Apuntes Fis II
Apuntes Fis II
Apuntes Fis II
(Desde el 2009)
(EN EDICION Y REVISION) FISICA
GENERAL
UNA INTRODUCCION A LOS
Licenciado en Física
Profesor agregado del Departamento de Física
Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)
tsoldovieri@luz.edu.ve
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve
www.cmc.org.ve/tsweb
FISICA GENERAL
Una introducción a los fluidos, vibraciones y termodinámica
I MECANICA DE FLUIDOS 1
1 Hidrostática 3
I
ÍNDICE
2 Hidrodinámica 57
II VIBRACIONES 105
3 Oscilaciones 107
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ÍNDICE
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ÍNDICE
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ÍNDICE
6 Calorimetría 335
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ÍNDICE
B Derivación 423
D Minibiografías 431
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ÍNDICE
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ÍNDICE
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LISTA DE ILUSTRACIONES
IX
LISTA DE ILUSTRACIONES
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LISTA DE ILUSTRACIONES
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LISTA DE ILUSTRACIONES
2.31 Problema 62: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.103
2.32 Problema 63: Dispositivo automático para un calentador de agua. . . . . 104
3.1 Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo kx. . 108
3.2 Interpretación de 'o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3 Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero. . . 123
3.4 Energía en el oscilador armónico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.5 Fuerzas actuantes en un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.6 Fuerzas en un péndulo físico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.7 Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida
por uno de sus extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.8 Ejemplo 3.30: Un anillo de radio r suspendido de una varilla. . . . . . . . . 144
3.9 Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por
una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.10 Oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.11 Oscilador sub-amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.12 Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.13 Variación de A en un oscilador forzado ( 1 < 2 ). . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.14 Variación de la amplitud de la velocidad respecto a ! f . . . . . . . . . . . . 171
3.15 Problema 39: Sistemas con dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.16 Problema 45: Masa unida a dos resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.17 Problema 46: Péndulo físico formado por una varilla y dos esferas macizas. 178
3.18 Problema 91: Péndulo simple con punto de inflexión. . . . . . . . . . . . . . 185
3.19 Problema 114: Péndulo cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.20 Problema 117: Barra homogénea delgada que cuelga de un punto me-
diante dos hilos inextensibles y sin masa atados a sus extremos. . . . . . . . 189
3.21 Problema 119: Dos resortes están enganchados por uno de sus extremos
a un bloque que puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie
horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.22 Problema 121: Varilla metálica delgada y uniforme que pivota sin roza-
miento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendicular
a la varilla y que esta unida a un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
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LISTA DE ILUSTRACIONES
4.5 (a) Frente de onda plano, (b) frente de onda cilíndrico, (c) frente de
onda circular y (d) frente de onda esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.6 Cuerda en la cual se hace propagar una perturbación o pulso hacia la
derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.7 Ilustración de un pulso del tipo f (x vt) que se mueve en sentido +x y
f (x + vt) que se mueve en sentido x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.8 Superposición de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en
la misma cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.9 Onda senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.10 Representación de una onda senoidal progresiva. . . . . . . . . . . . . . . 205
4.11 Efecto de la constante de fase 'o sobre una onda. Nótese que en una
gráfica contra t “adelante de” significa “a la izquierda de”, mientras
que en una gráfica contra x “adelante de” significa “a la derecha de”. 209
4.12 Pulso en una cuerda tensa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.13 (a) “Instantánea” de un pulso de onda que se mueve hacia la derecha
en la cuerda con una velocidad v. (b) Fuerzas sobre la pequeña (pero
no infinitesimal) parte del pulso de longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.14 Barra eslástica antes y después de ser deformada. . . . . . . . . . . . . . . 218
4.15 Elemento de una barra elástica de sección S en la posición x de anchura
dx que, a causa de una perturbación, se traslada , y se deforma d , de
modo que la nueva anchura del elemento es dx + d . . . . . . . . . . . . . 218
4.16 Fuerzas sobre un elemento de una barra elástica. . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.17 Tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. . . . . . . . . . 220
4.18 Elemento de fluido de masa masa o Sdx en el cual se muestran las pre-
siones aplicadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.19 Ejemplo 4.10: Trazo del desplazamiento en función de la posición en el
tiempo t = 0, para una onda transversal que viaja por una cuerda. . . . . 227
4.20 Ejemplo 4.11: Alambre tenso sobre el cual se generen pulsaciones en sus
extremos, separadas por un intervalo de tiempo t. . . . . . . . . . . . . . 228
4.21 Elemento de masa m y longitud x de una cuerda sobre la cual viaja
una onda senoidal hacia la derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.22 Intensidad de una onda esférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.23 Pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas
unidimensionales armónicas en un tubo largo y delgado que contiene un
fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.24 Comparación entre s y p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
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LISTA DE ILUSTRACIONES
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LISTA DE ILUSTRACIONES
4.46 Ejemplo 4.61: Fuente sonora que se mueve en una trayectoria circular
con rapidez constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.47 Ondas de choque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.48 Onda de choque en una cubeta de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.49 Ejemplo 4.64: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . . 290
4.50 Ejemplo 4.65: Estampido sónico originado por un avión supersónico. . . . 291
4.51 Problema 23: Onda de choque de un avión supersónico. . . . . . . . . . . 302
4.52 Estructura de un fenómeno termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
4.53 Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
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LISTA DE ILUSTRACIONES
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LISTA DE TABLAS
XVII
Prefacio
E
l presente texto constituye un intento de ...
XIX
Parte I
MECANICA DE FLUIDOS
1
CAPÍTULO 1
Hidrostática
Las partículas que componen un líquido no están rígidamente adheridas entre sí,
pero están más unidas que las de un gas. El volumen de un líquido contenido en
un recipiente hermético permanece constante, y el líquido tiene una superficie límite
definida. En contraste, un gas no tiene límite natural, y se expande y difunde en el
aire disminuyendo su densidad. A veces resulta difícil distinguir entre sólidos y fluidos,
porque los sólidos pueden fluir muy lentamente cuando están sometidos a presión,
como ocurre por ejemplo en los glaciares.
3
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
m
= (1.1)
V
donde m es la masa de una cantidad de sustancia cuyo volumen es V .
1
En [3] pág. 385 y en [4] pág. 252, podemos encontrar también tablas con las densidades de ciertos
materiales.
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1.1. DENSIDAD ABSOLUTA, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO
R = (1.2)
H2 0 (40 C)
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
w
= (1.3)
V
donde w es el peso de la sustancia. O al utilizar (1.1) y tener presente que w = mg,
entonces,
= g (1.4)
Ejemplo 1.1: Hallar la densidad y la densidad relativa de la gasolina sabiendo que 51g
de ésta ocupan un volumen de 75 cm3 .
m 51 g
= = = 0; 68 g=cm3
V 75 cm3
y, al usar (1.2),
0; 68 g=cm3
R = = = 0; 68
H2 0 (40 C) 1; 00 g=cm3
Ejemplo 1.2: Hallar el volumen que ocupan 300 g de mercurio sabiendo que su densi-
dad es de 13; 6 g=cm3 .
m 300 g
V = = = 22; 1 cm3
13; 6 g=cm3
Ejemplo 1.3: Calcular la densidad, el peso específico y la densidad relativa del alu-
minio, sabiendo que 3 m3 pesan 8100 Kp.
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1.1. DENSIDAD ABSOLUTA, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO
w 8100:9; 8 N
m= = = 8100 Kg
g 9; 8 m=s2
ahora, al usar (1.1), (1.3) y (1.2), se obtiene,
m 8100 Kg
= = = 2700 Kg=m3
V 3 m3
w 8100 Kp
= = 3
= 2700 Kp=m3
V 3m
2700 Kg=m3
R = = = 2; 7
H2 0 (40 C) 1; 00:103 g=cm3
Ejemplo 1.4: Una estrella de neutrones es mucho menor que nuestro Sol, y tiene la
densidad de un núcleo atómico. Una estrella de neutrones característica tiene
un radio de 10 Km y una masa de 2:1030 Kg, la masa del Sol. ¿Cuánto pesaría
un volumen de 1 cm3 de esa estrella, bajo la influencia de la gravedad en la
superficie de la Tierra?.
3 mest 3 2:1030 Kg 18 Kg
est = 3
= 3 = 0; 5:10
4 rest 4 3; 14: (10:10 m)
3 m3
g
= 0; 5:1012 3
cm
Por último, la masa de 1 cm3 de esa estrella, a partir de (1.1), vendrá dada por,
g
m= est V = 0; 5:1012 :1cm3 = 0; 5:1012 g
cm3
y su peso w es,
cm
w = mg = 0; 5:1012 g:980 2
= 4; 90:1014 dinas
s
= 4; 90:109 N
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
Ejemplo 1.5: Determinar la masa y el peso del aire en una habitación, cuya área del
suelo es de 20 m2 y la altura, 3; 0 m. Densidad del aire 1; 29 Kg=m3 .
V = 20 m2 :3; 0 m = 60 m3
y el peso w será,
m
w = mg = 77; 4 Kg:9; 8 = 7; 6:102 N
s2
Ejemplo 1.6: El oro puede aplastarse hasta obtener un grosor de 0; 10 m. ¿Qué super-
ficie puede recubrirse con una hoja de oro si su masa es de 2; 0 g?. Densidad del
oro 1; 93:104 Kg=m3 .
V = Sd
2; 0:10 3 Kg
S= = 1; 04 m2
1; 93:104 Kg=m3 :0; 10
Ejemplo 1.7: Una pieza de hierro fundido con volumen exterior de 3; 1 dm3 posee la
masa de 21 Kg. ¿Existen en ella oquedades? Si existen, ¿qué volumen ocupan?.
Densidad del hierro fundido 7; 4:103 Kg=m3 .
m 21Kg Kg
= = 3 3
= 6; 8:103 3
Vext 3; 1:10 m m
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1.1. DENSIDAD ABSOLUTA, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO
que, como no son iguales, significa que la pieza posee oquedades. Ahora, siendo V
el volumen real del hierro que constituye la pieza y Voq el volumen de las oquedades,
podemos escribir,
V = Vext Voq
Ejemplo 1.8: Una aleación de oro y plata con densidad de 1; 4:104 Kg=m3 tiene la masa
de 0; 40 Kg. Determinar el porcentaje y la masa de oro en la aleación, con-
siderando que el volumen de la aleación es igual a la suma de los volúmenes de
sus partes integrantes.Se sabe que la densidad del oro es 1; 93:104 Kg=m3 y la de
la plata es 1; 05:104 Kg=m3 .
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
mAu
VAu = (6)
Au
mAg
VAg = (7)
Ag
o también,
1 1 1 mAg
= f+ (10)
Au Ag m
mAg
Ahora, al sustituir (3) en (10) para m
resulta,
1 1 1
= f+ (1 f) (11)
Au Ag
de donde,
Au Ag
f= (12)
Au Ag
f = 0; 548 (13)
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1.2. ACCIONES MECÁNICAS SOBRE LOS FLUIDOS
!
La fuerza de volumen saliente del elemento de volumen dV es indicada con d F V y
puede ser expresada mediante la relación:
! !
d F V = G dm (1.5)
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
!
que evidencia la proporcionalidad directa a la masa, donde G representa un vector
que tiene las dimensiones de una aceleración. Por ejemplo, en el caso de que la
!
fuerza de volumen sea sólo el peso, se tiene que G = !g ; donde !
g es la aceleración
debida a la gravedad.
! !
Es de utilidad el descomponer d F S en una componente d F Sn normal a dS y una
!
componente d F St tangencial a dS: Estas componentes se les denominan esfuerzos y
se definen como:
dFnS
p= (esfuerzo normal) (1.6)
dS
dFtS
(esfuerzo tangencial o de corte)
= (1.7)
dS
Notemos que los esfuerzos, que son cantidades escalares, poseen las dimensiones
de una fuerza por unidad de superficie.
1.3.1 La presión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que pro-
voca dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre
la superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace
que penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el
mismo impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se
hunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre
una mayor superficie, puede caminar sin dificultad.
Existe una diferencia en la manera en que una fuerza superficial actúa sobre un
fluido y sobre un sólido. En un sólido no existe ninguna restricción respecto a la direc-
ción de tal fuerza, pero en un fluido en reposo, la fuerza superficial debe estar siempre
dirigida perpendicularmente a la superficie de dicho fluido (ver figura 1.2). Un fluido en
reposo no puede soportar una fuerza tangencial, ya que, en ese caso, las diferentes
capas de fluido simplemente resbalarían unas sobre las otras (de hecho, es esta habi-
lidad de los fluidos para resistir dichas fuerzas tangenciales lo que les permite cambiar
su forma o fluir). Por lo tanto, para un fluido sin movimiento el esfuerzo de corte (1.7)
es nulo, siendo no nulo el esfuerzo normal (1.6) al cual se le da el nómbre de presión.
Podemos escribirla simplemente como,
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1.3. LA PRESIÓN Y SUS UNIDADES
Figura (1.2): La componente tangencial de la fuerza de superficie en un fluido en reposo debe ser nula
porque, de lo contrario, dicha componente haría que el fluido fluyera.
dF
p= (1.8)
dS
donde suponemos de antemano que dF es el elemento de fuerza normal aplicado
sobre el elemento de superficie dS. Entonces,
En forma no diferencial,
F
p= (1.9)
S
1.3.2 Unidades
De acuerdo con (1.8) las unidades de presión se obtienendividiendo las unidades
de fuerza entre las unidades de superficie.
Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sis-
tema de unidades en particular han sido consagradas por el uso y se siguen usando
en la actualidad junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar.
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
Masa = volumen:densidad
Fuerza
Presión =
Superficie
Como el volumen del cilindro que forma la columna es igual a la superficie de la
base por la altura, se tendrá:
masa.9; 8m=s2
Presión = 1 atm =
Superficie
Superficie:0; 76m:13; 6:103 Kg=m3 :9; 8m=s2
=
Superficie
es decir:
1 atm = 1; 013:105 P a
din
1 bar = 1 = 0; 1 P a
cm2
Ejemplo 1.9: Calcular la presión, en pascales, ejercida por una tachuela cuya punta
tiene una sección transversal de 0; 02 mm2 , cuando sobre ella se aplica una fuerza
de 0; 5 Kp.
F 0; 5:9; 8 N
p= = = 2; 45:108 P a
S 0; 02:10 6 m2
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1.3. LA PRESIÓN Y SUS UNIDADES
Ejemplo 1.10: Un cuerpo en forma de cubo tiene una arista de 16 cm y un peso especí-
fico de 2; 4 p=cm3 . Calcular la presión que ejerce sobre el suelo apoyándose sobre
una de sus caras.
Solución: La superficie S de una cara del cubo de arista a vendrá dada por (por ser
cuadradas las caras de un cubo),
S = a2
y su volumen por,
V = a3
Por otro lado, al usar (1.3),
w= V =F
Entonces, al usar (1.9),
F V a3
p = = = 2 = a
S S a
p p
= 2; 4 3 :16 cm = 38; 4
cm cm2
Ejemplo 1.11: Calcular la fuerza que actúa sobre el tapón de un colchón de aire de
los usados en las playas, sabiendo que tiene una presión de 1; 4 atm y que el radio
del tapón es de 1; 5 mm.
S = r2
F = pS = r2 p
2 N
= 3; 14: 1; 5:10 4 m : 1; 4:1; 013:105
m2
= 0; 01 N
S = r2
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
Por otro lado, a partir de (1.3) su peso w que es igual a la fuerza F que la misma
ejerce, viene dado por,
w= V =F
entonces, al usar (1.9),
F V r2 h
p = = 2 = = h
S r r2
p p
= 4; 3 3 :1; 8.102 cm = 774
cm cm2
Es interesante hacer notar que la presión no depende del radio de la columna de
concreto y sólo depende de su altura. Un comportamiento análogo observaremos,
más adelante, para columnas de fluido en reposo sobre una superficie.
1.4 Manómetros
La mayoría de los medidores de presión, o manómetros, miden la diferencia entre
la presión de un fluido y la presión atmosférica local. Para pequeñas diferencias de
presión se emplea un manómetro que consiste en un tubo en forma de U con un
extremo conectado al recipiente que contiene el fluido y el otro extremo abierto a la
atmósfera. El tubo contiene un líquido, como agua, aceite o mercurio, y la diferencia
entre los niveles del líquido en ambas ramas indica la diferencia entre la presión del
recipiente y la presión atmosférica local. Para diferencias de presión mayores se utiliza
el manómetro de Bourdon, llamado así en honor al inventor francés Eugène Bourdon.
Este manómetro está formado por un tubo hueco de sección ovalada curvado en
forma de gancho. Los manómetros empleados para registrar fluctuaciones rápidas de
presión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o electrostáticos que proporcionan una
respuesta instantánea.
Debido a lo anterior, hay que sumar presión atmosférica al valor indicado por el
manómetro para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro co-
rresponde a un vacío parcial.
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1.5. RANGO DE PRESIONES
Con fines experimentales se han obtenido presiones del orden de millones de at-
mósferas, y la fabricación de diamantes artificiales exige presiones de unas 70000 at-
mósferas, además de temperaturas próximas a los 3000 C.
! ! !
d F SEF GH d F SABCD + d F Vy = 0 (1.10)
Ahora, indicando con (x; y; z) las coordenadas de la cara EF GH y con (x; y + dy; z)
las coordenadas de la cara ABCD; la expresión 1.10 se puede escribir como:
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
Figura (1.3): Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen para la obtención de las ecuaciones
fundamentales de la Hidrostática.
@p
= Gy (1.12)
@y
Procediendo de manera análoga con los otros dos ejes, se obtiene (ejercicio):
8
> @p
>
> = Gx
>
< @x
@p
= Gy (1.13)
>
> @y
>
>
: @p = G
z
@z
que representan las ecuaciones fundamentales de la hidrostática.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 18
1.7. PRESIÓN VS ORIENTACIÓN
Figura (1.4): Elemento de volumen soportando fuerzas de volumen con diferentes direcciones.
dS 0 Cos = dS (1.16)
en consecuencia,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 19
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
!
Figura (1.6): G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gravedad esté dirigida
a lo largo del eje z.
!
G = (0; 0; g) (1.18)
! !
d F V = G dV = !
g dV (1.19)
entonces, para este caso en particular, las ecuaciones 1.13 quedan escritas como:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 20
1.8. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN
Figura (1.7): Los puntos del plano imaginario están sometidos a la misma presión.
8
> @p
>
> =0
>
< @x
@p
=0 (1.20)
>
> @y
>
> @p
: = g
@z
indicándonos que:
@p dp
= = g ) dp = gdz (1.21)
@z dz
y, al integrar la ecuación (1.21) con las condiciones mostradas en la figura 1.8, resulta:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 21
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
pA = pB + h (1.23)
ph = gh = h (1.24)
Para las situaciones ordinarias de un líquido en un recipiente abierto (como el agua
de una piscina, un lago o el océano) existe una superficie libre en la parte superior, por
lo tanto, es conveniente medir las distancias desde esta superficie, es decir, hacemos
que h sea la profundidad en el líquido como se muestra en la figura 1.9 donde pB = po
representa la presión debida a la atmósfera de encima. Entonces,
p = po + gh (1.25)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 22
1.8. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN
Su nombre proviene de los manómetros ya que, como vimos en la sección 1.4, esta
sería justametnte la que mediría un instrumento de este tipo.
Ejemplo 1.13: Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo la
profundidad es de 3; 5 m y en el otro de 1 m. La piscina tiene 15 m de largo y 7 m
de ancho. Hallar la fuerza total sobre el fondo.
Figura (1.10): Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina con fondo inclinado.
Si tomamos como base la cara abcd que es un trapecio, entonces el volumen interior
de la piscina de largo L y ancho A vendrá dado por,
(h1 + h1 ) L
V =
A (1)
2
Ahora bien, la fuerza F total sobre el fondo de la piscina no es más que el peso w
del líquido contenido en ella. Este peso, vendrá dado por,
w = mg = F (2)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 23
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 24
1.8. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN
Kg m
p = po + gh = 1; 01:105 P a + 1; 03:103 3
:9; 8 2 :1m
m s
= 1; 01:105 P a + 1; 00:105 P a = 2; 01:105 P a
Figura (1.11): Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo inferior en
una cubeta abierta de mercurio.
pero p2 = 0, puesto que hemos evacuado todo el aire en este punto y p1 es la presión
atmosférica, entonces,
1; 01:105 P a
H= = 0; 76 m
13; 6:103 Kg
m3 :9; 8 m
s 2
Ejemplo 1.19: Un depósito cúbico, sellado, de 1; 5 m de arista está lleno de agua. Hallar
la fuerza que se ejerce (a) sobre el fondo y (b) sobre una de las caras laterales.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 25
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
(a) La presión ejercida sobre el fondo viene dada por (1.25) con po = 0,
p = gh (1)
S = L2 (2)
F = pS (3)
(b) La figura 1.12 muestra una de las caras del cubo, en la cual se ha dibujado un
elemento de superficie dS que viene dado por,
dS = Ldz (5)
y además,de (1.8),
dF
p= (6)
dS
por lo tanto,
dF = pLdz (7)
y de (1.21),
dp
dz = (8)
g
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1.8. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN
F = 132300 N
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
p
1z p ln p0
0;116Km 1
p = p0 e ) ln = 0; 116Km z ) z = 1
p0 0; 116Km
ln 0;5 atm
1 atm
) z= 1
) z = 5; 98 Km
0; 116Km
0;116Km 1z 0;116Km 1 :3 Km
p = p0 e = 1 atm e
0;348
= e atm = 0; 706 atm
Ejemplo 1.22: Calcular la fuerza que ejerce la atmósfera terrestre sobre un cuerpo
cuya sección transversal es de 10 m2 a una altura de 5 Km sobre el nivel del mar.
0;116Km 1z 0;116Km 1 :5 Km
p = p0 e = 1 atm e
0;58
= e atm = atm
y ahora de (1.9),
F = pS = :10m2 = P a
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1.9. VASOS COMUNICANTES
Los puntos sobre C están a la misma presión (¿por qué?), por lo tanto, la disminución
de la presión desde C en cada superficie es la misma, puesto que, cada superficie está
a la presión atmosférica (los extremos están descubiertos). De todo esto podemos
escribir:
h1 2
= (1.29)
h2 1
La ecuación (1.29) puede ser escrita en función de los pesos específicos al usar
(1.4), resultando,
h1
= 2 (1.30)
h2 1
Ejemplo 1.23: En un tubo en forma de U hay dos líquidos no miscibles que alcanzan
alturas de 14 cm y 9 cm, respectivamente. Si el más denso tiene un peso específico
de 1; 3 p=cm3 , calcular el peso específico del más liviano.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 29
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
h1 2
= (1)
h2 1
V2 250cm3
V2 = Sh2 ) h2 = = = 50 cm (2)
S 5cm2
donde V2 es el volumen de agua y S es la sección del tubo. Al sustituir (2) en (1), se
obtiene,
1 cmp 3
h1 = 2 h2 = 50 cm = 3; 70 cm
1 13; 6 cmp 3
entonces, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2 h1 = 50 cm 3; 70 cm = 46; 3 cm
Ejemplo 1.25: Se vierten mercurio y agua por un tubo en forma de U de sección trans-
versal 2 cm2 . Si se vierten 163; 2 cm3 de agua y a continuación cierta cantidad de
mercurio, como se señala en la figura 1.14, calcular la diferencia de niveles entre
los líquidos.
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1.9. VASOS COMUNICANTES
V2 163; 2 cm3
V2 = Sh2 ) h2 = = = 81; 6 cm
S 2 cm2
entonces, al usar (1.29), se obtiene,
h1 2 2 1 cmg 3
= ) h1 = h2 = 81; 6 cm = 6 cm
h2 1 1 13; 6 cmg 3
por lo tanto, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2 h1 = 81; 6 cm 6 cm = 75; 6 cm
Figura (1.15): Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua y mercurio.
Es fácil notar que la altura a la cual se eleva el mercurio con respecto a su nivel en
la figura 1.15(a) es,
hHg
h= (1)
2
donde hHg es la altura de la columna de mercurio con respecto al eje que pasa por la
interface como se muestra en la figura 1.15(b).
hHg H2 O H2 O
= ) hHg = hH2 O (2)
hH2 O Hg Hg
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
1.10.1 Enunciado
Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.13) fueron obtenidas para una
fuerza de volumen cualquiera, que en el caso particular de la fuerza de gravedad
(fuerza conservativa) se reducen al sistema (1.20).
de aquí que,
dp = dU (1.36)
En el interior de un fluido homogéneo (densidad constante), la diferencia de presión
entre dos a y b puntos a distancia finita puede ser obtenida integrando (1.36) como
sigue,
Z b Z b
dp = dU ) pb pa = (Ub Ua )
a a
) p= U (1.37)
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
Ejemplo 1.27: El cuello de un matraz tiene una sección transversal de 3 cm2 y el fondo
de 36 cm2 . Si se llena totalmente con agua y se trata de introducir un corcho
empleando una fuerza de 9 Kp. ¿Cuál es la fuerza sobre el fondo adicional a la
ya aplicada por el fluido que contiene?.(ver figura 1.16).
Figura (1.16): Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno de agua.
Al usar (1.9), la presión p en el cuello del matraz originada por el corcho, viene dada
por,
F 9 Kp Kp
= p=
2
=3
S 3 cm cm2
De acuerdo con el teorema de Pascal este incremento de presión se transmite
inalterado a todos los puntos del fluido. Por lo tanto, según (1.9), la presión p0 sobre el
fondo del matraz es,
F0 Kp
0
) F 0 = pS 0 = 3
p0 = p = 2
:36cm2 = 108 Kp
S cm
Si se quiere hallar la fuerza total sobre el fondo, entonces debe sumarse la fuerza
debida al fluido que contiene.
Ejemplo 1.28: La sección interna del cuello de una botella mide 4 cm2 y la sección de
la base mide 50 cm2 . Está totalmente llena con un fluido de densidad igual a 1; 09
g=cm3 . Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 2 Kp. Calcular la
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 34
1.10. TEOREMA DE PASCAL
fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,
sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 30 cm.
pf = po + f gh
pero po = 0 (la presión atmosférica no actúa sobre la superficie del fluido por estar
tapada la botella), entonces,
g cm din
pf = f gh
3
:980 2 :30 cm = 32046 2
= 1; 09
cm s cm
y la presión pt por (1.9), que calculamos en el cuello,
Ft 2:9; 8:105 din din
pt = = 2
= 490000 2
Scuello 4 cm cm
la cual te trasmite íntegramente hasta el fondo de la botella.
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
pi = po (1.38)
Fi Fo
= (1.39)
Si So
o finalmente,
So Fo
= (1.40)
Si Fi
A la cantidad FFoi se le denomina ganancia mecánica de la prensa
hidráulica y es igual a la razón de las superficies.
Ejemplo 1.29.: Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son
1200 cm2 y 30 cm2 . Si se aplica al émbolo más pequeño una fuerza de 10 Kp, ¿cuál
es la fuerza resultante sobre el otro émbolo?, ¿Cuál es su ganancia mecánica?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 36
1.11. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Solución:
Fo Fi So 1200 cm2
= ) Fo = Fi = 10Kp = 400 Kp
So Si Si 30 cm2
So 1200 cm2
ganancia mecánica = = = 40
Si 30 cm2
lo que significa que la fuerza aplicada sobre el émbolo menor será multiplicada por
40.
Ejemplo 1.30: El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 50 cm ¿qué
fuerza debe aplicarse al émbolo pequeño de radio 4; 5 cm para elevar un coche
de masa 4800 Kg?.
Solución: Si rg y rp son los radios del émbolo grande y del pequeño respectivamente,
estonces sus secciones transversales serán,
Sg = rg2 (1)
Sp = rp2 (2)
y de (1.40),
Sg Fg Sp
= ) Fp = Fg (3)
Sp Fp Sg
Por último, al sustituir (1) y (2) en (3),
2
rp2 rp
Fp = 2 Fg = Fg (4)
rg rg
1.11.1 Enunciado
El Principio de Arquímedes se enuncia como sigue:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 37
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
p1 = po + f gh1 (1.41)
contra la tapa del cilindro, y la fuerza debida a esta presión es:
!
Figura (1.18): Determinación del empuje E de Arquímedes.
F1 = p1 S = po + f gh1 S (1.42)
dirigida hacia abajo. De manera análoga, es trivial encontrar que la fuerza F2 sobre el
fondo del cilindro viene dada por,
F2 = po + f gh2 S (1.43)
dirigida hacia arriba. La fuerza resultante debida a la presión del fluido, que es el
!
empuje de Arquímedes E ; actúa hacia arriba y tiene una magnitud,
E = F2 F1 = f gV (1.44)
o también, al usar (1.4), podemos escribir,
E= f V (1.45)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 38
1.11. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el empuje y el peso del cuerpo, que
no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto (ver figura
1.19).
En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y
por tanto coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
El aire es un fluido y también ejerce una fuerza de empuje. Los objetos comunes
pesan menos en el aire que cuando están en el vacío. Debido a que la densidad del
aire es muy pequeña, el efecto para los sólidos comunes es apenas perceptible. Sin
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 39
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
embargo, existen ciertos objetos que flotan en el aire, por ejemplo los globos llenos de
helio.
Figura (1.20): (a) un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es mayor que su peso;
(b) pero, a medida que emerge, el empuje dismiuye. Entonces (c) cuando las dos fuerzas son de igual
módulo, el cuerpo flota.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 40
1.11. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de una ola
en el mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par de
fuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el momento
del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para recuperar
la verticalidad. Ello se consigue diseñando convenientemente el casco y repartiendo
la carga de modo que rebaje la posición del centro de gravedad, con lo que se
consigue aumentar el brazo del par.
Ejemplo 1.31.: Una pieza fundida pesa 40 Kp y ocupa un volumen de 5 dm3 . Por medio
de una cuerda se suspende en un líquido de densidad relativa 0; 76. Hallar el
empuje de Arquímedes y la tensión de la cuerda.
Solución:
Figura (1.21): Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido mediante una cuerda.
E = f gV = R H2 O gV
Kg m
= 0; 76:1:103 3
:9; 8 2 5:10 3
m3
m s
= 37; 24 N = 3; 8 Kp
La tensión T de la cuerda vendrá dada por el peso aparente del cuerpo en el agua
(ver figura 1.21), por lo tanto,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 41
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
Figura (1.22): Ejemplo 1.32: Tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento que flota en un
lago.
T = wa = w E = 40 Kp 3; 8 Kp = 36; 2 Kp
Ejemplo 1.32.: Una tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento tiene
una longitud L = 1 m, ancho a = 80 cm y profundidad d = 60 cm; su masa es
M = 200 Kg. La tina flota en un lago, ¿cuántas personas de 80 Kg de masa cada
una pueden estar en la tina sin que esta se hunda?.
M g + nmp g = H2 O gadL
H2 O adL M
n =
mp
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 42
1.11. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
1:103 Kg
m3
:0; 8 m:0; 6 m:1 m 200 Kg
n =
80 Kg
= 3; 5
es decir, 3 personas.
Solución: La masa mM g del trozo de magnesio, según (1.1), viene dada por,
mM g = M g VM g (1)
wM g = mM g g = M g gVM g (2)
Por otro lado, al usar (1.44), el empuje E originado por el bromo será,
donde Br y VM g(s) son la densidad del bromo y el volumen del trozo de magnesio que
se encuentra sumergido (que corresponde al volumen de bromo desalojado). Ahora
bien, cuando el trozo de magnesio flota, debe cumplirse que wM g = E. Por lo tanto,
de (2) y (3) se obtiene,
VM g(s) 1; 76 cmg 3
= = 0; 564
VM g 3; 12 cmg 3
Ejemplo 1.34.: Una esfera metálica pesa 29; 4 N en el aire y 18; 5 N en el agua. ¿Cuál
es su densidad?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 43
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
waH2 O = we E (1)
Por otro lado, el empuje de Arquímedes E que ejerce el agua sobre la esfera
metálica viene dado (con f igual a la densidad del agua H2 O ), según (1.44), por,
E= H2 O gV (2)
donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por la esfera, que como está
completamente sumergida, es igual a su volumen Ve . Por lo tanto, al sustituir (2) en (1),
se obtiene,
waH2 O = we H2 O gVe
we waH2 O
Ve = (3)
H2 O g
Por último, la densidad de la esfera la podemos encontrar usando (1.1), esto es,
me
e = (4)
Ve
y sustituyendo (3) en (4) resulta,
me g
e = H2 O (5)
we waH2 O
pero me g = we , entonces,
we
e = H2 O (6)
we waH2 O
que al sustituir los correspondientes valores, resulta,
Kg 29; 4N Kg
e = 1:103 3
= 2; 7:103 3
m 29; 4N 18; 5N m
Ejemplo 1.35.: Un globo de plomo lleno de aire, con radio externo R = 0; 1 m, se en-
cuentra totalmente sumergido en un tanque de agua. ¿Cuál es el espesor t de
la capa de plomo, si el globo ni flota ni se hunde (se encuentra en equilibrio)?. La
densidad del plomo es P b = 11; 3:103 Kg=m3 .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 44
1.11. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Figura (1.23): Ejemplo 1.35: Globo de plomo lleno de aire, con radio externo R, totalmente sumergido
en un tanque de agua.
