PDF-modulo Razonamiento Cuantitativo-Act Sem10

MODULO RAZONAMIENTO
CUANTITATIVO
PRIMER SEMESTRE
DOCENTE:
OSMAR RAFAEL FERNÁNDEZ DÍAZ
CÓDIGO: FOR-
DO-020
VERSION: 01
FECHA:
06/09/2016
FORMATO CONTENIDO DE CURSO O SÍLABO
Septiembre
Facultad Ciencias de la Educación Fecha de Actualización
de 2016
Programa Licenciatura en Matemáticas Semestre Primero
Nombre Taller de Razonamiento Cuantitativo Código 306001
Prerrequisitos Ningun0 Créditos 2
Nivel de Técnico Profesional X Maestría
Formación Tecnológico Especialización Doctorado
Área de Profesional o
Básica X Electiva
Formación Disciplinar
Tipo de Curso Teórico Práctico Teórico-práctico X
Modalidad Presencial X Virtual Mixta
Horas de Horas de Trabajo
Acompañamiento Presencial 4 Virtual 2
Independiente
Directo
1. INFORMACIÓN GENERAL DEL CURSO
2. DESCRIPCIÓN DEL CURSO
Este taller es obligatorio y se imparte en el primer semestre de Licenciatura en Matemáticas. Está

asignada al programa de Licenciatura en Matemáticas. Tiene una asignación lectiva de 2 créditos que
se impartirá a lo largo del curso con una distribución de 4 horas de clase semanal.
Los ejes temáticos de este taller teórico-práctico permitirán al discente desarrollar competencias que
les ayudan a interpretar, representar, tomar decisiones y plantear soluciones a la hora de enfrentarse
a un problema que debe o puede resolverse de manera cuantitativa. Además, estos ejes temáticos se
encuentran asociados en un contexto de acumulación de conocimientos que permiten y facilitan el
estudio de algunas asignaturas vistas en el programa.
3. JUSTIFICACIÓN DEL CURSO
El contenido temático de este taller es esencial pues, según la Resolución 02041 del 3 de febrero de 2016
en el numeral 2.1 literal b), las competencias matemáticas y de razonamiento cuantitativo se evalúan en
las Pruebas Saber Pro con el fin de verificar si estos profesionales de la educación poseen dichos
conocimientos y si los pueden aplicar tanto en su cotidianidad como en su desempeño laboral. Y es que
las competencias relacionadas con las habilidades matemáticas deben tenerlas todo ciudadano,
especialmente un licenciado en matemáticas, para desempeñarse adecuadamente en contextos
cotidianos que involucran información de carácter cuantitativo.
Estas habilidades implican la comprensión, el diseño y la correcta aplicación de métodos, procedimientos
y argumentos fundamentados en contenidos matemáticos denominados “genéricos”, por ser
contenidos que al utilizarse de manera correcta permiten a los profesionales plantear posiciones críticas,
tomar decisiones y generar estrategias cuando se ven enfrentados a información que puede ser o ha sido
tratada de manera cuantitativa.
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4. PRÓPOSITO GENERAL DEL CURSO
Son propósitos de este curso:

 Aplicar saberes relativos a la matemática tanto en la cotidianidad como en la interpretación de
situaciones básicas del futuro profesional de licenciaturas.
 Desarrollar habilidades matemáticas relativas a la condición de ser ciudadano, para
desempeñarse adecuadamente en contextos cotidianos que involucran información de carácter
cuantitativo.
 Comprender y diseñar la aplicación de métodos, procedimientos y argumentos fundamentados
en contenidos matemáticos denominados “genéricos”, por ser contenidos matemáticos que al
utilizarse de manera correcta permiten a los profesionales plantear posiciones críticas, tomar
decisiones y generar estrategias cuando se ven enfrentados a información que puede ser o ha
sido tratada de manera cuantitativa (ICFES).
5. COMPETENCIA GENERAL DEL CURSO
Al analizar el curso, el estudiante desarrollarán las siguientes competencias:

 Manejo del discurso y el uso de herramientas de la matemática, como habilidad para resolver
situaciones problema planteadas
 Interpretación y manipulación mental y práctica por medios cuantitativos del mundo cotidiano
concreto: tanto con números, como con porcentajes, gráficos, tablas, formas y figuras, cifras
financieras o aproximaciones estadísticas.
 Comprensión de conceptos básicos de las matemáticas para analizar y modelar problemas.
 Interpretar e inferir a partir de modelos deducidos bien sean de fórmulas, gráficos o tablas,
información matemática de diversas maneras simbólicas, visuales, numéricas y/o verbales.
 Capacidad para la toma de decisiones y planteo soluciones al enfrentarse a un problema que
debe o puede resolverse de manera cuantitativa, realizando estimación y chequeo de las
respuestas a problemas matemáticos con miras a establecer su racionabilidad, identificar
alternativas y seleccionar los mejores resultados; y el reconocimiento de los límites de los
métodos matemáticos y estadísticos
 Utilizar métodos aritméticos, algebraicos, geométricos y estadísticos para solucionar
problemas
6. PLANEACIÓN DE LAS UNIDADES DE FORMACIÓN
 Clases magistrales.
 Talleres asistidos.
 Presentación y análisis del tema.
 Discusiones grupales sobre el tema.
 Exposiciones sobre temas asignados.
 Asignación de tareas.
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Uso de herramientas cuantitativas para

solucionar problemas que involucre
UNIDAD 1. Aritmética COMPETENCIA
conceptos de aritmética.
INDICADORES DE CRITERIOS DE
CONTENIDOS ESTRATEGIA DIDÁCTICA SEMANA
LOGROS EVALUACIÓN
1. Uso de los  Utiliza piezas de Para la evaluación de la
Se propone la siguiente
números en información y unidad se tendrá en
metodología: cuenta:
diferentes genera
situaciones, en  Trabajo individual representaciones
operaciones, previo de consulta. diversas a partir  Autoevaluación y
relaciones, de ellas. Evaluación escrita
 Trabajo en grupos
propiedades y  Formula o (en el estilo de las
características de estudiantes para pruebas Saber Pro)
identifica el
socializar. problema,
2. Porcentajes y propone y  Desarrollo de 1 a la 5
 Plenaria.
problemas de construye talleres en grupos e
aplicación.  Aclaraciones y estrategias individual a través
3. Problemas que complementacione adecuadas para su presenciales y
involucren reglas s. solución por haciendo uso del
de tres simples,  Consulta de medio de curso
directas, inversas y asignación de modelación complementario
compuestas. actividades matemática y el virtual a crearse en
4. Problemas de extraclases en el uso de plataforma SICVI
interés simple. herramientas 567
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SICVI cuantitativas y las

ejecuta
correctamente.
 Argumenta
mediante la
justificación o
refutación de
resultados,
hipótesis o
conclusiones que
se derivan de la
interpretación y
de la modelación
de situaciones.
Diseño de planes, estrategias,

alternativas y uso de herramientas
cuantitativas para la solución de
UNIDAD 2. Nociones de álgebra y geometría COMPETENCIA
problemas que involucren conceptos
básicos de geometría y algebra
elemental.
LOGROS EVALUACIÓN
1. Uso de problemas
Se propone la siguiente  Interpreta piezas Para la evaluación de la
que involucren 6 a la 10
metodología: de información y unidad se tendrá en
expresiones
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algebraicas básicas. genera cuenta:

 Trabajo individual
representaciones
previo de consulta.
2. Problemas que diversas a partir  Autoevaluación y
involucren  Trabajo en grupos de ellas. Evaluación escrita
funciones lineales, de estudiantes para  Formula o (en el estilo de las
cuadráticas y socializar. identifica el pruebas Saber Pro)
exponenciales. problema,
 Plenaria. propone y  Desarrollo de
3. Uso de las  Aclaraciones y construye talleres en grupos e
comparaciones y complementacione estrategias individual a través
estimaciones con s. adecuadas para su presenciales y
patrones de solución por haciendo uso del
medida.  Consulta de medio de curso
4. Uso de las asignación de modelación complementario
propiedades y actividades matemática y el virtual a crearse en
relaciones de las extraclases en el uso de plataforma SICVI
figuras SICVI herramientas 567
geométricas cuantitativas y las
básicas: planas y ejecuta
sólidas. correctamente.
5. Características y
 Argumenta
propiedades de
mediante la
procesos de
justificación o
transformación y
refutación de
movimientos, en el
resultados,
plano y en el
hipótesis o
espacio.
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conclusiones que
se derivan de la
interpretación y
de la modelación
de situaciones.
Uso de herramientas cuantitativas para

Fundamentos de probabilidad y solucionar problemas que involucre
UNIDAD 3. COMPETENCIA
estadística conceptos básicos de probabilidad y
estadística.
LOGROS EVALUACIÓN
1. Conceptos básicos Se propone la siguiente  Interpreta piezas Para la evaluación de la
de probabilidad metodología: de información y unidad se tendrá en
aplicados en la  Trabajo individual genera cuenta:
resolución de previo de consulta. representaciones
problemas. diversas a partir  Autoevaluación y
Combinaciones y  Trabajo en grupos de ellas. Evaluación escrita
permutaciones de estudiantes para  Formula o (en el estilo de las
socializar. 11 a la 16
como estrategia en identifica el pruebas Saber Pro)
la solución de  Plenaria. problema,
problemas propone y  Desarrollo de
 Aclaraciones y construye talleres en grupos e
2. Representaciones complementacione estrategias individual a través
gráficas de datos s. adecuadas para su presenciales y
en distintos  Consulta de solución por haciendo uso del
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formatos: asignación de medio de curso

circulares, de línea, actividades modelación complementario
de dispersión, de extraclases en el matemática y el virtual a crearse en
barras. SICVI uso de plataforma SICVI
herramientas 567
3. Medidas de cuantitativas y las
tendencia central: ejecuta
media aritmética y correctamente.
moderada,
 Argumenta
desviación
mediante la
estándar, mediana
justificación o
y moda.
refutación de
resultados,
hipótesis o
conclusiones que
se derivan de la
interpretación y
de la modelación
de situaciones.
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7. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA DEL CURSO
Valbuena D. Sonia. Competencias en Razonamiento cuantitativo: notas de clase,

Universidad del Atlántico, 2015.
8. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA DEL CURSO
Razonamiento cuantitativo: notas de clase, Rojas Álvarez, Carlos, Universidad del

Norte, 2014.
Módulo de Razonamiento Cuantitativo- Saber Pro. ICFES, 2016
8
FECHA FECHA
SEMANA HORAS INICIO FINALIZACIÓN UNIDAD TEMAS
PLANIFICADA PLANIFICADA
Introducción a la asignatura
Prueba diagnóstica.
Unidad Nº 1 :
1 4 Uso de los números en diferentes situaciones.
Aritmética
Taller, realimentación
Operaciones, relaciones, propiedades y

2 4 características. Taller, realimentación
Porcentajes y problemas de aplicación.
Problemas que involucren reglas de tres simples,
3 4
directas, inversas y compuestas. Taller,
realimentación
Problemas de interés simple. Taller,
4 4
realimentación
5 4 1º Parcial, Realimentación.
Unidad N° 2: Conceptos básicos de estadística aplicados en la
Fundamentos de resolución de problemas. Taller, realimentación
6 4
estadística y
probabilidad
Representaciones gráficas de datos en distintos
formatos: circulares, de línea, de dispersión, de
7 4 barras. Taller, realimentación
Combinaciones y permutaciones como

estrategia en la solución de problemas. Taller,
8 4
realimentación
Conceptos básicos de probabilidad. Taller,

9 4 realimentación
10 4 Actividad para el 2 parcial

Unidad Nº 3: Uso de problemas que involucren expresiones
Nociones de algebraicas básicas. Taller, realimentación
11 4
geometría y
álgebra
Problemas que involucren funciones lineales,
12 4 cuadráticas y exponenciales. Taller,
realimentación
Uso de las comparaciones y estimaciones con
patrones de medida. Uso de las propiedades y
13 4 relaciones de las figuras geométricas básicas:
planas y sólidas. Taller, realimentación
Características y propiedades de procesos de
14 4 transformación y movimientos en el plano. Taller,
realimentación
Características y propiedades de procesos de
15 4 transformación y movimientos en el espacio.
Taller, realimentación.
16 4 Examen Final Retroalimentación.
Colombia Atlántico -
Colombia
Cra. 30 No. 8 – 49 Puerto PBX: (5) 3852266

