Trabajo Geometría Descriptiva

INTERSECCIÓN DE RECTAS CON POLIEDROS Y SUPERFICIES
La intersección completa entre dos sólidos se conoce como una figura de intersección.
Tales intersecciones son comunes en la construcción de edificios, metalistería,
construcción de máquinas, y en cualquier campo de la ingeniería. Para los sólidos
limitados por superficies planas, la intersección consiste en segmentos sucesivos de rectas
de intersección del plano con las superficies planas del sólido. La recta de intersección de
dos poliedros es una serie de rectas unidas, que forma un polígono irregular.
Intersección de recta con prisma
Para determinar los puntos de intersección de una recta con un prisma, debemos trazar un
plano cortante que contenga a la recta dada y que cortea las caras del prisma, que
proyectadas al plano adyacente y unidas dos a dos (puntos en una misma cara) se cortan
en los puntos de intersección buscados.
Problema 1: En la figura se dan las proyecciones principales de la MN y del

prisma oblicuo ABCD-EFGH; determinar los puntos de intersección.
Procedimiento:
1. Graficar los puntos dados según sus coordenadas, unirlos y formar MN y el
prisma oblicuo, a continuación realizar la visibilidad.
2. Trazar el plano cortante PC-1 (de filo en el plano horizontal) que pase por la
recta MN.
3. Este plano corta a las caras del prisma, luego se buscan los puntos de
intersección, analizando la recta MN con una cara del prisma.
4. Analizando la recta MN con la cara ABFE del prisma, el plano de corte
determina los puntos a y b, las que proyectamos al plano frontal, unimos los
puntos y esta reta se corta con MN en el punto 1, este punto se proyecta al
plano horizontal.
5. Analizando la recta MN con la cara CDGH, el plano de corte determina los
puntos c y d, las que proyectamos al plano frontal, se unen los puntos y la recta
s corta con MN en e punto 2, que se proyecta al plano horizontal.
6. Los puntos 1 y 2 son los puntos de intersección de la recta dada con el prisma,
luego se determina la visibilidad de la intersección.
INTERSECCIÓN DE POLIEDROS CON PLANOS Y SUPERFICIES
Cuando un plano intercepta a una superficie reglada lo hará según una figura llamada
sección plana. La intersección de dos superficies planas es una recta, por lo tanto, cuando
una superficie plana intercepta las caras de un poliedro o las generatrices de una
superficie, intercepta a cada una de las caras respectivamente, según una recta o un punto
definido.
La intersección de un plano y un poliedro es el lugar geométrico de los puntos de
intersección de las aristas y del poliedro con el plano. Los principios que intervienen en
las intersecciones de planos y poliedros tienen su aplicación en el corte de aberturas en
las superficies de los techos, en chimeneas, ventiladores, en las superficies de los muros,
tubos, rampas, en la construcción de estructuras de metal laminado como las calderas y
los tanques para depósito de líquidos.
Intersección de un plano con un prisma

La intersección de un plano con una superficie plana del prisma puede ser por penetración
o por mordedura.
Penetración: Se dice que la intersección es por penetración cuando los puntos de
intersección están en una misma superficie plana.
Mordedura: Se dice que la intersección es por mordedura cuando los puntos de
intersección están en diferentes superficies planas.
Problema 2: En la figura se dan las proyecciones principales del plano RST y del
prisma oblicuo ABC-DEF cuyas bases triangulares son normales; determinar la
intersección y mostrar la visibilidad que produce en el prisma el plano dado.
 Método del plano cortante

