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IDO GuiaDeEstudio PDF
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EDUCACION
A
DISTANCIA
INVESTIGACION OPERATIVA I
Autor: CARIGNANO
GUIA DE ESTUDIOS
DISEÑO GRAFICO
IMPRESION Y ARMADO
DEPARTAMENTO PEDAGOGICO
Directora: Lic. María Beatriz Rossa de Riaño
3
Investigación Operativa I
CORRECCIÓN DE ESTILO:
4
Estimado alumno:
Hola! Bienvenido al mundo de la Investigación de Ope-
raciones.
A partir de hoy iniciamos juntos un verdadero desafío,
el recorrido de un área apasionante como es la resolución de problemas de
decisión en las organizaciones.
Con cada paso que avancemos usted irá descubriendo
este fascinante mundo que nos ayuda a tomar decisiones con calidad, factor
imprescindible en la época que vivimos.
Como usted ya sabe, nos encontramos en la era de la
calidad y para alcanzarla, es condición sine qua non poder tomar decisiones
racionales, manteniendo una actitud de análisis frente a cada situación, que
nos permita abrir puertas con estrategias óptimas.
Creo que en este tránsito que comenzamos aquí y con-
tinuamos a lo largo de Investigación de Operaciones II, nos iremos cono-
ciendo y enriqueciendo mutuamente.
Lo invito a comprometerse en esta empresa.
Hasta pronto.
5
INDICE
6
INTRODUCCION
GENERAL ORIENTADORA
controlar si el modelo sigue satisfaciendo los objetivos de quien toma las deci-
siones.
Si bien de todo lo anterior se desprende que las matemáticas y los modelos
matemáticos son parte fundamental de la IO, el verdadero objetivo consiste en
resolver problemas que se presentan en las organizaciones más que en cons-
truir y resolver modelos matemáticos.
A través del estudio de esta asignatura esperamos que usted alcance los si-
guientes objetivos de aprendizaje:
Objetivos del
aprendizaje
Valorar la toma de decisiones con criterio objetivo.
9
INTRODUCCION
Esquema
Conceptual
General
10
INTRODUCCION
Bibliografía obligatoria
La guía ha sido pensada para ser usada conjuntamente con el siguiente libro
libro:
ANDERSON, David R., SWEENEY, Dennis J. y WILLIAMS, Thomas
A. Introducción a los modelos cuantitativos para administración. Grupo
Editorial Iberoamérica - Sexta edición, año 1993.
Este texto plantea una presentación clara y dinámica de cada uno de los temas
a desarrollar en esta asignatura, logrando un adecuado equilibrio entre la
fundamentación teórica y las aplicaciones prácticas, presentando además al
final de cada capítulo un caso para analizar.
Bibliografía Complementaria
Sin pretender acercarle una lista exhaustiva de textos que pueden ser usados
como bibliografía complementaria, le sugerimos los siguientes:
WINSTON,Wayne L. Investigación de Operaciones, Aplicaciones y
Algoritmos. Grupo Editorial Iberoamérica. México. Segunda edición.
1994.
DAVIS/MCKEOWN. Modelos Cuantitativos para Administración. Gru-
po Editorial Iberoamérica. México. Segunda edición. 1986.
HILLIER, Frederick S. y LIEBERMAN,Gerald J. Introducción a la
Investigación de Operaciones. Editorial McGraw-Hill. México. Quinta
edición en inglés (tercera en español). 1991.
TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Editorial Alfaomega.
Mexico.Quinta edición. 1995.
Cronograma
Este recurso le permite realizar una ponderación aproximada de los tiempos
necesarios para realizar el aprendizaje de cada unidad y resolver las actividades
propuestas en cada una, de manera tal que usted pueda organizar sus tiempos y
la presentación al examen final.
Utilice la columna en blanco para organizar su propio tiempo de estudio. Esto
también le servirá de control personal para el cumplimiento del mismo.
Tiempo Relativo
Unidad asignado Tiempo Real
1 20 %
2 25 %
Actividad Obligatoria nº 1 15 %
3 20 %
4 10 %
Actividad Obligatoria nº 2 10 %
12
INTRODUCCION
13
INTRODUCCION
14
PROGRAMACION
LINEAL
UNIDAD
1
UNIDAD
1 ORIENTACION
DEL APRENDIZAJE
16
UNIDAD 1
Ahora formúlese usted esta pregunta: ¿es factible incrementar o disminuir infi-
nitamente esa cantidad que representa el objetivo del problema?
Lógicamente la respuesta es NO, ya que una situación en la cual el beneficio
pudiera crecer infinitamente o el costo disminuir infinitamente, no sería realis-
ta.
Volviendo al ejemplo A, podemos ver que la contribución total a las utilidades
está sujeta a la disponibilidad de los insumos de producción y al cumplimiento
de la demanda del producto.
En el ejemplo B, el máximo rendimiento se encuentra limitado por el capital
disponible y las condiciones de riesgo.
En el ejemplo C, el mínimo costo de la dieta se subordina al cumplimiento de
los requerimientos nutritivos.
En el caso D, la máxima efectividad de la publicidad es restringida por un
presupuesto fijo y por otro tipo de condiciones como las características y la
cantidad de personas a las que se quiere llegar.
Y en el ejemplo E, el plan de envíos de mínimo costo está limitado por la
disponibilidad y la demanda de leche.
Todo ello pone de manifiesto que el máximo o mínimo valor que puede alcan-
zar el objetivo se encuentra limitado por el cumplimiento de una serie de con-
diciones o restricciones.
De todos los problemas analizados hasta, ahora resulta posible extraer las dos
características que tienen en común:
1. Se pretende lograr un objetivo, representado por la maximización o
minimización de una cantidad, que generalmente se traduce en un
beneficio o un costo.
2. La maximización o minimización del objetivo está sujeta al cumpli-
miento de un conjunto de restricciones o condiciones.
17
UNIDAD 1
Objetivos del
Aprendizaje
Comprender las características y supuestos del modelo de
programación lineal.
1.1. Características
1.2. Supuestos
Tema 2. Solución gráfica de PL bidimensionales
Tema 3. Algoritmo Simplex
Tema 4. Casos especiales
Tema 5. Resolución de programas lineales por computadora
18
UNIDAD 1
Esquema
Conceptual
19
UNIDAD 1
20
UNIDAD 1
acre de maíz requiere de seis horas. ¿Cuántos acres de soya y cuántos acres
de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utilidades?”
Podemos comenzar a analizar el problema planteándonos los siguientes
interrogantes:
1. ¿Cuál es la meta u objetivo final del problema?
2. ¿Cuáles son las incógnitas del problema? Es decir aquellos factores sobre
los cuales tiene control quien toma las decisiones -variables de deci-
sión-.
3. ¿Qué restricciones deben imponerse a las variables de decisión a fin de
satisfacer las condiciones o limitaciones del problema?
