2.2 RESTA DE NÚMEROS NATURALES

Es un conjunto total, formado por los elementos del conjunto a menos los elementos del
conjunto b. Esta operación se representa simbólicamente por: a – b = c
Para restar dos números naturales, es necesario tener en cuenta que el minuendo es
mayor o igual que el sustraendo, por ejemplo: 14 – 8

Minuendo – Sustraendo = Diferencia

 Decenas Unidad Como no es posible restar 4 de 8,
entonces se toma una decena de la
d u
columna d:
-1 10 + 4 = 14
1 4 Escribo el 6 y sumo los números de la
columna d: -1 + 1=0
- 8
0 6

Ejemplo
Si disponemos de $1831 para comprar una Solución
computadora, la Tablet y el celular, ¿Cuánto
nos queda en la billetera? 1831
- 1702
129

Nos queda entonces $129 en la billetera.

0.2.3 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Se llama producto de un número a por otro b, al número natural c que se obtiene
sumando b veces el número a. Simbólicamente se representa de la siguiente manera:
a x b = c ⇒ c= a + a + a … + a; b veces a
Para multiplicar números naturales, se procede de la siguiente manera:

Centenas Decenas Unidad

c d u

1 4 7 x 4 = 28
X 1 7
9 8
1 4 7x1=7
7+2=9
2 3 8
Ejemplo
Al cine vamos 8 compañeros. ¿Cuánto Solución:
deberemos pagar entre todos?
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7= 56

Ó
 8 * 7 = 56

0.2.4 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Dividir un número a para otro b, b diferente de cero; es encontrar un número c tal que
c.b = a. Dividir es repartir en partes iguales.
Los elementos de una división se llaman: dividendo, divisor, cociente y resto

DIVIDENDO DIVISOR
RESTO COCIENTE

La división tiene propiedades, entre ellas:

DESCRIPCIÓN EJEMPLO

Todo número natural dividido para la

𝟕 ÷𝟏=𝟕
unidad ( 1 ), es el mismo número

Todo número natural, diferente de cero,

𝟕 ÷𝟕=𝟏
dividido para sí mismo es igual a 1

La división para cero no está definida

𝟕 ÷ 𝟎 = ∄ (𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐)

Cualquier número multiplicado por el

𝟎 ÷𝟕=𝟎
divisor cero (0) da como resultado cero
(0)

Ejemplo
Solución
A una empresa llega un pedido de 40
bolígrafos. El director de la empresa
40 12
quiere repartir el mismo número de
bolígrafos a cada uno de los 12 4 3
empleados. ¿Cuántos bolígrafos
podrá dar a cada empleado? Se podrán repartir 3 bolígrafos por empleado
¿Cuántos sobrarán? (cociente) y sobrarán 4 (resto).

0.2.5 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Es el producto formado mediante multiplicaciones sucesivas de un mismo número
natural. Por ejemplo:
𝟐𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟐𝟐 = 𝟒
Los elementos de la potenciación se llaman: base, exponente

La potenciación cumple ciertas propiedades, entre ellas:

DESCRIPCIÓN EJEMPLO

Un número natural, diferente de cero, que 𝟎𝟎 = ∄

tenga como exponente cero, es igual a 1 𝟕𝟎 = 𝟏

Un número natural, que tenga como 𝟕𝟏 = 𝟕

exponente uno, es el mismo número 𝟑𝟏 = 𝟑
𝟎𝟏 = 𝟎

Producto de potencias de igual base, se 𝟒𝟐 ∗ 𝟒𝟏 = 𝟒𝟐+𝟏 = 𝟒𝟑

mantiene la base y se suman los 𝟐𝟎 ∗ 𝟐𝟏 = 𝟐𝟎+𝟏 = 𝟐𝟏
exponentes.
𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Cociente de potencias de igual base, se

mantiene la ase y se restan los 𝟐𝟒 ÷ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟒−𝟐 = 𝟐𝟒−𝟐 = 𝟐𝟐
exponentes 𝟕𝟔 ÷ 𝟕𝟑 = 𝟕𝟔−𝟑 = 𝟕𝟑
𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ; 𝑚 > 𝑛 𝑦 𝑎 ≠ 0

