Ecuaciones Diferenciales Trabajo Final

ECUACIONES DIFERENCIALES- PROFESOR FERNANDEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN

MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y

ELECTRICA
TRABAJO FINAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Profesor: Fernandez
Turno: martes 4-7, jueves 4-6
ALUMNO:
Medina Zapata, Luis Andres 18190148
07-2019
3
TABLA DE CONTENIDO:
Practica 1…………………………………………………………………………….pag 5.
Practica 2…………………………………………………………………………….pag 14 .
Practica 3…………………………………………………………………………….pag 25.
Practica 4…………………………………………………………………………….pag 40.
Practica 5…………………………………………………………………………….pag 66.
Practica 6…………………………………………………………………………….pag 80 .
Practica 7…………………………………………………………………………….pag 89.
Practica 8…………………………………………………………………………….pag 102 .
Practica9…………………………………………………………………………….pag 146.
Practica 10………………………………………………………………………….pag168.
Practica 11………………………………………………………………………….pag 183.
Practica a mano…………………………………………………………………….pag 188.
PRACTICA N 1
4
I) Soluciones de ecuaciones diferenciales

1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las
constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación
diferencial.
y = C1senx + C2 x
a) es solución de (1 - xctgx) y �
�- xy�
+ y=0
Solución:
y=C 1 Senx +C 2 x
= C1cosx + C2
y�
y�
�= -C1Senx
(1 - x c tgx) y�
�= (1 - xctgx )(-C1Senx) = -C1senx + C2 x cos x ……….. (1)
- xy �
= - x(C1cosx + C2 ) = - xC1cosx - C2 x ……………………………….…. (2)
y=C 1 Senx +C 2 x ………………………………………….………………………….. (3)
Sumamos (1), (2) y (3)

(1 - x c tgx) y�
�- xy�
+ y = -C1senx + C1 x cos x - C1 x cos x - C2 x + C1senx + C2 x (1 - x c tgx) y�
�- xy�
+ y =0
x x −x 2 x
b) y=C 1 e +C 2 xe + C3 e +2 x e es solución de y�
�
�- y�
�- y�
+ y = 8e x
Solución:
y=C 1 e x +C 2 xe x + C3 e− x +2 x 2 e x
= C1e x + C2 e x + C2 xe x - C3e - x + 4 xe x + 2 x 2e x
y�
y�
�= C1e x + C2e x + C2e x + C2 xe x + C3e - x + 4e x + 4 xe x + 4 xe x + 2 x 2e x
y�
�
�= C1e x + C2 e x + C2e x + C2e x + C2 xe x - C3e - x + 4e x
+4e x + 4 xe x + 4e x + 4 xe x + 4 xe x + 2 x 2e x .......……………………… (1)

- y�
�= -C1e x - C2 e x - C2e x - C2 xe x - C3e - x - 4e x
2W
-4 xe x - 4 xe x - 2 x 2 e x ……………………..…………………………………. (2)
= -C1e x - C2 e x - C2 xe x + C3e- x - 4 xe x - 2 x 2e x
- y�
…………… (3)
y=C 1 e x +C 2 xe x + C3 e− x +2 x 2 e x …………………………………….. (4)
5
Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)

-x
+ y = C1e + C2e + C2e + C2e + C2 xe - C3e
x x x x x
y�
�
�- y�
�- y�
+4e x + 4e x + 4 xe x +4e x + 4 xe x + 4 xe x + 2 x 2 e x
-C1e x - C2 e x - C2 e x - C2 xe x - C3e - x -4e x - 4 xe x
-x
-4 xe x - 2 x 2 e x -C1e - C2 e - C2 xe + C3e
x x x
-x
-4 xe x - 2 x 2e x +C1e + C2 xe + C3e + 2 x e
x x 2 x
y�
�
�- y�
�- y�
+ y = 8e x
x
2) Demostrar que y=2 x+Ce es la solución de la ecuación diferencial, y
- y = 2 - 2x
y� hallar la solución particular para x=0, y=3 ( esto es la
ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))
3)
Solución:
x
y=2 x+Ce
= 2 + Ce x …………………… (1)
y�
- y = -2 x - Ce x ……………… (2)
Luego sumamos (1) y (2)

- y = 2 + Ce x - 2 x - Ce x
y�
- y = 2 - 2x
y�
( x, y ) = (0,3) 3 = 2(0) + Ce0 � C =3
La ecuación de la curva integral es: y = 2 x + 3e x
4) Demostrar que y=C 1 e x +C 2 e 2 x + x es solución de y�

�- 3 y�
+ 2 y = 2x - 3 y
hallar la ecuación de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)
Solución:
y=C 1 e x +C 2 e 2 x + x
= C1e x + 2C2 e2 x + 1
y�
y�
�= C1e x + 4C2 e2 x
………………….…… (1)
-3 y �
= -3C1e x - 6C2e 2 x - 3
…….…… (2)
2 y = 2C1e x + 2C2 e2 x + 2 x
….………… (3)
6
Luego sumamos (1), (2) y (3)

+ 2 y = C1e + 4C2 e -3C1e - 6C2 e - 3 +2C1e + 2C2e + 2 x
x 2x x 2x x 2x
y�
�- 3 y�
y�
�- 3 y�
+ 2 y = 2x - 3
( x, y ) = (0, 0) 0 = C1e0 + C2e 2(0) + 0
0 = C1 + C2 � C2 = -C1
( x, y ) = (1, 0) 0 = C1e1 + C2 e2(1) + 1
0 = C1e - C1e 2 + 1 � C1e(e - 1) = 1
1 1
C1 = C2 = -
e(e - 1) � e(e - 1)
ex e2 x
y= - +x
La ecuación de la curva integral es: e(e - 1) e(e - 1)
2
Demostrar que ( y−C ) =Cx es la primitiva de la ecuación diferencial
4 xy�
�+ 2 xy�
- y = 0 y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por
el punto (1,2)
Solución:
C
y−¿
¿
¿
+¿
−¿ ¿
y−C=¿ √ Cx
+¿
−¿ ¿
1 √C
+¿ ( ) =
2 √x ¿2 √x
¿
−¿
√ C∗¿ ¿
y' =¿
+¿ (−1
2 x√ x )
−¿¿
y '' = √
C
¿ 2
+¿
¿
−¿
''
y =
√2
¿4 x √x
7
Remplazando en la ecuación diferencial:

+¿
−¿ ¿
+¿
¿
−¿
+¿
−¿ ¿
¿ √ Cx+ C=0
√C −¿
¿ √
2 x
√ C +2 x ¿
¿4 x √x
4 x¿
' '
4 x y + 2 x y − y=0
2−C ¿2=C → 4−4 C+C 2=C
x , y=(1.2)→¿
¿
C2 −5C +4=0→ C=4, C=1
y−4 ¿2=4 x
Y −1 ¿2=x , ¿
∴¿
= y es
5) La primitiva de la ecuación diferencial xy� y=Cx . Hallar la ecuación
de la curva integral que pasa por el punto (1,2)
Solución:
y=Cx
=C
y� � = xC
xy �
=y
xy �
( x, y ) = (1, 2) � 2 = C (1) � C=2
La ecuación de la curva integral es: y = 2x
y = C1cosx + C2 senx y, y = Acos ( x + B ) son primitivas de

6) Comprobar que
y�
�+ y = 0 demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una
sola.
Solución:
y = C1cosx + C2 senx
= -C1senx + C2 cos x
y�
y�
�= -C1Cosx - C2 Senx …………………….. (1)
8
y = C1cosx + C2 senx ………..…………………(2)
Luego sumamos (1) y (2)

y�
�+y= -C1Cosx - C2 Senx +C1cosx + C2 senx
y�
�+y=0
y = Acos ( x + B)
= - Asen( x + B)
y�
y�
�= - Acos( x + B) ………………. (3)
y = Acos ( x + B) …………….…..…(4)
y�
�+y= - Acos ( x + B ) + Acos ( x + B )
y�
�+y=0
y = C1cosx + C2 senx y y = Acos ( x + B ) son, en realidad,

Demostraremos que
una sola.
y = Acos ( x + B )
y = A cos x cos B - AsenxsenB
Como AcosB y AsenB son constantes, pueden asumir el valor de

C1 = AcosB � C2 = - AsenB
y = C1cosx + C2 senx = Acos ( x + B )
y2
ln ( x 2 )+ln ( )= A +x 2 x
7) Demostrar que x2 se puede escribir así y =Be
Solución:
y2
ln ( x 2 )+ln ( )= A +x
x2
y2
ln( x 2 . )= A+x
x2
2
ln( y )= A+ x
A+ x 2
e =y
e A .e x= y 2
A
Como e es una constante e A =B
A x 2
Reemplazamos en e .e = y
9
x 2
⇒ Be = y
8) Demostrar que arcSenx−arcSeny= A se puede escribir así
x √ 1− y 2 − y √1−x 2=B
Solución:
arcSenx−arcSeny= A
Derivamos:
dx dy
- =0
1- x 2
1- y2
dx 1 - y 2 - dy 1 - x 2
=0
1 - x2 1 - y 2
dx 1 - y 2 - dy 1 - x 2 = 0
Integramos:
�1 - y dx - �1 - x 2 dy = �
2
0
x 1 - y 2 - y 1 - x2 = B
9) Demostrar que ln(1+ y )+ln(1+x )= A se puede escribir como xy +x+ y=C

Solución:
ln(1+ y )+ln(1+x )= A
ln[(1+ y )(1+x )]= A
ln (1+ x + y + xy )=A
A
e =1+x + y +xy
A
e −1=x+ y +xy
A
Como e −1 es constante, entonces puede tomar el valor
A
e −1=C
⇒ x+ y+ xy=C
10)Demostrar que Senhy +Coshy=Cx se puede escribir como y=ln( x )+A
Solución:
Senhy +Coshy=Cx
e y - e- y e y + e- y
+ = Cx
2 2
10
e y = Cx
ln Cx = y
ln C + ln x = y
Como ln C es constante entonces le damos el valor de A = ln C
y=ln( x )+A
Solución
y= A+lnB +lnx
Debido a que A +lnB es una constante la reemplazamos por k
y=k+ lnx
Solamente es usual una de las dos constantes arbitrarias
6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

2
y= A x + Bx +C
Solución
2
y= A x + Bx +C
'
y =2 Ax +B
y ' ' =2 A
'' '
y =0
⇒ la ecuación diferencial asociada es:
'' '
y =0
x 2 y 3 + x 3 y 5=c
Solución
3 2 2 2 5 4 3
2 xdx y +3 y dy x +3 x dx y +5 y dy x =0
2
2 x y 3 +3 y 2 y ' x +3 x2 y 5 +5 y 4 y ' x 3=0

2 y 2+3 yx y ' +3 x y 4 +5 y 3 y ' x 2=0
y= Acos ( ax ) + Bsen ( ax )
Solución
11
y= Acos ( ax ) + Bsen ( ax )
y ' =−Asen ( ax ) a+ Bcos ( ax ) a
y ' ' =−Acos ( ax ) a2−Bsen ( ax ) a2

'' 2
y =−a ( Acos ( ax ) + Bsen ( ax ) )
'' 2
y =¿ - a y
y= A e 2 x + B e x +C
Solución
2x x
y= A e + B e +C
y ' =2 A e2 x + B e x
y ' −B e x
2x
=2 A
e
Derivando
( y ' ' −B e x ) e 2 x −2 ( y ' −B e x ) e2 x
=0
e4 x
'' x ' x
y −B e −2 y +2 B e =0
'' ' x
y −2 y =−B e
y ' ' −2 y '
=−B
ex
Derivando y acomodándolo:
'' ' '' '
y −3 y +2 y =0
3x 2x x
y=c1 e + c 2 e +c 3 e
Solución:
| || |
e3 x e2 x ex y 1 1 1 y
3x 2x x
3e 2e e y' 3 2 1 y'
=e6 x
9e 3x
4e 2x
e x
y' ' 9 4 1 y' '
27 e 3x
8e 2x x
e y' ' ' 27 8 1 y '' '
= e 6 x ( −2 y ' ' ' +12 y' ' −22 y ' +12 y ) =0

= −2 y ' ' ' +12 y '' −22 y ' + 12 y=0
= y '' ' −6 y ' ' +11 y' −6 y=0
12

y=c x 2+ c 2
Solución
2 2
y=c x + c
y ' =2 cx
''
y =2c
'' '
y =0
12) Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo “r”
cuyos centros están en el eje x
La ecuación de una circunferencia es:
( x− p )2 + y 2=r 2
p=x− √ r 2 − y 2
Derivando
−1
1 2 22
0=1−
2
√r − y 2 y'
13) Hallar la ecuación diferencia de la familia de parábolas cuyos focos están en el
origen y cuyos ejes están sobre el eje x
Solución:
La ecuación de la familia de la parábola es:
x 2=4 py
Donde el vértice es (0,0) y el foco F (0, p)

x2
=4 p
y
Derivamos
2 xy−x 2 y '
=0
y2
2 '
2 xy =x y
2 y=x y '
13
PRACTICA N 2
2.ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

2.1 SEPARACIÓN DE VARIABLES
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) X 3 dx+( y +1)2 dy=0
Solución:
∫ X3dx + ∫ (y+1)2dy = c
14
X4/4 + c1 + (y+1)3/3 +c2 = c
(y+1)3/3 = k - X4/4
(y+1) =
√
3
3(k −
X4
4
)
y=
√
3
3(k −
X4
4
) -1
2) x 2( y +1) dx+ y 2( x−1) dy=0
Solución:
x 2 ( y +1 ) y 2 ( x−1 )
+ dy=0
( x−1 )( y +1 ) dx ( x−1 ) ( y+ 1 )
x2 y2
+ dy=0
( x−1 ) dx ( y +1 )
x2 y2
∫ dx + ∫ dy = c
( x−1) ( y +1)
Sea µ = x-1 Sea: v = y+1
x = µ+1 y=v-1
dµ=dx dv=dy
( µ+1) 2 µ2
∫ dµ = +2 µ+ln µ+c1
µ 2
(v −1)2 v2
∫ = - 2v + lnv + c2
v 2
(x−1)2
+2(x-1)+ln(x-1)+c1
2
( y +1)2
- 2(y+1) +ln (y-1) + c2
2
( x−1)2 ( y +1)2
+2(x-1)+ln(x-1)+c1 + - 2(y+1) +ln (y-1) + c2 = c
2 2
( x−1)2 ( y +1)2
+2(x-1)+ln(x-1) + - 2(y+1) +ln (y-1) = k
2 2
15
3) 4xdy – ydx = x2dy
Solución:
(4x-x2)dy – ydx=0
( 4 x−x 2 ) y
dy - dx =0
( 4 x−x 2 ) y (4 x−x 2) y
dy dx
- =0
y (4 x−x 2)
dy dx
∫ -∫ =c
y (4 x−x 2)
1
Lny + c1 -
4
ln ( 4−xx ) +c2 = c
1 x
Lny = ln ( )+k
4 4−x
1 x
y = e 4 ln ( 4 −x )+ k
4) x(y-3)dy = 4ydx
Solución:
x ( y −3) 4y
dy = dx
xy xy
( y−3) 4
∫ dy - ∫ =c
y x
y – 3lny +c1 – 4lnx + c2 = c

y + k – lnx 4
lny =
3
y+k – lnx 4
y= e 3
16
( y+k )
y= e 3
x4
5)(y2 + xy2)dy + (x2-x2y)dx = 0
Solución:
y 2( x +1) x 2(1− y )
dy + dx= 0
(1− y ) (x+ 1) (1− y ) (x+ 1)
y2 x2
∫ dy + ∫ dx = c
(1− y ) ( x+ 1)
(1− y )2 ( x+ 1)2
-(ln(1-y) – 2(1-y) + ) + c1 + - 2(x+1) + lnx + c2 = c
2 2
(1− y )2 (x+ 1)2

−ln(1− y )+2(1− y)− + −2(x +1)+lnx=k
2 2
6) x √ 1+ y 2+ y √ 1+ x 2 y ’=0
Solución:
x √ 1+ y 2 y √ 1+ x 2
dx + dy = 0
√ 1+ y 2 √ 1+ x 2 √ 1+ y 2 √ 1+ x 2
x y
∫ dx + ∫ dy = c
√ 1+ x 2 √1+ y 2
√ 1+ x 2 + c1 + √ 1+ y 2 + c2 = c
√ 1+ y 2 = k - √ 1+ x 2
1+y2 = (k - √ 1+ x 2 )2
y = ± √ (k −√ 1+ x 2)2−1
7) Hallar la solución particular de: (1+x3) dy – x2ydx = 0, que satisfaga las

condiciones iníciales x=1, y=2.
Solución:
(1+ x 3) x2 y
dy - dx = 0
y (1+ x 3) y ( 1+ x 3)
17
dy x2
∫ -∫ dx = c
y (1+ x 3)
1
Lny +c1 - ln(1+x3) + c2 = c
3
1
Lny = k + ln(1+x3)
3
Para x=1, y=2:

1
ln(2)=k + ln(1+1 3)
3
K=0.46
8) Hallar la solución particular de :e x secydx+(1+e x )secytgydy=0, cuando x=3, y=60 ° .
Solución:
x
e x secy (1+e )secytgy
dx + dy = 0
secy(1+ e x ) secy(1+e x )
ex
∫ dx +∫ tgydy = c
(1+e x )
Ln (1+ex) + c1 + ln (secy) + c2 = c
Ln (secy) = k – Ln (1+ex)
Para x=3, y=60 ° .
K=ln (2)+ln (1+e3)
9) Hallar la solución particular de :dp= p tan α d α ,cuando α =0, p=1.
Solución:
dp = p tan α d α
dp
∫ =∫ tan α d α
p
Lnp+c=ln(sec α )+c1
Lnp- ln(sec α )=k
Para α =0,p=1.
Ln1-ln1=0
K=0
2.2 REDUCCIÓN A VARIABLE SEPARADA
1) Resolver: ( x+ y) dx +(3 x +3 y−4) dy=0

Solución:
( x+ y) dx +(3 x +3 y−4) dy=0 … .. … … .(I )
18
Sea: z = x+y
dz=dx+dy
dz dy
= 1+
dx dx
dy dz
= – 1………………….……… (II)
dx dx
Reemplazando en (I)
dz
Z + (3z-4) ( – 1) = 0
dx
-2zdx + 3zdz – 4dz + 4dx = 0
∫-2zdx + ∫3zdz – ∫4dz + ∫4dx = ∫0
3z2
-2zx +c1+ +c2 -4z + c3 +4x + c4 = c
2
3 (x+ y) 2
-2(x+y) x + – 4(x+y) + 4x = k
2
2) Resolver :(x + y )2 y ’=a 2

Solución:
( x+ y) 2 y ’=a 2 ...................( I )
Sea: z=x + y → dz=dx+ dy
dz dy
=1+
dx dx
dy dz
= – 1 … … … … ( II )
dx dx
Reemplazando en (I)
( dxdz – 1)=a 2
( x+ y ) 2
dz
Z 2 ( – 1 )=a2
dx
z2
∫ dz=∫ dx
a 2+ z 2
z
Z – a. arctg ( )=x+ k
a
X + y – a. arctg ( x+a y )=x +k

19
y – a . arctg ( x +a y )=k
3) Resolver:
y ’=cos 2(ax +by +c )/a ≠ b , a y b son constantes positivas .
Solución:
Sea : z=ax+ by+ c , y ’=cos (ax +by +c) … … ..( I )
dz dy
=a+b
dx dx
dz dy
−a=b
dx dx
( dzdx – a) 1 = dy … … … … … . ( II )
b dx
Remplazando (II) en (I)
( dzdx – a) 1b =cos 2 ( z )
dz 1 a
− =cos 2 z
dx b b
dz
−a=b cos 2 z
dx
dz
=bCos2 z +a
dx
dz
∫ bCos2 z + a =∫ dx
dz
∫ 2 2
= ∫ dx
( √ b Cosz ) + ( √ a )
1
√a
arctg( √b√Cosz
a )
+C 1=C 2
× arctg ( √ cos ( ax+ by +c )) =x+ k

1 b
√a √a
( x + y)m
Resolver : y ’ +1=
( x + y ) n+(x + y ) p
Solución:
20
y
x+ ¿
¿
¿m
¿
y
x+ ¿
¿
y
x+ ¿
¿
¿p
¿
y ’ +1=¿
Sea : z=x + y → dz=dx +dy
dz dy
=1+
dx dx
dy dz
= – 1 … … … … … …( II )
dx dx
Reemplazando en (I)
m m
dz z dz z
( dx )
– 1 +1= n p = n p
z +z dx z +z
zn + z p
∫ ( zm )dz=∫ dx
∫ ( z n−m+ z p−m )=∫ dx

( z ) n−m+1 ( z ) p−m+1
+ =x +k
n−m+ 1 p−m+ 1
( p−m+1)( x+ y)( n−m+1)+(n−m+ 1)(x + y )( p−m+1)=( x + k)( p−m+1)(n−m+1)

4) Resolver : xy 2( xy ’ + y )=a 2
Solución:
xy 2( xy ’ + y)=a 2 … … … … … ..(I )
xy 2 y ’+ xy 3=a 2
dz
−z x
z dx
Sea : z=xy → y= → y ’= … … … … .( II)
x x2
Reemplazando (II) en (I):
dz
z2
x
x
dx
(
x2
−z x
z
)
+ =a 2 , simplificando
x
z 2 dz=a 2 xdx ,integrando
21
z3 x2
+ c=a 2 + c 1
3 2
2 x 3 y 3=3 a 2 x 2+k
5) Resolver :(lnx + y 3) dx−3 xy 2dy =0

Solución :
dz 1 dz
Sea : z=lnx+ y 3 → = +3 y 2 y ’ , de donde 3 xy 2 y ’= x – 1
dx x dx
dz
Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene : z – x ( dx )
– 1 =0
dz
( z+ 1 )−x =0, separando las variables :
dx
dx dz
− =0,integrando se tiene :lnx – ln ( z+ 1 )=lnc x=c ( z +1 )
x z +1
1
z+ 1=kx →lnx+ y 3+1=kx , donde k=
c
y 3=kx – lnx – 1
6) Resolver : y ’=tan( x + y ) – 1
Solución :
dz dy
Sea : z=x + y → =1+
dx dx
Reemplazando en la ecuación diferencial:
dz
−1=tanz−1
dx
dz dz
=tanz , =dx , ctgzdz=dx
dx tanz
Integrando:
ln ( senz )+ c 1=x + c 2
ln ( sen ( x+ y )) =x +k
e x+ k =sen ( x + y )
7) Resolver: (6x+4y+3)dx+(3x+2y+2)dy = 0
Solución:
dz dy dz−3 dx
Sea : z=3 x +2 y → =3+ 2 → dy=
dx dx 2
Reemplazando en laecuación diferencial:
22
( 2 z +3 ) dx + ( z +2 ) ( dz−32 dx )=0
Simplificando y separando las variables :
z+2
Dx+ dz=0
z
Integrando ambos miembros :
z+ 2lnz+ x =c
4 x +2 y +2 ln ( 3 x +2 y )=c
8) Resolver : cos ( x + y ) dx – xsen ( x+ y ) dx + xsen ( x + y ) dy

Sol:
dz dy
Sea : z=x + y → =1+ → dy=dz – dx
dx dx
Coszdx=xsenzdx+ xsenz ( dz−dx )

dx
=tanzdz
x
Integrando miembro a miembro:
xcos ( x + y )=c
9) Resolver : y ( xy +1 ) dx + x ( 1+ xy + x 2 y 2 ) dy=0
Solución:
dz dy z
Sea : z=xy → = y + x →dz = dx + xdy
dx dx x
z x ( z+1+ z 2 ) ( xdz – zdx )
( z +1 ) dx + =0
x x2
( z 2+ z ) dz dx
dz + =
z3 z3 x
Integrando miembro a miembro :
Lnz+ c 1+lnz 2+c 2+lnz 3+ c 3=lnx+c
ln ( xy ) +ln ( xy ) 2+ ln ( xy ) 3=lnx+k
10)Resolver: ( y−xy 2 ) dx – ( x + x 2 y ) dy=0
Solución:
23
dz dy z
Sea : z=xy → = y + x →dz = dx + xdy
dx dx x
( zx − zx2 )dx – ( x + zx ) ( xdz−zdx

x2 )
=0

dx ( z+1 )
2 = dz
x z
Integrando:
2lnx+ c 1=z+lnz+ c 2
2lnx – ln (xy ) – xy=k
11) Resolver: ( 1−xy + x 2 y 2 ) dx+ ( x 3 y−x 2 ) dy =0

Solución:
dz dy
Sea : z=xy → = y+x
dx dx
( xdz – zdx )
( 1+ z 2−z ) dx + ( zx 2 – x 2 ) =0
x2
dx zx xdx
+ dz− =0
x x x
Integrando:
x2y2
ln x+ – xy =k
2
12)Resolver: cosy ’=0

Solución:
π
Como :cosy ’=0 → y ’=arccosα = (2n+1)
2
dy π π
= ( 2 n+1 ) → dy= ( 2n+1 ) dx
dx 2 2
Integrando:
π
y= ( 2 n+1 ) x +k
2
13)Resolver: e y ’=1
24
Solución:
Como :e y ’=1 y ’=0
Integrando:
y=k
14) Resolver :lny ’=x
Solución :
x
e x= y ’ → dy=e dx
Integrando:
y=e x + c
0 π
15) Resolver : x 2 y ’ cosy+1= y=16 ; x → ∞
❑ 3
Solución :
1 dx
y ’ Cosy+ =0 ,de donde :cosydy + =0
x2 x2
integrando :
1 π
seny − =c , como y=16 cuando x → ∞
x 3
( π3 )
c=sen 16
1 π
Seny − =sen 16
x 3( )
16) Resolver :tgy ’=x
Solución :
Como tgy ’=x → y ’=arctgx+ nπ , n∈ N
dy= ( arctgx+ nπ ) dx
Integrando:
2 y=2 xarctgx – ln ( x 2+1 ) +2 nπx+ c
25
PRACTICA N.-3
3.1 FUNCIONES HOMOGENEAS
Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas
1¿ f ( x , y )=x 2 y−4 y 3
Solución :
2 3
f ( λx , λy )=( λx ) ( λy ) −4 ( λy )
f ( λx , λy )=λ3 ( x 2 y −4 y 3 )
f ( λx , λy )=λ3 f ( x , y )
⇒ La f ( x , y ) es homogéneade grado 3
2 ¿ f (x , y)= y 2 tan ⁡( x ⁄ y )
26
Solución :
f ( λx , λy )=( λy )2 tan ( λx / λy )
f ( λx , λy )=λ2 ( y 2 tan ( x / y ) )
f ( λx , λy )=λ2 f ( x , y )
3
3 ¿ f (x , y)=√ x 3− y3
Solución :
3
f ( λx , λy )=√ ( λx ) −( λy )
3 3
3
f ( λx , λy )=λ ( √ x 3− y 3 )
f ( λx , λy )=λf ( x , y )
(x2 − y 2)
4 ¿ f ( x , y)=
xy
Solución :
( λx )2 −( λy )2
f ( λx , λy )=
( λx ) ( λy )
2 2
f ( λx , λy )=λ
x −y
xy
0
( )
f ( λx , λy )=λ 0 f ( x , y )
5 ¿ f (x , y)=x2 + senxcosy
Solución :
f ( λx , λy )=( λx )2+ sen ( λx ) cos ( λy )
f ( λx , λy ) ≠ λn f ( x , y )
⇒ La f ( x , y ) no es homogénea
6 ¿ f ( x , y )=e x
27
Solución :
f ( λx , λy )=e λx
f ( λx , λy ) ≠ λn f ( x , y )
⇒ La f ( x , y ) no es homogénea
x
y
7 ¿ f ( x , y ) =e
Solución :
λx
λy
f ( λx , λy )=e
x
f ( λx , λy )=λ (e )
0 y
f ( λx , λy )=λ 0 f ( x , y )
⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 0
3 /2
8 ¿ f ( x , y ) = ( x 2− y 2 )
Solución :
2 2 3/2
f ( λx , λy )=( ( λx ) −( λy ) )
x
f ( λx , λy )=λ (e )
3 y
f ( λx , λy )=λ3 f ( x , y )
⇒ La f ( x , y ) es homogénea de grado 3
9) f ( x , y ) =x−5 y−6
Solución:
f ( λx , λy )=λx−5 ( λy )−6
f ( λx , λy ) ≠ λn f ( x , y )
⇒La f ( x , y ) no es homogénea
10) f ( x , y ) =xsen ( x / y )− ysen ( x / y )