Respondiendo a estas preguntas podemos describir al problema en forma ver-
bal para luego transformarlo en una estructura matemática apropiada.
Entonces:
1. Objetivo verbal:
La R.F quiere determinar el número de acres de soya y de maíz que deberá
cultivar a fin de obtener las máximas utilidades.
2. Variables de decisión:
x1 = número de acres sembrados de soya.
x2 = número de acres sembrados de maíz.
3. Restricciones:
1. Se dispone de 500 acres de terreno.
21
UNIDAD 1
acres acres
3.
(horas necesarias por acre soya)*(acres sembrados de soya) + (horas necesa-
rias por acre de maíz)*(acres sembrados maíz) horas disponibles
22
UNIDAD 1
2 x1 + 6 x2 1200
}
}
}
}
}
horas acre horas acre horas
=
acre acre
4.
Una restricción implícita es que la cantidad de acres sembrados no puede
asumir un valor negativo, a estas restricciones se las llama de No Negatividad.
x1 0 y x2 0
Modelo Matemático
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
} restricciones de
no negatividad
Un problema tan pequeño como este, que tiene sólo dos variables de decisión
y por ende únicamente dos dimensiones, puede resolverse utilizando un proce-
dimiento gráfico.
Luego de analizar detenidamente este tema en la bibliografía complete la si-
guiente tabla escribiendo con sus palabras el significado de cada uno de los
supuestos del modelo de PL.
23
UNIDAD 1
ADITIVIDAD
PROPORCIONALIDAD
DIVISIBILIDAD
CERTEZA
24
UNIDAD 1
1
¿Qué opina de extender el método gráfico para más de tres varia-
bles de decisión?
Confronte con la solución N° 1
25
UNIDAD 1
26
UNIDAD 1
27
UNIDAD 1
Recuerde:
28
UNIDAD 1
2
Max. Z = 3 x1 + 2 x2
sa.
x1 + 2 x2 <= 6
2 x1 + x2 <= 6
x 1 , x2 >= 0
29
UNIDAD 1
_________________________________________________________________
Tipo de problema cómo se reconoce cómo se reconoce
gráficamente con simplex
_________________________________________________________________
Infinitas
soluciones óptimas
_________________________________________________________________
Problema no
acotado
_________________________________________________________________
Problema
sin solución
_________________________________________________________________
Problema
degenerado
__________________________________________________________________
30
UNIDAD 1
31
UNIDAD
1 SOLUCIONES A LAS
ACTIVIDADES DE PROCESO
32
UNIDAD
ACTIVIDADES DE
AUTOEVALUACION 1
Le proponemos que realice las siguientes actividades de autoevaluación.
1. Elabore una definición de programación lineal.
2. Explique cada uno de los supuestos sobre los que se basa el modelo de pro-
gramación lineal.
3. ¿Por qué son importantes los supuestos de aditividad y proporcionalidad?
4. Dé ejemplos de restricciones que se representen con ecuaciones y con
inecuaciones del tipo =.
5. Generalice el modelo de programación lineal a n variables y m restriccio-
nes.
6. Identifique variables y parámetros del modelo.
7. Explique la diferencia que existe entre una solución factible y una solución
factible básica.
8. En un gráfico identifique las soluciones factibles y las soluciones factibles
básicas de un programa lineal.
9. ¿Por qué, cuando buscamos la solución óptima de un programa lineal, sólo
necesitamos considerar los vértices de la región factible?
10. Cuáles de las siguientes restricciones no serían aceptables en un modelo de
PL y por qué?
a. 3 x1.x2 + 5 x3 >= 125 x4
b. 16 x1 - x2 + x3 = 18
c. 26 - x3 + x2 = 58 . 1/x1
d. 0.24 x1 + 0.18 x2 - x3 <= -36
e. 10 x1 - (4 x2)2 + 28 x3 + x4 <= 210
33
UNIDAD 1
b.- min 30 x1 + 45 x2
sa
8 x1 + 2 x2 >= 24
16 x1 + 8 x2 >= 16
x1 , x2 >=0
c.- max 120 x1 + 80 x2
sa
8 x1 - 2 x2 = 0
25 x1 + 10 x2 <= 45
9 x1 + 15 x2 <= 30
x1 , x2 >=0
12. Elabore la solución gráfica de los siguientes problemas y explique qué par
ticularidades observa en cada uno.
a.- max 15 x1 + 20 x2
sa
6 x1 - 18 x2 <= 18
-8 x1 + 6 x2 <= 24
x1 , x2 >=0
34
UNIDAD 1
b.- min 2 x1 + 3 x2
sa
0,5 x1 + 0,25 x2 <= 4
x1 + 3 x2 >= 20
x1 + x2 = 10
x1 , x2 >= 0
c.- max 20 x1 + 24 x2
sa
10 x1 + 5 x2 <= 25
36 x1 - 12 x2 <= 72
x1 , x2 >= 0
35
UNIDAD 1
15. Los problemas 29 a 34 del texto, dan como resultado casos especiales;
usted deberá resolverlos y luego explicar a qué situación corresponden y
cómo los identificó con el método simplex. En el caso de que el problema
tenga más de una solución óptima, encuentre al menos dos soluciones óp-
timas alternativas.
36
APLICACIONES DE LA
PROGRAMACION LINEAL
UNIDAD
2
UNIDAD
2 ORIENTACION
DEL APRENDIZAJE
38
UNIDAD 2
Contenidos
1. Lineamientos para el planteo de modelos lineales
2. Aplicación a la resolución de problemas en distintas áreas
3. Interpretación de los elementos de la tabla simplex
4. Análisis de sensibilidad. Un enfoque aplicado
5. Dualidad
Esquema
Conceptual
39
UNIDAD 2
40
UNIDAD 2
Bibliografía
La bibliografía que se recomienda para el estudio de esta unidad es el texto que
figura como bibliografía obligatoria en la apertura de la materia; capítulos 4
Aplicaciones de la Programación Lineal, 3 Programación Lineal: análisis
de sensibilidad y solución en computadora y 6 Análisis de sensibilidad
basado en el simplex y Dualidad.
Sin embargo usted puede utilizar cualquier libro de Investigación de Operacio-
nes que contenga dichos temas.
En el tema 1 usted encontrará algunas indicaciones que le servirán como guía
en la modelización de los problemas tratados en el tema 2. En este punto, la
guía sirve de complemento a los problemas del texto, analice detenidamente
cada una de las aplicaciones que se tratan en el capítulo 4 y luego continúe con
los que se proponen en esta unidad.
Con respecto al tema 3 como no está tratado en la bibliografía, entonces usted
deberá utilizar la guía como material de estudio.