Potencia de una potencia, se mantiene la (𝟓𝟐 )𝟑 = 𝟓𝟐∗𝟑 = 𝟓𝟔

base y se multiplican los exponentes. (𝟐𝟐 )𝟏 = 𝟐𝟐∗𝟏 = 𝟐𝟐

Ejemplo
Solución
Ana tiene 2 cajones, en cada uno hay 2 2∗2∗2=8
cajas y en cada caja hay 2 zapatos. 23 = 8
¿Cuántos zapatos tiene en total Ana?
0.2.6 RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Operación inversa a la potenciación, en la cual se conoce la potencia y el exponente, y
se calcula la base, entre los elementos de la radicación, tenemos: radicando, índice, y
raíz.
2
√16 = 4 ≡ 42 = 16

í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆
√𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 = 𝒓𝒂í𝒛
La radicación, cumple ciertas propiedades, entre ellas:
DESCRIPCIÓN EJEMPLO

𝟕
La raíz de uno de cualquier índice, es √𝟏 = 𝟏
igual a 1

Raíz de una potencia, cuando se tiene 𝟑

√𝟐𝟑 = 𝟐
una raíz y el radicando elevado a una 𝟏𝟎
√𝟒𝟓 = 𝟐√𝟒
potencia estos se puedes simplificar. 𝟑
√𝟑𝟔 = 𝟑𝟐

Raíz de un producto, representa a la raíz √𝟒 ∗ 𝟐𝟓 = √𝟒 ∗ √𝟐𝟓 = 𝟐 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟎

de cada uno de los factores, siempre y √𝟖 ∗ √𝟐 = √𝟖 ∗ 𝟐 = √𝟏𝟔 = 𝟒
cuando estos estén definidos.

Raíz de un cociente, representa al √𝟏𝟔 ÷ 𝟒 = √𝟏𝟔 ÷ √𝟒 = 𝟒 ÷ 𝟐 = 𝟐

cociente de las potencias enésimas, √𝟖 ÷ √𝟐 = √𝟖 ÷ 𝟐 = √𝟒 = 𝟐
siempre que estén definidas.

1 EJERCICIOS
1. Grafique, en la recta numérica, los siguientes segmentos
a) 0 a 3
b) 1 a 5
c) 2 a 4
d) 2 a 5
e) 0 a 4
f) 1a4
g) 3 a 6
h) 4 a 6
2. Hallar el resultado de las siguientes operaciones:
a) 23 + 52
b) 136 + 84
c) 63 + 79
d) 64 + 235
 e) 94 + 89
f) 1234 + 456
g) 125 + 232
h) 238 + 1235
i) 29 – 8
j) 54 – 38
k) 10 – 3
l) 125 – 234
m) 123 – 119
n) 18 – 15
o) 1234 – 827
p) 123 – 49
q) 5 x 9
r) 95 x 24
s) 12 x 9
t) 25 x 34
u) 152 x 145
v) 785 x 42
w) 951 x 3
x) 987 x 65
3. Dadas los siguientes números naturales, identifique si es > (mayor)O, < (menor) o =
(igual).
a) 3 ____ 4
b) 2 ____ 3
c) 4 ____ 1
d) 0 ____ 2
e) 1 ____ 2
f) 3 ____ 0
g) 2 ____ 5
h) 2 ____ 2
i) 2 ____ 4
j) 5 ____ 14
k) 0 ____ 3
l) 2 ____ 9
m) 2 ____ 8
n) 5 ____ 10
o) 8 ____ 11
p) 8 ____ 16
4.
UNIDAD 01: NÚMEROS ENTEROS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD
 Emplea las relaciones de orden, las propiedades algebraicas (adición y
multiplicación), las operaciones con distintos tipos de números (Z, Q, I) y expresiones
algebraicas, para afrontar inecuaciones y ecuaciones con soluciones de diferentes
campos numéricos, y resolver problemas de la vida real, seleccionando la forma de
cálculo apropiada e interpretando y juzgando las soluciones obtenidas dentro del
contexto del problema; analiza la necesidad del uso de la tecnología.