Solución:
f ( λx , λy )=( λx ) sen ( λ x / λy )− ysen( λx / λy)
f ( λx , λy )=λ ( xsen ( x / y )− ysen( x / y) )
f ( λx , λy )=λf ( x , y )
28
⇒ La f (x , y) es homogénea de grado 1
Si M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0 es homogénea, demostrar que y=vx se

separan las variables
Solución:
Debido a que M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0 ………………… (0)
Es homogénea se cumple que:
M ( λx , λy )=λ k M ( x , y ) Y N ( λx , λy )=λ k N ( x , y ) ………………………………… (1)
1
Haciendo que λ=
x
……………………………………………………………………………………. (2)
Reemplazando (2) en (1)
( yx )= x1 M ( x , y ) ⇒ M ( x , y )=x M (1, xy )
M 1, k
k
y y
M ( x , y )=x M ( 1, )=x M ( 1, v )=x G ( v ) donde v =
k k k
…………………… (3)
x x
y 1 y
N ( 1, )= M ( x , y ) ⇒ N ( x , y )=x N ( 1, ) k
x x k
x
y y
N ( x , y )=x N (1, )=x ( 1, v ) =x T ( v ) donde v=
k k k
……………………….. (4)
x x
Ahora como y=xv ⇒ dy=vdx + xdv
……………………………………………………. (5)
Reemplazando (3), (4), (5) en (#) obtenemos:
x k G ( v ) dx + x k T ( v ) ( vdx + xdv )=0
Simplificando y agrupando obtenemos:
dx T (v)
+ du=0
x G ( v )+ vT ( v )
3.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas

1) ( x 3+ y 3 ) dx−3 x y 2 dy=0
29
Solución:
La ecuación diferencial es homogénea de grado 3:
y=ux ⇒dy =udx+ xdu ………………………………(1)
Reemplazando (α) en la ecuación original
( x 3 + ( ux )3) dx−3 x ( ux )2 ( udx + xdu )=0

x 3 ( 1+u3 −3 u3 ) dx−3 x 4 u 2 du=0
dx 3u 2 du
− =0
x 1−2 u3
2
∫ dxx −∫ 1−2u
3 u du
3
=k
lnx+2 ln ( 1−2 u3 ) =k ………………………………………………..(2)

Reemplazando (α) en (2)
3
lnx+2 ln 1−2 ( ( )) y
x
=k
Levantando el logaritmo obtenemos:

3 2
( ( ))
1−2
y
x
x =c
Solución:
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
x ( udx + xdu )−uxdx −√ x − (ux ) dx=0
2 2
x ( xdu +udx−udx−√ 1−u2 dx )=0
xdu− √1−u2 dx =0
du dx
∫ 2 ∫ x
− =k
√1−u
arcsenu−lnx=k ………………………………………………..(2)
y
arcsen −lnx =k
x
y y y
3) ( 2 xsenh () x
+3 ycosh
x ( ))
dx−3 xcosh
x ()
dy=0
30
Solución:

y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
( 2 xsenh ( u ) +3 uxcosh ( u ) ) dx−3 xcosh ( u ) ( udx+ xdu )=0
x ( 2 senhudx +3 ucoshudx−3ucoshudx −3 xcoshudu )=0
2 dx 3 coshu du
∫ x
−∫
senhu
=k
2lnx−ln ( senhu ) =k ………………………………………………..(2)

y
2lnx−3 ln senh ( ( ))x
=k
4) ( 2 x +3 y ) dx+ ( y−x ) dy=0

Solución:
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
( 2 x +3 ux ) dx+ (ux−x ) ( udx+ xdu )=0
x ( 2 dx +3 udx+u 2 dx −udx+uxdu−xdu ) =0
( 2+2 u+u2 ) dx + x ( u−1 ) du=0
dx ( u−1 ) du
∫ x
+∫
( 2+2 u+u2 )
=k
lnx+¿
( xy ) dy=0
x
5) (1+2 e ) dx
y + 2 e 1−y
Solución:
31

x=uy ⇒ dx=udy + ydu …………………………..……… (1)
( 1+2 eu ) ( udy + ydu ) + 2 eu ( 1−u ) dy =0
u u u u
udy+ ydu+2 e udy +2 e ydu+2 e dy−2 e udy=0
( u+2 e u ) dy+ ( y +2 eu y ) du=0
u
dy ( 1+2 e ) du
∫ y +1
+∫
u+2 e u
=k
ln ( y +1 ) +ln ( u+2 e u )=k

( y +1 ) ( u+2 eu ) =c ………………………………………………..(2)
x
( y +1 ) ( x
y )
+2 e y =c
6) ( x 2+ 3 xy + y 2 ) dx−x 2 dy=0
Solución:
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
( x 2+ 3 x ( xu ) + ( xu )2 ) dx −x2 ( udx+ xdu )=0
x 2 ( u2 +2 u+1 ) dx−x 3 du=0
dx du
∫ x ∫ ( u+1 )2
− =c
1
lnx+ =c ………………………………………………..(2)
u+1
x
lnx+ =c
y+ x
7) ( y +√ y 2−x 2 ) dx−xdy=0
Solución:
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
( xu+ √( xu )2−x 2) dx−x ( udx + xdu ) =0

32
x √ u2−1 dx−x 2 du=0

dx du
∫ x ∫ √u2−1
− =k
lnx−ln ( u+ √ u −1 ) =k ………………………………………………..(2)
2

2 2
2 cy=c x +1
8) ( x− ylny+ ylnx ) dx+ x ( lny−lnx ) dy=0
Solución:
Transformamos la ecuación diferencial:
( x− yln ( xy ))dx + x ( ln ( xy )) dy =0
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
( x−xuln ( u ) ) dx+ x ( ln ( u ) ) ( udx+ xdu )=0
dx + xlnudu=0
dx
∫ x ∫
+ lnudu=k ………………………………………………..(2)

( x− y ) lnx+ ylny=cx + y
9) ( x− yarctan ( yx )) dx + xarctan( xy ) dy=0

Solución:
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
( x−xuarctan(u) ) dx + xarctan ( u ) ( udx+ xdu )=0
dx
+arctanudu=0
x
dx
∫ x ∫
+ arctanudu=k
1
lnx+uarctanu− ln ( 1+ u2 )=k ………………………………………………..(2)
2
33
2
y
lnx+ arctan
x
y 1
− ln 1+
x 2
y
x ( ( ))
() =k
2 2
2 yarctan () ( )
y
x
=xln
x +y
x4
c
x y
10) x e y dx+ y e x dy=0
Solución:
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
1
x e dx+ xu eu ( udx+ xdu )=0
u
1
( e +u e ) dx +ux e du=0
u 2 u u
dx e u udu
+ 1 =0
x 2 u
e u +u e
u
∫ dxx +∫ e1 udu =0
e u +u 2 e u
y
x
e u udu
lnx=−∫ 1
a
e +u 2 e u
u
y y y
11) ( ()ycos
x
+ xsen
x
dx=cos( ))
x
dy ()
Solución:
y=ux ⇒ dy =udx+ xdu …………………………..……… (1)
( xucos ( u )+ xsen (u ) ) dx=cos ( u )( udx + xdu )
senudx =xcosudu
dx
∫ x ∫
− ctgudu=k
lnx−ln ( senu )=k ………………………………………………..(2)
34

y
( ( ))
lnx−ln sen
x
=k
x=csen ( xy )
3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGÉNEAS
Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas
1) ( 2 x −5 y +3 ) dx−( 2 x + 4 y−6 ) dy
Solución:
La ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:

x=z +h , y=w+ k
{22 xx−5 y+ 3=0

+4 y−6=0
Resolviendo x=1 , y =1⇒ h=1 , k=1
x=z +1 , y =w+1 Además dx=dz , dy=dw ………………………… (1)

Reemplazando (α) en la ecuación diferencial
( 2 ( z+1 ) −5 ( w+1 ) +3 ) dz −( 2 ( z +1 ) + 4 ( w+ 1 )−6 ) dw
( 2 z −5 w ) dz−( 2 z +4 w ) dw ………………………………………………………… (1)
Es una ecuación homogénea de grado 1:
z=uw ⇒dz =wdu+udw ………………………………………………………… (2)
( 2uw−5 w )( wdu+udw ) + ( 2uw +4 w ) dw=0
( 2 u2−3 u+ 4 ) dw+ ( 2u−5 ) wdu=0
dw ( 2u−5 ) du
∫ w
+∫
( 2u2 −3u+ 4 )
=k
1
lnw+ ln ( 2u2 −3u +4 )−
2
7
2 ( 2
√23
arctan
4 u−3
(
√ 23 ))
=k …….…… (4)
z x−1
Como z=uw ⇒ u= =
w y −1
Reemplazando en (4)
35
1
ln ( y−1 ) + ln 2
2 (( ) ( ) )
x−1
y−1
−3
x−1
y−1
2
+4 −
7
2 ( 2
√ 23
arctan ( 4 ( x−1
y −1 )
√ 23
−3
) =c
2) ( x− y−1 ) dx + ( 4 y+ x−1 ) dy
Solución:
x=z +h , y=w+ k
{4x−y +y−1=0
x−1=0
Resolviendo x=1 , y =0 ⇒ h=1 ,k =0
x=z +1 , y =w Además dx=dz , dy=dw ………………………… (α)

( z−w ) dz+ ( z + 4 w ) dw=0 ………………………………………………………………(1)
z=uw ⇒dz =wdu+udw ………………………………………………………………..(2)
( uw−w ) ( wdu+udw )+ ( uw+ 4 w ) dw=0
( u2 +4 ) dw+ (u−1 ) wdu=0
dw (u−1 ) du
∫ w
+∫ =k
( ( u2 +4 ) )
1 1 u
lnw+ ln ( u2+ 4 ) + arctan
2 2 2 ()
=k ………………………………………………… (3)
z x−1
Como z=uw ⇒ u= =
w y
Reemplazando en (3)
x−1 2
lny+
+1
2
ln (( ) )
y
1
+4 + arctan
2
x−1
2y ( )
=k
3) ( x−4 y−9 ) dx + ( 4 x+7−2 ) dy=0
Solución:
x=z +h , y=w+ k
{x4−4x +7−2=0
y −9=0
Resolviendo x=1 , y =−2⇒ h=1 , k=−2
36
x=z +1 , y =w−2 Además dx=dz , dy=dw ………………………… (1)

( z−4 w ) dz + ( 4 z+ w ) dw=0 ………………………………………………………………(2)
z=uw ⇒dz =wdu+udw ………………………………………………………………..(3)
( uw−4 w ) ( wdu+udw ) + ( 4 uw+w ) dw=0
( u2 +1 ) dw+ ( u−4 ) wdu=0
dw (u−4 ) du
∫ w
+∫ =k
(( u2 +1 ) )
ln w 2 ( u2 +1 ) −8 arctanu=k ……………………………………………………………….
(4)
z x−1
Como z=uw ⇒ u= =
w y +2
Reemplazando en (4)
ln [ ( x−1 )2 + ( y +2 )2 ]−8 arctan ( x−1

y +2 )
=k
4) ( x− y−1 ) dy− ( x+3 y−5 ) dx

Solución:
x=z +h , y=w+ k
{xx−+3yy−5=0
−1=0
Resolviendo x=2 , y=1⇒ h=2 , k =1
x=z +2 , y =w+1 Además dx=dz , dy=dw ………………………… (1)

( z+ 3 w ) dz + ( z−w ) dw=0 ………………………………………………………………(2)
w=uz ⇒ dw=zdu +udz ………………………………………………………………..(3)
( z+ 3uz ) dz + ( z−uz ) ( zdu +udz )=0
( u2 +2 u+1 ) dz+ z ( u−1 ) du=0
dz ( u−1 ) du
∫ z
+∫ 2
( u +2 u+1 )
=k
37
2
lnz+ln ( u+1 ) + =k ………………………………………………………………. (4)
u+1
w y −1
Como w=uz ⇒ u= =
z x−2
Reemplazando en (4)
lnc ( x+ y −3 )=−2 ( x+x −2

y−3 )
5) 4 x y 2 dx+ ( 3 x 2 y−1 ) dy
Solución:
Sea y=z α ⇒ dy=α z α −1 dz …………………………………………….………. (1)
Reemplazando (θ) en la ecuación diferencial
4 x z 2 α dx + ( 3 x 2 z 2 α −1−z α −1 ) αdz=0 …………………………………….. (2)
Para que la ecuación sea homogénea debe cumplirse:
−2 −3
2 α +1=α −1⇒ α =−2 ⇒ y =z ⇒ dy =−2 z dz
Reemplazando en la ecuación diferencial
4 x z−4 dx+ ( 3 x2 z−5−z−3 )−2 dz=0
4 xzdx−2 ( 3 x 2−z 2 ) dz=0 Es una ecuación diferencial homogénea de grado 2
z=ux ⇒ dz=xdu+udx ……………………………………………………………….. (3)
Reemplazando (3) En la ecuación diferencial
4 x 2 udx−2 ( 3 x2− ( ux )2 ) ( xdu+udx )=0
De donde simplificando y separando la variable se tiene

dx u2−3
+ du=0 , integrando se tiene
x u3−u
2
∫ dxx +∫ uu3−3
−u
du=c
lnx+3 lnu−ln ( u2−1 )=c

z −2 2
Como u= , y=z se tiene: y ( 1−x 2 y ) =k
x
6) ( y 4 −3 x2 ) dy =−xydx
Solución:
Sea y=z α ⇒ dy=α z α −1 dz ………………………………………..…. (1)
( z 4 α −3 x 2 ) α z α −1 dz =−x z α dx
38
1
α + 1=5 α −1=α +1 ⇒α =
2
−1 1
( z 2−3 x 2) 1 z 2 dz =−x z 2 dx Simplificando
2
2 xzdx+ ( z2 −3 x 2 ) dz=0 …………………………………………….…(2)
es una ecuación diferencial homogénea de grado 2
z=ux ⇒ dz=xdu+udx ……………………………………………… (3)
2
∫ dxx +∫ uu3−3
−u
du=c
u3
⇒ lnx+ ln ( )
u 2−1
=c
2 3
( )
( ) =c
y
y2 x
Como u= se tiene lnx+ln 2 2
x
( yx ) −1
7) ycosxdx + ( 2 ysenx ) dy=0

Solución:
z=senx ⇒ dz=cosxdx , Reemplazo en la ecuación diferencia dad se tiene:
ydz + ( 2 y−z ) dy=0 …………………………………………………………..(1)
es una ecuación diferencial homogéneas de grado 1
y=uz ⇒ dy=udz + zdu …………………………………………………… (2)
Reemplazando y simplificando (2) en (1)
dz 2u−1
+ du=0
z 2u 2
dz 2 u−1
∫ z ∫ 2 u2
+ du=0 Integramos
2 ylny+ senx=2 cy
8) ( 2 x2 +3 y 2−7 ) xdx −( 3 x2 −2 y 2−8 ) ydy=0
Solución:
2 2
Sea u=x ⇒ du=2 xdx , v= y ⇒dv =2 ydy …………………… (2)
39

du dv
( 2u+ 3 v−7 ) −( 3 u+2 v−8 ) =0
2 2
{32u+3 v−7=0 ⇒ p ( 2,1 )

u+ 2 v−8=0
Sean u=z +2, v =w+1 reemplazando
( 2 z +3 w ) dz−( 3 z+ 2 w ) dw=0
w=zn ⇒ dw=zdn+ ndz …………………………………………………… (2)

dz 2n+ 3
∫2 z
+∫ 2
n −1
dn=k
3
⇒ lnz2 ( n2−1 ) + ln
2 | |
n−1
n+1
=k
w
Como n= , w=v−1= y 2−1, z=u−2=x 2−2 se tiene
z
⇒ ln z 2 ( n2−1 ) + ∈ | |
3 n−1
2 n+1
=k
w
Como n= , w=v−1= y 2−1, z=u−2=x2 −2 se tiene
z
3
|
y 2−x 2 +1
ln | y 4 −x 4 + 4 x 2−2 y 2 −3|+ ln 2 2
2 y + x +3 |
9) dy= ( y −4 x )2 dx
Solución:
z= y−4 x ⇒ dz=dy −4 dx ⇒ dy=dz−4 dx ………………………. (1)
Reemplazando (1) en la ecuación diferencial
dz−4 dx=z 2 dx
dz=( z 2−4 ) dx
dz
∫ z 2−4 −∫ dx=k
1
4
ln| |
z −2
z+ 2
−x=k
Asiendo en cambio de variable respectivo la solución será:
40
1
4
ln |
y−4 x−2
y−4 x+ 2
−x=k |
10) tan 2 ( x+ y ) dx−dy=0
Solución:
z=x + y ⇒ dz=dx +dy ⇒ dy =dz−dx ……………………………………(1)
Reemplazando (1) en la ecuación diferencial
sen 2 ( z ) dx−cos 2 ( z ) ( dz−dx ) =0
sen 2 ( z ) dx +cos2 ( z ) dx−cos2 ( z ) dz=0
dx−cos 2 ( z ) dz=0
∫ dx−∫ cos2 ( z ) dz=k

x−z +cos ( 2 z )=k
x−( x+ y ) +cos 2 ( x+ y )=k
−y + cos 2 ( x + y )=k
α α −1
Sea y=z ⇒ dy=α z dz ………………………………. (1)
α α
(2+2 x z ) z dx+( x z + 2) x α z dz =0
2 2 α 2 2 α −1
3α 3α
(2 z + 2 x z ) dx+( α x z + 2 x α z ) dz =0
α 2 2 3 2
−1
α −1
3α −4 −5
α =2+ ⇒ α =−4 ⇒ y =z ⇒ dy=−4 z dz
2
( 2 z−4 +2 x 2 z−6 ) dx + (−4 x3 z−7−8 x z −5 ) dz=0
2 3
( ( )) ( ( )
1+
x
y
dx+ −2
x
y
x
)
−4 dz=0 ………………………………………… (2)
y
x=uz ⇒ dx=zdu+udz ……………………………………………………………… (3)

( 1+( u )2 ) ( zdu+udz)+ ( −2 ( u )3−4 u ) dz =0
( 1+u2 ) zdu+ (−3 u−u 3 ) dz=0
( 1+ u2 ) du dz
+ =0
( −3 u−u3 ) z
( 1+u2 ) du dz
∫( 3
+∫
z
=k
−3u−u )
41
−1 3
ln ( −3 u−u ) +lnz=k
3
Reemplazando
1/ 4
u=x y
−1 3
ln (−3 x y 1/ 4−( x y 1 /4 ) ) +lnz=k
3
42
PRACTICA N4
4. 2 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS :
Resolver las siguientes ecuaciones :
1) ( 4 x 3 y 3 – 2 xy ) dx + ( 3 x 4 y 2 – x 2 ) dy=0
Solucion :
(4 x 3 y 3 – 2 xy ) dx+(3 x 4 y 2 – x 2)dy =0
M (x , y ) N ( x , y)
∂M (x, y) ∂ N (x , y)
=12 x 3 y 2 – 2 x= .
∂y ∂x
Por lo tanto la ecuacióndiferencial es exacta.
( x , y )/ ∂ f ( x , y)
Entonces ∃ f =M ( x , y ) , de donde :
∂x
∂f (x , y)
=4 x 3 y 3 – 2 xy
∂x
f (x , y )=∫ (4 x 3 y 3 – 2 xy )dx + g( y)
f (x , y )=x 4 y 3 – x 2 y + g( y ), derivando con respecto a “ y ”.
∂f (x , y) ∂ f ( x , y)
=3 x 4 y 2−x 2+ g ’ ( y) , perocomo : =N (x , y)
∂y ∂y
Se tiene : N ( x , y )=3 x 4 y 2 – x 2
3 x 4 y 2−x 2+ g ’ ( y)=3 x 4 y 2 – x 2⟶ g ’( y )=0⟶ g( y )=c
f (x , y )=x 4 y 3 – x 2 y +c
x 4 y 3 – x 2 y=k
2) (3 e 3 x y – 2 x) dx +e 3 x dy=0
43
Solución :
(3 e 3 x y – 2 x) dx +e 3 x dy=0
M (x , y ) N ( x , y)
∂M (x, y) ∂ N(x , y)
=3 e 3 x = .
∂y ∂x
Por lo tanto la ecuacióndiferencial es exacta.
( x , y )/ ∂ f ( x , y)
Entonces ∃ f =M ( x , y ) , de donde :
∂x
∂f (x , y)
=3 e 3 x y – 2 x
∂x
f (x , y )=∫ (3 e 3 x y – 2 x) dx +g ( y )
f(x,y) = y e 3 x – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) 3x ∂ f (x , y )
= e + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = e3x
e
3x
+ g’(y) = e 3 x ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
f(x,y) = y e 3 x – x2 + c
y e3 x – x2 = k
3) (cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0
Solución:
(cosy + ycosx)dx + (senx – xseny)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
44
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= -seny + cosx = . Por lo tanto la ecuación diferencial
∂y ∂x
es exacta.
∂ f (x , y )
Entonces ∃ f(x, y) / = M(x, y), de donde:
∂x
∂f (x , y)
= 3e3xy – 2x
∂x
f(x, y) = ∫ (3e3xy – 2x)dx + g(y)
f(x,y) = y e 3 x – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) 3x ∂ f (x , y )
= e + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = e3x
e 3 x + g’(y) = e 3 x ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
f(x,y) = y e 3 x – x2 + c
y e3 x – x2 = k
4) 2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0
Sol:
2x(yex2 – 1 )dx + ex2dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= 2x ex2 = . Por lo tanto la ecuación diferencial es
∂y ∂x
exacta.
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y)
= 2x(yex2 – 1)
∂x
f(x, y) = ∫ (2x(yex2 – 1))dx + g(y)
45
f(x,y) = y ex2 – x2 + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) ∂ f (x , y )
= ex2 + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = ex2
ex2+ g’(y) = ex2 ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
f(x,y) = y ex2 – x2 + c
yex2 - x2 = k
5) (6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0
Sol:
(6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= 18x5y2 + 20x3y4 = .
∂y ∂x
Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y)
= 6x5y3 + 4x3y5
∂x
f(x, y) = ∫ (6x5y3 + 4x3y5)dx + g(y)
f(x,y) = x6y3 + x4y5 + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) ∂ f (x , y )
= 3x6y2 + 5x4y4 + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = 3x6y2 + 5x4y4
46
3x6y2 + 5x4y4 + g’(y) = 3x6y2 + 5x4y4 ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
f(x,y) = x6y3 + x4y5 + c
x6y3 + x4y5 = k
6) (2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0
Solución:
(2x3 + 3y)dx + (3x + y – 1)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
=3= . Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
∂y ∂x
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y)
= 2x3 + 3y
∂x
f(x, y) = ∫ (2x3 + 3y)dx + g(y)
x4
f(x,y) = + 3xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.
2
∂f (x , y) ∂ f (x , y )
= 3x + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = 3x + y – 1
3x + y – 1 + g’(y) = 3x + y – 1 g’(y) = 0 g(y) = c
x4
f(x,y) = + 3xy + c
2
x4 + 6xy + y2 = k
7) (y2 e xy 2 + 4x3)dx + ( 2xy e xy 2 - 3y2)dy = 0
Solución:
(y2 e xy 2 + 4x3)dx + ( 2xy e xy 2 - 3y2)dy = 0
47
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= 2y e xy 2 + 2xy3 e xy 2 = . Por lo tanto la ecuación
∂y ∂x
diferencial es exacta.
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y)
= y2 e xy 2 + 4x3
∂x
f(x, y) = ∫ (y2 e xy 2 + 4x3)dx + g(y)
f(x,y) = e xy 2 + x4 + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) ∂f (x , y)
= e xy 2 2xy + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = 2xy e xy 2 - 3y2
e xy 2 2xy + g’(y) = 2xy e xy 2 - 3y2 ⟶ g’(y) = - 3y2 ⟶ g(y) = - y3
f(x,y) = e xy 2 + x4 - y3
8)(2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0
Solución:
(2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= 4xy + 2 = .
∂y ∂x
48
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y)
= 2xy2 + 2y
∂x
f(x, y) = ∫ (2xy2 + 2y)dx + g(y)
f(x,y) = x2y2+ 2xy + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) ∂f (x , y)
= 2x2y + 2x + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = 2x2y + 2x
2x2y + 2x + g’(y) = 2x2y + 2x ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
f(x,y) = x2y2+ 2xy + c
x2y2+ 2xy = k
9) (exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0
Solución:
(exseny – 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= excosy – 2senx = .
∂y ∂x
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y)
= exseny – 2ysenx
∂x
f(x, y) = ∫ (exseny – 2ysenx)dx + g(y)
49
f(x,y) = exseny + 2ycosx + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) ∂ f (x , y )
= excosy +2cosx + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = excosy + 2cosx
excosy +2cosx + g’(y)= excosy + 2cosx ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
f(x,y) = exseny + 2ycosx + c
exseny + 2ycosx = k
10)(2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0
Sol:
(2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= 6xy2 + cosx = . Por lo tanto la ecuación diferencial es
∂y ∂x
exacta.
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y)
= 2xy3 + ycosx
∂x
f(x, y) = ∫ (2xy3 + ycosx)dx + g(y)
f(x,y) = x2y3 + ysenx + g(y) , derivando con respecto a “y”.
50
∂f (x , y) ∂f (x , y)
= 3x2y2 + senx + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
Se tiene: N(x, y) = 3x2y2 + senx
3x2y2 + senx + g’(y) = 3x2y2 + senx ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
f(x,y) = x2y3 + ysenx + c
x2y3 + ysenx = k
1 1
11) (Seny + ysenx + )dx + (xcosy – cosx + )dy = 0
x y
Solución:
1 1
(Seny + ysenx + )dx + (xcosy – cosx + )dy = 0
x y
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= senx + cosy = . Por lo tanto la ecuación diferencial es
∂y ∂x
exacta.
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y) 1
= Seny + ysenx +
∂x x
1
f(x, y) = ∫ (Seny + ysenx + )dx + g(y)
x
f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) ∂ f (x , y )
= xcosy – cosx + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y ∂y
1
Se tiene: N(x, y) = xcosy – cosx +
y
1 1
xseny – ycosx + lnx + g’(y) = xcosy – cosx + ⟶ g’(y) = ⟶
y y
g(y) = lny
51
f(x,y) = xseny – ycosx + lnx + lny
y x
12) ( + arctgy)dx + ( + arctgx) dy= 0
1+ x 2 1+ y 2
Solución:
y x
( + arctgy)dx + ( + arctgx)dy = 0
1+ x 2 1+ y 2
M(x,y) N(x,y)
∂ M ( x , y) y x ∂ N ( x , y)
= + = .
∂y 1+ x 2 1+ y 2 ∂x
∂ f (x , y )
∂x
∂f (x , y) y
= + arctgy
∂x 1+ x 2
y
f(x, y) = ∫ ( + arctgy dx + g(y)
1+ x 2
f(x,y) = yarctgx + xarctgy + g(y) , derivando con respecto a “y”.
∂f (x , y) x ∂f (x , y)
= arctgx + + g’(y), pero como: = N(x,y)
∂y 1+ y 2 ∂y
x
Se tiene: N(x, y) = + arctgx
1+ y 2
x x
arctgx + + g’(y) = + arctgx ⟶ g’(y) = 0 ⟶ g(y) = c
1+ y 2 1+ y 2
f(x,y) = yarctgx + xarctgy + c
yarctgx + xarctgy = k
4.3 FACTORES INTEGRANTES
52
1) (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0
Solución:
(x2 + y2 + x)dx + xydy = 0
M N
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= 2y ; =y
∂y ∂x
∂ M (x , y ) ∂ N ( x , y)
−
∂y ∂x = f(x)
N (x , y )
e∫f(x)dx es un fi
2 y− y 1
=
xy x
1
e∫ dx es fi = elnx = x
x
x(x2 + y2 + x)dx + x2ydy
M N
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= 2xy = la ecuación diferencial es exacta.
∂y ∂x
Entonces:
∂f (x , y)
= M(x,y)
∂x
x4 x2y2 x3
f(x,y) = + + + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo
4 2 3
los pasos en los problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas.
53
∂f (x , y)
= x2y + g’(y)
∂y
3x4 + 6x2y2 + 4x3 = k
2) (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0
Solución:
(1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0
M N
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= - x2 ; = - 3x2 + 2xy
∂y ∂x
∂ M (x , y ) ∂ N ( x , y)
−
∂y ∂x = f(x)
N (x , y )
e∫f(x)dx es un fi
−x 2+3 x 2−2 xy 2
=-
x 2 ( y – x) x
2 1
e∫- dx es fi =
x x2
1 1
( ¿ (1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0
x2 x2
M N
∂ M ( x , y) ∂ N ( x , y)
= -1 = la ecuación diferencial es exacta.
∂y ∂x
Entonces :
∂f (x , y)
= M(x,y)
∂x
1
f(x,y) = - - xy + g(y) derivando con respecto a ‘y’ y siguiendo los pasos en los
x
problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas.

