Derivadas Trabajo
Derivadas Trabajo
Derivadas Trabajo
CÁLCULO
Presentado por:
Docente:
Piura, Perú
2018
INDICE
INTRODUCCIÓN..................................................................................................................5
1
I. ASPECTOS DE LA PROBLEMÁTICA............................................................................6
1.4. Objetivos..................................................................................................................6
1.1.4.1. Concavidad...........................................................................................................13
1.1.4.2. Convexidad...........................................................................................................14
III. CONCLUSIONES....................................................................................................29
IV. BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................30
2
DEDICATORIA
3
INTRODUCCIÓN
I. ASPECTOS DE LA PROBLEMÁTICA
4
el II ciclo en la facultad de Ingeniería Industrial – Escuela Profesional de
Ingeniería Industrial.
1.4. Objetivos
1.4.1. Objetivo General
5
1.5. Delimitación de la investigación
Imaginemos que en un plano x y, tenemos una curva que en el eje de las abscisas
a
pasa por el punto a y por el punto b, a los cuales hallaremos sus imágenes
f¿
) y f ( b ) respectivamente (como ya se ha explicado en el punto anterior).
Trazaremos una recta secante, la cual pasara por los puntos (a , f ( a ))
y (b , f ( b )) nos daremos cuenta de que podemos formar que podemos formar
a
un triángulo rectángulo, para así hallar sus catetos b−a y )
f ( b )−f ¿
Analíticamente:
y− y 1=m ( x−x 1 )
y − y1 f ( b )−f (a)
=mm=
x−x 1 b−a
6
I.1.1.2. Pendiente de una curva en un punto P (a, f(a))
f ( a+h ) −f ( a)
m=lim =f ´ ( a)
h→ 0 h
1
y−f (a)= . ( x−a)
f ' (a)
En un plano X, Y ; trazaremos nuestra función representada por una recta, para hacer el
análisis de esta colocaremos un punto sobre el eje X, al que llamaremos x 1 , ahora
procederemos a hallar su imagen, para ello trazareos un linea vertical hasta chocar con
la recta de la función, y luego trazamos una línea horizontal hacia el eje y , este será la
x
imagen de nuestro x 1 al que llamaremos (¿¿ 1) .Luego colocaremos otro punto
f¿
x
x 2 en el eje de las abscisas y hallaremos su imagen f (¿¿ 2) .
¿
Fig. 1.1
x x
x1 < x2 Entonces (¿¿ 1) < f (¿¿ 2)
f¿ ¿
8
I.1.2.2. Función decreciente
Al igual que en la función creciente; tomaremos un punto en el eje de las abscisas al que
llamaremos x 1 y ahora buscaremos su imagen con el mismo método ya utilizado
x
anteriormente, esta imagen será f (¿¿ 2) , luego volveremos a tomar otro punto ( x 2
¿
) en las abscisas que se aleje un poco más del origen de coordenadas y buscaremos su
x
imagen f (¿¿ 2) .
¿
Fig. 1.2
x x
Estableceremos las condiciones: x 1 < x 2 Entonces (¿¿ 1) > f (¿¿ 2)
f¿ ¿
Fig. 1.3
Ahora nos daremos cuenta de que el valor de X se incrementa, mientas que el valor de
f ( x ) se mantiene de manera constante, en el mismo valor
x x
La condición será: si x1 < x2 Entonces (¿¿ 1) = f (¿¿ 2)
f¿ ¿
Es decir que se cumple que una función esa constante si en un intervalo en el que x1
x x
es mejor que x 2 , si se cumple que (¿¿ 1) = f (¿¿ 2) .
f¿ ¿
Este es un punto de la función cuya imagen es mayor o igual que la imagen de cualquier
punto que se encuentre cercano a dicho punto.
Es decir: Si f(x) tiene un máximo en x =a si f(a) ≥ f(x) para todo x en algún entorno
del punto a.
10
Es decir: Si f(x) tiene un mínimo en x = a si f(a) ≤ f(x) para todo x en algún entorno
del punto a.