9
SEMANA 1-2
Facultad de Ciencias de la
SEMANA 1-2
Educación
En un pequeño pueblo al noreste de

Programa de Licenciatura en Se sabe que hay 2 balones de baloncesto
Matemáticas
Groenlandia llamado Nord, se ha por cada 3 balones de fútbol. ¿Cuántos
implementado un sistema de horario estándar hay de cada uno?
diferente al que es usado en el resto del
mundo, debido a la falta de noches o días. El a. 5 de baloncesto y 35 de fútbol
sistema lleva cuenta de las horas b. 16 de baloncesto y 24 de fútbol
transcurridas desde el domingo a la c. 24 de baloncesto y 16 de fútbol
medianoche, y utiliza el mismo contador para d. 80 de baloncesto y 120 de fútbol
toda la semana. Por lo tanto, y a modo de
ejemplo, las 12 del mediodía del martes se 4. En un grupo de amigos cada uno pesaba
conoce como las 36 horas de la semana o 70 Kg. Decidieron hacer una dieta
simplemente las 36:00. Adicionalmente, se diferente cada uno, para saber cuál era
sabe que la diferencia horaria entre Colombia mejor. Pedro hizo la dieta del apio y 7
y Nord es de 4 horas, y que Groenlandia se días después pesaba 69,88 Kg; Hugo hizo
encuentra al oriente de Colombia. (Este la de la cebolla y 5 días después pesaba
párrafo corresponde a la pregunta 1) 69,91 Kg; Sandra hizo la del perejil y a
los 11 días pesaba 69,86 Kg; y Luisa hizo
1. Si en Nord se decide implementar una la del tomate y a los 9 días pesaba 69,87
norma para no poder sacar el carro dos Kg. Según esto, la dieta más efectiva fue
veces a la semana desde las 6 a.m. hasta
las 8 p.m. y un carro no puede salir ni a. Apio
lunes ni miércoles, de las siguientes b. Cebolla
opciones, ese vehículo podría ser c. Tomate
utilizado a las: d. Perejil
a. 06:00 5. Carlos tiene una caja con 24 bolígrafos

b. 10:00 que reparte entre sus primos de la forma
c. 54:00 siguiente:
d. 68:00 a) Rosa recibe la tercera parte.
b) Sergio, la cuarta parte.
2. Suponga que se necesita 1 litro (L) de c) Dani, la mitad de la tercera parte.
pintura por cada 6 m2 de área de d) Rocío, la cuarta parte de la mitad.
superficie, cuando se pinta un puente e) ¿Cuántos bolígrafos recibe cada uno?
metálico. Las secciones metálicas del ¿Sobra alguno? Escribe los que
puente tienen un área aproximada de sobran mediante una fracción.
480.000 m2. ¿Cuánta pintura se necesita 6. Un cine tiene un aforo para 500
para pintar las secciones metálicas del espectadores. Se han llenado los 7/10 del
puente? aforo.
a) ¿Cuántos espectadores han entrado?
a. 40.000 L b) ¿Qué fracción de aforo falta por
b. 80.000 L llenar?
c. 100.000 L c) ¿Cuántos espectadores tendrían que
d. 3.000.000 L entrar para llenar el aforo?
3. Los balones de fútbol y de baloncesto de 7. Sergio se comió 2/5 de una caja de 30

una escuela deportiva suman 40 en total. bombones.
1
SEMANA 1-2
Educación
a)Programa
¿Cuántos bombones
de Licenciatura en se comió? 13. En un grupo de estudiantes de
Matemáticas
b) ¿Qué fracción de bombones sobró? Secundaria, los 4/10 van al cine, los 7/15
al teatro y el resto al circo. ¿Qué fracción
8. María gasta en libros 3/5 partes de 500 de estudiantes va al circo?
euros que tiene ahorrados.
a) ¿Qué parte le queda sin gastar? 14. Tres obreros realizaron la tercera, la
b) ¿Cuánto dinero ha gastado? cuarta y la quinta parte de una obra,
c) Si le deja a su hermana ¼ de lo que respectivamente. ¿Qué parte de la obra se
le queda, ¿qué cantidad de dinero ha terminado? ¿Cuánta obra queda aún
tiene ahora María? por hacer?
9. En un instituto hay 120 alumnos en 15. Los estudiantes de 2º de ESO de un

segundo de la ESO, de los que dos tercios colegio han elegido como segundo
practican algún deporte. De aquellos que idioma: 9/12 francés, 2/15 alemán y 1/20
practican algún deporte, dos quintos italiano.
juegan al fútbol, un quinto al tenis y el a) ¿Cuál de los tres idiomas es el mas
resto a varios deportes. elegido?
a) ¿Cuántos alumnos practican algún b) ¿Qué fracción de la clase no cursa
deporte? segundo idioma?
b) ¿Cuántos juegan al fútbol?
c) ¿Cuántos al tenis? 16. En el cumpleaños de Paula la tarta se
d) ¿Cuántos a varios deportes? repartió de la siguiente forma: Blanca
tomó un cuarto de tarta, María un quinto,
10. Los 2/5 de los alumnos del colegio Jorge un tercio y Paula un sexto. ¿Qué
practican baloncesto, ¼ tenis y el resto fracción de tarta sobró?
fútbol. ¿qué fracción de alumnos
practican fútbol? Si el número total de 17. En la comunidad de vecinos de Carlos,
alumnos del colegio es 660, calcular los ingresos obtenidos se emplean de la
cuántos alumnos practican cada deporte. siguiente forma: 1/8 en electricidad, ¼ en
mantenimiento del edificio, 2/5 en
11. Una caja de galletas contiene 40 galletas. combustible para la calefacción y el resto
Alberto se come una quinta parte de la en limpieza.
caja y su hermana Rocío 3/8. ¿qué a) Hallar la fracción de ingresos que se
fracción de la caja comen entre los dos? emplean en limpieza.
¿Cuántas galletas quedan en la caja? b) Calcular en qué servicio se gasta más
ingresos y en cuál menos.
12. Entre tres amigos, Elena, Alejandro y
Raquel se repartes 1800 eruos de modo 18. Un padre deja los 3/5 de su herencia a su
que a Elena le corresponde 1/3, a hija y 1/3 para su hijo. Además, deja
Alejandro 2/5 y a Raquel el resto de dicha 40000eruos a una asociación benéfica. ¿A
cantidad. cuánto asciende el total de la herencia?
a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada
uno? 19. Un poste de luz tiene enterrado 3/5 de
b) ¿Qué fracción del total le metro y sobresale 2,25 metros. ¿Qué
corresponde a Raquel? longitud tiene el poste?
2
SEMANA 1-2
Educación
Después
20.Programa de haberse
de Licenciatura en estropeado las 2/9 29. Mario toma ¼ de litro de leche en el
Matemáticas
partes de fruta de un almacén, aún quedan desayuno, 1/5 de litro en la comida, 2/10
63 toneladas. ¿Cuánta fruta había antes de para merendar y 3/8 en la cena. ¿cuánta
estropearse? leche toma cada día?
21. Un jardinero siega por la mañana los 3/5 30. ¿Qué fracción representan dos meses y
de una pradera de un parque. Por la tarde medio respecto a un año?
siega el resto, que equivale a 4000 metros 31. Un empleado invierte ¼ de su sueldo en
cuadrados. la hipoteca de la vivienda y 5/7 del resto
¿Cuántos metros cuadrados tiene la pradera? en gastos corrientes. Sabiendo que ahorra
410 euros, calcular cual es su sueldo.
22. Juan ha gastado 5/12 del dinero que
llevaba. Vuelve a casa con 28 euros. 32. Un amante de los libros está organizando
a) ¿Cuánto ha gastado? su biblioteca. Ya ha registrado los 2/5 de
b) ¿Cuánto dinero tenía al salir de casa? sus libros. Le quedan por registrar la
mitad de sus libros y 800 libros. ¿cuántos
23. Un vendedor tiene un puesto de libros forman la biblioteca?
golosinas. Por la mañana vende la mitad
de los caramelos que tiene en una cesta.
Por la tarde vende la mitad de los que
quedaron por la mañana y ve que le
quedan aún 50 caramelos sin vender.
¿Cuántos caramelos tenía la cesta?
24. Una persona realiza 3/5 partes de un viaje

en ferrocarril; los 7/8 del resto en coche y
los 26 kilómetros restantes en motos.
Calcular cuántos kilómetros recorre.
25. Una botella de limonada tiene tres cuartos

de litro. Si un grupo de amigos ha
comprado 20 botellas para celebrar un
cumpleaños, ¿cuántos litros ha
comprado?
26. Un bidón de agua de 60 litros se vacía en
botellas de ¾ de litro. ¿Cuántas botellas
se necesitan?
27. Un parque tiene un estanque cuadrado

que mide de lado 9/6 metros.
a) ¿Cuánto mide su área?
b) ¿Cuánto su perímetro?
28. Un carpintero tiene un tablero de madera

de 14/5 de metro de longitud. ¿Cuántas
tablas de 6/5 de metro puede cortar del
tablero?
3
SEMANA 3-4
Facultad de Ciencias de la Educación SEMANA 3-4
Programa de Licenciatura en Matemáticas
PORCENTAJES 3. Por haber ayudado a mi hermano en un

trabajo, me da el 12% de los 50 € que ha
En matemática, se denomina porcentaje a una cobrado. ¿Cuánto dinero recibiré?
porción proporcional del número 100, por lo 4. Pedro posee el 51% de las acciones de un
tanto, puede expresarse como fracción. Si negocio. ¿Qué cantidad le corresponde si los
decimos 50 % (este es el símbolo que representa beneficios han sido de 74 500 €?
el porcentaje) significa la mitad de cien; el 100 %
5. Para el cumpleaños de mi hermano han
es el total.
comprado dos docenas de pasteles y yo me he
comido 9. ¿Qué porcentaje del total me he
Cuando queremos calcular determinado
comido?
porcentaje de un número, multiplicamos el
porcentaje que necesitamos por el número, y 6. Una máquina que fabrica tornillos produce un
luego lo dividimos por cien. Por ejemplo, el 25 % 3% de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado
de 70, sería 70 x 25=1.750, y a ese resultado lo 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha
dividimos por 100, lo que nos da: 17,50. En la fabricado la máquina?
calculadora pondríamos 70 x 25 %.
7. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han
Veamos algunos ejemplos de cómo podemos faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de
calcular porcentajes. ausencias?
8. Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo que

Ejemplo #1 representa el 84% del total. ¿De cuántas camas
28% de 40 = (28 x 40) /100 = 11,2 dispone el hospital?
Ejemplo #2
65% de 40 = 0,65 x 40 =26 9. De 475 hombres encuestados solamente 76
Ejemplo # 3 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de
4% de 500 =4 x 5 = 20 hombres reconocen saber planchar?
Ejemplo # 4
10% de 45 = 4,5 10. El 24% de los habitantes de un pueblo tienen
Ejemplo # 5 menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene el
45% de X = 27 pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años?
Esto es 0,45 X = 27; despejando X se obtiene X= 11. ¿Cuánto me costará un abrigo de 360 euros si
27/0,45; X= 60. me hacen una rebaja del 20%?
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 12. A un trabajador que ganaba 1300 euros

1. En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68% mensuales le van a aumentar el sueldo un 4%.
están contentos con la gestión municipal. ¿Cuál será su nuevo salario?
¿Cuántos ciudadanos son? 13. En una tienda en la que todo está rebajado
el 15% he comprado un pantalón por el que he
2. En el aparcamiento de unos grandes almacenes pagado 102 €. ¿Cuál era el precio antes de la
hay 420 coches, de los que el 35 % son blancos. rebaja?
¿Cuántos coches hay no blancos?
1
Programa de Licenciatura en Matemáticas Ejemplo #6: Regla de tres simple inversa:
14. Hoy ha subido el precio del pan el 10%. Si
una barra me ha costado 0,77€, ¿cuánto valía 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En
ayer? cuántos días podrían hacer la misma obra 7
hombres?
15. El valor de mis acciones, tras subir un 5%,
es de 2 100 €. ¿Cuál era el valor anterior? Supuesto------4 hombres 12 días
LA REGLA DE TRES Pregunta------7 hombres x días
La regla de tres es una operación que tiene por Si 4 hombres hacen la obra en 12 días, 1 hombre
objeto hallar el cuarto término de una tardaría para hacerla 4 veces más: (4).(12) = 48
proporción, cuando se conocen tres. días y 7 hombres tardarían 7 veces menos:
x = 48 / 7
La Regla de Tres puede ser simple o compuesta.
Ejemplo #7: Regla de tres compuesta:
Es simple cuando solamente intervienen en ella
dos variables o magnitudes y es compuesta 3 hombres trabajando 8 horas diarias han
cuando intervienen en ella más de dos hecho 80 metros de una obra en 10 días.
magnitudes. ¿Cuántos días necesitaran 5 hombres,
trabajando 6 horas diarias, para hacer 60
En una regla de tres el supuesto está metros de la misma obra?
constituido por los datos de la parte del
Supuesto----- 3 hombres 8 h. diarias 80 ms. 10 días
problema que ya se conoce y la pregunta por los
datos de la parte del problema que contiene la Pregunta----- 5 hombres 6 h. diarias 60 ms. x días.
incógnita.
Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han
Ejemplo hecho 80 metros de la obra en 10 días, 1 hombre
tardará 3 veces más y 5 hombres, 5 veces
Si 4 libros cuestan $8, ¿Cuánto costarán quince
menos:
libros?
(10).(3/5) días, trabajando 8 horas diarias.
Aquí el supuesto está constituido por 4 libros y
8 pesos y la pregunta por 15 libros y x pesos. Si en lugar de trabajar 8 horas diarias,
trabajaran 1 hora diaria, tardarían 8 veces más
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
y trabajando 6 horas diarias, tardarían 6 veces
La regla de tres se puede solucionar por tres menos:
formas diferentes
(10).(3).(8/5).(6) días, para hacer 80 metros.
Método de reducción de la unidad
Si en lugar de hacer 80 ms. Hicieran un metro,
Método de las Proporciones tardarían 80 veces menos y para hacer 60 ms.
Tardarían 60 veces más:
Método práctico
(10).(3).(8).(60/5).(6).(80) días.
MÉTODO DE REDUCCIÓN DE LA UNIDAD
x= (10).(60).(8).(3/80).(6).(5) = 6 días. R
Veamos un ejemplo de este método aplicado a
la regla de tres simple inversa y a la regla de MÉTODO DE LAS PROPORCIONES
tres compuesta.
2
Programa de Licenciatura en Matemáticas 2) Se emplean y días trabajando 8 horas
Aplicaremos este método a los ejemplos diarias
anteriores.
Se emplearán y" días trabajando 6 horas
Ejemplo #8: Regla de tres simple inversa: diarias.
4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En A más días menos horas diarias; luego, son
cuántos días podrían hacer la obra 7 hombres? inversamente proporcionales: 6/8 = y/y"
Supuesto----- 4 hombres, 12 días 3) Se emplean y" días para hacer 80 m. de