54
∂f (x , y)
= -x + g’(y)
∂y
xy2 - 2x2y - 2= kx
3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0
M N
∂M
=8 y 3 xe 4 +2 xy 4 e 4 +6 y 2 +1
∂y
∂M
=2 xy 4 e x −2 xy 2 −3
∂y
3 4 4 2 4 x 2
(8 y xe + 2 xy ey +6 y + 1−2 xy e +2 xy +3) 4
=− =g
(2 xy 4 e 4 +2 xy 3 + y ) y ( y)
4 dy
∫ g ( x )= −∫ y 1
e e =
y4
1 4 4 4 3 1 2 4 4 2 2
(2 xy y e +2 xy + y )dx+ ( x y e − x y −3 y ) dy =0
Luego: y4 y4
M N
∂M ∂N
=2 xe y −2 xy−2 −3 y−4 = =2 xe y−2 xy −2 −3 y −4
∂y ∂x
∂f (x,y)
=M
∂y
55
2x 1
f (x , y )=∫ (2 xe y + + )dx +g( y )
y y3
2
−x x
2 y
¿x e + + 3 +g( y)
y y
2
∂ f ( x , y ) 2 y −3 x x 3x
N= =x e − 4 +g ' ( y )=x 2 e y− 2 − 4
∂y y y y
g ' ( y)=0⇒ g( y)=C

x2 x
2 y
∴ f ( x , y )=x e + + 3 +C
y y
y
dx+( y 3 −Lnx ) dy=0
4) x
M N
∂ M 1 ∂ N −1
= ≠ =
∂y x ∂y x
∂M 1 2
= = =g
∂ y x y (y)
2
∫ g ( y) ∫ y dy 1
e =e = 2
y
1 y 1
. dx+ 2 ( y 3 −Lnx ) dy=0
2 x
Luego: y y
M N
56
∂ M −1 ∂ N −1
= = =
∂ y y2 x ∂ x y2 x
∂f (x,y)
=M
∂x
dx
f (x , y )=∫ ( +g
yx ( y)
Lnx
¿ +g( y )
y
∂ f ( x , y ) Lnx Lnx
N= = 2 +g ' ( y )= y− 2
∂y y y
y2
g ' ( y )= y ⇒ g( y )= +C
2
Lnx y 2
∴ f ( x , y )= + +C
y 2
5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0
M N
∂M ∂M
=4 yx 3 +4 x2 +4 xy+4 xy 3 +2≠ =4 xy+2
∂y ∂y
(4 y +4 x +4 xy+4 xy +2−4 xy−2 4 x( y 2 +x+ y 3 )
3 2 3
= 3 2 =x=f ( x )
(2xy 3 +x 2 +x 2 y+x) 2( y + x y+x)
∫ g ( x ) ∫ 2 xdx x 2
e =e =e
2 2 3 2
Luego: e x (2xy 3 y 2 +4 x 2 y+2 xy 2 d+xy 4 x+2 y) dx+2 e x ( y +x y+x)dy=0
M N
57
∂M
=4 e x2 x 3 y +4 e x 2 xy−4 e x2 x 3 y 3 +2 e x 2
∂y
∂N
=4 e x2 x 3 y +4 e x 2 x 2−4 e x 2 xy+4 e x2 xy 3 +2 e x 2
∂y
f (x,y)
∂ =M
dx
f (x , y )=∫ (2 e x 2 y 3 +2 e x 2 x 2 y 3 +2e x 2 ) dy+h( x )
ex 2 y4 2 2 2 x2
¿ +ex x y +2 xe y +h( x )
2
∂ f ( x, y) ex 2 y 4 x2 2 2
M= = +e x y −2xee 2 y+h' (x )=2 x3 e x2 y 2 +4 e x2 x 2 y+2e x2 xy 2+e x2 xy 4 +2e x2 y
∂x 2
−ex 2 y 4 x 2 2 2
h'( x)= −e x y −2 xee2 y+2e x2 x 3 y 2 +4e x2 x 2 y+2e x2 x 3 y 2+e x2 xy 4 +2e x 2 y
2
ex 2 y 4 e x 2 y 2 e x2 y 2 x2 e x2 x 2 y 2 3e x2 2e x2 x2
h( x)=− − + −e y+ − +2e x2 xy− +e y
2 2 2x 2 4 x
ex 2 y4 ex 2 y
+ +
2 x
x2 4
e y x2 2 x2
∴ f ( x , y )= +e y +2 xe y+h( x )
2
6) ( xCosy− yseny)dy +( xSeny − yCosy)dy=0
M N
∂M ∂N
=xCosy+Cosy− ySeny≠ =Cosy
∂y ∂x
xCosy+Cosy− ySeny−Cosy
=+1=f ( x)
xCosy− ySeny
e∫ =e∫ =e x
f (x) dx
58
2
Luego: e x ( xCosy− ySeny )dy + e x ( xSeny− yCosy ) dx=0
M N
∂M ∂N
=Cosye x x+e x Cosy−e x ySeny= =Cosye x x+e x Cosy−e x ySeny
∂y ∂x
∂f (x,y)
=M
∂x
x x
f (x , y)=∫ (e xSeny+e yCosy ) dy+g ( y)
¿Senye x ( x−1)+e x yCosy+g ( y)
∂f (x,y)
N= =Cosye x ( x−1)+e y Cosy . ehySeny+g ' ( y)=e x xCosy−e x ySeny
∂y
g’(y) = 0  g(y) = C
∴ f ( x , y)=Seny e x ( x−1)+e 4 Cosy +C
7) (x4+y4) dx – xy3 dy = 0
M N
M(dx, dy)=d4M(x,4)  N(dx, dy)=14N(x,4) Homogéneas
Luego:
1 1 1
= 4 4 =
Mx+Ny ( x + y ) x−( xy 3 ) y x r
59
Entonces:
1 4 4 1
5
( x + y ) dx − 5 ( xy 3 ) dy=0
x x
df df
dx dy
Integrando respecto a “x”:

4
y
f (x , y )=Lnx− +g( y )
4 x4
∂ f ( x , y ) − y3 −y
3
N= = 4 +g ' ( y )= 4
∂y x x
g’(y) = 0  g(y) = C
4
y
∴ f ( x , y )=Lnx− 4 +C
4x
8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.
1 1
=
Luego: y 2 x +(x 2 −xy− y 2 ) y y (x 2 y 2 )
Entonces:
y 2 dx ( x 2−xy − y 2 )
+ dy=0
y ( x 2 y 2 ) y (x 2 − y 2 )
∂ M x2 + y 2 ∂ N x2 + y 2
= 2 2 2= =
dy ( x y ) dx ( x 2 y 2 )2
∂f (x,y)
=M
dx
60
y
f (x , y )=∫ ( )
x2 y2
dx+g( y )
1 x− y
f (x , y )= Ln
2 ( ) +g
x ´+ y ( y)
2 2
∂f (x,y) −1 −1 ( x −xy− y )
N= = + + g ' ( y )=
∂y 2( x− y ) 2( x+ y ) y ( x 2− y 2 )
1
g’(y) = y  g(y) = Lny + C
1 x− y
∴ f ( x , y)= Ln
2 x+ y ( )
+Lny+C
10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0
(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0
∂M ∂N
=4 xy +1 =1+4 xy−4 x3 y 3
dy dx
∂M ∂N
≠
∂ y ∂x
Usamos:
∂M ∂N f '( x ) g' ( y)
− =N −M
∂ y ∂x f ( x) g( y )
f ( x' ) g' ( y)
4 x 3 y 3 =( x+2 x 2 y−x 4 y 3 ) −(2 xy 2 + y )
f ( x) g( y)
f ( x )' −4
= → Lnf ( x )=−4 Lnx f ( x )=x−4
f (x ) x
g( y )' −4
= → Lng( y )=−4 Lnx g( x )= y−4
f (x ) x
61
1
μ( x , y )=f ( x ). g( y )=
x4 . y4
1 ∂ M −2 −3
M= . ( 2 xy 2 + y ) = 3 3+ 4 4
∂y x y x y
x4 y4
1 ∂ N −2 −3
M= . ( x +2 x2 y−x 4 y 3 ) = 3 3+ 4 4
x4 y4 ∂x x y x y
Ahora:
∂M ∂ N
=
∂ y ∂x
∂+( x , y ) 1
= 4 4 (2 xy 2 + y )
∂x x y
(2 xy 2 + y ) −x −2 −x−3
f (x , y )=∫
x4 y4
dx+g ( y )=
(d
)
∫ y 2 −3 y 3 +g ( y )
−x−2 −x−3 1 1
f (x , y )= + +g( y )=− − +g( y )
y2 3 y3 x2 y 2 3 y 3 x 3
∂ f ( x , y ) 2 x2 y x
= 4 4 + 4 4 +g ' ( y )
∂y x y x y
∂f (x , y)
=N
Pero: ∂y
2 x2 y x x 2 x2 y x4 y3
+ +g '( y )= 4 4 + 4 4 − 4 4
x4 y 4 x4 y4 x y x y x y
−1
g '( y )= → g( y )=Ln|y|+C
y
Reemplazamos:
1 1
f (x , y )=− 2 2
− 3 3 −Ln( y )+C
x y 3y x
3.4 FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN
62
Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0
2
−
3 2
ydx + ydx – 3x y dy = 0 … Multiplicando por: 3
2 1
− ( xdy+ ydx )+2 x3 y 2 dy = 0
3 … en: x3 y3
2 ( xdy+ ydx )
− 3 3
+2 x 3 y 2 dy = 0
3x y
2 ( xdy+ ydx ) 2 x 3 y 2 dy
− 3 3 + 3 3 =0
3x y x y
2 ( xdy+ ydx ) 2 dy
− 3 3 + =0
3x y y
1 1
∫ d( ( xy ) 2. 3 )+ ∫ d(2 Lny )=C
1 1
. +2 Lny=C
3 ( xy )2
2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0
2 2
xdx + ydx 4 y 3( x + y )dy
+ =0
(x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 )
xdx + ydx
2 2
+4 y 3 dy=0
(x + y )
2 2
1 d(x + y ) 4
+ d ( y )=0
2 (x +y )
2 2
2 2
1 d(x + y )
∫ 2 ( x 2+ y 2 ) + ∫ d ( y 4 )=0
1
Ln|x 2 + y 2 |+ y 4 =C
2
3) xdy – ydx – (1−x 2)dx =0
63
xdy− ydx (1−x 2 )

− 2 dx = 0
x2 x
xdy− ydx 1
−( 2 −1 )dx = 0
x2 x
∫ d ( xy )+ ∫ d ( x+ 1x )=C
y 1
+x + =C
x x
4) xdy – ydx +(x 2+ y 2)2dx=0
1
d ( x 2+ y 2 )
Sabemos que: xdx + ydx = 2
xdy− ydx ( x 2 + y 2 )
+ dx = 0
(x 2 + y 2 )2 ( x 2 + y 2 )2
1 d ( x2+ y2 )
∫ 2 ( x 2+ y 2 ) + ∫ dx=C
1 1
− +x=C
2 ( x 2+ y 2 )
5) x ( xdy+ ydx)+¿
x ( xdy+ ydx)
+ √ 1−x2 y 2 dx
=0
x √ 1−x 2 y 2 x √ 1−x 2 y 2
1 (xdy + ydx ) −1 dx
− x + x =0
2 √ 1−x 2 y 2 2 x
64
dx
∫ d (1− x2 y 2 )1/2 +∫ x =C
Ln|x|
(1−x 2 y 2 )1/2 +− =C
2
6) ( x 3+ xy 2)− y ¿ dx+( y 3+ x 2 y + x) dy=0
( x ( x 2+ xy 2 ) − y ) dx+ ( y ( x 2+ y 2 ) + x ) dy=0
[ y
( x 2 + y 2 )−
x ] [ y
dx + ( x2 + y 2 )+1 dy=0
x ]
y y
(x 2 + y 2 )dx− dx+ ( x 2 + y 2 )dy +dy =0
x x
2 2 ( xdx+ ydy ) (xdx − ydy )
(x + y ) + =0
x x
(x 2 + y 2 ) ( xdx+ ydy )+( xdy− ydx )=0
( xdy− ydx )
(xdx + ydy )+ 2 2 =0
(x +y )
1 y
∫ 2 d ( x 2+ y 2 )+∫ d (arc Tg ( x ) )=C
1 2 2 y
( x + y )+ arc Tg( )=C
2 x
10) ( x 2+ y 2)(xdy+ ydx)=xy ( xdy− ydx )
65
(x 2 + y 2 ) ( xdy− ydx )
2 2
( xdy+ ydx )−xy 2 2 =0
(x + y ) (x +y )
(xdy + ydx ) xy ( xdy − ydx )
− =0
xy xy ( x 2 + y 2 )
(xdy + ydx ) ( xdy− ydx )
− 2 2 =0
xy (x +y )
∫ d ( Ln( xy )) − ∫ d (arc Tg( xy ) ) =0
y
Ln( xy )−arc Tg( )=C
x
11) xdy – ydx=x 2
xdy− ydx
=x
2 √ x 2− y 2 dx
√ x 2− y2 √ x 2− y 2
xdy− ydx
−xdx=0
√ x 2− y2
y x2
∫ d ( arc Sen(
x
) )−∫ 2 )=C
d (
y x2
Arc Sen ( )− =C
x 2
12) x 3 dy – x 2 ydx= x 5 y dx
xdy – ydx=x 3 y dx , para : x 0
xdy− ydx 2
=x dx
xy
y x3
dLn( )=( )
x 3
y x3
∫ x ∫ 3 )+C
dLn( )= d(
y x3
Ln( )= +C
x 3
13) 3 ydx+ 2 xdy + 4 xy 2 dx +3 x 2 ydy=0
Multiplicamos por x 2 y
3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0
66
d(x3y3) + d(x4y3) = 0
∫ d( x3 y3 )+∫ d( x4 y3 )=C
3 3 4 3
x y + x y =C
14) √ y 2−1 (1− y √ x 2−1 )dx+ √ x 2−1 (1−x √ y 2−1)dx=0

√ y 2−1 y √ y 2−1 √ x 2−1 dx +√ x 2−1 x √ x 2−1 . √ y 2−1 dy=0
√ y 2−1+ √ x 2−1 −√ y 2−1 √ x2−1 ( ydx+xdy )=0
1
Todo entre:
√ y 2−1 √ x2−1
1 dx 1dy
+ −( ydx+xdy)=0
√ x −1 √ y −1
2 2
dx dy
+ −d ( xy )=0
√ x 2−1 √ y 2
−1
dx dy
∫ 2 + ∫ 2 −∫ d ( xy)=C
√ x −1 √ y −1
Ln|x+ √ x 2 −1|− Ln |y+ √ y 2 −1|−xy=C
dy y ( xy +1 )
= Para : x=1 , y =−2
15) dx y ( 1− x 2 )−2
y (1−x 2)−x dy = y (xy +1) dx
ydy− yx 2 dy−xdy=xy 2 dx= ydx
ydy− yx 2 dy – xy 2 dx= ydx =dy
ydy – ( yx 2 dy + xy 2 dx )= ydx + xdy
x2 y2
ydy−d ( )
2
=d ( xy )
67
2 2
(x y )
∫ d 2 =∫ d( xy )+C
 ydy –
y2 y 2 x2
− =xy+C
2 2
y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4
Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4
x+2 √1− y 2 Cosy dy

=0
16) arseny dx + √1− y 2
xdy
arseny dx+ + 2Cosydy=0
√ 1− y 2
d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0
 d(x . arcseny) +  2Cosydy = C
x . Arcseny + 2Seny = C
68
PRACTICA N5
5.1 ECUACIONES LINEALES:
dy
1. +2 xy=4 x
dx
y ¿ e−∫ 2 x dx [∫ e∫ 2 xdx
( 4 x ) dx +c ]
[∫ e ( 4 x ) dx +c ]
2 2
x
y ¿ e−x
y ¿ e−x [ 2 e x + c ]
2 2
y=2 1+
[ ] c
ex
2
xdy dy y
2. = y + x 3+ 3 x 2−2 x  − =x 3 +3 x2 −2 x
dx dx x
y ¿e ∫ [∫ e∫
−1
− −x dx −x−1 dx
( x3 +3 x 2−2 x ) dx+ c]
1
y=x [∫ ( x 3 +3 x 2−2 x ) dx +c ]
x
y=x [∫ ( x 2+3 x ❑−2 ) dx +c ]
x3 3 x2
y=x [ + −2 x +c ]
3 2
69
dy dy −1 2
3- ( x−2 ) = y +2( x−2)  − y ( x−2) =2(x−2)
dx dx
y=e ∫ [∫ e∫
−1
− −(x−2) dx −(x−2)−1 dx
( 2( x−2)2 ) dx +c ]
y=( x−2)[∫ (x−2)−1 ( 2(x−2)2 ) dx +c ]
y=( x−2)[∫ ( 2(x−2)1 ) dx +c ]
y=( x−2)[x 2−2 x+ c ]
y=x 3−4 x 2+ cx+ 4 x−2c
dy cos ⁡( x)
4- + yctg( x )=5 e para: x=π/2 & y= -4
dx
y ¿e ∫ [∫ e∫
− ctg(x)dx ctg( x)dx
( 5 e cos ⁡(x) ) dx+ c ]
sen ( x)
ln ⁡¿
e¿
∫¿
y ¿ e−ln ⁡( sen ( x )) ¿
y ¿ sen( x)−1 [∫ sen( x) ( 5 ecos ⁡( x ) ) dx+ c]
−1 cos ⁡(x)
y ¿ sen( x) [−5 e +c ]
cos ⁡( x) −1 −1
y=−5 e sen( x ) + c sen( x )
cos ⁡( π / 2) −1 −1
−4=−5 e sen (π / 2) +c sen (π /2)
Despejando C:
−4=−5+ c
c=1
cos ⁡( x) −1 −1
La ecuación es: y=−5 e sen( x ) + sen (x)
3 dy 2 3 dy 2 3
5- x + ( 2−3 x ) y =x  +( − ) y=1
dx dx x 3 x 1
70
2 3
−∫ ( 3
− 1 )dx ∫ ( 23 − 31 )dx
y=e x x
[∫ e x x
( 1 ) dx +c ]
−2 −2
y=e x x 3 [∫ e−x x−3 dx+ c]
x 3 1 −x −2 −2
y=e x [ e + c]
2
1 −2
y=x 3 +c e x x 3
2
dy dy −1 −1
6- ( x−ln ( y ) ) =− yln( y )  + x ( yln ( y )) = y
dx dx
−1 −1
x=e ∫ [∫ e∫
− ( yln( y ) ) dy (yln ( y ) ) dy
( y−1) dy + c]
x=e−ln ⁡(lny ) [∫ e ln ⁡(lny ) ( y−1 ) dy +c ]
1
lny ∫
x= [ lny ( y −1 ) dy +c ]
2
1 (lny)
x= [ +c]
lny 2
(lny)1 1
x= + c
2 lny
dy
7- −2 yctg ( 2 x ) =1−2 xctg ( 2 x )−2 csc ⁡( 2 x)
dx
y=e ∫ [∫ e∫
− −2 ctg ( 2 x ) dx −2 ctg ( 2 x ) dx
( 1−2 xctg ( 2 x )−2 csc ⁡( 2 x )) dx+ c ]
y=eln ⁡( sen (2 x )) [∫ e−ln ⁡( sen ( 2 x )) ( 1−2 xctg ( 2 x )−2 csc ⁡( 2 x ) ) dx+ c ]
2
y=sen(2 x) [∫ (csc(2 x)−2 xctg ( 2 x ) csc(2 x)−2 ( csc ( 2 x ) ) ) dx+ c ]
ln |csc ( 2 x ) −ctg ( 2 x )| ln |csc ( 2 x ) −ctg (2 x )|

y=sen(2 x) [ + xcsc ( 2 x )− + ctg ( 2 x ) +c ]
2 2
y=sen(2 x) [xcsc ( 2 x ) +ctg ( 2 x ) + c]
y=x +cos ⁡( 2 x)+ sen(2 x)c
71
dy 2
8- +2 y=x +2 x
dx
y=e ∫ [∫ e∫ ( x 2+2 x ) dx+ c ]

− 2 dx 2 dx
y=e−2 x [∫ e 2 x ( x 2 +2 x ) dx + c]
e2 x ( x 2+ 2 x ) 1
− ∫ e 2 x ( 2 x +2 ) dx+ c ]
−2 x
y=e [
2 2
e2 x ( x 2+ 2 x ) 1
y=e−2 x [ − ( ( x+1 ) e 2 x −∫ e 2 x dx)+c ]
2 2
e2 x ( x 2+ 2 x ) 1
y=e−2 x [ − ( ( x+1 ) e 2 x −∫ e 2 x dx)+c ]
2 2
−2 x e2 x ( x 2+ 2 x ) 1 1
y=e [ − ( ( x+1 ) e 2 x − e 2 x )+ c]
2 2 2
2
x x 1
y= + − + c e−2 x
2 2 2
dy
9- xln ( x ) − y =x3 (3 ln ( x )−1) 
dx
dy −1
−( xln( x))−1 y= ( xln ( x ) ) (x 3 ( 3 ln ( x )−1 ) )
dx
y=e−∫ −(xln (x)) [∫ e∫ −(xln (x))

−1 −1
dx dx
( ( xln ( x ) )−1 ( x 3 ( 3 ln ( x )−1 ))) dx+ c]
y=eln ⁡( ln x ) [∫ e∫ (( xln ( x ) )−1( x3 ( 3 ln ( x )−1 ) )) dx +c ]
( ) −ln ⁡( ln ( x ) )dx
y=ln ⁡( x )[∫ ( xln ( x ))

−1
( ( xln ( x ) )−1 (x3 ( 3 ln ( x )−1 ) )) dx +c ]
−2
y=ln ⁡( x )[∫ ( xln ( x )) ( x 3 ( 3 ln ( x )−1 ) ) dx +c ]
x3
y=ln ⁡( x )[ +c ]
ln ⁡( x)
y=x 3 +c . ln( x)
72
dy dy
10- +Q ( x ) ´ y−Q ( x ) Q ( x ) ´=0  +Q ( x ) ´ y=Q ( x ) Q ( x ) ´
dx dx
y=e ∫ [∫ e∫
− Q ( x ) ´ dx Q ( x ) ´ dx
( Q ( x ) Q ( x ) ´ ) dx +c ]
y=e−Q ( x ) [∫ e Q ( x ) ( Q ( x ) Q ( x ) ´ ) dx +c ]
−Q ( x ) Q ( x) Q(x )
y=e [e Q ( x )−e +c ]
y=Q ( x )−1+c e−Q (x )
dy 1 dx
11- =  −xsen ( y )=2 sen (2 y)
dx xsen ( y ) +2 sen (2 y) dy
x=e ∫ [∫ e∫
− −sen ( y ) dy −sen ( y ) dy
( 2 sen(2 y ) ) dy+ c]
x=e−cos ⁡( y) [∫ ecos ⁡( y) ( 2 sen (2 y ) ) dy +c ]
−cos ⁡( y) cos ( y ) cos ⁡( y)

x=e [e −e cos ⁡( y )+ c ]
−cos ⁡( y)
x=1−cos ⁡( y)+e c
dy
12- − yctg ( x )=2 x−x 2 ctg(x)
dx
y=e ∫ [∫ e∫
− −ctg (x)dx −ctg(x)dx
( 2 x− x2 ctg (x)) dx+ c]
e−ln ⁡∨sen ( x )∨¿ ( 2 x−x 2 ctg( x) ) dx +c

∫¿
ln ⁡∨ sen ( x )∨¿ ¿
y=e¿
y=sen(x )[∫ csc(x) ( 2 x−x 2 ctg( x ) ) dx+ c ]
y=sen( x )[∫ csc ( x)2 x −x2 ctg(x) csc (x )dx+ c]
2
y=sen( x )[x csc( x )+c]
y=x 2 +csen ( x)
π π2
Dato: y ( )= +1
2 4
73
π
x= , c=1
2
2
Entonces la ecuación es : y=x +sen (x)
13- ( 1+ x 2 ) ln ( 1+ x 2 ) dy −2 xy =ln ( 1+ x 2) −2 xarctg( x ) 

dx
dy 2 xy 1 2 xarctg ( x)
− = −
dx ( 1+ x ) ln ( 1+ x ) ( 1+ x ) ( 1+ x2 ) ln ( 1+ x 2 )
2 2 2
−2 x x
−∫ dx ∫ ( 1+ x2−2 dx
2 xarctg ( x )
y=e ( 1+ x2 ) ln (1+ x 2)
[∫ e ) ln (1+ x 2)
( 1
−
( 1+ x ) ( 1+ x 2 ) ln ( 1+ x2 )
2 )
dx +c ]
2 xarctg(x )
( 1
)
2
e−ln ⁡∨ln ⁡( 1+ x )∨¿ − dx+ c

( 1+ x ) ( 1+ x 2 ) ln ( 1+ x 2)
2
∫¿
ln ⁡∨ln ⁡( 1+ x 2)∨¿ ¿
y=e¿
2 xarctg (x)
y=ln ⁡( 1+ x 2) [∫
1
2
1
(−
ln ⁡( 1+ x ) ( 1+ x ) ( 1+ x2 ) ln ( 1+ x 2 )
2
dx +c ]
)
1
ln ( 1+ x 2 ) ( 1+ x 2 )
−2 xarctg ( x )
(¿ 2 )dx+ c
( 1+ x 2) ln ( 1+ x 2 )
∫¿
2
y=ln ⁡( 1+ x ) ¿
dx 2 xarctg ( x )
y=ln ⁡( 1+ x 2)[∫ 2 2
−∫ 2
dx +c ]
ln ( 1+ x ) ( 1+ x ) ( 1+ x2 ) ln ( 1+ x 2 )
dx arctg ( x ) dx
y=ln ⁡( 1+ x 2)[∫ + −∫ +c]
2 2 2 1
ln ( 1+ x ) ( 1+ x ) ln ( 1+ x ) ln ( 1+ x2 ) ( 1+ x 2 )
arctg ( x )
y=ln ⁡( 1+ x 2) [ 1
+c ]
ln ( 1+ x 2 )
y=arctg ( x ) +ln ⁡( 1+x 2 )c
74
dy
14- −2 xy =cosx−2 xsenx
dx
y=e ∫ [∫ e∫
− −2 xdx −2 x dx
( cosx−2 xsenx ) dx +c ]
2 −2
y=e [ ∫ e ( cosx−2 xsenx ) dx +c ]

x x
2 −2 −2
y=e x [∫ e x cosx dx−∫ e x 2 xsenx dx +c ]

2 −2 −2 −2
y=e [ senx . e +∫ e 2 xsenx dx−∫ e 2 xsenx dx +c ]

x x x x
2 −2
y=e x [ senx . e x +c ]
2
y=senx +e x c
dy 1 dx
15- =  + x=e y
dx e y −x dy
x=e ∫ [∫ e∫ ( e ) dy +c ]
− dy dy y
x=e− y [∫ e y ( e y ) dy +c ]
x=e− y [∫ e2 y dy +c ]
e2 y
x=e− y [ + c]
2
e y −y
x= +e c
2
5.2 ECUACIONES DE BERNOULLI:
dy dy
1- − y=x y 5 multiplicando por −5
y  y−5 − y −4 =x
dx dx
−5 dy −4
multiplicando por -4  -4 y − y =x
dx
tomando y =z
−4
 −5
−4 y dy=dz entonces la ecuación tomaría la
siguiente forma :
75
dz
+4 z=−4 x
dx
z=e ∫ [∫ e∫ (−4 x ) dx + c]
− 4 dx 4 dx
z=e−4 x [∫ e 4 x (−4 x ) dx +c ]
e4 x
z=e−4 x [ −x e 4 x +c ]
4
1
z= −x+ c e−4 x
4
1
y−4 = −x +c e−4 x
4
dy 4 dy 4
2- +2 xy + x y =0  +2 xy=−x y multiplicando por y
−4
dx dx
y −4 dy y−4 dy
+2 x y −3=−x multiplicando por -3  −3 −6 x y −3 =−3 x
dx dx
Tomando −3
y =z  −4
−3 y dy =dz entonces la ecuación tomaría la
siguiente forma:
dz
−6 xz =−3 x
dx
z=e ∫ [∫ e∫
− −6 xdx −6 xdx
(−3 x ) dx+ c]
z=e 3 x [∫ e−3 x (−3 x ) dx +c ]
−3 x
e
z=e 3 x [e−3 x + +c ]
3
76
1 3x
z=1+ + e c
3
1
y−3=1+ + e3 x c
3
dy 1 1
3- + y = (1−2 x ) y 4 multiplicando por y
−4

dx 3 3
y −4 dy 1 −3 1
+ y = (1−2 x) multiplicando por -3 
dx 3 3
−4
−3 y dy
− y −3=(2 x−1)
dx
Tomando y−3=z  −3 y −4 dy =dz entonces la ecuación tomaría la
siguiente forma:
dz
−z =2 x−1
dx
z=e ∫ [∫ e∫
− −1 dx −1 dx
( 2 x−1 ) dx+ c ]
z=e x [∫ e−x ( 2 x−1 ) dx +c ]
z=e x [2 e−x x−e−x + c]

x
z=2 x−1+e c
y−3=2 x−1+e x c
dy
4- + y = y 2 ( cosx−senx ) multiplicando por y
−2

dx
y −2 dy −1 (
+ y = cosx−senx )
dx
− y −2 dy
multiplicando por -1  − y−1=( senx−cosx )
dx
77
tomando −1
y =z  −y dy=d z
−2
entonces la ecuación tomaría la
siguiente forma:
dz
−z =senx−cosx
dx
z=e ∫ [∫ e∫
− −1 dx −1 dx
( senx−cosx ) dx+ c]
z=e x [∫ e−x ( senx−cosx ) dx+ c ]
z=e x [−e−x senx +c ]

x
z=−senx + e c
−1 x
y =−senx + e c
dy
5- xdy−[ y + x y 3 ( 1+lnx ) ] dx=0  − y x−1= y 3 ( 1+ lnx ) multiplicando por
dx
y−3
y −3 dy
− y −2 x −1=1+lnx multiplicando por −2 
dx
−2 y−3 dy
+2 y−2 x−1=−2−2 lnx
dx
tomando −2
y =z  −2 y−3 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente
forma:
dz
+2 z x−1=−2−2 lnx
dx
z=e ∫ [∫ e∫
−1
− 2x dx 2 x−1 dx
(−2−2 lnx ) dx+ c]
z=e−2 lnx [∫ e2 lnx (−2−2 lnx ) dx+ c]
z=x−2 [∫ x 2 (−2−2lnx ) dx +c ]
3 3
x ( x
z=x−2 [−2( 1+ lnx )− )+ c ]
3 9
78
−2 x ( 1+lnx ) 2 x
z= + + c x−2
3 9
−2 x ( 1+lnx ) 2 x
y−2= + + c x−2
3 9
dy y3
6- 2 xdy +2 ydx=x y dx
3
 + y x−1 = multiplicando por y
−3
dx 2
−3
y dy −2 −1 1
 +y x = multiplicando por −2 
dx 2
−2 y−3 dy
−2 y−2 x −1=−1
dx
tomando −2
y =z  −2 y−3 dy=dz entonces la ecuación tomaría la siguiente
forma:
dz
−2 z x −1=−1
dx
z=e ∫ [∫ e∫
−1
− −2 x dx −2 x−1 dx
(−1 ) dx +c ]
z=e 2 lnx [∫ e−2 lnx (−1 ) dx +c ]
z=x 2 [∫ x −2 (−1 ) dx +c ]
z=x 2 [x −1 +c ]
y−2=x + x 2 c
dy x dx
7- = 2 3  −xy= y 3 x −1 multiplicando por x 
dx yx + y dy
xdx
−x 2 y = y 3
dy
2 xdx 2 3
multiplicando por 2  −2 x y=2 y tomando 2
x =z  2 x dx=d z
dy
dz 3
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: −2 zy =2 y
dy
z=e ∫ [∫ e∫
− −2 y dy −2 y dy
( 2 y 3 ) dy +c ]
79
2 2
z=e y [∫ e− y ( 2 y 3 ) dy+ c ]
2 2 2
z=e y [−y 2 e− y −e− y + c ]