Los temas 4 y 5 se analizan en los capítulos 3 y 6 del texto. Como ya lo hizo
con la Unidad 1, lea primero el tema de la guía y luego pase al libro para
realizar un estudio más profundo.
Ponga especial atención en esta unidad, ya que los temas tratados en ella son
los que suelen presentar mayor dificultad.
41
UNIDAD 2
42
UNIDAD 2
Problema N° 1: Producción
Este problema ha sido extraído del libro de los Ingenieros Isidoro Marín, Raúl J.A.
Palma y Horacio Rojo, «Programación Lineal, modelización y enunciados».
Disponibilidad de equipos
Al realizarse el estudio, se verificó que los centros 1 y 4 pueden funcionar
como máximo 16 horas netas por día y los centros 2 y 3, solamente 12 horas
netas por día.
Distribución
Los medios de despacho de la empresa están limitados a una capacidad conjun-
ta para A y B de 2.500 litros diarios.
Objetivo
Se pide determinar la mezcla de ventas que maximice el margen de beneficios.
Objetivo verbal
De la lectura del enunciado surge que el objetivo es encontrar la mezcla de
producción que maximice la contribución a los beneficios.
Definición de variables
La definición de variables puede hacerse como litros de materia prima que
ingresan para producir cada producto final o como litros de producto obteni-
dos al final del proceso.
Vamos a adoptar la primera definición y como el producto A puede hacerse por
dos métodos, entonces nuestras variables quedarán definidas como:
44
UNIDAD 2
45
UNIDAD 2
Como conclusión, por cada litro de materia prima procesada para producir el
producto A1, se obtienen 0,5814 lts. de producto final.
Por cada litro de materia prima se obtienen 0,5450 lts. de producto A2.
0,765 0,612
1 0,9 0,9 . 0,85 0,765 . 0,8
C1 C3 C4
46
UNIDAD 2
Resumiendo:
Costo variable de procesamiento = 19,152 XA1
Costo de la materia prima = 50 XA1
Costo total variable = (19,152 + 50) XA1 = 69,152 XA1
47
UNIDAD 2
48
UNIDAD 2
8. Restricciones de no negatividad
XA1 >= 0
XA2 >=0
XB >= 0
La solución óptima del problema indica que para lograr la máxima contribu-
ción a las utilidades, deberán utilizarse 2450,98 litros de materia prima destina-
das a producir únicamente el producto B, es decir que se deberán producir
1500 lts. de este producto.
De esta manera se obtiene una contribución total a las utilidades de $85497,55
siendo esta la máxima contribución posible dadas las condiciones actuales.
Del análisis de cada una de las restricciones y sus variables de holgura, pode-
mos decir que:
1. El centro de procesamiento 2 no se utiliza, esto es lógico ya que en él
solo se procesa la materia prima para producir el producto A.
49
UNIDAD 2
1
Realice usted el planteo definiendo a las variables como: litros de
cada producto obtenidos al final del proceso.
Confronte con la solución nº 1
Problema N° 2: La WT
Extraído del libro: “INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: Aplicaciones y Algoritmos”
de Wayne L. Winston. Grupo Editorial Iberoamérica. Edición en español. 1994.
50
UNIDAD 2
SOLUCION AL PROBLEMA DE LA WT
Objetivo: minimizar el costo total de satisfacer la demanda de los próximos
cuatro meses.
Definición de variables:
xt = pares de zapatos producidos en el mes t con trabajo normal.
yt = pares de zapatos producidos en el mes t con trabajo extra.
It = pares de zapatos en inventario al final del período t.
ht = trabajadores contratados al inicio del mes t.
ft = trabajadores despedidos al inicio del mes t.
wt = trabajadores disponibles en el mes t (después de las
contrataciones y de los despidos).
gt = horas extras que se trabajan durante el mes t.
1, mes 1
t= 2, mes 2
3, mes 3
4, mes 4
51
UNIDAD 2
Modelo matemático
Función objetivo:
Restricciones
52
UNIDAD 2
2
Describa el plan de producción óptimo para la WT, la política de
contrataciones de personal y de despidos para los próximos cuatro
meses. Utilice para su resolución cualquier software.
Confronte con la solución nº 2
“El entrenador Sam Jones está tratando de decidir qué jugadores de balon-
cesto deben participar en el entrenamiento a campo traviesa. Puede elegir
entre 11 jugadores, pero sólo debe llevar a 9. Sam desea maximizar el prome-
dio de puntos para el equipo que viaje, sujeto a varias restricciones.
Plantee un programa lineal para maximizar los puntos.
1) Debe haber, cuando menos, tres defensas (G)
2) Debe haber, cuando menos, tres delanteros (F)
3) Debe haber, cuando menos, dos medios (C)
4) Si va Stafford, Jacobson debe quedarse en casa, y viceversa.
5) Si Burton va, entonces el entrenador Jones desea llevar
también a Greve, pero no necesariamente lo contrario.
O’Koren G 12
Sims G 7
Scholle G 2
1 = Hanson 7 = Ford
2 = Stafford 8 = Davis
3 = Jacobson 9 = O’Koren
4 = Greve 10 = Sims
5 = Burton 11 = Scholle
6 = Ellwanger
Restricciones verbales:
El problema tiene seis restricciones, la primera de ellas contempla la situación
de que sólo pueden incluirse nueve jugadores en el equipo.
Las tres siguientes tienen en cuenta la cantidad de defensas delanteros y medios
que debe tener el equipo; y las dos últimas, situaciones particulares con respec-
to a algunos jugadores.
55
UNIDAD 2
Por último se incluyen las restricciones correspondientes a los valores que pue-
den tomar las variables.
Modelo matemático:
sa.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 = 9
x7 + x9 + x10 + x11 = 3
x4 + x5 + x6 + x8 =3
x1 + x2 + x3 =2
x2 + x3 =1
x4 - x5 =0
Productos
PI PII PIII Disponibilidad
Insumos
MPA 3 5 2 500 unid/mes
MPB 2 4 2 800 unid/mes
HMO 4 6 3 1200 hs./mes
Contr. utilid. 12 15 10
Vamos a suponer además que la empresa es tan afortunada que puede vender
todo lo que produce.
Planteamos el problema
Objetivo: Maximizar la contribución total a las utilidades mensuales.
Definición de variables:
x1 = unidades del PI a producir mensualmente.
x2 = unidades del PII a producir mensualmente.
x3 = unidades del PIII a producir mensualmente.
max. 12 x1 + 15 x2 + 10 x3
sa.