- Se dice que hay un máximo relativo si f ' (x) cambia de positiva (+) a negativa
(-)
- Tiene un mínimo relativo si f ' (x) cambia de negativa (-) a positiva (+)
- Si en la primera derivada f’(x) no cambia de signo, se dice que no tiene máximo
ni mínimo relativo.
La condición necesaria para que una función tenga un máximo relativo, es que su
primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda
derivada en ese punto sea menor que 0. Es decir:
{
'
Máximo Relativo en x=a↔ f ' '( a )=0
f ( a ) <0
La condición necesaria para que una función tenga un mínimo relativo es que su
primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda
derivada en ese punto sea mayor que 0. Es decir:
{
'
Mínimo Relativo en x =a ↔ f ' '( a )=0
f ( a ) >0
Ejemplo:
f ( x )=x 3−3 x +2
3 x2 −3=0
2
3 x =3
2
x =1
x=± 1
f ' ' ( x ) =6 x
12
I.1.4. Concavidad y convexidad y puntos de inflexión
I.1.4.1. Concavidad
Una función se dice que es cóncava hacia arriba (∪) en x = a si la recta tangente a
la gráfica de la función en ese punto está por debajo de ella.
→ Criterios de concavidad
I.1.4.2. Convexidad
Una función se dice que es cóncava hacia abajo o convexa (∩) en x = a si la recta
tangente a la gráfica de la función en ese punto está por encima de ella.
→ Criterios de concavidad
→ Criterios de concavidad
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2) Calculamos sus puntos críticos: f’’(x)=0 v f’’(x) no existe.
4) Determinar el signo de f’’(x) para los valores menores y mayores del valor
critico de inflexión.
Ejemplo:
f ( x)=x ³−3 x+2
−∞0+ ∞
6 x=0
x=0
→ Representación gráfica
14
I.1.5. Optimización de funciones
→ Se necesita construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de
largo de 24 cm y ancho 12 cm. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que
debe de cortarse en cada esquina para maximizar el volumen? ¿Cuál es este
volumen?
El volumen viene definido por:
V =( 24−2 x )( 12−2 x ) ( x )
2
V =(24−2 x )(12 x −2 x )
2 2 3
V =288 x−48 x −24 x + 4 x
3 2
V =4 x −72 x +288 x
x 1=2.54 x 2=9.46
Usamos el criterio de la segunda derivada para determinar cuál de eso puntos son
máximos.
f ´ ´ ( x ) <0 → P . Máximo
f ´ ´ ( x ) >0 → P . Mímino.
V ´ ´ ( x )=24 x−144
Cuando una compañía pretende optimizar lo primero que tiene que hacer es plantear
una función objetivo, esta función objetivo se plantea en términos de alguna variable
que afecte directamente el comportamiento de dicha función. [ CITATION Bon13 \l
10250 ]
16
Por ejemplo, si desea modular los costes de producción, ingresos, y utilidades esta
función debe definir e identificar dicha variable con el fin de poder tomar una decisión
que concuerde con el objetivo económico planteado.
U ( x )=I ( x )−C ( x)
Sea “x” el número total de unidades producidas por una empresa y “m” el precio de
venta por unidad, el ingreso se obtiene con la función
I ( x )=m(x )
Utilidad Marginal: U ' ( x )=I ' ( x)−C '( x ) . Se entiende por utilidad marginal
al aumento o disminución de la utilidad total que acompaña el aumento o
disminución de la cantidad que se posee de un Bien.
17
1.1.6.3. Máximos y mínimos
Máximos y mínimos absolutos es una de las aplicaciones más importantes dentro de los
problemas de optimización. Esta aplicación es llamada optimización. Los problemas
de optimización en economía hacen referencia a hallar la cantidad “n” de elementos que
una compañía debe producir para lograr un ingreso máximo.
→ Empresa Ladrillera
Cierta ocasión fui hasta el lugar donde se encontraba el horno y logré recolectar datos
tanto para los ingresos como para los gastos en producción por cada millar de ladrillos.
