Oscilador Armónico
Oscilador Armónico
Oscilador Armónico
1
INDICE PÁGINA
OBJETIVOS…………………………………………………………. 3
INTRODUCCIÓN………………………………………………….... 3
MARCO TEORICO…………………………………………………. 5
DESARROLLO EXPERIMENTAL……………………………….. 6
CONCLUSIÓN……………………………………………………… 16
2
PRACTICA 1.- OSCILADOR ARMONICO
Objetivos:
● Explicar la relación que existe entre la fuerza aplicada a un resorte y la deformación
que sufre (sistema masa-resorte).
● Verificar que el cuadrado del periodo de oscilación (T) de un cuerpo suspendido a un
resorte es directamente proporcional a la masa M (M = m + 1/3 mr; mr = masa del
resorte).
● Obtener el valor numérico de la aceleración de la gravedad de la localidad (Ciudad de
México), midiendo el periodo de oscilación del sistema masa-resorte.
INTRODUCCIÓN
Uno de los movimientos más observados en la naturaleza es el movimiento oscilatorio. En
nuestra vida diaria tenemos contacto con una gran cantidad de estos movimientos, como por
ejemplo: el latido de nuestro corazón, la vibración de una cuerda de guitarra, las vibraciones
del tímpano y la laringe, lo que permite escuchar y hablar, etc. Entre todos estos movimientos
oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple, debido a que, además de
der el movimiento más simple de describir matemáticamente, constituye una aproximación
cercana de muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza. El movimiento armónico
simple ocurre cuando un cuerpo de masa m vibra, con respecto a su posición de equilibrio,
bajo la influencia de una fuerza, la cual es proporcional a la distancia que existe del cuerpo
de posición de equilibrio. Esta fuerza actúa de tal manera que en todo movimiento dirige al
cuerpo hacia su posición de equilibrio y se le llama fuerza restauradora. Tal vez el sistema
mecánico más simple cuyo movimiento es armónico simple, es el de una masa m fija a un
resorte. Si el resorte se considera perfectamente elástico, de acuerdo con la Ley de Hooke,
la fuerza F requerida para deformarlo una distancia x, es:
F = -Kx… (1)
Donde k es una constante de restitución del resorte. El signo negativo indica que la dirección
de la fuerza es opuesta a la del desplazamiento.
Cuando el cuerpo de masa m, suspendido del extremo inferior del resorte, es desplazado de
la posición de equilibrio una distancia x, la fuerza restauradora no es exactamente igual a
ma; sino a una cantidad MA donde M no incluye solamente la masa m del cuerpo, sino
también una pequeña parte de la masa distribuida del resorte. Por lo tanto:
-kx = Ma…(2)
Además sabemos que:
a = d²x/dt²…(3)
entonces, sustituyendo (3) en la ecuación (2), tenemos:
-kx = M d²x/dt²…(4)
En donde al igualar a cero, se tiene:
3
M (d²x/dt²) + kx = 0 …(5)
Acomodando términos, se tiene:
d²x/dt² + k/M x = 0…(6)
haciendo el siguiente cambio de variable
w² = k/M…(7)
Esta ecuación es característica del estudio dinámico del oscilador armónico simple. Del
análisis de esta ecuación se demuestra que la masa M, vibrando bajo la acción de una fuerza
restauradora, tiene un periodo de oscilación T dado por:
𝑀
T = 2 π√ 𝑘 …(8)
El estudio del oscilador armónico simple es importante por dos razones. En primer lugar,
cualquier problema de vibraciones mecánicas se reduce al del oscilador armónico simple
para pequeñas amplitudes de vibración o a una combinación de vibraciones de este tipo. En
segundo lugar, ecuaciones de la forma (6), se presentan en una gran variedad de problemas
físicos de acústica, óptica, mecánica, electrónica, entre otros.
DESARROLLO EXPERIMENTAL
MATERIAL
1 Balanza de Jolly
1 Resorte helicoidal
1 Marco de pesas de 50 a 300g
1 Cronómetro
1 Dinamómetro de 1N
MARCO TEORICO
4
DESARROLLO EXPERIMENTAL
Procedimiento.