Por otro lado, el empuje de Arquímedes E que ejerce el agua sobre el globo viene
dado (con f igual a la densidad del agua H2 O ), según (1.44), por,
E= H2 O gV (7)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 45
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por el globo, que como está
completamente sumergido, es igual a su volumen externo (V = Vext ). Por lo tanto, al
usar (2),
4
E = H2 O gVext = gR3 (8)
3 H2 O
Ahora bien, como el globo se encuentra en equilibrio,
wP b = E (9)
entonces, al sustitur 6 y 8 en 9, obtenemos,
4 4
P bg R3 (R t)3 = H2 O gR
3
3 3
Pb R3 (R t)3 = H2 O R
3
r
H2 O
t = R 1 3
1
Pb
de aquí que, s !
3
1:103 Kg
m3
t = 0; 1 m 1 1 = 0; 003 m = 3 mm
11; 3:103 Kg
m3
1.12 Problemas
1. El patrón del kilogramo de masa está hecho de una aleación que consta del 90
por 100 de platino y el 10 por 100 de iridio. Determinar la densidad de la aleación
y el volumen del patrón, considerando el volumen de la aleación igual a la suma
de los volúmenes de las partes integrantes. Densidad del platino 2; 15:104 Kg=m3 y
densidad del iridio 2; 24:104 Kg=m3 . Resp.: 2; 16:104 Kg=m3 ; 4; 62:10 5 m3 .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 46
1.12. PROBLEMAS
6. Obtener (1.27).
8. Hallar la densidad absoluta y relativa del alcohol etílico, sabiendo que 63; 3 g ocu-
pan un volumen de 80; 0 cm3 . Resp.: 0; 791 g=cm3 , 0; 79L:
10. Calcular el peso de medio metro cúbico de aluminio cuya densidad relativa vale
2; 70. Resp.: 1350 Kp:
11. Un bidón tiene capacidad para contener 110 Kp de agua o 72; 6 Kp de gasolina.
Hallar:
12. El metal osmio, denso, y el butano líquido a la temperatura ambiente, ligero, tienen
densidades relativas de 22; 5 y 0; 6, respectivamente. Calcular el peso específico del
osmio en Kp=cm3 y la densidad del butano en Kp=L. Resp.: 2; 25:10 2 Kp=cm3 ; 0; 6
Kp=L.
13. Un volumen de 0; 7752 m3 de aire pesa 1 Kp. Hallar la densidad del aire en g=cm3 y
en g=L. Resp.: 1; 29:10 3 -g=cm3 y 1; 29 g=L.
14. Una plancha de goma espuma, de 33 x 24 x 6; 40 cm, tiene una masa de 350 g. Una
esponja de celulosa, de 7 x 12 x 2; 5 cm, tiene 12 g dc masa. La lana de vidrio de
una balsa tiene un peso específico de 160 Kp=m3 y el corcho de los tapones 240
Kp=m3 . Hallar las densidades relativas de estos productos sintéticos y del corcho.
Resp.: 0; 069; 0; 057; 0; 16, y 0; 24.
15. Un depósito cúbico de 3 m de lado está lleno de agua. Hallar la fuerza que se
ejerce sobre el fondo y sobre una de las caras laterales. Resp.: 2; 7:104 Kp; 1; 35:104
Kp.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 47
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
16. Un profesor observa la “eterna negrura” del océano a 1000 m bajo la superficie
a través de un ocular de cuarzo fundido de forma circular de 15 cm de diámetro.
Calcular la fuerza que soporta el ocular a dicha profundidad. La densidad relativa
del agua del mar es de 1; 03. Resp.: 18200 Kp.
18. Suponiendo que la atmósfera en la superficie del Sol tiene la misma presión que en
la superficie de la Tierra, 1 atm, y sin tener en cuenta los efectos de la temperatura,
¿cuál sería la altura de una columna de mercurio en un barómetro en el Sol?. Repita
lo anterior para el planeta Marte, que tiene un valor en la superficie de g igual al
de Mercurio. Para el Sol g = 274 m=s2 , para Mercurio g = 3; 73 m=s2 y densidad del
mercurio 13; 3:103 Kg=m3 . Resp.: 0; 027 m y 2; 0 m.
19. En una cámara de presión para pruebas, una persona comienza a actuar en
forma anormal cuando la presión manométrica es mayor que 40 lbf =pulg 2 . La pre-
sión manométrica es la presión en exceso a la presión atmosférica. Es un efecto
bien conocido que limita la profundidad a la cual se zambullen los buzos sin es-
cafandra, y a la que pueden respirar aire puro (de sus tanques de aire). En el agua
de mar, cuya densidad es 1; 03 g=cm3 , ¿a qué profundidad debe limitarse el buzo?.
Resp.: 27; 3 m.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 48
1.12. PROBLEMAS
22. Un recipiente de forma cúbica, de 50 cm de arista, está cerrado por su parte su-
perior. En una de sus caras laterales se coloca un tubo vertical con su centro a 30
cm del fondo. La altura de agua en el tubo, por encima del centro del orificio, es
de 70 cm y la sección recta del tubo vale 100 cm2 . Hallar la fuerza sobre cada cara,
incluyendo la superior e inferior. Resp.: 1230 N sobre la cara superior, 2450 N sobre
la inferior, 1760 N sobre la cara lateral que contiene el orificio para el tubo y 1840 N
sobre las demás caras.
24. La sección recta de un pistón de una bomba es de 45 cm2 . Hallar la fuerza que se
debe aplicar para elevar agua a 30 m de altura. Resp.: 135 Kp.
26. Un depósito que contiene aceite de densidad relativa 0; 80 pesa 160 Kp al colo-
carlo sobre una báscula. Se sumerge en el aceite, colgado de un hilo, un cubo de
aluminio, de densidad relativa 2; 7 de 20 cm de arista. Hallar:
28. Hallar la aceleración del movimiento de una bola de hierro de densidad relativa
7; 8:
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
30. Un globo tiene una capacidad de 1000 m3 . Hallar su fuerza ascensional cuando se
llena con gas helio. Peso específico medio del aire = 1; 29 Kp=m3 , peso específico
medio del helio 0; 18 Kp=m3 . Resp.: 1110 Kp.
32. Un resorte pesa 3; 572 p en aire y 3; 1468 p en agua. ¿De qué aleación, bronce o
latón está constituido el resorte en cuestión? Las densidades relativas de ambas
aleaciones son 8; 8 y 8; 4 respectivamente. Resp.: Latón.
33. Una pirámide metálica cuadrangular, cuya base mide 12 cm por lado, tiene 5; 5 Kg
de masa. ¿Cuál es la presión que ejerce esta pirámide sobre la mesa en la que
se encuentra?. Suponga que aumenta la temperatura ambiente y que el metal se
dilata, ¿aumentará o disminuirá la presión como resultado de la dilatación?. Resp.:
3; 7:103 mN2 ; disminuye.
38. Un hombre y una piedra están en una balsa que flota en una piscina de 10 m de
largo por 7 m de ancho. La piedra pesa 35 Kp y tiene una densidad relativa de 2; 5.
Si el hombre arroja la piedra fuera de borda, ¿en cuánto se elevará el nivel de agua
de la piscina por el cambio que se ha experimentado?. Se desprecia la superficie
de la balsa. Resp.: 0; 35 mm.
39. Se coloca un cubo de hielo en un vaso con agua, ¿qué fracción del cubo sobre-
sale del nivel del agua? ( hielo = 917 Kg=m3 y agua = 1:103 Kg=m3 ). Resp.: 8; 3%.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 50
1.12. PROBLEMAS
40. Hallar a qué altura la presión atmosférica es 1=5 de la presión a nivel del mar. Resp.:
13; 9 Km.
41. Un trozo de aluminio se suspende de una cuerda y después se sumerge por com-
pleto en un recipiente con agua. La masa del aluminio es 1; 0 Kg y su densidad es
2; 7.103 Kg=m3 . Calcule la tensión en la cuerda antes y después de que se sumerge
el aluminio. Resp.: 9; 8N antes y 6; 2N después.
43. Un cable anclado en el fondo de un lago sostiene una esfera hueca de plástico
bajo su superficie (ver fig. 1.24). El volumen de la esfera es V = 0; 3 m3 y la tensión del
cable 900 N . (a) ¿Qué masa tiene la esfera?, (b) El cable se rompe y la esfera sube
a la superficie. Cuando está en equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esfera
estará sumergida?. Densidad del agua de mar 1; 03 g=cm3 . Resp.: (a) 217; 2 Kg; (b)
70%.
Figura (1.24): Problema 43: Cable anclado en el fondo de un lago que sostiene una esfera hueca de
plástico bajo su superficie.
44. El depósito de la figura 1.25 contiene agua. (a) Si abrimos la llave de paso, ¿qué
altura tendrá el agua en cada lado del depósito cuando se alcance el equilibrio?,
(b) ¿qué cantidad de agua pasará de un recipiente al otro hasta que se alcance
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 51
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
55 25
el equilibrio?. Resp.: (a) 3
m (izquierda) y 3
m (derecha); (b) 33; 33 (de la derecha al
de la izquierda).
Figura (1.25): Problema 44: Dos depósitos que contienen agua y que están unidos mediante un con-
ducto que puede abrirse o cerrarse mediante una llave.
48. Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo la profundidad
es de 3 m y en el otro de 1; 2 m. La piscina tiene 25 m de largo y 10 m de ancho.
Hallar la fuerza total sobre el fondo. Resp.: 5; 25:105 Kp.
49. Una represa tiene un muro de contención de 50 m de altura estando el nivel del
agua a 1 m del borde. En la base del muro hay una compuerta rectangular de 4 m
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 52
1.12. PROBLEMAS
de altura y 5 m de ancho. Qué fuerza debe ejercerse sobre la compuerta para que
el agua no la abra? Resp.: 9; 40:105 Kp.
50. Un pedazo de metal pesa 180 p en el aire y 140 p en el agua. ¿Cuál es el volumen
y la densidad del metal?. Resp.: 40 cm3 ; 4; 5 g=cm3 .
53. Una caja cúbica cuyo contenido se ignora, flota en el agua con el 25 % de su volu-
men sobre la superficie. ¿Cuál es la densidad promedio de la caja y su contenido?.
Resp.: 7; 5:102 Kg=m3
54. Un grupo de Boy Scouts trata de construir una balsa y recorrer un río. La masa de
cuatro, con sus equipos, es de 400 Kg. Hay árboles con diámetro promedio de 20
cm y una densidad relativa de 0; 8. Determine el área mínima de la balsa de troncos
que les permitirá flotar sin mojarse. Resp.: 12; 7 m2 .
55. Considérese un globo esférico lleno de helio, con una densidad de 0; 18 Kg=m3 . La
densidad del aire es 1; 3 Kg=m3 . ¿Cuál debe ser el radio del globo para elevar una
carga de 100 Kg, incluyendo la masa propia?. Resp.: 2; 8 m.
57. Una esfera de radio R, de material con densidad media 0; 75 g=cm3 , se sumerge en
agua. ¿Cuál es la altura de la parte de la esfera que sobresale del agua?. Resp.:
0; 65R.
58. Un bloque de madera tiene un volumen de 150 cm3 . Para mantenerlo sumergido
en agua hace falta ejercer sobre él una fuerza hacia abajo de 60 p. Hallar su densi-
dad.Resp.: 0; 6 p=cm3 .
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CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
59. Una esfera de hierro que pesa 136 p y tiene una densidad igual a 7; 8 g=cm3 flota en
mercurio. Calcular el volumen del casquete emergente. Qué fuerza sería necesario
ejercer sobre la esfera para mantenerla sumergida?. Resp.: 7; 5 cm3 , 102 p.
60. Una cadena que pesa 21 p está fabricada con una aleación de cobre y oro.
Cuando la cadena se suspende de un dinamómetro, mientras está sumergida en
agua sin tocar las paredes ni el fondo del recipiente donde está el agua , el di-
namómetro indica 19; 5 p. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación , si su densidad es
19; 3 p=cm3 y la del cobre es 8; 9 p=cm3 ?. Resp.:14; 2 p.
61. Un depósito lleno de agua tiene un peso total de 18; 5 Kp. Una piedra de volumen
1; 5 dm3 se suspende de una cuerda y se introduce en el agua sin tocar las paredes
ni el fondo del depósito, mientras el depósito está sobre una balanza. ¿Cuántos Kp
indicará la balanza con la piedra sumergida?. Resp.: 20 Kp.
62. El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 20 cm ¿qué fuerza
debe aplicarse al émbolo pequeño de radio 2 cm para elevar un coche de peso
1500 Kp?. Resp.: 33 lbf .
63. Un corcho posee una densidad de 200 Kg=m3 . Determinar que fracción del volu-
men del corcho se sumerge cuando el corcho flota en agua. Resp.: 0; 2 es decir
20%.
Figura (1.26): Problema 64: Cálculo de presión en un tubo en forma de U con uno de sus extremos
cerrados.
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1.12. PROBLEMAS
67. Dado el gato hidráulico representado en la figura 1.27, calcular la fuerza mínima
que hay que realizar sobre la palanca para iniciar el movimiento de elevación de
un coche de 800 Kg de masa. Datos: DA = 2 cm, DB = 10 cm, CE = 75 cm, CD = 5
cm. Resp.: 22; 25 N , perpendicular a la barra.
Figura (1.27): Problema 67: Cálculo de la fuerza que debe aplicarse en la palaca de un gato hidráulico.
68. Un iceberg flota sobre el agua del mar (densidad 1; 03 g=cm3 ) y tiene sumergidas
nueve décimas de su volumen. Hallar la densidad del hielo. Resp.: 0; 927 g=cm3 .
69. Un bloque de madera flota sobre el agua, teniendo sumergidos los dos tercios de
su volumen; en el aceite, sumerge nueve décimos de su volumen. Hallar la densidad
del aceite y de la madera. Resp.: 0; 74 g=cm3 y 0; 67 g=cm3 .
70. Una pelota de ping-pong, de masa 3 g y con un volumen externo de 24 cm3 , está
sujeta mediante un hilo ligero al fondo de un recipiente que contiene agua. Calcu-
lar: (a) La tensión del hilo, (b) se somete al recipiente a una aceleración vertical y
hacia arriba de 4; 9 m=s2 . Calcular la nueva tensión del hilo, (c) ¿cuál será la tensión
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 55
CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA
del hilo en caída libre? y (d) se somete al recipiente a una aceleración de 4; 9 m=s2
en dirección horizontal. Calcular la tensión del hilo y el ángulo que forma con la
vertical. Resp.: (a) 0; 2058 N ; (b) 0; 3087 N ; (c) 0 N y (d) 0; 2301 N ; 26; 57 .
71. Un cilindro de madera de roble (de densidad 800 Kg=m3 ) de 1 m de longitud y 1 cm2
de sección, se halla flotando parcialmente sumergido en agua dulce, suspendido
por uno de sus extremos de un hilo a una altura h = 225 mm, tal como se muestra
en la figura 1.28. Calcular: (a) La longitud de la parte sumergida y el ángulo que
forma el cilindro con la horizontal, (b) la fuerza de empuje que ejerce el agua sobre
el cilindro y (c) la tensión en el hilo. Resp.: (a) 0; 55 m; 30; 2o ; (b) 0; 542 N y (c) 0; 242 N .
Figura (1.28): Problema 71: Cilindro de madera de roble de longitud L flotando parcialmente sumergido
en agua dulce, suspendido por uno de sus extremos de un hilo a una altura h.
72. Determinar la fuerza que actúa sobre la superficie plana de la presa (ver figura
1.29) y la situación de la línea de acción (recta soporte) de dicha fuerza sobre el
dique. La anchura de la presa a = 10 m; la profundidad del agua h = 5 m. Resp.:
1; 225:106 N aplicada a 3; 33 m por debajo del nivel del agua.
Figura (1.29): Problema 72: Cálculo de la fuerza que actúa sobre la superficie plana de una presa.
73. La sección interna del cuello de una botella mide 3; 5 cm2 y la sección de la base
mide 45 cm2 . Está totalmente llena con un fluido de peso específico igual a 0; 86
p=cm3 . Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 600 p. Calcular
la fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,
sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 25 cm. Resp.: 8; 68 Kp.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 56
CAPÍTULO 2
Hidrodinámica
Ahora pasamos del estudio de los fluidos en reposo al estudio más complicado de
los fluidos en movimiento,
Muchos aspectos del movimiento de los fluidos todavía no se entienden por com-
pleto; aún así, adoptando algunas simplificaciones, puede obtenerse una buena com-
prensión de esta materia.
Este método fue aplicado primeramente por Joseph Louis Lagrange y es una ge-
neralización directa del concepto de la mecánica de las partículas.
1
En [8] pág. 91 se estudian, con bastante profundidad y detalle, ambos métodos.
57
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Cualquier cantidad usada al describir el estado del fluido, por ejemplo la presión
p, tendría entonces un valor definido en cada punto del espacio y en cada instante
del tiempo. Aunque esta descripción del movimiento del fluido se enfoque a un punto
en el espacio, más que a una partícula del fluido, no podemos evitar seguir a las
partículas mismas, por lo menos durante intervalos de tiempo cortos dt, ya que son a
ellas, después de todo, y no a los puntos del espacio, a las que se aplican las leyes de
la mecánica.
Se entiende como flujo al movimiento de las partículas del medio fluido con-
tinuo, tales como gases, vapores o líquidos, por canales o conductos cerrados
o abiertos.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 58
2.2. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL FLUJO
Ahora bien, para entender la naturaleza de las simplificaciones que hagamos, con-
sideremos primero algunas características generales del flujo de los fluidos:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 59
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Figura (2.2): (A) Líneas de corriente o flujo laminar. (B) Flujo turbulento.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 60
2.3. TRAYECTORIAS Y LÍNEAS DE CORRIENTE
Las líneas de corriente no pueden cortarse en un punto regular, pues si así sucediera,
la partícula que acertase a pasar en el instante t por el punto de intersección tendría
simultáneamente dos velocidades distintas, que serían tangentes a cada una de las
dos líneas.
dx dy dz
= = (2.1)
vx vy vz
Las (2.1) constituyen un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden,
cuya integración da dos parámetros. Para cada par de valores de estos parámetros
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 61
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
se tiene una curva, por lo que las líneas de corriente son un sistema doblemente infinito
(las trayectorias constituyen una familia triplemente infinita) en cada instante t:
Las trayectorias se refieren a cada partícula, mientras que las líneas de co-
rriente están definidas por las velocidades de todas en cada instante.
Los límites de dicho tubo están formados por líneas de corriente y siempre son
paralelos a la velocidad de las partículas del fluido. Por lo tanto, el fluido no puede
cruzar el borde de un tubo de flujo comportándose (el tubo), en cierta manera, como
una tubería que tuviese la misma forma. El fluido que entra por un extremo debe salir
por el otro.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 62
2.4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRODINÁMICA
al tamaño del tubo. Escojamos el tubo lo suficientemente pequeño para que la ve-
locidad a través de cualquier sección transversal sea, en esencia, constante.
En la figura 2.5, !
v1 representa la velocidad cuando pasa a través del área de sec-
ción transversal S1 y !v2 la velocidad cuando pasa a través del área de sección trans-
versal S2 :
4m 4V S4l
Qm = = = = Sv (2.2)
4t 4t 4t
Qm en S1 = 1 S1 v 1 (2.3)
1 S1 v 1 = 2 S2 v 2 (2.5)
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
S1 v 1 = S 2 v 2 (2.6)
La ecuación de continuidad (2.6) establece que:
Por último, al igual que definimos flujo de masa Qm , podemos definir también flujo
de volumen QV de la siguiente manera:
4V S4l
QV = = = Sv (2.7)
4t 4t
Qm = QV (2.8)
Ejemplo 2.1.: Por una tubería uniforme de 8 cm de diámetro fluye aceite con una ve-
locidad media de 3 m=s. Calcular el caudal QV entonces, si S1 = 40 cm2 ; S2 = 10
cm2 ; = 1:103 Kg=m3 y QV = 3000 cm3 =s expresándolo en a) m3 =s, b) m3 =h.
1 1
QV m3 =s = Sv = D2 = (0; 08 m)2 3 m=s = 0; 015 m3 =s
4 4
3600 s m3
QV m3 =s = 0; 015m3 =s = 54
1h h
Ejemplo 2.2.: Sabiendo que la velocidad del agua en una tubería de D1 de diámetro
es 2 m=s, hallar la velocidad que adquiere al circular por una sección de la tubería
de la mitad del diámetro.
1 1
Solución: Al usar la ecuación de continuidad (2.6), siendo S1 = 4
D12 y S2 = 4
D22 , y
además, D2 = 12 D1 obtenemos:
1 1 m
D12 v1 = D12 v2 ) v2 = 4v1 ) v2 = 8
4 16 s
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2.4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRODINÁMICA
Ejemplo 2.3.: Por una tubería horizontal (de sección S1 ) de 15 cm de diámetro fluye
agua y tiene un estrechamiento de sección S2 de 5 cm de diámetro. La velocidad
del agua en la tubería es de 50 cm=s, hallar la velocidad v2 en el estrechamiento.
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
de aquí que,
2
24 cm m m
V2 = :7; 5 = 172; 8
5 cm s s
Ejemplo 2.7.: La figura 2.6 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un
río. Una corriente tiene una anchura de 10 m, una profundidad de 4 m, y una
velocidad de 3 m=s. La otra corriente tiene 7 m de anchura, 2 m de profundidad,
y fluye a razón de 1 m=s. La anchura del río es de 12 m y la velocidad de su
corriente es de 5 m=s. ¿Cuál es su profundidad?.
Figura (2.6): Ejemplo 2.7: Confluencia de dos corrientes que forman un río.
Solución: Aquí tenemos dos flujos Q1 y Q2 que representan las corrientes que con-
fluyen. Tenemos también un tercero Q3 que representa el flujo de la corriente resul-
tante. Si a1 ,h1 son el ancho y la profundidad de la corriente 1 respectivamente; a2 ,h2 el
ancho y la profundidad de la corriente 2 respectivamente y a3 ,h3 el ancho y la profun-
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2.4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRODINÁMICA
S1 = a1 h1 (1)
S2 = a2 h2 (2)
S3 = a3 h3 (3)
Q1 = S1 v1 = a1 h1 v1 (4)
Q2 = S2 v2 = a2 h2 v2 (5)
Q3 = S3 v3 = a3 h3 v3 (6)
El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices
de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor
velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre
esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona
la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también es
un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco.
El teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo
reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo se
aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados tubos de venturi, que miden
la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de
entrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con
lo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.
Para deducir la ecuación de Bernoulli, supongamos que el flujo tiene las siguientes
características:
1. es laminar.
2. es incompresible y
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 68
2.4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRODINÁMICA
W2 = p2 S2 4l2 (2.10)
el signo negativo es debido a que la fuerza ejercida sobre el fluido se opone al mo-
vimiento. Así mismo se realiza un trabajo sobre el fluido por medio de la fuerza de
gravedad y como, el efecto neto del proceso mostrado en la figura 2.7 es mover una
masa m de volumen S1 4l1 (= S2 4l2 ) del punto 1 al punto 2, el trabajo hecho por la
gravedad es:
W3 = mg (z2 z1 ) (2.11)
W = W1 + W2 + W3 (2.12)
= p1 S1 4l1 p2 S2 4l2 mg (z2 z1 )
1 2 1 2
mv mv = p1 S1 4l1 p2 S2 4l2 mgz2 + mgz1 (2.13)
2 2 2 1
que podemos escribir como (ejercicio):
1 2 1
p1 + v1 + gz1 = p2 + v22 + gz2 (2.14)
2 2
que es la expresión matemática del teorema de Bernoulli y se denomina ecuación de
Bernoulli. Como los puntos 1 y 2 pueden ser cualesquiera dos puntos a lo largo de un
tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli puede escribirse como:
1 2
p+ v + gz = ctte (2.15)
2
en todos los puntos del fluido.
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Solución: Al usar la ecuación de Bernoulli (2.14), y por ser la tubería horizontal (z1 =
z2 ) obtenemos:
1 2 1 1
p1 + v1 = p2 + v22 ) p2 = p1 + v12 v22
2 2 2
Kp 1 Kg m 2 m 2
= 1; 2 2 + 103 3 0; 50 4; 50
cm 2 m s s
Kp 1 Kp Kp
= 1; 2 2 2
= 1; 098
cm 9; 8 cm cm2
Ejemplo 2.9.: Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen
permanente. En un punto en que la presión vale 9:104 P a la velocidad es de 6
m=s. Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de
circulación es de 14 m=s.
Ejemplo 2.10.: Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con
un flujo de 0; 10 L=s, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidad
inicial del chorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Qué
presión debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediata-
mente abajo del chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una
altura de 0; 25 m, y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta
los efectos de la turbulencia, como es la desintegración del chorro. Densidad del
agua 1:103 Kg=m3 . Resp.: (a) 3; 1m=s; 0; 32 cm; (b) 4; 9:103 P a, manométricos; (c) 2; 2
m=s; 0; 38 cm.
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2.4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRODINÁMICA
Solución:
(a) Para calcular la velocidad voz del chorro en el extremo del tubo usamos la ecua-
ción de Bernoulli (2.14),de manera que,
1 2 1
voz + gzo = p + vz2 + gz
po +
2 2
Si colocamos el origen de nuestro sistema de referencia en el extremo del tubo,
entonces zo = 0 y z = h. Además, vz = 0, po = p, por lo tanto,
1 2
v = gh
2 oz r
p m m
voz = 2gh = 2:9; 8 2 :0; 50m = 3; 1
s s
Por otro lado, al usar (2.7),
QV = Svoz = ro2 voz
de aquí que,
r s
QV 0; 10:10 3 m3 =s
ro = = = 0; 0032 m = 0; 32 cm
voz 3; 1 ms
(b) La presión suministrada por la bomba será la misma presión (manométrica) que en
la base de una columna de agua en reposo de la misma altura que la del chorro,
por lo tanto al usar la ley de Stevino de la hidrostática (1.22),
p po = gh
Kg m
p = gh = 1:103 :9; 8 :0; 5m = 4; 9:103 P a
m3 s2
(c) Para calcular la velocidad vz del chorro a la altura de 0; 25 m, usamos nuevamente
la ecuación de Bernoulli (2.14),de manera que,
1 2 1
po + voz + gzo = p + vz2 + gz
2 2
1 2 1 2
v = v + gh
2 oz 2 z r
p m 2 m m
vz = 2
voz 2gh = 3; 1 2:9; 8 :0; 25m = 2; 2
s s 2 s
y el radio del chorro a esa altura vendrá dado por la ecuación de continuidad (2.6),
So voz = Svz
ro2 voz = r 2 vz
r s
voz 3; 1 ms
r = ro = 0; 32cm = 0; 38 cm
vz 2; 2 ms
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 71
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Ejemplo 2.11.: El agua, cuya densidad es 1:103 Kg=m3 , pasa por un tubo horizontal.
El área de sección transversal, en una parte del tubo, es de 60 cm2 . Cuando el
líquido entra a otra parte del tubo, con 100 cm2 de área transversal, la presión
manométrica es 5; 0:103 P a mayor que en la primera parte. Calcule las veloci-
dades del líquido en las dos partes del tubo.
S1
S 1 v 1 = S2 v 2 ) v 2 = v1 (1)
S2
De (2.14),
1 2 1
v1 + gz1 = p2 + v22 + gz2
p1 + (2)
2 2
y como el tubo es horizontal z1 = z2 , entonces,
1
p2 p1 = v12 v22 = p (3)
2
ahora, al sustituir (1) en (3) y despejar v2 ,
s
1 S12 2 2 p
v12 v = p ) v 1 = S2 (4)
2 S22 1 (S22 S12 )
que es muy parecida a la ecuación del tubo de Venturi que veremos más adelante.
Entonces,
s
2 2:5; 0:103 P a
v1 = 1; 00:10 m
1:103 Kg
m3
: (1; 00:10 2 m)2 (0; 60:10 2 m)2
m
= 4; 0
s
y al sustituir este resultado en (1),
60 cm2 m m
v2 = 2
:4; 0 = 2; 4
100 cm s s
Ejemplo 2.12.: El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa,
en un sistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con una
rapidez de 0; 80 m=s por un tubo de 7; 0 cm de diámetro en el sótano bajo la pre-
sión de 6; 0 atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 5; 6 cm de
diámetro ubicado en el segundo piso 8; 0 m arriba?.
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2.4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRODINÁMICA
S1
S1 v 1 = S2 v 2 ) v 2 = v1 (1)
S2
pero,
1
S1 = D12 (2)
4
1
S2 = D22 (3)
4
ahora, al sustituir (2) y (3) en (1),
1 2
4
D12 D1
v2 = 1 v1 ) v2 = v1 (4)
4
D22 D2
de aquí que,
2
7; 0 cm m
v2 = :0; 80m=s = 1; 25
5; 6 cm s
Por otro lado, a partir de(2.14),
1 2 1
p1 + v1 + gz1 = p2 + v22 + gz2
2 2
1
p2 = p1 + v12 v22 + g (z1 z2 )
2
h = z2 z1 ) z1 z2 = h
por lo tanto,
1
p2 = p1 + v12 v22 gh
2
de aquí que,
1 Kg m 2 m 2
p2 = 6; 0:1; 013:105 P a + :1:103 3 0; 80 1; 25
2 m s s
Kg m
1:103 3 :9; 8 2 :8; 0 m
m s
= 6; 08:105 P a 461; 25 P a 78400 P a
= 5; 3:105 P a
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande comparado con el del grifo,
se puede suponer v2 ' 0 (velocidad con que la superficie del líquido disminuye en
altura respecto a la base del recipiente); entonces a partir de la ecuación de Bernoulli
(2.14) se obtiene,
p
v1 = 2gh (2.16)
resultado que se conoce como Teorema de Torricelli.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 74
2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES
QV = Sv
de aquí que,
m m3
QV = 0; 5:10 4 m2 :9; 9 = 5; 0:10 4
s s
Ejemplo 2.15.: Un gran tanque (ver figura 2.9) de almacenamiento se llena hasta una
altura ho . Si el tanque se perfora a una altura h medida desde el fondo del tanque
, ¿a qué distancia de la pared del tanque cae la corriente?.
Solución: Al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,
p
v = 2g (ho h) (1)
Figura (2.9): Ejemplo 2.15: Tanque lleno de fluido al cual se le ha hecho una perforación lateral a cierta
profundidad.
R = vx tc (4)
donde vx = v [dada por (1)], por lo tanto, al sustituir (1) y (3) en (4), se obtiene,
s
p 2h
R = 2g (ho h)
g
p
= 2 h (ho h)
Ejemplo 2.16.: El tanque de la figura 2.9, se llena hasta una altura de 10 m. Si el tanque
se perfora a una altura 3 m medida desde el fondo del tanque y se sabe que el
flujo volumétrico en el orificio es de 30 L=min, ¿cuál es la sección del orificio?.
Solución: Al usar (2.16), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,
p
v= 2g (ho h) (1)
y de (2.7),
QV
QV = Sv ) S = (2)
v
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 76
2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES
De (2.7),
V V
QV = = Sv ) t = (3)
t Sv
y,Ahora, al sustituir (1) y (2) en (3),
V
t = p
S 2gh
12 m3
= p
15:10 4 m2 2:9; 8 sm2 :4 m
= 903; 5 s = 15; 1 min
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
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2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES
ahora, si se quiere determinar el flujo de volumen, sólo tenemos que usar la ecuación
(2.7):
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
s
24p
v1 = D22 (2.20)
(D14 D24 )
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 80
2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES
= 0; 04 m2 t m2
1:103 Kg
m3
[25; 6:10 3 m4 1; 6:10 3 m4 ]
s
Kg
2 106 m:s 2
= 0; 04 m
24 Kg:m
r
1
= 0; 04 m2 4; 17:104
m2 :s2
1
= 0; 04 m2 :204; 21
m:s
m
= 8; 2
s
y ahora, al usar (2.7),
QV = S1 v 1
D12
= v1
4
2
(40:10 2 m) m
= :8; 2
4 s
3
m
= 1; 03
s
Ejemplo 2.20: Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 30 cm y una garganta de 10 cm
de diámetro. La presión del agua en el tubo es 70 KP a y en la garganta es de 20
KP a. Calcule el flujo de volumen a través del tubo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 81
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
1:103 Kg
m3
[8; 1:10 3 m4 1:10 4 m4 ]
s
Kg
2 2 106 m:s 2
= 1:10 m
8 Kg:m
r
1
= 1:10 2 m2 1; 25:105 2 2
m :s
1
= 1:10 2 m2 :353; 6
m:s
m
= 3; 5
s
y ahora, al usar (2.7),
QV = S1 v 1
D12
= v1
4
2
(30:10 2 m) m
= :3; 5
4 s
3
m
= 0; 25
s
Ejemplo 2.21: La sección transversal del tubo ilustrado en la figura 2.11 es de 60 cm2
en las partes anchas y de 30 cm2 en el estrechamiento. La descarga de agua
del tubo es de 4000 cm3 =s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y es-
trecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la dife-
rencia de altura h entre las columnas de mercurio del tubo en U ( Hg = 13; 6:103 Kg
m3
).