3 x1 + 5 x2 + 2 x3 <= 500
2 x1 + 4 x2 + 2 x3 <= 800
4 x1 + 6 x2 + 3 x3 <= 1200
x1, x2 y x3 >= 0
57
UNIDAD 2
Cj 12 15 10 0 0 0
CB B VLD x1 x2 x3 x4 x5 x6
Zj 0 0 0 0 0 0 0
Cj - Zj 12 15 10 0 0 0
ENTRA
58
UNIDAD 2
Cj 12 15 10 0 0 0
CB B VLD x1 x2 x3 x4 x5 x6
15 x2 100 3/5 1 2/5 1/5 0 0
0 x5 400 -2/5 0 2/5 -4/5 1 1
0 x6 600 2/5 0 3/5 -6/5 0 1
Zj 1500 9 15 6 3 0 0
C j - Zj 3 0 4 -3 0 0
Para producir una unidad del PI necesitamos 3 unid. de MPA, 2 unid. de MPB
y 4 HMO. Con las unidades de MPB y las HMO no hay inconvenientes, ya que
en este momento tenemos excedentes; no ocurre lo mismo con la MPA debido
a que -para el plan de producción actual-, se trata de un recurso limitante.
Es decir que si queremos producir una unidad del PI necesariamente debere-
mos dejar de fabricar de alguno o algunos de los otros productos -en este caso
del PII que es el único que estamos produciendo-, para así poder liberar unida-
des de MPA.
Al disminuir la producción del PII, para poder fabricar el PI, sufrirán también
modificaciones los excedentes de los otros insumos.
Todo este análisis, como así también la modificación que se producirá en el
objetivo, lo encontramos en la columna correspondiente a x1.
59
UNIDAD 2
cj 12
Cuánto se deberá disminuir la
CB B VLD x1 producción de PII para fabricar
una unidad de PI
15 x2 100 3/5
0 x5 400 -2/5 TASAS DE SUSTITUCION (λij)
0 x6 600 2/5
60
UNIDAD 2
Y λ31 = 2/5 indica que por cada unidad en que se incremente x1 el excedente de
HMO disminuirá en 2/5.
En cuanto a Zj expresa la contribución que se pierde por unidad que se
fabrica.
En nuestro caso Z1 = 9 nos dice que haciendo un cambio en el plan de produc-
ción para poder producir una unidad del PI tendrá un costo - expresado en
contribución a las utilidades que se pierde- de $ 9.
Comparando este «costo» con la contribución unitaria del PI podremos decidir
si nos conviene o no hacer el cambio, es decir:
C1 - Z1 = 12 - 9 = 3
61
UNIDAD 2
El valor de θ que cumpla con ambas, será el nuevo valor para x1.
Resolviendo:
3/5 θ <= 100 ==> θ = 100 . 5/3 = 166,667
2/5 θ <= 600 ==> θ = 600 . 5/2 = 1500
Vemos que el nuevo valor de x1 es 166.667
Utilizando todo lo que tenemos hasta ahora podemos conocer la solución com-
pleta.
Valores de las variables:
x1 = 166,667
x2 = 100 - 3/5 . 166,667 = 0
x3 = 0
x4 = 0
x5 = 400 - (-2/5) . 166,667 = 466,668
x6 = 600 - 2/5 . 166.667 = 533,332
El nuevo valor de Z:
Z = 1500 + 3 . 166,667 = 2000,01
3
Analice detenidamente la solución presentada y escriba una fórmu-
la que permita encontrar el valor de las variables y una para el
nuevo valor de Z.
Confronte con la solución N° 3
4
Encuentre una nueva solución - a partir de la solución dada origi-
nalmente - pero suponiendo que nos interese incrementar la pro-
ducción del PIII. Es mejor o peor que la anterior?
Confronte con la solución N° 4
62
UNIDAD 2
64
UNIDAD 2
Esto quiere decir que un precio dual positivo nos indica en cuánto mejora el
valor de la función objetivo ante un incremento del lado derecho; y aquí mejora
expresa que el valor objetivo crece en caso de máximo y decrece en caso de
mínimo.
De la misma manera un precio dual negativo representará la desmejora que se
produce en el valor de la función objetivo ante un incremento del VLD.
5
Con referencia al problema de la WT, utilice las salidas de cual-
quier software para responder las siguientes preguntas.
5. Dualidad
Podemos caracterizar la dualidad a través de la siguiente afirmación:
65
UNIDAD 2
66
UNIDAD 2
x1, x2 y x3 >= 0
Como dijimos antes, la empresa debería recibir como mínimo lo que obtiene si
los usa en su producción, así la contribución a las utilidades de cada producto
nos da un límite inferior para estos precios.
Es decir que si en lugar de fabricar una unidad del PI vendemos 3 unidades de
MPA, 2 unidades de MPB y 4 HMO, como mínimo debemos recibir la contri-
bución a las utilidades que proporciona dicho producto. Podemos expresar
esto de la siguiente manera.
3 y1 + 2 y2 + 4 y3 ≥ 12
67
UNIDAD 2
68
UNIDAD
SOLUCIONES A LAS
ACTIVIDADES DE PROCESO 2
1.
Resuelva con algún programa de computación y compruebe que los resultados
coincidan con los del planteo que está en la guía.
2.
Compruebe que el valor óptimo de Z sea:
Z* = 68075
3.
Xi = VLDi - θ λij
antiguo valor
nuevo valor
Z1 = Z0 + θ (Cj - Zj)
antiguo valor
nuevo valor
4.
0 = 250 X1 = 0
X2 = 100 - 2/5 . 250 = 0
X3 = 250
X4 = 0
X5 = 400 - 2/5 . 250 = 300
X6 = 600 - 2/5 . 250 = 450
Z = 1500 + 250 . 4 = 2500
5.
a) Sí
b) El nuevo valor de Z = $66700
c) El nuevo valor de Z = $68712,5
d) Los costos totales serían $53575 -- se reducen en $15500
69
UNIDAD 2
70
UNIDAD
ACTIVIDADES DE
AUTOEVALUACION 2
Como actividades de autoevaluación, le sugiero que realice todos los proble-
mas que figuran al final de los capítulos 4, 3 y 6 de la bibliografía obligatoria.
Recuerde que al final del libro encontrará la solución de todos los problemas
de numeración par.
2.
COMPUTER S.A. es una empresa de nuestro medio que se dedica a la fabri-
cación de componentes electrónicos para computadoras personales.
En este momento tiene que elaborar un plan de producción que le permita
cumplir con la demanda de circuitos electrónicos para los próximos cuatro
trimestres.
En la tabla siguiente se muestra la demanda estimada de circuitos:
TRIMESTRE UNIDADES
Primero 450
Segundo 400
Tercero 500
Cuarto 650
71
UNIDAD 2
72
UNIDAD
ACTIVIDAD OBLIGATORIA
Criterios de Evaluación 1
Criterios de Evaluación:
En esta actividad usted se encontrará con 6 items, los tres primeros son problemas
a resolver y los restantes incluyen aspectos teóricos.
En el item 4 se presentan preguntas opción múltiple en las que usted deberá marcar
la alternativa correcta justificando su respuesta.