la obra
Pregunta----- 7 hombres x días.
Se emplearán x días para hacer 60 ms de la
Como a más hombres, menos días, estas obra.
cantidades son inversamente proporcionales y
sabemos que la proporción se forma igualando A más días, más metros; luego, son
la razón directa de las primeras con la razón directamente proporcionales:
inversa de las dos últimas o viceversa: (5).(6).(80/3).(8).(60)= (10).(y).( y"/y)•( y")•(x)
7/4= 12/x, entonces (7).(x) =(4).(12), luego, Simplificando, queda: 5/3=10/x entonces x=
x = ((4). (12))/7 días. (10).(3/5)= 6 días. R.
Ejemplo #9: Regla de tres compuesta: MÉTODO PRÁCTICO
3 hombres trabajando 8 horas diarias han Este método sirve para resolver cualquier
hecho 80 metros de una obra en 10 días. problema de regla de tres simple o compuesta.
¿Cuántos días necesitaran 5 hombres,
trabajando 6 horas diarias, para hacer 60 Se escriben el supuesto y la pregunta. Hecho
metros de la misma obra? esto, se compara cada una de las magnitudes
con la incógnita (suponiendo que las demás no
Supuesto----- 3 hombres 8 h diarias 80 m. 10 varían), para ver si son directa o inversamente
días proporcionales con la incógnita. A las
magnitudes que sean directamente
Pregunta----- 5 hombres. 6 h. diarias 60 m x proporcionales con la incógnita se les pone
días. debajo un signo + y encima un signo -, y a las
magnitudes que sean inversamente
El método de las proporciones consiste en
proporcionales con la incógnita se les pone
descomponer la regla de tres compuesta en
debajo un signo - y encima un signo +. El valor
reglas de tres simples y después multiplicar
de la incógnita x, será igual al valor conocido de
ordenadamente las proporciones formadas. Al
su misma especie (al cual siempre se le pone +),
formar cada regla de tres simple, consideramos
multiplicado por todas las cantidades que llevan
que las demás magnitudes no varían.
el signo +, dividiendo este producto por el
En este caso tenemos tres proporciones: producto de las cantidades que llevan el signo –
1) 3 hombres hacen la obra en 10 días Ejemplo #10
5 hombres la harán en y días. 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En

cuántos días podrían hacer la obra 7 hombres?
A más hombres menos días; luego, son
inversamente proporcionales. 5/3 = 10/y
3
Programa de Licenciatura en Matemáticas 4. Si media docena de una mercancía cuesta
+ + 14.50 dólares, ¿Cuánto costarán 5 docenas de la
Supuesto 4 hombres 12 días misma mercancía?
Pregunta 7 hombres x días.
Comparamos: A más hombres, menos días; 5. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500
luego, son inversamente proporcionales. litros. ¿Cuál será la capacidad de los 3/8 del
Ponemos — debajo de hombres y + arriba; mismo estanque?
ponemos + también a 12 días.
6. Los 3/7 de la capacidad de un estanque son
Ahora, el valor de x será:
8136 litros. Hallar la capacidad del estanque.
x= (12).(4/7) = 48/7 días.
7. Dos individuos arriendan una finca. El primero
Ejemplo: ocupa los 5/11 de la finca y paga 9000 dólares de
alquiler al año, ¿Cuánto paga de alquiler anual el
Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en
20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos segundo?
días habrían hecho la obra si hubieran
trabajado 8 horas diarias? 8. En una casa de la cual son propietarios dos
hermanos, la parte del primero, que es los 5/13
de la casa, está valorada en 15300 dólares.
+ + Hallar el valor de la parte del otro hermano.
Supuesto----- 20 días------- 6 horas diarias
Pregunta----- x días---------8 horas diarias 9. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días,
- - trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta
A más días, menos horas diarias; ponemos - obra. Si hubieran trabajado una hora menos al
debajo de las horas diarias y + encima; ponemos día, ¿En cuántos días habrían terminado la obra?
+ a 20 días y el valor de x será:
10. 9 hombres pueden hacer una obra en 5 días.
x = (20). (6/8) = 15 días.
¿Cuántos hombres más harían falta para hacer la
PROBLEMAS DE APLICACIÓN. obra en un día? ¿Cuántos hombres menos para
hacerla en 15 días?
1. Si 4 libros cuestan $20000, ¿Cuánto costarán
3 docenas de libros? 11. A la velocidad de 30 Km. por hora un
automóvil emplea 8 1/4 horas en ir a una ciudad a
2. Si una vara de 2.15 m. de longitud da una otra. ¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado
sombra de 6.45 m. ¿Cuál será la altura de una si la velocidad hubiera sido triple?
torre cuya sombra, a la misma hora es de 51 m.?
12. Una pieza de tela tiene 32.32 m. de largo y
3. Una torre de 25,05 m. da una sombra de 33,40 75 cm. de ancho. ¿Cuál será la longitud de otra
m. ¿Cuál será, a la misma hora, la sombra de una pieza, de la misma superficie, cuyo ancho es de
persona cuya estatura es 1,80 m? 80 cm?
13. Un móvil recorre 360m 4 minutos. ¿Cuánto

tiempo empleará en recorrer 198,432 Km?
4
Programa de Licenciatura en Matemáticas la dificultad del terreno anterior la relación de 4
a 3. ¿Cuántos días llevará cavar una zanja igual en
14. Se compran 15 libras de una mercancía por el nuevo terreno?
$450. ¿A cómo sale el kilogramo?
25*. Tienes 16 fichas en un tablero de 4x4. Quita
15. Un móvil recorre 2 yardas, 1 pie, 6 pulgadas 6 fichas del tablero de tal forma que quede un
en 3/4 de minuto. ¿Qué distancia recorrerá en 3 número par de fichas en cada renglón y en cada
minutos 4 segundos? columna del tablero. (La solución no es única)
16. Una persona que debe 1500 dólares conviene 26*. Karina quiere llenar la siguiente tabla con los
con sus acreedores en pagar 0.75 por cada dólar. números del 1 al 5, de modo que ninguna fila,
¿Cuánto tiene que pagar? columna o diagonal de cinco cuadros use el mismo
número más de una vez. ¿Qué número debe
17.Ganando $3.15 en cada metro de tela, colocar en el lugar del signo de interrogación?
¿Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha
sido $945?
1 2 3 4 5
18. Una guarnición de 1300 hombres tiene 4 1
víveres para 4 meses. Si se quiere que los 4
vivieres duren 10 días más; ¿Cuántos hombres 2
5 ?
habrá que rebajar de la guarnición?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
19. Un obrero tarda 12 días en hacer 7/12 de una
27*. Había 60 pájaros distribuidos en tres
obra. ¿Cuánto tiempo necesitara para 5/12
árboles. En cierto momento, 6 pájaros se fueron
terminar la obra?
del primer árbol, 8 pájaros se fueron del segundo
20. Una guarnición de 500 hombres tiene víveres árbol y 4 pájaros se fueron del tercer árbol.
para 20 días a razón de 3 raciones diarias. Luego de esto, quedó el mismo número de pájaros
¿Cuántas razones diarias tomará cada hombre si en cada uno de los tres árboles. ¿Cuántos pájaros
se quiere que los víveres duren 5 días más? había inicialmente en el segundo árbol?
21. Dos números están en relación de 5 a 3. Si el a) 20 b) 24 c) 26 d) 21 e) 22

mayor es 655 ¿Cuál es el menor?
22. Dos números están en relación de 19 a 17. Si

PROBLEMAS DE REPARTOS PROPORCIONALES
el menor es 289 ¿Cuál es el mayor?
1. Haz los siguientes repartos:
23*. Un ganadero compra 140 reses con la
condición de recibir 13 por cada 12 que compre, a) 4.371 en partes inversamente proporcionales a 3, 4
¿Cuántas reses debe recibir? y 5.
24*. Se han empleado 8 días para cavar una b)720 en partes inversamente proporcionales a 1/2 y
zanja. Si la dificultad de otro terreno guarda con 1/3.
5
Programa de Licenciatura en Matemáticas 2. En un de la inversión o préstamo mientras la tasa de interés
concurso de carreras se destinan $58.700 para tres y el plazo no cambien.
premios, que deben ser inversamente proporcionales a
los tiempos invertidos en el recorrido por los tres Luis tenía en su libreta de ahorros un capital de
primeros corredores. El corredor A se demora 26 $12.000. El banco le paga $20 por cada $100 de su
minutos, el B 28 y el C 30. Calcula el dinero que le capital. Al cabo de un año ya tenía en su libreta
corresponde a cada uno. $14.400.
3. Tres personas deben repartirse una herencia de • El capital eran los $12.000 que Luis tenía.
$11.016.000, en partes directamente proporcionales
al número de hijos que tienen (2, 3 y 5 • El rédito o tanto por ciento eran los $20 que el
respectivamente), e inversamente proporcionales a los banco le daba por cada $100 de su capital.
capitales que ya poseen ($4.000.000, $9.000.000 y
$2.500.000). Calcula la parte correspondiente a cada • El tiempo era un año (el tiempo que tuvo Luís el
persona. dinero en el banco).
4. Un agricultor tiene 100 animales y forraje para • El interés es el dinero que produjo el capital de Luis
poder alimentarlos durante 90 días. Vende cierto ($2.400).
número de cabezas y de este modo el forraje puede
durarle 30 días más. ¿Cuántos animales vendió? Si el rédito es del 20% y el tiempo de un año:
5. Se sabe que 10 obreros en 20 días cavan 400 • Un capital de $100 producirá en un año un interés de
metros de zanja. ¿Cuántos obreros cavarán 100 $20.
metros de zanja en un día?
• Un capital de $200 producirá en un año un interés
6. Cinco toneles de vino de 6 hectolitros cada uno vale de 2 x 20 = $40, etc.
$168.000. ¿Cuánto valen 8 toneles de 1 kilolitro cada
uno de vino de igual calidad? Esto indica que el interés es directamente
proporcional al capital.
7. Un motor extrae de una piscina 3.600 litros de
agua en 3 horas. ¿Cuántos litros de agua pueden Del mismo modo, el interés es directamente
extraer 4 motores iguales al primero, en 5 proporcional al rédito y al tiempo.
horas?
Los problemas de interés son problemas
de regla de tres compuesta.
8. Seis personas pueden vivir durante 12 días con
$79.200. ¿Con cuánto podrán vivir 15 personas
Vamos a hallar la formula general de interés que
durante 8 días?
produce un capital de C pesos durante un tiempo (t
años) a un redito r.
INTERÉS SIMPLE
1. Se averigua lo que produce un peso en 1 año: un

El interés simple se refiere a los intereses que
peso en un año produce r/100
produce un capital inicial en un período de tiempo, el
cual no se acumula al capital para producir los
2. Se averigua lo que produce un capital C pesos en 1
intereses del siguiente período; concluyéndose que el
año: C pesos en un año procuran C.(r/100)
interés simple generado o pagado por el capital
invertido o prestado será igual en todos los períodos
6
Programa de Licenciatura en Matemáticas 3. Se semanas, vendió 60 bueyes. Si no los hubiera vendido,
averigua lo que produce C pesos en t años: C pesos en t sólo tendría forraje para 14 semanas. ¿Cuántos
años producen C.(r/100). t bueyes le quedaron?
Como lo que producen C pesos en t años es el interés 5. Andrés abre una cuenta de ahorros con $20.000 en
. . un banco que le promete 21% de interés en un año.
(1) resulta la fórmula: 𝑰 =
¿Cuál es el interés al cabo de un año? ¿Y cuál al cabo
de 1 mes?
En esta fórmula el tiempo se expresa en años.
6. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital al 6%?