Labranza. 50(X)
18
Vaciado del ladrillo dentro del 12(x)
horno
Función costo.
Función ingresos.
Para determinar la función de ingresos se tiene que aplicar la fórmula (ax +b) x
porque el precio dependerá de la cantidad de unidades que se vendan, esto debido a que
los precios que se establezcan pueden verse influenciados por causas exteriores como
cambios climáticos, o aumento del precio del combustible.
Por esto determinaremos una función que module el comportamiento de las cantidades
vendidas con el Ingreso. Preguntando al señor Nico Valladolid, dueño de la empresa
ladrillera brindó la información de los precios que ellos suelen cobrar y la cantidad de
millares que se venden por tal precio.
19
CANTIDAD DE MILLAR VENDIDO PRECIO
(SOLES)
9 283
8 290
7 295
5 305
3 311
Los datos anteriores pueden estar modelados por la siguiente función lineal:
PRECIO
315
310 f(x) = - 4.64x + 326.48
305 R² = 0.98
300
295
290
285
280
275
270
265
2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
Esta gráfica representa la función demanda en la empresa ladrillera. Se evidencia que
existe una relación inversamente proporcional entre el precio de un millar de ladrillos y
la cantidad demandada por este. Al aumentar el precio por cada millar de ladrillo
disminuye la cantidad de ladrillos vendidos y ocurre lo contrario cuando el precio
disminuye.
I ( x )=( ax+b ) x
I ( x )=(−4.6379 x +326.48 ) x
I ( x )=−4.63789 x 2+ 326.48 x
I ( x )=−4.6379 x 2+ 326.48 x
Los problemas de maximización de beneficios siempre irán en función del precio y del
costo de producción.
Después de haber modelado las funciones de Ingresos y costos de la ladrillera que han
incurrido al fin de maximizar su ganancia.
c) Obtener el ingreso total, costo total y la utilidad total partiendo de los valores
que maximizan la ganancia.
21
Para la solución de los aparatados se trabajarán con las funciones marginales de costo,
ingreso y utilidad ya que se considera el posible efecto de un millar más en cada
función. Además, las funciones marginales son el mejor modelo para representar las
funciones de la empresa ladrillera pues considera factores que pueden influir en el
comportamiento de las funciones. Se trabajará en relación con el nivel de producción
que maximiza la ganancia considerando el impacto de los costos y los precios, es decir
se trabajará con la utilidad máxima.
Solución
Para solucionar este apartado se utilizarán las funciones como funciones de costo e
ingreso marginal que producirá una utilidad marginal.
( I ) C ( x )=171 ( x ) +125
C' ( x )=171
−9.2758 x +326.48=171
−9.2758 x=171−326.48
−9.2758 x=−155.48
x=17
22
→ Calculamos la segunda derivada con el fin de calcular el punto máximo.
Para que exista un máximo tiene que cumplirse que U ' ' ( x )=I '' ( x )−C' ' ( x ) <0
p ( x ) =−4.6379 x +326.48
p (17 )=243.63
Rpta. 243.67 soles es el precio que maximiza la ganancia con un nivel de producción
de 17 millares de ladrillo
Costo Total.
C ( x )=171 ( x )+125
C ( 17 ) =171 ( 17 )+ 125
C ( x )=3032.
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Ingreso Total:
I ( 17 ) =4209.80
U ( x )=4209.80−3032
U ( x )=1177.80
Rpta. Con una producción de 17 millares de ladrillos el costo total por la producción
será de 3032 soles, el costo total de ingresos será de 4209.80 soles registrando una
utilidad de 1177.80 soles.
En física, las derivadas se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez
con que se produce el cambio de una magnitud o situación. La velocidad (velocidad
instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo) es la
derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.
a=v ´ (t )
Δe
V m (t)=
Δt
Ejemplo
3 9 2
La expresión s ( t ) =t − t −7 t con t ≥0, da la función de la posición de la partícula.
2
24
a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m s−1 ?