El item 5 contiene cinco proposiciones que usted deberá analizar y en cada caso
decir si es verdadera o falsa, justificando su elección.
73
UNIDAD 2
74
PROGRAMACIÓN
DINÁMICA
UNIDAD
3
UNIDAD
3 ORIENTACION
DEL APRENDIZAJE
76
UNIDAD 2
Los contenidos están organizados con las relaciones que se reflejan en el si-
guiente esquema:
Esquema
Conceptual
77
UNIDAD 3
El texto que se recomienda para el estudio de esta unidad es que figura como
bibliografía obligatoria en la apertura de la materia; capítulo 18: Programa-
ción Dinámica. No obstante, al igual que en las unidades anteriores, usted
puede remitirse a cualquier libro de Investigación de Operaciones que aborde
la temática.
Para el estudio de esta unidad, comience con la guía analizando detenidamen-
te los temas 1 y 2 y luego diríjase al libro donde encontrará otros problemas
resueltos. Al tema 3 solo lo encontrará en la guía.
Por último recuerde: el éxito de su estudio radica en no apresurarse, no
pase al análisis del siguiente caso de interés, sin antes haber comprendido
completamente el anterior.
1.Conceptos Generales
En realidad la PD es un enfoque que nos permite encontrar la solución de
problemas grandes, descomponiéndolo en una secuencia de problemas más
pequeños y de esta manera encontrar la combinación de decisiones que optimice
la efectividad global.
Del análisis del párrafo anterior podemos concluir que para poder aplicar la
PD es imprescindible desarrollar cierta habilidad en la formulación y resolu-
ción de los problemas.
Buscando lograr esa cuota de habilidad vamos a basar esta unidad en ejem-
plos, algunos vamos a comentar aquí, otros los encontrará en la bibliografía y
otros deberá resolverlos usted.
Vayamos entonces a estudiar el primer gran ejemplo de esta unidad.
Tabla 1:
Ut i l i d a d e s ( mi l e s )
$ invertidos Al t e r n a t i v a Al t e r n a t i v a Al t e r n a t i v a
( mi l e s ) 1 2 3
0 0 0 0
1 7 6 7
2 8 10 8
3 9 12 13
4 11 14 15
79
UNIDAD 3
rado como un subproblema y cada uno de ellos define una etapa del proble-
ma.
Si bien no existe una secuencia fija entre ellas vamos a considerar, para una
mejor comprensión, un orden cronológico. De esta manera:
Etapa 3:
x3 d3* f(x3* )
$ disponibles Decisión Rendimiento
p/invertir óptima
0 0 0
1 1 7
2 2 8
3 3 13
4 4 15
80
UNIDAD 3
Etapa 2:
Recuerde que los valores de x2 ó estados representan el dinero disponible
para invertir en la opción 2 ó etapa 2 y los valores para d2 ó decisión expresan
los diferentes montos que podemos destinar a inversión en la alternativa 2.
d2 0 1 2 3 4 f2* (x 2) d2 *
x2
0 0 0 0
1 0+7=7 6+0=6 7 0
2 0+8=8 6+7=13 10 13 1
3 13 14 17 12 17 2
4 15 19 18 19 14 19 1-3
Analicemos los valores que figuran en la fila que corresponde a una cantidad
de dinero disponible de $ 1 mil.
Si tenemos $ 1 mil disponibles, existen dos alternativas de decisión posibles a
saber:
1. No invertimos nada en esta opción - d2 = 0 -.Si no invertimos nada en
esta etapa, entonces dejamos los $1 mil para invertir en la etapa 3. Para
este caso, el rendimiento será:
Rend. opc. 2 j $0 j no invertimos nada
Rend. opc. 3 j $7 j invertimos $ 1 mil
Rend. Total j $7
Para este estado, es decir esta cantidad de dinero disponible, la mejor alterna-
tiva de decisión es d2 = 0 con un rendimiento total de $ 7 mil.
81
UNIDAD 3
Etapa 1:
Al considerar la etapa 1 tengamos en cuenta que, como estamos al inicio del
proceso de decisión, el único estado posible es 4, es decir que en este momen-
to tenemos $ 4 mil disponibles para inversión.
d1
x1 0 1 2 3 4 f(x) d1*
4 19 7+17=24 21 16 11 24 1
Rendimiento máximo
82
UNIDAD 3
f3(x3) = r3 (d3) f2(x2) = r2(d2) + f3* (x2 - d2) f1(x1) = r1(d1) + f2*(x1 - d1)
Dónde:
fn (xn) = rendimiento en la etapa n para el estado xn
83
UNIDAD 3
En general:
fn (xn ) = rn (dn ) + fn+1 (xn - dn )
5. Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es
independiente de la política adoptada en estados anteriores.
Este es el principio de optimidad.
Dado el dinero disponible en esta etapa la política de inversión óptima desde
aquí en adelante, es independiente de cómo se llegó a este estado.
Este principio es el marco teórico que fundamenta la metodología de la PD.
85
UNIDAD 3
1
Resuelva el siguiente problema:
Un organismo no gubernamental dedicado
a la prevención de una cierta enfermedad debe planificar su cam-
paña de publicidad televisiva para los meses de enero, febrero,
marzo y abril.
86
UNIDAD 3
"Una compañía posee una máquina expendedora con dos años de uso en un
cierto lugar. En la tabla se dan las estimaciones de mantenimiento, costo de
reemplazo e ingresos (todo en dólares) para cualquier máquina en este sitio,
en función de la edad de la máquina.
Edad x
0 1 2 3 4 5
Ingreso, I(x) 10000 9500 9200 8500 7300 6100
Mantenimiento M(x) 100 400 800 2000 2800 3300
Reemplazo R(x) —— 3500 4200 4900 5800 5900
___________________________________
0 1 2 3 4 5 6
1º 2º 3º 4º
1. Las etapas del problema son cada uno de los próximos cuatro años.
2. Los estados en cada etapa son las posibles edades de la máquina al inicio
de cada año.
3. Las variables de decisión en cada etapa pueden definirse como las alter-
nativas de CONSERVAR o REEMPLAZAR la máquina.
88
UNIDAD 3
_______________________________
0 2 3 4 5 6
etapa 4
x CONSERVAR REEMPLAZAR f (x ) d*
89
UNIDAD 3
Etapa 3: con el mismo razonamiento que en la etapa anterior, las edades posi-
bles de la máquina son 1, 2 ó 4 años.
Veamos cómo se calculan los resultados de conservar o reemplazar para el
caso de que la máquina tenga 1 año al inicio de la etapa 3.
Si la máquina tiene 1 año al inicio de la etapa y decidimos conservarla, tendre-
mos un ingreso de $9500 con un gasto de mantenimiento de $ 400, a esto
debemos sumarle el beneficio óptimo de entrar al año siguiente (etapa 4) con
una máquina de 2 años de antigüedad -que es $8400- . El beneficio que tendre-
mos si tomamos esta decisión será de $17500.