Observa las fórmulas cuando el tiempo se expresa en
meses y en días.
7. Un empleado cobra $32.000 por 8 días de trabajo.
. . ¿Cuánto cobrará por 20 días de trabajo?
𝑰= : 𝑻𝒊 𝒂ñ
8. Treinta alumnos hacen 6 grupos de 5 alumnos cada
. .
𝑰= : 𝑻𝒊 uno. ¿Cuántos alumnos tendrá cada grupo si se hacen 3
grupos?, ¿y si se hacen 5 grupos?
. .
𝑰= : 𝑻𝒊 í𝒂
𝟔 9. Un banco concedió a los socios de una fábrica un
préstamo de $3.000.000 al 8%. ¿A cuánto ascienden
EJERCICIOS DE CÁLCULO MENTAL. los intereses si el dinero se devuelve al cabo de 4
años? ¿Y si se devuelve al cabo de 36 meses?
Calcula en cada caso el inverso de los números.
10. Calcula el capital que, colocado al 5% de Interés
a. 3, 11 y 7 b. 2, 5 y 10 c. 1/2, 2 y 4/3 simple durante 10 años, se convierte en $30.000.
11*. Un comerciante, con el fin de atraer clientes,

anuncia conceder en sus ventas un 20% de descuento;
PROBLEMAS DE APLICACIÓN pero, poco escrupuloso, modifica previamente los
precios en ellos marcados, aumentándolos en un 20%.
1. Seis cajas con 120 pastillas de jabón cada una ¿Qué descuento hace, en realidad, sobre los precios
costaron $378.000. ¿Cuánto valen 8 cajas con 150 originales?
pastillas de Jabón cada una, Iguales a las anteriores?
12*. ¿Cómo hizo el tendero para devolverme $25 en
2. Con el vino que hay en un tonel se llenan 300 dos monedas, si efectué una compra de $75 y pagué
botellas de ¾ de litro cada una. ¿Cuántas botellas se con un billete de $100, y una de las monedas no era de
podrían llenar si la capacidad de cada botella fuera cinco pesos?
3/10 de litro?
3. Una persona compra una caja que contiene 12

docenas de lápices por $5.040. Después la vende a
razón de $400 cada 10 lápices. Formula la pregunta
del problema y después resuélvela.
4. Un ganadero, a fin de que el forraje que posee sea

suficiente para alimentar a sus bueyes, durante 20
7
SEMANA 6-7
Programa de Licenciatura en Matemáticas Moda: Siendo también una medida de
Conceptos básicos de estadística
centralización, esta muestra el dato del conjunto que
Estadística Descriptiva: Conjunto de métodos para tiene mayor frecuencia.

organizar, resumir y presentar los datos de manera
informativa. Mediana: Es llamada también una medida de
centralización, aunque también se conoce como

Estadística Inferencial: Conjunto de métodos
utilizados para saber algo acerca de una población, medida de posición por la naturaleza de dividir el
basándose en la información obtenida de una conjunto de dos partes exactamente iguales.
muestra.
Se calcula ordenado los datos de mayor a menor o
Términos importantes:
viceversa, si el número de elementos en impar la
Población: Conjunto de todos los posibles
individuos, objetos o medidas de interés. mediana será el valor que se encuentra en todo el
centro, si el número de elementos es par se toman los

Muestra: Una porción, o parte de la población de
interés. dos datos centrales y se promedian.
Estadístico: Medida característica de la muestra.

Ejemplos:
Parámetro: Medida característica numérica de la 1. La compañía “Estudios estadísticos” con sede en

la ciudad de barranquilla pidió a una muestra de 2660
población.
educadores que realizaron una prueba producida por
Media o promedio: Esta es una medida de la Universidad Los sabios. Observaron que, de los
docentes encuestados, 1667 dijeron que comprarían
centralización que representas todo el conjunto de
un libro de investigación en estadística.
datos. Se calcula sumando todos los valores de la
2. Una investigación de la universidad del atlantico
variable y dividida entre el número total de
estima que 31.8 millones de colombianos (54% de la
elementos. población) tiene acceso a sitios web en su domicilio.
3. A partir de un estudio de 376 mujeres divididas en

cuatro grupos según su ocupación, los investigadores
de la Universidad del Atlántico encontraron que las
1
Programa de Licenciatura en Matemáticas empleadas de
agencia tienen el mayor riesgo de padecimientos
cardiovasculares.
4. De 2300 directores colectivos de finanza

encuestados, 41% dijo que el “reconocimiento
frecuente de los logros” era el mejor modo de
motivar a sus empleados.
5. En una encuesta realizada a alumnos de último año

de preparatoria que aspiraban a matricularse en una Existen dos tipos básicos de datos: los obtenidos a
universidad 33% dijo que “la reputación académica”
partir de una población cualitativa y los que resultan
era la característica más importante al elegir una de una población cuantitativa. Cuando la
universidad. característica o variable en estudio es no numérica,
Identifique la población de estudio. se le denomina variable cualitativa o atributo.

Cuando la variable estudiada se puede expresar
¿Cuál es el tamaño de la muestra?
numéricamente se denomina variable cuantitativa.
¿Qué informaría Estudios estadísticos a Los Sabios
respecto a la aceptación del libro de investigación? A su vez las variables cuantitativas pueden ser
¿Se trata de un ejemplo de estadística descriptiva o discretas o continuas. Las variables discretas pueden
de estadística inferencial? Justifique su respuesta. asumir sólo ciertos valores y generalmente existen
TIPOS DE VARIABLES “brechas” o “huecos” entre ellos. Por lo común, las
variables discretas son resultado de un conteo.
Las observaciones de una variable continua pueden

tomar cualquier valor dentro de un intervalo
determinado. Las variables continuas resultan
generalmente de medir algo.
Tablas o distribución de frecuencias según la

naturaleza de la variable.
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla

con datos agrupados se emplea si las variables
toman un número grande de valores o la variable es
2
Programa de Licenciatura en Matemáticas continua. Se Se ha clasificado a 20 individuos según su nivel de
agrupan los valores en intervalos que tengan la estudios que puede tomar valores:
misma amplitud denominados clases. A cada clase se
le asigna su frecuencia correspondiente.
1 sin estudios
2
Descripción De Variables Cualitativas  primarios
Nivel de Estudios= 
3 medios
Supongamos que tenemos N observaciones de una 
4 sup eriores
variable cualitativa.
y se han obtenido los siguientes datos:
Supongamos que la variable puede tomar valores
{1;4;3;3;3;2;2;4;2;1;2;1;4;2;3;2;3;4;2;3}
pertenecientes a k clases o categorías:
N=20; k=4
Verde
 Azul
 Frecuencias absolutas:
Color de ojos= 
 Marron

 Negro k=4 N1=3; N2=7; N3=6; N4=4
Representamos mediante n1, n2, …, nk el número de N  n1  n2  n3  n4  3  7  6  4  20

datos que aparecen en cada una de las k categorías.
Frecuencias relativas:
Frecuencia absoluta de la clase i-ésima (ni): número
3 7 6 4
de observaciones en la clase i. f1   0,15; f 2   0,35; f 3   0,3; f 4   0,2
20 20 20 20
Frecuencia relativa de la clase i-ésima (fi): es la

f1  f 2  f 3  f 4  0,15  0,35  0,3  0,2  1
proporción de datos en la clase i-ésima, es decir,
Tabla 1. Nivel de estudio
n
fi  i CATEGORÍAS NI FI F%
N.
1 3 0,15 15
La suma de las k frecuencias relativas es igual a la
2 7 0,35 35
unidad: f1 + f2 +…+ fk=1
3 6 0,3 30
Nos permiten comparar las frecuencias de las
4 4 0,2 20
categorías en conjuntos de datos con distinto número
de observaciones N=20 1 100
Ejemplo 6 variable cualitativa.
3
Programa de Licenciatura en Matemáticas En la tabla 1
se muestra que categoría de nivel de estudio más
frecuente es la de estudios primarios y la menos
frecuente la de sin estudios.
La moda es: estudios primarios.
Nota: Las variables cualitativas por su naturaleza,

carecen de media o promedio y mediana.
Descripción De Variables Cuantitativas
La naturaleza numérica de las variables Frecuencia absoluta (fi ): Número de personas
cuantitativas permite un tratamiento estadístico más según la carga familiar.
elaborado que con las variables cualitativas. Frecuencia relativa (fi /n) Proporción de personas
Con las variables cuantitativas pueden realizarse según la carga familiar.
operaciones matemáticas, lo que permite una Frecuencia porcentual (fi%) Porcentaje de personas
descripción más precisa y completa. según la carga familiar.
En este tema estudiaremos la distribución de Frecuencia acumulada (Ni ) Número acumulado de

frecuencias y su representación gráfica (como hemos personas según la carga familiar.
hecho para las variables cualitativas en el Tema 1) y
Frecuencia relativa acumulada (Fi ) Proporción
en los siguientes temas veremos otras formas de
acumulada de personas según la carga familiar.
describir una variable cuantitativa.
Frecuencia porcentual acumulada (Fi %)

Ejemplo de variables cualitativas, cuantitativas
Porcentaje acumulado de personas según la carga
continuas y discretas:
familiar.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
1. Clasifica las siguientes variables como

cualitativas o cuantitativas, y a estas
últimas como continuas o discretas:
4
Programa de Licenciatura en Matemáticas A partir de este resumen:
a) Intención de voto de un colectivo a. Define la población.

b) Nº de cartas que se escriben en un mes
c) Número de calzado b. Define la muestra.
d) Nº de Km. recorrido en un fin de semana
e) Marcas de cerveza
c. Define la(s) variable(s) aleatoria(s).
f) Nº de empleados de una empresa
g) Altura
3 . Indica que v a r i a b l e s son c u a l it a t i va s y
h) Temperatura de un enfermo
cuales c u a n t it a t i v a s :
2. Leer atentamente el siguiente resumen, del
artículo de investigación titulado: a Comida Favorita.
b Profesión que te gusta.
Competencias docentes en los profesores de medicina c Número de goles marcados por tu equipo favorito en
de la Universidad la última temporada.
d Número de alumnos de tu Instituto.
Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
e El color de los ojos de tus compañeros de clase.
Resumen
f Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
Para la identificación de un grupo de competencias
docentes básicas en los profesores que se 4 De las siguientes v a r i a b l e s indica cuáles son
desempeñan en la licenciatura en medicina en la d i s c r e t a s y cuales c o n t i n u a s .
Facultad de Medicina “Dr. Ignacio Chávez”, objetivo
fundamental del presente trabajo, se utilizaron a Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
métodos teóricos y empíricos. Se aplicó una encuesta b Temperaturas registradas cada hora en un
a una muestra seleccionada de docentes y alumnos. observatorio.
Se emplearon procedimientos estadísticos para el c Período de duración de un automóvil.
análisis de los resultados y se elaboraron d El diámetro de las ruedas de varios coches.
tablas. A partir de la identificación de las e Número de hijos de e0 familias.
f Censo de la población chilena.
necesidades de aprendizaje de los profesores
5 . Clasificar las siguientes v a r i a b l e s en
estudiados, en relación con la dirección del proceso
c u a l i t a t i v a s y c u a n t it a t i v a s d i s c r e t a s o
enseñanza-aprendizaje y los referentes teóricos continuas.
sobre el tema, se realizó un análisis integrador para
a La nacionalidad de una persona.
valorar los datos obtenidos, lo que permitió la b Número de litros de agua contenidos en un depósito.
c Número de libros en un estante de librería.
caracterización de los docentes objeto de d Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par
investigación, en relación con las competencias de dados.
e La profesión de una persona.
docentes básicas propias de una gestión formativa f El área de las distintas baldosas de un edificio.
pertinente. Se tomaron en consideración los principios
metodológicos más actuales acerca de la formación de
recursos humanos en la educación superior en sentido
general y en particular en la educación médica superior.
5
SEMANA 8-9
Programa de Licenciatura en Matemáticas Frecuencias relativas:
3 7 6 4
f1   0,15; f 2   0,35; f 3   0,3; f 4   0,2
TABLAS DE FRECUENCIAS Y PRESENTACIÓN 20 20 20 20
GRAFICA EN DISTINTOS FORMATOS.

f1  f 2  f 3  f 4  0,15  0,35  0,3  0,2  1
Distribución de frecuencias: es la tabla que presenta
Tabla 1. Nivel de estudio
las categorías de una variable y sus respectivas
CATEGORÍAS NI FI F%
frecuencias.
1 3 0,15 15
Nos indica cómo se distribuye la frecuencia total entre 2 7 0,35 35
las categorías 3 6 0,3 30
4 4 0,2 20
Ejemplo 1 variable cualitativa.
N=20 1 100
Se ha clasificado a 20 individuos según su nivel de
En la tabla 1 se muestra que categoría de nivel de
estudios que puede tomar valores:
estudio más frecuente es la de estudios primarios y
la menos frecuente la de sin estudios.
1 sin estudios La moda es estudios primarios.