2
x 2=− y 2−1+ e y c
dx y 2 y8
8- y 2 ( y 6−x 2 ) y =2 x  + x= x−1 multiplicando por x 
dy 2 2
2 8
xdx y 2 y
+ x=
dy 2 2
2 xdx 2 2 8
multiplicando por 2  + y x =y tomando x 2=z  2 x dx=d z
dy
dz 2 8
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: + y z= y
dy
2 2
z=e ∫ [∫ e∫ ( y 8 ) dy +c ]
− y dy y dy
3 3
−y y
z=e 3
[∫ e ( y 8 ) dy +c ]
3
3 3
−y y
y6 y3
z=e 3
[9
9 (−2 + 2 e 3 + c]
3 )
3
−y
2 6 3 3
x = y −6 y +18++18 e c
x3 y x3
9- ydx + x− ( 2 )
dy=0 
dx 1
+ x=
dy y 2
multiplicando por x
−3

x −3 dx 1 −2 1
+ x =
dy y 2
−3
2 x dx 2 −2
multiplicando por -2  + x =1 tomando x−2=z 
dy y
−3
−2 x dx=d z
dz 2
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: − z =−1
dy y
−2
−∫ dy ∫ −2 dy
z=e y
[∫ e y
(−1 ) dy+ c ]
80
z=e 2 lny [∫ e−2 lny (−1 ) dy + c]
z= y 2 [∫ y−2 (−1 ) dy+ c ]
2 −1
z= y [ y + c]
−2 1 2
x =y + y c
dy 1+ xsenx −senx 4
− y= y
dx 3x x
−4
y dy 1+ xsenx −3 −senx
multiplicando por −4
y − y = multiplicando por -3 
dx 3x x
−3 y−4 dy 1+ xsenx −3 senx

+ y =3
dx x x
tomando y =z
−3
 −3 y −4 dy =d z entonces la ecuación tomaría la siguiente
forma:
dz 1+ xsenx senx
+ z=3
dx x x
1+ xsenx
∫ 1+ xsenx
(3 senxx ) dx +c ]
−∫ dx dx
z=e x
[∫ e x
senx
z=e lnx+ cosx [∫ e lnx−cosx 3 ( x )
dx+ c ]
e cosx
z= [3 ∫ e−cosx senx dx+ c]
x
cosx
e
z= [3 e−cosx + c ]
x
cosx
3 ce
y−3= +
x x
dy x3 dy 2 y x 2 2
11- 3x −2 y = 2  − = multiplicando por y 
dx y dx 3 x 3 y 2
2 3 2
y dy 2 y x
− =
dx 3x 3
81
2 3
3 y dy 2 y
multiplicando por 3  − =x 2 tomando 3
y =z 
dx x
2
3 y dy =d z
dz 2 2
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: − z=3 x
dx x
−2
−∫ dx ∫ −2 dx
z=e x
[∫ e x
( 3 x 2 ) dx+ c ]
z=e 2 lnx [∫ e−2 lnx ( 3 x 2) dx +c ]
z=x 2 [∫ x −2 ( 3 x 2 ) dx +c ]
z=x 2 [x +c ]
3 3 2
y =x +c x
dy 1 3
12- ( 2 x y 3− y ) dx +2 xdy=0  − y=− y multiplicando por
dx 2 x
dy 1 −2
y−3 y−3 − y =−1 multiplicando por -2 
dx 2 x
dy 1 −2
−2 y−3 + y =2
dx x
tomando y =z
−2
 −3
−2 y dy=dz entonces la ecuación tomaría la
siguiente forma:
dz 1
+ z =2
dx x
1
−∫ dx ∫ 1x dx
z=e x
[∫ e ( 2 ) dx+ c ]
z=e−lnx [∫ e lnx ( 2 ) dx +c ]
1
z= [∫ x ( 2 ) dx +c ]
x
1 2
z= [ x + c]
x
82
−2 1
y =x + c
x
dy 2 dy ctgx cscx −1
13- 2y + y ctgx=cscx  + y= y multiplicando por
dx dx 2 2
ydy ctgx 2 cscx

y + y = multiplicando por 2 
dx 2 2
2 ydy
+ ctgx y 2=cscx
dx
2
tomando y =z  2 ydy=d z entonces la ecuación tomaría la siguiente
forma:
dz
+ctgxz=cscx
dx
z=e ∫ [∫ e∫
− ctgx dx ctgx dx
( cscx ) dx +c ]
z=e−ln ⁡(senx ) [∫ eln ⁡( senx ) ( cscx ) dx+ c ]
z=cscx [∫ senx ( cscx ) dx+ c ]
z=cscx [x +c ]
2
y =x .cscx + c . cscx
dy y −1
14- + = ( x +1)3 y 2 multiplicando por y
−2

dx x+1 2
y −2 dy y −1 −1
+ = ( x+ 1)3
dx x +1 2
− y −2 dy y −1 1
multiplicando por -1  − = ( x +1)3 tomando −1
y =z 
dx x +1 2
−2
−y dy=dz
dz z 1 3
entonces la ecuación tomaría la siguiente forma: − = ( x +1)
dx x +1 2
83
−1 −1
−∫ ∫ x+1 dx 1
( 2 (x+1) ) dx +c ]
dx
z=e x+1
[∫ e 3
z=e ln ⁡(x+1) [∫ e−ln ⁡( x+1 ) ( 12 (x +1) ) dx+ c ]

3
1 1
z=( x+1)[∫
( x+1) 2 (
( x +1)3 dx+ c ])
1
z=( x+1)[ ∫ ( x+ 1)2 dx+ c ]
2
1
z=( x+1)[ (x +1)3+c ]
6
1
y−1= (x+1)4 +( x+ 1)c
6
PRACTICA N 6
6. INDENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES:
6.1 EN CADA UNO DE LOS CASOS, AVERIGUAR SI LAS FUNCIONES DADAS
SON O NO, LINEALMENTE INDEPENDIENTE (POR DEFINICIÓN ALGEBRAICA).
2 ( x )=¿ e−x
1- 1 ( x )=¿ e x , f ¿ de la forma  ∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x )=0
f¿
x −x x −x
∝1 e +∝2 e =0 …(1) Derivando  ∝1 e −∝2 e =0 …(2)
Sumando (1)+(2) : x
2∝1 e =0  ∝1=0 y ∝2=0 ; entonces son
linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2 (x) .
84
3 ( x )=¿ e−x
2 ( x ) =¿ 2e x , f ¿ ∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x ) +∝3 f 3 ( x )=0
2- de la forma 
1 ( x )=¿ e x , f ¿
f¿
x x −x x x −x
∝1 e +2 ∝2 e +∝3 e =0 …(1) Derivando  ∝1 e +2 ∝2 e −∝3 e =0 …(2)
Sumando (1)-(2) : 2∝3 e =0

−x
 ∝3=0 y ∝1=−2 ∝2 ; entonces no
son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2( x ) , f 3 ( x )
3- f 1 ( x ) =x , f 2( x )=2 x , f 3 ( x )=x
2
de la forma  ∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x ) +∝3 f 3 ( x )=0
∝1 x +2∝2 x +∝3 x =0
2
Derivando  ∝1+2 ∝2+ 2∝3 x =0 Derivando
2∝3=0  ∝3=0 y ∝1=−2 ∝2 ; entonces no son linealmente independiente
f 1 ( x ) , f 2( x ) , f 3 ( x ) .
4- f 1 ( x ) =sen ( ax ) , f 2 ( x ) =cos ⁡( ax ) de la forma  ∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x )=0
∝1 sen ( ax )+ ∝2 cos ⁡( ax )=0 Derivando  a ∝1 cos ( ax )−a ∝2 sen ⁡( ax)=0
 ∝12 =−∝22 ; entonces no son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2( x ) .
5- f 1 ( x ) =1, f 2 (x )=x , f 3 (x )=x

2
de la forma  ∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x ) +∝3 f 3 ( x )=0
2
∝1+∝2 x +∝3 x =¿ 0 Derivando  ∝2+2 ∝3 x=0 Derivando  2∝3=0
 ∝3=0 , ∝2 =0 y ∝1=0 ; entonces son linealmente independiente
f 1 ( x ) , f 2( x ) , f 3 ( x ) .
6- f 1 ( x ) =e ax sen ( bx ) , f 2 ( x )=e ax cos ⁡( bx) de la forma  ∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x )=0
ax ax
∝1 e sen ( bx )+ ∝2 e cos ( bx )=0 Derivando 
( a ∝1−b ∝2 ) e ax sen ( bx ) +(b ∝1+ a∝2 )e ax cos ( bx )=0  2 b ∝1 ∝2 =a(∝1 −∝2 )

2 2
85
Como  ∝1 =−∝2
2 2
entonces : b ∝2=a ∝1 ; entonces no son linealmente
independiente f 1 ( x ) , f 2( x ) . .
cx
3 ( x )=¿ e ,a ≠ b ≠ c
2 ( x )=¿ e bx , f ¿
7- ax de la forma 
1 ( x )=¿ e , f ¿
f¿
∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x ) +∝3 f 3 ( x )=0  e ax ∝1+ ebx ∝2 +e cx ∝3 =0 
e(a−c) x ∝1+ e(b−c)x ∝2 +∝3=0 (a−c) x

derivando (a−c) e ∝1+(b−c )e(b−c)x ∝2=0
∝3=0 , (a−c)e (a−b )x ∝1 +( b−c)∝2 =0 , ∝2=0 ; derivando 
(a−b)(a−c )e (a −b )x ∝1=0 , ∝1=0 ; entonces son linealmente independiente
f 1 ( x ) , f 2( x ) , f 3 ( x ) .
8- f 1 ( x ) =lnx , f 2 ( x )=x .lnx , f 3( x )=x2 . lnx de la forma 
∝1 f 1( x )+∝2 f 2 ( x ) +∝3 f 3 ( x )=0  lnx ∝1 + x .lnx ∝2+ x . lnx ∝3=0

2
1
Derivando  ∝ +lnx ∝2 +∝2 +2 x . lnx∝3 + x ∝3=0 , ∝2=0
x 1
−1
Derivando  2
∝1 +2lnx ∝3 +2∝3 +∝3=0 , ∝3=0 y ∝1=0
x
entonces son linealmente independiente f 1 ( x ) , f 2( x ) , f 3 ( x ) .
6.2 WRONSKIANO
1- 1, x , x2 , … , x n−1 n>1
Generalizando:
2 2 3
para 1, x : para 1, x , x : para 1, x , x , x :
1 x x2 x3
( ) ( )
2
1 x x
| |
1 x =1
0 1
0 1 2x
0 0 2
= 2 0 12 x
0 02
3 x 2 =12
6x
0 00 6
Entonces:
86
n−1
( )
1 ⋯ x
⋮ ⋱ ⋮ = 0! 1! …(n-1)! = W
0 ⋯ ( n−1 ) !
mx nx
2- e , e m ,n ∈ Z m ≠ n
| e mx
me
mx
enx
ne |
nx = ( n−m ) e
( m+n ) x
=W
3- sen ( hx ) , cos ⁡( hx )
| sen ( hx ) cos ⁡( hx)

cos ⁡( hx ) sen ( hx ) | 2
= sen ( hx ) −cos ⁡( hx)2=−1=W
4- x , xe x
| x xe x
x
1 xe +e
2 x
| x x 2 x
x =x e + xe −xe =x e =W
x x
5- e senx , e cosx
| e x senx e x cosx
e x senx+ e x cosx e x cosx−e x senx |
e
(¿ ¿ x cosx−e senx )−e cosx ( e x senx+ e x cosx )=−e 2 x =W
x x
¿ e x senx ¿
6- 1+cos ( 2 x ) ,( cosx)2
| 1+cos ( 2 x ) (cosx)2
−2 sen( 2 x ) −cos ⁡(2 x ) | 2 2
=−cos ( 2 x )−cos ( 2 x ) + ( cosx ) 2 sen ( 2 x )=0=W
7- −x
e , xe
−x
e
¿
e−x (¿−x−xe¿¿−x)+ xe−2 x =e−2 x =W
¿
| |
−x
e xe−x
=¿
−e−x e−x −xe−x
2x
8- −x
1, e , 2 e
87
2x
( )
−x
1 e 2e
x x x
0 −e−x
4 e2 x =−8 e −4 e =−12 e =W
0 e−x 8 e 2 x
9- 2, cos ( x ) , cos ( 2 x )
( )
2 cos ( x ) cos ( 2 x )
3
0 −sen (x) −2 sen ( 2 x ) =2 sen ( x ) 4 cos ( 2 x ) +2 cos ( x ) cos ( 2 x ) =−8(senx) =W
0 −cos ⁡(x) −4 cos ( 2 x )
10- - e−3 x sen ( 2 x ) , e−3 x cos ( 2 x )
| e−3 x sen ( 2 x ) e−3 x cos ( 2 x )

−3 e−3 x sen ( 2 x ) +2 cos ⁡( 2 x )e−3 x −3 e−3 x cos ( 2 x ) −2 sen( 2 x )e−3 x |
¿ e−3 x sen ( 2 x ) (−3 e−3 x cos ( 2 x )−2 sen ( 2 x ) e−3 x ) −e−3 x cos ( 2 x ) (−3 e−3 x sen ( 2 x ) +2 cos ( 2 x ) e−3 x ) =−2 e−6 x =W
6.3 MEDIANTE EL WRONSKIANO, DEMOSTRAR QUE CADA UNO DE LOS
SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES SON LINEALMENTE
INDEPENDIENTES:
1- lnx , xlnx
| |
lnx xlnx
2 2
1 =lnx +lnx −lnx=lnx ≠ 0 entonces las funciones : lnx , xlnx
1+lnx
x
son linealmente independientes.
2- 1, e−x , 2 e2 x
2x
( )
−x
1 e 2e
x x x
0 −e −x
4 e2 x ¿−8 e −4 e =−12e ≠ 0 entonces las funciones :
−x 2x
0 e 8e
2x
−x
1, e , 2 e son linealmente independientes.
3- x 1/ 2 , x 1/ 3
88
x
−1
6
1 −x
(¿ ¿ )= ≠ 0 para x ≠ 0
3 6
| |
1/ 2 1/ 3 −2 −1
x x 1
x−1 /2 x−2 /3
=
x3 2
3
x −(
x2
2
)¿ ( )
2 3
1/ 2 1/ 3
entonces las funciones : x ,x son linealmente independientes.
ax ax
4- e sen ( bx ) , e cos ( bx ) b ≠ 0
| e ax sen ( bx ) e ax cos ( bx )
a e ax sen ( bx ) +be ax cos ( bx ) aeax cos ( bx )−be ax sen ( bx )
=¿ |
e ax sen ( bx ) ( aeax cos ( bx )−be ax sen ( bx ) )−eax cos ( bx ) ( a e ax sen ( bx ) +be ax cos ( bx ) ) =−b e 2 ax
≠ 0 entonces las funciones:
e ax sen ( bx ) , e ax cos ( bx ) son linealmente independientes.
5- 1 ,(senx )2 ,1−cosx
( )
1 (senx ) 1−cosx
3
0 sen (2 x ) senx =sen ( 2 x ) cosx−2 cos ( 2 x ) senx=2( senx) ≠ 0 ,para x≠0
0 2 cos ⁡( 2 x ) cosx
2
entonces las funciones : 1 ,(senx ) ,1−cosx son linealmente
independientes.
6- ln ( x−1 )−ln ( x +1 ) , 1
| ln ( x−1 ) −ln ( x+1 ) 1

1
−
x −1 x +1
1
0
=0−
1
+
|1 −2
= 2
x−1 x +1 x −1
≠ 0 , para x ≠ 1
entonces las funciones : ln ( x−1 )−ln ( x +1 ) , 1 son linealmente
independientes.
7- √2 1−x 2 , x
| √2 1−x 2
−x( 1−x ) 2 −1 /2 |
x = √2 1−x2 + x 2 (1−x 2 )−1 /2 =(1−x 2 )−1/ 2 ≠ 0 , para x ≠1
1
entonces las funciones : √2 1−x 2 , x son linealmente independientes.
89
8- sen ( 2x ), (cosx) 2
| 1
2
sen ( x2 )
x
cos ⁡( ) −sen (2 x )
2
(cosx)2
|
=−sen ( 2 x ) sen ( x2 )−( cosx) 12 cos ⁡( x2 )≠ 0
2
entonces las funciones : sen ( 2x ), (cosx ) 2

son linealmente independientes.
9- x 2 , x4 , x8
2 4 8
( )
x x x
3 11 11 11 11 11 11 11
2x 4x 8 x 7 =224 x +24 x +16 x −8 x −96 x −112 x =48 x ≠0
2 6
2 12 x 56 x
para x ≠ 0 entonces las funciones : s x 2 , x 4 , x 8 son linealmente
independientes.
x x 2 x
10- e ,x e ,x e
ex x ex x2 ex
( e x x e x +e x x 2 e x + 2 x e x =¿
e x x e x +2 e x x 2 e x + 4 x e x +2 e x
)
x
¿
(¿ 2 e ¿ ¿ x +4 x e x +2 e x )+ e x ( x e x +2 e x ) x 2 e x +e x x e x (x 2 e x +2 x e x )
¿
e ( x e x+ e x) ¿
x
x
¿
(¿ 2 e ¿ ¿ x + 4 x e x +2 e x )=2 e3 x
¿
−e ( x e + e ) x e −e ( x e +2 e x ) ( x 2 e x +2 x e x )−e x x e x ¿
x x x 2 x x x
x x 2 x
entonces las funciones : e ,x e ,x e son linealmente independientes.
6.4 DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES
CERO (GRAFICARLOS)
1 ¿ SI XE[−1,0]→ ∝1 f 1( X)+∝ 2 f 2( X )=0
90
→∝ 1 X 2+∝ 20=0 ⇒∝ 1=0
SI XE[0, 1]→ ∝1 f ,( X )+∝ 2 f 2(X )=0 ⇒ f 1 y P 2 Son L . I .
→ 0+∝2 X 2=0 ⇒∝ 2=0
UROSKIANO EN [-1,0]
X2 0
= =0
2X 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2 = 0
=
0 2X
2 ¿ SI XE[0,2]→ ∝1 f 1( X )+∝2 f 2( X)=0 ⇒f 1 y P 2 Son L . I .
∝1 0+∝2 (X−2)2=0 ⇒ ∝ 2=0
Si XE[2, 4 ]→ ∝1 f 1(0)+∝ 2 f 2( X )=0
∝1( X−2)2+0=0 ⇒ ∝ 1=0
WROSKIANO EN [-0,2]
4-
0 (X-2)2
W= =0
0 2(X-2)
0 2 4
WROSKIANO EN [2,4]
(X-2)2 = 00
W=
2(X-2) 0
3) SI XE [-2, 0] → ∝ f (X) +
1 1 ∝ f (X) = 0 P1 y P2
2 2 son L.I.
91
∝ 1 X3 + ∝ 2 0 = 0 ∝ 1 =0
SI XE [0, 1] → ∝ f (X) +
1 1 ∝ f (X) = 0
2 2
0 + ∝ 2 X2 = 0 ∝ 2 =0
WROSKIANO EN [-2,0]
X3 0
W= =0
2
3X 0
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2 = 0 -2 0 1
W=
0 2X -8
4) f1= X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0

f2 (X) =
X2 0<x<1 X2 X 2 0<x<1
SI XE [-1,0] → ∝ 1 X2 - ∝ 2 X2 = 0 (X) = 0
→ ∝ 1 X2 + ∝ 2 0= 0 ∝ 1 =0
SI XE [0, 1] → ∝ 1 f, (X) + ∝ 2 2 f (X) = 0 f1 y P2
→ 0+ ∝ 2 X2 = 0 ∝ 2 =0 son L.I.
UROSKIANO EN [-2,0]
X3 0
W= =0
3 X2 0
-1
UROSKIANO EN [0,1]
0 X2 =0
W= -1 -1
0 2X -1
DEMOSTRACIONES
92
1)
r2 - r - 2 = 0
r -2
� r = 2 r = -1
r 1
yg = C1 e 2 x + C2 e 2 x
r 4 - r 3 - 3r 2 + 5r - 2 = 0
2)
( r - 1) ( r 3 - 3r + 2 ) = 0
( r - 1) ( r - 2 ) ( r - 1) = 0
r1 = 1, r2 = 2, r3 = 1
yg = C1 e x + C2 e 2 x + C3 e x
yg = C4 e x + C2 e 2 x
93
PRACTICA N7
7. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
7.1ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
7.1.1RAÍCES REALES DISTINTAS:
1) y’’ + 2y’ – 15y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 + 2r – 15 = 0 ⟶ r1= 3, r2= -5
Solución general:
y = c1e3x + c2e-5x
2) y’’’ + y’’ – 2y’ = 0
Sol:
Sea: P(r) = r3 + r2 – 2r = 0 ⟶ r1= 0, r2= -2, r3=1
Solución general:
y = c1 + c2e-2x + c3ex
3) y’’ – y =0
Sol:
Sea: P(r) = r2 - 1 = 0 ⟶ r1= 1, r2= -1
Solución general:
y = c1ex + c2e-x
4) y’’ + y’ – 6y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 + r - 6 = 0 ⟶ r1= 2, r2= -3
Solución general:
y = c1e2x + c2e-3x
94
5) y’’ – 3y’ + 2y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 - 3r + 2 = 0 → r1= - 2, r2= -1
Solución general:
y = c1e-2x + c2e-x
6) y’’’ – 2y’’ – y’ + 2y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r3 - 2r2 – r + 2 = 0 → r1= 2, r2= -1,r3= 1
Solución general:
y = c1e2x + c2e-x + c3ex
7) y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0 → r1= 6, r2= -1, r3= 1
Solución general:
y = c1e6x + c2e-x + c3ex
8) y’’’ – y’’ – 12y’ = 0
Sol:
Sea: P(r) = r3 - r2 - 12r = 0 → r1= 0, r2= -3, r3= 4
Solución general:
y = c1 + c2e-3x + c3e4x
9) y’’ – 4y’ + y = 0
Sol:
√3i √3i
Sea: P(r) = r2 - 4r + 1 = 0 → r 1= 2 + , r2= 2 -
2 2
Solución general:
95
√3i √3i
y = c1e2xcos + c2e2xsen(- )
2 2
10)2y’’’ – 7y’ – 2y = 0
Sol:
√2 √2
Sea: P(r) = 2r3 - 7r - 2 = 0 → r1= -1 + r2= -1 - ,r3= 2
2 2
Solución general:
√2 √2 x
y = c1e-1 - x + c2e-1 + + c3e2x
2 2
Raíces múltiples
y ´´´ −3 y `+3y´` - `y`=````0`} {
1. ¿
Ecuación característica
λ3 − 3 λ 2 +3 λ − 1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0
λ= 1
Raíces de la ecuación de múltiplicidad 3
La solución general es:
x x 2 x
y = C 1 e + C2 x e + C3 x e
IV II II I
3. y − yI −9 y − 11 y −4 y = 0
Ecuación característica:
λ 4 − 3 λ3 −9 λ 2 −11 λ − 4 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 ( λ−4) = 0

λ = −1
λ= 4
Raíz de la multiplicidad 3
1 -1 -9 -11 -4
-1  -1 2 7 4
1 -2 -7 -4 0
-1  -1 3 4
96
1 -3 -4 0
-1  -1 4
1 -4 0

−x −x 2 −x 4x
y = C1 e + C2 x e + C3 x e + C4 e
IV II II I
5. y −6 y +12 y − 8 y = 0
λ ( λ3 − 6 λ2 +12 λ − 8 ) = 0 ⇔ λ ( λ − 1 )3 = 0
λ= 0
λ =2 Raíz de multiplicidad 3
1 -6 +12 -8
1  2 -8 8
1 -4 4 0
2  2 -4
1 -2 0

2x 2x 2 2x
y = C 1 + C2 e + C3 x e + C4 x e
III II I
7. y +3 y +3 y + y= 0
λ3 + 3 λ2 +3 λ +1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0
λ = −1
Raíz de multiplicidad 3
−x −x 2 −x
y = C1 e + C2 x e + C3 x e
IV II
9. y −8 y +16 y 0
97
λ 4 − 8 λ2 +16 = 0 ⇔ ( λ2 −4 ) ( λ2 −4 ) = 0
λ2 −4 ( λ+2 )( λ−2)( λ+ 2)( λ−2) = 0
λ2 −4 ( λ+ 2)2 ( λ−2)2 = 0
λ = −2 Raíz de multiplicidad 2
λ = α Raíz de multiplicidad 2

−2 x −2 x 2x 2x
y = C1 e + C2 x e + C3 x + C 4 xe
RAÍCES COMPLEJAS:
1) y’’ + y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 + 1 = 0 → r1= i , r2 = -i
Solución general
y = c1cosx + c2senx
2) y’’ – 2y’ + 10y = 0
Sol:
−1+√ 39i −1−√ 39 i

Sea: P(r) = r2 – 2r + 10 = 0 → r1= , r2 =
2 2
Solución general
√ 39 √ 39
y = c1 e-x/2cos x + c2 e-x/2 sen x
2 2
3) y’’ + 4y’ = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 → r1= 0, r2 = - 4
Solución general
y = c1 + c2 e-4x
4) y’’ + 25y’ = 0
sol:
98
−1+√ 3i −1−√ 39 i
Sea: P(r) = r2 + 25r = 0 → r 1= , r2 = Solución general
2 2
y = c1 + c2 e-25x
5) y’’ – 4y’ + 13y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 → r1= 2 + 3i, r2 = 2 – 3i
Solución general
y = c1e2xcos3x + c2 e2xsen3x
6) y’’ + y’ + y = 0
Sol:
−1+√ 3i −1−√ 3 i
Sea: P(r) = r2 + r + 1 = 0 → r 1= , r2 =
2 2
Solución general
√3 √3
y = c1e-x/2cos ,x + c2 e-x/2sen ,x
2 2
7) y’’ + 2y’ + 2y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 + 2r + 2 = 0 → r1= - 1 + i, r2 = - 1 - i
Solución general
y = c1e-xcosx + c2 e-xsenx
8) y’’ – 2y’ + 4y = 0
Sol:
Sea: P(r) = r2 - 2r + 4 = 0 → r 1= 1 + √ 3 i, r2 = 1 - √ 3 i
Solución general
y = c1excos √ 3 x + c2 exsen √ 3 x
} } ` - 2y´`+4y`=```0} {
¿
¿
y
9.
¿
99
λ2 −2 λ + 4 = 0
−(−2) ± √(−2)2 −4(1)( 4)
λ=
2(1)
2 ± √ −12
λ=
2
2 ± 2 √ 3 i
λ =
2
λ1 = 1 + √ 3 i
λ 2 = 1− √ 3 i
Raíces de la ecuación
¿
¿ {¿ ¿ ¿

x x
y = C 1 e cos ( √ 3 x ) + C 2 e sen ( √3 x )
} } ` - `6y´`+ 25 y`=```0} {
¿
y¿
10.
¿
λ2 −6 λ + 25 = 0
−(−6) ± √(−6)2−4(1)(25 )
λ=
2(1)
6 ± √ 36 − 100
λ=
2
± √ − 64 6
λ =
2
λ1 = 3 + 4 i
λ2 = 3 − 4 i
Raí ces de la ecuaci ón
¿
¿ {¿ ¿ ¿