EJES TRANSVERSALES DE LA UNIDAD

 Comprendemos las necesidades y potencialidades de nuestro país y nos involucramos
en la construcción de una sociedad democrática, equitativa e inclusiva.
DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO
 D.I.M.4.1.1. Reconocer los elementos del conjunto de los números enteros Z
ejemplificando situaciones reales en las que se utilizan los números enteros negativos.
 D.I.M.4.1.2 Establecer relaciones de orden en el conjunto de números enteros utilizando
la recta numérica y la simbología matemática (<,>, =)
 D.I.M:4.1.3. Operar en Z (adición, sustracción, multiplicación y división) de forma
numérica, aplicando el orden de operación.
 D.I.M.4.1.4. Deducir y aplicar en forma algebraica (adición y multiplicación) las
propiedades algebraicas de los números enteros en operaciones numéricas.
 D.I.M.4.1.5. Calcular la potencia de números enteros con exponentes naturales.
 D.D.M.4.1.6. Calcular raíces de números enteros no negativos que intervienen en
expresiones matemáticas.
 D.I.M.4.1.7 Realizar operaciones combinadas en Z aplicando el orden de operación y
verificar resultados utilizando la tecnología.
INDICADORES DE LOGRO Y EVALUACION
 Ejemplifica situaciones reales en las que se utilizan los números enteros;
 Establece relaciones de orden empleando la recta numérica;
 Aplica las propiedades algebraicas de los números enteros en la solución de
expresiones con operaciones combinadas (suma, resta, multiplicación,
división, potenciación y radicación), empleando correctamente la prioridad de las
operaciones; juzga la necesidad del uso de la tecnología.
 El concepto de número surgió de la necesidad práctica
de contar objetos.
 En todas las actividades que realizamos a diario
utilizamos números naturales.
 Los números naturales nos sirven para numerar u
ordenar.
 Los números naturales se pueden sumar y mulriplicar,
peor no todos se pueden restar o dividr.
Lo antes mencionado, se lo debemos a los matemáticos
Indios, conocido como la diferenciación entre números
positivos y negativos, también intepretados en la vida
cotidiana ocmo débitos y créditos

1 Conjunto de números enteros

En ocasiones no es suficiente el conjunto de los números naturales para representar
matemáticamente situaciones de la vida cotidiana. Por esta razón, los matemática de la
Antigüedad consideraron necesario ampliar este conjutno y comenzar a utilizar los números
negativos.
La notación, muy difundida para los números postivios y negativos, se la debe, en cambio a
Stifel, (Matemático Alemán 1487 – 1567) en el siglo XV.
Esta decisión dio origen ak conjutno de los números enteros (ℤ), el cual incluye los enteros
negativos (ℤ− ), los enteros positivos (ℤ+ ) y el 0, como se ve a continuación

Números Enteros
ℤ

comprenden a

Enteros Negativos Cero Enteros Positivos

ℤ− 0 ℤ+

se representan en la

Recta numérica

Así, los números enteros permiten diferenciar la manera en que se registran algunas
situaciones como: deudas y haberes, temperaturas sobre y bajo el cero, alturas sobre el nivel
del mar y profundidades, entre otras.

OBSERVACIÓN
El cero (0) es el único númer que no tiene signo: no es positivo ni
negativo, fue colocado con el objetivo de separar los números
positivos y negativos de la recta numérica.

Los números enteros positivos coinciden con los números naturales;

por eso, es común que al escribir un número entero positivo se omita
el signo (+)

EJEMPLO 1
Santiago realizó los siguientes movimientos en su cuenta bancaria: el lunes depositó
$500, el martes retiró $220, el miércoles retiró $95, y el jueves depositó $40. ¿Con
cuánto llega Santiago el día viernes?. Represente con los números y los signos
correspondientes
MOVIMIENTOS
DÍA DEPÓSITOS RETIROS
LUNES + $500
MARTES - $220
MIERCOLES - $95
 JUEVES + $40
TOTAL + $540 - $315

Santiago contaba con $540 dólares, para el viernes había retirado $315 y se quedó con $225
para el día viernes.
EJEMPLO 2
El planeta más frío de nuestro sistema solar es Neptuno, el octavo planeta. Este gran
planeta está ubicado a 4.5 mil millones de kilómetros del sol, lo que explica que sea
un planeta tan frío: su superficie tiene una temperatura de 201º centígrados bajo cero;
mientras que el planeta más caliente es Venus porque tiene una atmósfera tan densa
que provoca un sobrecalentamiento en su superficie, teniendo una temperatura de
480° centígrados.

Neptuno , plantea más frío Venus, planeta más caliente

Para representar la temperatura bajo cero, utilizamos los números enteros
negativos: - 201°
Para representar la temperatura sobre cero, utilizamos los números enteros
positivos: + 480 °

2 Representación en la recta numérica

3 Aplicaciones en la vida cotidiana

2 Valor absoluto y relación de orden.
4 Números opuestos
5 Relación de orden de los números enteros
6 Relación de desigualdad de los números enteros
3 Adición y sustracción
7 Propiedades
8 Signos de agrupación
9 Solución de problemas
4 Multiplicación y división
10 Propiedades
11 Solución de problemas
5 Potenciación y radicación
Polinomios aritméticos.