2 primarios
Nivel de Estudios= 
 Nota: Las variables cualitativas por su naturaleza,
3 medios
4 carecen de media o promedio y mediana.
sup eriores
Descripción de Variables Cuantitativas:
y se han obtenido los siguientes datos:
Distribución de frecuencias y Representación
{1;4;3;3;3;2;2;4;2;2;1;4;2;3;2;3;4;2;3} gráfica
N=20; k=4 La naturaleza numérica de las variables

cuantitativas permite un tratamiento estadístico más
Frecuencias absolutas:
elaborado que con las variables cualitativas.
N1=3; N2=7; N3=6; N4=4
● Con las variables cuantitativas pueden
N  n1  n2  n3  n4  3  7  6  4  20 realizarse operaciones matemáticas, lo que permite
una descripción más precisa y completa.
1
Programa de Licenciatura en Matemáticas Frecuencias relativas:
● En este tema estudiaremos la distribución de 11 13 20

frecuencias y su representación gráfica (como hemos f1   0,11; f 2   0,13; f 3   0,2
100 100 100
hecho para las variables cualitativas) y en los
siguientes temas veremos otras formas de describir
una variable cuantitativa. 25 14 10
f4   0,25; f 5   0,14; f 6   0,1
Variables Cuantitativas Discretas 100 100 100
4 2 1
● La distribución de frecuencias para las f7   0,04; f 8   0,02; f 9   0,01
variables discretas es semejante a lo que hemos visto 100 100 100
para el caso de las variables cualitativas, ya que las
categorías en que se agrupan los datos vienen dadas Distribución de frecuencias:
de forma natural por los valores que toma la
Categorías ni fi
variable.
Ejemplo 1: 0 11 0,11
Cien familias se han clasificado según el número 1 13 0,13
de hijos, resultando los siguientes datos: 2 20 0,2
Nº de 3 25 0,25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Hijos
4 14 0,14
Nº de
11 13 20 25 14 10 4 2 1 5 10 0,1
familias
N=100; k=9 6 4 0,04
Frecuencias absolutas: 7 2 0,02
n1=11; n2=13; n3=20; n4=25; n5=14; n6=10; n7=4; 8 1 0,01
n8=2; n9=1
N=100 1
2
Programa de Licenciatura en Matemáticas En general, las clases vienen ordenadas de forma
natural de menor a mayor por lo que tiene sentido
La categoría más numerosa es la de familias con 3
definir la distribución de frecuencias acumulada.
hijos y la
● Para construir la distribución de frecuencias
menos frecuente es la de familias con 8 hijos acumulada hay que sumar a la frecuencia de cada
clase (absoluta o relativa) la de las clases anteriores.
Diagrama de barras
●Los valores de la distribución de frecuencias
Frecuencias relativas fi acumulada no decrecen.
0.30
●La información sobre los datos que proporcionan
la distribución de frecuencias y la distribución de
0.25 frecuencias acumulada es equivalente. Cada una
puede obtenerse a partir de la otra.
0.20
Ejemplo: Nº de hijos
0.15
Frecuencias
Frecuencias
Frecuencias Frecuencias relativas
0.10 absolutas acumuladas
absolutas relativas
Categorías acumuladas
0.05 ni fi Fi
Ni
0.00 11 0,11
0 11 0,11
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 13 24 0,13 0,24
Frecuencias absolutas ni
2 20 44 0,2 0,44
30 3 25 69 0,25 0,69
4 14 83 0,14 0,83
25
5 10 93 0,1 0,93
20
6 4 97 0,04 0,97
15
7 2 99 0,02 0,99
10
8 1 100 0,01 1
5
N=100 1
0
● El último valor de la distribución de frecuencias
0 1 2 3 4 5 6 7 8
absolutas acumuladas coincide con N.
3
Programa de Licenciatura en Matemáticas Ejercicio 3.2 de Peña y Romo
● El último valor de la distribución de frecuencias Los siguientes datos corresponden al número de

relativas acumuladas es 1 (salvo error de redondeo). bibliotecarios en las bibliotecas públicas de las
diferentes provincias españolas:
● La distribución de frecuencias acumulada nos 4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 4 3 4 3 2 4 4 1 10 2 5 3 2 2

permite conocer la proporción (o el número) de 5 3 3 8 12 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3 15 16 6 7 12
observaciones por debajo de cierto valor, entre dos
a. Hallar la distribución de frecuencias relativas y
valores o por encima de una cantidad.
representarla mediante un diagrama de barras
Ejemplo: Nº de hijos
b. Obtener y representar la distribución de
¿Qué proporción de familias tiene menos de 2 hijos? frecuencias relativas acumuladas
0,24
c. ¿Qué proporción de provincias tiene más de 7
¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos? 69 bibliotecarios?
¿Qué proporción de familias tiene más de 6 hijos? Frecuencias

Frecuencias
Frecuencias
absolutas relativas
Frecuencias relativas
Bibliotecarios acumuladas acumuladas
0,03=1-0,97=0,01+0,02 absolutas ni
fi
Ni Fi
¿Qué proporción de familias tiene más de 3 hijos 1 3 3 0,06 0,06
pero menos de 7? 0,28=0,14+0,1+0,04=0,97-0,69 2 7 10 0,14 0,2
Representación gráfica de la distribución de 3 9 19 0,18 0,38
frecuencias acumulada 4 10 29 0,2 0,58
5 6 35 0,12 0,7
Frecuencias relativas Fi
6 4 39 0,08 0,78
1.0
7 4 43 0,08 0,86
0.8
8 2 45 0,04 0,9
0.6
10 1 46 0,02 0,92
0.4
0.2
12 2 48 0,04 0,96
0.0 15 1 49 0,02 0,98

0 1 2 3 4 5 6 7 8
16 1 50 0,02 1
4
Programa de Licenciatura en Matemáticas La mayoría de las provincias (62%) tiene 4
bibliotecarios o más: 0,62=1-0,38=
Frecuencias relativas: fi
=0,2+0,12+0,08+0,08+0,04+0,02+0,04+0,02+0,0
0.25
2
0.20 4 es la clase más frecuente con una frecuencia

relativa de 0,2
0.15
Más de la mitad de las provincias españolas
0.10 (F4=0,58) tiene menos de 5 bibliotecarios
0.05 La proporción de provincias españolas que tienen

entre 5 y 7 bibliotecarios es de 0,28
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 15 16 0,28=0,12+0,08+0,08=0,86-0,58
Variables Continuas
Frecuencias relativas acumuladas: Fi
El análisis de la distribución de frecuencias de las
1.0
variables cuantitativas continuas es más complejo
que el de las variables cualitativas o discretas.
0.8
●Las categorías o clases no vienen dadas de forma

0.6
natural, sino que deben elegirse.
0.4 ●Tendremos que dividir el recorrido (o conjunto de

posibles valores de la variable) en intervalos que no
0.2
se solapen.
0.0 ●El punto central de cada intervalo se llama marca

1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 15 16
de clase (ci).
la proporción de provincias con más de 7 ●El resto de los elementos y conceptos de la
bibliotecarios es de 0,14 distribución de frecuencias de una variable continua

es equivalente a lo visto en las cualitativas y
0,14=1-0,86=0,04+0,02+0,04+0,02+0,02
discretas.
5
Ejemplo: Gasto Total (GTINE o G)
La variable GTINE representa el gasto total. Los Frecuencias Frecuencias

Gasto Frecuencias Frecuencias relativas
absolutas
datos correspondientes a 75 hogares son: absolutas relativas acumuladas
(en miles de acumuladas
ptas.) ni fi
81.861 105.628 110.690 134.246 226.177 273.870 Ni Fi
142.376 309.964 101.431 276.273 662.803 0<G≤100 10 10 0,13 0,13
493.728 308.787 254.420 172.928 142.678 100<G≤200 22 32 0,29 0,42
200<G≤300 17 49 0,23 0,65

510.223 158.829 278.854 168.620 176.204
300<G≤400 8 57 0,11 0,76
179.108 113.074 876.161 64.425 112.352 255.465
400<G≤500 10 67 0,13 0,89
321.307 434.375 707.444 90.460 89.498 466.862
500<G≤600 3 70 0,04 0,93
87.112 309.829 247.425 427.812 195.740 257.638
600<G≤700 2 72 0,03 0,96
176.656 285.935 450.571 56.292 306.488 156.772 700<G≤800 2 74 0,03 0,99
531.099 475.760 316.500 279.586 48.586 96.670 800<G≤900 1 75 0,01 1
256.548 514.330 161.595 228.368 638.366 N=75 1
442.162 65.060 160.580 197.390 152.077 228.808 La proporción de familias que gasta 200.000 pesetas
o menos es de 0,42.
76.920 255.196 241.986 417.103 752.436 352.708
259.472 225.388 174.341 308.705 455.125 La proporción de familias que gasta más de 600.000
pesetas es 0,07=1-0,93=0,03+0,03+0,01.
122.696 479.791
La proporción de familias que gasta más de 100.000
Tomando intervalos o clases iguales y de tamaño pero no más de 300.000 es 0,52=0,29+0,23=0,65-
100.000 pesetas, vamos a calcular la distribución de 0,13
frecuencias.
Representación gráfica de la distribución de
Por ejemplo, el primer intervalo será: frecuencias
0<GTINE≤100.000 y la marca de clase c1=50.000.
El número de intervalos o clases será k=9.
6
Histograma de GTINE
Frecuencias relativas (%)

30
El Histograma 25
20
● El histograma es un gráfico que representa las

15
10
frecuencias mediante áreas. Sobre cada clase (o 5

0
rango de valores) se dibuja un rectángulo cuya área 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(X 1,E6)
GTINE
representa la frecuencia (absoluta o relativa) de esa Los rectángulos se dibujan contiguos (a diferencia
clase. del diagrama de barras o de Pareto) para transmitir
la idea de variable continua.
● Cuando las clases (o intervalos) en que dividimos
los datos son de distinta longitud el eje vertical no ● ¿Cómo elegimos los intervalos (o el número de
tiene sentido. Como la frecuencia es el área de cada clases)?
rectángulo, si dibujamos rectángulos con distinta
Empezar con pocas clases y ver (en el histograma) si con
base su mayor o menor altura no nos da información.
más clases tenemos más información (ver Figura 3.6 de
(Ver Ejemplo de GTINE en Peña y Romo) Peña y Romo de la variable NOTAS)
● Cuando las clases (o intervalos) son de la misma Si tenemos N observaciones elegir el número de clases
longitud, las frecuencias son proporcionales a las igual al entero más próximo a N En el ejemplo de
alturas de los rectángulos. La altura nos informa GTINE como N=75 entonces
sobre la densidad o concentración de datos en ese
N  75  8,6  9
intervalo:
El polígono de frecuencias
donde los rectángulos son más altos hay más datos
de la variable ●El polígono de frecuencias es una representación
gráfica de las frecuencias equivalente al histograma.
donde los rectángulos son más bajos los datos de la
●Se obtiene a partir del histograma uniendo los centros
variable son más escasos
de la base superior de sus rectángulos.
Ejemplo: GTINE (distribución frecuencias)
7
xn i i
x i
Ejemplo: GTINE n
Histograma de GTINE
Si los datos están agrupados utilizamos las marcas
30 de clase, es decir ci en vez de xi.

25
20
15
Es la medida de centralización más importante.
10
5 Ejemplo 1:
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(X 1,E6)
GTINE 0 * 2  1 * 4...6 * 1
x =2.52
50
PROPIEDADES
Polígono de frecuencias de GTINE
30
1. La suma de las diferencias de los valores de la
25
20 variable y la media es cero.