Figura (2.11): Ejemplo 2.21: Conducto horizontal con estrechamiento y con un tubo en forma de U
anexo.
y, al usar (2.6),
S1 v 1 = S 2 v 2
60 cm2 cm
v2 = 2
:66; 67
30 cm s
cm
= 133; 34
s
4p
4p = ( ) gh ) h = )
( )g
din
6; 67:103 cm 2
h = g g
13; 6 cm3 1 cm3 :980 cm
s2
3 g
6; 67:10 cm:s2
h =
12348 cmg2 :s2
h = 0; 54 cm
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Ejemplo 2.22: Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática
verticales (ver figura 2.12). Los radios internos de la sección principal y del estre-
chamiento son 40 y 10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua
de 300 L=s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra
a 5; 00 m por encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua
por el tubo central?, b) ¿Cuál es la presión manométrica en los puntos A y B?, c)
¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central?.
Figura (2.12): Ejemplo 2.22: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.
Solución:
DA = 2rA = 2:40 cm = 80 cm
DB = 2rB = 2:10 cm = 20 cm
pA = H2 O gH
pB = H2 O gh
por lo tanto,
4p
4p = pA pB = H2 O g (H h) ) h = H
g H2 O
din
454117; 06 cm 2
h = 500 cm g
980 cm
s2
:1 cm3
5 g
1; 97:10 cm:s2
h = 500 cm
980 cm
s2
:1 cmg 3
h = 36; 6 cm
g cm din
pA = H2 O gH =1 3
:980 2 :500 cm = 4; 9:105 2
cm s cm
g cm din
pB = H2 O gh = 1 3
:980 2 :36; 6 cm = 3; 6:104 2
cm s cm
(c) Para que succione aire por el tubo central, la presión en pB tiene que ser nula, por
lo tanto,
din
4p = pA pB = 4; 9:105 2
cm
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 85
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
y al usar (2.20),
s
2 24p
vA = vC = DB 4 4
(DA DB )
s
din
2 2:4; 9:105 cm 2
= (20 cm)
1 cmg 3 (80 cm)4 (20 cm)4
s
g
2:4; 9:105 cm:s
= (20 cm)2
2
7
4; 08:10 g:cm
cm
= 62
s
entonces, al usar (2.7),el caudal viene dado por,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 86
2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES
Ejemplo 2.23: Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire
al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el
tubo en forma de U es mercurio Hg = 1; 36:104 Kg=m3 y h = 10; 00 cm, encuentre
la velocidad del flujo del aire. Tome Aire = 1; 25 Kg=m3 .
Solución: Al usar (2.21),
s
2 0 gh
v =
s
Kg
2:1; 36:104 m3
:9; 8 sm2 :10; 00:10 2 m
=
1; 25 Kgm3
m
= 146
s
Ejemplo 2.24: Se utiliza un fluido de densidad 820 Kg=m3 como líquido manométrico
en un tubo de Pitot montado en un avión para medir la velocidad del aire. Si la
diferencia máxima de altura entre las columnas de líquido es de 0; 8 m, ¿cuál es
la velocidad máxima del aire que se puede medir?. La densidad del aire es 1; 3
Kg=m3 .
Solución: Al usar (2.21),
s
2 0 gh
v =
s
Kg
2:820 m3
:9; 8 sm2 :0; 8 m
=
1; 3 Kg
m3
m
= 99; 5
s
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Ejemplo 2.25: Un tubo de Pitot está montado sobre un soporte en un túnel de viento,
en el cual circula un gas de densidad 0; 2 Kg m3
, el manómetro diferencial acoplado
al tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 0; 05 cm de mercurio
(densidad 13; 6 :103 Kg
m3
). ¿Cuál es la velocidad del avión?.
Solución:
(a) A partir de (2.21), la velocidad registrada por el tubo de Pitot (velocidad aparente
de la avioneta) es,
s
2 Hg gh
vapar =
Aire
s
2:13; 6 Kg
m3
:9; 8 sm2 :3:10 2 m m Km
= 3 Kg
= 78; 6 = 283
1; 293:10 m3
s h
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 88
2.6. PROBLEMAS
(b) Por ser el viento en contra, el tubo de Pitot registra mayor velocidad de la que
realmente lleva el avion respecto del suelo. Llamemos va a la velocidad aparente
Figura (2.14): Ejemplo 2.28: Diagrama de velocidades relativas para un avión que se desplaza hacia el
Norte en presencia de un viento en contra hacia el Oste del Sur.
(la que mide el indicador), vvx a la componente de la velocidad del viento que va
hacia el Sur y va a la velocidad del avión. Entonces, de la figura 2.14, podemos
escribir,
Km
va = vapar vvx = vapar vv Cos 45o = 243; 4
h
Como podemos ver, el avión viaja hacia el Norte a menos velocidad de la que
registra el tubo de Pitot.
2.6 Problemas
1. Por una tubería de 10 cm de diámetro circula agua con una velocidad media de 3
m=s. Hallar el caudal y expresarlo en m3 =s, en m3 =h y L=min. Resp.: 23; 55:10 3 m3 =s;
84; 78m3 =h; 1413 L=min.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 89
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
vale 6 cm2 , ¿ qué volumen de fluido sale durante un minuto?. Resp.:12; 5 m=s; 0; 45
m3 .
7. Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con un flujo de
0; 10 L=s, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial del
chorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Qué presión
debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediatamente abajo
del chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una altura de 0; 25 m,
y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta los efectos de la
turbulencia, como es la desintegración del chorro. Resp.: (a) 3; 1m=s; 0; 32 cm; (b)
4:9:103 P a, rnanométricos; (c) 2; 2 m=s; 0; 38 cm.
8. Un líquido, cuya densidad es 1; 4:103 Kg=m3 , pasa por un tubo horizontal. El área de
sección transversal, en una parte del tubo, es de 75 cm2 . Cuando el líquido entra
a otra parte del tubo, con 150 cm2 de área transversal, la presión manométrica es
2; 0:104 P a mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido en las
dos partes del tubo. Resp.: . v1 = 6; 2 m=s, v2 = 3; 1 m=s, ambas a lo largo del tubo.
9. Un tanque abierto de agua está sobre una superficie plana. La superficie del agua
en el tanque está a una altura h sobre la superficie. Se abre un pequeño agu-
jero a una profundidad z por debajo de la superficie de agua. (a) Demuestre que
el chorro de agua llegará a la superficie plana a una distancia D de la orilla del
tanque, siendo
p
D = 4z(h z)
(b) Demuestreque el agujero se debe colocar a una profundidad
h
z=
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 90
2.6. PROBLEMAS
10. Hallar el caudal, expresándolo en L=s, de un líquido que fluye por un orificio de 1
cm2 de sección a 2; 5 m por debajo de la superficie libre del mismo. Resp.: 0; 7 L=s.
11. Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen perma-
nente. En un punto en que la presión vale 0; 46 Kp=cm2 la velocidad es de 2 m=s.
Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de circu-
lación es de 4 m=s. Resp.: 0; 4 Kp=cm2 .
12. Verificar la ecuación (2.18). Ayuda: Suponer un tubo horizontal al utilizar la ecua-
ción (2.14) y luego usar la ecuación (2.6).
15. Un fluido A fluye tres veces más rápido que el fluido B a través del mismo tubo
horizontal. ¿Cuál tiene más densidad y cuántas veces más?. Resp.: B = 3 A .
17. El agua fluye a través de un tubo horizontal de 7; 0 cm de diámetro bajo una presión
de 6; 0 P a con un flujo volumétrico de 25 L= min. En un punto los depósitos de calcio
reducen el área transversal del tubo a 30 cm2 . ¿Cuál es la presión en este punto?
(suponga que el agua es un fluido ideal). Resp.: 2; 2 P a.
18. El flujo volumétrico de agua a través de una manguera de jardín es de 66 cm3 =s,
la manguera y la boquilla tienen una sección transversal de 6; 0 cm2 y 1; 0 cm2 , res-
pectivamente. (a) Si la boquilla está a 10 cm arriba del grifo, ¿cuál es la rapidez de
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 91
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
flujo a través del grifo y la boquilla? (b) ¿cuál es la diferencia de presión entre estos
puntos? (suponga que el agua es un fluido ideal).
19. Una manguera de 2; 0 cm de diámetro es utilizada para llenar con agua una cu-
beta de 20; 0 L. Si se tarda 1; 00 min para lenar la ubeta, ¿cuál es la velocidad a la
cual el agua sale de la mangera? (1L = 1000cm3 ). Resp.: 106 cm=s.
20. Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire al medir la
diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo en forma
de U es mercurio ( Hg = 1; 36:104 Kg=m3 ) y h = 5; 00 cm, encuentre la velocidad del
flujo del aire. Tome Aire = 1; 25 Kg=m3 . Resp.: 103 m=s.
21. Un tubo horizontal de 10; 0 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que lo
conecta a un tubo de 5; 0 cm de diámetro. Si a presión del agua en el tubo más
grande es de 8; 0:104 P a y la presión en el tubo más pequeño es de 6; 0:104 P a, ¿qué
valor tiene el flujo volumétrico en los tubos?. Resp.: 0; 0128 m3 =s.
25. En la figura 2.15 tome en cuenta la rapidez de la superficie del fluido en el tanque
y muestre que la rapidez del fluido que sale por el agujero de la base es (S1 y S2 son
las secciones transversales del orificio y del tanque respectivamente),
s
2gh
v 1 = S2
S2 S12
2
26. Del gran depósito de agua mostrado en la figura 2.16, cuyo nivel se mantiene
constante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la
abertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y
B es P B P A = 500 P a. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de
la conducción son SA = SC = 10 cm2 y SB = 20 cm2 , calcular las velocidades y las
presiones del agua en los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en C es la
p p
atmosférica, igual a 105 P a. Resp.: vA = vC = 2 3 3 m=s, vB = 33 m=s, pA = pC = 105 P a,
pB = 100500 P a.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 92
2.6. PROBLEMAS
Figura (2.15): Problema 25: Cálculo de la velocidad del fluido que sale por un orificio lateral de un
depósito, tomando en cuenta la velocidad de la superficie del fluido.
Figura (2.16): Problema 26.: Depósito de agua unido a un conducto horizontal con diferentes secciones
transversales.
27. Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo en
forma de T de menor sección (ver fig. 2.17), colocamos tubos manométricos A y
B, como indica la figura y medimos la diferencia de altura (5 cm) entre los niveles
superiores del líquido en tales tubos. (a) Sabiendo que la sección del tubo estrecho
es 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta, (b)
Calcúlese el flujo de volumen QV , si el área de la sección mayor es 40 cm2 . Resp.: (a)
99; 5 m=s, (b) 0; 4 L=s.
28. El QV en una tubería por la que circula agua (ver fig. 2.18) es 208 L=s. En la tubería
hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Si
las secciones de las tuberías son 800 y 400 cm2 , calcular el desnivel h que se produce
en el mercurio. Densidad del mercurio 13; 6 g=cm3 . Resp.:h = 8; 2 cm.
29. La sangre circula por una arteria aorta de 1 cm de radio a 30 cm=s. ¿Cuál es el flujo
de volumen?. Resp.: 5; 65 L=min.
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Figura (2.17): Problema 27: Cálculo de la velocidad del agua en una tubería empalmada a un tubo en
forma de T de menor sección con tubos manométricos anexos.
Figura (2.18): Problema 28: Tubería en la que hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como
líquido manométrico.
30. La sangre circula desde una porción de arteria gruesa de 0; 3 cm de radio, donde
su velocidad es 10 cm=s, a otra región en donde el radio se ha reducido a 0; 2 cm,
debido a un engrosamiento de las paredes (arteriosclerosis).¿Cuál es la velocidad
de la sangre en la zona más estrecha?. Resp.: 22; 5 cm=s.
31. En la pared de un recipiente con agua se practican dos agujeros uno sobre el
otro, de área 0; 2 cm2 . La distancia entre los agujeros es 50 cm. En el recipiente se
introducen cada segundo 140 cm de agua de manera que el nivel de la misma
permanece constante. Encontrar el punto de intersección de los dos chorros de
agua que salen del orificio. Resp.: x = 2; 089 m y z = 3; 200 m. con respecto a un
sistema de coordenadas cartesianas cuyo origen se sitúa en la superficie del fluido.
32. Un tubo de 34; 5 cm de diámetro conduce agua que circula a razón de 2; 62 m=s.
¿Cuánto tiempo le tomará descargar 1600 m3 de agua?. Resp.: 1 h 49 min.
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2.6. PROBLEMAS
33. Una manguera de jardín que tiene un diámetro interno de 0; 75 pulg está conec-
tada a un aspersor que consta simplemente de un accesorio con 24 orificios, cada
uno de 0; 050 pulg de diámetro. Si el agua de la manguera tiene una velocidad de
3; 5 pies=s, ¿a qué velocidad sale por los orificios del aspersor?. Resp.: 32; 81 pies=s.
34. La figura 2.19 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río. Una
corriente tiene una anchura de 8; 2 m, una profundidad de 3; 4 m, y una velocidad
de 2; 3 m=s. La otra corriente tiene 6; 8 m de anchura, 3; 2 m de profundidad, y fluye
a razón de 2; 6 m=s. La anchura del río es de 10; 7 m y la velocidad de su corriente es
de 2; 9 m=s. ¿Cuál es su profundidad?. Resp.: 3; 9 m.
Figura (2.19): Problema 34: Cálculo de la profundidad en la confluencia de dos corrientes que forman
un río.
35. Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una
velocidad de 5; 30 m=s por medio de una manguera uniforme de 9; 70 mm de ra-
dio. La manguera pasa por una ventana situada a 2; 90 m sobre el nivel del agua.
¿Cuánta potencia proporciona la bomba?. Resp.: 44; 52 W atts.
37. ¿Cuánto trabajo efectúa la presión al bombear 1; 4m3 de agua por un tubo de 13
mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es de
1; 2 atm?. Resp.: 1; 7:105 J.
38. La toma de agua de una presa (véase la figura 2.20) tiene un área de sección
transversal de 7; 60 pies2 . El agua fluye en ella a una velocidad de 1; 33 pies=s. En la
planta Hidroeléctrica que está situada a 572 pies abajo del punto de toma, el agua
fluye a razón de 31 pies=s. (a) Halle la diferencia de presión, en lbf =pulg 2 , entre la
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
toma y la descarga. (b) Halle el área del tubo de descarga. La densidad promedio
del agua es de 62; 4 lb=pies3 . Resp.: (a) 241; 37 lbf =pulg 2 ; (b) 0; 32 pies2 .
Figura (2.20): Problema 38: Cálculos de presión y área en una toma de agua de una presa.
39. Por una tubería con un área de la sección transversal de 4; 20 cm2 circula el agua a
una velocidad de 5; 18 m=s. El agua desciende gradualmente 9; 66 m mientras que
el área del tubo aumenta en 7; 60 cm2 . (a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel
inferior? (b) La presión en el nivel superior es de 152 KP a; halle la presión en el nivel
inferior. Resp.: (a) 2; 86 m=s; (b) 256 KP a.
40. Durante un huracán está soplando aire (densidad = 1; 2 Kg=m3 ) sobre el tejado
de una casa a una velocidad de 110 Km=h. (a) ¿Cuál es la diferencia de presión
entre el interior y el exterior que tiende a levantar el tejado? (b) ¿Cuál sería la fuerza
ascensional en un tejado de 93 m2 de área?. Resp.: (a) 560 P a; (b) 52097 N .
41. Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2; 52 cm. La
tubería se dobla hacia arriba hasta una altura de 11; 5 m donde se ensancha y se
une con otra tubería horizontal de 6; 14 cm de radio interior. ¿Cuál debe ser el flujo
volumétrico si la presión en las dos tuberías horizontales es la misma?. Resp.: 23; 2
m=s.
42. Un tanque está lleno de agua hasta una altura H. En una de sus paredes se tal-
adra un orificio a una profundidad h bajo la superficie del agua (véase figura 2.21).
(a) Demuestre que la distancia x desde la base de la pared hasta donde cae la
corriente al suelo está dada por
x = 2[h(H h)]1=2 :
(b) Podría taladrarse un orificio a otra profundidad de modo que esta segunda
corriente tuviese el mismo alcance? De ser así, a qué profundidad? (c) ¿A qué
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2.6. PROBLEMAS
profundidad debería estar el orificio para hacer que la corriente de salida caiga al
suelo a la distancia máxima a partir de la base del tanque? ¿Cuál es esta distancia
máxima?. Resp.: (b) sí, a una profundidad H h; (c) h = H=2.
Figura (2.21): Problema 42: Cálculo de la distancia horizontal a la que cae un fluido que sale por un
orificio lateral de un depósito.
43. Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, hacién-
dole un orificio a 53; 0 m bajo la superficie de la gasolina. El tanque se ha sellado y
se ha sometido a una presión absoluta de 3; 10 atm, como se muestra en la figura
2.22. La gasolina almacenada tiene una densidad de 660 Kg=m3 . ¿A qué velocidad
comienza la gasolina a salir disparada por el orificio?. Resp.: 36; 3 m=s.
Figura (2.22): Problema 43: Tanque sellado y sometido a cierta presión absoluta que contiene gasolina,
al cual se le ha efectuado un disparo.
44. Si una persona sopla aire a una velocidad de 15; 0 m=s en la parte superior de un
lado de un tubo en U que contiene agua (ver figura 2.23), ¿cuál será la diferencia
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
entre los niveles del agua en los dos lados? Suponga que la densidad del aire sea
de 1; 20 Kg=m3 . Resp.: 0; 0137 m.
Figura (2.23): Problema 44: Tubo en forma de U que contiene un fluido, al cual se le sopla aire sobre uno
de sus extremos.
45. El agua dulce embalsada tras la cortina de una presa tiene una profundidad de
15; 2 m. Un tubo horizontal de 4; 30 cm de diámetro pasa a través de la cortina a 6; 15
m bajo la superficie del agua, como se muestra en la figura 2.24. En la salida del
tubo se ha colocado un tapón. (a) Halle la fuerza de fricción entre el tapón y las
paredes del tubo. (b) Se retira el tapón. ¿Qué volumen de agua sale por el tubo en
3; 00 h?. Resp.: (a) 234 N ; (b) 172 m3 .
46. Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente sin inclinarlo. Funciona
corno se muestra en la figura 2.25. El tubo debe estar lleno inicialmente, pero una
vez se ha hecho esto, el líquido fluirá hasta que el nivel descienda por debajo de la
abertura del tubo en A. El líquido tiene una densidad y una viscosidad desprecia-
ble. (a) ¿A qué velocidad sale el líquido del tubo en C? (b) ¿Cuál es la presión del
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 98
2.6. PROBLEMAS
líquido en el punto más elevado B? (c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que el
sifón puede elevar el agua?. Resp.: (a) vC = [2g(d+h2 ]1=2 ; (b) pB = po H2 O g(h1 +d+h2 );
(c) x = 10; 33 m.
47. Una jarra contiene 15 vasos de jugo de naranja. Cuando se abre la espita3 del
fondo transcurren 12; 0 s para llenar de jugo un vaso. Si dejamos la espita abierta
(ver figura 2.26), ¿cuánto tiempo tardarán en llenarse los 14 vasos restantes hasta
agotar el jugo?. Resp.: 341; 9 s.
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
¿qué velocidad debe tener el aire para mantener horizontal a la placa?. El aire
tiene una densidad de 1; 21 Kg=m3 . Resp.: v = 30; 9m=s.
50. Un aeroplano tiene un área total (de las dos alas) de 25 m2 . A cierta velocidad
del aire, éste fluye sobre la superficie superior del ala a razón de 49; 8 m=s y sobre la
superficie inferior del ala a 38; 2 m=s. (a) Halle la masa del aeroplano. Suponga que
el aeroplano viaja a velocidad constante y que los efectos de la fuerza ascensional
asociados con el fuselaje y el conjunto de la cola son pequeños. Explique la fuerza
ascensional si el aeroplano, que vuela a la misma velocidad que el aire está (b) en
vuelo nivelado; (c) ascendiendo a 15o y (d) descendiendo a 15o . La densidad del
aire es de 1; 17 Kg=m3 . Resp.: (a) m = 1523; 38 Kg; (b), (c) y (d) el ángulo no afecta.
53. Desde un depósito fluye agua en régimen estacionario, como se ilustra en la figura
2.28. La altura del punto 1 es 10 m, la de los puntos 2 y 3 es 1 m. La sección transversal
en el punto 2 es de 0; 04 m2 y de 0; 02 cm2 en el punto 3. La superficie del depósito
es muy grande comparada con las secciones transversales del conducto. (a) Cal-
cúlese la presión manométrica en el punto 2. (b) Calcúlese el caudal expresado en
metros cúbicos por segundo. Resp.:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 100
2.6. PROBLEMAS
Figura (2.27): Problema 52: Agua que fluye por un tubo que tiene un estrechamiento.
Figura (2.28): Problema 53. Depósito abierto unido a un conducto con diferentes secciones transver-
sales.
54. El área de la sección transversal de una tubería horizontal por la que circula agua
es de 10 cm2 . En una sección, el área de la sección transversal es de 5 cm2 . La
diferencia de presiones entre ambas secciones es 300 P a. ¿Cuántos metros cúbicos
de agua saldrán de la tubería en 1 min?. Resp.:
55. Dos depósitos abiertos muy grandes A y F (véase figura 2.29), contienen el mismo
líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C sale del fondo
del depósito A, y un tubo vertical E se abre en el estrechamiento de C y se introduce
en el líquido del depósito F . Supóngase que el régimen es laminar y que no hay
viscosidad. Si la sección transversal en C es la mitad que en D y si D se encuentra a
una distancia h1 , por debajo del nivel del líquido en A, ¿qué altura h2 alcanzará el
líquido en el tubo E? A) Exprésese la respuesta en función de h1 . Despréciense las
variaciones de la presión atmosférica con la altura. Resp.:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 101
CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
Figura (2.29): Problema 55: Depósitos abiertos muy grandes unidos por un conducto.
57. La sección transversal del tubo ilustrado en la figura 2.30 es de 40 cm2 en las partes
anchas y de 10 cm2 en el estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 3000
cm3 =s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y estrecha, (b) hállese la
diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entre
las columnas de mercurio del tubo en U ( Hg = 13; 6:103 Kg m3
). Resp.: (a) 75 cm
s
y 300
cm 4 din
s
;(b) 4; 22:10 cm2 y (c) 3; 4 cm.
Figura (2.30): Problema 57: Tubo horizontal con estrechamiento, al cual se ha anexado un tubo en forma
de U que sirve de manómetro.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 102
2.6. PROBLEMAS
59. Supóngase que el líquido manométrico del problema anterior es mercurio. ¿Cuál
es la velocidad máxima del aire que se puede medir?. Se sabe que: Hg = 13; 6 Kg
m3
.
m
Resp.: 4; 53 s .
62. Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (ver
figura 2.31). Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento son 25 y
10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 200 L=s, el nivel del
agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 3; 00 m por encima del
eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuál
es la presión manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua se
succionará aire por el tubo central?. Resp.: a) 98; 5 cm; b) 0; 29 atm; 0; 095 atm; c) 244
L=s.
Figura (2.31): Problema 62: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.
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CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA
64. Un tubo de Pitot está montado en el ala de una avioneta. Cuando la avioneta
está a una altura en la que la densidad del aire es de 1; 20 g=L, el manómetro dife-
rencial acoplado al tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 15 cm
de alcohol (densidad 0; 81 g=cm3 ). ¿Cuál es la velocidad del avión?. Resp.: 44; 5147
m=s (unos 160 Km=h).
65. Un depósito abierto, de grandes dimensiones, que desagua a través de una tu-
bería de 10 cm de diámetro, recibe un aporte de agua de 50 L=s. El diámetro del
depósito es mucho mayor que la tubería de desagüe. Después de abrir la llave de
la tubería, se alcanza el estado estacionario en el que el nivel de agua permanece
constante. ¿Cuál es este nivel?. (Suponer un coeficiente de contracción Cc = 0; 5).
Resp.: 8; 27 m.
66. Un depósito abierto, cilíndrico de eje vertical y sección recta S1 , está lleno de
agua hasta una altura H por encima de su fondo. Determinar el tiempo necesario
para que se vacíe el depósito a través de un orificio bien perfilado, de área S2 ,
practicado en su fondo. Se sabe que: S1 = 2m2 ; S2 = 10cm2 ; H = 3m. Resp.: 1564; 92 s
(unos 26 minutos).
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Parte II
VIBRACIONES
105
CAPÍTULO 3
Oscilaciones
Los procesos que se distinguen por uno u otro grado de repetición, reciben el
nombre de oscilaciones, es decir, movimientos repetidos de un lado a otro en torno
a una posición central, o posición de equilibrio.
Las oscilaciones más sencillas son las armónicas, es decir, aquellas donde
la magnitud que oscila varía con el tiempo según la ley del seno o coseno.
2. los procesos periódicos de otra índole (con otra dependencia del tiempo) pueden
ser representados como la superposición (suma) de varias oscilaciones armónicas.
Es buena idea, a este nivel, hacer un repaso referente a la cinemática del mo-
vimiento circular uniforme (m.c.u.) estudiados en el curso de física I, pues existe una
relación estrecha entre el movimiento oscilatorio y el m.c.u. Podría consultar, por ejem-
plo, el capítulo 4 del texto [3] o del texto [17].
107
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.1): Una partícula de masa m se mueve sometida a una fuerza del tipo kx.
F (x) = kx (3.1)
donde k es una constante positiva.
dp d2 x
F = =m 2 (3.2)
dt dt
dx
donde p es el momentum lineal m de la partícula estudiada. Entonces, de (3.1) y de
dt
(3.2), podemos escribir:
d2 x d2 x
m = kx ) + !2x = 0 (3.3)
dt2 dt2
donde,
k
!2 = (3.4)
m
que, como puede observarse, es una constante para un sistema dado. La expresión
(3.3) recibe el nombre de ecuación de movimiento del oscilador armónico simple.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 108
3.1. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
Usaremos de ahora en adelante (3.5) como solución, a menos que sea indicado lo
contrario.
2
es el período del movimiento y ! es la frecuencia angular.
!
Entonces, de (3.4), podemos escribir,
r
2 m
= =2 (3.8)
! k
de aquí que, la frecuencia f del oscilador venga dada por:
r
1 k 1
#= = (3.9)
2 m
La frecuencia angular ! tiene como unidades3 ,
rad rad rad
, , , etc.
s min h
1
Un radián (rad) es la medida del águlo que sustenta un arco cuya longitud es igual a su radio.
2
En el capítulo 5 (sección 5.9) del texto [2] se definen los términos: periodo, frecuencia y frecuencia
angular en un Movimiento Circular (que son los mismos para que para el OAS, pues está estrechamente
relacionado con él), mostrándose además, las relaciones matemáticas entre ellos (ver asignación ?? al
final de este capítulo).
3
En la práctica obviamos la unidad rad.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 109
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
y la frecuencia #,
1 1
ós = Hertz (Hz)
s
1 1
ó min = revoluciones por minuto (rpm)
min
1
ó h 1 , etc.
h
En la figura 3.2 se ilustra el significado de 'o , para lo cual se han tomado como
ejemplo dos oscilaciones,
que están desfasadas en 'o radianes. Observamos que la fase 'o corresponde a un
deslizamiento de la curva de posición en función del tiempo hacia tiempos menores
o mayores.
dx
v= = !A Sen (!t + 'o ) (3.10)
dt
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 110
3.1. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
dv
= ! 2 A Cos (!t + 'o ) = ! 2 x
a= (3.11)
dt
Es obvio que la velocidad y la aceleración máxima vienen dadas por,
vmax = !A (3.12)
que puede ser obtenida sabiendo que en un período completo la distancia recorrida
por la partícula es de 4A y sabiendo que !t = 2 rad.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 111
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
dv
= ! 2 A Sen (!t + 'o ) = ! 2 x
a= (3.20)
dt
Es obvio que la velocidad y la aceleración máxima vienen dadas por,
vmax = !A (3.21)
x (t) = 8; 0m Cos 5; 0 t +
2
donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) frecuencia y
período del movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase,
y (d) la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 0; 5 s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 112
3.1. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.5). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 8; 0 m
rad
! = 5; 0
s
'o = rad
2
rad
(a) Como ! = 5; 0 s
, entonces,
2 2:
= = rad
= 0; 4 s
! 5; 0 s
y,
1 1 1
#= = = 2; 5 s = 2; 5 Hz
0; 4 s
(b) La amplitud fue encontrada por comparación resultando,
A = 8; 0 m
(c) De la misma manera, la constante de fase 'o fue encontrada por comparación
resultando,
' = rad
2
(d) A partir de la ecuación dada,
x (t) = 8; 0m Cos 5; 0 t +
2
para t = 0; 5s,
rad
x = 8; 0 m Cos 5; 0: :0; 5 s + rad
s 2
= 8; 0 m Cos 2; 5 rad + rad
2
= 8; 0 m Cos (3 )
= 8m
dv
a = = ! 2 A Cos (!t + 'o ) = !2x
dt
2
rad
= 5; 0 : ( 8 m)
s
3 m
= 1; 97:10 2
s
Ejemplo 3.2: Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un MAS
a partir del origen en t = 0, siguiendo la ecuación,
Determine: (a) La velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, (b)
la aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre y (c) la distancia
total recorrida entre t = 0 y t = 2; 00 s.
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.6). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 4; 00 cm
rad
! = 1; 00
s
'o = 0 rad
v = !A Cos (!t)
entonces,
1 vmax
t = Cos 1
! !A !
cm
1 4
= rad
Cos 1 rad
s
1; 00 s 1; 00 s :4; 00 cm
1 s
= Cos 1 (1)
1; 00 rad
1 s
= :0 rad
1; 00 rad
= 0s
a= ! 2 A Sen (!t)
al hacer a = amax (tomando amax positiva pues se desplaza hacia la derecha), po-
demos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,
amax
amax = ! 2 A Sen (!t) ) Sen (!t) =
!2A
1 a max
) t = Sen 1
! !2A
entonces,
1 amax
t = Sen 1
! !2A " #
2 cm
1 4 2
= Sen 1 s
1; 00 rad rad 2
s 1; 00 s :4; 00 cm
1 s
= Sen 1 (1)
1; 00 rad
1 s
= : rad
1; 00 rad 2
= 0; 5 s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 115
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
(a) ¿cuál es la velocidad máxima y en qué tiempo se da?, (b) ¿cuál es la acele-
ración máxima y en qué tiempo se da?. Se sabe que t está dado en segundos.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 116
3.1. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
Solución:
(a) Por ser cosenoidal la ecuación para la velocidad y la aceleración vienen dadas
por (3.10) y (3.11) respectivamente, por lo tanto,
dx
v = = !A Sen (!t + 'o )
dt
rad rad
= 7; 0 :25; 0 cm Sen 7; 0 : s + rad
s s 3 4
cm 31
= 175 Sen rad
s 12
cm
= 169; 04
s
dv
a = = ! 2 A Cos (!t + 'o )
dt
2
rad rad
= 7; 0 :25; 0 cm Cos 7; 0 : s + rad
s s 3 4
cm 31
= 1225 2 : Cos rad
s 12
cm
= 317; 05 2
s
entonces,
1h 1 vmax i
t = Sen 'o
! " !A ! #
cm
1 175
= Sen 1 s
rad
7; 0 rad
s
7; 0 rad
s
:25; 0 cm 4
1 s h i
= : Sen 1 ( 1) rad
7 rad 4
1 s 3
= : rad rad
7 rad 2 4
1 5
= s:
7 4
= 0; 56 s
1 (2n 1)
t = 'o
! 2
1 3 1
= rad
7; 0 s 2 4
= 0; 56 s
2
rad cm
amax = !2A = 7; 0 :25; 0 cm = 1225
s s2
al hacer a = amax (tomando amax positiva pues se desplaza hacia la derecha), po-
demos encontrar el tiempo en la que esta ocurre como sigue,
amax
amax = ! 2 A Cos (!t + 'o ) ) Cos (!t + 'o ) =
!2A
1h amax i
) t= Cos 1 ' o
! !2A
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 118
3.1. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
entonces,
1h 1 amax i
t = Cos 'o
! " !2A ! #
cm
1 1225 2
= Cos 1 s
rad
7; 0 rad rad 2 4
s 7; 0 s :25; 0 cm
1 s h i
1
= Cos ( 1) rad
7; 0 rad 4
1 s
= : rad rad
7; 0 rad 4
1 s 3
= : rad
7; 0 rad 4
= 0; 33 s
1
t = [(n 1) 'o ]
!