Tabla1
Discusión.
1. Con base a los resultados obtenidos hasta ahora ¿Puede usted determinar qué tipo de
relación existe entre las deformaciones y las fuerzas aplicadas?
5
2. ¿Puede precisar si se cumplió experimentalmente la Ley de Hooke?
Si, desde un principio se pudo observar, en el momento del experimentó que entre mayor
masa se colocaba (mayor peso) el estiramiento (deformación) era mayor.
Calculo de la pendiente.
∑ 𝑥∑ 𝑦
∑ 𝑥𝑦 −
𝑚= 𝑛 … 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎.
(∑ 𝑥) 2
∑ 𝑥2 − 𝑛
Datos:
∑ 𝑥𝑦 = 1.838394
∑ 𝑥 = 0.666
∑ 𝑦 = 17.658
∑ 𝑥2 = 0.068886
(0.666)(17.658)
1.838394 − 8
𝑚=
(0.666)2
0.068886 − 8
𝑚 = 27.40508872
𝑁
Calcule la pendiente ideal de la recta m= 27.40508872 𝑚
Donde:
6
∑ 𝑦
𝑦=
𝑛
∑ 𝑥
𝑥= 𝑛
La ecuación queda.
∑ 𝑦 ∑ 𝑥
𝑏= − (27.40508872)
𝑛 𝑛
17.658 0.666
𝑏= − (27.40508872)
8 8
𝑏 = −0.07422363594
Ecuación de la recta queda:
𝑦 = 27.40508872𝑥 − 0.07422363594
Con las variables que estamos trabajando F y x.
𝐹 = 27.40508872𝑥 − 0.07422363594
Discusión.
7
4. Determine la ecuación que las relaciona.
𝐹 = 27.40508872𝑥 − 0.07422363594
5. Interprete el significado de la pendiente y anote el valor de k.
Debido a
𝑁
𝐾=𝑀
𝛥𝑦
𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚 =
𝛥𝑥
Lo cual para este experimento
𝛥𝑦 ∆𝐹 (𝑁)
=
𝛥𝑥 ∆𝑥 (𝑚)
Con lo cual se puede decir que la pendiente es el valor de la constante de elasticidad.
6. No todos los puntos se encuentran exactamente sobre la recta debido a las mediciones
hechas en laboratorio que no son de todo exactas.
8
Experimento 2. Relación entre la masa y el periodo.
masa efectiva.
1
𝑚′ = (3)(0.08154943935𝐾𝑔)
𝑚′ = 0.027183146 𝐾𝑔
Mida el tiempo t de 20 oscilaciones (verifique este valor 2 ó 3 veces)
Determine, para cada uno de los valores de m (masa suspedida en el resorte), indicados en la
tabla II.
a) Los valores de la masa efectiva: 𝑀 = 𝑚𝑖 + 𝑚′
𝑡
b) El periodo 𝑇 = 𝑛
9
Tabla2
M´= 0.027183146
Calculo de la pendiente.
∑ 𝑥∑ 𝑦
∑ 𝑥𝑦 −
𝑚= 𝑛 … 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎.
(∑ 𝑥) 2
∑ 𝑥2 − 𝑛
Datos:
∑ 𝑥𝑦 = 1.020079145
∑ 𝑥 = 2.240282022
∑ 𝑦 = 2.89074
∑ 𝑥2 = 0.8041233632
10
𝑛 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑛 = 7
Remplazando los valores en la fórmula de la pendiente se obtiene.
(2.2402282022)(2.89074)
1.020079145 −
𝑚= 7
(2.2402282022)2
0.8041233632 − 7
𝑚 = 1.089313374
Donde:
∑ 𝑦
𝑦= 𝑛
∑ 𝑥
𝑥= 𝑛
La ecuación queda.