15
10
5
 xi
i  xn i  0
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(X 1,E6)
GTINE 2.La suma de las desviaciones al cuadrado de los
valores de la variable respecto a una constante k
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
cualquiera, se hace mínima cuando esa constante es
Nos dan un centro de la distribución de frecuencias, la media. Es decir:
es un valor que se puede tomar como representativo
 x  x n i   x 
2 2
 k ni
de todos los datos. Hay diferentes caminos para i i
i i ,
definir el "centro" de las observaciones en un
para cualquier constante k.
conjunto de datos. Por orden de importancia, son:
MEDIANA (Me):es el valor que separa por la mitad
MEDIA ARITMÉTICA: (o simplemente media). es el
las observaciones ordenadas de menor a mayor, de
promedio aritmético de las observaciones, es decir,
tal forma que el 50% de estas son menores que la
el cociente entre la suma de todos los datos y el
mediana y el otro 50% son mayores. Si el número de
número de ellos (Teniendo en cuenta que si un valor
datos es impar la mediana será el valor central, si es
se repite hay que considerar estas repeticiones)
par tomaremos como mediana la media aritmética
de los dos valores centrales.
8
Programa de Licenciatura en Matemáticas  Se busca en la tabla el intervalo, [Li-1, Li), que
Distinguiremos entre distribuciones no agrupadas y
cumple Ni-1<n/2<Ni (a este intervalo lo llamamos
distribuciones agrupadas:
intervalo mediano).
DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS:
 A continuación, para encontrar la mediana,
 Calculamos n/2. aplicaremos la siguiente fórmula:
n 
 Se busca en la tabla Ni-1<n/2 < Ni (es decir aquel   Ni1  a i
2 
Me  L i1 
valor cuya frecuencia acumulada más se acerca a ni
n/2 por arriba).

El razonamiento es el siguiente: La frecuencia
-Si n/2<Ni la mediana es aquel valor de la variable acumulada hasta el intervalo anterior al mediano es N i-1;
cuya frecuencia cumulada es Ni es decir: Me=xi para llegar a la mitad de los datos, es decir, n/2
necesitamos tomar n/2 - Ni-1 del intervalo mediano, el cual
tal que n/2 <Ni
tiene ni datos repartidos en una amplitud ai ; como a cada
-Si n/2=Ni la mediana será la media aritmética de dato le corresponde una longitud ai / ni , a los n/2 - Ni-1
aquellos valores cuya frecuencia acumulada es N i y datos les corresponderá
Ni+1 respectivamente, es decir: Me=(xi+xi+1)/2
 n 
  Ni  1  a i
 2 
tal que Ni=n/2 ni
Ejemplo 1: Ejemplo 2:
n=50 n=40
n/2=25 n/2=20
N2 =6<25<27=N3 N2=11<20<25=N3
como 25< N3=27 entonces Me=x3=2 el intervalo mediano es el intervalo [Li-1,

Li)=[4.25,4.75) con lo que
DISTRIBUCIONES AGRUPADAS
 Se calcula n/2.
 40 
  11 0.5
 2 
Me  4.25   4.57
14
9
Programa de Licenciatura en Matemáticas serán las diferencias dentro de los cuadrados y por
tanto mayor será el valor de s2.
Cuando encontramos dos modas decimos que es una
2
distribución bimodal, tres, multimodal, etc. DESVIACIÓN 𝑆 = √𝑆 2
Ejemplo1 M0=2 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
DISTRIBUCIONES AGRUPADAS Muchas de las personas que invierten en bolsa lo

hacen para conseguir beneficios rápidos, por ello el
Es importante distinguir aquí también entre
tiempo en que mantienen las acciones es
intervalos de igual amplitud, o distribuciones de
relativamente breve. Preguntada una muestra de 40
frecuencias donde los intervalos no tengan la misma
inversores habituales sobre el tiempo en meses que
amplitud.
han mantenido sus últimas inversiones se recogieron
A continuación, para encontrar la moda aplicamos los siguientes datos
la siguiente fórmula:
10.5 11.2 9.9 15.0 11.4 12.7 16.5 10.1 12.7 11.4
n i 1
Mo  L i1  ai 11.6 6.2 7.9 8.3 10.9 8.1 3.8 10.5 11.7 8.4
n i1  n i1
12.5 11.2 9.1 10.4 9.1 13.4 12.3 5.9 11.4 8.8
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS

7.4 8.6 13.6 14.7 11.5 11.5 10.9 9.8 12.9 9.9
Por orden de importancia tenemos: Construye una tabla de frecuencias que recoja
VARIANZA ( s2 ) es el promedio del cuadrado de las adecuadamente esta información, y haz también
distancias entre cada observación y la media alguna representación gráfica.
aritmética del conjunto de observaciones 3) Investigados los precios por habitación de 50

hoteles de una ciudad se han obtenido los siguientes
 x  x n i
2
i
s2  i resultados
n
700 300 500 400 500 700 400 750 800 500
Si los datos están agrupados utilizamos las marcas
500 750 300 700 1000 1500 500 750 1200 800
de clase, es decir Ci en vez de Xi.
400 500 300 500 1000 300 400 500 700 500
En el caso extremo en que todas las observaciones
300 400 700 400 700 500 400 700 1000 750
fueran iguales, la media coincidiría con ese valor
común y la varianza sería cero. En general, cuanto 700 800 750 700 750 800 700 700 1200 800
más dispersas sean las observaciones, mayores
10
Determínese: e. Construye el grafico que consideres más adecuado

con las frecuencias no acumuladas
a) La distribución de frecuencias de los precios.
f. Construye el gráfico que consideres más adecuado
1. Sin agrupar.
con las frecuencias acumuladas.
2. Agrupados en 5 intervalos de igual amplitud.
b) Porcentaje de hoteles con un precio superior a

5) En un hospital se desea hacer un estudio sobre los
750.
pesos de los recién nacidos. Para ello, se recogen los
c) Cuántos hoteles tienen un precio mayor o igual datos de 40 bebes y se tiene:
que 500 pero menor o igual a 1000.
3.2 3.7 4.2 4.6 3.7 3.0 2.9 3.1 3.0 4.5
d) Representar gráficamente dichas distribuciones.

4.1 3.8 3.9 3.6 3.2 3.5 3.0 2.5 2.7 2.8
3.0 4.0 4.5 3.5 3.5 3.6 2.9 3.2 4.2 4.3
4) El gobierno desea saber si el número medio de 4.1 4.6 4.2 4.5 4.3 3.2 3.7 2.9 3.1 3.5
hijos por familia ha descendido respecto a la década
anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias
respecto al número de hijos y ha obtenido los Se pide:
siguientes datos:
a) Construir la tabla de frecuencias
2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 3 3 4
b) Si sabemos que los bebes que pesan menos de 3
3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1
kilos nacen prematuramente ¿Qué porcentaje de
a. Construye la tabla de frecuencias a partir de estos niños prematuros han nacido entre estos 40?
datos. c) Normalmente los niños que pesan más de 3 kilos y
b. ¿Cuántas familias tienen exactamente tres hijos? medio no necesitan estar en la incubadora ¿Puedes
decirme que porcentaje de niños están en esta
c. ¿Qué porcentaje de familias tienen exactamente 3
situación?
hijos?
d) Representa gráficamente la información recogida
d. ¿Qué porcentaje de las familias de la muestra
tienen más de dos hijos? ¿Y menos de 3?
11
6) Completar la siguiente tabla: 8) Construye la tabla de frecuencias a partir del

siguiente gráfico de frecuencias acumuladas,
Xi Mc ni fi Ni Fi
sabiendo que tenemos una variable discreta
[0,10) 2 0,05 2 0,05
35
[10,20) 0,15 30
25
[20,30) 0,4 20
15
[30,40) 15 0,775 10
5
[40,50) 1 0
2 3 4 5 6 7 8
a. Halle las medidas de tendencia central.

b. Halle las medidas de dispersión 9) En una finca de apartamentos en Benicasim, se
reúne la comunidad de vecinos para ver si contratan
7) Antes de las últimas elecciones generales, una
una persona que les lleve la contabilidad. El
encuesta realizada sobre la intención de voto de
resultado de la votación es el siguiente: 25 vecinos a
colectivo de 45 personas, dio los siguientes
favor de la contratación, 15 vecinos en contra y 5
resultados
vecinos se abstienen. Construye la tabla de
PP PSOE IU PP PSOE UV PP UV PSOE frecuencias para estos datos y representa
gráficamente la información recogida mediante un
IU PP IU PP UV PP PP PSOE UV
diagrama de sectores.
PSOE PP PSOE UV PP UV UV PSOE PP
10) Construye la tabla de frecuencias relacionada
IU PP PSOE IU PP IU UV UV PP
con el siguiente gráfico, donde se resumen datos
recogidos sobre 50 personas
PSOE UV PP PSOE PP IU PP IU PP
0,6
Se pide: 0,5
0,4
0,3
Confeccionar una tabla de frecuencias que recoja 0,2
0,1
esta información y elabora dos tipos de gráficos 0
0–1 1–2 2–3 3–4
distintos a partir de ella. ¿Qué porcentaje de
votantes espera tener cada formación política?
12
11) los siguientes datos representan el ancho en

milímetro de una marca de tornillos. construya una
distribución de frecuencias.
181 159 160 159 158 165 161 163 165 163
178 160 158 165 155 158 155 157 157 164
183 155 163 164 156 160 155 160 158 159
163 162 162 156 158 161 162 156 155 161
180 160 155 160 157 164 156 155 165 155
a. Realizar graficos. Circular y el Histograma

b. Mencione que tipo de variable es.
c. Halle las medidas de tendencia central
d. Halle las medidas de dispersión
13
SEMANA 10
SEMANA 10
Combinaciones y permutaciones nr
donde n es el número de cosas que puedes
¿Qué diferencia hay? elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
Normalmente usamos la palabra "combinación"
descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas
es importante. Otros ejemplos de esta situación, son: el lanzamiento de
En otras palabras: “Mi ensalada de frutas es una uno o más dados. También el lanzamiento de una o más
combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa monedas, entre otras.
en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas,
uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la 2. Permutaciones sin repetición
misma ensalada.
En este caso, se reduce el número de opciones en cada
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí paso.
importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene
que ser exactamente 4-7-2. Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más otra vez.
preciso: Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu
siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13,
 Si el orden no importa, es una combinación. etc. Y el total de permutaciones sería:
 Si el orden sí importa es una permutación. 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Permutaciones Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3

de ellas, así que sería solamente:
Hay dos tipos de permutaciones:
16 × 15 × 14 = 3360
•Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría
ser "333". Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de
billar de entre 16.
•Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una
carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta:
1. Permutaciones con repetición usamos la "función factorial
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las
elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: permutaciones serían:
n × n × ... (r veces) = nr 16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos?
DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, ¡Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
y así.) 16 × 15×14× 13× 12 ...
= 16×15×14 =3360
13 × 12 ...
Por ejemplo en un cerradura, hay 10 números para elegir
(0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000
La fórmula se escribe:
permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
1
SEMANA 10
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3.
Ejemplos:
Las posibilidades son:
1. Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16"
sería: El orden importa
16! 16! 20,922,789,888,000 1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 1 2 3, 2 3 1, 3 1 2; 3 2 1

= = = 3360
( − )! 13! 6,227,020,800
El orden no importa
2. ¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo 123
premio entre 10 personas?
Así que las permutaciones son 6 veces más
10! 10! 3,628,800 posibilidades.
= = = 90
( − )! 8! 40,320 De hecho, hay una manera fácil de saber de cuántas
maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
respuesta es:
En lugar de escribir toda la fórmula, se usa otras
3! = 3 × 2 × 1 = 6
notaciones como:
(Otro ejemplo: ¡4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3
× 2 × 1 = 24 maneras distintas, pruébalo)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de

Combinaciones permutaciones para reducir por las maneras de ordenar
los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que
ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo

(5,5,5,10,10) Esta fórmula es tan importante que normalmente se la
escribe con grandes paréntesis, así:
Sin repetición: como números de lotería
(2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones sin repetición donde n es el número de cosas que puedes elegir, y

eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en importa
uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el
orden) ¡entonces has ganado! Y se la llama "coeficiente binomial".
La manera más fácil de explicarlo es: Notación
•imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), Además de los "grandes paréntesis”, también se usa
estas notaciones:
•después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos

saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden. Ejemplo
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones. Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin
orden) es:
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque 16! 16! 20,922,789,888,000
= = = 560
no nos importa el orden. 3! ( − )! 3! 𝑥13! 6𝑥6,227,020,800
2
SEMANA 10
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
O se puedes hacer así:
16𝑥15𝑥14 3360 {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

= = 560
3𝑥2𝑥1 60
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es
bonita y simétrica: OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por
diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple
para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas
y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado)

y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las contenedor 1º al 5º).
mismas combinaciones que elegir 13 bolas de Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos
16. que r de ellas tengan círculos.
16! 16!
= = 560 Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y
13! ( − )! 13! 𝑥3!
queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema
2. Combinaciones con repetición de elegir bolas de billar, pero con números un poco
distintos. Lo podrías escribir así:
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana,
chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas.
¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}.