3x 3x
y = C1 e cos ( 4 x ) + C2 e sen ( 4 x )
RAÍCES DE CUALQUIER ÍNDOLE

III
y +4 y I = 0
1.
λ3 +4 λ = 0
λ ( λ2 + 4 ) =0 λ= 0 λ=2i λ=−2i
Raíces de la ecuación .
y = C 1 + C 2 cos ( 2 x ) + C3 sen ( 2 x )
100
III II I
y −y +y − y = 0
2.
λ3 − λ 2 + λ − 1 = 0
2 2
λ ( λ + 1 ) + ( λ +1)=0 ( λ −1) ( λ +1) =0
λ = 1 λ=i λ =−i
Raíces de la ecuación .
x
y = C 1 e + C2 cos x + C 3 sen x
IV
y −y = 0
3.
λ4 − 1 = 0
( λ2 + 1) ( λ2 −1 )=0
λ = i λ=−i λ =1 λ=−1 Raíces de la ecuación.

x −x
y = C 1 e + C2 e + C 3 cos x + C 4 sen x
IV I
y + 2 yI + y = 0
4.
λ 4 + 2 λ2 + 1 = 0 ⇔ ( λ2 + 1)2 = 0
λ = i λ=−i
Raíz de multiplicidad 2
y = C 1 Cos x + C 2 Sen x + C 3 x cos x + C 4 x sen x
IV
y + 16 y IV + 9 y II = 0
5.
101
λ6 + 6 λ 4 + 9 λ 2 + 4 = 0
2 4 2 4 2
( λ + 1) ( λ −λ + 1)+3 (2 λ + 3 λ + 1) = 0
2 4 2 2 2
( λ + 1) ( λ −λ + 1)+3 (2 λ + 1 ) ( λ + 1) = 0
2 4 2 2
( λ + 1) ( λ −λ + 1+6 λ + 3) = 0
2 4 2 2 2 2
( λ + 1) ( λ +5 λ +4 ) = ( λ +1) ( λ +1 ) ( λ +4 ) =0
2 2 2
= ( λ +1) ( λ +4 ) =0
λ = i Raíz de multiplicidad 2
λ =− i Raíz de multiplicidad 2
λ =2 i
λ =−2 i
y = C 1 Sen x + C 2 Cos x + C 3 x sen x + C 4 x Cos x +

C 5 sen (2 x) + C 6 Cos (2 x)
III
y + 3 y II + 3 y I + y = 0
6.
λ3 + 3 λ 2 + 3 λ + 1 = 0 ( λ +1 )3 =0
λ = −1 Raíz de multiplicidad 3
−x −x 2 −x
y = C1 e + C2 x e + C3 x e
III
y − y II + y I − y = 0
7.
¿
λ=1
λ=i
λ =−i
λ3 − λ 2 + λ − 1 = 0
λ2 ( λ −1) + ( λ − 1) = 0 ¿ } ¿ } ¿¿ Raíces de la ecuación ¿ ¿¿
( λ −1) ( λ2 + 1) = 0
102
x
y = C 1 e + C 2 cos x + C 3 senx
III
y −y = 0
8.
λ3 − 1 = 0
λ2 +λ + 1) = 0
( λ −1 ) (⏟
2 −1± √(1 )2−9(1)(1)

λ +λ + 1 = 0 λ=
2(1)
−1 ± √ 3 i
λ=
2
λ =
−1
+
√3 i
2 2
λ=
−1
−
√3 i
2 2
¿
¿ {¿¿ ¿
Las raíces de la ecuación son:
−1 √ 3 i
λ= +
2 2
−1 √3 i
λ= −
2 2

x x
y = C 1 e + C 2 e cos √
3x
(2) (2 )
+ C 3 e 2 sen √ x
3
− −
x 2
IV
y −y = 0
10.
λ4 − 1 = 0
2 2
( λ +1 ) ( λ −1) = 0
λ =1 λ =−i λ=1 λ=−1 raíces de la ecuación
103
x −x
y = C1 e + C2 e + C 3 cos x + C 4 sen x
III
y − y II − 3 y I − y= 0
11.
1 -1 -3 -1
-1  -1 2 1
3 2
λ − λ −3 λ −1 = 0
1 -2 -1 0
( λ +1) ( λ 2 −2 λ −1 ) = 0
−(−2) ± √(−2)2 −4(1)(−1)

λ=
2(1)
2 ± √ 4+4
λ=
2
2 ±2 √ 2
λ=
2
λ = 1 ± √2 λ = 1 + √2
λ = 1 − √2 λ = 1 − √2 λ = −1

( 1− √2 )
y = C 1 e x + C 2 e x (1+ √2 )+ C3 e x
III
y +4 y II + 4 y I = 0
12.
λ3 − 4 λ2 + 4 λ = 0
2 2
λ ( λ + 4 λ +4 ) = 0 λ( λ+ 2) =0
λ=0 λ=−2 Raíz de multiplicidad 2
1 -1 -3 -1
-1  -1 2 1
La solución general
1 -2es: -1 0
−2 x −2 x
y = C 1 + C2 e + C3 x e
104
IV III
y −14 y − 2 y= 0
13.
λ 4 − 1 4 λ 2 −2 = 0
−(−14 ) ± √(−14 )2 −4 (1)(−2)
λ2 =
2(1)
14 ± √ 196 + 8
λ2 =
2
14 ± √ 108 14 + √ 108
λ2 = λ2 =
2 2
2 14 + √108
λ =
2
y = C e√ e √ e √
14+ √ 108 14 +√ 108 14− √ 108
x − x − x
2 2 2
1 + C2 + C3 +
C e √
14 − √108
− x
2
4
IV
y −2 y III + y II +2 y´ −2 y 00
14.
4 3 2
λ − 2 λ + λ +2 λ +2= 0
1 -2 1 2 -2
1  1 -1 0 2
1 -1 0 2 0
-1 1 -1 2 -2
Las raíces son:
1 -2 2 0
105
λ=1 λ = −1
λ = 1+i
λ = 1−i
( λ+1 ) ( λ−1 ) ( λ 2−2 λ+2) = 0

−(−2) ± √(−2)2 −4 (2)(1 )
λ=
2
2 ± √−4
λ=
2
λ =1 ±i
La solución es
x −x x x
y = C 1 e + C2 e + C3 e cos x + C4 e senx
IV
y +5 y II − 9 y= 0
15.
4 λ4 + +5 λ2 −9 = 0
2
4 λ +9
λ2 −1
(4 λ2 +9 ) ( λ 2 −1) = 0 4 λ 2 +9 =0 λ2 −1 =0
3
λ2 = ±
√ 9
4
i λ = ±1
λ =± i λ = ±1
2
3 3
y = C 1 e x + C2 e−x + C 3 ( )
2
x + C 4 sen x
2 ( )
106
PRACTICA N 8
8.1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1) y ' ' +3 y ' =3
Solución
Sea P ( r )=r 2 +3 r =0 ⇒ r 1=0, r 2=−3 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
−3 x
Y g =c 1+ c 2 e
Como Y p= Ax ⇒ Y ' p =A ⇒ Y ' ' p=0 Reemplazando en la ecuación
0+3 A=3⇒ A=1, Por lo tanto Y p=x
−3 x
La solución estará dada por Y =Y g +Y p Es decir y=c1 +c 2 e +x
2) y ' '−2 y '−15 y =−15 x 2−4 x−13
Solución
Sea P ( r )=r 2−2r −15=0⇒ r 1=−3,r 2=5 la ecuación general de la ecuación
diferencial homogénea es:

−3 x 5x
Y g =c 1 e +c 2 e
Como Y p= A x 2 +Bx +C ⇒Y ' p =2 Ax+ B ⇒ Y ' ' p =2 A Reemplazando en la ecuación
2 2
2 A−4 Ax−2 B−15 A x −15 Bx−15 C=−15 x −4 x−13
−15 A x 2−( 4 A +15 B ) x +2 A−2 B−15 C=−15 x 2−4 x−13
{
−15 A=15
{
A=1
− 4 A +15 B )=−4 ⇒
( B=0
2 A−2 B−15C=−13 C=1
, Por lo tanto Y p=x 2 +1

107
−3 x 5x 2
La solución estará dada por Y =Y g +Y p Es decir y=c1 e + c2e + x + 1
3) y IV −3 y ' '−4 y =−4 x 5+ 390 x
Solución
Sea P ( r )=r 4−3 r 2−4=0 ⇒r 1=−2, r 2=2 , r 3=i , r 4 =−i la ecuación general de la
ecuación diferencial homogénea es:

−2 x 2x
Y g =c 1 e +c 2 e + c3 cosx +c 4 senx
Como Y p= A x 5 +B x 4 +C x3 + D x 2+ Ex + F
' 4 3 2
⇒ Y p=5 A x +4 B x +3 C x +2 Dx+ E
Y ' ' p =20 A x 3 +12 B x 2+ 6 Cx+2 D
'' 2
Y ' p =60 A x +24 Bx+6 C
IV
Y p =120 Ax+24 B
Reemplazando en la ecuación
120 Ax +24 B−3 ( 20 A x 3+12 B x 2 +6 Cx+ 2 D ) −4 ( A x 5 + B x 4 +C x 3+ D x 2 + Ex+ F )=−4 x 5+390 x
{
−4 A=−4
−4 B=0
{
A=1
−60 A−4 C=0 ⇒ B=−15
−36 B−4 C=0
B=D=E=F=0
120 A−18 C−4 E=390
24 B−12 D−4 F=0
5 3
, Por lo tanto Y p=x −15 x
La solución estará dada por Y =Y g +Y p
−2 x 2x 5 3
Es decir y=c1 e + c 2 e +c 3 cosx +c 4 senx + x −15 x
4) y ' ' +3 y=e x
Solución
2
Sea P ( r )=r +3 r =0 ⇒ r 1=0, r 2=−3 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1+ c 2 e−3 x
108
Como Y p= A e x ⇒Y ' p =A e x ⇒Y ' ' p= A e x Reemplazando en la ecuación
1
A e x +3 A e x =e x ⇒ A= , Por lo tanto ex
Y p=
4 4
ex
Es decir y=c1 +c 2 e−3 x +
4
5) y ' '−4 y '=x e 4 x
Solución
2
Sea P ( r )=r −4 r =0 ⇒r 1=0,r 2 =4 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1+ c 2 e 4 x
Como Y p=x ( Ax +B ) e4 x
Y ' p=( 2 Ax +B ) e4 x +4 x ( Ax +B ) e4 x
'' 4x 4x 4x 4x
Y p =2 A e + 4 ( 2 Ax + B ) e +4 ( 2 Ax+ B ) e +16 x ( Ax +B ) e
Y ' '' p=2 A e 4 x + 4 ( 2 Ax+ B ) e 4 x + 4 ( 2 Ax + B ) e 4 x +16 x ( Ax+ B ) e 4 x
1 1 1 2 1
( 2 A +4 B ) e 4 x +8 Ax e 4 x =x e 4 x ⇒ A= , B=
8 −16
Por lo tanto Y p= x − x e
8 16
4x
( )
Es decir y=c1 +c 2 e
4x
+ ( 18 x − 161 x )e
2 4x
6) y ' ' + y=senx −cosx
Solución
2
Sea P ( r )=r +1=0⇒ r 1=i ,r 2=−i la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1 cosx+ c 2 senx
Como Y p=x ( Acosx + Bsenx )

109
'
Y p= Acosx+ Bsenx + x (− Asenx+ Bcosx )
''
Y p =−Asenx +Bcosx −Asenx + Bcosx+ x (−Acosx−Bsenx )
Reemplazando y reduciendo en la ecuación
−1 1
2 Bcosx=senx−cosx⇒ A=K , B= Por lo tanto Y p=x Kcosx−x senx
2 2
1
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx+ x Kcosx−x senx
2
7) y ' ' −4 y '+8 y=e2 x ( sen 2 x−cos 2 x )
Solución
2
Sea P ( r )=r −4 r + 8=0 ⇒ r 1=2+2i , r 2=2−2i la ecuación general de la ecuación
Y g =c 1 e 2 x sen 2 x+ c 2 e 2 x cos 2 x
x2
Y p=x e ( Acos 2 x + Bsen 2 x )
2x 2x
Es decir y=c1 e sen 2 x +c 2 e cos 2 x + x e x2 ( Acos 2 x+ Bsen 2 x )
8) y ' ' − y ' −2 y=e x +e−2 x
Solución
2
Sea P ( r )=r −r−2=0 ⇒ r 1=−1, r 2=2 , la ecuación general de la ecuación

−x 2x
Y g =c 1 e +c 2 e
Como Y p= A e x + B e−2 x
Y ' p= A e x −2 B e−2 x
'' x −2 x
Y p =A e + 4 B e Reemplazando y reduciendo en la ecuación
x −2 x x −2 x x −2 x x −2 x
A e +4 B e − A e +2 B e − A e −B e =e + e
x −2 x x −2 x
−A e +5 B e =e +e
110
1
⇒ A=−1 , B=
5
x 1 −2 x
Por lo tanto Y p=−e + e
5
1
Es decir y=c1 e−x +c 2 e 2 x −e x + e−2 x
5
9) y ' ' '−4 y '=x e 2 x +senx + x 2
Solución
3
Sea P ( r )=r −4 r =0 ⇒r 1=0,r 2=2 ,r 3 =−2, la ecuación general de la ecuación

2x −2 x
Y g =c 1+ c 2 e +c 3 e
Como Y p=x ( Ax +B ) e2 x +Ccosx + Dsenx+ x ( E x2 + Fx+ G )
' 2x 2x 2
⇒ Y p=2 x ( Ax+ B ) e + ( 2 Ax+ B ) e −Csenx + Dcosx+3 E x + 2 Fx+ G
'' 2x 2x 2x
Y ' p =8 x ( Ax+ B ) e +12 ( 2 Ax +B ) e +12 A e +Csenx−Dcosx +6 E
Reemplazando en la ecuación e igualando los coeficientes se tiene:
{ {
12 A+8 B=0
A=1/16
16 A=1
B=3/32
5 C=1
C=1/5
−5 D=0 ⇒
D=F =0
−12 E=1
E=−1/12
−8 F=0
G=−1/8
6E-4 G=0
e2 x ( 2 cosx x 3 x
, Por lo tanto Y p= 2 x −3 x ) + − −
32 5 12 8
e2 x ( 2 cosx x3 x
Es decir y=c1 +c 2 e2 x + c3 e−2 x + 2 x −3 x ) + − −
32 5 12 8
111
10) y ' ' +2 y ' + 2 y=e−x cosx+ x e−x
Solución
2
Sea P ( r )=r +2 r +2=0⇒ r 1=−1+ i, r 2=−1−i la ecuación general de la ecuación
Y g =e−x ( c 1 cosx + c2 senx )
Como Y p=x e−x ( Acosx +Bsenx ) + ( Cx+ D ) e−x
Reemplazando y reduciendo en la ecuación
1 x
⇒ A=0, B= ,C=1, D=0 Por lo tanto Y p= e−x senx−x e−x
2 2
−x x −x −x
Es decir y=e ( c 1 cosx +c 2 senx ) + e senx−x e
2
11) y '' − y ' =x2
Solución
2
Sea P ( r )=r −r=0 ⇒r 1=0, r 2=1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1+ c 2 e x
Como Y p=x ( Ax 2 +Bx +C ) = Ax 3 +B x 2 +Cx
Y ' p=3 A x2 +2 Bx+C
''
Y p =6 Ax +2 B
6 Ax +2 B−3 A x2 −2 Bx−C=x 2
−3 A x 2+ ( 6 A−2 B ) x +2 B−C=x 2
⇒ A=
−1 −x3
, B=−1 ,C=−2 Por lo tanto Y p= −x 2−2 x
3 3
112
x3
Es decir y=c1 +c 2 e x − −x 2−2 x
3
12) y ' ' −4 y ' −5 y=5 x
Solución
2
Sea P ( r )=r −4 r −5=0⇒ r 1=5, r 2=−1 la ecuación general de la ecuación

5x −x
Y g =c 1 e +c 2 e
Como Y p= Ax+B
'
Y p= A
Y ' ' p =0
0−4 A−5 ( Ax +B )=5 x
−5 Ax−4 A−5 B=5 x
4 4
⇒ A=−1, B= , Por lo tanto Y p=−x +
5 5
4
Es decir y=c1 e 5 x + c 2 e−x −x +
5
13) y ' ' ' − y ' =x +1
Solución
3
Sea P ( r )=r −r=0 ⇒ r 1=0, r 2=−1,r 3=1 la ecuación general de la ecuación

−x x
Y g =c 1+ c 2 e +c 3 e
Como Y p=x ( Ax +B )= A x 2+ Bx
Y ' p=2 Ax +B
113
''
Y p =2 A
''
Y ' p =0
0−2 Ax−B=x +1
−1 −1 2
⇒ A= , B=−1 , Por lo tanto Y p= x −x
2 2
1
Es decir y=c1 +c 2 e−x + c 3 e x − x 2−x
2
14) y ' ' −4 y ' +4 y=4 x−4
Solución
2
Sea P ( r )=r −4 r + 4=0 ⇒ r 1=2,r 2 =2 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1 e 2 x + xc 2 e2 x
Como Y p= Ax+ B
Y ' p= A
''
Y p =0
0−4 A+ 4 Ax+ 4 B=4 x−4
4 Ax + 4 B−4 A=4 x−4
⇒ A=1, B=0 , Por lo tanto Y p=x
Es decir y=c1 e 2 x + xc 2 e 2 x + x
15) y ' ' +2 y ' + 2 y=2 ( x +1 )2
Solución
114
2
Sea P ( r )=r +2 r +2=0⇒ r 1=−1+ i, r 2=−1−i la ecuación general de la ecuación
Y g =e−x ( c 1 cosx+ c2 senx )
Como Y p= A x 2 +Bx +C
'
Y p=2 Ax +B
''
Y p =2 A
2 2
2 A+ 4 Ax+ 2 B+2 A x +2 Bx +2C=2 ( x +1 )
2
Ax + Bx +2 Ax + A + B+C=x 2+2 x +1
2
⇒ A=1, B=C=0 , Por lo tanto Y p=x
Es decir y=e−x ( c 1 cosx +c 2 senx ) + x 2
16) y ' ' ' + y '' + y ' + y=x 2 +2 x −2
Solución
Sea P ( r )=r 3 +r 2 +r +1=0 ⇒r 1=−1, r 2=i , r 3=−i la ecuación general de la ecuación

−x
Y g =c 1 e +c 2 cosx +c 3 senx
'
Y p=2 Ax +B
''
Y p =2 A
''
Y ' p =0
2 2
0+2 A +2 Ax +B+ A x + Bx+C=x +2 x −2
2 2
A x + ( 2 A+ B ) x+2 A+ B+C=x + 2 x−2
115
2
⇒ A=1, B=0,C=−4 , Por lo tanto Y p=x −4
Es decir y=c1 e−x +c 2 cosx + c 3 senx+ x 2−4
17) y IV +4 y ' ' =8 ( 6 x 2 +5 )
Solución
4 2
Sea P ( r )=r +4 r =0 ⇒r 1=0,r 2 =0, r 3=2 i, r 4 =−2i la ecuación general de la
Y g =c 1+ c 2 x +c 3 sen 2 x+ c 4 cos 2 x
Como Y p=x 2 ( A x 2 + Bx+C )= A x 4 + B x 3+ C x 2
Y ' p=4 A x 3 +3 B x 2 +Cx
'' 2
Y p =12 A x + 6 Bx +C
Y ' ' ' p =24 Ax+6 B
IV
Y =24 A
4 ( 6 A +12 A x 2 +6 Bx +C )=8 ( 6 x 2 +5 )
2 2
6 A +12 A x +6 Bx+C=12 x +10
⇒ A=1, B=0,C=4 , Por lo tanto Y p=x 2 ( x2 +4 )
Es decir y=c1 +c 2 x + c3 sen 2 x +c 4 cos 2 x+ x 2 ( x 2+ 4 )
18) y ' ' ' −3 y ' ' +3 y ' − y =( 2+ x )( 2−x )
Solución
3 2
Sea P ( r )=r −3 r + 3r −1=0 ⇒ r 1=1, r 2=1, r 3=1 la ecuación general de la ecuación
116
x x 2 x
Y g =c 1 e + c2 xe + c 3 x e
Y ' p=2 Ax +B
''
Y p =2 A
''
Y ' p =0
Reemplazando en la ecuación y comparando

2 2
0−6 A +6 Ax +3 B− A x −Bx−C=4−x
−A x 2 + ( 6 A−B ) x−6 A+3 B−C=4−x 2

2
⇒ A=1, B=6,C=8 , Por lo tanto Y p=x +6 x+ 8
x x 2 x 2
Es decir y=c1 e +c 2 xe +c 3 x e + x + 6 x +8
19) 2 y' ' −9 y ' +4 y=18 x−4 x2
Solución
2 1
Sea P ( r )=2 r −9 r + 4=0 ⇒r 1=4, r 2= la ecuación general de la ecuación
2

1
x
4x
Y g =c 1 e + c 2 e 2
'
Y p=2 Ax +B
''
Y p =2 A
2 2
4 A−18 Ax−9 B+ 4 A x + 4 Bx+ 4 C=18 x−4 x
4 A x 2 + (−18 A+ 4 B ) x+ 4 A−9 B+ 4 C = 18 x−4 x 2

2
⇒ A=−1, B=0, C=1, Por lo tanto Y p=−x + 1
117
1
x
Es decir y=c1 e 4 x +c 2 e 2 −x 2+1
20) y IV −2 y '' + y= x2−5
Solución
Sea P ( r )=r 4−2 r 2 +1=0 ⇒ r 1=−1, r 2=1, r 3 =−1 , r 4 =1 la ecuación general de la

x x −x −x
Y g =c 1 e + c2 x e +c 3 e +c 4 x e
'
Y p=2 Ax +B
''
Y p =2 A
''
Y ' p =0
Y IV =0
2 2
0−4 A+ A x + Bx+C=x −5
A x2 + Bx+C−4 A=x2 −5
2
⇒ A=1, B=0,C=−1 , Por lo tanto Y p=x −1
x x −x −x 2
Es decir y=c1 e +c 2 x e + c 3 e + c 4 x e + x −1
8.2VARIACION DE PARAMETROS
1) y '' + y=cosecx
2)
Solución
2
homogénea es:
118
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 cosx +u2 senx , tal que
{ u'1 cosx +u'2 senx =0

u '1 senx +u'2 cosx=cosecx
De donde
u'1=
| 0 senx
cosecx cosx | =
0−senx . cosecx
=−1⇒u '1=−1 ⇒ u1 =−x
cosx. cosx+ senx . senx
|cosx senx
−senx cosx |
u'2=
|cosx 0
−senx cosecx |
=
cosx . cosecx
=ctgx ⇒ u'2=ctgx ⇒ u2=ln ( senx )
cosx . cosx+ senx . senx
|cosx senx
−senx cosx |
Entonces la solución particular será:
y p=−xcosx+ senx. ln ( senx ) , Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−xcosx+ senx . ln ( senx )
2) y '' + 4 y=4 se c 2 x
Solución
2
Sea P ( r )=r + 4=0 ⇒ r 1=2 i, r 2=−2 i la ecuación general de la ecuación
Y g =c 1 cos 2 x +c 2 sen 2 x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 cos 2 x+u 2 sen 2 x , tal que
119
{ u'1 cos 2 x +u'2 sen 2 x=0

−2 u'1 sen 2 x+2 u'2 cos 2 x=4 se c2 x
De donde
u'1=
| 0
2
sen 2 x
4 se c x cos 2 x | =
2
0−4 se c x . sen 2 x
=−2 se c 2 x . sen 2 x ⇒u 1
2
|cos 2 x sen 2 x
−2 sen 2 x 2 cos 2 x |
¿ 4 ln ( cosx )
u'2=
|cos 2 x 0
−2 sen 2 x 4 se c 2 x | =
cos 2 x .4 se c 2 x
=2 se c 2 x ( cos 2 x−sen2 x )=2−2 tan2 x ⇒ u2=4 x−2 tanx
2
|cos 2 x sen 2 x
−2 sen 2 x 2 cos 2 x |
y p=4 ln ( cosx ) cos 2 x+ ( 4 x−2 tanx ) sen 2 x , Tal que
Es decir y=c1 cos 2 x+ c2 sen 2 x + 4 ln ( cosx ) cos 2 x + ( 4 x−2 tanx ) sen 2 x
3) y '' + y=se c 2 x
Solución
2
homogénea es:
{ u'1 cosx +u'2 senx=0

u '1 senx +u'2 cosx=se c 2 x
De donde
120
u= '
1
| 0
2
senx
se c x cosx
=
|
0−senx . se c x
2
=−tanx. secx⇒ u1=−secx
cosx senx cosx . cosx+ senx . senx
|
−senx cosx |
u'2=
|cosx 0
−senx se c 2 x |
=
se c 2 x .cosx
=−secx⇒ u2=ln ( secx+tanx )
cosx . cosx+senx . senx
| cosx senx
−senx cosx |
y p=−secxcosx+ senx. ln ( secx+tanx ) , Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−secxcosx+ senx . ln ( secx+tanx )
4) y ' ' + y ' =cosecx . cotgx
Solución
Sea P ( r )=r 2 +1=0⇒ r 1=i ,r 2=−i la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1 cosx + c 2 senx
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 cosx+u2 senx , tal que
{
' '
u 1 cosx+u 2 senx=0
De donde
u 1 senx +u'2 cosx=cosecx . cotgx
'
u1 =
'
| 0 senx
cosecx . cotgx cosx | =
0−senx . cosecx . cotgx
=−ctgx ⇒ u 1=−ln ( senx )
|cosx senx
−senx cosx |
u'2=
|cosx 0
−senx cosecx . cotgx |
=
cosecx . cotgx . cosx
=ctg 2 x ⇒u2=−ctgx−x
cosx . cosx+ senx. senx
| cosx senx
−senx cosx |
121
y p=−ln ( senx ) cosx+ senx . (−ctgx−x ) , Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−ln ( senx ) cosx+ senx . (−ctgx−x )
5) y ' ' + y ' =cotgx
Solución
homogénea es:
{ u'1 cosx+u'2 senx=0

u '1 senx +u'2 cosx=ctgx
De donde
u1 =
'
| 0 senx
ctgx cosx | =
0−senx . ctg
=−cosx⇒ u1=−senx
cosx . cosx + senx . senx
|cosx senx
−senx cosx |
u'2=
|cosx 0
−senx ctgx | =
ctgx . cosx
=ctgx . cosx ⇒u2=ln ( cosecx−ctgx )
|cosx senx
−senx cosx |
y p=−senxcosx+senx . ln ( cosecx−ctgx ) , Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−senxcosx+ senx . ln ( cosecx−ctgx )
122
6) y '' + y ' =secx
Solución
2
homogénea es:
{ u'1 cosx+ u'2 senx=0

u '1 senx +u'2 cosx=secx
De donde
u'1=
| 0 senx
secx cosx |=
0−senx. secx
=−tanx⇒ u1=−ln ( cosx )
|cosx senx
−senx cosx |
u2 =
'
|cosx 0
−senx secx | =
secx . cosx
=1⇒ u2=x
|cosx senx
−senx cosx |
y p=−ln ( cosx ) cosx + xsenx , Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−ln ( cosx ) cosx+ xsenx
7) y ' ' +4 y ' =4 ctg2 x
Solución
123
2
Sea P ( r )=r + 4=0 ⇒ r 1=2 i, r 2=−2 i la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1 cos 2 x +c 2 sen 2 x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 cos 2 x+u 2 sen 2 x , tal que
{ u'1 cos 2 x+u '2 sen 2 x=0

−2 u'1 sen 2 x+2 u'2 cos 2 x=4 ctg2 x
De donde
u1 =
'
| 0 sen 2 x
4 ctg2 x cos 2 x | =
0−4 ctg2 x . sen 2 x
=−2 cos 2 x ⇒ u 1=−sen 2 x
2
|cos 2 x sen 2 x
−2 sen 2 x 2 cos 2 x |
u'2=
|cos 2 x 0
−2 sen 2 x 4 ctg2 x |
=
cos 2 x .4 ctg2 x
=2 ctg 2 x . cos 2 x ⇒u2=sen 2 x . ln ( cosec 2 x −ctg2 x )
2
|cos 2 x sen 2 x
−2 sen 2 x 2 cos 2 x |
y p=sen 2 x . ln ( cosec 2 x−ctg2 x ) , Tal que
Es decir y=c1 cos 2 x+ c2 sen 2 x +sen 2 x . ln ( cosec2 x−ctg 2 x )
8) y ' ' +2 y ' +2 y=e−x secx
Solución
Sea P ( r )=r 2 +2 r +2=0⇒ r 1=−1+ i, r 2=−1−i la ecuación general de la ecuación
Y g =e−x ( c 1 cosx+ c2 senx )
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 e−x cosx+u2 e−x senx , tal
que
124
{ u ' 1 e−x cosx +u ' 2 e− x senx =0