Para hallar los puntos de intersección entre un plano con un prisma, se debe trazar
un plano cortante que contenga una arista del plano o del prisma, y se analiza
utilizando el método de recta con plano.
Procedimiento:
1. Graficar los puntos dados según sus coordenadas, unirlos y formar el plano
RST y el prisma mostrando la visibilidad de sus aristas.
2. En el plano horizontal trazar PC-1 que contenga a la arista CF y corte RST en
los puntos a y b, contenidas en las aristas TR y TS respectivamente. Proyectar
y unir estos puntos en el plano frontal, la recta ab corta a la arista CF en el
punto 1, luego proyectar este punto al plano horizontal.
3. En el plano frontal trazar PC-2 que contenga a la arista TS y corte a la cara
BCFE del prisma en los puntos x e y, contenidas en BE y CF respectivamente.
Proyectar y unir los puntos en el plano horizontal, la recta xy corta a la arista
TS en el punto 2 y este punto se proyecta al plano frontal.
4. Para hallar el punto de intersección 3, se utiliza PC-2 y repetir el mismo
procedimiento explicado en el paso “3”, analizando a la recta TS con la cara
ABCD.
5. En el plano horizontal trazar PC-3 que contenga la arista AD y corte al plano
RST en c y d, contenidos en TS y RS respectivamente. Proyectar estos puntos
al plano frontal, la recta cd corta a la arista AD en el punto 4, proyectar el
punto al plano horizontal.
6. Los puntos 1, 2, 3 y 4 son los puntos de intersección del plano RST con el
prisma ABC-DEF, siendo la intersección por mordedura, luego se determina
la visibilidad aplicando la tabla de visibilidad.
 Método de la vista de canto
Para hallar los puntos de intersección entre un plano con un prisma, proyectar al
plano RST en vista de canto, utilizando un plano de elevación o de inclinación.
Procedimiento:
1. Hallar la vista de canto del plano RST, utilizando el plano de elevación H1
perpendicular a su recta horizontal Rh.
2. Proyectamos al plano de elevación al prisma ABC-DEF, mostrando la
visibilidad del poliedro. El vértice B está en contorno de la proyección y en el
plano horizontal es el vértice más alejado, por lo que es invisible.
3. En el plano de elevación el plano RST corta al prisma en “1”, “x” y “4”,
contenidos en CF, BE y AD respectivamente.
INTERSECCIÓN DE POLIEDROS
La intersección completa entre dos poliedros, origina en sus superficies líneas quebradas
o mixtas, cuyo trazado requiere un trabajo cuidadoso y metódico. La solución de los
problemas relacionados con las intersecciones requiere conocer con todo detalle los
diferentes procedimientos que se emplean para obtener la intersección; saber relacionar
el procedimiento más adecuado y tener hábitos de trabajo ordenado y claro, que son
imprescindibles en la obtención de las intersecciones. Para encontrar los puntos de
intersección se debe tener en cuenta los siguientes principios: una recta penetra a un plano
en un punto y una recta penetra a un poliedro en dos puntos.
Reglas de visibilidad
1. Si una recta que se intercepta con una superficie plana son visibles, el punto de
intersección será visible.
2. Si la recta o la superficie plana, o ambas, están ocultas, el punto de intersección
será invisible.
Tipos de intersección
Mordedura: Cuando la introducción es parcial de uno de los poliedros con
respecto al otro. Los puntos de intersección se numeran consecutivamente
comenzando con los puntos de intersección que aparecen más próximos al
observador y se invierte su sentido para identificar los más lejanos a los
observados.
Penetración: Cuando uno de los poliedros está introducido en el otro. Los puntos
de intersección se muestran primero una porción consecutivamente, comenzando
con los puntos visibles y se invierte el sentido para los invisibles. Lugo se
completa la numeración de los puntos de intersección en la otra porción, siguiendo
el mismo criterio.
Intersección de dos prismas
La intersección de dos prismas consiste en determinar la ubicación de las líneas de
intersección de las superficies limitadas de los sólidos. Estas líneas de intersección se
obtienen encontrando los puntos de penetración existentes de las aristas de un prisma con
las superficies del otro y luego los puntos de penetración de las aristas del segundo con la
superficie del primero.
Método de la vista de canto

La vista de punta del eje de cualquiera de los prismas muestra los puntos donde las aristas
del otro prisma perforan sus aras. Para aplicar este método es conveniente que las
superficies laterales de uno, o de los dos prismas no aparezcan de canto en las vistas
principales.
Problema 3: Se dan las vistas frontal y horizontal de dos prismas (vertical e
inclinado), encontrar la intersección y visibilidad de ambos.
Procedimiento:
1. Por simple proyección a la vista frontal se
localizan los puntos 1, 3, 6, 7, 9 y 11.
2. En el plano auxiliar F1 obtenemos los
puntos 2, 12, 4, 10, 5 y 8. Por ejemplo la
arista de perfil BF corta en los puntos 2 y 12
a las caras de canto b1a1 y a1c1
respectivamente.
3. Para analizar la visibilidad se aplica las
reglas vistas anteriormente y se muestra la
tabla.
Método del plano cortante

Los dos prismas deben cortarse por uno o una serie de planos cortantes que determinan
los puntos de intersección, y si los planos cortantes escogidos son paralelos a las aristas
del prisma la solución es más sencilla.
Problema 4: Se dan las vistas frontal y horizontal de dos prismas (vertical e
inclinado), encontrar la intersección y visibilidad de ambos.
Procedimiento:
1. Por simple proyección a la vista frontal se localizan los puntos 1, 3, 6, 7, 9 y
11.
2. Para localizar los puntos 2, 12, 4, 10, 5 y 8 es necesario utilizar planos
cortantes. Por ejemplo, para hallar el punto 2 trazamos el plano cortante que
pase por el plano de filo ABFE y que contenga a la arista BF, y que corta al
prisma inclinado en los puntos 1 y Xh que proyectados y unidos en la vista
frontal corta a la aristaBF en el punto 2.
3. Para analizar la visibilidad se aplica las reglas vistas anteriormente y se
muestra la tabla.

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INTERSECCIÓN DE RECTAS CON POLIEDROS Y SUPERFICIES

Problema 1: En la figura se dan las proyecciones principales de la MN y del

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