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    Metodos Numericos

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    Daniela Diaz
    Este documento describe tres métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método gráfico, el método de bisección y el método de la falsa posición. El método gráfico usa la intersección de la función con el eje x para obtener una aproximación inicial de la raíz. Los métodos de bisección y falsa posición iteran para reducir el intervalo que contiene la raíz dividiéndolo a la mitad o calculando una línea de regresión respectivamente.

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    Daniela Diaz
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    Este documento describe tres métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método gráfico, el método de bisección y el método de la falsa posición. El método gráfico usa la intersección de la función con el eje x para obtener una aproximación inicial de la raíz. Los métodos de bisección y falsa posición iteran para reducir el intervalo que contiene la raíz dividiéndolo a la mitad o calculando una línea de regresión respectivamente.

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    metodos numericos para solucion de ecuaciones no lineales

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    metodos numericos

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    Este documento describe tres métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método gráfico, el método de bisección y el método de la falsa posición. El método gráfico usa la intersección de la función con el eje x para obtener una aproximación inicial de la raíz. Los métodos de bisección y falsa posición iteran para reducir el intervalo que contiene la raíz dividiéndolo a la mitad o calculando una línea de regresión respectivamente.

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    SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

    METODO GRAFICO

    Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste
    en graficar la función y observar dónde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor
    de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximación inicial de la raíz.

    Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin
    embargo, los métodos gráficos se utilizan para obtener aproximaciones de la raíz. Dichas
    aproximaciones se pueden usar como valores iniciales en los métodos numéricos.

    Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar estimaciones de la raíz, son


    herramientas importantes en la comprensión de las propiedades de las funciones y en la
    prevención de las fallas de los métodos numéricos

    METODO DE BISECCION

    Este método consiste en obtener una mejor aproximación de la raíz a partir de un


    intervalo inicial (a,b) en el cual hay un cambio de signo en la función, es decir: f(a)f(b)<0.

    Se obtiene el punto medio:


    xm es la nueva aproximación a la raíz, y se vuelve a tomar un intervalo, pero ahora más
    pequeño.

    El método termina cuando se cumple con alguna condición de paro, en este programa la
    condición es la tolerancia:

    Este es un método “de encierro”, para aplicarlo se debe contar con un intervalo inicial, en
    donde f(a)*f(b) < 0. Este método requiere de menos pasos en un programa, sin embargo,
    converge más lentamente que el de Newton-Rapasen.

    Los pasos del método son los siguientes:

    1.- Localizar un intervalo que contenga al menos una raíz.

    2.- Dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f(x) cambia de
    signo, para conservar al menos una raíz.

    3.- Repetir el procesó varias veces hasta cumplir con la tolerancia deseada.

    si:

    f(m) f(b)<0 entonces conservar (m,b) como el sem. intervalo que contiene al menos
    una raíz.

    A cada paso se le llama “iteración” y reduce el intervalo a la mitad.

    Después de cada iteración el intervalo re reduce a la mitad, después de n iteraciones, el


    intervalo original se había reducido 2n veces, por lo tanto, si el intervalo original es de
    tamaño “a” y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos
    Xm consecutivas es “ ”, entonces se requerían “n” iteraciones donde “n” se calcula con
    la igualdad de la expresión:

    de donde: iteraciones que se requieren.


    METODO DE LA FALSA POSICION

    La falsa posición es una alternativa a la bisección basada en una visualización gráfica. Un


    inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de xl a xu en mitades
    iguales, no se toman en consideración las magnitudes de f(xl) y f(xu).

    Un método alternativo que aprovecha esta visualización gráfica consiste en unir f(xl) y
    f(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de las x representa una
    mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta
    da una “falsa posición” de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en
    latín, regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal.

    Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se


    estima mediante una semejanza de triángulos, en la cual se despeja xr.

    Ésta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuación,


    reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de
    la función con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre
    encierran la verdadera raíz.

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