1 1
=
7; 0 rad
s
4
= 0; 33 s
Ejemplo 3.5: Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su
desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.5). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 4; 00 m
rad
! =
s
'o = rad
4
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 119
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
rad
(a) Como podemos ver A = 4; 00 m y ! = s
. Ahora,
rad
!
#= = s = 0; 5 Hz
2 2
1 1
#=1) = = =2s
# 0; 5 Hz
1 m
vmax = A! = :4; 00m = 4
s s
2
1 2m
amax = A! 2 = :4; 00m = 4
s s2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 120
3.2. RESORTES
restamos,
xo = 4; 00m Cos :0 +
4
= 4; 00m Cos
4
= 4; 00m (0; 707)
= 2; 83 m
x=x xo = 2; 83 m 2; 83 m = 5; 66 m
(e) La fase del movimiento es el argumento del coseno en la ecuación para la posi-
ción, por lo tanto,
9
fase = t + = :2; 00 + =
4 4 4
3.2 Resortes
donde K es la llamada constante de elasticidad del resorte, cuyo valor depende del
material que lo constituye.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 121
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
F = kx (3.29)
3.2.2 Unidades de k
Es fácil notar que las unidades de k están formadas por el cociente entre una
unidad de fuerza y una unidad de longitud, por lo tanto, en el sistema M.K.S.C., la
unidad es,
N Kg
= 2
m s
en el c.g.s.s.,
din g
= 2
cm s
y en el sistema inglés,
lbf
pie
El período y la frecuencia vienen dadas por (3.8) y (3.9) respectivamente.
Ejemplo 3.6: Una masa de 200 g está conectada a un resorte ligero cuya constante
de elasticidad es 5; 00 N=m y puede oscilar libremente, sobre una pista horizontal
sin fricción. Si la masa se desplaza 5; 00 cm desde el equilibrio y se suelta a par-
tir del reposo como se muestra en la figura 3.3. Encuentre: (a) El período de su
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 122
3.2. RESORTES
Figura (3.3): Ejemplo 3.6.: Una masa de m que está conectada a un resorte ligero.
(d) Al usar (3.5), (3.10), (3.11) y tomar 'o = 0 (pues no se sice nada sobre esta cons-
tante) obtenemos,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 123
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
dx
v = = !A Sen (!t + 'o )
dt
1
= 5; 00 :5; 00:10 2 m Sen (5; 00t)
s
m
= 0; 250 Sen (5; 00t)
s
dv
a = = ! 2 A Cos (!t + 'o )
dt
2
1
= 5; 00 :5; 00:10 2 m Cos (5; 00t)
s
m
= 1; 25 2 Cos (5; 00t)
s
Ejemplo 3.7: Una masa de 20; 00 Kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical
fijo a una viga. La masa se pone a oscilar verticalmente con un período de 7; 30
s. Encuentre la constante de elasticidad del resorte.
entonces,
2
2 N
k= :20; 00 Kg = 14; 81
7; 30s m
1300 Kg + 160 Kg
m= = 365 Kg
4
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 124
3.2. RESORTES
Ejemplo 3.9: Un resorte se estira 0; 400 m cuando se le cuelga una masa de 1; 00 Kg.
El resorte se estira una distancia adicional de 0; 200 m de su punto de equilibrio y
luego se suelta. Determínese (a) la constante k del resorte, (b) la amplitud de la
oscilación, (c) la velocidad máxima, (d) la aceleración máxima y (e) el período y
la frecuencia.
Solución:
F ( mg) mg
F = kz ) k = )k= )k=
z y z
entonces,
1; 00Kg:9; 8 sm2 N
k= = 24; 5
0; 400 m m
(b) La amplitud va a ser la máxima separación a partir del punto de equilibrio. Cuando
al resorte se le cuelga la masa dada, éste se estira y alcanza una posición de equi-
librio. A partir de allí, se estira una distancia adicional de 0; 200 m, en consecuencia,
A = 0; 200 m
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 125
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
y a partir de (3.9),
1 1
#= = = 0; 78 Hz
1; 269 s
Solución: Primeramente tomamos 'o = 0, pues no ne dice nada sobre esta cons-
tante. Además, mientras no se diga lo contrario, nuestra ecuación de x(t) será de
tipo cosenoidal (3.5), pues es la solución que escogimos para desarrollar el presente
capítulo.
(a) Como v es positiva significa que el bloque se está moviendo hacia la derecha
entonces, en este momento, a la mitad del camino entre su posición de equilibrio y
el punto extremo x es positiva y vale x = A=2, por lo tanto,
A
x = A Cos (!t) ) = A Cos (!t) ) !t = (1)
2 3
Ahora bien, según (3.10), la rapidez para ' = 0 correspondiente a esta solución
viene dada por,
v = !A Sen (!t) (2)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 126
3.2. RESORTES
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 127
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
que, al usar la conocida identidad Sen2 =1 Cos2 y la ecuación (3.32); puede ser
escrita como (ejercicio),
1
T = m! 2 A2 x2 (3.34)
2
de la cualpodemos observar que T es máxima para x = 0 y nula cuando x = A (en los
extremos).
1
U (x) = kx2 (3.38)
2
Entonces, la energía mecánica total E de la partícula será (ejercicio):
1
E = T + U = kA2 (3.39)
2
que, como es fácil apreciar, es una constante para una amplitud dada. Como la
energía mecánica es constante, se dice que el OAS es un sistema es conservativo
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 128
3.2. RESORTES
iguales a A del origen. En cualquier punto x la energía cinética T está dada por la
distancia entre la curva U (x) y la línea E:
Ejemplo 3.11: ¿Cuál es la energía total de una masa m que se mueve con amplitud
de 25 cm en una mesa plana sin fricción, y está fija a un resorte cuya constante es
33 N=m?.
T =U (1)
Ejemplo 3.13: Una masa de 0; 500 Kg conectada a un resorte ligero de k = 20; 0 N=m
oscila sobre una pista horizontal sin fricción. Calcular: (a) La energía total del
sistema y la velocidad máxima de la masa si la amplitud del movimiento es 3; 00
cm, (b) la velocidad de la masa cuando la posición es 2; 00 cm, (c) la energía
cinética y potencial del sistema cunado x = 2; 00 cm y (d) los valores de x para los
cuales la velocidad de la masa es igual a 0; 100 m=s.
Solución:
1 1 N 2
E = kA2 = :20; 0 : 3; 00:10 2 m = 9; 00:10 3
J
2 2 m
La velocidad máxima se consigue cuando la energía potencial de la masa se hace
cero, por lo tanto, su energía cinética T se hace igual a la energía total E [ver
ecuación (3.39)], entonces, al usar(3.33),
r
1 2 2E
T = mv = E ) v =
2 m
de aquí que,
s
2:9; 00:10 3 J
v =
0; 500 Kg
s
2
18; 00:10 3 Kg: ms2
=
0; 500 Kg
m
= 0; 190
s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 130
3.2. RESORTES
entonces, de (3.35),
p
v = ! A2 x 2
q
1
= 6; 32 (3; 00:10 2 m)2 (2; 00:10 2 m)2
s
m
= 0; 141
s
y de (3.38),
1 2
U (x) = kx
2
1 N 2
= :20; 0 : 2; 00:10 2 m
2 m
= 4; 00:10 3 J
Observemos que,
T + U t 9; 00:10 3 J = E
Ejemplo 3.14: Una persona de 120 Kg salta desde una ventana a una red contra in-
cendio 10 m abajo, con lo que ésta se estira 2; 0 m. (a) Suponga que la red se
comporta como un resorte simple y calcule cuánto se estiraría si la persona es-
tuviera encima de ella, (b) ¿cuánto se estiraría si la persona se arrojara desde 15
m?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 131
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
v 2 = 2gh (1)
F =w= mg (6)
Por otro lado, según (3.29), la fuerza que aplica la red sobre la persona es,
F = kz (7)
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3.2. RESORTES
Ejemplo 3.15: Una masa de 5; 0 Kg, fija a un resorte, tiene MAS a lo largo del eje x, y
su período es 1; 0 s. Si la energía total de resorte y masa es 750; 0 J, ¿cuál es la
amplitud de la oscilación?.
Solución: Al usar la ecuación (3.39), la energía mecánica total viene dada por,
1
E = kA2 (1)
2
y de (3.33), la energía cinética viene dada por,
1
T = mv 2 (2)
2
Por conservación de energía, el pollo alcanza la rapidez máxima cuando toda la
energía mecánica E se hace igual a su energía cinética T , por lo tanto,
E=T (3)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 133
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
x (t) = 8; 0m Cos 5; 0 t +
2
donde x está dada en metros y t en segundos. Determine: (a) la energía mecá-
nica total, (b) la energía cinética y la potencial en t = 0; 19 s.
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
su correspondiente solución del OAS. En este caso, la ecuación dada se corresponde
con (3.5). Por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
A = 8; 0 m
rad
! = 5; 0
s
'o = rad
2
(a) Al usar (3.39),
1 2
E = kA
2
1 N
= :1:103 : (8; 0 m)2
2 m
= 3; 2:104 J
(b) En t = 5 s,
y, al usar (3.34),
1
T = m! 2 A2 x2
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 134
3.3. ALGUNOS SISTEMAS ARMÓNICOS
pero de (3.4),
k
!2 =
m
entonces,
1
T = k A2 x 2
2
1 N
= :1:103 : (8; 0 m)2 (7; 97 m)2
2 m
= 2; 40:102 J
Observemos que,
T + U = 3; 2:104 J = E
wx = mg Sen (3.40)
donde el signo menos se debe a que se opone siempre al desplazamiento s = CA: La
ecuación de movimiento tangencial vendrán dada entonces, a partir de (3.2), por:
Fx = wx = max (3.41)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 135
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
d2 s d2 (` ) d2
= ax == ` (3.42)
dt2 dt2 dt2
puesto que s = CA = ` (longitud de arco). Entonces, de (3.40), (3.41) y (3.42) podemos
escribir,
d2 g
2
+ Sen = 0 (3.43)
dt `
ahora, si cuponemos oscilaciones de pequeña amplitud (esto es, pequeño), en-
tonces:
d2 g
2
+ =0 (3.45)
dt `
que es idéntica a (3.3) con,
g
!2 = (3.46)
`
entonces, el período de un péndulo simple es:
s
`
=2 (3.47)
g
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 136
3.3. ALGUNOS SISTEMAS ARMÓNICOS
Solución:
Ejemplo 3.19: Un péndulo simple tiene una longitud de 10; 00 m. Determine el cambio
en su período si éste se toma desde un punto donde g = 9; 80 m=s2 hasta una
elevación donde la aceleración en caída libre disminuye a 9; 70 m=s2 .
es decir, el período aumentó cuando el péndulo fue elevado hasta su nueva posición.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 137
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.20: El péndulo de un reloj (tomado como pédulo simple) tiene un período
de 2 s cuando g = 9; 8 m=s2 . Si la longitud del péndulo, se incrementa en 4 mm
¿cuánto se atrasará el reloj en 24 horas?.
entonces,
2
2s m
`= :9; 8 = 0; 9929 m
2 s2
Ahora, si esta longitud la incrementamos en 1mm = 10 3 m,
s
0; 9929 m + 0; 004m
=2 = 2; 003 s
9; 8 sm2
por lo tanto, el período se incrementa en 0; 003 s cada 2 s. En 24 h, que son 86400 s, este
incremento corresponderá a un tiempo de,
86400:0; 003 s
= 129; 6 s
2
que representa el atraso del reloj debido al incremento en la longitud del péndulo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 138
3.3. ALGUNOS SISTEMAS ARMÓNICOS
Ejemplo 3.23: El lector necesita medir la altura de un recinto. Tiene un reloj, pero no
cinta métrica. Un péndulo con una masa puntual en su extremo cuelga del techo
hasta el piso, y tiene un período = 12 s. ¿Cuál es la altura del recinto?.
Solución: Como el péndulo llega al suelo, su longitud es igual a la altura del recinto.
A partir de (3.47), s
` 2
=2 )`= g
g 2
por lo tanto,
2
12 s m
`= :9; 8 = 35; 75 m
2 s2
Ejemplo 3.24: La diferencia de temperatura del verano al invierno hace que la longi-
tud de un péndulo de un reloj, cuyo período es de 2 s, varíe en una parte en 10000.
¿Qué error en la medida del tiempo se presentará en 1 d{a?.
entonces,
2
2s m
`= :9; 8 = 0; 992947 m
2 s2
1
Ahora, si esta longitud la incrementamos en 10000 ` = 9; 92:10 5 m,
s
0; 9929 m + 9; 92:10 5 m
=2 = 2; 000052 s
9; 8 sm2
por lo tanto el período se incrementa en 0; 000052 s cada 2 s. En 1 d{a, que son 86400 s,
este incremento corresponderá a un tiempo de,
86400:0; 000052 s
= 2; 2 s
2
que representa el error cometido.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 139
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
T = mg d (3.50)
Pero, como sabemos de nuestros estudios de la dinámica rotacional, el torque se
relaciona con el momento de inercia 4 I mediante:
d2
T =I (3.51)
dt2
por lo tanto, de (3.50) y (3.51) obtenemos,
d2 mgd
+ =0 (3.52)
dt2 I
que tiene la misma forma que (3.3), con:
mgd
!2 = (3.53)
I
de aquí que el período del péndulo físico sea,
4
Para refrescar conocimientos, revisar el capítulo 9 del volumen I del texto [4] Movimiento rotacional
alrededor de un eje.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 140
3.3. ALGUNOS SISTEMAS ARMÓNICOS
s
2 I
= =2 (3.54)
! mgd
y su frecuencia será, r
1 mgd 1
#= = (3.55)
2 I
Notemos que todo el razonamiento anterior se aplica a un objeto laminar de cual-
quier forma y que el pivote puede estar localizado en cualquier punto del cuerpo.
que nos dice que el momento de inercia I con respecto a un eje paralelo al que pasa
por el centro de masa es igual al momento de inercia del cuerpo con respecto al
centro de masa Icm más el producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de
la distancia que separa dichos ejes D. Por lo tanto, (3.54) y (3.55) pueden ser escritas
ahora como, s
Icm + mD2
=2 (3.57)
mgd
s
1 mgd
#= (3.58)
2 Icm + mD2
Ejemplo 3.25: Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto alrede-
dor de cualquier eje es medir el período de oscilación alrededor de ese eje. Por
ejemplo, supóngase que una barra no uniforme de 5; 0 Kg puede equilibrarse en
un punto de 20 cm del eje de giro. Si se hace oscilar alrededor de ese extremo, lo
hace con una frecuencia de 1; 0 Hz.. ¿Cuál es su momento de inercia alrededor
de ese extremo?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 141
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.26: Una varilla delgada y uniforme (ver figura 3.7) de largo L = 2; 00 m y
masa M = 250 g está sostenida por uno de sus extremos. (a)¿Cuál es su período?,
(b) ¿Cuál será la longitud de un péndulo simple que tenga el mismo período?. (El
momento de inercia de una varilla delgada alrededor de un eje que pase por
uno de sus extremos es
1
I = M L2
3
donde L es la longitud de la varilla y M es su masa. El centro de gravedad de
una varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud).
Figura (3.7): Ejemplo 3.26: Varilla delgada y uniforme de largo L y masa M sostenida por uno de sus
extremos.
Solución:
entonces, s
2:2; 00m
=2 = 2; 32 s
3:9; 8 sm2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 142
3.3. ALGUNOS SISTEMAS ARMÓNICOS
Ejemplo 3.27: Calcule el período de una regla métrica homogénea que gira alrede-
dor de uno de sus extremos y que oscila en un plano vertical, como se muestra
en la figura 3.7.
Solución:
Solución:
Al usar (3.55) y tener presente que d = 0; 350 m con respecto a sus extremos, pode-
mos escribir, r
1 M gd M gd
#= )I= 2 2
2 I 4 #
entonces,
2; 20Kg:9; 8 sm2 :0; 350 m
I = 2
4 2 0; 450 1s
= 0; 944 Kgm2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 143
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
en el lado opuesto del centro de masa, a una distancia h2 del centro de masa,
respecto al cual el objeto oscila con el mismo período. Demuestre que
2
g
h1 + h2 = 2
4
y para P2 , s s
Icm + mD22 I + mh22
=2 =2 (2)
mgd2 mgh2
Ahora, si despejamos I en cada caso,
s
I + mh21 2
=2 ) I = mgh1 mh21 (3)
mgh1 2
s
I + mh22 2
=2 ) I = mgh2 mh22 (4)
mgh2 2
Por último, al igualar (3) con (4),
2 2
mgh1 mh21 = mgh2 mh22
2 2
g 2
(h2 h1 ) = h22 h21
4 2
2
g
2
= h2 + h1
4
como se quería demostrar.
Solución: El momento de inercia con respecto al centro de masa Icm del anillo es,
Para encontrar el momento de inercia I con respecto al eje que pasa por O, usamos
el teorema de Stainer,
I = Icm + mD2 = mR2 + mD2 (2)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 144
3.3. ALGUNOS SISTEMAS ARMÓNICOS
puesto que d = R.
entonces,
s
2R
= 2
g
s
2:0; 10 m
= 2
9; 8 sm2
= 0; 88 s
Ejemplo 3.31 Una esfera (ver figura 3.9) de radio R está suspendida desde un punto fijo
por una cuerda, de modo que la distancia desde el centro de la esfera al punto
de suspensión es `. Encontrar el período del péndulo.
Solución: No podemos considerar el péndulo como simple, a menos que ` sea muy
grande comparado con R. El momento de inercia Icm de una esfera con respecto a
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 145
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.9): Ejemplo 3.31: Una esfera de radio R suspendida desde un punto fijo por una cuerda.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 146
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
!
F roce = b!
v (3.59)
donde b es una constante positiva relacionada con las propiedades del medio re-
sistente y !
v es la velocidad de la partícula, entonces la ecuación de movimiento
para la partícula será ahora:
d2 x
m = kx bv (3.60)
dt2
que podemos escribir, después de arreglos triviales, como:
d2 x dx
2
+2 + ! 2o x = 0 (3.61)
dt dt
donde,
b k
= y ! 2o = (3.62)
2m m
siendo ! 2o , como es fácil notar, la frecuencia angular sin amortiguamiento.
donde,
5
Para los lectores curiosos y que desean siempre ir un paso adelante, es recomendada la lectura de la
sección 3.7.1, pág. 169 del texto [11].
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 147
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
q r
2 k b2
! amort = ! 2o = (3.65)
m 4m2
t
Aamort = Ao e (3.66)
Si el amortiguamiento es muy grande, puede ser mayor que ! o ; por lo tanto (3.65)
se hace imaginaria (oscilador sobre-amortiguado). En este caso no hay oscilaciones y
la partícula, si se la desplaza y se le deja libre, se aproxima gradualmente a la posición
de equilibrio sin pasarla o, a lo más, pasándola una sola vez. En el caso en que
sea igual a ! o , se dice que el oscilador posee un amortiguamiento crítico. La energía
perdida por la partícula en oscilaciones amortiguadas es absorbida por el medio que
le rodea.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 148
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
dx d
v = = Ao e t Sen (! amort t + 'o )
dt dt
d
= Ao e t Sen (! amort t + 'o )
dt
= Ao e t [! amort Cos (! amort t + 'o ) Sen (! amort t + 'o )] (3.67)
o también, q
v= x + ! amort (Ao e t )2 x2 (3.68)
d2 x dv
a = 2
=
dt dt
d
= Ao e t [! amort Cos (! amort t + 'o ) Sen (! amort t + 'o )]
dt
2
= Ao e t 2 ! amort Cos (! amort t + 'o ) + ! 2amort Sen (! amort t + 'o ) (3.69)
o también, q
a= 2
! 2amort x 2 ! amort (Ao e t )2 x2 (3.70)
Ejemplo 3.32: Una masa en un resorte con frecuencia angular natural ! o = 38 rad=s, se
coloca en un ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento propor-
cional a la velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0; 82 veces su valor
inicial en 9; 9 s, ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?.
t
Aamort = Ao e ) 0; 82 Ao = Ao e 9;9s
1 rad
) = ln (0; 82) ) = 0; 02
9; 9s s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 149
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
) 2 p 2
= ln (0; 5) ) 2 p 2
= 0; 693
! 2o ! 2o
| {z }
Por (3.65)
Kg
) b = 1086
s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 150
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
b
donde debemos tener presente que por (3.62) = 2m
.
Ejemplo 3.35: Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de ma-
nera que su posición viene dada por,
t 2
x(t) = 10m e 3 Sen t+
5 3
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
(3.63), por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
Ao = 10 m
2 rad
! amort =
5 s
'o = rad
3
rad
=
3 s
(a) De lo anterior,
2 rad
! amort =
5 s
'o = rad
3
rad
=
3 s
t
Aamort = 10m e 3
= 10m e 3
= 3; 5 m
t
v = Ao e [! amort Cos (! amort t + 'o ) Sen (! amort t + 'o )]
2 2 2
= 10m e 3 t s 1 Cos t+ s 1 Sen t+
5 5 3 3 5 3
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 151
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
que, en t = 2; 0 s,
m 2 2 17 1 17
v = 10 e 3 Cos Sen
s 5 15 3 15
m
= 0; 89
s
y al usar (3.69),
t 2
a = Ao e 2 ! amort Cos (! amort t + 'o ) + ! 2amort Sen (! amort t + 'o )
2 2
4 2 11 2
= 10m e 3 t s 2 Cos t+ + s 2 Sen t+
15 5 3 225 5 3
que, en t = 2; 0 s,
m 2 t 4 17 11 17
a = 10 e 3 Cos + Sen
s2 15 15 225 15
m
= 9; 13 2
s
Ejemplo 3.36 Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de ma-
nera que su posición viene dada por,
t 3
x(t) = 25cm e 10 Sen t
5
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
(3.63), por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
Ao = 25 cm
3 rad
! amort =
5 s
'o = 0 rad
rad
=
10 s
(a) De lo anterior,
'o = 0 rad
rad
=
10 s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 152
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
= 25 cm e 2
= 5; 2 cm
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CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
F = kz
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3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
b
=
2m
30 Kg
s
=
2:25 Kg
3 1
= s
5
y, al usar (3.65),
r
k 2
! amort =
sm
2
1470 N
m 3 1
= s
25 Kg 5
s
Kg m2
s
m 9 2
= 58; 8 s
Kg 25
1
= 17; 1s
3
t
x(t) = 55 cm e 5 Sen (17; 1t)
(b) Para t = 1; 5 s,
3
:1;5
x(t) = 55 cm e 5 Sen (17; 1:1; 5)
= 11 cm
Ejemplo 3.39 Un cuerpo oscila con movimiento amortiguado a lo largo del eje x. Su
desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,
t
x (t) = 4; 00 m e Sen (5t)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 155
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Solución: Lo primero que tenemos que hacer es comparar la ecuación dada con
(3.63), por lo tanto, al compararlas, encontramos que,
Ao = 4; 00 m
rad
! amort = 5
s
'o = 0 rad
rad
= 1
s
(a) La frecuencia viene dada por,
5s 1
#amort =
2
= 0; 80 Hz
y el período,
1
amort =
#amort
1
= 1
0; 80s
= 1; 25 s
(b) Según se indica en el enunciado del problema, la posición viene dada por,
1
x (t) = 4; 00 m e Sen (5)
= 1; 41 m
t
v = Ao e [! amort Cos (! amort t + 'o ) Sen (! amort t + 'o )]
t 1 1
= 4; 00 m e 5s Cos (5t) s Sen (5t)
que, en t = 1; 00 s,
m 1
v = 4; 00 e [5 Cos (5) Sen (5)]
s
m
= 3; 50
s
y al usar (3.69),
t 2
a = Ao e 2 ! amort Cos (! amort t + 'o ) + ! 2amort Sen (! amort t + 'o )
t 2 2
= 4; 00 m e 10s Cos (5t) + 24s Sen (5t)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 156
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
que, en t = 1; 00 s,
m 1
a = 4; 00 2 e [10 Cos (5) + 24 Sen (5)]
s
m
= 29; 7 2
s
pero aquí las amplitudes son los ángulos, de manera que Aamort = 5; 50o y Ao = 15; 0o .
Entonces,
1 5; 50o
5; 50o = 15; 0o e 1000s ) = ln = 1; 00:10 3 s 1
1000s 15; 0o
3.4.3 Energía
Como la energía mecánica E de un oscilador es proporcional al cuadrado de la
amplitud, la energía de un oscilador sub-amortiguado (valor promedio en un ciclo)
también disminuye exponecialmente con el tiempo si 1. En efecto,
1 1
E = T + U = mv 2 + kx2 (3.71)
2 2
y al usar (3.68) resulta,
q 2
1 t )2
1
E = m x + ! amort (Ao e x2 + kx2
2 2
2 3
q
1 6 2 2 t )2 7 1
= m4 x 2 x! amort (Ao e x2 + ! 2amort A2o e 2 t
x2 5 + kx2 (3.72)
2 | {z } 2
'0 por ser 1
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 157
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
con,
1
Eo = kA2o (3.74)
2
Se acostumbra describir el grado de amortiguamiento de un sistema oscila-
torio amortiguado en términos del factor de calidad o factor Q del sistema,
!o
Q= (3.75)
2
E j Ej 2 2
= 2 E) =2 = = (3.77)
E ciclo !o Q
es decir,
2 j Ej
Q= , 1 (3.78)
(j Ej =E)ciclo E
de manera que Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por
ciclo.
Solución: De (3.77),
j Ej 2 2
= = = 0; 0168 = 1; 68%
E ciclo Q 373
Ejemplo 3.42 Mostrar que el cambio de la energía mecánica total, con respecto al
tiempo, para un oscilador amortiguado viene dada por,
dE
= bv 2
dt
y por lo tanto es siempre negativa. Ayuda: Derivar la expresión para la energía
mecánica total E = 21 mv 2 + 21 kx2 y usar (3.60).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 158
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
dE dv dx
= mv + kx (2)
dt dt dt
pero,
dv d2 x dx
dt
= dt2 dt
=v (3)
dE d2 x
= mv 2 + kxv (4)
dt dt
y al usar (3.60) resulta,
dE
= v ( kx bv) + kxv
dt
o,
dE
= bv 2 < 0
dt
j Ej
= 2; 0% = 0; 02
E ciclo
1 1 N
Eo = kA2o = :300 : (0; 04m)2 = 0; 240 J
2 2 m
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 159
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
(d) De (3.77),
j Ej 1 j Ej
=2 ) =
E ciclo 2 E ciclo
de aquí que,
1 rad
= :0; 02 = 0; 024
2:0; 726 s s
b
y como = 2m
entonces,
1 Kg
b = 2m = 2:4; 0:0; 024 = 0; 192
s s
Ejemplo 3.44 Cuando se pulsa la nota do-central en el piano (frecuencia 262 Hz), la
mitad de su energía se pierde en 4 s. (a) ¿Cuál es el valor de ?, (b) ¿cuál es el
factor Q de esta cuerda de piano? y (c) ¿cuál es la pérdida de energía relativa
por ciclo?.
Solución:
2 t 1 2 t 1 2 t
E = Eo e ) Eo = Eo e ) =e
2 2
de aquí que,
1 1 1 1 rad
= ln = ln = 0; 087
2t 2 2:4s 2 s
j Ej 2 2 4
= = = 6; 61:10
E ciclo Q 9; 50:103
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 160
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
Ejemplo 3.45 Demostrar que el cociente de las amplitudes de dos oscilaciones sucesi-
vas en un oscilador forzado es constante.
Solución: De (3.66),
t
Aamort (t) = Ao e
y trascurrido un tiempo igual a un período tendríamos,
(t+ )
Aamort (t + ) = Ao e
dE = kAdA
de aquí que,
E
= 2:7% = 14%
E ciclo
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 161
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
2 2
Q= = = 44; 9
(j Ej =E)ciclo 0; 14
Ejemplo 3.47 Un oscilador posee un factor Q igual a 35; 7. (a) ¿En qué fracción dismi-
nuye la energía en cada ciclo?, (b) utilizar la ecuación (3.65) para determinar la
diferencia en porcentaje entre ! amort y ! o . Sugerencia: Utilizar la aproximación
(1 + x)1=2 1 + 21 x para valores pequeños de x.
Solución:
(b) De (3.65),
q
2
! amort = ! 2o
pero de (3.75),
2 1
=
!o Q
entonces,
1=2
1
! amort = ! o 1
4Q2
1
! amort = ! o 1 +
8Q2
Ahora bien,
! amort ! o 1 1 1
= !o 1 + !o =
!o !o 8Q2 8Q2
entonces,
! amort ! o 1 5 3
= = 9; 81:10 = 9; 81:10 %
!o 8: (35; 7)2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 162
3.4. EL OSCILADOR AMORTIGUADO
Ejemplo 3.48 Un sistema masa-resorte amortiguado oscila con una frecuencia de 200
Hz. La constante del sistema es 0; 25 rad=s. En el tiempo t = 0, la amplitud de
la oscilación es 6; 0 cm y la energía del sistema oscilante es 60 J. (a) ¿Cuáles son
las amplitudes de oscilación para t = 2; 0 s y t = 4; 0 s? y (b) ¿cuánta energía se
disipa en el primer intervalo de 2 s y en el segundo intervalo de 2 s?.
(a) De (3.66),
t
Aamort (t) = Ao e
o,
t
Aamort (t) = (6; 0 cm) e
entonces, (
0;25 1s :2;0s
Para t = 2; 0s: Aamort = (6; 0 cm) e = 3; 64 cm
0;25 1s :4;0s
Para t = 4; 0s: Aamort = (6; 0 cm) e = 2; 21 cm
(b) De (3.73),
2 t
E (t) = Eo e
o,
2 t
E (t) = (60 J) e
entonces, (
2:0;25 1s :2;0s
Para t = 2; 0s: E (2; 0s) = (60 J) e = 22; 1 J
2:0;25 1s :4;0s
Para t = 4; 0s: E (4; 0s) = (60 J) e = 8; 12 J
de aquí que la energía disipada en el primer intervalo de 2 s es,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 163
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Solución:
(a) De (3.77),
j Ej 2 2
= = = 0; 0157 = 1; 57 % (1)
E ciclo Q 400; 0
j Ej j Ej
E1 = Eo Eo = Eo 1 (2)
E ciclo E ciclo
j Ej j Ej
E2 = E1 E1 = E1 1
E ciclo E ciclo
j Ej j Ej
= Eo 1 1
E ciclo E ciclo
| {z }
Por (2)
2
j Ej
= Eo 1 (3)
E ciclo
j Ej j Ej
E3 = E2 E2 = E2 1
E ciclo E ciclo
2
j Ej j Ej
= Eo 1 1
E ciclo E ciclo
| {z }
Por (3)
3
j Ej
= Eo 1 (4)
E ciclo
(c) Lo primero que debemos encontrar es cuántos períodos de 54 min están con-
tenidos en 2d. Un cálculo trivial arroja 53; 3. Por lo tanto al usar el resultado anterior
para n = 53; 3 resulta,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 164
3.5. OSCILADOR FORZADO
d2 x
m = kx bv + Fo Cos (! f t) (3.80)
dt2
que, después de arreglos triviales, queda como,
d2 x dx 2 Fo
+ 2 + ! o x = Cos (! f t) (3.81)
dt2 dt m
La ecuación (3.81) es similar a (3.61) excepto en que el miembro derecho no es
nulo.Para resolver esta ecuación se deben tener conocimientos previos en solución
de ecuaciones diferenciales no homogéneas 6 , sin embargo, mediante considera-
ciones físicas podemos darle solución. Parece lógico que en este caso la partícula
no oscilará con su frecuencia angular no amortiguada ! o ni con la frecuencia angular
p 2
amortiguada ! 2o . En su lugar, la partícula será forzada a oscilar con la frecuen-
cia angular ! f de la fuerza impulsora aplicada. Por esto, supondremos como posible
solución de la ecuación (3.81), una expresión de la forma,
Una sustitución directa de (3.82) en (3.81) demuestra que será satisfecha si la amplitud
es dada por,
6
Para el lector curioso es recomendada la lectura de la sección 3.7.2, pág. 175 del texto [11].