Si nuestra decisión es cambiarla, tendremos un ingreso de $10000 con un gas-
to de mantenimiento de $100 y con costo por el reemplazo de $3500; como
vamos a comenzar el año siguiente con una máquina de 1 año, le sumamos el
beneficio óptimo correspondiente a este estado para la etapa 4, es decir $9100.
Etapa 2:
x2 CONSERVAR REEMPLAZAR f*2 (x2 ) d*2
1 24000
3 REEMPLAZAR
90
UNIDAD 3
Etapa 1:
x1 CONSERVAR REEMPLAZAR f*1 (x1) d*1
2 30900
De acuerdo a los resultados que arrojan las tablas, para lograr el beneficio de
$30900 en los próximos 4 años, comenzando con una máquina de 2 años, la
empresa deberá conservarla por un año más, luego reemplazarla por una nue-
va y conservarla por el resto del período.
La decisión óptima en la etapa n se encuentra a partir de:
91
UNIDAD 3
Hagamos un replanteo.
¿Qué hay de nuevo en este caso?
Sin duda la novedad radica en que ahora la consecuencia se representa me-
diante funciones. Esto es sumamente habitual en problemas de programación
dinámica y en aplicaciones reales.
¿Cómo se resuelven estas situaciones?
Existe la posibilidad de realizar para cada nueva etapa una combinación de
funciones y obtener una resolución analítica. Sin embargo en la práctica se
hace conveniente buscar un camino más directo y se resuelve el problema
discretizando.
Es decir que para cada etapa se calculan las consecuencias para 4, 5, a lo sumo
6 estados, y con esos valores se resuelve igual que en los casos anteriores.
En este caso vamos a resolver el problema discretizando en unidades de 100
Hm3. Esto es, entregaremos 100, 200 ó 300, no contemplando la posibilidad
de entregas intermedias como 125 ó 231.
Por lo tanto nuestra tabla de consecuencias es:
A R1 (Set.) R2(Oct) R3(Nov.)
1 6 3 1
2 8 6 5
3 10 9 9
4 12 12 13 -3 + 4 . 4 = 13
5 14 15 17
6 16 18 21
4 + 2.5 = 14 3. 5 = 15
Ahora bien, por una cuestión política vamos a entregar al menos 100 Hm3 por
mes. Es decir, descartamos la posibilidad de no entregar nada. No deseamos
que los regantes protesten por dejarlos totalmente sin agua.
Lo planteamos ahora en fórmulas, en este caso el objetivo es:
92
UNIDAD 3
∑d
j =1
j =6
Dejemos las cosas aburridas, vayamos a la resolución.
x3 f*3 d*3
1 1 1
2 5 2
3 9 3
4 13 4
93
UNIDAD 3
Por lo tanto, el máximo que se puede obtener en los tres meses es de 22000
Toneladas. Ese resultado se consigue entregando 100 Hm3 en setiembre, otros
100 en octubre y los 400 restantes en diciembre.
mayor complejidad que los tratados en esta Unidad, cuente con la posibilidad
de dirigirse a una biblioteca especializada para buscar variantes que enrique-
cen la PD, sin apartarse del algoritmo que se acaba de presentar.
Algunas de las posibilidades no tratadas en la bibliografía básica son:
CONCEPTOS IMPORTANTES
Etapa: cada uno de los subproblemas en los cuales se divide un
problema de
PD.
Variable de decisión (d ): representan a las acciones posibles a
n
tomar en la etapa n.
Variable de estado ( x ): sirven de enlace entre las
n
etapas,describiendo la
condición en que se encuentra el proceso al inicio de cada una de
ellas.
Función de transformación por etapas : enlaza a las variables
de estado de
etapas sucesivas - x x -permitiendo identificar a la variable de
n n-1
estado x utilizando el valor de x y la decisión d .
n-1 n n.
96
UNIDAD 3
RECOMENDACIONES ÚTILES:
97
UNIDAD
3 SOLUCIONES A LAS
ACTIVIDADES DE PROCESO
98
UNIDAD
ACTIVIDADES DE
AUTOEVALUACION 3
1. Recuerde que usted puede realizar todos los problemas que se encuentran al
final del capítulo dedicado a P.D. de la bibliografía básica. Le sugerimos
que como mínimo trabaje con los problemas que tienen las respuestas al
final del libro.
2.Realice un programa de computadora que le permita resolver el ejemplo
tratado como «primer caso de interés», utilizando el algoritmo de progra-
mación dinámica.
3. Realice un programa de computadora que le permita resolver el ejemplo
tratado como «segundo caso de interés», utilizando el algoritmo de pro-
gramación dinámica.
4.-Problema extraído del libro: Investigación de Operaciones de Richard
Bronson. Editorial: McGraw-Hill, 1983.
Unidades producidas 0 1 2 3 4
Costo 4 13 19 27 32
99
UNIDAD 3
100
PROCESO ANALÍTICO
JERÁRQUICO
(AHP Ó PAJ)
UNIDAD
4
UNIDAD
4 ORIENTACION
DEL APRENDIZAJE
Esquema
Conceptual
103
UNIDAD 4
¿Qué es el AHP?
Consideremos el siguiente ejemplo de toma de decisiones para el análisis de
esta temática.
En muchas industrias, en cada línea de producción se forma un grupo de tra-
bajo que tiene como objetivo lograr una mejora continua de la calidad.
La modalidad de trabajo consiste en reunir al grupo y elaborar una lista de
problemas a tratar en el cumplimiento de su objetivo.
Vamos a suponer que ellos son los problemas A, B y C.
A continuación la pregunta es, ¿por cuál empezar?, Es decir ¿cuál de ellos es
prioritario?
Para lograr una mejora en la calidad se actúa sobre tres aspectos:
* Precio y esto implica mejorar costos
* Prestaciones
*Confiabilidad, es decir duración del producto.
MEJORA DE CALIDAD
0,3
0,5
0,2
0,4
0,3
0,6
0,2
0,2
0,4
0,3
0,3
A B C A B C A B C
MEJORA DE CALIDAD
0,3
0,5
0,2
0,4
0,3
0,6
0,2
0,2
0,4
0,3
0,3
A B C A B C A B C
105
UNIDAD 4
1
Juan está buscando trabajo y desea tomar una decisión entre tres
ofertas (A, B y C). Al momento de elegir, Juan tiene en cuenta tres
criterios en el análisis de su decisión, que son: remuneración, ubi-
cación geográfica y posibilidad de crecimiento.
A B C
A 1 ¼ 1/5
B 4 1 ½
C 5 2 1
107
UNIDAD 4
Respecto al CRECIMIENTO:
A B C
A 1 7 9
B 1/7 1 5
C 1/9 1/5 1
“1. Antes de usar el proceso se debe comprobar que quien toma decisio-
nes, crea que los objetivos sean mutua y preferencialmente indepen-
dientes.