∑ 𝑦 ∑ 𝑥
𝑏= − (1.089313374)
𝑛 𝑛
2.89074 2.240282022
𝑏= − (1.089313374)
7 7
𝑏 = 0.06433869027
Ecuación de la recta queda:
𝑦 = 1.089313374𝑥 + 0.06433869027
Con las variables que estamos trabajando F y x.
𝑇 2 = 1.089313374𝑀 + 0.06433869027
11
Discusión.
1. De acuerdo con la ecuación obtenida, diga que relación existe entre el cuadrado del
periodo y la masa del oscilador armonico.
4𝜋 2
𝐴= 𝐾
4𝜋 2
𝐾= 𝐴
Donde.
𝐴 = 1.089313374
4𝜋 2
𝐾𝐷 =
1.089313374
𝑁
𝐾𝐷 = 36.24156277
𝑚
12
Compare los valores de 𝐾 𝑦 𝐾𝐷
𝑁
𝐾 = 27.40508872
𝑚
𝑁
𝐾𝐷 = 36.24156277
𝑚
Determine la precisión de los experimentos.
𝑘 − 𝐾𝐷
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 = (100%)
𝑘 + 𝐾𝐷
2
27.40508872 − 36.24156277
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 = (100%)
27.40508872 + 36.24156277
2
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 = −27.76728303%
Experimento 3.Obtencion de la aceleración de la gravedad de la localidad (g).
Procedimiento. Coloque en el extremo inferior del resorte una pesa de masa m cuyo peso
2
sea tal que el resorte sea alargado aproximadamente 3 de su longitud (Haga el cálculo para
𝐿(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑) = 28
2 2(28)
𝑥= (𝐿) =
3 3
𝑥 = 18.66𝑐𝑚 = 0.1866𝑚
Para calcular la masa, se ocupa la ecuación diferencial del sistema ideal.
𝐹 + 𝑘𝑥 = 0
𝐹 = −𝑘𝑥
Donde
𝐹 = 𝑚𝑎
Entonces queda
𝐾𝑥
𝑚𝑎 = −𝐾𝑥v 𝑚=− 𝑎
Datos.
𝑁
𝐾 = 27.40508872 𝑚
13
𝑥 = 0.1866 𝑚
𝑚
𝑎 = 𝑔 = −9.81 𝑠2
(27.40508872)(0.1866)
𝑚=−
(−9.81)
𝑚 ≅ 0.51𝐾𝑔
Mida el tiempo requerido para que la masa m efectue 20 oscilaciones completas, efectúelo 3
ocasiones,obtenga el valor promedio de t, calcule el valor del periodo T y regístrelo.
Calculo tiempo.
Calculo gravedad.
CONCLUSIÓN
El movimiento armónico simple es el más común en nuestra vida diaria, por lo cual se
desarrollaron algunos experimentos enfocados al análisis de algunos elementos que
intervienen en este fenómeno tales como la gráfica de fuerza vs deformación que Nos
14
muestra básicamente si se cumple la ley de Hooke y también determinar la constante de
restitución del resorte que se está empleando, apoyándonos de la gráfica correspondiente
Podemos concluir que la deformación es proporcional a la fuerza aplicada, entre mayor
fuerza se aplique mayor es el estiramiento (deformación) del resorte.
También se puso en consideración la relación entre la masa y el periodo llegando a un punto
donde se encuentra proporcionalidad que mantiene, cuando se aplica el método de mínimos
cuadrados, entre el cuadrado del periodo y la masa del oscilador armónico, tomando también
en cuenta el porcentaje de precisión que se obtiene, y lograr comprender de manera más
específico cada aspecto que conlleva este tipo de mediciones.
Cuando se concluye el cálculo de la gravedad de la localidad, se concluye que, aunque varía
por poco, siempre se tendrá variación de la magnitud de la gravedad, pues, en cada localidad
está se manifiesta de diferente manera, se buscó que al tener herramientas como la
ecuación diferencial de un sistema ideal, repitiendo el proceso por lo menos 3 veces, obtener
un promedio de tiempo, para poder definir la gravedad con una precisión mayor.
15