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    Calculo Diferencial1

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    Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Incluye 7 ejercicios que implican calcular derivadas de funciones utilizando definiciones, reglas y GeoGebra. También incluye 2 problemas de aplicación que implican encontrar aceleraciones y máximos/mínimos utilizando derivadas.

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    Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Incluye 7 ejercicios que implican calcular derivadas de funciones utilizando definiciones, reglas y GeoGebra. También incluye 2 problemas de aplicación que implican encontrar aceleraciones y máximos/mínimos utilizando derivadas.

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    de 3

    A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este

    grupo de trabajo.
    𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
    1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim
    ℎ→0 ℎ

    Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

    Ejercicio 1 Estudiante 3

    𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥

    [3(𝑥 + ℎ)2 − (𝑥 + ℎ)] − [3𝑥 2 − 𝑥]


    lim
    ℎ→0 ℎ
    [3(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 𝑥 + ℎ] − [3𝑥 2 − 𝑥]
    lim
    ℎ→0 ℎ
    3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 𝑥 + ℎ − 3𝑥 2 + 𝑥
    lim
    ℎ→0 ℎ
    3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 𝑥 + ℎ − 3𝑥 2 + 𝑥
    lim
    ℎ→0 ℎ
    6𝑥ℎ + 3ℎ2 + ℎ
    lim
    ℎ→0 ℎ
    ℎ(6𝑥 + 3ℎ)
    lim
    ℎ→0 ℎ
    lim 6𝑥 + 3ℎ
    ℎ→0

    𝑓´(𝑥) = 6𝑥

    En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

    2. Estudiante 3

    𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 2)(2𝑥 3 − 𝑥)

    3. Estudiante 3

    𝑥3 − 1
    𝑓(𝑥) =
    √𝑥 − 1
    4. Ejercicio 4 Estudiante 3
    𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 5𝑥)3 . (𝑥 2 − 2)2𝑥
    2𝑥(2𝑥)
    𝑓(𝑥) = 3(3𝑥 2 − 5𝑥)2 (6𝑥 − 5)(𝑥 2 − 2)2𝑥 + (3𝑥 2 − 5𝑥)3 (𝑥 2 − 2)2𝑥 (2 ln(𝑥 2 − 2) +
    𝑥2 − 2

    5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.


    Estudiante 3
    𝑥 4 + 3𝑦 3 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2

    6. Calcule las siguientes derivadas de orden superior.


    Estudiante 3

    Derivada de orden superior 𝑓 ′′ (𝑥) =?

    Ejercicio 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + √𝑥

    𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 𝑥 1/2
    1
    𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 4𝑥 + 𝑥 −1/2
    2
    1
    𝑓 " (𝑥) = 12𝑥 2 + 4 − 𝑥 −3/2
    4
    1 1
    𝑓 " (𝑥) = 12𝑥 2 + 4 − ( 3/2 )
    4 𝑥
    1
    𝑓 " (𝑥) = 12𝑥 2 + 4 −
    4𝑥 3/2

    7. Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las
    pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada
    (ver contenido derivadas en GeoGebra).

    Estudiante 3

    a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥

    b. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥

    PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

    Estudiante 3
    A. Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado por 𝑥(𝑡) = 40 − 𝑡 2 + 6𝑡 donde
    x se da en metros y t está dado en segundos, con 𝑡 ≥ 0,

    a. Encuentre una expresión para la aceleración de la partícula.

    b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=8s

    1
    B. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) = 𝑥 4 − 5𝑥 + 3
    6

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