2. Es arbitraria la escala de nueve puntos para medir preferencias. Por
ejemplo, si a13 = 7 y a34 = 8, entonces a14 = 56, lo cual es imposible
porque a14 no puede ser mayor que 9.
3. Si se agrega otra opción puede cambiar la clasificación de las opciones
originales.
109
UNIDAD
4 SOLUCIONES A LAS
ACTIVIDADES DE PROCESO
1) Vector de prioridades:
Beneficios 0,63
Ubicación 0,11
Posibilidades 0,26
A 0,30
B 0,47
C 0,23
110
UNIDAD
ACTIVIDADES DE
AUTOEVALUACION 4
Al igual que en las unidades anteriores usted puede realizar todos los proble-
mas relacionados al PAJ y de numeración par, ya que estos tienen sus respues-
tas al final del libro.
Le sugerimos además los siguientes problemas:
Para Investigación
Profesor 1 Profesor 2
Profesor 1 1 1/3
Profesor 2 3 1
Para Servicios
Profesor 1 Profesor 2
Profesor 1 1 6
Profesor 2 1/6 1
111
UNIDAD 4
112
UNIDAD
ACTIVIDAD OBLIGATORIA
Criterios de Evaluación 2
Criterios de Evaluación:
113
UNIDAD 4
114
CL AAVE
VE DE
RESPUEST
ESPUESTAS AS
UNIDAD
CLAVE DE
LAVE
RESPUEST AS
ESPUESTAS
1. Comparre con alguna de las definiciones que propone el texto. Verifique que en
su definición haya incluido la condición de que tanto la función objetivo como las
restricciones deben ser lineales.
2. Compare lo que usted escribió con lo que dice el autor del texto.
3. Aseguran la linealidad de las funciones del modelo.
5.
Maximizar c1 x1 + c2 x2 + ..... +cn xn
sujeto a
a11 x1 + a12 x2 + ....... + a1n xn <= b1
a21 x1 + a22 x2 + ....... + a2n xn <= b2
a31 x1 + a32 x2 + ....... + a3n xn <= b3
. . . .
. . . .
. . . .
7. Una solución factible básica es una solución factible que tiene como máximo m
valores positivos y los restantes son nulos.
8.
B C Los puntos A, B, C, D, y E son las
soluciones factibles básicas.
D Todos los puntos del polígono de
soluciones -incluidoslos vértices- son
soluciones factibles.
A E
116
CLAVE DE RESPUESTAS
10. a) NO
b) SI
c) NO
d) SI
e) NO
11.a.
117
CLAVE DE RESPUESTAS
11.b.
118
CLAVE DE RESPUESTAS
11.c.
119
CLAVE DE RESPUESTAS
12.a.
120
CLAVE DE RESPUESTAS
12.b.
121
CLAVE DE RESPUESTAS
12.c.
13. Controle las soluciones de los problemas con la ayuda de algún software que
resuelva programas lineales.
122
CLAVE DE RESPUESTAS
X1 y X2 >= 0
S1 = 175 en este departamento quedan sin utilizar 175 hs. del total disponible.
S2 = 0 se utilizan todas las horas disponibles.
S3 = 0 se utilizan todas las horas disponibles.
max 3 X1 + 3 X2
sa
3/5 X1 + 3/4 X2 <= 900
2/5 X1 + 1/4 X2 <= 400
X2 <= 500
X1 y X2 >= 0
123
CLAVE DE RESPUESTAS
a) min 8 X1 + 3 X2
sa
50 X1 + 100 X2 <= 1200000
5 X1 + 4 X2 >= 60000
X2 >= 3000
X1 y X2 >= 0
b) X1 = 75 X2 = 75 Z = $6750
2-29.-
a) X1 = número de automóviles
X2 = número de camionetas
max 40 X1 + 30 X2
sa
2/5 X1 + 1/2 X2 <= 20
1/5 X2 <= 5
3/5 X1 + 3/10 X2 <= 21
X1 y X2 >= 0
5-5.-
X2
10
B
6
C
0 A 10 D X 1
Punto A : X1 = 0 X2 = 0
Punto B : X1 = 0 X2 = 6
Punto C : X1 = X2 =
Punto D : X1 = 10 X2 = 0
5-7.- x2
x1 = 0
x2 = 200 x1 = 200
x2 = 133 1/3
500 600 x1
x1 = 0 x1 = 200
x2 = 0 x2 = 0
125
CLAVE DE RESPUESTAS
5-9.-
X1 = 25
X2 = 20
Z = 1600
5-19.-
X1 X2 X3 X4 S1 S2 A1 A3 VLD
Base CB 4 2 -3 5 0 0 -M -M
A1 -M 2 -1 1 2 -1 0 1 0 50 50/2
S2 0 3 0 -1 2 0 1 0 0 80 80/2 sale
A3 -M 1 1 0 1 0 0 0 1 60 60/1
Zj -3M 0 -M -3M M 0 -M -M -110M
Cj-Zj 3+3M 2 -3+M 5+3M -M 0 0 0
entra
entra
X1 = 8 X2 = 0 Z= 24
X1 = 4 X2 = 4 Z = 24
Esta última solución es una solución posible óptima No Básica, es decir que
este punto se encuentra entre los dos puntos extremos (vértices) óptimos y se lo
obtiene mediante una combinación lineal convexa de ellos.
1= 0,5 y 2 = 0,5
1 (8 , 0) + 2 (0 , 8) = 0,5 (8 , 0) + 0,5 (0 , 8) = (4 , 4)
126
CLAVE DE RESPUESTAS
X1 = 4 X2 = 0 X3 = 0 Z = 24
X1 = 4 X2 = 0 X3 = 8 Z = 24
127
UNIDAD
2 CLAVE DE
LAVE
RESPUEST AS
ESPUESTAS
1)
4-17
Xi = horas de inspección asignadas a cada inspector por día.
1 - Davis
i = 2 - Wilson
3 - Lawson
X1 , X2 , y X3 >= 0
3.11 .-
a) X1 = 500
X2 = 150
S1 = 175
S2 = 0
S3 = 0
Z = 3700
c) Para las horas de Terminado $3.- Este valor indica que por cada hora adicional
en que se incremente la disponibilidad de esta sección la contribución total cre-
cerá en $3 y por lo tanto este valor nos está dando el precio extra hasta el cual
estaríamos dispuestos a pagar por conseguir horas adicionales en este departa-
mento.