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 165
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Fo
A= q m (3.83)
2 2
! 2f ! 2o +4 ! 2f
2 !f
tan 'o = (3.84)
! 2o ! 2f
Notemos que tanto la amplitud (3.83) como la fase inicial (3.84) no son constan-
tes arbitrarias, sino cantidades fijas (pues son proporcionadas por las fuerza impulsora)
que dependen de la frecuencia ! f de la fuerza externa aplicada lo que, matemá-
ticamente, significa que hemos encontrado una “solución particular” a la ecuación
diferencial (3.81): La solución (3.82) nos muestra que las oscilaciones forzadas no es-
tán amortiguadas, pero tienen amplitud constante y frecuencia igual a la de la fuerza
externa aplicada. Esto significa que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amor-
tiguamiento, proporcionando la energía necesaria para mantener las oscilaciones.
Todo sistema tiene una frecuencia a la que puede oscilar en forma natural, la cual
es llamada frecuencia natural del sistema ! o .
Ejemplo 3.50 Una masa de 2; 00 Kg unida a un resorte es accionada por una fuerza
externa,
F = 3; 00N Cos (2 t)
rad
Solución: Aquí es fácil notar que Fo = 3; 00N , ! f = 2 s
= 0 (por no haber amor-
tiguamiento). Además,
k 20; 0 N 1
! 2o = = m
= 10; 0 2
m 2; 00Kg s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 166
3.5. OSCILADOR FORZADO
Fo
A= q m
2 2
! 2f ! 2o +4 ! 2f
entonces,
3; 00N
2; 00Kg
A= q = 0; 05m = 5cm
1 2
4 s2
10; 0 s12 +0
2 !f 0 1
tan 'o = 2
= 2 = 0 ) 'o = tan (0)
2
!o !f ! o ! 2f
'o = 0
x (t) = A Cos (! f t)
d2 Fo
2
[A Cos (! f t)] + ! 2o [A Cos (! f t)] = Cos (! f t)
dt m
o,
Fo
A! 2f Cos (! f t) + ! 2o [A Cos (! f t)] = Cos (! f t)
m
y al simplificar,
Fo
Fo
A ! 2o ! 2f = )A= 2m 2
m !o !f
que es, justamente, (3.83) para = 0.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 167
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Ejemplo 3.52 Un peso de 70; 0 N está suspendido de un resorte que tiene una cons-
tante de elasticidad de 150 N=m. El sistema no está amortiguado y está sujeto
a una fuerza armónica de frecuencia # = 7; 00 Hz, originando un movimiento
forzado de amplitud 1; 50 cm. Determinar el máximo valor de dicha fuerza.
Solución: Primeramente,
1 rad
! f = 2 # = 2 :7; 00s = 44; 0
s
k gk 9; 8 sm2 :150 N rad2
! 2o = = = m
= 21 2
m w
|{z} 70; 0N s
m=w=g
entonces,
" #
2
70; 0N 1 1
Fo = :0; 015m: 44; 0 21 2
9; 8 sm2 s s
Fo = 205 N
Solución: Primeramente,
k 3; 50N=m rad2
! 2o = = = 70 2
m 0; 050Kg s
A partir de (3.83) con = 0 (ya que el amortiguamiento es despreciable),
Fo Fo r
m m Fo
A= q )A= ) !f = ! 2o
! 2f ! 2o
2 ! 2f ! 2o Am
entonces, r r
Fo 2 1; 10N
! f1 = ! 2o
+ = 70 rad
s2
+ = 11; 7 rad
s
r Am r 0; 330m:0; 050Kg
Fo 2 1; 10N
! f2 = ! 2o = 70 rad
s 2 = 1; 83 rad
s
Am 0; 330m:0; 050Kg
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 168
3.6. RESONANCIA
! f1 11;7 1s
#1 = 2
= 2
= 1; 87 Hz
! f2 1;83 1s
#2 = 2
= 2
= 0; 291 Hz
3.6 Resonancia
La resonancia es una situación en la que un sistema mecánico, estructural o
acústico vibra en respuesta a una fuerza aplicada con la frecuencia natural del sis-
tema ! o o con una frecuencia próxima.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 169
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
q r
2 k b2
! RA = ! 2o 2 = (3.86)
m 2m2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 170
3.6. RESONANCIA
dx
v=
= ! f A Cos (! f t + 'o ) (3.88)
dt
Comparando con la expresión F = Fo Cos (! f t) de la fuerza aplicada, podemos
observar que 'o representa el desfasaje de la velocidad con respecto a la fuerza. La
amplitud de la velocidad es:
Fo
!f
vo = ! f A = q m (3.89)
2 2
! 2f ! 2o +4 ! 2f
la cual puede escribirse también en la forma (ejercicio):
Fo
vo = s (3.90)
2
k
m! f + b2
!f
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 171
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Cuando el amortiguamiento es muy pequeño no hay gran diferencia entre las fre-
cuencias correspondientes a la resonancia en la amplitud y la resonancia en la ener-
gía.
3.7 Problemas
1. Mediante sustitución directa, mostrar que las soluciones (3.5) y (3.6) satisfacen la
ecuación de un OAS (3.3).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 172
3.7. PROBLEMAS
7. El desplazamiento de un objeto es
8. Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un MAS a partir del
origen en t = 0, siguiendo la ecuación,
Determine: (a) La velocidad máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, (b) la
aceleración máxima y el primer tiempo a la cual ésta ocurre, y (c) la distancia total
recorrida entre t = 0 y t = 1; 00 s. Resp.: (a) 6 cm=s y 0; 666 s; (b) 18 2 cm=s2 y 0; 166 s;
(c) 12; 0 cm.
10. Una masa de 7; 00 Kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical fijo a una
viga. La masa se pone a oscilar verticalmente con un período de 2; 60 s. Encuentre
la constante de elasticidad del resorte. Resp.: 40; 9 N=m.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 173
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
12. Un bloque de 1; 5 Kg que está en reposo sobre una mesa se une a un resorte
horizontal con una constante de 19; 6 N=m. Al principio el resorte no está extendido.
Se aplica una fuerza constante horizontal de 20; 0 N al objeto causando que el
resorte se extienda. (a) Determine la velocidad del bloque después de que se ha
movido 0; 30 m a partir del equilibrio si la superficie entre el bloque y la mesa no
presenta fricción, (b) conteste el inciso (a) si k = 0; 20. Resp.: (a) 2; 61 m=s , (b) 2; 11
m=s.
13. Un automóvil que tiene una masa de 1000 Kg se dirige hacia un muro de ladrillos
en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un resorte de
constante igual a 5; 0:106 N=m y se comprime 3; 16 cm cuando el auto se lleva al
reposo. ¿cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendo que no se
pierde energía durante el impacto con la pared?. Resp.: 2; 23 m=s.
14. Una masa m fija a un resorte cuya constante es k, se aparta una distancia x de su
posición de equilibrio, y se suelta sin rapidez inicial: (a) ¿Cuál es la rapidez máxima
que alcanza la masa en el movimiento que sigue? y ¿en qué momento se alcanza
p
esa rapidez por primera vez?. Resp.: (a) !x, (b) 2 m k
.
16. Una partícula ejecuta un MAS con una amplitud de 3; 00 cm. ¿A qué desplaza-
miento desde el punto medio del movimiento su velocidad es igual a la mitad de
su velocidad máxima? Resp.: 2; 60 cm.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 174
3.7. PROBLEMAS
19. Una varilla delgada y uniforme, de masa M y longitud L, oscila respecto de uno de
sus extremos como péndulo físico. ¿Cuál es el período del movimiento oscilatorio
para ángulos pequeños?. Calcule la longitud ` del q péndulo simple que tenga el
2L
mismo período que la varilla oscilante.. Resp.: =2 3g
; ` = 23 L.
20. Una masa de 2; 00 Kg unida a un resorte es accionada por una fuerza externa,
si la constante de elasticidad del resorte es 20; 0 N=m, determine (a) el período y (b)
la amplitud del movimiento. Suponga que no hay amortiguamiento. Ayuda: utilice
la ecuación (3.83) con = 0 (esto indica que no hay amortiguamiento). Resp.: (a)
1; 98 s, (b) 5 cm.
21. Un peso de 40; 0 N está suspendido de un resorte que tiene una constante de elas-
ticidad de 200 N=m. El sistema no está amortiguado y está sujeto a una fuerza ar-
mónica de frecuencia # = 10; 0 Hz, originando un movimiento forzado de amplitud
2; 00 cm. Determinar el máximo valor de dicha fuerza. Resp.: 318 N .
22. Un oscilador posee un factor Q igual a 20. (a) ¿En qué fracción disminuye la ener-
gía en cada ciclo?, (b) utilizar la ecuación (3.65) para determinar la diferencia en
porcentaje entre ! amort y ! o . Sugerencia: Utilizar la aproximación (1 + x)1=2 1 + 12 x
para valores pequeños de x. Resp.: (a) 0; 314; (b) 3; 13:10 2 %.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 175
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
27. Un resorte se estira 0; 150 m cuando se le cuelga una masa de 0; 300 Kg. El resorte
se estira una distancia adicional de 0; 100 m de su punto de equilibrio y luego se
suelta. Determínese (a) la constante k del resorte, (b) la amplitud de la oscilación,
(c) la velocidad máxima, (d) la aceleración máxima y (e) el período y la frecuencia.
Resp.: (a) 19; 6 N=m; (b) 0; 1 m ; (c) 0; 808 m=s; (d) 6; 53 m=s2 ; (e) 0; 777 s y 1; 29 Hz.
29. Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto alrededor de cual-
quier eje es medir el período de oscilación alrededor de ese eje. Por ejemplo, supón-
gase que una barra no uniforme de 1; 6 Kg puede equilibrarse en un punto de 42
cm del eje de giro. Si se hace oscilar alrededor de ese extremo, lo hace con una
frecuencia de 2; 5 Hz. ¿Cuál es su momento de inercia alrededor de ese extremo?.
Resp.: I = 0; 027 Kg:m2 .
30. Una varilla delgada y uniforme de largo ` = 1; 00 m y masa m = 160 g está sostenida
por uno de sus extremos. (a)¿Cuál es su período?, (b) ¿Cuál será la longitud de un
péndulo simple que tenga el mismo período?. (El momento de inercia de una varilla
delgada alrededor de un eje que pase por uno de sus extremos es
1
I = m`2
3
donde ` es la longitud de la varilla y m es su masa. El centro de gravedad de una
varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud). Resp.: (a) 1; 64 s; (b) 0; 67 m.
32. Un resorte vibra con una frecuencia de 2; 4 Hz cuando se le cuelgan 0; 80 Kg. ¿Cuál
sería su frecuencia si sólo se le colgaran 0; 50 Kg?. Resp.: 3; 0 Hz.
33. Dos resortes idénticos, paralelos, cada uno con una constante elástica k,
qsoportan
1 2k
un bloque de masa m. ¿Cuál será la frecuencia de vibración?. Resp.: 2 m
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 176
3.7. PROBLEMAS
5
x(t) = 2; 4m Cos t+
4 6
35. (a) ¿A qué desplazamiento de un OAS es la energía mitad cinética y mitad poten-
cial?; (b) ¿Qué fracción de la energía total de un OAS es cinética y qué fracción es
p
potencial cuando el desplazamiento es la mitad de la amplitud?. Resp.: (a) A= 2;
(b) 1=4 es potencial y 3=4 es cinética.
37. Una persona de 70 Kg salta desde una ventana a una red contra incendio 15 m
abajo, con lo que ésta se estira 1; 2 m. (a) Suponga que la red se comporta como
un resorte simple y calcule cuánto se estiraría si la persona estuviera encima de ella,
(b) ¿cuánto se estiraría si la persona se arrojara desde 30 m?. Resp.: 4; 6 cm; 1; 7 m.
38. ¿Cuánto debe medir un péndulo simple si debe realizar exactamente una vibra-
ción (oscilación) completa por segundo?. Resp.: 0; 248 m.
q q
m(k1 +k2 ) m
Resp.: (a) =2 k 1 k2
; (b) =2 k1 +k2
.
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CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
E =T +U
41. Un resorte de constante elástica 250 N=m vibra con una amplitud de 8; 00 cm cuando
se le cuelga una masa de 0; 300 Kg. (a) ¿Cuál es la ecuación que describe este mo-
vimiento en función del tiempo?. Suponga que la masa pasa a través del punto
de equilibrio, hacia el sentido positivo de x, en t = 0; 060 s, (b)¿en qué tiempos ten-
drá el resorte sus longitudes máxima y mínima?, (c) ¿cuál es la fuerza que ejerce
el resorte en t = 0?, (d) ¿cuál es el desplazamiento en t = 0, (e) ¿cuál es la rapi-
dez máxima cuando es alcanzada por primera vez después de t = 0?. Use (3.6).
Resp.: (a) x (t) = 0; 0800m Sen [28; 9 (t 0; 060)]; (b) t = 0; 114 + 0; 217n para el máximo
y t = 0; 005 + 0; 217n para el mínimo, donde n = 0; 1; 2; :::; (c) 19; 7 N ; (d) 7; 89 cm; (e)
2; 31 m=s en 0; 060 s.
43. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su des-
plazamiento varía de acuerdo con la expresión
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 178
3.7. PROBLEMAS
45. Hallar el período de la oscilación de un bloque de masa M = 250 g unido a los dos
muelles elásticos (k1 = 30 N=m y k2 = 20 N=m) como se indica en la figura 3.16. Se
p
supone que no hay rozamiento.Resp.: 10 2 s.
46. Un péndulo físico está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud
y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5 cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm
de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra (ver figura 3.17). El péndulo
se haya suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de
la esfera superior. Hállese el período. Ayuda: Momento de inercia de una varilla
mL2 2
12
, donde L es la longitud y m su masa; y el de una esfera 2mr
5
, donde r es el radio
y m su masa. Resp.: 0; 992 s.
Figura (3.17): Problema 46: Péndulo físico formado por una varilla y dos esferas macizas.
47. ¿Cuál es la energía total de una masa de m que se mueve con amplitud de 12 cm
en una mesa plana sin fricción, y está fija a un resorte cuya constante es 49 N=m?.
Resp.: 0; 35 J:
48. Una masa de 1; 2 Kg, fija a un resorte, tiene movimiento armónico simple a lo largo
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CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
50. Se tiene una masa m, moviéndose a lo largo del eje x, cuya energía potencial está
expresada por
1
U (x) = m! 2 x2
2
Demuestre que el movimiento de esta masa es armónico simple con frecuencia
angular !, empleando dE
dt
= 0, donde E es la energía total, constante, del cuerpo.
51. Una masa m fija al extremo de un resorte se suelta, partiendo del reposo, cuando
t = 0 s, desde una posición estirada xmax . La masa m = 0; 2 Kg, y la constante K = 1
N=m. Después de 0; 5 s, se mide la rapidez de la masa y resulta 1; 5 m=s. Calcule
xmax , la rapidez máxima del movimiento, y la energía total. Resp.: 0; 74 m; 1; 67 m=s y
0; 27 J:
53. Un péndulo simple tiene una frecuencia de 0; 342 Hz. La longitud de su hilo es 2; 12
m. ¿Cuál es el valor local de g?. Resp.: 9; 78 sm2 .
54. El lector necesita medir la altura de un recinto. Tiene un reloj, pero no cinta métrica.
Un péndulo con una masa puntual en su extremo cuelga del techo hasta el piso, y
tiene un período = 3 s. ¿Cuál es la altura del recinto?. Resp.: 2; 23 m.
56. Una masa en un resorte con frecuencia angular natural ! o = 38 rad=s, se coloca
en un ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento proporcional a la
velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0; 82 veces su valor inicial en 9; 9
s, ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?. Resp.: 37; 999995
rad=s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 180
3.7. PROBLEMAS
58. Se cuelga una masa de 10 Kg de un resorte que se estira 4 cm. El soporte del cual
cuelga el resorte se pone en movimiento senoidal. ¿A qué frecuencia esperaría
usted un comportamiento resonante?. Resp.: 2; 5 Hz.
61. En 1; 0 min una partícula efectuó 300 oscilaciones. Determinar el período y la fre-
cuencia de las oscilaciones. Resp.: 0; 2 s; 5; 0 Hz.
62. Una partícula oscila con la frecuencia y 10 KHz. Encontrar el período y la cantidad
de oscilaciones por minuto. Resp.: 1; 0:10 4 s; 6; 0:105 min.
63. Encontrar la posición de una partícula que realiza oscilaciones armónicas para
t1 = 0; t2 = =12; t3 = =4; t4 = =2. La fase inicial de las oscilaciones 'o = 0 y la
amplitud de oscilaciones es A. Use (3.6). Resp.: 0; A=2; A; 0.
64. ¿En cuánto tiempo una partícula, que realiza oscilaciones armónicas, pasa la
primera mitad de la amplitud y la segunda mitad de la misma?. Use (3.6). Resp.:
=12; =6.
65. Escribir las ecuaciones de las oscilaciones armónicas para los siguientes paráme-
tros: (1) A = 10 cm, 'o = 4 rad, ! = 2 rad
s
; (2) A = 5; 0 cm, 'o = 2 rad, = 2; 0 s; (3) A = 4; 0
cm, 'o = rad, # = 2; 0 Hz. Use (3.6) Resp.: (1) x(t) = 10 cm Sen 2 t + 4 , (2) x(t) = 5; 0
cm Sen t + 2 , (3) x(t) = 4; 0 cm Sen (4 t + ).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 181
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
x = 2 cm Sen t+
4 2
donde x viene expresado en cm y t en s. Determinar: (a) la amplitud de las oscila-
ciones A, (b) la fase inicial 'o y (c) el período de oscilaciones . Resp.: (a) 2 cm; (b)
2
rad; (c) 8; 0 s.
67. (a) Escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas para: A = 5; 0:10 2 m, 'o = 0,
= 0; 010 s. Determinar: (b) la frecuencia de las oscilaciones #, (c) la frecuencia
angular !, (d) la vmax y la amax y (e) la energía total de las oscilaciones armónicas
para un cuerpo con masa m = 0; 10 Kg. Use (3.6). Resp.: (a) x = 5; 0 cm Sen (200 t),
(b) 100 Hz, (c) 200 rad=s, (d) 10 m=s, 2; 0:103 2 m=s2 , (e) 5 2 J = 49 J.
69. Una partícula, que realiza oscilaciones armónicas con una frecuencia de 10 Hz,
pasa la posición de equilibrio a la velocidad de 6; 28 m=s. Encontrar (a) la posición
y la aceleración máximas y (b) escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas,
siendo la fase inicial nula. Use (3.6) .Resp.: (a) 10 cm, 394 m=s2 , (b) x(t) = 10 cm
Sen (62; 8t).
x (t) = 20 cm Sen ( t)
73. Ateniéndose a los datos del problema anterior, encontrar: (a) la posición, (b) la
aceleración, (c) la fuerza recuperadora y (d) la energía potencial al cabo de 1=6 s
contando desde el instante en que surgieron las oscilaciones. Resp.: (a) 10 cm, (b)
10 2 cm=s2 , (c) 2; 0:10 2 N , (d) 1:10 3 2 J.
75. Una tabla horizontal realiza oscilaciones armónicas en dirección horizontal con un
período de 2; 0 s. ¿Cuál deberá ser la amplitud de las oscilaciones de la tabla para
que un cuerpo que yace en ella comience a deslizarse?. El coeficiente de fricción
2
estático s es de 0; 20. Resp.: A kg4 2
t 0; 2 m.
77. Un tubo en forma de U contiene un líquido con masa m. El líquido puesto fuera
del estado de equilibrio, realiza un movimiento oscilatorio. La densidad del líquido
es y el área de la sección transversal de cada rama q del tubo es S. Determinar el
m
período de las oscilaciones del líquido. Resp.: = 2 2 gS
.
78. Adoptando los datos del problema anterior, encontrar el período de oscilaciones
del líquido, si las áreas de la sección transversal
q de las ramas det tubo son iguales a
m
S1 , y S2 , respectivamente. Resp.: = 2 g(S1 +S2 )
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 183
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
80. Una partícula con masa m, yacente sobre una superficie horizontal lisa inmóvil, es
arrastrada con una fuerza F = mg mediante un muelle de constante k y luego la
sueltan, (a) escribir la ecuación de las oscilaciones armónicas de la partícula, (b)
determinar la energía de las oscilaciones, (c) ¿Cómo variará el período de oscila-
ciones de la partícula, si este sistema se traslada
q a la Luna?. 2Menospréciese la masa
mg
del muelle. Use (3.6). Resp.: (a) x (t) = k Sen k
m
t , (b) (mg)
2k
, (c) no variará.
81. Una partícula con masa de 0; 20 Kg, suspendida en un muelle, efectúa 30 oscila-
ciones por minuto con una amplitud de 0; 10 m. Encontrar: La constante de elasti-
cidad del muelle y la energía cinética de la partícula al cabo de 1=6 de período,
contando desde instante en que pasó la posición de equilibrio. Use (3.6). Resp.: 2
N=m; 2; 5:10 3 J.
82. Una partícula con masa m se cuelga a dos muelles imponderables, cuyas constan-
tes son k1 y k2 respectivamente. Determinar el período de las oscilaciones armónicas
de la partícula al unir los muelles (a) en serie y (b) en paralelo, si la partículaq
está sus-
pendida en el centro entre ellos en una barra imponderable. Resp.: (a) 2 m kk11+k
k2
2
,
q
(b) 2 m k4k1 +k 2
1 k2
.
85. Determinar la longitud de un péndulo simple que efectúa una oscilación com-
pleta durante 2 s, si la aceleración de la caída libre es de 9; 81 m=s2 . ¿En cuántas
veces será necesario cambiar la longitud del péndulo para que la frecuencia de
sus oscilaciones aumente el doble?. Resp.: 99; 4 cm; disminuirla cuatro veces.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 184
3.7. PROBLEMAS
86. ¿Qué relación existirá entre las longitudes de dos péndulos simples, si en un mismo
tiempo el primer péndulo realizó 10 oscilaciones, mientras que el segundo, 20 oscila-
ciones?. Resp.: ``21 = 41 .
89. Dos péndulos matemáticos con longitudes de 0; 996 y 0; 294 m empiezan oscilar al
mismo tiempo en fases iguales. ¿Dentro de cuánto tiempo mínimo las fases de sus
oscilaciones de nuevo coincidirán y con qué frecuencia esto se repetirá?. Adóptese
g t 9; 81 m=s2 . Resp.: 2; 0 s; las fases coincidirán dentro de cada dos oscilaciones del
segundo péndulo o una oscilaci;on del primero.
90. Dos bolitas están suspendidas en hilos inextensibles de una misma longitud. Una de
ellas se eleva hasta el punto de suspensión, la segunda, estando el hilo estirado, se
desvía en un pequeño ángulo respecto a la vertical de manera que sus oscilaciones
pueden considerarse armónicas. Las bolitas se sueltan simultáneamente. ¿Cuál de
ellas alcanzará antes la posición de equilibrio?. Resp.: La bolita que cae libremente
del punto de suspención, llegará antes a su punto de equilibrio.
91. ¿Cuánto tiempo necesitará para realizar una oscilacion completa el péndulo sim-
ple representado en la figura 3.18, si el punto de la inflexión del hilo B se encuentra
qla misma vertical que el punto de suspensión C distando de `=2 de éste?. Resp.:
en
`
g
1 + p12 .
92. ¿En cuántas veces y de qué manera diferirá el período de oscilaciones armónicas
de un péndulo matemático en un planeta, cuyos masa y radio superan 4 veces
estos parámetros de la Tierra, del período de oscilaciones de semejante péndulo
en la Tierra?. Se sabe que
Gmp
gp =
Rp2
2
donde G = 6; 67:10 11 NKgm2 es la constante de gravitación universal, gp es la acelera-
ción de gravedad en el planeta estudiado y Rp su radio. El radio de la Tierra es RT
t 6; 4:103 Km. Resp.: PT = 2.
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CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
93. ¿En cuánto se retrasará un reloj con péndulo durante un día entero, si lo trasla-
damos desde el polo al ecuador?. Considérese que en el polo el q reloj funcionaba
2 2 gp
correctamente. (gp t 9; 832 m=s , ge t 9; 78 m=s ). Resp.: t = t1 ge
1 , donde
t1 = 8; 64:104 s; el reloj se retrasará cada día entero en 3 min 49 s.
94. Un reloj con péndulo marcha correctamente a nivel del mar. ¿En cuánto se re-
trasará dicho reloj durante un día entero, si lo elevamos a la altura h = 4; 0 Km?. El
radio de la Tierra es RT t 6; 4:103 Km. Resp.: t = RthT t 54 s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 186
3.7. PROBLEMAS
101. Una nave espacial se mueve lejos de los cuerpos celestes. Basándose en el
período de oscilaciones de un péndulo simple con longitud `, suspendido en la
cabina de la nave, encontrar la aceleración que a la nave le comunican los mo-
tores en funcionamiento. Resp.: a = 4 2` .
103. Un péndulo matemático de masa m, que realiza oscilaciones armónicas con am-
plitud A, pcsee la energía E. Encontrar: (a) La frecuencia de las oscilaciones del
péndulo, (b) la longitud del hilo, (c) ¿cambiará la energía de las oscilaciones ar-
mónicas, si aumentamos al doble la amplitud de q las mismas, reduciendo al mismo
2
tiempo la frecuencia a la mitad?. Resp.: (a) # = 1 E
2m
, (b) ` = mgA
2E
, (c) No.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 187
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
105. Una varilla de 1 m de largo está suspendida de uno de sus extremos de tal manera
que constituye un péndulo compuesto. Encontrar el período y la longitud del pén-
dulo simple equivalente. Encontrar el período de oscilación si la varilla se cuelga
de un eje situado a una distancia de uno de sus extremos igual a la longitud del
péndulo equivalente previamente encontrada. Resp.: 1; 64 s; 32 m; 1; 64 s.
106. Un disco sólido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h
de su centro. (a) Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente. (b) Encontrar
la posición del eje para el cual el período es un mínimo. (c) Representar el período
en función de h. Resp.:
107. Una varilla de longitud L oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por
un extremo. Un cuerpo de igual masa que la varilla está situado sobre la varilla a
una distancia h del eje. (a) Obtener el período del sistema en función de h y de L.
(b) ¿Hay algún valor de h para el cual el período es el mismo como si no hubiera
h 2 1 2 i 21
h +3L
masa?. Resp.: (a) 4 g(2h+L) ; (b) No.
108. Un cubo sólido, de lado a, puede oscilar alrededor de un eje horizontal coinci-
dente con un borde. Encontrar su período. Resp.:
109. Demostrar que si el péndulo compuesto oscila alrededor de O (Fig. 3.6) en lu-
gar de O, su período es el mismo y la longitud del péndulo simple equivalente per-
manece inalterable.
110. Una particula realiza un movimiento armónico lineal respecto a x = 0 con una
frecuencia de 0; 25 s 1 . Si la elongación inicial es 0; 37 cm y la velocidad inicial es
nula, calcular: (a) El período, la frecuencia angular y la amplitud, (b) la velocidad
máxima y la aceleración máxima, (c) la elongación, la velocidad y la aceleración
en el instante t = 3 s. Resp.: (a) = 4 s; ! = =2 rad=s; A = 3; 7:10 3 m; (b) vmax =
5; 81:10 3 m=s; amax = 9; 13:10 3 m=s2 ; (c) x = 0; # = 5; 81:10 3 m=s2 ; a = 0.
111. Un partícula de 25 g de masa es atraida hacia un punto fijo O por una fuerza pro-
porcional a la distancia que los separa. La particula realiza un movimiento rectilíneo.
Calcular el período del movimiento y las energías cinética y potencial cuando la
partícula dista de O la mitad de la amplitud del movimiento, sabiendo que A = 1cm
y que k = 0; 1 N=m. Resp.: = s; K = 3; 75:10 6 J; U = 1; 25:10 6 J.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 188
3.7. PROBLEMAS
116. El péndulo de un reloj de pared esta formado por una varilla de 1 m de longitud y
masa m, en cuyo extremo hay soldado un disco macizo homogéneo de masa 3 m.
Calcúlese el valor del radio del disco para que el péndulo funcione con un período
igual a 2 s. DATOS: g = 2 m=s2 ); Icmvarilla = m`2 =12; Icmdisco = mR2 =2. Resp.: 5; 16 cm.
117. Se tiene una barra homogénea delgada de 26 cm de longitud que cuelga del
punto O mediante dos hilos inextensibles y sin masa de 26 cm atados a sus extremos
(Figura 3.20). Si hacemos oscilar la barra con una pequeña amplitud alrededor de
un eje perpendicular al papel que pase por O, calcular el período de las oscila-
ciones. DATO: Icmbarra = m`2 =1, donde es la longitud de la barra. Resp.: 1; 004 s.
118. De un resorte está colgado un platillo de una balanza con pesas. El período de
las oscilaciones verticales es igual a 0; 5 s. Después de añadir más pesas al platillo,
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CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
Figura (3.20): Problema 117: Barra homogénea delgada que cuelga de un punto mediante dos hilos
inextensibles y sin masa atados a sus extremos.
Figura (3.21): Problema 119: Dos resortes están enganchados por uno de sus extremos a un bloque que
puede desplazarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 190
3.7. PROBLEMAS
la oscilación, (b) ¿cuál es la velocidad del bloque cuando pasa por la posición de
equilibrio?, (c) ¿cuál será el desplazamiento del bloque cuando la energía cinética
y potencial coincidan?, (d) si el desplazamiento inicial fue positivo y la velocidad
inicial negativa, obtener la fase inicial del movimiento y (e) escribir la ecuación del
movimiento , con las condicionantes del apartado anterior. Resp.:(a) 41; 83 cm; (b)
p
11; 83 m=s; (c) 29; 58 cm; (d) 2; 28 rad; (e) x = 0; 4183m Sen 20 2t + 2; 28 .
121. Una varilla metálica delgada y uniforme de longitud ` y de masa m pivota sin
rozamiento sobre un eje que pasa por su extremo superior y es perpendicular a la
varilla. Un resorte horizontal de constante elástica k se une al extremo inferior de
la varilla por un lado y a un soporte fijo rígido por el otro (Figura 3.22), de tal forma
que cuando la varilla está en posición vertical el resorte tiene su longitud natural. Si
la varilla se separa un pequeno ángulo de la vertical y se suelta, (a) demostrar que
se mueve con un movimiento armónico simple [es decir, que su ecuación de movi-
2 3g
miento es análoga a (3.3)] y (b) calcular su período. Resp.: (a) ddt2 = + 3k ; (b)
q 2` m
2m`
=2 3mg+6k`
.
Figura (3.22): Problema 121: Varilla metálica delgada y uniforme que pivota sin rozamiento sobre un eje
que pasa por su extremo superior y es perpendicular a la varilla y que esta unida a un resorte.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 191
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
125. Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que su
posición viene dada por,
t 5
x(t) = 5m e Sen t+
3 6
126. Una partícula oscila a lo largo del eje x en un medio resistente, de manera que su
posición viene dada por,
t
x(t) = 17cm e 2 Sen t
6
donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: (a) la constante de fase y ;
(b) el período; (c) la amplitud al cabo de 2 s; (d) la velocidad y aceleración en t = 3
s. Resp.: (a) 0 rad, 2 rad
s
; (b) 12 s; (c) 0; 73 cm; (d) 0; 24 cm
s
; 0; 33 cm
s2
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 192
3.7. PROBLEMAS
129. Un cuerpo oscila con movimiento amortiguado a lo largo del eje x. Su desplaza-
miento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación,
t
x (t) = 4; 00 m e Sen (5t)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 193
CAPÍTULO 3. OSCILACIONES
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 194
CAPÍTULO 4
Movimiento ondulatorio
4.1 Ondas
195
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 196
4.2. TIPOS DE ONDAS
externo al sistema se propaga a través de este sin desplazamiento neto de las masas
pendulares.
Esto mismo sucede cuando dejamos caer una piedra en un estanque con agua
como se muestra en la figura 4.2, o cuando hacemos oscilar una cuerda, o cuando
el sonido se propaga en el aire, o cuando hacemos oscilar a un slinky. En todos estos
ejemplos las partículas del sistema están comunicadas a través de las interacciones
eléctricas que hacen el papel de “resortes microscópicos”. Además en todos estos
ejemplos hay algo en común: la energía se propaga a través de la vibración de la
materia. Como veremos un poco más adelante hay otro tipo de ondas que se propa-
gan a través de la vibración de campos eléctricos y magnéticos y no a través de la
vibración de la materia. Ejemplos de estas últimas son las ondas de radio, las ondas de
televisión y la luz.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 197
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
un ejemplo por excelencia son las ondas sonoras (el sonido). El sonido es vibración
de materia por lo que no se puede propagar en el vacío.