−2 u'1 sen 2 x+2 u'2 cos 2 x=4 ctg2 x
De donde
u'1=
| 0 sen 2 x
4 ctg2 x cos 2 x | =
0−4 ctg2 x . sen 2 x
=−2 cos 2 x ⇒ u 1=−sen 2 x
2
|cos 2 x sen 2 x
−2 sen 2 x 2 cos 2 x |
u2 =
'
|cos 2 x 0
−2 sen 2 x 4 ctg2 x |
=
cos 2 x .4 ctg 2 x
=2 ctg 2 x . cos 2 x ⇒u2=sen 2 x . ln ( cosec 2 x −ctg 2 x )
2
|cos 2 x sen 2 x
−2 sen 2 x 2 cos 2 x |
y p=sen 2 x . ln ( cosec 2 x−ctg2 x ) , Tal que
Es decir y=c1 cos 2 x+ c2 sen 2 x +sen 2 x . ln ( cosec2 x−ctg 2 x )
9) y ' ' +4 y ' + 4 y=e−2 e−2 x
Solución
2
Sea P ( r )=r + 4 r +4=0⇒ r 1=−2, r 2=−2 la ecuación general de la ecuación

−2 x −2 x
Y g =c 1 e +c 2 xe
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 e−2 x + u2 xe−2 x , tal que
{
u ' 1 e−2 x +u ' 2 xe−2 x =0
−2 x
De donde
−2 u'1 e−2 x +u'2 ( −e
2
x
)
−e−2 x =e−2 e−2 x
125
| |
−2 x
0 xe
−2 x
−e x −2 x
e−2 e−2 x −e
'
2 0−xe−2 x e−2 e−2 x
u=
1 =
| |
−e−2 x x −2 x
e−2 x
−2 e−2 x
xe−2 x
−e−2 x x −2 x
−e
e−2 x ( 2
−e )
+ 2e−2 x xe−2 x
| |
−2 x
e 0
−2 x −2 −2 x
' −2 e e e e
−2 x −2 −2 x
e e
u2 = =
| |
−2 x
( −e2 )+ 2e
−2 x −2 x
e xe −2 x x −2 x −2 x −2 x
−2 x
e −e xe
−2 x −e x −2 x
−2 e −e
2
y p=e−2 x −lnx e−2 x , Tal que
Es decir y=c1 e−2 x + c 2 xe−2 x + e−2 x −lnx e−2 x
10) y ' ' + y ' =tan 2 x
Solución
2
homogénea es:
126

u '1 senx +u'2 cosx=tan 2 x
De donde
u'1=
| 0
2
senx
tan x cosx | =
0−senx . tan 2 x
=−senx . tan2 x ⇒u1 =−ln ( cosx )
|cosx senx
−senx cosx |
u= '
2
|cosx 0
2
−senx tan x
=
|
tan 2 x .cosx
=tan 2 x . cosx⇒u 2=x
cosx .cosx+ senx . senx
|
cosx senx
−senx cosx |
y p=−ln ( cosx ) cosx + xsenx , Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−ln ( cosx ) cosx+ xsenx
11) y '' + y ' =sec 2 xcosecx
Solución
2
homogénea es:

u '1 senx +u'2 cosx=sec 2 xcosecx
De donde
127
u= '
1
| 0
2
senx
sec xcosecx cosx |
=
0−senx . sec xcosecx
2
=−sec 2 x
| cosx senx
−senx cosx |
u'2=
|cosx
2
0
−senx sec xcosecx |
=
sec 2 xcosecx . cosx
=cosecx . secx
cosx . cosx+senx . senx
| cosx senx
−senx cosx |
y p=−senx. ln ( secx+tanx ) Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−senx . ln ( secx+tanx )
2
12) y ' '−2 y ' + y=e 2 x ( e x +1 )
Solución
2
Sea P ( r )=r −2r +1=0 ⇒ r 1=1, r 2=1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1 e x + c2 xe x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 e x +u2 xe x , tal que
{ ' x ' x
u'1 e x +u'2 e x x=0
x 2x x
u 1 e +u2 ( e x−e )=e ( e +1 )
2 De donde
128
u= '
1
| 0
2
ex x
e 2 x ( e x +1 ) e x x−e x | = x
2x x
0−e ( e +1 ) e x −( e +1 ) e x
=
2 x x 2 x
x−2
|
ex
x x
ex x
e e x −e
x | ( e x−e x ) e x −e x e x x
| |
x
e 0
x 2x x 2 2 2
'
e e ( e +1 ) 2x x
e ( e +1 ) e
x
( e x +1 ) e x
u= 2 = =
x−2
| | ( e x x−e x ) e x −e x e x x
x x
e e x
x x x
e e x−e
y p=e x ln ( 1+e x ) Tal que
x x x x
Es decir y=c1 e +c 2 xe +e ln ( 1+e )
−1
13) y ' ' −3 y ' +2 y=e 2 x ( e 2 x +1 )
Solución
2
Sea P ( r )=r −3 r+ 2=0 ⇒r 1 =2,r 2=1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1 e x + c2 e 2 x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 e x +u2 e2 x , tal que
{ u '1 e x +u'2 e 2 x =0
u '1 e x +u'2 2 e2 x =e 2 x ( e2 x +1 )
−1 De donde
| |
x
0 e
2x 2x −1 x −1
'
e ( e +1 ) 2e 2x 2x
0−e ( e + 1 ) e
x
2x −1 x
u= 1 = =−( e +1 ) e
| |
x x x x
e
x
e
x
( 2 e ) e −e e
x x
e 2e
129
u=
'
2
|
ex
x
0
2 x 2x
e e ( e +1 )
−1
|= x
−1
e2 x ( e 2 x +1 ) e x 2x −1 x
=( e +1 ) e
| |
x x x x
ex e x ( e x−e ) e −e e x
ex 2 ex
e2 x (
y p=e x arctg ( e−x )− ln 1+e−2 x ) Tal que
2
x 2x e2 x (
Es decir y=c1 e +c 2 e + e x arctg ( e−x ) − ln 1+ e−2 x )
2
14) y ' ' + y ' =sec 3 x
Solución
2
homogénea es:
{ u '1 cosx +u '2 senx=0

u '1 senx +u'2 cosx=tanx
De donde
u'1=
| 0
3
senx
sec x cosx | =
0−senx . sec x
3
=−senx . sec 3 x
|cosx senx
−senx cosx |
130
u= '
2
| cosx
=
0
−senx sec 3 x |
sec x . cosx
3
=sec 3 x . cosx
cosx .cosx+ senx . senx
|
cosx senx
−senx cosx |
secx
y p= Tal que
2
secx
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx+
2
15) y ' ' + y ' =tanx
Solución
homogénea es:
{
' '
u 1 cosx+u 2 senx=0
De donde
u 1 senx +u'2 cosx=tanx
'
u1 =
'
| 0 senx
tanx cosx| =
0−senx .tanx
=−senx . tanx ⇒ u1=−senx
| cosx senx
−senx cosx |
u'2=
| cosx 0
−senx tanx | =
tanx. cosx
=senx ⇒ u 2=−cosx
| cosx senx
−senx cosx |
131
y p=−senxcosx+senx . ln ( cosecx−ctgx ) , Tal que
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx−senxcosx+ senx . ln ( cosecx−ctgx )
16) y ' ' − y ' =e−2 x sen ( e−x )
Solución
2
Sea P ( r )=r −1=0 ⇒ r 1=1, r 2=−1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
x −x
Y g =c 1 e + c2 e
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 e x +u2 e−x , tal que
{ u'1 e x +u'2 e−x =0

u '1 e x −u'2 e−x =e−2 x sen ( e−x )
De donde
| |
−x
0 e
−2 x
e sen ( e ) −e
−x −x −2 x −x −3 x
sen ( e ) .e −sen ( e ) . e
−x −x
' e
u1 = = =
2
| | −2
x −x
e e
x −x
e −e
u'2=
|
ex
x −2 x
0
e e sen ( e−x ) |
=
e−2 x sen ( e−x ) e x −e− x sen ( e−x )
= ⇒ u1 =
−cos ( e−x )
2 2
|e x e− x
e x −e−x | −2
Integrando y reemplazando en yp se obtiene:
132
y p=−sen e−x −e x cos e−x Tal que
x −x −x x −x
Es decir y=c1 e +c 2 e −sen e −e cos e
17) y ' '−3 y ' +2 y=cos ( e−x )
Solución
2
Sea P ( r )=r −3 r+ 2=0 ⇒r 1 =2,r 2=1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
Y g =c 1 e x + c2 e 2 x
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 e x +u2 e2 x , tal que
{ ' x
u'1 e x + u'2 e2 x =0
' 2x −x
u 1 e +u2 2 e =cos ( e )
De donde
| |
x
0 e
x
cos ( e ) 2 e
−x x
0−cos ( e ) e
−x
'
=−cos ( e ) e ⇒ u1=sen ( e )
−x −x −x
u1 = =
| |
x x x x
e
x
e
x
( 2 e ) e −e e
x x
e 2e
u'2=
|
ex
x
0
e cos ( e−x ) | =
cos ( e−x ) e x
=cos ( e−x ) e−x ⇒ u2=−sen ( e−x )
| |
x x x x x
ex ex ( e x−e ) e −e e x
ex 2 ex
y p=−e 2 x cos ( e−x ) Tal que
Es decir y=c1 e x +c 2 e2 x −e2 x cos ( e−x )
18) y ' ' − y ' =sen 2 x
Solución
133
2
Sea P ( r )=r −1=0 ⇒ r 1=1, r 2=−1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
x −x
Y g =c 1 e + c2 e
{ u'1 e x +u'2 e−x =0

u '1 e x −u'2 e−x =sen 2 x
De donde
u'1=
| 0 e−x
sen2 x −e−x |
=
sen2 x . e−x −sen2 x . e−x
=
2
| | −2
x −x
e e
x −x
e −e
| |
x
e 0
x 2
' e sen x sen 2 x e x −sen 2 x e x
u2 = = =
2
| | −2
x −x
e e
x −x
e −e
−2 sen2 x
y p= − , Tal que
5 5
2 sen2 x
Es decir y=c1 e x +c 2 e− x − −
5 5
2
x
19) y − y =x e
'' ' 2 2
Solución
Sea P ( r )=r 2−1=0 ⇒ r 1=1, r 2=−1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
x −x
Y g =c 1 e + c2 e
134
La solución particular de la ecuación diferencial es: y p=u1 e−x +u2 e x , tal que
{ '
u'1 e x +u'2 e−x =0
x
u e −u e =x e
1
' −x
2
2
2
x
2
De donde
u'1=
|x e 2
0
2
x
2
−e
e−x
−x | =
2
x e .e
x
2
=
2
−x e
−x 2
2
x
2
−x
2
| | −2
x −x
e e
e −e− x
x
u'2=
| |
ex
e x
x e 2
0
x2
2
=
2
=
x
2
2
x e e −x e x 2
2
x
2
+x
2
| | −2
x −x
e e
x
e −e−x

2
x
y p=e , Tal que
2

2
x −x x
Es decir y=c1 e +c 2 e + e 2
20) y ' ' + y ' =xcosx
Solución
homogénea es:

u '1 senx +u'2 cosx=xcosx
De donde
135
u'1=
| 0 senx
xcosx cosx | =
0−senx . xcosx
=−senx . xcosx
| cosx senx
−senx cosx |
u'2=
| cosx
−senx
0
xcosx |
=
xcosx. cosx
=x ( cosx )
2

| cosx senx
−senx cosx |
x2 x
y p= senx+ cosx Tal que
4 4
x2 x
Es decir y=c1 cosx+c 2 senx+ senx+ cosx
4 4
8.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER
1) x 2 y ' ' + x y ' − y=0
Solución
dy −t dy d 2 y −2 t d2 y dy
Sea t
x=e ⇒ t=lnx , además
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
d2 y dy
2t
e e −2 t
( dt 2
−
dt ) dy
+e t e−t − y =0
dt
d2 y
− y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt2
Es decir:
2
Sea: P ( r )=r −1=0 ⇒ r 1=1, r 2=−1 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
t −t
y ( t )=c 1 e +c 2 e Pero t=lnx
136
lnx −lnx 1
y ( t )=c 1 e +c 2 e =c 1 x +c 2
x
2) x 2 y ' ' +2 x y ' −2 y=0
Solución
2 2
Sea: t
x=e ⇒ t=lnx , además
dx
=e ;
dt d x 2
=e (
dy −t dy d y −2 t d y dy
dt
2
−
dt )
d2 y dy
e 2t e−2 t ( dt 2
−
dt ) dy
+2 et e−t −2 y=0
dt
d 2 y dy
+ −2 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
d t 2 dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r +r −2=0 ⇒ r 1=1, r 2=−2 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
y ( t )=c 1 e t +c 2 e−2 t Pero t=lnx
1
y ( t )=c 1 e lnx +c 2 e−2 lnx=c 1 x+ c 2 2
x
3) x 2 y ' ' + x y ' + 9 y =0
Solución
t
Sea x=e ⇒ t=lnx , además
2 2
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
d2 y dy
e 2t e−2 t ( dt 2
−
dt ) dy
+e t e−t +9 y=0
dt
d2 y
+ 9=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt2
137
Es decir:
Sea P ( r )=r 2 +9=0 ⇒ r 1=3i , r 2=−3 i la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
y ( t )=c 1 cos 3 t+ c 2 sen 3 t Pero t=lnx
y ( t )=c 1 cos ( 3 lnx ) + c2 sen ( 3 lnx )
4) 4 x 2 y '' −8 x y ' + 9 y=0
Solución
Sea x=e t ⇒ t=lnx , además
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
d 2 y dy
4 e2 t e−2 t ( dt 2
−
dt ) dy
−8 e t e−t +9 y=0
dt
d2 y dy
4 2
−12 + 9 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
2 3
Sea P ( r )=4 r −12 r +9=0 ⇒ r 1= ,r 2=4 la ecuación general de la ecuación
2

3
t
2
y ( t )=c 1 e +c 2 e
4t Pero t=lnx
3 3
lnx
y ( t )=c 1 e 2 + c 2 e 4 lnx =c 1 x 2 +c 2 x 4
5) x 2 y ' ' −3 x y ' + 7 y=0
Solución
138
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
d2 y dy
e 2t e−2 t
( dt 2
−
dt ) dy
−3 e t e−t −7 y=0
dt
d2 y dy
2
−4 +7 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
3
Sea P ( r )=r 2−4 r +7=0 ⇒ r 1= , r 2=4 la ecuación general de la ecuación diferencial
2
homogénea es:
3
t
y ( t )=c 1 e 2 +c 2 e4 t Pero t=lnx
3 3
lnx
2 4 lnx 2 4
y ( t )=c 1 e + c2 e =c 1 x +c 2 x
6) x 3 y ' '' −2 x 2 y ' ' −17 x y ' −7 y =0
Solución
t
dy −t dy d 2 y −2 t d2 y dy d 3 y −3t d 3 y d 2 y dy
dx
=e ;
dt d x 2
=e − ;
d t 2 dt d x 3
=e − ( +
d t 3 d t 2 dt ) ( )
2t
d 3 y d 2 y dy 2
3 t −3 t
e e
( dt 3
− 2
+
d t dt
−2 e e−2 t d y
dt )
2
−
dy
dt (
dy
dt )
−17 e t e−t −7 y=0
d3 y d2 y dy
3
−3 2
−18 −7 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes
dt dt dt
constantes
Es decir:
139
3 2
Sea P ( r )=r −3 r −18 r−7=0 ⇒ r 1 =6.125,r 2=−0.42289,r 3 =−2.7023 la ecuación
general de la ecuación diferencial homogénea es:

6.125t −0.4228 t −2.7023 t
y ( t )=c 1 e +c 2 e +c 3 e Pero t=lnx
y ( t )=c 1 e 6.125lnx + c 2 e−0.4228lnx + c3 e−2.7023lnx
6.125 −0.42289 −2.7023

y=c1 x +c 2 x + c3 x
7) ( x+ 2 )2 y ' ' +3 ( x +2 ) y ' −3 y=0
Solución
Sea x+ 2=e t ⇒t=ln ( x +2 ) , además
2 2
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
d2 y dy
2t
e e −2 t
( dt 2
−
dt ) dy
+3 e t e−t −3 y=0
dt
d2 y dy
2
+ 2 + 3 y =0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
Sea P ( r )=r 2 +2 r +3=0 ⇒ r 1=−3, r 2=1 la ecuación general de la ecuación

−3 t t
y ( t )=c 1 e +c 2 e Pero t=ln ( x+ 2 )
y ( t )=c 1 e−3 ln (x +2) t + c2 e ln (x +2)
c1
y= +c 2 ( x+2 )
( x+ 2 )3
8) ( 2 x +1 )2 y ' ' −2 ( 2 x+1 ) y ' + 4 y =0
Solución
140
Sea 2 x +1=et ⇒ t =ln ( 2 x +1 ) , además
dy −t dy d 2 y −2 t d 2 y dy
2
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
2
2 e2 t e−2 t ( d y dy
dt
2
−
dt ) dy
−4 et e−t + 4 y =0
dt
2
d y dy
2 2
−4 + 4 y =0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r −2r +2=0 ⇒r 1=1+i , r 2=1−i la ecuación general de la ecuación
y ( t )=c 1 e t sent +c 2 e t cost=0 Pero t=ln ( 2 x+1 )
ln ( 2 x +1) ln ( 2 x+1)
y ( t )=c 1 e senln ( 2 x +1 ) +c 2 e cosln ( 2 x +1 )=0
y=c1 ( 2 x +1 ) senln ( 2 x +1 ) +c 2 (2 x +1 ) cosln ( 2 x+1 )
9) ( x−1 )2 y ' ' + 8 ( x−1 ) y ' +12 y=0
Solución
Sea x−1=et ⇒ t=ln ( x −1 ) , además
2 2
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
d2 y dy
2t
e e −2 t
( dt 2
−
dt ) dy
+8 e t e−t +12 y =0
dt
d2 y dy
2
+ 4 + 8 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r +7 r +12=0 ⇒r 1=−3, r 2=−4 la ecuación general de la ecuación
141
−3 t −4 t
y ( t )=c 1 e +c 2 e =0 Pero t=ln ( x−1 )
y ( t )=c 1 e−3 ln (x−1 )+ c2 e−4 ln ( x−1)
y=c1 ( x−1 )−3+ c 2 ( x−1 )−4
10) ( x−2 )2 y' ' +5 ( x−2 ) y ' +8 y=0
Solución
Sea x−2=et ⇒ t=ln ( x−2 ) ,
además
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
2
e 2t e−2 t ( d y dy
dt
2
−
dt )dy
+5 et e−t + 8 y=0
dt
2
d y dy
2
+ 4 + 8 y=0 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r + 4 r +8=0 ⇒ r 1=−2+2 i, r 2=−2+2 i la ecuación general de la ecuación
y ( t )=c 1 e−2 t sen 2 t+ c2 e−2 t cos 2t=0 Pero t=ln ( x−2 )
−2 ln ( x−2 ) −2 ln ( x−2 )
y ( t )=c 1 e sen ( 2 ln ( x −2 ) ) +c 2 e cos 2 ( ln ( x−2 ) )
−2 −2
y=c1 ( x−2 ) sen ( 2 ln ( x−2 ) ) +c 2 ( x−2 ) cos 2 ( ln ( x−2 ) )
11) x 2 y ' ' + x y ' + y =x ( 6−lnx )
Solución
t
2 2
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
142
d2 y dy
e 2t e−2 t ( dt 2
−
dt ) dy
+e t e−t + y=et ( 6−t )
dt
2
d y
2
+ y=e t ( 6−t ) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt
Es decir:
Sea P ( r )=r 2 +1=0⇒ r 1=i ,r 2=−i
Y g =c 1 sent+ c 2 cost
Como Y p=( At +B ) e t
' t t
Y p= A e +2 ( At +B ) e
Y ' ' p =2 A e t +2 ( At + B ) et
2 A et + 2 ( At + B ) e t + ( At +B ) et =e t ( 6−t )
2 At +2 A+2 B=6−t
−1 7 −t 7
⇒ A= , B= , Por lo tanto Y p= +
2 2 2 2
t 7
Es decir y=c1 sent +c 2 cost− +
2 2
la ecuación general de la ecuación diferencial homogénea es:
t 7
y ( t )=c 1 sent+ c2 cost− +
2 2
lnx 7
y=c1 sen ( lnx )+ c 2 cos ( lnx )− +
2 2
12) x 2 y ' ' + x y ' −9 y=x 3 +1
Solución
143
2 2
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
d2 y dy
e 2t e−2 t ( dt 2
−
dt
dy
dt )
+e t e−t −9 y =e 3t +1
d2 y
2
−9 y=e3 t +1 , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt
Es decir:
Sea P ( r )=r 2−9=0⇒ r 1=3, r 2=−3
3t −3t
Y g =c 1 e + c2 e
Como Y p= Ae3 t + B
' 3t
Y p=3 Ae
Y ' ' p =9 Ae 3t
3t 3t 3t
9 Ae − Ae + B=e +1
3t 3t
8 Ae + B=e +1
3t
1 1
⇒ A= , B=1, Por lo tanto Y p ¿ e +1
8 8
3t
+1
Es decir y=c1 e 3t +c 2 e−3 t e +1
8

3t
+1
y ( t )=c 1 e 3 t +c 2 e−3 t e +1
8
3 lnx
+1
y ( t )=c 1 e 3 lnx +c 2 e−3 lnx e +1
8
144
1 3
y=c1 x3 + c 2 x−3 + x +1
8
13) x 2 y ' ' −x y ' + y=2 x
Solución
t
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
d2 y dy
e 2t e−2 t ( dt
2
−
dt
dy
dt)
−et e−t + y =2 et
2
d y
2
−2 y ' + y =2 et , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt
Es decir:
Sea P ( r )=r 2−2r +1=0 ⇒ r 1=1, r 2=1
t t
Y g =c 1 e + c2 t e
Como Y p=et At
' t t
Y p= A e t−Ae
Y ' ' p =A et t−2 Aet
A e t t−2 Aet −2 ( A e t t− Ae t ) +e t At=2 e t

t t
A e =2 e
⇒ A=2, Por lo tanto Y p=2 e t t
Es decir y=c1 e t +c 2 t e t +2 et t
145
lnx lnx
y ( t )=c 1 e +c 2 lnx e + 2 elnx lnx
y=c1 x+ c2 xlnx +2 xlnx
14) x 2 y ' ' + 4 x y ' +2 y=2 lnx
Solución
t
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
2
dt
2
−
dt ) dy
+4 et e−t + 2 y=2t
dt
d2 y dy
2
+ 3 +2 y =2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r +3 r +2=0 ⇒ r 1=−1, r 2=−2 la ecuación general de la ecuación

−t −2t
y g =c 1 e + c2 e
La solución particular será
y p= At + B
y ' p= A
y ' ' p=0
0+3 A+2 At +2 B=2t
146
3
⇒ y p = t−
2
−t −2 t 3
y=c1 e +c 2 e +t−
2
Pero t=lnx
−lnx −2 lnx 3
y ( t )=c 1 e +c 2 e +lnx−
2
1 1 3
y=c1 + c 2 2 +lnx−
x x 2
15) x 2 y ' ' −x y ' −3 y=−( 16 lnx ) x−1
Solución
t
2 2
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
d2 y dy
e 2t e−2 t ( dt 2
−
dt
dy
dt )
−et e−t −3 y=−( 16 t ) e−t
d2 y dy
2
−2 +3 y=−( 16 t ) e−t , es una ecuación homogénea de coeficientes
dt dt
constantes
Es decir:
Sea P ( r )=r 2−2r +3=0 ⇒r 1 =1−√ 8 i, r 2=1+ √ 8 i la ecuación general de la ecuación

t t
y g =c 1 e sen √ 8 x +c 2 e cos √ 8
y p=e−t ( At + B )
−t −t −t
y ' p= A e t+ Ae + B e
147
−t −t −t
y ' ' p= A e t+ 2 Ae + B e
3
A e t+2 Ae + B e ⇒ y p = t−
−t −t −t
2
−t −2 t
y=c1 e +c 2 e +t
Pero t=lnx
−lnx −2 lnx 3
y ( t )=c 1 e +c 2 e +lnx−
2
1 1 lnx 2 ln 2 x
y=c1 + c 2 2 + +
x x x 2
16) x 2 y ' ' + x y ' + 9 y =sen ( ln x3 )
Solución
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
2
2t
e e −2 t
( d y dy
dt
2
−
dt )
dy
+e t e−t +9 y=sen ( 3 t )
dt
2
d y
2
+ 9 y=sen ( 3 t ) , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r +9=0 ⇒ r 1=−3 i ,r 2=3 i la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
y g =c 1 sen 3 t+c 2 cos 3 t
y p= Atsen3 t
y ' p= Asen 3 t+3 Axcos 3 t
148
y ' ' p=3 Acost+3 Acos 3 t−9 Atsen 3t
3 Acos 3 t +3 Acos 3 t−9 Atsen3 t+ 9 Atsen3 t=sen 3 t
⇒ y p = tsen3 t
y=c1 sen 3 t +c 2 cos 3t +tsen3 t
Pero t=lnx
y ( t )=c 1 sen ( 3lnx )+ c 2 cos ( 3 lnx )+lnx ( sen ( 3 lnx ) )
17) x 2 y ' ' + 4 x y ' +2 y=2 ln 2 x+12 x
Solución
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
d2 y dy
2t
e e −2 t
( dt 2
− )
dt
dy
+4 et e−t + 2 y=2t
dt
2
d y dy
2
+ 3 +2 y =2 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r +3 r +2=0 ⇒ r 1=−1, r 2=−2 la ecuación general de la ecuación
y g =c 1 e−t + c2 e−2t
y p= At + B
y ' p= A
149
y ' ' p=0
0+3 A+2 At +2 B=2t
3
⇒ y p = t−
2
−t −2 t 3
y=c1 e +c 2 e +t−
2
Pero t=lnx
3
y ( t )=c 1 e−lnx +c 2 e−2 lnx +lnx−
2
1 1 3
y=c1 + c 2 2 +lnx−
x x 2
18) x 2 y ' ' −3 x y ' + 4 y =lnx
Solución
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
2
dt
2
−
dt )dy
−3 e t e−t + 4 y=t
dt
2
d y
2
−4 y ' + 4 y=t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r −4 r + 4=0 ⇒ r 1=2,r 2 =2
Y g =c 1 e 2 t +c 2 t e 2 t
Como Y p= Alnx + B
' 1
Y p= A
x
150
'' −1
Y p =A
x2
A
−1 1
2 ∓ 4A
x x
2 At +2 A+2 B=6−t
−1 7 −t 7
2 2 2 2
t 7
2 2
t 7
2 2
lnx 7
2 2
19) ( x+1 )2 y ' ' −3 ( x +1 ) y ' +4 y =( x+1 )3
Solución
t
Sea x+ 1=e ⇒t=ln ( x +1 ) , además
dx
=e ;
dt d x 2
=e −
d t 2 dt ( )
2
dt
2
−
dt) dy
−3 e t e−t + 4 y=e 3 t
dt
2
d y dy
2
−4 +4 y=e 3 t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt dt
Es decir:
151
2
Sea P ( r )=r −4 r + 4=0 ⇒ r 1=2,r 2 =2 la ecuación general de la ecuación diferencial
homogénea es:
2t 2t
y g =c 1 e +c 2 t e
y p= Ae3 t
' 3t
y p=3 Ae
y '' p=9 Ae 3t