9
s ( t ) =t 3− t 2 −7 t
2
V ( t )=s ´ (t)
t−4=0 t +1=0
t=4 ∨ t=−1
Como t ≥ 0 , entonces el valor de t=4 , donde la partícula alcanza una
velocidad de 5 m s−1
9
s ( t ) =t 3− t 2 −7 t
2
a ( t )=6 t−9
9
t= =1.5 segundos
6
Distancia: 150m
Altura: 30m
Ancho: 15.2m
25
Datos de los cuales deducimos como punto máximo (75,30)→ F(75)=30
Siendo el origen (0,0)→ F (0)=0
F ( x )=a x 2−bx +c
d ( F (x ))
=2 ax +b
dx
0=2 ax+b
−b
=x
2a
b=−2 a x ←Como sabemos x=75
b=−2 a ( 75 )
b=−150 a … (1)
→ F ( x ) =a x 2−150 a x+ c
F ( 0 ) =0−0+c
c=0
F ( x )=a x 2−150 a x +c
2
F ( 75 )=a(75) −150.75 a+0 ←Reemplazamos b a partir de (1)
30=a ( 752−150.75 )
30=−5625 a
a=−0,005 3^
b=0, 8
F ( x )=a x 2−bx +c
F ( x )=0,005 3^ x 2−0,8 x+ 0
26
La ecuación que relaciona estas tres cantidades es: P(x) = R(x) — C(x)
donde: P(x) = beneficio total, R(x) = ingreso total, C(x) = Costo total.
Ahora la derivada de cada una de estas da los marginales términos usados en Economía.
dP
=beneficiomarginal
dX
dR
=ingreso marginal
dX
dC
=costomarginal
dX
Solución
x²
Costo total ¿ c (x)=500+15 x +
5
375 x−5 x
Pero 5 x=375−3 P → P=
3
375 x−x ²
I ( x)=xP=
3
Luego ...(2)
x²
c (x)=500+15 x+
5
375 x−x ² x²
Reemplazando (2) en (1): u(x )= −(500+15 x+ )
3 5
27
' 375−10 x 2x
u ( x )= −15−
3 5
1875−5 x−225−6 x
0 ¿
15
0= 1650-56x
1650
x ¿
56
x=29.45
−56 −56
u' ' ( x )= u ' '(29.46)=¿= < 0→ ∃máximo en x=29.46
15 15
¿Calcular la velocidad de la partícula en los instantes t1= 0seg, t2= 1seg, t3=5seg y el
instante en que se encuentra en reposo?
Solución
dx
V ( t )= =2 t−6
dt
t=3 seg .
28
x ' ( t )=V ( x ) =15 t 2 +12 t −7
→ Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 +
1000t², siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:
p ( t+ h )− p(t )
Vm=
h
5000+100 ( t +h )2−5000−100 t 2
=
h
¿ 200 t – 100 h
5000+100(t +h)2−5000−100t 2
p’ (x )=lim
h→ 0 h
¿ 200 t
p’ ( 10 )=200.10
¿ 2000
29
→ Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto.
Suponiendo que la presión del gas es constante, halla la velocidad con que está
aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m
Solución
4
V =¿ π R3 (1)
3
Ambos, V y R son funciones del tiempo durante el inflado del globo. Como se te
pide la velocidad con que varía el radio cuando su valor es de 0.3 m, deberás
hallar el valor de la derivada de R respecto del tiempo para el valor de R
indicado.
Comencemos entonces derivando la expresión (1). Tendremos:
dv 4 π dr dr
Q= = .3 r 2 . =4 π r 2 . ...(2)
dt 3 dt dt
dv dm3
Q= =100
dt min
cm
Rpta. El radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 en el
min
instante en que R= 30cm
30
III. CONCLUSIONES
• Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias
que se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas,
corriente eléctrica, magnetismo, etc.
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BIBLIOGRAFÍA
3. Winifred D. Aplicación de las Derivadas. [Online].; 2013, enero 23. [cited 2018,
diciembre 7]. Available from:
https://issuu.com/winifredd.videscolmenarez/docs/aplicaci_n_de_las_derivada
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