Figura (4.2): Ondas superficiales que se forman al arrojar una piedra en un estanque tranquilo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 198
4.2. TIPOS DE ONDAS
1. Ondas viajeras: En las ondas viajeras el medio a través del cual se propaga la ener-
gía se considera sin fronteras.
2. Ondas estacionarias: En las estacionarias el medio está ligado, tiene fronteras : por
ejemplo una cuerda atada en sus extremos.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 199
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 200
4.3. PULSO, TREN DE ONDAS, FRENTE DE ONDA Y RAYO
Figura (4.5): (a) Frente de onda plano, (b) frente de onda cilíndrico, (c) frente de onda circular y (d)
frente de onda esférico.
Imaginemos una piedra lanzada a un lago tranquilo. Los rizos circulares se esparcen
hacia afuera desde el punto en que la piedra entró al agua como muestra la figura
4.5(c). A lo largo de un rizo circular dado, todos los puntos están en el mismo estado de
movimiento. Esos puntos definen una superficie llamada frente de onda. Si el medio es
de densidad uniforme, la dirección del movimiento de las ondas está en ángulo recto
al frente de la onda. Una línea normal a los frentes de onda, que indique la direccion
del movimiento de las ondas, se llama rayo.
Los frentes de onda pueden tener muchas formas. Una fuente central en la super-
ficie del agua produce ondas bidimensionales con frentes de onda circulares y rayos
que salen hacia afuera a partir del punto de la perturbación como en la figura 4.5(c).
En cambio, un palo muy largo arrojado horizontalmente al agua produciria (cerca de
su centro) perturbaciones que viajan como lineas rectas, y cuyos rayos serían líneas
paralelas. La analogía tridimensional, en la cual las perturbaciones viajan en una sola
direccion, es la onda plana. En un instante dado, las condiciones son las mismas en
todas partes de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagacion. Los
frentes de onda son planos, y los rayos son líneas rectas paralelas como lo muestra
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 201
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
la figura 4.5(a). La analogía tridimensional de las ondas circulares son las ondas es-
féricas. Aquí, la perturbación se propaga hacia afuera en todas direcciones desde
una fuente puntual de ondas. Los frentes de onda son esferas, y los rayos son líneas
radiales que salen de la fuente puntual en todas direcciones como lo muestra la figura
4.5(d). Lejos de esta fuente los frentes de onda esféricos tienen una curvatura muy pe-
queña, y dentro de una región limitada pueden considerarse a menudo como planos.
Por supuesto, existen otras muchas formas de frentes de onda posibles, entre ellas las
cilídricas como lo muestra la figura 4.5(b).
Figura (4.6): Cuerda en la cual se hace propagar una perturbación o pulso hacia la derecha.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 202
4.4. DESCRIPCIÓN DE LA PROPAGACIÓN DE UNA ONDA
forma de la cuerda en este instante puede representarse por una función (x; t)t=0 =
f (x; 0) = f (x). Establezcamos un nuevo sistema S0 tal que tal que x = x0 = 0, en
t = t0 = 0, que viaje junto con el pulso a velocidad constante v (es decir S0 es comóvil
con el pulso), por lo tanto, un cierto tiempo después (ver figura 4.6b), el pulso se ha
desplazado por la cuerda, pero permanece estacionario en este nuevo sistema y tiene
la misma forma que tenía en S para t = 0 (ya que por hipótesis la forma del pulso no
varía), para cualquier valor de t en S0, por tanto 0 = f (x0). Las coordenadas de los
dos sistemas de referencia estarán relacionadas por,
x = x0 + vt (4.1)
y por lo tanto,
0 = f (x0) = f (x vt) (4.2)
Obsérvese que si la descripción correspondiera a una onda propagándose en el
sentido negativo de las x la ecuación vendría dada por,
Figura (4.7): Ilustración de un pulso del tipo f (x vt) que se mueve en sentido +x y f (x + vt) que se
mueve en sentido x.
= f (x + vt) (4.3)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 203
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Para evitar los signos de la ecuación (4.7) tomamos las segundas derivadas de
(4.5) y (4.6), así,
@2 @2f
=
@x2 @x02
y,
@2 @ @f @ @f @ @f
= v = v = v
@t2 @t @x0 @t @x0 @x0 @t
@ @f @x0 @ @f @2f
= v = v ( v) = v2
@x0 @x0 @t @x0 @x0 @x02
de donde obtenemos,
@2 2@
2
= v (4.8)
@t2 @x2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 204
4.5. ECUACIÓN DE ONDA Y PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Según esto la ecuación de onda se satisface, de una manera más general, por una
función de onda de la forma,
Hay casos en los que no se cumple. Supongamos, por ejemplo, que una de las on-
das tiene una amplitud tan grande que supera el límite elástico del medio. La fuerza
de restitución ya no es directamente proporcional al desplazamiento de una partícula
en el medio. Entonces, sin importar cual sea la amplitud de la segunda onda (incluso
si es muy pequeña), su efecto en un punto no es una función lineal de su amplitud.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 205
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.8): Superposición de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en la misma cuerda
tensa.
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4.6. ONDAS ARMÓNICAS
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CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Para representar con (x; t) una onda progresiva armónica que viaje a velocidad
v en el sentido positivo de las x, bastará escribir (ver figura 4.10),
(x; t) = (x + ; t) = (x ; t)
por lo tanto, los argumentos de los dos últimos senos deben ser iguales, entonces,
o,
jk j = 2 (4.13)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 208
4.7. FASE, CONSTANTE DE FASE Y VELOCIDAD DE FASE
(x; t) = (x; t + )
por lo tanto, los argumentos de los dos últimos senos deben ser iguales, entonces,
k [x v (t + )] = [k (x vt) + 2 ]
o,
jkv j = 2 (4.14)
kv = 2 = k
resultando,
= (4.15)
v
con,
2
= (4.16)
k
A k se le da el nombre de número de onda.
' = k (x vt)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 209
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
o en general,
' = k (x vt) 'o (4.17)
donde 'o es la fase inicial o constante de fase.
El significado físico de la fase de una onda es el mismo que para los osciladores,
sólo que en este caso la fase de la onda cambia tanto temporalmente como espa-
cialmente ' = ' (x; t). La fase se mide en radianes.
En una onda viajera todos los osciladores contenidos en una longitud de onda
tienen diferencias de fases que están entre 0 y 2 radianes, 0 ' 2 . Por cada
período un oscilador se desfasa en 2 radianes . Además dos osciladores que estén
separados una distancia equivalente a una longitud de onda están desfasados en 2
radianes.
De lo anterior se sigue que, una forma más general de una onda senoidal puede
escribirse como,
(x; t) = A Sen [k (x vt) 'o ] (4.18)
La costante de fase no afecta a la forma de la onda; mueve a la onda
hacia adelante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo.
Para ver esto, consideraremos una onda senoidal progresiva y con constante de
fase negativa,
(x; t) = A Sen [k (x vt) 'o ] (4.19)
reescribiremos la expresión (4.18) en las siguientes dos formas equivalentes,
h 'o i
(x; t) = A Sen k x !t (4.20)
h k
'o i
(x; t) = A Sen kx ! t + (4.21)
!
La figura 4.11(a) muestra una “instantánea” en cualquier tiempo t de las dos ondas
representadas por las expresiones (4.12) en la cual 'o = 0 y (4.19). Observemos que
cualquier punto en particular de la onda descrita por la ecuación (4.20) (digamos
cierta cresta de onda) está a una distancia 'o =k adelante del punto correspondiente
de la onda descrita por (4.12).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 210
4.7. FASE, CONSTANTE DE FASE Y VELOCIDAD DE FASE
Figura (4.11): Efecto de la constante de fase 'o sobre una onda. Nótese que en una gráfica contra
t “adelante de” significa “a la izquierda de”, mientras que en una gráfica contra x “adelante de”
significa “a la derecha de”.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 211
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
@x !
= = v (4.25)
@t '=const. k
que corresponde a la velocidad con que se mueve el perfil de la onda y que se de-
nomina velocidad de fase debido a que describe la velocidad de la fase (o forma) de
la onda. El signo positivo corresponde a cuando la onda se mueve en el sentido de las
x positivas; como ' = k (x vt) =constante, cuando t aumenta, x debe aumentar; y el
negativo para el caso contrario. Ahora, en virtud de (4.16) y (4.25) es posible escribir,
2 v
!= (4.26)
o también,
v
#= (4.27)
puesto que ! = 2 #.
En virtud de todo lo anterior, la expresión general para una onda armónica (4.18)
puede escribierse ahora como,
Ejemplo 4.1 Sabiendo que la ecuación que describe cierto movimiento ondulatorio es
de la forma
= 0; 60 Sen(2; 50x 10; 0t)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 212
4.7. FASE, CONSTANTE DE FASE Y VELOCIDAD DE FASE
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
rad rad
A = 0; 60m; k = 2; 50 ; ! = 10; 0
m s
(a) De lo anterior se tiene que,
2 2
= = = 0; 63s
! 10; 0 1s
2 2
= = 1 = 2; 51m
| {z k} 2; 50 m
Por (4.16)
A = 0; 60m
Ejemplo 4.2 Una perturbación queda descrita en el sistema internacional por la expre-
sión
= x3 6x2 t + 12xt2 8t3
Determínese su velocidad de propagación. El tiempo está dado en segundos y
la posición en metros. Resp.: 2 m=s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 213
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
@ @2
= 6x2 + 24xt 24t2 ! = 24x 48t (1)
@t @t2
@ @2
= 3x2 12xt + 12t2 ! = 6x 12t (2)
@x @x2
Ahora bien, para hallar la velocidad de propagación debemos usar (4.8),
@2 2@
2
= v
@t2 @x2
entonces al sustituir los resultados (1) y (2) en la expresión anterior obtenemos,
o,
4 (6x 12t) = v 2 (6x 12t)
de aquí que,
m
v=2
s
Ejemplo 4.3 La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda
está dada por,
= 5; 35:10 2 Sen (16; 0x 400t)
donde x y están en metros y t está en segundos. Halle (a) la amplitud, (b) la
frecuencia, (c) la velocidad, (d) la longitud de onda y (e) la velocidad transversal
máxima de una partícula de la cuerda.
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
rad rad
A = 5; 35:10 2 m; k = 16; 0 ; ! = 400
m s
(a) De lo anterior se tiene que,
A = 5; 35:10 2 m
1 ! 400 1s
#= = = = 63; 7Hz
2 2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 214
4.7. FASE, CONSTANTE DE FASE Y VELOCIDAD DE FASE
(d) De (4.16),
2 2
= = = 0; 39m
k 16; 0 m1
el valor máximo vendra dado cuando Cos (16; 0x 400t) = 1, por lo tanto,
m
vmáx = 21; 4
s
Ejemplo 4.4 La ecuacion de una onda transversal que viaja a lo largo deuna cuerda
muy larga está dada por,
= 8; 0 Sen(0; 50 x 2; 7 t)
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
rad rad
A = 8; 0cm; k = 0; 50 ; ! = 2; 7
cm s
(a) De lo anterior se tiene que,
A = 8; 0cm
(b) De (4.16),
2 2
= = 1 = 4cm
k 0; 50 cm
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 215
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(e) Por el signo en el argumento del seno en la función dada, la onda se propaga
hacia el eje x positivo.
Ejemplo 4.5 La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda
es,
(x; t) = 0; 03m Sen (2; 2x 3; 5t)
donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se propaga esta
onda y cuál es su velocidad?, (b) determinar la longitud de onda, la frecuencia
y el período, (c) ¿cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de
la cuerda? y (d) ¿cuàl es la velocidad máxima de cualquier segmento de la
cuerda?.
Solución:Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
rad rad
A = 0; 03m; k = 2; 2 ; ! = 3; 5
m s
(a) La onda se propaga en el sentido +x y su velocidad puede ser calculada a partir
de (4.25),
! 3; 5 rad
s m
v= = = 1; 59
k 2; 2 rad
m
s
(b) De (4.16),
2 2
= = = 2; 86m
k 2; 2 m1
La frecuencia viene dada por,
1 ! 3; 5 1s
#= = = = 0; 557Hz
2 2
y el período será,
1
1 1
=# = 0; 557 = 1; 80s
s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 216
4.8. VELOCIDAD DE LAS ONDAS
@ @
v = = [0; 03m Sen (2; 2x 3; 5t)]
@t @t
1
= 0; 03m: ( 3; 5) Cos (2; 2x 3; 5t)
s
m
= 0; 105 Cos (2; 2x 3; 5t)
s
el valor máximo vendrá dado cuando Cos (2; 2x 3; 5t) = 1, por lo tanto,
m
vmáx = 0; 105
s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 217
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
velocidad del pulso), de manera que veremos el pulso siempre fijoy es la cuerda la
que se mueve hacia la izquierda.
Concentrémonos ahora en una pequeña (pero no infinitesimal) parte del pulso de
longitud ` [ver figura 4.13(b)]. Esta pequeña parte forma, aproximadamente, un pe-
queño arco de circunferencia de radio R. Si la cuerda tiene una densidad lineal de
masa , entonces el pequeño arco tendrá una masa m = `. La tensión T en
la cuerda es un tirón tangencial en cada extremo de este pequeño segmento de
cuerda. La resultande de las componentes horizontales y verticales son,
Tx = 0
Ty = 2T Sen ' 2T
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4.8. VELOCIDAD DE LAS ONDAS
Figura (4.13): (a) “Instantánea” de un pulso de onda que se mueve hacia la derecha en la cuerda con
una velocidad v. (b) Fuerzas sobre la pequeña (pero no infinitesimal) parte del pulso de longitud `.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 219
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.15): Elemento de una barra elástica de sección S en la posición x de anchura dx que, a causa
de una perturbación, se traslada , y se deforma d , de modo que la nueva anchura del elemento es
dx + d .
o,
F @
=Y (4.33)
S @x
donde, a efectos de notación (derivada parcial) recuérdese que el desplazamiento
, es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo).
La parte izquierda de la barra ejerce una fuerza F sobre el elemento, a la vez que
la parte derecha de la barra ejerce una fuerza F 0 (ver figura 4.16), por lo tanto la fuerza
resultante sobre dicho elemento viene dada por,
@2
F F 0 = dF = SY dx (4.34)
@x2
@2 Y @2
= (4.36)
@t2 @x2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 221
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
@s
o = 1+ (4.39)
@x
@s @s @s
=( o + ) 1+ = o + o + +
@x @x @x
que, despreciando el último término frente a los dos anteriores (ya que ambos factores
son generalmente pequeños), resulta,
@s
= o (4.40)
@x
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 222
4.8. VELOCIDAD DE LAS ONDAS
Por otro lado, la presión está relacionada con la densidad mediante una expresión
del tipo p = p ( ), que recibe el nombre de ecuación de estado, cuya forma explícita
no concemos. Sin embargo, podemos desarrollarla en serie de Taylor (suponiendo
que las variaciones de la densidad son pequeñas) en torno a la posición de equilibrio
= o , y quedarnos con la aproximación de primer orden,
@p
p = po + (4.41)
@ o
0 = dV + V d
de donde,
dV d
= (4.42)
V
Definamos ahora el módulo elástico para un fluido que se denomina módulo de com-
presibilidad B, el cual relaciona el esfuerzo (sobrepresión) y la deformación (variación
unitaria de volumen), y por lo tanto también la variación unitaria de densidad,
@p @p
B= Vo = o (4.43)
@V o @ o
@2s
dF = dma ! pS (p + dp) S = o Sdx 2
| {z } @t
por apuntar hacia x
2
@ s
! Sdp = o Sdx
@t2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 223
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.18): Elemento de fluido de masa masa o Sdx en el cual se muestran las presiones aplicadas.
o también,
@p @2s
= o 2 (4.46)
@x @t
que relaciona las presiones y el de desplazamiento.
@2p @3s
= o
@x2 @x@t2
de las cuales, al combinarlas, resulta,
@2p B @2p
= (4.51)
@t2 o @x
2
@2 B @2
= (4.52)
@t2 o @x
2
En el caso particular de las ondas (sonido) en un gas, la velocidad viene dada por,
r
RT
v= (4.53)
M
donde,
T = 273 + Tc (4.54)
2. es una constante que depende del tipo de gas. Para moléculas diatómicas como
el O2 y N2 , tiene el valor de 1; 4 y como el O2 y el N2 constituyen el 98% de la atmós-
fera, éste es el valor que corresponde también al aire (para moléculas monoatómi-
cas como el He tiene un valor de 1; 67).
4. M es la masa molar del gas, es decir, la masa de 1 mol de gas. Para el aire es,
3 Kg
M = 29:10 (4.56)
mol
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 225
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.7 La velocidad de una onda en una cuerda es de 100 m=s cuando la tensión
es de 100 N , ¿en qué valor debería ser aumentada la tensión con objeto de elevar
la velocidad de la onda a 200 m=s?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 226
4.8. VELOCIDAD DE LAS ONDAS
Ejemplo 4.8 El sonido de un tren en marcha llega a cierto punto 9; 00 s antes por la vía
(recta) que por el aire. ¿A qué distancia está el tren de dicho punto?. Datos del
acero: Y = 21300 Kp=mm2 ; = 7; 8 g=cm3 . Velocidad del sonido en el aire: 340 m=s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 227
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
= 3; 0 Sen(15; 0x + 274t)
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
rad rad
A = 3; 0mm; k = 15; 0 ; ! = 274
m s
La densidad lineal de la cuerda la podemos hallar a partir de (4.31) como,
T
= (1)
v2
pero por (4.25),
!
v= (2)
k
entonces al sustituir (2) en (1),
!2
2
k 15; 0 rad
m Kg
=T = 20; 0N rad
= 0; 060
! 274 s m
Ejemplo 4.10 Una onda transversal armónica simple se está propagando a lo largo
de una cuerda hacia la izquierda (o x). La figura 4.19 muestra un trazo del
desplazamiento en función de la posición en el tiempo t = 0. La tensión de la
cuerda es de 3; 6 N y su densidad lineal es de 25 g=m. Calcule (a) la amplitud, (b)
la longitud de onda, (c) la velocidad de la onda, (d) el período, y (e) escriba una
ecuación que describa a la onda viajera y encuentre la velocidad máxima de
una partícula de la cuerda.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 228
4.8. VELOCIDAD DE LAS ONDAS
Figura (4.19): Ejemplo 4.10: Trazo del desplazamiento en función de la posición en el tiempo t = 0, para
una onda transversal que viaja por una cuerda.
Ahora, al sustituir los resultados (1) y (2) y el valor de la amplitud calculado en (a),
Sólo nos queda por calcular la fase. La figura 4.19 muestra la gráfica de (4) para
t = 0. Hagamos t = 0 en (4) y tomemos (x; ) de la gráfica, (x; ) = (0; 4cm),
entonces,
4
Sen (0; 16:15 'o ) = ) 'o = 0; 93
5
entoces, de (4),
= 5; 0cm Sen (0; 16x 190t + 0; 93)
Ejemplo 4.11 Un alambre de 12; 0 m de longitud y una masa de 50; 0 g se estira bajo una
tensión de 300 N . Si se generan dos pulsaciones,separadas en tiempo por 15; 5 ms,
una en cada extremo del alambre, ¿dónde se encuentran las pulsaciones?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 229
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.20): Ejemplo 4.11: Alambre tenso sobre el cual se generen pulsaciones en sus extremos, sepa-
radas por un intervalo de tiempo t.
` = d1 + d2 = v1 t1 + v2 t2 = vt + v (t t)
de aquí que,
1 `
t= + t (4)
2 v
Ahora, al sustituir (3) en (4),
r !
1 m`
t= + t (5)
2 T
d1 = vt (6)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 230
4.8. VELOCIDAD DE LAS ONDAS
por lo tanto,
s !
1 300N:12; 0m
d1 = 12; 0m + 15; 5:10 3 s
2 50; 0:10 3 Kg
= 3; 92m
Ejemplo 4.12 Encuentre la velocidad del sonido en el agua, la cual tiene un módulo
de compresibilidad B = 2; 1:109 N=m2 a una temperatura de 0 C y una densidad
de o = 1; 00:103 Kg=m3 .
Al usar (4.49), r
RT
v= (1)
M
pero por (4.54),
T = 273 + Tc (2)
entonces, al sustituir (2) en (1),
r
R (273 + Tc )
v=
M
(a) A una temperatura Tc = 10 C,
s
J
1; 4:8; 314 mol:K : (273 + 10) K m
v= Kg
= 337
29:10 mol3 s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 231
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.14 La velocidad del sonido en el mercurio es de 1410 m=s. ¿Cuál es el mó-
dulo de compresibilidad del mercurio?. Tomar o = 13; 6:103 Kg=m3 .
N
B = v2 o = (1410m=s)2 13; 6:103 Kg=m3 = 2; 7:1010
m2
J
Solución: Sabemos que por (4.55) R = 8; 314 mol:K
. Entonces, al usar (4.49),
r s
J
RT 1; 4:8; 314 mol:K :550K m
v= = 3
= 1789
M 2:10 Kg=mol s
Figura (4.21): Elemento de masa m y longitud x de una cuerda sobre la cual viaja una onda senoidal
hacia la derecha.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 232
4.9. ENERGÍA Y POTENCIA PARA UNA ONDA ARMÓNICA EN UNA CUERDA
no hay pérdida de energía (la onda mantiene su forma), todos los elementos de la
cuerda tienen la misma frecuencia angular ! y la misma amplitud A.
Ahora bien, como sabemos, la energía cinética T para una partícula que se mueve
con velocidad v viene dada por,
1
T = mv 2
2
Si aplicamos esta expresión al elemento de cuerda mencionado antes, vemos que su
energía cinética T viene dada por,
1
T = mvy2 (4.57)
2
y si es la densidad lineal de masa de la cuerda, entonces m= x, por lo tanto,
1
T = xvy2 (4.58)
2
Supongamos ahora que la ecuación de la onda es la dada por la expresión (4.28)
pero para una onda que se mueve hacia la derecha y con 'o = 0,
entonces,
@ (x; t)
vy =
= !A Cos (kx !t)
@t
de aquí que (4.58) pueda escribirse como,
1 2 2
T = ! A Cos2 (kx !t) x (4.59)
2
pero, Z t+
1 1
Cos2 (kx !t) dt =
t 2
entonces,
1 2 2
T = ! A x (4.60)
4
Por un análisis análogo podemos escontrar que,
1 2 2
U= ! A x (4.61)
4
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 233
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
E 1 2 2 x
P= = ! A
t 2
o,
1 2 2
! Av P= (4.64)
2
De (4.62) y (4.64) podemos observar que tanto la energía promedio como la poten-
cia promedio son proporcionales al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado
de la amplitud de la onda. En particular, de (4.64), podemos observar que la potencia
promedio no depende de x ni de t, por lo tanto su dependencia con el cuadrado de
la frecuencia angular y el cuadrado de la amplitud es así, en general, para todos los
tipos de ondas.
P= v (4.65)
con,
1 2 2
! A = (4.66)
2
que es la energía media por unidad de longitud de cuerda.
Ejemplo 4.16 Una cuerda de 13 m tiene una masa de 73 g y está sometida a una tensión
de 60 N . Se mueven a lo largo de la cuerda de izquierda a derecha unas ondas
de frecuencia 150 Hz y amplitud 12 mm. (a) ¿Cuál es la energía total de las ondas
en la cuerda? y (b) ¿cuál es la potencia transmitida que pasa por un punto
determinado de la cuerda?.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 234
4.9. ENERGÍA Y POTENCIA PARA UNA ONDA ARMÓNICA EN UNA CUERDA
(a) Al usar (4.66), la energía por unidad de longitud viene dada por,
1 2 2
= ! A
2
pero ! = 2 #, = m=` y = E=`, entonces
2
2 2 2 1 2 3 2
E = 2 m# A = 2 :73:10 Kg 150 12:10 3 m
s
= 4; 7 J
entonces, s
T
P=
Ejemplo 4.17 Una cuerda tensa para la cual = 3; 70:10 2 Kg=m está bajo una tensión
de 44; 5 N . ¿Cuánta potencia debe ser suministrada a la cuerda para generar
ondas senoidales a una frecuencia de 49; 0 Hz y una amplitud de 4; 00 cm?.
y además,
!=2 # (3)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 235
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
entonces, r
2
1 Kg
P=2 49; 0 :4; 00:10 2 m 44; 5N:3; 70:10 2 = 97; 3W
s m
Ejemplo 4.18 Si en el ejemplo anterior la cuerda debe transferir energía a una razón
de 500W , ¿cuál debe ser la amplitud requerida si todos los otros parámetros per-
manecen constantes?.
Solución: Las potencias vieja P v y nueva P n vendrán dadas, en virtud de (4.64), por
las siguientes expresiones,
1 2 2
Pv = ! Av v (1)
2
1 2 2
Pn = ! An v (2)
2
ahora al dividir miembro a miembro (1) entre (2) resulta,
1
Pv 2
! 2 A2v v A2v
= 1 =
Pn 2
! 2 A2n v A2n
por lo tanto, s s
Pn 500W
An = A v = 4; 00cm = 9; 07 cm
Pv 97; 3W
Ejemplo 4.19 Una cuerda tensa tiene una masa de 0; 300 Kg y una longitud de 4; 50 m.
¿Cuál es la potencia que debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas
senoidales que tengan una amplitud de 0; 300 m y una longitud de onda de 0; 700
m que viaje con una velocidad de 20; 0 m=s?.
1 2 2
P= ! Av (1)
2
pero por (4.27),
v
#= (2)
y además,
!=2 # (3)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 236
4.9. ENERGÍA Y POTENCIA PARA UNA ONDA ARMÓNICA EN UNA CUERDA
y además,
!=2 # (3)
entonces, al sustituir (2) y (3) en (1),
s
T
P=2 2
# 2 A2
de aquí que, s
1 P
#= p
A 2 T
por lo tanto, v
1 u 500W
u q
#= 2 t = 93; 2 Hz
3; 00:10 m 2 150N:7; 00:10 2 Kg
m
Ejemplo 4.21 Una onda senoidal sobre una cuerda es descrita mediante,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 237
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
rad rad
A = 0; 30 m; k = 1 ; ! = 20
m s
(a) La onda se propaga en el sentido +x y su velocidad puede ser calculada a partir
de (4.25),
! 20 rad m
v = = rads = 20
k 1m s
(b) De (4.16),
2 2
= = 1 = 6; 28 m
k 1m
1 ! 20 1
#= = = s = 3; 18 Hz
2 2
Ejemplo 4.22 La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es,
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.28) es fácil notar que,
rad rad
A = 0; 550 m; k = ;!=5
m s
(a) La potencia suministrada, en virtud de (4.64), viene dada por,
1 2 2
P= ! Av (1)
2
pero, partir de (4.25),
!
v= (2)
k
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 238
4.10. INTENSIDAD DE UNA ONDA TRIDIMENSIONAL
E=P (3)
pero,
2
= (4)
!
entonces, al sustituir (4) en (3) resulta,
P
E=2
!
de aquí que,
18; 7 W
E=2 = 7; 48 J
5 1s
P
I= (4.67)
S
Si las ondas fluyen hacia afuera de la fuente en todas direcciones se forma una
onda tridimensional. Ejemplos son el sonido que se transmite en el aire, las ondas sís-
micas y las ondas de luz. Si el medio es isótropo (igual en todas direcciones) entonces
la onda es esférica (ver figura 4.22). A medida que la onda se mueve hacia afuera,
se dispersa en una superficie cada vez mayor debido a que el área superficial de una
esfera de radio r es 4 r2 . Podemos inferir que a medida que crece la superficie S, la
amplitud A debe disminuir. En efecto, a partir de (4.63),
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 239
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
1
E = m! 2 A2
2
pero m = V , donde es la densidad del medio y V su volumen. Asimismo, el volumen
V = S` donde S es el área de la sección transversal que recorre la onda y ` es la
distancia que recorre la onda en un tiempo t, es decir ` = vt, entoces podemos escribir,
1
E= Svt! 2 A2 (4.68)
2
de manera que la potencia promedio P vendrá dada por,
E 1
P= = Sv! 2 A2 (4.69)
t 2
y como la pontencia se mantiene constante,
1 1 A2 S1
P 1 = P 2 =) S1 v! 2 A21 = S2 v! 2 A22 =) 22 = (4.70)
2 2 A1 S2
o, r
S1
A2 = A1 (4.71)
S2
por lo tanto, si S2 > S1 entonces A2 < A1 . Como S = 4 r2 , a partir de (4.70), podemos
escribir también,
A2 r1
= (4.72)
A1 r2
de este modo la amplitud disminuye de forma inversamente proporcional con la dis-
tancia a la fuente. Cuando la onda se encuentra al doble de la distancia a la fuente,
la amplitud se ha reducido a la mitad y así sucesivamente (no tomando en cuenta el
amortiguamiento).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 240
4.10. INTENSIDAD DE UNA ONDA TRIDIMENSIONAL
I2 S1
P 1 = P 2 =) I1 S1 = I2 S2 =) = (4.74)
I1 S2
o, debido a que S = 4 r2 ,
I2 r2
= 12 (4.75)
I1 r2
Ejemplo 4.23 Compare las amplitudes (a) las intensidades y (b) las amplitudes de una
onda sísmica cuando pasa por dos puntos a 5 Km y a 25 Km de la fuente.
Solución:
Ejemplo 4.24 La intensidad de una onda sísmica particular es 1; 0:106 W=m2 a una dis-
tancia de 80 Km de la fuente. (a) ¿Cuál era la intensidad cuando pasó un punto
a sólo 1; 0 Km de distancia de la fuente? y (b) ¿cuál era la potencia total que
pasaba a través de una superficie de 3; 5 m2 a una distancia de 1; 0 Km?.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 241
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.26 Un alto parlante emite una onda esférica en el espacio homogéneo y
transparente (libre de amortiguamiento). La potencia de la fuente es de 15 W .
Calcular la intensidad de la onda acústica a una distancia de 2 m y de 4 m.
(b) y en este,
15W 2 W
I= = 7; 46:10
4 (4m)2 m2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 242
4.11. ONDAS LONGITUDINALES ARMÓNICAS DE SONIDO
Figura (4.23): Pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas unidimensionales
armónicas en un tubo largo y delgado que contiene un fluido.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 243
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
con,
po = o !vso (4.78)
así, podemos ver que la onda sonora puede ser considerada como una onda de
desplazamiento de amplitud so o como una onda de presión de amplitud po . Una
comparación entre las expresiones (4.76) y (4.77) muestra que la onda de presión está
desfasada en =2 con respecto a la onda de desplazamiento. Nótese también que la
variación de la presión tiene un máximo cuando el desplazamiento desde el equilibrio
es cero, y el desplazamiento desde el equilibrio es máximo cuando la variación de la
presión es cero. La figura 4.24 muestra una comparación entre s y p.
Ejemplo 4.27 (a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda
sonora de frecuencia 85 Hz y amplitud de presión 10 3 atm?, (b) la amplitud del
desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 233 Hz es
10 6 m, ¿cuál es la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como veloci-
dad del sonido 340 m=s y densidad del aire 1; 29 Kg=m3 y tener presente que
1atm = 101:3KP a.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 244
4.11. ONDAS LONGITUDINALES ARMÓNICAS DE SONIDO
pero como ! = 2 #,
10 3 :101; 3:103 P a 4
so = = 4; 32:10 m
2 :1; 29 Kg
m3 :85 1
s
:340 m
s
pero como ! = 2 #,
po = 2 o #vso
de aquí que,
Kg 1 m
po = 2 :1; 29 3
:233 :340 :10 6 m = 0; 64 P a
m s s
Ejemplo 4.28 La presión de una onda sonora viajera está dada par la ecuación
Solución: Al comparar la ecuación dada con la expresión (4.77) es fácil notar que,
rad rad
po = 2; 00 P a; k = 4 ; ! = 400
m s
(c) De (4.16),
2 2
= = = 0; 5 m
k 4 m1
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 245
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.29 El sonido más tenue que el humano puede detectar a una frecuencia
de 1000 Hz corresponde a una intensidad cerca de 1; 00:10 12 W=m2 (umbral de
audición). El sonido más alto que el oido puede tolerar a esta frecuencia corres-
ponde a una intensidad cerca de 1; 00 W=m2 (umbral de dolor). Determinar la
amplitud de desplazamiento y la amplitud de presión asociados con estos dos
límites. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y densidad del aire 1; 20 Kg=m3 .