3t 3t 3t 3t
9 Ae −12 Ae + Ae =e
3t 3t 1
−2 Ae =e ⇒ A=
2
3t
1
Por la tanto y p= e
2
Pero t=ln ( x+ 1 )
1 3 ln ( x+1 ),
y ( t )=c 1 e 2 ln (x +1) , + c2 ln ( x+ 1 ) e 2 ln ( x+1) , + e
2
1
y=c1 (x +1)2+ c2 ln ( x+ 1 )( x +1 )2+ (x +1)3
2
20) x 2 y ' ' −2 x y ' +2 y=3 x 2 +2 lnx
Solución
t
dx
=e ;
dt d x 2
=e
dt
2
−
dt ( )
d2 y dy
e 2t e−2 t ( dt 2
−
dt
dy
dt )
−2 e t e−t +2 y=3 e t +2 t
152
2
d y
2
−3 y ' + 2 y =3 et + 2t , es una ecuación homogénea de coeficientes constantes
dt
Es decir:
2
Sea P ( r )=r −3 r+ 2=0 ⇒r 1 =1,r 2 =2
t 2t
Y g =c 1 e + c2 e
Como Y p=3 At e t + Bt +C
' t
Y p=3 A t e
−1
Y ' ' p =A 2
x
A
−1 1
2 ∓ 4A
x x
2 At +2 A+2 B=6−t
−1 7 −t 7
2 2 2 2
t 7
2 2
t 7
2 2
lnx 7
2 2
153
PRACTICA N9
9.1 OPERADORES DIFERENCIALES
I) ECUACION LINEAL HOMOGENEA
RESOLVER
d 2 y dy
1) 2
+ −6 y =0
d x dx
Solución:
y ' ' + y ' −6 y =0
P ( r )=r 2 +r −6=0
( r−2 )( r +3 )=0
r 1=2, r 2=−3
y=c1 e 2 x + c 2 e−3 x
d3 y d2 y dy
2) 3
− 2 −12 =0
d x dx dx
Solución:
'' '
y ' ' '− y −12 y =0
P ( r )=r 3 −r 2−12 r=0
( r−4 )( r +3 )( r )=0
r 1=4,r 2=−3 ,r 3 =0
−3 x 4x
y=c1 +c 2 e + c3 e
d3 y d2 y dy
3) 3
+ 2 2
−5 −6 y=0
dx dx dx
Solución:
154
'' ' '' '

y +2 y −5 y −6=0
3 2
P ( r )=r −r −12 r=0
( r−2 )( r +1 ) ( r +3 ) =0
r 1=2, r 2=−1 , r 3=−3
y=c1 e 2 x + c 2 e−1 x +c 3 e−3 x
4) ( D 3−3 D2 +3 D−1 ) y=0
Solución:
'' ' '' '
y −3 y +3 y − y =0
P ( r )=r 3 −3 r 2+ 3r −1=0
( r−1 )( r −1 )( r −1 )=0
r 1=1, r 2=1 , r 3=1
x x 2 x
y=c1 e +c 2 x e + c 3 x e
5) ( D 4 −6 D3 +5 D2−24 D−36 ) y=0
Solución:
IV ' '' '' '
y −6 y +5 y −24 y −36 y=0
4 3 2
P ( r )=r −6 r +5 r −24 r−36=0
( r +1 ) ( r−6 ) ( r 2−13+6 ) =0
r 1=−1, r 2=6 , r 3= + √ i , r 4 = − √ i
1 23 1 23
2 2 2 2
1 1
√ 23 x + c e 2 x cos √ 23 x
( ) (2 )
x
y=c1 e−x +c 2 e 6 x + c3 e 2 sen 4
2
6) ( D 4 −D3−9 D2−11 D−4 ) y=0
155
Solución:
y IV − y ' ' ' −9 y ' ' −11 y ' −4 y=0
P ( r )=r 4−r 3 −9 r 2−11 r −4=0
( r +1 ) ( r−4 ) ( r +1 ) ( r +1 )=0
r 1=−1, r 2=4 , r 3=−1 ,r 4=−1
y=c1 e−x +c 2 x e−x + c 3 x 2 e−x + c 4 e4 x
7) ( D2−2 D+10 ) y=0
Solución:
'' '
y −2 y +10 y=0
P ( r )=r 2−2r +10=0
r 1=1+3 i ,r 2=1−3 i
y=c1 e x sen 3 x+ c 2 e x cos 3 x
8) ( D 3 +4 D ) y=0
Solución:
'
y ' ' ' +4 y =0
P ( r )=r 3 + 4 r=0
( r ) ( r 2 +4 )=0
r 1=0, r 2=2i ,r 3=−2i
y=c1 +c 2 sen 2 x+ c 3 cos 2 x
9) ( D 4 + D3 −2 D 2+ D+3 ) y =0
Solución:
IV ' '' '' '
y − y −9 y −11 y −4 y=0
P ( r )=r 4−r 3 −9 r 2−11 r −4=0
( r +1 ) ( r−4 ) ( r +1 ) ( r +1 )=0
r 1=−1, r 2=4 , r 3=−1 ,r 4=−1
156
−x −x 2 −x 4x
y=c1 e +c 2 x e + c 3 x e + c 4 e
10) ( D 4 +5 D2−36 ) y=0
Solución:
IV ''
y +5 y −36=0
P ( r )=r 4 +5 r 2−36=0
( r 2 +9 ) ( r 2−4 )=0
r 1=2, r 2=−2 , r 3=−3 i, r 4 =3 i
2x −2 x
y=c1 e + c 2 e +c 3 sen 3 x+ c 4 cos 3 x
2
11) ( D 2−2 D+5 ) y=0
12) ( D 2 +2 D−15 ) y=0
Solución:
'' '
y +2 y −15 y=0
P ( r )=r 2 +2 r−15=0
r 1=3, r 2=−5
3x −5 x
y=c1 e + c 2 e
13) ( D 3 + D2−2 D ) y=0
Solución:
'' ' '' '
y + y −2 y =0
P ( r )=r 3 +r 2 −2r =0
( r ) ( r−1 ) ( r +2 )=0
r 1=0, r 2=1 , r 3=−2
x −2 x
y=c1 +c 2 e + c 3 e
14) ( D 4 −6 D 3 +13 D2−12 D+ 4 ) y =0
Solución:
157
IV ' '' '' '

y −6 y +13 y −12 y +4 y=0
4 3 2
P ( r )=r −6 r +13 r −12 r + 4=0
( r−1 )( r −1 )( r −2 ) ( r−2 ) =0
r 1=1, r 2=1 , r 3=2 , r 4 =2
y=c1 e x +c 2 x e x + c 3 e 2 x +c 4 x e2 x
15) ( D 6 +9 D4 + 24 D 2+ 16 ) y=0
Solución:
VI IV ''
y +9 y + 24 y +16 y =0
P ( r )=r 6 + 9r 4 +24 r 2 +16=0
( r 2 +1 ) ( r 2 +4 ) ( r 2 + 4 ) =0
r 1=i , r 2=−i, r 3=2 i , r 4 =−2i , r 5=2 i, r 6=– 2 i
y=c1 senx+ c2 cosx+c 3 sen 2 x+ c 4 cos 2 x+ c5 xsen 2 x+ c6 xcos 2 x
9.2 ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
RESOLVER
1) ( D 2−3 D+2 ) y=e x
Solución:
'' '
y −3 y +2 y=0
P ( r )=r 2−3 r+ 2=0
r 1=2, r 2=1
y c =c 1 e x + c 2 e 2 x
Calculando la solución particular
y p=
1
F ( D)
eαx =
1
F (α )
e x=
ex
=
1
[ ex
( D−2 )( D−1 ) ( D−2 ) ( D−1 ) ]
158
2
y p=e2 x ∫ e x ∫ e−x e x ( dx )
y p=e2 x ∫ e x xdx
y p=−x e x −e x
y= y c + y p
x 2x x x
y=c1 e +c 2 e −x e −e
2) ( D 3 +3 D2−4 ) y=x e−2 x
Solución:
'' ' ''
y +3 y −4 y=0
P ( r )=r 3 +3 r 2−4=0
r 1=1, r 2=−2, r 3=−2
y c =c 1 e x + c 2 e−2 x +c 3 x e−2 x

−2 x
xe
y p=¿
( D−1 ) ( D+2 )2
3
y p=e x ∫ e−3 x ∫ e0 x ∫ e 2 x x e−2 x ( dx )
x 2 ( )2
y p=e x ∫ e−3 x ∫ dx
2
x3
y p=e x ∫ e−3 x dx
6
−1 3 2 −2 x
y p= (x +x )e
18
y= y c + y p
1 3 2 −2 x
y=c1 e x +c 2 e−2 x +c 3 x e−2 x − (x +x )e
18
159
3) ( D 2−3 D+2 ) y=e5 x
Solución:
'' '
y −3 y +2 y=0
2
P ( r )=r −3 r+ 2=0
r 1=2, r 2=1
x 2x
y c =c 1 e + c 2 e
e5 x e5 x e5 x
y p= = =
( D−2 ) ( D−1 ) ( 5−2 )( 5−1 ) 12
y= y c + y p
5x
e
y=c1 e x +c 2 e2 x +
12
4) ( D 2 +5 D+ 4 ) y=3−2 x
Solución:
'' '
y +5 y + 4 y =0
P ( r )=r 2 +5 r + 4=0
r 1=−4, r 2=−1
−4 x −x
y c =c 1 e +c 2 e
3−2 x
y p=
( D+4 ) ( D+ 1 )
2
y p=e−4 x ∫ e−3 x ∫ e x ( 3−2 x )( dx )
x 4x
2e 9e
y p= −
5 16
y= y c + y p
160
x 4x
−4 x −x 2e 9e
y=c1 e +c 2 e + −
5 16
5) ( D 3−5 D2 +8 D−4 ) y =e 2 x
Solución:
y '' ' −5 y ' ' +8 y ' −4 y=0
P ( r )=r 3 −5 r 2+ 8 r−4=0
r 1=1, r 2=2, r 3=2
x 2x 2x
y c =c 1 e + c 2 e +c 3 x e
e2 x
y p=¿
( D−1 ) ( D−2 ) ( D−2 )
y p=e x ∫ e x ∫ e0 x ∫ e 2 x e−2 x ( dx )3
x 2 ( )2
y p=e x ∫ e x ∫ dx
2
3
x
y p=e x ∫ e x dx
6
2
y p= ( x
2
1
−x− e−2 x
2 )
y= y c + y p
x2
y=c1 e x +c 2 e2 x +c 3 x e 2 x + ( 2
1
)
−x− e−2 x
2
6) ( D 2 +9 ) y=xcosx
Solución:
''
y +9 y =0
2
P ( r )=r +5 r + 4=0
r 1=−3 i , r 2=3 i
161
y c =c 1 sen 3 x+ c 2 cos 3 x
xcosx
y p=
D2 +9
cosx 2D
y p=x − 4 cosx
D +9 D +18 D2 +81
2
xcosx 2D
y p= −
8 1−18+81
xcosx senx
y p= −
8 64
y= y c + y p
xcosx senx
y=c1 sen 3 x +c 2 cos 3 x + −
8 64
7) ( D 2 +4 ) y=2 cosxcos 3 x
Solución:
y ' ' + 4 y=0
P ( r )=r 2 + 4=0
r 1=−2 i, r 2=2 i
x π x
(
y p= cos x− = senx
4 2 4 )
y= y c + y p
x
y=c1 sen 2 x+ c 2 cos 2 x + senx
4
162
−3 x
8) ( D2−9 D+18 ) y =e e
Solución:
y '' −9 y ' +18 y=0
P ( r )=r 2−9 r +18=0
r 1=3, r 2=6
3x 6x
y c =c 1 e + c2 e

−3 x
ee
y p=
( D−3 )( D−6 )
−3x
2
y p=e3 x∫ e 3 x ∫ e−6 x e e ( dx )
−3x
ee 6 x
y p= e
9
y= y c + y p
−3 x
3x ee 6 x 6x
y=c1 e + c 2 e + e
9
9) ( D2−4 D+3 ) y=1
Solución:
y ' ' −4 y ' +3 y=0
P ( r )=r 2−4 r +3=0
r 1=3, r 2=1
3x x
y c =c 1 e + c2 e
1
y p=
3
y= y c + y p
163
3x x 1
y=c1 e + c 2 e +
3
10) ( D 2−4 D ) y=5
Solución:
''
y −4 y ' =0
2
P ( r )=r −4 r =0
r 1=0, r 2=4
4x
y c =c 1 +c 2 e
R° x k 5 x −5 x
y p= = =
ax −4 4
y= y c + y p
5x
y=c1 +c 2 e 4 x −
4
11) ( D 3−4 D2 ) y=5
Solución:
y ' ' ' −4 y ' '=0
P ( r )=r 3 −4 r 2=0
r 1=0, r 2=r 3=4
4x
y c =c 1 +c 2 x +c 3 e
R° x k 5 x −5 x
y p= = =
ax −4 4
y= y c + y p
164
4x 5x
y=c1 +c 2 x + c3 e −
4
12) ( D 5−4 D 3 ) y=5
Solución:
VI
y −4 y ' ' '=0
5 3
P ( r )=r −4 r =0
r 1=0, r 2=0 ,r 3=0, r 4 =−2, r 5=2
2 2x −2 x
y c =c 1 +c 2 x +c 3 x +c 4 e +c 5 e

k
R x 5 x 2 −5 x2
y p= ° = =
ax −4 4
y= y c + y p
5 x2
y=c1 +c 2 x + c3 x 2 +c 4 e 2 x + c5 e−2 x −
4
13) ( D 2−1 ) y=sen2 x
Solución:
''
y − y=0
2
P ( r )=r −1=0
r 1=1, r 2=−1
x −x
y c =c 1 e + c 2 e

2
sen x
y p=
( D+4 ) ( D+ 1 )
2
y p=e x ∫ e−2 x ∫ e−x sen2 x ( dx )
165
−1 cos 2 x
y p= +
2 10
y= y c + y p
1 cos 2 x
y=c1 e x +c 2 e− x − +
2 10
14) ( D 2 +1 ) y=cosecx
Solución:
''
y + y=0
P ( r )=r 2 +1=0
r 1=i , r 2=−i
y c =c 1 senx+c 2 cosx
cosecx cosecx cosecx

y p= = =
D2 +1 1+1 2
y= y c + y p
cosecx
y=c1 senx + c2 cosx +
2
15) ( D 2−3 D+2 ) y=sen e−x
Solución:
'' '
y −3 y +2 y=0
2
P ( r )=r −3 r+ 2=0
r 1=2, r 2=1
2x x
y c =c 1 e + c2 e
sen e−x
y p=
( D−2 ) ( D−1 )
166
2
y p=e2 x ∫ e−x ∫ e−x sen e−x ( dx )
y p=e2 x ∫ e x cos e−x dx
y p=e2 x sen e−x
y= y c + y p
2x x
y=c1 e + c 2 e + e 2 x sen e−x
9.3 ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES (VARIACION
DE PARAMETROS, COEFICIENTES INDETERMINADOS, OTROS)
1) ( D2−2 D ) y=e x senx
Solución:
''
y −2 y '=0
P ( r )=r 2−2r =0
r 1=0, r 2=2
y c =c 1 +c 2 e2 x
y p=
e x senx
= [
1 e x senx
D ( D−2 ) D D−2 ]
2
y p=e0 x ∫ e 2 x ∫ e2 x e x senx ( dx )
2
y p=∫ e 2 x ∫ e3 x senx ( dx )
−e x senx
y p=
3
y= y c + y p
x
e senx
2x
y=c1 +c 2 e −
3
167
2) ( D2 + D ) y=cosecx
Solución:
''
y + y=0
2
P ( r )=r +1=0
r 1=i , r 2=−i
y c =c 1 senx +c 2 cosx

y p= = =
2
D +1 1+1 2
y= y c + y p
cosecx
2
3) ( D 2−6 D+ 9 ) y=x−2 e 3 x
Solución:
'' '
y −6 y + 9 y =0
P ( r )=r 2−6 r +9=0
r 1=3, r 2=3
3x 3x
y c =c 1 e + c2 xe
y p=
x−2 e 3 x
=
1
[
x−2 e 3 x
( D−3 )( D−3 ) ( D−3 ) ( D−3 ) ]
168
2
y p=e3 x∫ e 0 x ∫ e−3 x x−2 e 3 x ( dx )
2
y p=e3 x∫∫ x−2 ( dx )
y p=−e 3 x lnx
y= y c + y p
3x 3x 3x
y=c1 e + c 2 xe −e lnx
4) ( D2−2 D+3 ) y=x 3 + senx
Solución:
'' '
y −2 y +3 y=0
P ( r )=r 2−2r +3=0
r 1=1, r 2=2
y c =c 1 e x + c 2 e 2 x
y p=
x 3+ senx
=
1
( D−1 ) ( D−2 ) ( D−1 ) ( D−2 ) [
x 3 + senx
]
2
y p=e x ∫ e x ∫ e−2 x ( x 3 +senx ) ( dx )
2
y p=e x ∫ e x ∫ e−2 x ( x 3 +senx ) ( dx )
y= y c + y p
y=c1 e x +c 2 e2 x + y p
5) ( D3 +2 D2−D−2 ) y =e x + x2
169
Solución:
y ' ' ' +2 y ' ' − y ' −2 y=0
P ( r )=r 3 +2 r 2−r −2=0
r 1=1, r 2=−1, r 3=−2
x −x −2 x
y c =c 1 e + c 2 e +c 3 e
y p=
ex + x2
=
1 e x+ x 2
( D−1 ) ( D+1 ) ( D+ 2 ) ( D−1 )( D+1 ) ( D+2 ) [ ]
y p=e
x
∫ e 0 x∫ e−x ∫ ( e x+ x 2 ) ( dx )3
3
y p=e x ∫∫ e−x ∫ ( e x + x2 ) ( dx )
y= y c + y p
x −x −2 x
y=c1 e +c 2 e + c3 e + yp
6) ( D2−4 D+4 ) y=x 3 e2 x + x e 2 x
Solución:
y ' ' −4 y ' +4=0
P ( r )=r 2−4 r + 4=0
r 1=2, r 2=2
2x 2x
y c =c 1 e + c2 xe
y p=
x 3 e2 x + x e2 x
=
1
( D−2 ) ( D−2 ) ( D−2 ) ( D−2 ) [
x3 e 2 x + x e 2 x
]
2
y p=e2 x ∫ e 0 x ∫ e−2 x ( x 3 e 2 x + x e2 x ) ( dx )
170
2
y p=e x ∫∫ e−2 x ( x 3 e 2 x + x e 2 x ) ( dx )
x 5 x3
y p=e x ( +
20 6 )
y= y c + y p
x5 x3
y=c1 e 2 x + c 2 xe 2 x + e x ( +
20 6 )
7) ( D2 +4 ) y=x 2 sen 2 x
Solución:
''
y + 4=0
2
P ( r )=r + 4=0
r 1=2 i ,r 2 =−2 i
x 2 sen 2 x x2 sen 2 x
y p= 2
=
D +4 8
y= y c + y p
2
x sen 2 x
y=c1 sen 2 x+ c 2 cos 2 x +
8
8) ( D 2 +1 ) y=cosecx
Solución:
y ' ' + y=0
P ( r )=r 2 +1=0
r 1=i , r 2=−i
y c =c 1 senx +c 2 cosx
171

y p= = =
2
D +1 1+1 2
y= y c + y p
cosecx
2
9) ( D2 +4 ) y=4 sec 2 2 x
Solución:
''
y + 4=0
P ( r )=r 2 + 4=0
r 1=2 i ,r 2 =−2 i

2 2
4 sec 2 x sec 2 x
y p= 2
=
D +4 2
y= y c + y p
sec 2 2 x
y=c1 sen 2 x+ c 2 cos 2 x +
2
−1
10) ( D2−4 D+3 ) y=( 1+ e−x )
Solución:
y '' −4 y ' +3=0
P ( r )=r 2−4 r +3=0
r 1=3, r 2=1
x 3x
y c =c 1 e + c 2 e
172
[ ]
−1 −1
( 1+e−x ) 1 ( 1+e−x )
y p= =
( D−3 )( D−1 ) ( D−3 ) ( D−1 )
3x −1
y p=e ∫ e−2 x∫ e−x ( 1+e−x ) ( dx )2
y= y c + y p
x 3x
y=c1 e +c 2 e + y p
11) ( D2−1 ) y=e−x sen e−x +cos e−x
Solución:
y ' ' −1=0
P ( r )=r 2−1=0
r 1=−1, r 2=1
−x x
y c =c 1 e + c 2 e
y p=
e−x sen e−x +cos e−x
( D+ 1 )( D−1 )
=
1
( D+1 ) [
e−x sen e−x + cos e−x
( D−1 ) ]
2
y p=e x ∫ e 0 x ∫ e x ( e−x sen e−x + cos e−x ) ( dx )
y= y c + y p
−x x
y=c1 e +c 2 e + y p
12) ( D2 +2 ) y=2+e x
Solución:
y ' ' +2=0
P ( r )=r 2 +2=0
173
r 1=−√ 2i , r 2=√ 2i
y c =c 1 sen √ 2 x +c 2 cos √ 2 x
2+ e x 2+ e x
y p= =
D2 +2 √2+2
y= y c + y p
x
2+ e
y=c1 sen √2 x+ c2 cos √ 2 x+
√ 2+ 2
13) ( D2−1 ) y=e x sen 2 x
Solución:
y ' ' −1=0
P ( r )=r 2−1=0
r 1=−1, r 2=1
−x x
y c =c 1 e + c 2 e
[ ]
x x
e sen 2 x 1 e sen 2 x
y p= =
( D+1 ) ( D−1 ) ( D+1 ) ( D−1 )
2
y p=e−x ∫ e 2 x ∫ e−x ( e x sen 2 x ) ( dx )
y= y c + y p
−x x
y=c1 e +c 2 e + y p
14) ( D2 +2 D+ 2 ) y =senx+ x 2
174
Solución:
y '' +2 y ' + 2 y=0
P ( r )=r 2 +2 r +2=0
r 1=−1+i, r 2 =−1−i
−x −x
y c =c 1 e senx+c 2 e cosx
senx+ x 2 senx+ x 2
y p= =
D2−2 D−2 −2 D−3
3 3
x x
y p=e 2
∫e 2
( senx + x 2 ) ( dx )2
y= y c + y p
y=c1 e−x senx+c 2 e−x cosx+ y p
175
PRACTICA N10
6.SERIES DE POTENCIA
10.1 INTEGRACION POR SERIES
1).-Resolver y ' − y−x 2=0 mediante una serie de potencia de x que
satisfaga la condición y= y 0 para x=o .
Solución
Sea:
y 0= y =3 ; x 0=x=2
i¿ .−Hacemos v =x−2 ⇒ x=v +2 ⇒dx =dv
dy dy 2
Luego = =v + y −3=F ( v , y )
dx dv
ii ¿ .−¿ Suponiendo que:
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 v+ A 2 v + A 3 v + A 4 v +…+ A n v + … ---( )
Luego: y ' −v 2− y +3=0 será de la forma:

2 3 n−1
y ' = A 1+2 A2 v +3 A3 v +4 A 4 v +…+ nA n v +…
2 2
−v =−v
2 3 4 n
−y =−A 0− A1 v −A 2 v − A3 v −A 4 v −…− An v −…
176
3=3
A 4− A3
4¿v
¿
A n− A n−1
n¿v
¿
A n+1− A n
( n+1 ) ¿ v
¿
' 2 2
y −v − y+ 3=( A 1−A 0 +3 ) + ( 2 A 2−A 1 ) v + ( 3 A3 −A 2−1 ) v +¿
Como y ' −v 2 − y+ 3=0 se dirá lo siguiente:
 2 A 0− A1 =0 ⇒ A 1= A 0−3= y 0−3 ⇒ A 1=O
 2 A 0− A1 =0 ⇒ A 2=0
1
 3 A 3− A 2−1=0 ⇒ A 3=
3
1
 4 A 4− A 3=0 ⇒ A4=
4∗3
1
 5 A 5− A 4=0 ⇒ A 5=
5∗4∗3
2
⇒ An = ∀n ≥3
n!
Luego reemplazando en ( ) tenemos lo siguiente:
1 2 2
3 2 ()
y=3+ v 3∗ +…+ v n +…
n!
iii ¿ .−Haciendo v=x−2 se tiene :
2 2 2
∴ y =3+ ( x−2)3 + ( x−2) 4 …+ (x −2)n +…
3! 4! n!
Solución
177
La ecuación diferencial será:
(1−x ) y ' + y−2 x=0
Suponiendo que la solución es de la forma:
y= A 0+ A 1 x + A2 x2 + A3 x 3+ A 4 x 4 +…+ A n x n +… ---( )
Donde A 0= y 0 y las restantes A i ∀ i=1,2, … son constantes para determinar.
Sea:
x
x
(¿ ¿ n−x n+1 )+ …
( ¿ ¿ n−1−x n)+( n+1) An +1 ¿
( 1−x ) y ' =A 1 ( 1−x )+2 A2 ( x−x 2 ) +3 A 3 ( x2 −x3 ) + …+nA n ¿
2 3 4 n n+1
y= A 0+ A 1 x + A2 x + A3 x + A 4 x +…+ A n x + An +1 x +…
−2 x=−2 x
2)Resolver (1−x ) y ' =2 x− y mediante una serie que satisfaga la condición
y= y 0 cuando x=o .
Por lo tanto:
 A 1 + A 0=0 ⇒ A 1=− A0 =−y 0 ⇒ A 1=− y 0
 2 A 2−2=0 ⇒ A 2=1
1
 −A 2+3 A 3=0 ⇒ A 3=
3
178
1
 −2 A3 + 4 A 4 =0 ⇒ A4=
2∗3
−(n−1) A n−(n+1) A n+1=0 ⇒
2
∀ n ≥2
( n−1 )∗n
Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en ( ) se tiene:

2
2 2∗1 3 2 4 2
∴ y = y 0− y 0 x+ x + x + x +…+ x n+ …
2 2∗3 4∗3 (n−1)∗n
'
3).- Resolver xy − y=x +1 mediante potencias de (x−1) .
Solución

'
xy − y−x−1=0
Además:
v =x−1⇒ x=v +1 ⇒ dx=dv
dy dy y +v +2
Luego = = =F (v , y)
dx dv ( v+ 1 )
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 v+ A 2 v + A 3 v + A 4 v +…+ A n v + … ---( )
Luego: ( v +1 ) y ' − y−v−2=0 será de la forma:
( v +1 ) y ' = A1 v + A1 +2 A 2 v +2 A 2 v 2+3 A 3 v 2+ 4 A 4 v 3+ 4 A 4 v 4 + …+nA n v n−1+ nAn v n +…
2 3 4 n
−y =A 0− A 1 v− A2 v − A 3 v − A4 v −…− A n v −…
−v=−v
−2=−2
179
Como:
( v +1 ) y ' − y−v−2=0
Se dirá lo siguiente:
 −A 0−2+ A1=0 ⇒ A 1=3
1
 2 A 2−1=0 ⇒ A 2=
2
−1
 3 A 3 + A 2=0 ⇒ A 3=
2∗3
2
 4 A 4 +2 A 3=0 ⇒ A4=
2∗3∗4
6
 3 A 4 +5 A5 =0 ⇒ A 5=
2∗3∗4∗5
−( n−1 ) A n
⇒ An +1= ∀ n ≥2
( n+1 )

*
v2 v3 2v4 6 v5
y=1+3 v+ − + − +…
2 2∗3 2∗3∗4 2∗3∗4∗5
2 3 4 5
v v 2v 6 v
y=1+3 v+ − + − +…
2 ! 3! 4 ! 5!
y=Haciendo v=x−1 se tiene :
( x−1)2 ( x −1)3 2(x −1)4 6 (x−1)5

∴ y =1+3( x−1)+ − + − +…
2! 3! 4! 5!
4).- Resolver ( 1+x 2 ) y ' ' + x y ' − y=0 mediante potencias de x .
Solución
( 1+x 2 ) y ' ' + x y ' − y=0
180
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 x + A2 x + A3 x + A 4 x +…+ A n x +… ---(*)
Sea:
2 '' 2 3 2 4 3 5 4 6
(1+ x ) y =2 A2 +2 A 2 x +6 A3 x+ 6 A 3 x +12 A 4 x +12 A 4 x +20 A5 x + 20 A 5 x +30 A 6 x + 30 A 6 x +…+ ( n∗
' 2 3 4 5 6 n
x y = A 1 x+ 2 A 2 x + 3 A 3 x + 4 A 4 x +5 A 5 x +6 A 6 x + …+nA n x +…
−y =A 0− A 1 x− A 2 x 2− A3 x 3− A4 x 4 −…− A n x n−…
15 A 4 +30 A6 ¿ x 4 +…+ ( ( n2 −1 ) A n+ ( n+1 )∗(n+2) A n+2 ) x n +…

8 A 3 +20 A 5 ¿ x 3 +¿
3 A 2+ 12 A 4 ¿ x 2 +¿
( 1+ x 2 ) y '' + x y ' − y=( 2 A 2− A 0 )+ ( 6 A 3 ) x+ ¿
15 A 4 +30 A6 ¿ x 4 +…+ ( ( n2 −1 ) A n+ ( n+1 )∗(n+2) A n+2 ) x n +…

8 A 3 +20 A 5 ¿ x 3 +¿
3 A 2+ 12 A 4 ¿ x 2 +¿
0=( 2 A 2− A 0 ) + ( 6 A3 ) x+ ¿
Por lo tanto:
A0
 2 A 2− A0 =0 ⇒ A 2=
2
 6 A 3=0 ⇒ A 3=0
−A 0
 3 A 2 +12 A 4=0 ⇒ A4=
8
 8 A 3 +20 A 5=0 ⇒ A 5=0
A0
 2 A 6 + A 4 =0 ⇒ A 6=
16
181
A0 2 A A
y= A 0+ A 1 x + x + ( 0 ) x 3 − 0 x 4 + ( 0 ) x 5+ 0 x 6 + …
2 8 16
2 4 6
∴ y =A 0 1+ ( x x x
− + … + A 1 x +5 ¿ XXXX
2 8 16 )
'' 2 ' 2
5).- Resolver y −2 x y + 4 xy=x + 2 x +2 mediante potencias de x .
Solución
y ' ' −2 x 2 y ' + 4 xy−x 2−2 x−2=0
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 x + A2 x + A3 x + A 4 x +…+ A n x +… ---( )
Sea:
'' 2 3 4
y =2 A2 +6 A 3 x +12 A 4 x +20 A5 x +30 A 6 x + …+ ¿
n−2
(n∗( n−1 )) A n x +…
−2 x 2 y ' =−2 A 1 x 2−4 A2 x3 −6 A 3 x 4−8 A4 x 5−10 A5 x 6−…−2 nAn x n+1−…
2 3 4 5 n+1
4 xy =4 A 0 x + 4 A 1 x +4 A 2 x +4 A 3 x + 4 A 4 x +…+ 4 A n x +…
2 2
−x =−x
−2 x=−2 x
−2=−2
+ 4 A2
20 A5 −4 A 2 ¿ x
¿
30 A 6−6 A 3+ 4 A3 ¿ x +…+ ( n+1 ∗(n+2) A n+2−(2 n−2) A n−1 +4 A n−1) x n +…
4
( )
12 A 4 −2 A 1+ 4 A1 −1¿ x 2 +¿
'' 2 ' 2
y −2 x y + 4 xy−x −2 x−2=( 2 A2 −2 A1 −2 ) + ( 6 A3 + 4 A0−2 ) x +¿
182
+ 4 A2
20 A5 −4 A 2 ¿ x
¿
30 A 6−6 A 3+ 4 A3 ¿ x +…+ ( ( n+1 )∗(n+2) A n+2−(2 n−2) A n−1 +4 A n−1) x n +…
4
12 A 4 −2 A 1+ 4 A1 −1¿ x 2 +¿
0=( 2 A 2−2 A 1−2 ) + ( 6 A 3 +4 A 0−2 ) x +¿
Por lo tanto:
 2 A 2−2 A 1−2=0 ⇒ A 2= A 1+1
1−2 A0
 6 A 3 +4 A 0−2=0 ⇒ A 3=
3
1−2 A 1
 12 A 4−2 A1 + 4 A 1−1=0 ⇒ A4=
12
 2 0 A 5−4 A 2 +4 A 2=0 ⇒ A 5=0
1−2 A0
 30 A 6−6 A 3+ 4 A3 =0 ⇒ A 6=
45
( n+1 )∗(n+2) A n+2 −(2 n−2) A n−1 +4 A n−1=0