Para las horas de Empaque y embarque este valor es de $28.-
128
CLAVE DE RESPUESTAS
3-15.-
a) 300 automóviles y 100 camionetas. La contribución total a las utilidades será
de $170000.-
c) Sí
Para X2
600 - 500 = 100 50/100 = 0,50 o 50%
3-23.-
a) La tarifa por hora es de $12 entonces por minuto será de $0,2
Se recomienda la contratación de tiempo extra, ya que por cada minuto adi-
cional en el departamento Costura la contribución a las utilidades se incrementará
en $0,333 y si el costo del minuto es de $0,2, entonces el incremento neto por
cada minuto adicional será de $0,133
d) Este incremento está dentro del intervalo de factibilidad que nos proporciona el
análisis de sensibilidad, entonces la solución no cambiará.
El nuevo valor de la función objetivo será:
4000 + (1) 1000 = 5000
129
CLAVE DE RESPUESTAS
2)
Restricciones:
Las restricciones se relacionan a la capacidad de producción por trimestre en
tiempo normal y tiempo extra y a las demandas de cada trimestre.
Definición de variables:
Xi = cantidad de circuitos electrónicos producidos en tiempo normal en el trimes-
tre i.
Yi = cantidad de circuitos electrónicos producidos en tiempo extra en el trimestre
i.
Ii = cantidad de circuitos electrónicos que quedan en inventario al final del tri-
mestre i.
Modelo matemático
Min Z = 15 X1 + 15 X2 +15 X3 + 15 X4 + 20 Y1 + 20 Y2 + 19 Y3 + 19 Y4
+ 2 I1 +
2 I2 + 2 I3 + 2 I4
sa.
0,85 X1 + 0,75 Y1 - I1 + 100 = 450
0,85 X2 + 0,75 Y2 + I1 - I2 = 400
0,85 X3 + 0,75 Y3 + I2 - I3 = 500
0,85 X4 + 0,75 Y4 + I3 - I4 = 650
X1 <= 300
X2 <= 300
X3 <= 400
X4 <= 400
Y1 <= 500
Y2 <= 500
Y3 <= 500
Y4 <= 500
Xi , Yi , Ii >= 0
130
UNIDAD
CLAVE DE
LAVE
RESPUESTAS
ESPUESTAS 3
2. y 3. Deben coincidir con los resultados manuales.
5.- Existe más de una política óptima con un costo mínimo de $128.
n =1 CONSERVAR
n=2 CONSERVAR
n=3 REPARAR
n=4 CONSERVAR
n=5 REPARAR
131
UNIDAD
4 CLAVE DE
LAVE
RESPUEST AS
ESPUESTAS
1.
132
A CTIVIDADES
OBLIGA
BLIGATTORIAS
A CTIVIDAD OBLIGATORIA N 1
BLIGAT
Correspondiente a las unidades 1 y 2
A CTIVIDAD OBLIGATORIA N 2
BLIGAT
Correspondiente a las unidades 3 y 4
ACTIVIDADES OBLIGATORIAS
134
N mero
A CTIVIDAD
OBLIGATORIA
BLIGAT 1
Criterios de Evaluación:
x1 , x2 0
21
18
12
0
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33
135
ACTIVIDADES OBLIGATORIAS
Punto x1 x2 S1 S2 S3 S4
2.- Química Sol SA produce dos fertilizantes A y B. Se pueden fabricar por dos
procesos manufactureros diferentes. El proceso I requiere 2 horas de mano de
obra y 1 Kg. de materia prima para producir 200 grs. de A y 100 grs. de B. El
proceso II requiere 3 horas de mano de obra y 2 kg. de materia prima para produ-
cir 300grs. de A y 200 grs. de B. En la figura se muestran en forma esquemática los
dos procesos.
200grs A
Proceso I
1 Kg. de Mat. Prima
100grs B
300grs. A
Proceso II
2 Kg. de Mat. Prima
200grs. B
136
ACTIVIDADES DE OBLIGATORIAS
137
ACTIVIDADES OBLIGATORIAS
X1 .000000 .050000
X2 25.000000 .000000
X3 125.000000 .000000
X4 .000000 3.500000
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
138
ACTIVIDADES DE OBLIGATORIAS
139
5.- Responda Verdadero o Falso, JUSTIFICANDO SU RESPUESTA.
A CTIVIDAD
OBLIGATORIA
BLIGAT 2
Criterios de Evaluación:
1.- Para mejorar sus ingresos Tomás ha decido destinar parte del terreno de su
granja para sembrar vegetales. Planea plantar tres tipos de ajíes: verdes, rojos y
amarillos. El huerto, que mide 10 x 20, esta dividido en hileras de 20 metros de
largo cada una. Las hileras de ajíes verdes y rojos tienen dos metros de ancho cada
una y las de pimientos amarillos deben ser de tres metros de ancho. Debido a la
diferente productividad de las plantas, Tomás ha estimado que cada hilera de ajíes
verdes le producirá un ingreso de $100 y el ingreso de cada hilera de ajíes rojos y
amarillos será de $70 y $50 respectivamente. Ha decidido además que deberá
plantar por lo menos una hilera de ajíes verdes y no más de tres de los amarillos.
a) Utilice la programación dinámica para determinar cuántas hileras de cada
tipo de ají debe plantar Tomás para maximizar sus ingresos.
b) Identifique la fórmula recursiva utilizada.
2.- Explique cómo reconoce usted un problema que puede ser resuelto con Pro-
gramación Dinámica.
situado en una zona de parques y paseos verdes. Atiende los fines de semana y
feriados y se caracteriza por vender comidas de calidad y altos precios.
La otra posibilidad (A3) es un restaurante vegetariano en el Patio de Comidas de un
Shopping.
Como no está seguro cuál es la mejor alternativa, decide analizar la situación en
términos de los diferentes criterios que influyen en su decisión:
"El atractivo del lugar es moderadamente más importante que el riesgo finan-
ciero".
"El grado de estrés es entre moderada a fuertemente más importante que el atracti-
vo del lugar y además es fuertemente más importante que el riesgo financiero".
Con respecto a la comparación de las alternativas entre sí, las matrices de compa-
142
ACTIVIDADES DE OBLIGATORIAS
Grado de estrés
A1 A2 A2
A1 1
A2 3 1 3
A3 2 1
Riesgo financiero
A1 A2 A2
A1 1
A2 2 1
A3 7 5 1
143
ACTIVIDADES OBLIGATORIAS
144
Facultad de Educación a Distancia
Objetivos
Contenidos
I
Unidad 3: Programación Dinámica
1. Conceptos Generales.
2. Características comunes a la mayor parte de las aplicaciones de la Programación Dinámica.
2.1. Primer caso de interés: Política de Inversiones
2.2. Segundo caso de interés: Reemplazo de Equipos
2.3. Tercer caso de interés: Distribución de Agua
3. Otras situaciones en Programación Dinámica.
BIBLIOGRAFÍA
ANDERSON David R., SWEENEY Dennis J. y WILLIAMS Thomas A. Introducción a los modelos cuanti-
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