P
I= (1)
S
pero por (4.69),
1 2 2
o Sv! so P= (2)
2
donde hemos tenido presente que para este caso A = so entonces al sustituir (2) en
(1),
s
1 2I
so = (3)
2 # ov
po = 2 # o vso (4)
1 Kg m 11 5
po = 2 1000 :1; 20 3 :343 :1; 11:10 m = 2; 87:10 Pa
s m s
y para el segundo umbral,
1 Kg m
po = 2 1000 :1; 20 3 :343 :1; 11:10 5 m = 28; 7 P a
s m s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 246
4.12. INTERACCIÓN DE LAS ONDAS CON LAS BARRERAS
Las figuras 4.25(a) y 4.25(b) muestran un pulso sobre dos cuerdas de diferente peso
que han sido unidas. En esta situación tendremos los siguientes casos:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 247
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.25): Pulsos reflejado y transmitido en dos cuerdas unidas de diferente densidad lineal.
2. Cuando una onda o pulso viaja desde un medio 1 a un medio 2 y v1 < v2 (el
medio 1 es más denso que el 2), no es invertida bajo reflexión.
Por otro lado, cuando no existe un segundo medio, se verifica que si:
2. Si la cuerda está unida a un punto que puede moverse libremente (por ejemplo
a un anillo que puede moverse sin fricción sobre un eje perperdicular al eje de
propagación), el pulso de refleja y se invierte, como se muestra en la figura 4.26.aaa
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 248
4.12. INTERACCIÓN DE LAS ONDAS CON LAS BARRERAS
4.12.2 Difracción
La difracción es el fenómeno del movimiento ondulatorio en el que una onda
de cualquier tipo se extiende después de pasar junto al borde de un objeto sólido o
atravesar una rendija estrecha, en lugar de seguir avanzando en línea recta. Es decir,
cuando la onda encuentra un obstáculo tiende a bordearlo.
Casi toda la difracción de una onda se produce en aquella parte del frente de
onda que está a una distancia de pocas longitudes de onda de los límites del ob-
stáculo. En aquellas zonas de la onda que están más alejadas, el efecto del obstáculo,
es decir la difracción, es imperceptible y la onda se propaga en línea recta en la di-
rección de los rayos incidentes. Cuando una onda se encuentra con una barrera con
una pequeña abertura (un agujero) de unas pocas logitudes de onda de diámetro, la
parte de la onda que la atraviesa pasa toda ella a una distancia de pocas longitudes
de onda de los bordes. Así:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 249
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 250
4.13. INTERFERENCIA
Figura (4.27): Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un agujero.
Figura (4.28): Esquema de la interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un
agujero.
4.13 Interferencia
La interferencia es el fenómeno físico que se produce cuando dos o más ondas
se solapan o entrecruzan. Cuando las ondas interfieren entre sí, la amplitud (inten-
sidad o tamaño) de la onda resultante depende de las frecuencias, fases relativas
(posiciones relativas de crestas y valles) y amplitudes de las ondas iniciales.
La luz visible está formada por ondas electromagnéticas que pueden interferir en-
tre sí. La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones que se ven
a veces en las burbujas de jabón. La luz blanca está compuesta por ondas de luz de
distintas longitudes de onda. Las ondas de luz reflejadas en la superficie interior de la
burbuja interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie ex-
terior. En algunas de las longitudes de onda, la interferencia es constructiva, y en otras
destructiva. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes
colores, la luz reflejada por la burbuja de jabón aparece coloreada. El fenómeno de
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 251
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.29): Esquema de la interacción de un haz de partículas con un obstáculo que tiene un agujero.
Figura (4.30): Interacción de un frente de onda plano con un obstáculo que tiene un agujero cuya
dimensión es grande con respecto a la longitud de onda.
La interferencia puede producirse con toda clase de ondas, no sólo ondas de luz.
Las ondas de radio interfieren entre sí cuando rebotan en los edificios de las ciudades,
con lo que la señal se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hay
que tener en cuenta la interferencia entre ondas de sonido, para que una interferen-
cia destructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan oírse los sonidos
emitidos desde el escenario. Arrojando objetos al agua estancada se puede observar
la interferencia de ondas de agua, que es constructiva en algunos puntos y destructiva
en otros.
Consideraremos aquí la interferencia entre ondas denominadas ondas coherentes.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 252
4.13. INTERFERENCIA
Figura (4.31): Dos ondas armónicas coherentes 1 y 2 que se originan en fuentes puntuales y cuya
interferencia queremos calcular en cierto punto O.
Se dice que dos ondas son coherentes cuando sus longitudes de onda,
frecuencia y amplitud son iguales, y que sus fases o bien son iguales, o bien
presentan una cierta discrepancia que permanece constante.
= 1 + 2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 253
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
y tendremos que la onda resultante es una onda que parece provenir de una distancia
d, que es la semisuma de las distancias a ambas fuentes, pero cuya amplitud A no es
constante y viene dada por,
d2 d1
A = 2A Cos k (4.87)
2
y que, por lo tanto, va a variar según el punto O del plano y las relaciones entre las
distancias a las fuentes.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 254
4.13. INTERFERENCIA
o,
d2 d1
k = n , con n = 0; 1; 2; ::: (4.88)
2
es decir, que aquellos puntos que verifiquen (4.88) tendrán una amplitud máxima. En
ellos se producirá lo que se denomina interferencia constructiva.
d2 d1 = n (4.89)
que constituye una expresión mucho más inteligible que la (4.88). Resulta que para
puntos O separados una longitud entera de la interferancia es constructiva, ya que
ambas ondas se encuentran exactamente en fase, porque la función seno es perió-
dica y se repite cuando se ha avanzado espacialmente una longitud .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 255
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
d2 d1
Cos k =0
2
o,
d2 d1
k = (2n + 1) , con n = 0; 1; 2; ::: (4.90)
2 2
es decir, que aquellos puntos O que verifiquen (4.90) tendrán siempre una amplitud
igual a cero, independientemente del tiempo transcurrido. En estos puntos se pro-
ducirá lo que se denomina interferencia destructiva. A estos puntos con amplitud nula
se les denominan nodos y a las líneas que los unen se las denominan líneas nodales.
1
d2 d1 = n+ (4.91)
2
lo cual significa que para puntos separados un cierto número entero de más la mitad
de una, resulta que las ondas se encuentranen contra-fase, o bien que una es justo la
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 256
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
opuesta de la otra1 y por tanto ambas se anulan simultáneamente dándose así una
interferancia destructiva.
Cuando las ondas que se cruzan o solapan tienen frecuencias diferentes o no es-
tán exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de interferencia puede ser más
complejo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 257
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
kx
!t + kx + !t kx !t kx !t
(x; t) = 2A Sen Cos
2 2
(x; t) = 2A Sen (kx) Cos (!t) (4.94)
| {z }
Amplitud
Notemos que:
y que, por tanto, van a estar siempre en reposo, se les denomina nodos. En conse-
cuencia, tendremos nodos en las posiciones,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 258
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
o bien, en virtud de (4.16), las posiciones de los nodos vendrán dadas por,
d= = = 1 = 1 cm
2 k cm
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 259
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
entonces para x = 2; 00 cm y t = 3; 00 s,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 260
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
rad rad
2A = 12 cm; k = 7 ;!=9
cm s
(a) La amplitud de esta onda estacionaria viene dada por el coeficiente del coseno,
por lo tanto,
Amplitud = 12 Sen (7 x) = 12 Sen (7 :4; 0) = 0 cm
x = n , con n = 0; 1; 2; 3; :::
k
por lo tanto,
1
x=n 1 = n cm
7 cm
7
Amplitud máxima = 12 cm
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CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.35): Cuerda tensada de longitud ` sujeta en ambos extremos a dos soportes fijos.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 262
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
y las frecuencias naturales #n asociadas con estos modos pueden ser obtenidas a
partir de la expresión (4.15) y de que = # 1 , donde la velocidad de la onda es la
misma para todas las frecuencias, de la siguiente forma,
v v
#n = =n , con n = 1; 2; 3; ::: (4.106)
n 2`
Estas frecuencias naturales son también denominadas frecuencias cuantizadas aso-
ciadas con la cuerda vibrante sujeta en ambos extremos.
#n = n#1 (4.109)
Cuando las frecuencias de los modos normales exhiben este tipo de rela-
ciones de múltiplos enteros como la anterior, forman una serie denominada se-
rie armónica, y los modos normales correspondientes se denominan armónicos.
Los resultados (4.106) y (4.107) son la razón fundamental del funcionamiento de los
instrumentos de cuerda, como por ejemplo una guitarra. Como la frecuencia de la
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 263
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.36): Primeros tres armónicos de una cuerda fija en ambos extremos.
Solución:
3
Se le da el nombre de traste a cada uno de los resaltos de metal o hueso que se colocan a trechos en
el mástil de la guitarra u otros instrumentos semejantes, para que, oprimiendo entre ellos las cuerdas,
quede a estas la longitud libre correspondiente a los diversos sonidos.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 264
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
de aquí que,
2
1
T = 4:90:10 2 m:5; 0:10 3 Kg: 120 = 259 N
s
entonces,
#2 = 2:120Hz = 240 Hz
#3 = 3:120Hz = 360 Hz
#4 = 4:120Hz = 480 Hz
Ejemplo 4.35 Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 1; 30 m entre sí y se
ajusta la tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 260 Hz.
¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?.
Solución: De (4.106),
2`#n
v=
n
entonces, para n = 1 (fundamental),
1 m
v = 2`#1 = 2:1; 30m:260 = 676
s s
Ejemplo 4.36 Una cuerda que está fija en sus extremos tiene una longitud de 2; 5 m,
una densidad lineal de masa de 0; 0040 Kg=m y se le han medido dos frecuencias
resonantes consecutivas a 250 Hz y 310 Hz. Determinar la frecuencia fundamental
de la cuerda y comprobar si una cuerda como esta es adecuada para colocarla
en un instrumento musical, teniendo en cuenta que si la tensión de la misma
sobrepasa los 500 N hay problemas de seguridad.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 265
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
#na = na #1
#nb = nb #1
2
Kg 1
T = 4`2 #21 = 4: (2; 5m)2 :0; 0040 : 60 = 360 N
m s
por lo tanto, la cuerda es segura.
Ejemplo 4.37 Una cuerda fija por ambos extremos tiene 1; 5 m de largo. Resuena en
su segundo armónico a una frecuencia de 85 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las
ondas transversales en ella?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 266
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 267
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
o,
k` = n , con n = 1; 3; 5::: (4.112)
2
y en consecuencia, por (4.16),
Solución:
(b) No hay segundo armónico, pues n sólo puede tomar valores impares.
#3 = 3#1 = 3:0; 63 Hz = 1; 89 Hz
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 268
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
Figura (4.38): Algunos armónicos para la cuerda fija en uno de sus extremos.
Ejemplo 4.40 Una cuerda fija en uno de sus extremos está vibrando sólo en su modo
fundamental. La función de onda es,
1 2; 09 m
`= = = 0; 523 m
4 4
(c) De (4.25),
! 300 1s m
v= = 1 = 100
k 3; 00 m s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 269
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.41 Una cuerda de 2 m es fijada en uno de sus extremos y está vibrando en
su tercer armónico con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de 100 Hz. (a)
Escriba la función de onda para esta vibración, (b) escriba una expresión para la
energía cinética de un segmento de la cuerda de longitud dx en un punto x para
algún tiempo t. ¿En qué tiempo es la energía cinética un máximo? y ¿cuál es la
forma de la cuerda en este momento?.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 270
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
5
Esta energía será un máximo si Sen 4
x = 1 y Sen (200 t) = 1; por lo tanto,
5
x; t = 2; 5:10 3 s = 0; 03 Sen x Cos 200 :2; 5:10 3
=0
4
Figura (4.39): Ejemplo 4.42: Cuerda sujeta en uno de sus extremos y con el otro extremo unido a un anillo
sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción.
Solución: De (4.114),
4`
n =
n
entonces las tres mayores longitudes de onda serán para n = 1, n = 3 y n = 5,
1 = 4` = 4:2; 35 m = 9; 40 m
4` 4
3 = = :2; 35 m = 3; 13 m
3 3
4` 4
5 = = :2; 35 m = 1; 88 m
5 5
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 271
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
4.14.3 En tubos
Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros
instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en
el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido.
Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas
y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas
notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 272
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
Parece extraño que en un extremo abierto se pueda producir una reflexión. Siem-
pre que una onda pase de un medio a otro, habrá reflexión y refracción de la misma,
sin embargo, en nuestro caso la onda pasa del aire al aire, es decir, no cambia de
medio. Pero, el sonido es una onda de presión y una zona de compresión está limi-
tada por los lados del tubo mientras dicha zona esté dentro del tubo. Cuando la zona
de compresión está en el extremo abierto del tubo, la limitación impuesta por las pare-
des de éste desaparece y el aire comprimido es libre de expandirse en la atmósfera.
De esta manera se produce un cambio de carácter entre el medio que está dentro y
el que está afuera del tubo, incluso, aunque no exista cambio en el medio material.
Este cambio en carácter es suficiente para permitir alguna reflexión.
En la práctica, los nodos de presión están ligeramente más allá de los extremos del
tubo. La longitud efectiva `ef del tubo es,
`ef = ` + ` (4.118)
Las ondas estacionarias en el aire que contiene un tubo abierto por ambos
extremos dan lugar a un nodo de presión (y un antinodo de desplazamiento)
cerca de cada extremo. La condición de onda estacionaria es la misma que
la de una cuerda fija por los dos extremos.
Por lo tanto, se cumplen las mismas expresiones estudiadas para el caso de una
cuerda fija por los dos extremos, sólo que ahora ` es la longitud efectiva del tubo
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 273
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.41): Algunos armónicos para el caso de un tubo abierto en ambos extremos. La perturbación
sonora es generada por un parlante en uno de los extremos.
(corrección que será ignorada a menos que se indique lo contrario.). La figura 4.41
muestra algunos armónicos en tubos de este tipo, donde las perturbaciones de presión
(ondas sonoras) son generadas mediante un parlante.
Ejemplo 4.43 Calcular la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamental
de 307 Hz si el tubo es abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del
sonido 343 m=s.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos. Al usar (4.106),
nv
`=
2#n
entonces para n = 1,
v 343 ms
`= = = 0; 559 m
2#1 2:307 1s
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos, por lo tanto, al usar (4.106),
nv
#n =
2`
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 274
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
entonces,
343 ms
#n = n = 175n Hz
2:98:10 2 m
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos. Al usar (4.106),
nv 343 ms
`= = n = 0; 315n m
2#n 2:545 1s
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
(b) Aquí sólo tenemos que dividir el extremo superior del rango de audibilidad entre el
armónico funfamental,
20000 Hz
= 353
56; 7 Hz
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 275
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Ejemplo 4.47 La longitud total de un piccolo es 20; 0 cm. La columna de aire resonante
vibra como en un tubo abierto en ambos extremos. (a) Determinar la frecuencia
de la nota más baja que el piccolo puede ejecutar, suponiendo que la velocidad
del sonido en el aire es 343 m=s. (b) Abrir hoyos en un lado recorta efectivamente
la longitud de la columna resonante. Si la nota más alta que el piccolo puede
producir es 5148 Hz, encuentre la distancia entre los antinodos adyacentes para
este modo de vibración.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
v 343 ms
n = = = 0; 067 m
#n 5148 1s
pero, como ya vimos, los nodos y antinodos están separados entre sí por una
distancia d = =2 entonces,
0; 067 m
d= = = 0; 0335 m = 33; 5 mm
2 2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 276
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
` = `a + `b = 0; 57 m + 0; 33 m = 0; 90 m
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta por ambos
extremos.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 277
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.42): Algunos armónicos para el caso de un tubo cerrado en uno de sus extremos. La pertur-
bación sonora es generada por un parlante en el extremo abierto.
De todo lo anterior,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 278
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
Por lo tanto, se cumplen las mismas expresiones estudiadas para el caso de una
cuerda fija por uno de sus extremos, sólo que ahora ` es la longitud del tubo. La figura
4.42 muestra algunos armónicos en tubos de este tipo, donde las perturbaciones de
presión (ondas sonoras) son generadas mediante un parlante.
Leyes de Bernoulli
Todo lo anterior se resume en las llamadas leyes de Bernoulli:
La frecuencia del sonido en un tubo es:
5. En dos tubos idénticos y con el mismo gas, uno abierto y otro cerrado, el abierto
produce un sonido cuya frecuencia (fundamental) es el doble que la del cerrado.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) De (4.115),
4`#n
v=
n
entonces para n = 1,
1 cm
v = 4`#1 = 4:83; 5 cm:67 = 2; 2:104
s s
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 279
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) De (4.117),
#n = n#1 = 67n Hz
Ejemplo 4.51 Determine la longitud más corta de un tubo cerrado en uno de sus ex-
tremos que resuena en el aire debido a una fuente sonora cuya frecuencia es de
125 Hz. Tómese la velocidad del sonido igual a 343 m=s.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos. De (4.115),
vn
`=
4#n
entonces para n = 1,
v 343 ms
`= = = 0; 686 m
4#1 4:125 1s
Ejemplo 4.52 Un largo y estrecho tubo cerrado en uno de sus extremos no resuena
con un diapasón que tiene una frecuencia de 300 Hz hasta que la longitud de
la columna de aire alcanza 28 cm. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire?
y ¿cuál es la siguiente longitud de la columna de aire que resuena con el dia-
pasón?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) De (4.115),
4#n `
v=
n
entonces para n = 1,
1 cm
v = 4`#1 = 4:28 cm:300 = 3; 4:104
s s
3v 3:3; 4:104 cm
s
v
`= = 1 = 85 cm
4#3 4:300 s
Ejemplo 4.53 Un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene una longitud de
50; 0 cm. ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres sobretonos si la velocidad
del sonido es 328 m=s?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 280
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos. De (4.115),
vn
#n =
4`
entonces para n = 1,
v 328 ms
#1 = = = 164 Hz
4` 4:50; 0:10 2 m
Por otro lado, a partir de (4.117),
#n = n#1 = 164n Hz
#3 = 164:3 Hz = 492 Hz
#5 = 164:5 Hz = 820 Hz
#7 = 164:7 Hz = 1148 Hz
Ejemplo 4.54 La figura 4.43 muestra un aparato que puede emplearse para medir la
velocidad del sonido en el aire usando la condición de resonancia. Encima de un
tubo cilíndrico parcialmente lleno de agua se sostiene un pequeño parlante. Al
ajustar el nivel de agua subiendo y bajando el depósito de agua, la longitud de la
columna de aire puede cambiarse hasta que el tubo esté en resonancia, en cuyo
punto puede oirse un incremento en la intensidad del sonido. Para cierto tubo,
el valor más pequeño de ` para el cual se produce una resonancia es 7; 50 cm.
Determínese (a) la frecuencia del parlante, (b) los valores de ` para las próximas
dos frecuencias de resonancia. Tómese 328 m=s como velocidad del sonido.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) De (4.115),
nv
#n =
4`
entonces para n = 1,
v 328 ms
#1 = = = 1093 Hz
4` 4:7; 50:10 2 m
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 281
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.43): Ejemplo 4.54: Aparato que puede emplearse para medir la velocidad del sonido en el aire
usando la condición de resonancia.
por lo tanto debido a que la frecuencia del parlante permanece constante (#1 =
#3 = #5 ),
3v 3:328 ms
` = = = 0; 225 m
4#3 4:1093 1s
5v 5:328 ms
` = = = 0; 375 m
4#5 4:1093 1s
Ejemplo 4.55 Una columna de aire en un tubo de vidrio está abierto en uno de sus
extremos y cerrado en el otro mediante un pistón móvil. Un diapasón de 384 Hz
es mantenido en el extremo abierto. Se escucha resonancia cuando el pistón
está a 22; 8 cm del extremo abierto y nuevamente cuando está a 68; 3 cm. (a)
¿Cuál es la velocidad del sonido? y (b) ¿cuán lejos del extremo abierto debe
estar el pistón para que se escuche la próxima resonancia?.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) Las distancias dadas son aquellas donde se dan antinodos. Como sabemos que
entre nodo y nodo o antinodo y antinodo hay una distancia de =2 entonces,
= 68; 3 cm 22; 8 cm ) = 91 cm
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 282
4.14. ONDAS ESTACIONARIAS
12 1 m
v = # = 91:10 m:384 = 350
s s
Ejemplo 4.56 Un diapasón con una frecuencia de 435 Hz es colocado cerca del ex-
tremo abierto del tubo mostrado en la figura 4.43. El nivel del agua es bajado
de tal manera que la longitud ` se incrementa lentamente de su valor inicial de
20; 0 cm. Determinar los próximos dos valores de ` que corresponden a modos
resonantes Tómese 343 m=s como velocidad del sonido.
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos. Calculemos primero dónde se produce la primera resonancia. De (4.115)
para n = 1,
v 343 ms
`= = = 0; 197 m
4#1 4:435 1s
Teniendo presente que la frecuencia se mantiene constante (#1 = #3 = #5 ), los próximos
dos valores de ` se dan cuando n = 3 y n = 5 ,
3v 3:343 ms
` = = = 0; 591 m
4#3 4:435 1s
5v 5:343 ms
` = = = 0; 986 m
4#5 4:435 1s
Solución: Las ecuaciones son las mismas que para una cuerda sujeta en uno de sus
extremos.
(a) Las distancias dadas son aquellas donde se dan antinodos. Como sabemos que
entre nodo y nodo o antinodo y antinodo hay una distancia de =2 entonces,
= 55; 8 cm 18; 3 cm ) = 75 cm
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 283
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
12 1 m
v = # = 75:10 m:460 = 345
s s
(b) Para la frecuencia fundamental, el nivel del agua está en ` = 18; 3 cm y el primer
nodo de presión está en
75 cm
= = 18; 75 cm
4 4
entonces la corrección buscada vendrá dada por,
`= ` = 18; 75 cm 18; 3 cm = 0; 45 cm
4
El principio explica por qué, cuando una fuente de sonido de frecuencia cons-
tante avanza hacia el observador, el sonido parece más agudo (de mayor frecuen-
cia), mientras que si la fuente se aleja parece más grave. Este cambio en la frecuen-
cia puede ser percibido por un observador que escuche el silbato de un tren rápido
desde el andén o desde otro tren. Las líneas del espectro de un cuerpo luminoso
como una estrella también se desplazan hacia el rojo si la estrella se aleja del obser-
vador. Midiendo este desplazamiento puede calcularse el movimiento relativo de la
Tierra y la estrella. En la figura 4.44 se muestra la causa de este efecto. Cuando la
fuente emisora está en movimiento, los máximos de la onda emitida llegan con mayor
frecuencia cuendo la fuente va al encuentro del receptor, y con menor frecuencia
cuando la fuente se aleja del receptor.
Es importante no confundir la variación de la frecuencia, la cual solamente ocurre
cuando hay movimiento relativo entre fuente y observador, con la variación en inten-
sidad que únicamente depende de la distancia entre la fuente y el observador.
Con relación a las ondas sonoras (que tomaremos como ejemplo de las ondas
mecánicas) el efecto Doppler analiza únicamente la variación en frecuencia (sonido
más agudo o más grave) que se presenta cuando hay movimiento relativo entre
fuente y observador.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 284
4.15. EFECTO DOPPLER
Figura (4.44): Efecto Doppler para una velocidad de movimiento de la fuente emisora menor que la
velocidad de propagación de la onda.
vt = `o + vo t
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 285
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Figura (4.45): Efecto Doppler para fuente y observador en movimiento en ls misma dirección y sentido.
o,
`o
t= (4.119)
v vo
Transcurrido un tiempo t la fuente habrá avanzado una distancia vf t y emite
una nueva onda que llegará al observador transcurrido un tiempo t0 medido desde el
origen de tiempos común. La distancia recorrida por la onda será ahora (`o vf t) +
vo t0 que, ya que esta segunda onda ha viajado durante un tiempo (t0 t) a una
velocidad v resulta,
v (t0 t) = `o vf t + vo t0
o,
`o + (v vf ) t
t0 = (4.120)
v vo
por lo que el intervalo en el que llegan al observador las dos ondas emitidas por la
fuente con una separación t es,
v vf
t0 = t0 t= t (4.121)
v vo
o,
t
#0 = # (4.122)
t0
que es el número de ondas que recibe el observador en un intervalo de tiempo t0.
Esta expresión puede ser escrita como,
v vo
#0 = # (4.123)
v vf
y que nos da la relación entre la frecuencia # con que emite la fuente y la frecuencia
#0 con que el observador recibe la señal.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 286
4.15. EFECTO DOPPLER
Alejándose
Ejemplo 4.58 Una sirena de policía en reposo emite un sonido a 1150 Hz. (a) ¿Qué
frecuencia oirías cuando la sirena se aproxima a ti a una velocidad de 80 m=s? y
(b) ¿qué frecuencia oirías cuando la sirena se aleja de ti a una velocidad de 80
m=s?. Tomar la velocidad del sonido igual a 340 m=s.
(a) En este caso usamos (4.128) con los signos superiores, por lo tanto,
v + vo 340 ms
#0 = #= 1150Hz = 1504 Hz
v vf 340 ms 80 ms
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 287
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) En este caso usamos (4.128) con los signos inferiores, por lo tanto,
v vo 340 ms
#0 = #= 1150Hz = 931 Hz
v + vf 340 ms + 80 ms
Ejemplo 4.59 La sirena de un auto de la policía emite un tono puro a una frecuencia
de 1400 Hz. Halle la frecuencia que usted percibiría en su automóvil bajo las
siguientes circunstancias: (a) su auto está en reposo, el de la policía se mueve
hacia usted a 60 m=s; (b) el auto de la policía está en reposo, su auto se mueve
hacia él a 60 m=s; (c) su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro a 40
m=s; (d) su auto se mueve a 30 m=s, y el de la policía le sigue a usted a 40 m=s.
Usar 343 m=s como velocidad del sonido.
Solución:
(a) En este caso la velocidad del observador es cero. Al usar (4.128) con los signos
superiores,
v + vo 343 ms
#0 = #= 1400Hz = 1697 Hz
v vf 343 ms 60 ms
(b) En este caso la velocidad de la fuente es cero. Al usar (4.128) con los signos supe-
riores,
v + vo 343 ms + 60 ms
#0 = #= 1400Hz = 1645 Hz
v vf 343 ms
Ejemplo 4.60 ¿A qué frecuencia se oye el chillido de 23; 3 KHz de las turbinas de los
motores de un aeroplano que vuela a una velocidad de 210 m=s por el piloto de
un segundo aeroplano que trata de adelantar al primero con una velocidad de
275 m=s?. Usar 343 m=s como velocidad del sonido.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 288
4.15. EFECTO DOPPLER
Figura (4.46): Ejemplo 4.61: Fuente sonora que se mueve en una trayectoria circular con rapidez cons-
tante.
Lo primero que tenemos que hacer el calcular la rapidez con que se mueve la
fuente. Como ta fuente realiza un movimiento circular uniforme, entonces,
1 cm m
v = !R = 12; 0 :60; 0cm = 720 = 7; 20
s s s
Como d es una distancia grande respecto al radio de la circunferencia descrita por el
silbato, entonces todos los movimientos pueden ser considerados como si fuesen a lo
largo del eje x.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 289
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución:
v + vo 340 ms
#0 = # 333Hz = 353; 8 Hz
v vf 340 ms 20 ms
! 2
=
v
y puesto que ! = 2 #, entonces,
v
=
#
o también,
v 340 ms
0= = = 0; 961 m
#0 353; 8 1=s
v + vo 340 ms + 20 ms
#0 = #= 333Hz = 352; 6 Hz
v vf 340 ms
En este caso, la fuente avanza con más rapidez que el frente de onda. La superficie
tangente a todas las ondas sucesivas es un cono cuyo eje es la línea recta descrita por
la fuente en su movimiento y cuyo ángulo de apertura viene dado por,
v
Sen = (4.129)
vf
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 290
4.16. ONDAS DE CHOQUE
En este caso el movimiento ondulatorio es una onda cónica (ver figura 4.47) que
se propaga en las direcciones perpendiculares a la envolvente, a la que se denomina
onda de Mach u onda de choque. Esta onda es el sonido brusco que se escucha
cuando un avión que viaja a una velocidad superior a la del sonido pasa cerca de
nosotros, aunque también se observa en otras circunstancias, como cuando un barco
de mueve sobre el agua a una velocidad mayor que la velocidad de las ondas super-
ficiales en el agua. La figura 4.48 muestra ondas de choque formadas en una cubeta
de ondas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 291
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Solución: De la figura, a partir del 4ABC, es fácil ver que (teorema de Pitágoras),
q q
2 2
AC = AB + BC = (21 Km)2 + (27; 5 Km)2 = 34; 60 Km
entonces,
AB 21 Km
Sen = = = 0; 6069
AC 34; 60 Km
Por último. de (4.129),
v 340 ms m
vf = = = 560
Sen 0; 6069 s
Ejemplo 4.65 Un aeroplano vuela a 396 m=s a una altitud constante. El choque sónico
llega a un observador en tierra 12; 0 s después de que el aeroplano ha pasado
sobre su cabeza. Halle la altitud del aeroplano. Suponga que la velocidad del
sonido es de 330 m=s. Resp.: 7; 16 Km.
de la luz en el vacío). Esta radiación luminosa se propaga en capas cónicas que envuelven la dirección
seguida por la partícula. Es una onda tipo estela análoga a las que se observan en la superficie del agua
al paso de un cuerpo en movimiento. El efecto Cherenkov se utiliza en los detectores y contadores de
partículas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 292
4.16. ONDAS DE CHOQUE
Figura (4.49): Ejemplo 4.64: Estampido sónico originado por un avión supersónico.
Figura (4.50): Ejemplo 4.65: Estampido sónico originado por un avión supersónico.
y además,
AB
Sen = (2)
AC
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 293
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
entonces,
AB
Sen = q (3)
2 2
AB + BC
pero,
BC = vf t (4)
por lo tanto,
AB
Sen = q (5)
2 2
AB + (vf t)
v
Sen = (6)
vf
AB v
q =
2 vf
AB + (vf t)2
o,
vt 330 ms :12; 0s
AB = r =r = 7; 16 Km
2 330 m 2
v
1 vf
1 s
396 m
s
4.17 El sonido
Las ondas sonoras constituyen un tipo de ondas mecánicas que tienen la virtud
de estimular el oído humano y generar la sensación sonora. En el estudio del sonido
se deben distinguir los aspectos físicos de los aspectos fisiológicos relacionados con
la audición. Desde un punto de vista físico el sonido comparte todas las propieda-
des características del comportamiento ondulatorio, por lo que puede ser descrito
utilizando los conceptos sobre ondas. A su vez el estudio del sonido sirve para mejorar
la comprensión de algunos fenómenos típicos de las ondas. Desde un punto de vista
fisiológico sólo existe sonido cuando un oído es capaz de percibirlo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 294
4.17. EL SONIDO
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 295
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
Intensidad
La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte
como fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora
correspondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es
una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio
como consecuencia de la propagación de la onda.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 296
4.17. EL SONIDO
Esto se cumple a primera aproximación para cualquier nivel de sonido. Por ejemplo,
una onda sonora de intensidad 10 9 W=m2 cualquier persona la percibe como si fuera
el doble de fuerte que una cuya intensidad fuera 10 10 W=m2 ; una intensidad de 10 2
W=m2 suena como el doble de fuerte que una de 10 3 W=m2 y cuatro veces más fuerte
que una de 10 4 W=m2 .
Otro de los factores de los que depende la intensidad del sonido percibido es la fre-
cuencia. Ello significa que para una frecuencia dada un aumento de intensidad acús-
tica da lugar a un aumento del nivel de sensación sonora, pero intensidades acústicas
iguales a diferentes frecuencias pueden dar lugar a sensaciones distintas.
Ejemplo 4.66 Calcular el nivel de intensidad de una onda sonora que tiene una inten-
sidad de 7; 90 W=m2 .
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 297
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
(b) Cuando ambas máquinas están funcionando la intensidad se duplica, por lo tanto,
al usar nuevamente (4.131),
W
I 10; 0:10 7 m2
= 10 log = 10 log W
= 60 dB
Io 12
1; 0:10 m2
Ejemplo 4.68 Un anuncio en un altoparlante de alta calidad dice que éste reproduce,
a todo volumen, frecuencias de 30 Hz a 18000 Hz con una intensidad uniforme
de 3 dB. Es decir, sobre este intervalo de frecuencias, el nivel de intensidad no
varía en más de 3 dB del promedio. ¿En qué factor cambia la intensidad para el
cambio de nivel de intensidad máximo de 3 dB?
Imáx I
máx = 10 log 10 log
Io Io
Imáx
0; 30 = log
I
Imáx
= 2; 0
I
Ejemplo 4.69 Un limpiador de vacío tiene un nivel de intensidad de 30; 0 dB. ¿Cuál es
la intensidad de este sonido en W=m2 ?.