*
(¿¿ 1+1)x 2+ ( 1−23 A ) (

0
x 3+
1−2 A 1 4
12 )
x + ( 0 ) x 5+(
1−2 A 0 6
45
) x +…
y =A 0 + A1 x+ ¿
2 2 1 1 +1 4 1 6
3( 45 ) 6 (
∴ y =A 0 1− x3 − x 6 +… + A1 +5 ¿ x + x 2− x 4 + … + x 2 + x 3
3 12 )
x + x
45
183
6).- Resolver y ' ' + ( x−1 ) y ' + y=0 mediante potencias de (x−2) .
Solución
y ' ' + ( x−1 ) y ' + y=0
Además:
v =x−2⇒ x=v +2 ⇒ dx=dv
y
−(¿¿ ' '+ y )
=F( v , y)
( v +1 )
dy dy
Luego = =¿
dx dv
y= A 0+ A 1 v+ A 2 v 2+ A 3 v 3 + A 4 v 4 +…+ A n v n+ … ---(*)
y= A1 +2 A2 v +3 A3 v 2 +4 A 4 v 3 +5 A5 v 4 + …
Luego: y '' + ( v+ 1 ) y ' + y=0 será de la forma:
y ' ' =2 A2 +6 A 3 v+12 A 4 v 2+ 12 A5 v 3 +30 A6 v 4 +…+n∗( n−1) A n v n−2+ …
( v +1 ) y ' = A1 v + A1 +2 A 2 v +2 A 2 v 2+3 A 3 v 2+ 4 A 4 v 3+ 4 A 4 v 4 + …+nA n v n−1+ nAn v n +…
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 v+ A 2 v + A 3 v + A 4 v +…+ A n v + …
A 4 +4 A 3+ 20 A 5
4¿ v
¿
+1
(n ¿ A n+1 +( n+1) An ) v
¿
(n+2) A n+2
¿ n−1+ ( n+1 ) ¿ v
y + ( v+ 1 ) y + y=( A 1+ 2+ 2 A2 ) + ( 2 A2 +2 A1 +6 A3 ) v + ( 3 A 3+ 3 A 2+12 A4 ) v 2 +¿
'' '
184
Como: y ' ' + ( v+ 1 ) y ' + y=0
Se dirá lo siguiente:
−2− A1
 A 1 +2+2 A 2=0 ⇒ A 2=
2
2− A 1
 2 A 2+ 2 A1 +6 A3 =0 ⇒ A 3=
6
4 A1 + 4
 3 A 3 +3 A 2 +12 A 4=0 ⇒ A4=
48
4 A 1−20
 4 A 4 + 4 A 3 +20 A 5=0 ⇒ A 5=
240
A n + A n +1
⇒ An +2= ∀ n≥ 1
( n+ 2 )

*
−2− A1 2 2−A 1 3 4 A 1 +4 4 4 A 1−20 5

y= A 0+ A 1 v+ ( 2 ) (
v +
6
v +
48 ) (
v +
240
v +… ) ( )
v2 v3 v4 v5 v2 v3 v4 v 5
(
y= A 0+ A 1 v − − + + + … + + + − +…
2 6 12 60 2 3 12 12 )
Haciendo v =x−2 se tiene :
( x−2)2 (x−2)3 (x−2)4 ( x−2)5 ( x −2)2 (x−2)3 (x−2)4 ( x−2)5

(
∴ y =A 0 + A1 ( x−2)−
2
−
6
+
12
+
60
+… +
2
+
3 ) +
12
−
12
+…
185
7).- Resolver ( 1−x ) y ' =x2 − y según potencias de x .
Solución
( 1−x ) y ' −x 2 + y=0
y= A 0+ A 1 x + A2 x2 + A3 x 3+ A 4 x 4 +…+ A n x n +… ---(*)
Sea:
( 1−x ) y ' =A 1− A1 x+ 2 A2 x−2 A 2 x 2 +3 A 3 x 2−3 A 3 x 3 +4 A 4 x3 −4 A 4 x 4 +…+nA n xn −1 −nAn x n+ …
2 2
−x =−x
y= A 0+ A 1 x + A2 x2 + A3 x 3+ A 4 x 4 +…+ A n x n +…
( 1−x ) y ' −x 2 + y= ( A 1 + A 0 ) + ( 2 A2 ) x+ ( 3 A 3− A2 ) x 2+ ( 4 A 4−2 A3 ) x 3 +…+ ( ( n+1 ) A n+1−(n−1) A n ) x n+ …
2 3 n n
0=( A 1 + A 0 ) + ( 2 A2 ) x+ ( 3 A 3− A 2) x + ( 4 A 4 −2 A3 ) x +…+ ( ( n+1 ) A n+1−(n−1) A n ) x + … x + …
Por lo tanto:
 A 1 + A 0=0 ⇒ A 1=− A0 =−y 0
 2 A 2=0 ⇒ A 2=0
 3 A 3− A 2=0 ⇒ A 3=0
 4 A 4−2 A3 =0 ⇒ A 4 =0
186
 ( n+1 ) A n+1 −(n−1) An =0
..
y= y 0 − y 0 x
∴ y = y 0 (1−x )
' 2
8).- Resolver y =2 x +3 y mediante potencias de x.
Solución

2
y ' −3 x−2 x =0
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 x + A2 x + A3 x + A 4 x +…+ A n x +… ---( )
Sea:
y '= A 1+2 A2 x+3 A3 x 2+ 4 A 4 x 3 +5 A5 x 4 +…+nA n x n−1 +…
2 3 4 n
−3 y =−3 A 0−3 A 1 x−3 A 2 x −3 A 3 x −3 A 4 x −…−3 An x −…
2 2
−2 x =−2 x
' 2 2 3 4
y −3 x−2 x = ( A 1−3 A0 ) + ( 2 A 2−3 A 1 ) x + ( 3 A3 −3 A 2−2 ) x + ( 4 A 4−3 A3 ) x + ( 5 A 5−3 A 4 ) x +…+ ( ( n+1 ) A n
0=( A 1−3 A0 ) + ( 2 A 2−3 A 1 ) x + ( 3 A3 −3 A 2−2 ) x 2+ ( 4 A 4−3 A3 ) x 3 + ( 5 A 5−3 A 4 ) x 4 +…+ ( ( n+1 ) A n+1−(n−1) A
187
Por lo tanto:
 A 1−3 A0 =0 ⇒ A 1=3 y 0
3 y0
 2 A 2−3 A 1=0 ⇒ A 2=
2
9 y 0 +4
 3 A 3−3 A2−2=0 ⇒ A 3=
2∗3
3 (9 y 0 +4 )
 4 A 4−3 A 3=0 ⇒ A4=
2∗3∗4
9( 9 y 0+ 4)
 5 A 5−3 A 4=0 ⇒ A 5=
2∗3∗4∗5
 ( n+1 ) A n+1 −(n−1) An =0
3 y 0 2 (9 y 0 +4 ) 3 3(9 y 0 + 4) 4 9( 9 y 0+ 4) 5
y= y 0 +3 y 0 x+
2
x +
2∗3
x+
2∗3∗4 ( x +
2∗3∗4∗5 ) (
x +… )
∴ y = y 0 +3 y 0 x +
3 y0 2
2
x + ( 9 y 0+ 4 ) + [
x 3 3 x 4 9 x5
3! 4! 5!
+ +… ]
9).- Resolver y ' ' − x y ' + x2 y=0 mediante potencias de x .
Solución
188
y ' ' − xy ' + x2 y=0
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 x + A2 x + A3 x + A 4 x +…+ A n x +… ---(*)
Sea:
'' 2 3 4
y =2 A2 +6 A 3 x +12 A 4 x +20 A5 x +30 A 6 x + …+ ¿
(n∗( n−1 )) A n x n−2 +…
' 2 3 4 5 6 n
−x y =−A 1 x−2 A2 x −3 A 3 x −4 A4 x −5 A 5 x −6 A 6 x −…−nA n x −…
x 2 y ' = A0 x 2+ A 1 x 3 + A2 x 4 + A 3 x 5 + A 4 x 6 +…+ A n x n +2+ …
−3 A3 + A 1
2 0 A5¿ x
¿
30 A 6−4 A4 + A 2 ¿ x 4 + …+ ( ( n+1 )∗( n+2 ) A n +2−n A n + An−2 ) x n +…
12 A 4−2 A2 + A 0 ¿ x 2+ ¿
y ' ' +2 x 2 y−1−x −x2 =( 2 A 2 ) + ( 6 A3− A 1 ) x +¿
−3 A3 + A 1
2 0 A5¿ x
¿
30 A 6−4 A4 + A 2 ¿ x + …+ ( ( n+1 )∗( n+2 ) A n +2−n A n + An−2 ) x n +…
4
12 A 4−2 A2 + A 0 ¿ x 2+ ¿
0=( 2 A 2) + ( 6 A 3− A 1) x +¿
Por lo tanto:
 2 A 2=0 ⇒ A 2=0
A1
 6 A 3− A 1=0 ⇒ A 3=
6
−A 0
 12 A 4−2 A2 + A 0=0 ⇒ A4=
12
189
3 A1
 2 0 A 5−3 A 3 + A1=0 ⇒ A 5=
40
−A 0
 30 A 6−4 A4 + A 2=0 ⇒ A 6=
90
 ( n+1 )∗( n+2 ) A n+2 −n A n + A n−2=0 .

*
A 0 3 −A 0 4 3 A 1 5 −A 0 6
y= A 0+ A 1 x +
6
x+
12
x +
40 ( ) ( )
x +(
90
) x +…
4 6 3 5
∴ y =A 0 1− ( x x
12 90 )
x 3x
− +… + A 1 +5 ¿ x + +
6 40
+… ( )
'' 2 2
9).- Resolver y + x y =1+ x+ x según potencias de x .
Solución

'' 2 2
y +2 x y−1−x−x =0
2 3 4 n
y= A 0+ A 1 x + A2 x + A3 x + A 4 x +…+ A n x +… ---(*)
Sea:
'' 2 3 4
y =2 A2 +6 A 3 x +12 A 4 x +20 A5 x +30 A 6 x + …+ ¿
(n∗( n−1 )) A n x n−2 +…
2 ' 2 3 4 5 6 n +2
x y = A0 x + A 1 x + A2 x + A 3 x + A 4 x +…+ A n x +…
−1=−1
−x=−x
−x 2=−x 2
190
+A1
2 0 A5 ¿ x
¿
30 A 6 + A2 ¿ x + …+ ( ( n+ 1 )∗(n+2) A n+2 + A n−2 ) x n+ …
4
12 A 4 + A0−1¿ x 2+ ¿
y ' ' +2 x 2 y−1−x−x 2=( 2 A 2−1 ) + ( 6 A 3−1 ) x+ ¿
+A1
2 0 A5 ¿ x
¿
4 n
30 A 6 + A2 ¿ x + …+ ( n+ 1 )∗(n+2) A n+2 + A n−2 ) x + …
(
2
12 A 4 + A0−1¿ x + ¿
0=( 2 A 2−1 ) + ( 6 A 3−1 ) x+¿
Por lo tanto:
1
 2 A 2−1=0 ⇒ A 2=
2
1
 6 A 3−1=0 ⇒ A 3=
6
1−A 0
 12 A 4 + A0 −1=0 ⇒ A4=
12
−A 1
 2 0 A 5+ A 1=0 ⇒ A 5=
20
−1
 30 A 6 + A2=0 ⇒ A 6=
60
 ( n+1 )∗(n+2) A n+2 + A n−2=0
x 2 x 3 1− A0 4 −A1 5 −1 6
y= A 0+ A 1 x +
2 6
+ +
12 (x +
20 ) ( )
x +(
60
) x +…
4 5 2 3 4 6
x
12 ( x
20) x x x x
∴ y =A 0 1− +… + A 1 +5 ¿ x− +… + + + +
2 6 12 60
+…( )
191
PRACTICA N11
11.1 ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS
1) Comprobar que:
d J0 ( X)
=−J 1
dx ( X)
−1
¿
¿
1
¿n
( n ! )2
¿
∞
J 0 =∑ ¿
( X)
n=0
−1
¿
¿
1 x
¿n ( )
( n ! )2 2
¿
x 2 1 X 4 1 X 6
J 0 =1−
( X)
2()+
( 2! )2 2
− ( )
( 3 ! )2 2
+… .+¿ ( )
d J0 x 1 x
3
1 x
5
1 x
2 n+1
dx
( X)
=− () +
2 1! 2! 2()
−
2! 3! 2
++… (−1 ) ()
n+1
( n ! )( n+1 ) ! 2 ()
d J0 ( X)
=¿
( 2x )− 1!12 ! ]
dx ¿
−¿
¿
192
−1
¿
¿
1
¿n
( n ! )( n+ 1 ) !
¿
d J0 ∞
=−∑ ¿
(X )
dx n =0
d J0 ( X)
=−J 1
dx ( X)
2) Comprobar que:
d K K
a)
dx ( x J k )=x J k−1
(X ) ( X)
2
1 1 x
− ()
k ! 1 ! ( k +1 ) ! 2
+¿
2 k
xK J k =
(X ) ( )
x
2
¿
()}
4 2n
+1
() x
2 ! ( k +2 ) ! 2
−…+
1 x
n ! ( k +1 ) ! 2
{
2 K −1 2
(2 k )x
d K
dx ( x J k )=
(X )
2k
1
−
1 x
k ! 1! ( k +1 ) ! 2 ()
4 n 2n
x x
+1
()
2 ! ( k + 2) ! 2
−…+
(−1)
n! ( k +n ) ! 2 () }
{ () }
3 5
+(−1)n +1 x (2n +1)
+ x2 K −1 x
+
1
()
x
2k 0 ! ( k+ 1 ) ! 2 1 ! ( k +2 ) ! 2
−
−1 x
2 ! ( k +3 ) ! 2
+… ()
n! ( k +n+1 ) ! 2 ()
2
k k x
d K
−
k ! 1 ! ( k +1 ) ! 2
+¿ ()
dx (
x Jk (X )
) =
x
2 K−1
¿
2k −1
−1
n 2n
(¿ ¿ ) k x
()
n! ( k +n ) ! 2
4
}
k x
()
2 ! (k + 2)! 2
−…+¿
193
{ () }
2 K −1 2 4 6 n+1 2 ( n+1)
+x
2
k−1
–
1 x
0 ! ( K +1 ) ! 2
+ ()
1 x
1 ! ( K +2 ) ! 2 () —
1 x
2 ! ( K +3 ) ! 2 ()+…
+ (−1 ) x
n ! ( k +n+1 ) ! 2
2
1 k +1 x
d K
−
(k −1)! 1! ( k +1 ) ! 2
+¿ ()
dx (
x Jk (X )
) =
x 2 K−1
¿
2k−1
4
k+ 2 x k +n
2 ! (k + 2)! 2 ()
−…+
n! ( k +n ) !
2
1 1 x
d K
− ()
(k −1)! 1! ( k ) ! 2
+¿
dx (
x Jk (X )
) =
x 2 K −1
¿
2k−1
4 n 2n
1 x x
()
2 ! ( k +1 ) ! 2
−…+
(−1)
n ! ( k+ n−1 ) ! 2 () }
Por lo tanto :
d K K
dx (
x J k )=x J k−1 (X ) ( X)
d −K −K
dx (
b) x J k )=−x J k+1
(X ) ( X)
Debemos llegar a :
2
1 1 x
−
( k +1)! 1 ! ( k +2 ) ! 2
+¿
2 k+1
()
−K −K x
−x J k+1 =−x ( ) ¿
( X)
2
4 2n
x 1 x
+1
()
2 ! ( k + 3) ! 2
−…+
1 ! ( k + n+1 ) ! 2() }
2
1 1 x
−
(k +1)! 1 ! ( K +2 ) ! 2
+¿ ()
−X
−x−K J k +1 = k+1 ¿
2 ( X)
4 2n
x 1 x
+1
()
2 ! ( K +3 ) ! 2
−…+
1 ! ( K +n+1 ) ! 2 () }
Partimos de :
194
2
1 1 x
−
k ! 1 ! ( k +1 ) ! 2
+¿ ()
1
x−K J k = K ¿
2
( X)
()}
4 2n
+1
()
x
2 ! ( k +2 ) ! 2
−…+
1 x
n ! ( k +1 ) ! 2
d −K
dx (
x J k )=¿ (X )
{ () }
3 5 n+1 (2 n+1 )
1
K
−1 x
+
1
() x
2 0 ! ( k +1 ) ! 2 1! ( k + 2 ) ! 2
−
−1 x
2! ( k + 3 ) ! 2 ()
+…
+(−1) x
n ! ( k + n+1 ) ! 2 ()
2 4
d −K
dx (
x J k )=¿ (X )
−X
2 K +1 { 1
−
1 x
0 ! ( k +1 ) ! 1! ( k +2 ! 2
+
) ( )
1 x
2 ! ( k +3 ) ! 2 ()
d −K
dx (
x J k )=¿
(X )
−x −K J k+1 ( X)
4)probar que:
x 1
t−( ) 1 1
∞
=J 0 ( x )+ t J 1 ( x ) +⋯+ t k J k ( x )+ ⋯+ J−1 ( x ) + ⋯+ k J −k ( x ) +⋯ ⋯= ∑ t n J n ( x )
2 t
e
t t n =−∞
Partimos de la igualdad:
x
(t −1t ) 1 1
e2 =J 0 ( x )+ t J 1 ( x ) +⋯+ t k J k ( x )+ ⋯+ J−1 ( x ) + ⋯+ k J −k ( x ) +⋯
t t
x 1 1 1
2 ( ) ( )
t− =ln ( 1× J 0 ( x ) ) + ln ( t × J 1 ( x )) + ⋯+ ln ( t k × J k ( x ) ) + ⋯+ ln ×J −1 ( x ) +⋯+ ln k × J −k ( x ) + ⋯
t t t ( )
x
(2 t− 1t )=ln ( 1) + ln ( J ( x ) )+ ln ( t ) +ln ( J ( x ) )+⋯+ ln (t ) +ln ( J ( x ) )+⋯
0 1
k
k
+ln ( 1t )+ ln ( J −1 ( x ) ) +⋯
1
+ln
() t
k
+ ln ( J −k ( x ) ) + ⋯ ⋯
x 1 1 1
2 ( )
t− =ln ( J 0 ( x ) × J 1 ( x ) × ⋯ ×J k ( x ) × ⋯ ) + ln ( J −1 ( x ) ×⋯ × J −k ( x ) ×⋯ ) + ln ( 1 ×t × t 2 × ⋯ ×t k × ⋯ )+ ln × 2 ×⋯
t t t (
Hallando el equivalente en sumatorias:
195
∞ −1 ∞ −1
x 1
2 ( )
t− =∑ ln ( J n ( x ) ) + ∑ ln ( J n ( x ) ) + ∑ ln ( t n ) + ∑ ln ( t n )
t n=0 n=−∞ n=0 n=−∞
∞ ∞
x
(2 t− 1t )=∑ ln ( J ( x ) )+∑ ln ( t )
−∞
n
−∞
n
∞
x
(2 t− 1t )=∑ [ ln ( J ( x ))+ ln (t )]
−∞
n
n
∞
x
(2 t− 1t )=∑ ln ( t × J ( x ) )
−∞
n
n
x 1 ∞
(t − )
e 2 t
=∑ t n × J n ( x )
−∞
x 1 ∞
(t− ) 1 1
∴e 2 t
=J 0 ( x ) +t J 1 ( x ) + ⋯+t J k ( x ) +⋯+ J −1 ( x )+ ⋯+ k J −k ( x ) + ⋯ ⋯= ∑ t n J n ( x )
k
t t n=−∞
3 � 1
( X - X ) Y "+ �
2
� - 2X �
�2
Y '- Y =0
� 4
5)
SOLUCION:
 +  + 1 = 2 ;  = 3/2
�1 1 3 �
Y1 = F � ; ; -; X �
�2 2 2 �  = 1 -   = 1/4
(1 - )  = 1/4
x 3x 2 5 x3
y1 = 1 + + + + ..........
6 40 112  - 2 - ¼ = 0
2 -  + ¼ = 0
 = ½ ;  = ½ ;  = 3/2
ANALOGAMENTE:
y2 = x1- F ( -  + 1;  -  + 1; 2 -  ; x)
1 x
y2 = x -1/2 F (0; 0; ; x) =
2 x
y = Ay1 + By2
� x 3x 2 5 x 2 � B x
y=A �
1+ + + + ..........�+
� 6 40 112 � x
6.- resolver mediante serie:

( x−x 2 ) y ´´ + 4 ( 1−x ) y ´ −2 y =0
196
Solución:
( x−x 2 ) y ´´ + 4 ( 1−x ) y ´ −2 y =0, mediante gauss
γ =4 , αβ=2, α + β+ 1=4 , resolviendo obtenemos :
α =1 , β =2 , γ=4 , x=x
y 1=F ( α , β , γ , x ) ,reemplazando obtenemos :
x 3 1
y 1=(1+ + x 2 + x3 … …)
2 10 5
Análogamente:
y 2=x 1−γ F ( α −γ +1, β−γ +1,2−γ , x ) , reemplazando obtenemos
y 2=x 1−γ F (−2,−1,−2, x )
y 2=x−3 ( 1+2 x .. )
La solución completa será:
x 3 1
( )
y= A 1+ + x 2 + x 3 … … + B x−3 ( 1+2 x .. )
2 10 5
7.- probar que:
a) F( α , β , β , x )=( 1−x )−α
b) xF (1,1,2,−x )=ln(1+ x )
Solución:
−α
a) F( α , β , β , x )=( 1−x )
y=F (α , β , γ , x)=F (α , β , β , x)
Como: tenemos:α=α , β=β , γ=β , x=x
Como:
αβ α(α +1) β (β +1 ) 2
y=1+ x+ x +
1 γ 1 x 2 xγ( γ+1 )
α (α +1 )(α+2 )β ( β +1)( β +2) 3
x +. . ..
1 x 2 xγ (γ +1)( γ +2 )
Reemplazando obtenemos:
α (α+1 ) 2
y=1+x + x+
1x 2
α (α+1 )(α+2 ) 3
x+
1x 2x 3
α (α+1 )(α+2 )(α+3) 4
x +.. .. . .. .
1x 2x 3 x4
197
Como :
n( n+1) 2
( 1− x )−n =1+ x+ x +
2!
n( n+1 )( n+2) 3
x +
3!
n( n+1 )( n+2)( n+ 3) 4
x +.. . .. .. .
4!
entonces :
−α
y=( 1− x )
Entonces queda probado que:

F( α , β , β , x )=( 1−x )−α
b) xF (1,1,2,−x )=ln(1+ x )
y=F (α , β , γ , x)=F (1,1,2,−x)

Como: tenemos:α=1, β=1, γ=2, x=−x
Como:
αβ
1+ x+
1γ
α ( α + 1 ) β ( β +1 ) 2
x +
1 x 2 xγ ( γ + 1 )
α ( α +1 )( α +2 ) β ( β + 1 )( β + 2 ) 3
x
1 x 2 xγ ( γ +1 )( γ + 2 )
+. . . .
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿ ] [ ¿] ¿
y = xalignl ¿
¿
Reemplazando obtenemos:
x 2x 2 2 x3 x 2x3
1− + x 2+ x3
2 2x 2x 3 2x 3 x2 x3 x 4
+. . . .
¿
righ
¿
¿
¿
[]
¿
¿
x2 x3 x4 x5
y= x− + + + +. . .. .. . .
2 3 4 5
¿
[¿]¿
y= xalignl ¿
¿
¿
¿
Entonces queda probado que:

xF (1,1,2,−x )=ln(1+ x )
198
8.- probar que el cambio de variable dependiente y=z √ x transforma la ecuación

y ' ' + y=0 en una ecuación de Bessel.
Hacemos el cambio de variable y=z √ x

y=z √ x
' ' z
y =z √ x+
2√ x
' '
'' '' z z z
y = z √x+ + − 3
2 √x 2 √x
4x 2
'
z z
y ' ' = z' ' √ x + − 3
√x
4x 2 Reemplazando en la ecuación obtenemos:
Obtenemos:
'
'' '' z z
y + y= z √x + − 3
+ z √ x=0
√x 2
4x
'' ' z
x2 z + x z − + x2 z
4
3
=0, para ∀ x >0
2
x
z
x 2 z' ' + x z ' − + x 2 z=0
4
z
x 2 z' ' + x z ' +( x 2− ) z=0
4
Vemos que con el cambio de variable de y=z √ x a la ecuación y ' ' + y=0 se
transforma en una ecuación de Bessel.
199

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ECUACIONES DIFERENCIALES- PROFESOR FERNANDEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN

(Universidad del Perú, Decana de América)

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y

TRABAJO FINAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Turno: martes 4-7, jueves 4-6

Medina Zapata, Luis Andres 18190148

Practica 3…………………………………………………………………………….pag 25.

Practica 4…………………………………………………………………………….pag 40.

Practica 5…………………………………………………………………………….pag 66.

Practica 7…………………………………………………………………………….pag 89.

Practica 8…………………………………………………………………………….pag 102 .

Practica 11………………………………………………………………………….pag 183.

Practica a mano…………………………………………………………………….pag 188.

I) Soluciones de ecuaciones diferenciales

y=C 1 Senx +C 2 x ………………………………………….………………………….. (3)

Sumamos (1), (2) y (3)

+4e x + 4 xe x + 4e x + 4 xe x + 4 xe x + 2 x 2e x .......……………………… (1)

Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)

Luego sumamos (1) y (2)

( x, y ) = (0,3) 3 = 2(0) + Ce0 � C =3

La ecuación de la curva integral es: y = 2 x + 3e x

4) Demostrar que y=C 1 e x +C 2 e 2 x + x es solución de y�

Luego sumamos (1), (2) y (3)

( x, y ) = (0, 0) 0 = C1e0 + C2e 2(0) + 0

( x, y ) = (1, 0) 0 = C1e1 + C2 e2(1) + 1

0 = C1e - C1e 2 + 1 � C1e(e - 1) = 1

Remplazando en la ecuación diferencial:

La ecuación de la curva integral es: y = 2x

y = C1cosx + C2 senx y, y = Acos ( x + B ) son primitivas de

y = C1cosx + C2 senx ………..…………………(2)

Luego sumamos (1) y (2)

y = C1cosx + C2 senx y y = Acos ( x + B ) son, en realidad,

Como AcosB y AsenB son constantes, pueden asumir el valor de

y = C1cosx + C2 senx = Acos ( x + B )

9) Demostrar que ln(1+ y )+ln(1+x )= A se puede escribir como xy +x+ y=C

Como ln C es constante entonces le damos el valor de A = ln C

6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

2 x y 3 +3 y 2 y ' x +3 x2 y 5 +5 y 4 y ' x 3=0

y ' ' =−Acos ( ax ) a2−Bsen ( ax ) a2

= e 6 x ( −2 y ' ' ' +12 y' ' −22 y ' +12 y ) =0

11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

Donde el vértice es (0,0) y el foco F (0, p)

2.ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) X 3 dx+( y +1)2 dy=0

X4/4 + c1 + (y+1)3/3 +c2 = c

2) x 2( y +1) dx+ y 2( x−1) dy=0

3) 4xdy – ydx = x2dy

y – 3lny +c1 – 4lnx + c2 = c

5)(y2 + xy2)dy + (x2-x2y)dx = 0

(1− y )2 (x+ 1)2

7) Hallar la solución particular de: (1+x3) dy – x2ydx = 0, que satisfaga las

Para x=1, y=2:

1) Resolver: ( x+ y) dx +(3 x +3 y−4) dy=0

2) Resolver :(x + y )2 y ’=a 2

X + y – a. arctg ( x+a y )=x +k

× arctg ( √ cos ( ax+ by +c )) =x+ k