donde n es el número de cosas que puedes
Algunos ejemplos son
elegir, y eliges r de ellas
• {c, c, c} (3 de chocolate)
(Se puede repetir, el orden no importa)
• {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de
vainilla) Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en
flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho
• {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla) "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan
flechas", y la respuesta sería la misma...
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges
r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, esta es una técnica especial para averiguar ¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir (5 + 3 − 1)! 7! 5040
"sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 = = = 35
3! − ! 3! 𝑥4! 6𝑥24
( )
contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de
chocolate!
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. ¿Cuántos equipos diferentes de tres personas
Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera pueden originarse si se tienen cinco
helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres personas para elegir entre ellas?
Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo
es tomar)
2. ¿Cuántas permutaciones de 3 elementos
se forman con 3 objetos?
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
{c, c, c} (3 de chocolate):
3
SEMANA 10
3. ¿En cuántas formas diferentes pueden reactivos en un examen.
sacarse cuatro cartas (a la vez) de un a) ¿Cuántas maneras
paquete tiene de
de 52 cartas? seleccionarlas?
4. ¿Cuántas señales diferentes, cada una de a) ¿Cuántas maneras de seleccionar

8 banderas colocadas en línea vertical, tiene si los tres primeros reactivos
pueden formarse con 4 banderas rojas, son obligatorios?
3 blancas y una azul?
12. De un total de 5 matemáticos y 7
5. Cuatro libros distintos de matemáticas, físicos, se forma un comité de 2
seis diferentes de física y dos diferentes de matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas
química se colocan en un estante ¿De formas puede formarse? Si:
cuántas formas distintas es posible a. puede formarlo cualquier
ordenarlos si: matemático y cualquier físico.
a) ¿Los libros de cada asignatura
b. Un físico determinado debe
deben estar todos juntos? pertenecer al comité.
b) ¿Solamente los libros de
c. Dos matemáticos determinados
matemáticas deben estar juntos? no deben estar en el comité.
6. Calcula el número de formas en que un
13. Con 7 consonantes y 5 vocales
ejecutivo puede elegir a 3 de 15 empleados
diferentes ¿cuántas palabras pueden
para un ascenso.
formarse, que consten de 4
7. Calcula en número de formas en que consonantes y 3 vocales? No es
un capataz puede escoger a 12 de 18 necesario que las palabras tengan
trabajadores para asignarles trabajo significado.
en tiempo extra.
14. ¿Cuántas permutaciones se pueden
8. Calcula en número de formas en que hacer con un grupo de 40 alumnos
un capataz puede escoger a 12 de 18 tomando equipos de 4 personas? y
trabajadores para asignarles trabajo ¿cuántas combinaciones?
en tiempo extra.
15. ¿De cuántas maneras se pueden
9. ¿Cuántos comités de 4 personas se ordenar 3 libros en un librero si se
pueden formar con 9 personas? escogen 2 libros a la vez?
10. ¿De cuántas maneras se puede 16. Un disco compacto puede ser
escoger un comité, compuesto de 3 comprado en cualquiera de las 5
hombres y 2 mujeres, de un grupo de tiendas ¿de cuántas maneras se
7 hombres y 5 mujeres? pueden seleccionar 3 de las 5
tiendas?
11. Un estudiante tiene
que contestar 8 de 10 17. Determine el número de formas en
Mg:Osmar Fernández Díaz
SEMANA 10
que una persona puede seleccionar a. Si es importante el orden de
cuatro productos de una lista de las entrevistas, ¿en cuántas
ocho. formas puede planear las
entrevistas el representante
18. ¿En cuántas formas pueden del sindicato?
escogerse cuatro interruptores b. Si no importa el orden de las
buenos y dos defectuosos de un lote tres entrevistas, ¿de cuántas
que contiene 20 interruptores buenos maneras puede planearlas el
y cinco defectuosos? representante del sindicato?
19. Si se tienen tres canicas amarillas, 23. Calcula el número de formas en que
dos azules y cuatro verdes, ¿de un ejecutivo puede elegir a 3 de 15
cuántas formas diferentes pueden empleados para un ascenso.
acomodarse en una fila?
24. ¿En cuántas formas pueden alinearse
20. El Wall Street Journal publica una seis reclutas (tomando en cuenta
lista diaria de los 10 valores o títulos únicamente el uniforme militar) para
más activamente negociados en la la ceremonia de izar la bandera, si
American Stock Exchange (Bolsa de tres reclutas son infantes de marina,
Valores Norteamericana). Un uno es del ejército, otro es de la naval
inversionista desea elaborar una lista y el último esta en la fuerza aérea?
de tres de estos títulos, en orden de
importancia, para la posible compra. 25. Un inversionista desea eliminar siete
¿Cuántas permutaciones habría con de las opciones de inversión de su
tres de los 10 títulos negociados portafolio vendiendo cuatro títulos y
cierto día en dicha bolsa de valores? tres bonos. ¿En cuántas formas se
pueden vender estos valores, si entre
21. Determine si cada una de los 25 títulos que hay en el portafolio
las siguientes expresiones es 13 son acciones y el resto
verdadera o falsa: corresponde a los bonos?
a) 9! = 9 ·8·7 ·6!; b)5!4!= 0!; 26. Una caja contiene una docena de
c) 5! + 5! = 10!; d) 8! = 9! / 9 focos eléctricos, que incluyen uno
e) 5! = 10!/2! ; f) ¾ + ¼ = 1!; defectuoso. ¿En cuantas formas se
g) 3! . 2! = 6! ; h) 8! = 6! . 56. pueden seleccionar dos focos, de
modo que
a. No se incluya el foco defectuoso;
b. ¿Se incluya el foco defectuoso?
22. El representante de un sindicato
desea hablar con tres de los 10
27. Supóngase que, entre la docena de
trabajadores inmiscuidos en un
focos eléctricos del ejercicio anterior,
procedimiento que es motivo de
hay dos unidades defectuosas. ¿De
queja.
cuántas maneras pueden
SEMANA 10
seleccionarse tres focos, de manera
que 33. ¿De cuantas maneras ordenadas puede
a. No se incluya ninguno de los focos programar un director de televisión seis
defectuosos; comerciales en los seis intermedios para
b. Se incluya una de las unidades comerciales durante la transmisión
televisiva del primer tiempo de un
defectuosas;
partido de hockey?, si:
c. ¿Se incluyan ambos focos a. los comerciales son todos diferentes.
defectuosos? b. dos de los comerciales son iguales.
c. Si hay cuatro comerciales diferentes,
28. Si el productor de un noticiario tiene que uno de los cuales debe aparecer tres
escoger tres de siete noticias para veces, mientras que cada uno de los
trasmitirlas al aire, ¿de cuantas otros debe aparecer una sola vez.
maneras diferentes puede ordenar el
noticiario? 34. Una caja de 12 baterías recargables,
contiene una defectuosa, ¿de cuantas
29. ¿De cuántas maneras diferentes puede maneras un inspector puede seleccionar
seleccionar un archivista cuatro tres de las baterías y:
expedientes de un gabinete que contiene a. obtener la defectuosa.
15? b. no obtener la defectuosa.
30. Entre los cursos para la maestría en 35. El departamento de suministros tiene
administración de empresas, que se ocho diferentes motores eléctricos y
ofrecen durante cierto semestre en una cinco diferentes interruptores de
universidad, se encuentran seis cursos arranque. ¿De cuantas maneras pueden
de contabilidad, cuatro de seleccionarse dos motores y dos
mercadotecnia y tres de computación. conmutadores para un experimento de
¿En cuántas formas se puede inscribir una antena de rastreo?
un estudiante en dos cursos de SOLUCIONARIO DE ALGUNOS
contabilidad, dos de mercadotecnia y
EJERCICIOS
uno de computación?
1. 10. 3. 270725, 5. a) 207360, b) 8 709 120, 7.
31. ¿En cuántas formas se pueden asignar
18564, 9. 126, 11. a) 10 P8 , b) 7 P5 , 13.
10 cartas a tres mecanógrafas en una
oficina, de manera que Inés haga dos 50400, 15. 4, 17. 8C4 19. 1260, 21. a) v, b) f, c) f, d)
cartas, Berta tres y Clara cinco? v, e) f, f) v, g) f, h) v, 23. 15C3 , 25. 157
300, 27. a) 120, b) 90, c) 10, 29. 1365, 31. 2520,
33. a) 720, b) 360, c) 120, 35. 280.
32. Si una prueba se compone de 12
preguntas de verdadero-falso,
a) ¿de cuantas maneras diferentes un
estudiante puede dar una respuesta
para cada pregunta?
b) Sí de antemano el maestro le dice que
la primera pregunta es verdadera,
¿cuántas maneras tiene de contestar
esta prueba?

SEMANA 11-12
SEMANA 11-12
COMPONENTE GEOMETRICO METRICO

Está relacionado con la construcción y manipulación de
representantes de objetos bidimensionales y
tridimensionales, además de sus características,
relaciones y transformaciones.
El punto es uno de los entes fundamentales de la

geometría, junto con la recta y el plano, pues son Los polígonos regulares son polígonos equiláteros,
considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es puesto que todos sus lados son de la misma medida. Los
posible describirlos en relación con otros elementos polígonos regulares son equiangulares, puesto que
similares o parecidos. todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
La recta o la línea recta es una línea que se extiende

en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola
dimensión y contiene un número infinito de puntos. Polígono irregular es un polígono cuyos lados y ángulos
interiores NO son iguales entre sí.
El plano es un objeto ideal que solo posee dos

dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un Perímetro: es la suma de los lados de una figura
concepto fundamental de la geometría junto con el geométrica.
punto y la recta
superficie es la medida (metros cuadrados) de una de

las caras de una figura; área es la suma de las
superficies de todas las caras de una figura. Por tanto,
en una figura en dos dimensiones será lo mismo calcular
su superficie que su área
Un polígono es una figura geométrica plana compuesta

por una secuencia finita de segmentos rectos
consecutivos que encierran una región en el plano.
Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que
se intersecan se llaman vértices.
1
SEMANA 11-12
.
Ejemplo: Hallar el área sombreada
Solución
Ejemplo:
Encuentra el área de la región sombreada
1. ABCD es un cuadrado. AB y CD son diámetros,
hallar el área sombreada
2. Hallar el área sombreada
Solución
3. ABCD es un cuadrado, hallar el área

sombreada.
2
SEMANA 11-12
11. Hallar el área sombreada.


15. El perimetro (en metros) de la siguiente

figura es:
9. ABCD es un cuadrado, hallar el área

sombreada.
A. 0,48m
B. 0,44m
C. 0,52m
D. 0,40m
3
SEMANA 11-12
16. Observalas dimensiones de la cancha de

baloncesto de un colegio, ¿Cuál es su
perimetro?
¿Cuál es la capacidad en 3 de uno de los cajones del mueble?

A. 60 3
B. 500 3
C. 4000 3
D. 6000 3
A. 96m 20. El area de la figura es:

B. 79m
C. 83m
D. 86m
17. Jason construyó un cobertizo rectangular

que mide 88 metros de ancho y tiene un área
de 96 metros cuadrados. ¿cuál es el largo
del cobertizo?
18. El primero (en metros) de la siguiente figura A. 64 cm²

es: B. 56 cm²
C. 48 cm²
D. 36 cm²
A. 0,2m
B. 0.6m La capacidad indica cuánto puede contener o
C. 0,3m guardar un recipiente. Generalmente se expresa en
D. 0,4m litros (l) y mililitros (ml). El volumen indica cuánto
espacio ocupa un objeto. Generalmente se expresa
19. Un carpintero construye un mueble que tiene en metros cúbicos (m3) y centímetros cúbicos (cm3)
cajones como el que aparece en la siguiente En un supermercado se empacan botellas de aceite del
figura: mismo tamaño en cajas rectangulares con capacidad para
6 botellas, como se muestra en la siguiente figura.
4
SEMANA 11-12
Ejemplo:
Calcula el área lateral, total y el volumen de una
pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12
cm de altura
En un supermercado se empacan botellas de aceite del

mismo tamaño en cajas rectangulares con capacidad para
6 botellas, como se muestra en la siguiente figura.
1. Una caja rectangular del mismo ancho que el de

la figura, en la que se puedan empacar 8 de
estas botellas, debe tener
a. 33 cm de largo.
b. 35 cm de largo.
c. 40 cm de largo.
d. 60 cm de largo.
5
SEMANA 11-12
2. Para servir los tintos en una oficina se tienen RESPONDE LAS PREGUNTAS 4, 5, 6 Y 7
tres cafeteras, de igual material, como se TENIENDO EN CUENTA LA SIGUIENTE
muestran a continuación. INFORMACIÓN
Los sólidos M y N que se muestran están formados
por cubitos de un centímetro de lado
De acuerdo a la cantidad de tinto que se puede

cargar en cada cafetera, se puede afirmar que
A. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la

cafetera 2 4. ¿Cuál es el volumen del sólido
B. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera N? A. 18 cm3
3 3
B. 21 cm
C. la cafetera 3 tiene mayor capacidad que la C. 25 cm
3
cafetera 2 3
D. 27 cm
D. la cafetera 2 tiene mayor capacidad que la
cafetera 1 5. Para construir un cubo de lado 4 cm a partir del
sólido N, ¿cuántos cubitos adicionales se necesitan?
3. En la oficina se necesita comprar una mesa A. 24
que ocupe el menor espacio y en la que se B. 48
puedan colocar las tres cafeteras al C. 96
tiempo; ¿cuál de los siguientes tamaños de D. 192
mesa compraría?
6. Se quiere construir un sólido cuyo volumen sea el
doble del volumen del sólido M. El volumen de la nueva
figura se obtendría
A. multiplicando por 2 una de las dimensiones (largo,

ancho, alto) del sólido M
B. multiplicando por 2 cada una de las dimensiones
(largo, ancho, alto) del sólido M
C. multiplicando entre sí las dimensiones (largo,
D. multiplicando por 2 dos de las dimensiones (largo,
7. La razón del volumen del sólido N con respecto al

volumen del sólido M es de 7 cm3 a 8 cm3. Esta
afirmación es correcta, ya que
6
SEMANA 11-12
A. 7 y 8 dividen el volumen de los sólidos M y N

respectivamente
B. por cada 7 cm3 en el sólido N hay 8 cm3 en el sólido
M
C. 7 y 8 son divisores comunes tanto del volumen del
sólido M como el del sólido N
D. por cada 7 cm3 en el sólido M hay 8 cm3 en el
sólido N
8. Las dimensiones de un depósito cilíndrico son las El teorema de Pitágoras establece que en
especificadas en la figura. Calcula la capacidad del todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud
recipiente. de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de las respectivas longitudes de los catetos
dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e

hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto).
Entonces,
9. Un decímetro cúbico del material con el que está

construido el recipiente representado en la figura pesa
7,8 kilogramos. Calcula cuánto pesa el recipiente.
Recordemos que:
• el triángulo es rectángulo porque tiene un

ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados
ó π / 2 radianes.
10. Calcula cuánto tiempo tardará en llenarse el
• la hipotenusa es el lado opuesto al
depósito de la figura si se echan 85 litros por minuto.
ángulo recto
Ejemplo 1. Un parqueadero con forma rectangular

de dimensiones 98x35 metros es vigilado por cuatro
cámaras.
7
SEMANA 11-12
La cámara A observa el área 1; la cámara B, el área ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del
2; la cámara C, el área 3; y la cámara D, el área 4. agua)?
Calcular el porcentaje del área del aparcamiento Solución;

que no es vigilada por ninguna cámara.
Tenemos un rectángulo de altura 2,4m y cuya diagonal
Región 1: mide 8,8m. Por Pitágoras, su base b es
La hipotenusa mide 50m y uno de los catetos mide

35m (altura del aparcamiento). Calculamos el otro
cateto, aa, por Pitágoras:
Pero como el clavadista cae a 1 metro de la plataforma,

la longitud de la piscina es 9,46 metros.
Para calcular la altura ala de la plataforma nos

ayudamos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa
Luego el área de la región es (base por altura
mide 11,2m y cuya base mide 9,46m:
dividido entre 2)
Repetimos este procedimiento para las otras regiones.
Ejemplo 2. Un clavadista está entrenando en una

piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae Por tanto, la altura de la plataforma es de casi
a una distancia de 1 metro de la plataforma 6 metros por encima del nivel del agua.
sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la
superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo Ejercicios:
una línea transversal de 8,8 metros de longitud.
1. ¿Cuánto mide La diagonal de un rectángulo
de lados 2cm y 4cm?
2. Cual es la medida de los catetos de un

triángulo isósceles, si la hipotenusa mide
10 cm
Si la longitud desde la parte superior de la plataforma

al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros,
8
SEMANA 11-12
3. Se desea pintar un cuadrado inscrito en una

circunferencia de radio R= 5cm como se
muestra en la figura:
Calcular el área del cuadrado.

6. Desde un balcón de un castillo en la playa se
ve un barco a 75 metros, cuando realmente
4. se encuentra a 80 metros del castillo. ¿A qué
altura se encuentra ese balcón?
7. Si nos situamos a 160 metros de distancia de

un rascacielos, la visual al extremo superior del
mismo recorre un total de 350 metros. ¿Cuál
es la altura total del rascacielos?
Hallar las medidas de los lados de una vela con forma

de triángulo rectángulo si se quiere que tenga un área
de 45 2 y que uno de sus catetos mida 6 metros para
que se pueda colocar en el mástil.
5. Una escalera de 4,5 m se apoya en una pared

vertical de modo que el pie de la escalera está
a 2 m de la pared. ¿Qué altura, en centímetros
alcanza la escalera?
8. La figura siguiente está formada por
cuadrados de distintitos tamaños, siendo el
número de cada cuadrado la longitud del lado
de dicho cuadrado (primeros términos de la
serie de Fibonacci).
9
SEMANA 11-12
Si una recta paralela a un lado de un

triángulo interseca los otros dos lados
del triángulo, entonces la recta divide
esos dos lados proporcionalmente
Teorema de Thales: Si dos rectas

cualesquiera son cortadas por rectas paralelas,
Se desea calcular la longitud de la cuerda de color los segmentos que determina en una de las
rojo. rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes de la otra.
9. Si nos situamos a 140 metros de
distancia de un cohete, la visual al
extremo superior del mismo recorre un
total de 150 metros. ¿Cuál es la altura
total del cohete?
Ejercicios
1. Calcular el valor de x y de y aplicando
10. Los radios de las circunferencias de la figura el Teorema de Thales
miden 1 y 2 metros
2 . Sabiendo que las

Y el segmento rojo que las une mide rectas r, s y t son paralelas, la
longitud de x es
Se desea calcular la distancia, L, que hay
entre los centros de las circunferencias.
Proporciones: Una proporción es una

igualdad entre dos razones.
10
SEMANA 11-12
calcular a y b.
3. Sabiendo que las

rectas r, s y t son paralelas, las
longitudes que faltan son: 7. Observando la escalera que aparece en el
dibujo calcula la longitud de la cuerda que
une los peldaños de la
escalera con su parte posterior .
4. Sean a y b dos rectas cualesquiera y r y s

dos r ectas que las cortan . Si los
segmentos que determinan a y b son m =
5 .5, n = 4, m' = 2 .5 y n' = 2 entonces,
8. Hallar las medidas de los segmentos a

r y s son?
y b.
5. Sabiendo que el segmento DE es paralelo a

la base del triángulo, las
medidas de los
segmentos a y b son ...
Función lineal:
En geometría analítica y álgebra elemental,

una función lineal es una función polinómica de primer
grado, es decir, una función cuya representación en el
plano cartesiano es una línea recta. Esta función se
puede escribir como:
()= +
6. Sabiendo que los segmentos qu e miden 3

cm y 4 cm son paralelos,
11
SEMANA 11-12
3. Si la carretera se hubiera construido toda al ritmo de

los dos primeros años, la gráfica que muestra la
relación entre la cantidad de kilómetros y el tiempo
invertido en su construcción sería
CONTESTA LAS PREGUNTAS 1, 2 Y 3

TENIENDO EN CUENTA LA SIGUIENTE
INFORMACIÓN
En la siguiente gráfica se muestra la cantidad de
kilómetros y el tiempo invertido por una empresa en la
construcción de una carretera
RESPONDE LAS PREGUNTAS 4 Y 5 DE ACUERDO

CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
A continuación, se presenta la gráfica que muestra la
relación entre el consumo mensual en metros cúbicos y
la tarifa de pago mensual, del servicio de agua
1. ¿Cuántos kilómetros se han construido en los 5

primeros años?
A. 400 km
B. 450 km
C. 500 km
D. 550 km
2. Teniendo en cuenta la información presentada en la

gráfica, es correcto afirmar que
A. entre el cuarto y quinto año se construyeron 400 4. Si x representa el consumo mensual en metros
km B. durante el décimo año se construyeron 1000 km cúbicos, la expresión que representa el costo
C. durante el séptimo año se construyeron 600 km mensual para consumos menores de 40 metros
D. entre el séptimo y noveno año no se construyó cúbicos es
carretera 5.
A. 500x
12
SEMANA 11-12
B. 22.000x Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7,

C. 22.000 + x 5) y P 2 (4, 1)
D. 22.000 + 500x
5. Si un usuario pagó 37.000 pesos por el consumo

mensual, el número de metros cúbicos que consumió en
dicho mes está entre
A. 0 y 20
B. 20 y 40
C. 40 y 50
D. 50 y 60
Punto medio en matemática, es el punto que se

6. Encuentra las coordenadas de los vértices del
encuentra a la misma distancia de cualquiera
triangulo en el plano cartesiano.
otros dos puntos o extremos de un segmento
7. Encuentra el perímetro y el área del triangulo de

plano cartesiano del punto anterior
Pendiente de una recta Sean P1 (x1; y1) y (x2; y2), P2
dos puntos de una recta, no paralela al eje Y;
la pendiente: Es la tangente del ángulo que forma
Distancia, Punto medio y pendiente de una la recta con el semieje X positivo.
recta
Distancia: Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1),

B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B),
como la longitud del segmento que los separa
Calcula la distancia entre cada par de puntos y determina
las coordenadas de los puntos medios de los segmentos
respectivos, considera que los extremos de los segmentos
son los puntos dados en cada uno.
a) (-3,5) y (-7,1)
b) (-1,5) y (2, -4)
c) (-4,-3) y (2,5)
d) (15,4) y (-3,-2)
e) (1/2, 0) y (0, - 1/2)
(1) f) (3/2, ½) y ( -5/2, 7/2)
13
SEMANA 13-14
SEMANA 13-14
1
SEMANA 13-14
2
SEMANA 13-14
3
SEMANA 13-14

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MODULO RAZONAMIENTO

2. DESCRIPCIÓN DEL CURSO

Este taller es obligatorio y se imparte en el primer semestre de Licenciatura en Matemáticas. Está

3. JUSTIFICACIÓN DEL CURSO

4. PRÓPOSITO GENERAL DEL CURSO

Son propósitos de este curso:

5. COMPETENCIA GENERAL DEL CURSO

Al analizar el curso, el estudiante desarrollarán las siguientes competencias:

6. PLANEACIÓN DE LAS UNIDADES DE FORMACIÓN

Uso de herramientas cuantitativas para

SICVI cuantitativas y las

Diseño de planes, estrategias,

algebraicas básicas. genera cuenta:

Uso de herramientas cuantitativas para

formatos: asignación de medio de curso

7. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA DEL CURSO

Valbuena D. Sonia. Competencias en Razonamiento cuantitativo: notas de clase,

8. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA DEL CURSO

Razonamiento cuantitativo: notas de clase, Rojas Álvarez, Carlos, Universidad del

Módulo de Razonamiento Cuantitativo- Saber Pro. ICFES, 2016

Operaciones, relaciones, propiedades y

Combinaciones y permutaciones como

Conceptos básicos de probabilidad. Taller,

10 4 Actividad para el 2 parcial

Cra. 30 No. 8 – 49 Puerto PBX: (5) 3852266

En un pequeño pueblo al noreste de

a. 06:00 5. Carlos tiene una caja con 24 bolígrafos

3. Los balones de fútbol y de baloncesto de 7. Sergio se comió 2/5 de una caja de 30

9. En un instituto hay 120 alumnos en 15. Los estudiantes de 2º de ESO de un

24. Una persona realiza 3/5 partes de un viaje

25. Una botella de limonada tiene tres cuartos

27. Un parque tiene un estanque cuadrado

28. Un carpintero tiene un tablero de madera

PORCENTAJES 3. Por haber ayudado a mi hermano en un

8. Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo que

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 12. A un trabajador que ganaba 1300 euros

LA REGLA DE TRES Pregunta------7 hombres x días

Supuesto----- 4 hombres, 12 días 3) Se emplean y" días para hacer 80 m. de

Ejemplo #9: Regla de tres compuesta: MÉTODO PRÁCTICO

1) 3 hombres hacen la obra en 10 días Ejemplo #10

5 hombres la harán en y días. 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En

13. Un móvil recorre 360m 4 minutos. ¿Cuánto

21. Dos números están en relación de 5 a 3. Si el a) 20 b) 24 c) 26 d) 21 e) 22

22. Dos números están en relación de 19 a 17. Si

1. Se averigua lo que produce un peso en 1 año: un

6. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital al 6%?

11*. Un comerciante, con el fin de atraer clientes,

3. Una persona compra una caja que contiene 12

4. Un ganadero, a fin de que el forraje que posee sea

Estadística Descriptiva: Conjunto de métodos para tiene mayor frecuencia.

centralización, aunque también se conoce como

centro, si el número de elementos es par se toman los

Estadístico: Medida característica de la muestra.

Parámetro: Medida característica numérica de la 1. La compañía “Estudios estadísticos” con sede en

3. A partir de un estudio de 376 mujeres divididas en

4. De 2300 directores colectivos de finanza

5. En una encuesta realizada a alumnos de último año

Identifique la población de estudio. se le denomina variable cualitativa o atributo.

Las observaciones de una variable continua pueden