Aplicación de la Transformada de Laplace: Oscilador

Amortiguado, Forzado Senoidalmente

Nicolás D. Rodríguez

Estudiante de Ingeniería Electrónica

Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
niro23@hotmail.com
Agosto 2013

Resumen: Se resolverá, a partir del planteo de su correspondiente ecuación diferencial, el problema de un oscilador
(masa con resorte) amortiguado al que se le aplica una fuerza de tipo senoidal. Para hallar la ecuación de la posición
del centro de masa del cuerpo en relación con el tiempo, se utilizarán las propiedades y formulas de la Transformada
de Laplace, así como el Teorema de Residuos, vistos en la materia Funciones de Variable Compleja. Lo que se
plantea con este informe es demostrar la capacidad de la Transformada de Laplace para resolver de manera práctica y
eficiente ecuaciones diferenciales lineales, de segundo orden y no homogeneas, sin la necesidad de suponer y plantear
una solución homogénea y otra particular.
Palabras clave: ecuación diferencial, Laplace, residuos.

I. INTRODUCCIÓN
El problema de un oscilador amortiguado (el cual consiste en una cuerpo de masa “m” unido a un
resorte de constante elástica “ke” y a un resorte de constante viscosa “kv”) forzado senoidalmente es un
tema que se suele tratar en la materia Física I en la mayoría de las carreras de Ingeniería, planteando una
solución homogénea mas otra particular, para la posición del centro de masa del sistema en función del
tiempo.
En otras palabras se obtiene
(1)

Esto supone una dificultad elevada y el resultado final que suele aparecer en los libros [1] presenta
algunas constantes sin despejar.
En nuestro caso se propone como método alternativo el uso de la Transformada de Laplace, junto con
el Teorema de Residuos para llegar a la solución de manera rápida y directa.

II. DESARROLLO

A. Planteo de la Ecuación diferencial

Figura 1: Masa (m) unida a un resorte (ke) y a un amortiguador (kv) con una fuerza (F) aplicada.
Partiendo de la Ley de Newton:

(2)

Separando a (2) en componente vertical ( ̆ ) y componente horizontal ( ̆ :

̆ : 0
̆ :
Donde la componente horizontal resulta:

(3)

B. Transformada de Laplace (1ra parte)

Aplicando la transformada a (3) en ambos miembros:

2
0
2

0
0 0 0 2 2

0
0 2 2

0
2 0
2

0 0
2 2

0 1 1
0 (4)
1 2 1 2 1 2

Donde
Ω

2
C. Aplicación del Teorema de Residuos

Descomponiendo a (4) en fracciones simples

0
0 (5)
1 2 1 2 1 2

Donde:

1
Res lim
1 2 1 2

1 1 1 2
2 2 2 2

1
Res lim
1 2 1 2

1 1 1 2
2 2 2 2

1
Res lim
1 2 1 2

1 2 2 Ω
2Ω 2 2 Ω

1
Res lim
1 2 1 2

1 2 2 Ω
2Ω 2 2 Ω

1 1
Res lim
1 2 1 2 2Ω

1 1
Res lim
1 2 1 2 2Ω

Ω
Res lim
1 2 1 2 2Ω
 Ω
Res lim
1 2 1 2 2Ω

D. Transformada de Laplace (2da parte)

Aplicando la anti-transformada a ambos miembros de (5) (las constantes se conservan por una cuestión de
comodidad):
0
1 2

0
1 2 1 2

0 1 2 1 2 1 2
0

0 0
0

0 2
2 2 2
0 2
Ω 2 2 Ω 2
2 Ω 0
2 Ω 2
Ω
Ω 2

De lo que finalmente obtenemos:

0 cos 0 0
Ω

0
cos Ω (6)

III. CONCLUSIONES
La solución al nuestro problema de partida que se suele encontrar en los libros [1], [2] es:
Ω cos Ω 2 cos (7)
Donde
0 0
y
Como se puede ver nuestro resultado (6) coincide con el de los libros (7). De hecho, el método de
resolución que se ha planteado en este informe presenta a las constantes A1 y A2 prácticamente
despejadas, lo cual no se encuentra en (7).
Es por esto que podemos concluir que la Transformada de Laplace, junto con el Teorema de Residuos,
permiten resolver ecuaciones diferenciales de manera rápida y directa, por lo que se verifica la eficacia de
nuestro método alternativo para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, de segundo orden y no
homogéneas.

REFERENCIAS
[1] L. Ochoa, Dinámica Clásica Volumen I, Qualucrom, 1994.
[2] M. Alonso y E. J. Finn, Física Vol. I Mecánica, Fondo Educativo Interamericano S. A., 1970.
[3] G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002.