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4.17. EL SONIDO
Solución:
P
I=
4 r2
50W 3 W
I= = 4; 42:10
4 (30m)2 m2
Solución:
Ejemplo 4.72 ¿Cuál debería ser el nivel de intensidad de una onda sonora en el aire
que correspondiera a una amplitud de esplazamiento de moléculas de aire en
vibración de 3; 0 mm a 100 Hz?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y
densidad del aire 1; 29 Kg=m3 .
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CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
P
I= (1)
S
pero por (4.69),
1
Sv! 2 s2o P= (2)
2 o
donde hemos tenido presente que para este caso A = so entonces al sustituir (2) en
(1),
I = 2 2 o v#2 s2o (3)
ya que ! = 2 #. Entonces,
2
Kg m 1 2 W
I = 2 2 :1; 29 3
:343 : 100 : 3; 0:10 3 m = 786
m s s m2
Tono
Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factores
de carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se eleva
el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entre
frecuencias comprendidas entre 1000 y 3000 Hz el tono es relativamente independiente
de la intensidad.
Timbre
El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes
de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a
esta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta
característica de cada individuo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 300
4.18. PROBLEMAS
El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan al
oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones
generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados
por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a
un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja
puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una
frecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se consider-
ara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es
característica de cada instrumento y define su timbre. Debido a la analogía existente
entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le denomina también color del
tono.
4.18 Problemas
1. Sabiendo que la ecuación que describe cierto movimiento ondulatorio es de la
forma
= 0; 32 Sen(1; 8x 12; 6t)
donde todas las magnitudes vienen expresadas en el Sistema Internacional, cal-
cúlese: (a) el período, la frecuencia, la longitud de onda y la amplitud de dicho
movimiento; (b) su velocidad de propagación; (c) la energía cinética máxima de
una partícula de 1; 6g que se ve sometida a dicho movimiento. Resp.: (a) = 0; 5s ;
# = 2Hz; = 3; 5m ; A = 0; 32m; (b) 7m=s; (c) 0; 013J.
2. La ecuación de una onda transversal que viaja a lo largo de una cuerda está dada
por,
= 2; 30:10 3 Sen (18; 2x 588t)
donde x y están en metros y t está en segundos. Halle (a) la amplitud, (b) la
frecuencia, (c) la velocidad, (d) la longitud de onda y (e) la velocidad transversal
máxima de una partícula de la cuerda. Resp.: (a) 2; 30:10 3 m; (b) 93; 6Hz; (c) 32; 3 ms ;
(d) 0; 35m; (e) 1; 35 ms .
3. La ecuacion de una onda transversal que viaja a lo largo deuna cuerda muy larga
está dada por,
= 6; 0 Sen(0; 020 x + 4; 0 t)
donde x y están expresadas en centímetros y t en segundos. Calcule (a) la ampli-
tud, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia, (d) la velocidad, (e) la dirección de
propagación de la onda, y (f) la velocidad transversal máxima de una partícula de
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 301
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
la cuerda. Resp.: (a) 6; 0cm; (b) 100cm; (c) 2Hz; (d) 200 cm
s
; (e) hacia el eje x negativo;
cm
(f) 24 s .
6. El sonido de un tren en marcha llega a cierto punto 7; 52 s antes por la vía (recta)
que por el aire. ¿A qué distancia está el tren de dicho punto?. Datos del acero:
Y = 21300 Kp=mm2 ; = 7; 8 g=cm3 . Velocidad del sonido en el aire: 340 m=s. Resp.:
2736 m.
= 1; 8 Sen(23; 8x + 317t)
8. Un alambre de 10; 3 m de longitud y una masa de 97; 8 g se estira bajo una tensión
de 248 N . Si se generan dos pulsaciones,separadas en tiempo por 29; 6 ms, una en
cada extremo del alambre, ¿dónde se encuentran las pulsaciones?. Resp.: 7; 54m.
9. Calcular la velocidad del sonido en el aire (a) a 0 C y (b) a 20 C. Resp.: (a) 331 ms ;
(b) 343 ms .
11. Un hilo de acero de 7m de largo tiene una masa de 100g. Si está sometido a una
tensión de 900 N , ¿cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en este
hilo?.
12. Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo una tensión de 550 N viajan
ondas transversales a 150 m=s. ¿Cuál es la masa del alambre?.
13. Una cuerda de piano de acero tiene 0; 7 m de longitud y una masa de 5 g. Se tensa
mediante una fuerza de 500 N . (a)¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 302
4.18. PROBLEMAS
15. Demostrar que la función (x; t) = A Sen (kx) Cos (!t) satisface la ecuación de onda.
16. La función de onda para una onda armónica en una cuerda es,
donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se desplaza esta
onda y cuál es su velocidad?, (b) hallar la longitud de onda, la frecuencia y el
período de la misma y (c) ¿cuál es la velocidad máxima de un segmento (o un
punto) cualquiera de la cuerda?.
17. La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda es,
donde x está en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido se propaga esta
onda y cuál es su velocidad?, (b) determinar la longitud de onda, la frecuencia y
el período, (c) ¿cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de la
cuerda? y (d) ¿cuàl es la velocidad máxima de cualquier segmento de la cuerda?.
18. Una sirena de policía en reposo emite un sonido a 1200 Hz. (a) ¿Qué frecuencia
oirías cuando la sirena se aproxima a ti a una velocidad de 30 m=s? y (b) ¿qué
frecuencia oirías cuando la sirena se aleja de ti a una velocidad de 30 m=s?. Tomar
la velocidad del sonido igual a 340 m=s. Resp.: (a) 1316 Hz; (b) 1103 Hz.
19. La sirena de un auto de la policía emite un tono puro a una frecuencia de 1125
Hz. Halle la frecuencia que usted percibiría en su automóvil bajo las siguientes
circunstancias: (a) su auto está en reposo, el de la policía se mueve hacia usted a
29 m=s; (b) el auto de la policía está en reposo, su auto se mueve hacia él a 29 m=s;
(c) su auto y el de la policía se mueven uno hacia el otro a 14; 5 m=s; (d) su auto
se mueve a 9 m=s, y el de la policía le sigue a usted a 38 m=s. Usar 343 m=s como
velocidad del sonido. Resp.: (a) 1229 Hz; (b) 1220 Hz; (c) 1224 Hz; (d) 1232 Hz.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 303
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
20. ¿A qué frecuencia se oye el chillido de 15; 8 KHz de las turbinas de los motores de
un aeroplano que vuela a una velocidad de 193 m=s por el piloto de un segundo
aeroplano que trata de adelantar al primero con una velocidad de 246 m=s?. Usar
343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 17; 4 KHz.
23. Un avión supersónico se encuentra sobre un punto A volando hacia el Este a una
altura de 15 Km (ver figura 4.51). El estampido sónico se oye en el punto A cuando
el avión está a 22 Km al Este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad del avión
supersónico?. Usar 340 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 605 m=s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 304
4.18. PROBLEMAS
25. Calcular la velocidad del sonido en el gas neón a 27 C. El neón es un gas monoa-
tómico con M = 20; 18 Kg=Kmol y = 1; 67. Resp.: 454 m=s.
26. Encuentre la velocidad del sonido en un gas diatómico ( = 1; 40) cuya densidad
es 3; 50 Kg=m3 y que está a una presión de 215 KP a. Suponga que el gas es ideal y
por lo tanto se cumple que P V = (m=M ) RT , donde P es la presión, V es el volumen,
m es la masa y T es la temperatura en Kelvin. Resp.: 293 m=s.
28. Un carro que se mueve a 20 m=s con su corneta sonando con una frecuencia de
1200 Hz está persiguiendo a otro carro que va a 15 m=s. ¿Cuál es la frecuencia
aparente de la corneta que escucha el conductor que está siendo perseguido?.
Usar 340 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 1; 22 KHz.
31. Encuentre la velocidad de las ondas de compresión en una vara de metal cuyo
material tiene un módulo de Young de 1; 20:1010 N=m2 y una densidad de 8920 Kg=m3 .
Resp.: 1; 16 Km=s.
32. Un carro de carreras se acerca con su motor girando a 5100 r:p:m. Después de
pasar se observa una disminución aparente de 25 Hz en la frecuencia del sonido
emitido por el motor. ¿Cuál es la velocidad del carro?. Velocidad del sonido en el
aire: 340 m=s. Resp.: 48; 96 m=s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 305
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
estando y x en metros y t en segundos. (a) ¿En qué dirección se mueve esta onda
y cuál es su velocidad?, (b) hallar la longitud de onda, la frecuencia y el período
de esta onda y (c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera
de la cuerda?. Resp.: (a) izquierda, 5 m=s; (b) 10 cm; 50 Hz; 0; 02 s; (c) 1 mm.
36. Una cuerda de 20 m tiene una masa de 60 g y está sometida a una tensión de
50 N . Se mueven a lo largo de la cuerda de izquierda a derecha unas ondas de
frecuencia 200 Hz y amplitud 10 mm. (a) ¿Cuál es la energía total de las ondas en la
cuerda? y (b) ¿cuál es la potencia transmitida que pasa por un punto determinado
de la cuerda?. Resp.: (a) 4; 7 J; (b) 31 W .
37. Una cuerda tensa para la cual = 5; 00:10 2 Kg=m está bajo una tensión de 80; 0 N .
¿Cuánta potencia debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas senoidales
a una frecuencia de 60; 0 Hz y una amplitud de 6; 00 cm?. Resp.: 512 W .
38. Si en el ejemplo anterior la cuerda debe transferir energía a una razón de 1000W ,
¿cuál debe ser la amplitud requerida si todos los otros parámetros permanecen
constantes?. Resp.: 8; 39 cm.
39. Una cuerda tensa tiene una masa de 0; 180 Kg y una longitud de 3; 60 m. ¿Cuál es
la potencia que debe ser suministrada a la cuerda para generar ondas senoidales
que tengan una amplitud de 0; 100 m y una longitud de onda de 0; 500 m que viaje
con una velocidad de 30; 0 m=s?. Resp.: 1066 W .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 306
4.18. PROBLEMAS
onda, (c) la frecuencia, y (d) la potencia transmitida a la onda. Resp.: (a) 62; 5 ms ;
(b) 7; 85 m; (c) 7; 96 Hz; (d) 21; 1 W .
42. La función de onda para una onda sobre una cuerda tensa es,
43. Compare las amplitudes (a) las intensidades y (b) las amplitudes de una onda
sísmica cuando pasa por dos puntos a 10 Km y a 20 Km de la fuente. Resp.: (a) 1=4;
(b) 1=2.
44. La intensidad de una onda sísmica particular es 1; 4:106 W=m2 a una distancia de 100
Km de la fuente. (a) ¿Cuál era la intensidad cuando pasó un punto a sólo 2; 0 Km
de distancia de la fuente? y (b) ¿cuál era la potencia total que pasaba a través
W
de una superficie de 5; 0 m2 a una distancia de 2; 0 Km?. Resp.: (a) 3; 5:109 m 2 ; (b)
10
1; 7:10 W .
46. Un alto parlante emite una onda esférica en el espacio homogéneo y transpar-
ente (libre de amortiguamiento). La potencia de la fuente es de 10 W . Calcular
la intensidad de la onda acústica a una distancia de 3 m y de 6 m. Resp.: (a)
8; 84:10 2 W=m2 ; (b) 2; 21:10 2 W=m2 .
47. (a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora
de frecuencia 100 Hz y amplitud de presión 10 4 atm?, (b) la amplitud del desplaza-
miento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz es 10 7 m, ¿cuál
es la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como velocidad del sonido 340 m=s
y densidad del aire 1; 29 Kg=m3 y tener presente que 1atm = 101:3KP a. Resp.: (a)
3; 67:10 5 m; (b) 8; 27:10 2 P a.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 307
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
49. La presión de una onda sonora viajera está dada par la ecuación
50. Una fuente puntual emite ondas de sonido con una potencia de salida promedio
de 80; 0 W . (a) Determinar la intensidad a 3; 00 m de la fuente, (b) determinar la
distancia en la cual la intensidad del sonido es 1; 00:10 8 W=m2 . Resp.: (a) 0; 707
W=m2 ; (b) 2; 52:104 m.
51. La intensidad de una onda sonora a una distacia fija de un parlante que vibra a
1; 00 KHz es 0; 600 W=m2 . (a) Determinar la intensidad si la frecuencia es incremen-
tada a 2; 50 KHz mientras es mantenida una amplitud de desplazamiento cons-
tante, (b) calcular la intensidad si la frecuencia es reducida a 0; 500 KHz y la ampli-
tud de desplazamiento es duplicada. Resp.: (a) 3; 75 W=m2 ; (b) 0; 600 W=m2 .
53. Calcular el nivel de intensidad de una onda sonora que tiene una intensidad de
4; 00 W=m2 . Resp.: 66; 0 dB.
54. Un limpiador de vacío tiene un nivel de intensidad de 30; 0 dB. (a) ¿Cuál es la
intensidad de este sonido en W=m2 ?, (b) ¿Cuál es la amplitud de presión del sonido?.
Resp.: (a) 1; 00:10 5 W=m2 ; (b) 90; 7 mP a.
56. ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido cuya intensidad es 7; 5:10 8 W=m2 ?, (b)
¿cuál es la intensidad de un sonido cuyo nivel de intensidad es 35 dB?. Resp.: (a) 49
dB; (b) 3; 2:10 9 W=m2 .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 308
4.18. PROBLEMAS
57. ¿Cuál debería ser el nivel de intensidad de una onda sonora en el aire que corre-
spondiera a una amplitud de esplazamiento de moléculas de aire en vibración de
1; 2 mm a 80 Hz?. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s y densidad del aire 1; 29
Kg=m3 . Resp.: 139 dB.
5
59. Una onda sonora de 75 dB llega a un tímpano cuya superficie es de 5; 0:10 m2 .
¿Cuánta energía absorbe el tímpano por segundo?. Resp.: 1; 6:10 9 W .
60. Un amplificador estéreo tiene 25 W de salida a 1000 Hz. La salida cae por 2 dB a 20
Hz. ¿Cuál es la potencia de salida a 20 Hz?. Resp.: 16 W .
62. (a) Muestre que el nivel de intensidad, , puede escribirse en términos de la ampli-
tud de la presión po como,
po
(dB) = 20 log
p0o
donde p0o es la amplitud de la presión en algún nivel de referencia. (b) La presión
de referencia p0o se toma a menudo como 3; 5:10 5 P a, que corresponde a una
intensidad de 1; 0:10 12 W=m2 , ¿cuál sería el nivel de intensidad si po fuera 1 atm?.
64. El sonido de una sirena se oye a 3 m con un nivel de intensidad de 60 dB. ¿A qué
distancia de dicha sirena ya no se oye nada?, ¿cuántas sirenas harían falta para
que a esa distancia se volvieran a oír con una sonoridad de 60 dB?. Resp.: 3 Km;
106 sirenas.
5
Rueda de tablas fijas en forma de aspa, entre las que cuelgan mazos que al girar ella producen ruido
grande y desapacible. Se usa en algunos conventos para convocar a maitines, y en Semana Santa en
lugar de campanas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 309
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
67. Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0; 70 m entre sí y se ajusta la
tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es la nota La de 440 Hz.
¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?. Resp.: 616 ms .
68. Una cuerda que está fija en sus extremos tiene una longitud de 3 m, una densidad
lineal de masa de 0; 0025 Kg=m y se le han medido dos frecuencias resonantes con-
secutivas a 252 Hz y 336 Hz. Determinar la frecuencia fundamental de la cuerda
y comprobar si una cuerda como esta es adecuada para colocarla en un instru-
mento musical, teniendo en cuenta que si la tensión de la misma sobrepasa los 700
N hay problemas de seguridad. Resp.: 84 Hz; la tensión es 635 N , por lo tanto la
cuerda es segura siempre y cuando la tensión no aumente en forma significativa.
70. Una cuerda fija por ambos extremos tiene 3 m de largo. Resuena en su segundo ar-
mónico a una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales
en ella?. Resp.: 180 ms .
71. Una cuerda es tensada entre dos puntos fijos apartados 0; 7 m y la tensión es ajus-
tada hasta que es alcanzada la frecuencia fundamental a 440 Hz. ¿Cuál es la
velocidad de las ondas transversales en la cuerda?. Resp.: 616 m=s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 310
4.18. PROBLEMAS
72. La función de onda (x; t) para cierta onda estacionaria sobre una cuerda fija en
ambos extremos es dada por,
74. Una cuerda con densidad lineal de masa 4:10 3 Kg=m está bajo una tensión de 360
N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz y
la próxima es 450 Hz. (a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de esta cuerda, (b)
¿cuáles son los armónicos dados?, ¿cuál es la longitud de la cuerda?. Resp.: (a) 75
Hz; (b) 5to , 6to ; (c) 2 m.
75. Una banda de goma tiene una longitud de 0; 80 m cuando no se ejerce tensión so-
bre ella y una masa de 6:10 3 Kg, se estira a 1; 20 m cuando se aplica una tensión de
7; 60 N . ¿Cuál es la frecuencia fundamental de oscilación de esta banda cuando
se estira entre dos postes fijos separados 1; 20 m?. Resp.: 16; 2 Hz.
76. Una cuerda de 4 m de longitud es sujetada en uno de sus extremos y el otro ex-
tremo es sujetado a un resorte liviano de forma que es libre de moverse. La veloci-
dad de las ondas en la cuerda es 20 m=s. Encontrar la frecuencia (a) fundamental,
(b) segundo armónico y (c) tercer armónico. Resp.: (a) 1; 25 Hz; (b) No hay segundo
armónico, pues n sólo puede tomar valores impares; (c) 3; 75 Hz.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 311
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
78. Encontrar la frecuencia fundamental y las siguientes tres frecuencias que pueden
causar patrones de ondas estacionarias en una cuerda de 30; 0 m de longitud, que
tiene una masa por unidad de longitud de 9; 00:10 3 kg=m y está sometida a una
tensión de 20; 0 N . Resp.: 0; 786 Hz; 1; 57 Hz; 2; 36 Hz; 3; 14 Hz.
79. Una cuerda de masa 8; 00 g y longitud 5; 00 m tiene un extremo unido a una pared
y el otro extremo pasa a través de una polea y es atado a un objeto que cuelga de
4; 00 Kg de masa. Si la cuerda es perturbada, ¿cuál es su frecuencia fundamental?.
Resp.: 15; 7 Hz.
80. Mediciones muestran que la longitud de onda de una onda de sonido en un cierto
material es 18; 0 cm. La frecuencia de la onda es 1900 Hz. ¿Cuál es la velocidad de
la onda de sonido?. Resp.: 342 m=s.
81. Una cuerda horizontal tiene 5; 00 m de longitud y una masa de 1; 45 g. ¿Cuál debe
ser la tensión en la cuerda si la longitud de onda de una onda de 120 Hz en dicha
cuerda es 60; 0 cm?. ¿Cuál debe ser la masa que debe colgarse en su extremo (a
través de una polea, por ejemplo) para producir esta tensión?. Resp.: 1; 50 N ; 0; 153
Kg.
83. Una cuerda sujeta en sus dos extremos vibra en cinco segmentos a una frecuencia
de 460 Hz. ¿Cuál es la frecuencia fundamental?, (b) ¿cuál frecuencia causará una
vibración en tres segmentos?. Resp.: (a) 92; 0 Hz; (b) 276 Hz.
84. Una cuerda sujeta en sus dos extremos y resuena a 420 Hz y a 490 Hz sin haber
frecuencias resonantes entre ellas. Encuentre la frecuencia de resonancia funda-
mental. Resp.: 70; 0 Hz.
85. Una cuerda de violín resuena en su fundamental a 196 Hz. ¿Dónde se debe colo-
car el dedo de manera que su fundamental sea a 440 Hz?. Resp.: L2 =L1 = 0; 045.
6
Instrumento musical de cuerda que se compone de una caja de resonancia redonda cubierta por una
piel tensada, un mástil largo con trastes y un número variable de cuerdas que se hacen sonar con los
dedos o con púa.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 312
4.18. PROBLEMAS
Es decir, para obtener la resonancia deseada, el dedo debe ser colocado sobre la
cuerda a 0; 445 de su longitud original.
88. La longitud total de un piccolo es 32; 0 cm. La columna de aire resonante vibra
como en un tubo abierto en ambos extremos. (a) Determinar la frecuencia de la
nota más baja que el piccolo puede ejecutar, suponiendo que la velocidad del
sonido en el aire es 340 m=s. (b) Abrir hoyos en un lado recorta efectivamente la
longitud de la columna resonante. Si la nota más alta que el piccolo puede producir
es 4000 Hz, encuentre la distancia entre los antinodos adyacentes para este modo
de vibración. Resp.: (a) 531 Hz; (b) 42; 5 mm.
89. Calcular la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamental de 240 Hz
si el tubo es abierto en ambos extremos. Tomar como velocidad del sonido 343 m=s.
Resp.: 0; 715 m.
92. Con un tocado particular, una flauta produce una nota con frecuencia 880 Hz a
20; 0 C. La flauta es abierta por ambos extremos. (a) Encuentre la longitud de la
columna de aire y (b) determine la frecuencia cuando la temperatura ambiente es
de 5; 00 C. Tómese velocidad del sonido 343 m=s a 20; 0 C y 328 m=s a 5; 00 C. Resp.:
(a) 0; 195 m; (b) 841 Hz.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 313
CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
94. ¿A qué otras frecuencias resonará el tubo descrito en el problema 93?. Resp.: 95n
Hz, con n = 3; 5; 7; 9; :::
95. Determine la longitud más corta de un tubo cerrado en uno de sus extremos
que resuena en el aire debido a una fuente sonora cuya frecuencia es de 160 Hz.
Tómese la velocidad del sonido igual a 340 m=s. Resp.: 0; 531 m.
96. Un largo y estrecho tubo cerrado en uno de sus extremos no resuena con un di-
apasón que tiene una frecuencia de 300 Hz hasta que la longitud de la columna
de aire alcanza 28 cm. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el aire? y ¿cuál es la
siguiente longitud de la columna de aire que resuena con el diapasón?. Resp.: (a)
3; 4:104 cm=s; (b) 85 cm.
97. Un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos tiene una longitud de 61; 0 cm.
¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres sobretonos si la velocidad del sonido
es 342 m=s?. Resp.: 420 Hz; 700 Hz; 980 Hz.
98. Para cierto tubo en el aparato mostrado en la figura 4.43, el valor más pequeño de
` para el cual se produce una resonancia es 9; 00 cm. Determínese (a) la frecuencia
del parlante, (b) los valores de ` para las próximas dos frecuencias de resonancia.
Tómese 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: (a) 953 Hz; (b) 0; 270 m; 0; 450 m.
100. Un diapasón con una frecuencia de 512 Hz es colocado cerca del extremo
abierto del tubo mostrado en la figura 4.43. El nivel del agua es bajado de tal
manera que la longitud ` se incrementa lentamente de su valor inicial de 20; 0 cm.
Determinar los próximos dos valores de ` que corresponden a modos resonantes
Tómese 343 m=s como velocidad del sonido. Resp.: 0; 502 m; 0; 837 m.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 314
4.18. PROBLEMAS
102. Un extremo de una cuerda de 120 cm se mantiene fijo. El otro extremo está unido
a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción como
se muestra en la figura 4.39. ¿Cuáles son las tres longitudes de onda más grandes
posibles de ondas estacionarias en la cuerda?. Resp.: 480 cm; 160 cm; 96 cm.
103. Una cuerda fija en uno de sus extremos está vibrando sólo en su modo funda-
mental. La función de onda es,
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CAPÍTULO 4. MOVIMIENTO ONDULATORIO
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Parte III
TERMODINAMICA FENOMENOLOGICA
317
METODOS TERMODINAMICO Y ESTADISTICO DE INVESTIGACION
1. METODO ESTADISTICO
Aparte de las leyes estadísticas existen las leyes dinámicas que definen los movimien-
tos de las partículas aisladas. La ligazón entre las leyes dinámicas y estadísticas se
manifiesta en que las leyes del movimiento de las partículas aisladas influyen en la
descripción de las propiedades del sistema de partículas estudiado por el método
estadístico.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 319
2. METODO TERMODINAMICO
Las condiciones de estas transformaciones y las relaciones entre las distintas formas
de la energía permiten estudiar las propiedades físicas de los sistemas que se investigan
durante los procesos más diversos en que dichos sistemas participan. La parte de la
física en que las propiedades físicas de los sistemas se estudian por medio del método
termodinámico se llama termodinámica (termodinámica fenomenológica).
TERMODINAMICA
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 320
las restricciones en los tipos de sistemas considerados no son limitaciones básicas so-
bre la generalidad de la teoría termodinámica, y sólo se adoptan meramente para la
simplificación expositiva. Restringiremos (temporalmente) nuestra atención a sistemas
simples, definidos como sistemas que son macroscópicamente homogéneos, isótro-
pos, y desprovistos de carga eléctrica, que son lo suficientemente grandes para que
los efectos de frontera puedan ser ignorados, y que no se encuentran bajo la acción
de campos eléctricos, magnéticos o gravitacionales [14].
Llamamos SISTEMA, o MEDIO INTERIOR, la porción del espacio limitado por una su-
perficie real o ficticia, donde se sitúa la materia estudiada. El resto del universo es el
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 321
Figura (4.53): Tipos de sistemas
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 322
CAPÍTULO 5
5.1 Temperatura
323
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
Los termómetros poseen una escala para medir la temperatura. Existen diferentes
escalas:
b. La escala centígrada o Celsius ( C), ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius
y utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 C al punto de congelación
del agua y de 100 C a su punto de fusión.
d. Otra escala que emplea el cero absoluto como punto más bajo es la escala ab-
soluta Fahrenheit o Rankine (o R) (escala termodinámica internacional), en la que
cada grado de temperatura equivale a un grado en la escala Fahrenheit. En la
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 324
5.2. TERMÓMETROS Y ESCALAS DE TEMPERATURA
La relación entre estas escalas viene dada por las siguientes expresiones:
5
T ( C) = [T (o F ) 32] (5.2)
9
T ( R) = T (o F ) + 460 (5.3)
de aquí es fácil encontrar la relación entre T (K) y T (o F ).
5
T ( C) = [98; 6 32] = 37 C
9
Ejemplo 5.2 Los puntos de ebullición y de fusión, a la presión atmosférica, del mercurio
son 675o F y 38; 0o F respectivamente. Expresar dichas temperaturas en C.
5
T ( C) = [675 32] = 357 C
9
5
T ( C) = [ 38; 0 32] = 38; 9 C
9
Ejemplo 5.3 ¿A cuántos C equivale una temperatura de 100K?
T ( R) = 40 + 460 = 420 R
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 325
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
Para estudiar la dilatación lineal empleamos el dilatómetro (ver figura 5.1), llamado
también pirómetro de cuadrante.
L = Lo T (5.4)
Los valores de para distintos sólidos a 20o C son mostrados en la tabla 5.1. Cabe
señalar que varía sólo ligeramente con la temperatura (razón por la que los ter-
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 326
5.3. DILATACIÓN TÉRMICA
1 1
MATERIAL (o C) (o C)
Sólido
Aluminio 22:10 6 75:10 6
Latón 19:10 6 56:10 6
6 6
Mármol 1; 4 3; 5:10 4 10:10
Plomo 29:10 6 87:10 6
Vidrio (pyrex) 3; 2:10 6 9:10 6
Vidrio (ordinario) 9:10 6 27:10 6
Cobre 17:10 6 51:10 6
Hule duro 80:10 6 240:10 6
Hielo 51:10 6 153:10 6
Invar 0; 7:10 6 2; 1:10 6
Hierro o acero 12:10 6 36:10 6
Quarzo 0; 4:10 6 1:10 6
Concreto y ladrillos 12:10 6 36:10 6
Tabla (5.1): Coeficientes de dilatación promedio a 20o C de algunos sólidos.
Ejemplo 5.5 Se va a graduar una escala métrica de acero de tal manera que los in-
tervalos de 1 milímetro sean exactos con una precisión de a una cierta tempe-
ratura. ¿Cuál es la variación máxima de la temperatura permisible durante la
graduación?.
L
L = Lo T ) T =
Lo
5:10 5 mm
T = 1 ' 4; 2o C
6 o
12:10 ( C) :1mm
Entonces la temperatura que debe mantenerse durante el tiempo de graduación
debe ser la misma que cuando se use la escala y debe ser constante con una pre-
cisión de unos 4; 2o C.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 327
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
1
MATERIAL (o C)
LIQUIDOS
Gasolina 950:10 6
Mercurio 180:10 6
Alcohol etílico 1100:10 6
Glicerina 500:10 6
Agua 210:10 6
GASES
6
Aire (y la mayor parte de los gases a 1 atm) 3400:10
Tabla (5.2): Coeficientes de dilatación promedio a 20o C de algunos líquidos y gases.
6 o 1
L = Lo T = 17:10 ( C) :40; 5m: (50o C 20o C)
= 0; 020m
entonces,
L=L Lo ) L = L o + L
V = Vo T (5.5)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 328
5.3. DILATACIÓN TÉRMICA
de hacer notar que esto no se cumple para los sólidos que no son isótropos1 y además
que la dilatación lineal no tiene sentido para los líquidos y los gases puesto que no
tienen forma definida. Los valores de para distintos sólidos, líquidos y gases a 20o C
son mostrados en la tabla 5.1 y 5.2.
a. Para la gasolina:
6 o 1
VGas = Gas VoGas T = 950:10 ( C) :70L: (50o C 20o C)
= 2; 0 L
6 o 1
VT an = Acero VoT an T = 36:10 ( C) :70L: (50o C 20o C)
= 0; 075 L
de manera que la dilatación del tanque tiene un efecto mínimo. Si el tanque lleno
se expone al Sol se derramarían unos dos litros de gasolina.
Ejemplo 5.8 Una esfera de aluminio tiene un volumen de 50 cm3 a una temperatura de
20o C. Calcular su volumen a una temperatura de 100o C.
6 o 1
VEsf = Al VoEsf T = 75:10 ( C) :50cm3 : (100o C 20o C)
= 0; 3cm3
VEsf = VEsf VoEsf ) VEsf = VoEsf + VEsf = 50cm3 + 0; 3cm3 = 50; 3cm3
1
Isotrópico significa que tiene las mismas propiedades en cualquier dirección. Lo contrario ocurre para
un anisotrópico (no isotrópico).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 329
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
1F
Lo L= (5.6)
ES
donde E es el módulo de Young para el material. Para calcular la fuerza de com-
presión, F , hacemos L en la ecuación (5.4) igual a L en la ecuación anterior y
encontramos
F = ES T (5.7)
F = ES T
6 o 1
= 12:10 ( C) :20:109 N=m2 :0; 20m2 :30 o C
= 1; 4:106 N
5.5 Asignaciones
Problemas
1. Convertir:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 330
5.5. ASIGNACIONES
2. ¿Cuáles son las siguientes temperaturas en escala Kelvm: (a) 37 o C, (b) 80 o F , (c)
196 o C? Resp.: 310 K, 300 K y 77 K
4. Los puntos de ebullición y de fusión, a la presión atmosférica, del mercurio son 675
o
F y 38; 0 o F respectivamente. Expresar dichas temperaturas en unidades de la
escala centígrada. Resp.: 357 o C y 38; 9 o C.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 331
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
12. Una bola de acero de 6 cm de diámetro tiene 0; 010 mm más de diámetro que el
correspondiente al orificio de una plancha de latón donde se debe alojar cuando
tanto la bola como la plancha están a una temperatura de 30 o C. ¿A qué tempe-
ratura -tanto de la bola como de la plancha- podrá pasar la bola por el orificio?.
El coeficiente de dilatación lineal del acero vale 12:10 6 (o C) 1 y del latón, 19:10 6
(o C) 1 . Resp.: 54 o C.
13. (a) Una vara métrica de aluminio mide correctamente (calibrada) a 5 o C y con
ella se mide una cierta longitud a 35 o C, resultando el valor 88; 42 cm. Hallar el error
cometido en la medición, debido a la dilatación de la vara. (b) ¿Cuál seria, en
las condiciones anteriores, la longitud correcta que se ha déterminado a 35 o C? El
coeficiente de dilatación lineal del aluminio vale 22.10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 06 cm; 88; 48
cm.
14. Hallar el aumento de volumen que experimentan 100 cm3 de mercurio cuando su
temperatura se eleva de 10 o C a 35 o C. El coeficiente de dilatación cúbica del
mercurio es 18.10 5 (o C) 1 . Resp.: 0; 45 cm3 .
15. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio vale 9.10 6 (o C) 1 . ¿Qué capacidad
tendrá un frasco de vidrio a 25 o C, si su valor a 15 o C es de 50 cm3 ?. Resp.: 50; 014 cm3 .
17. Una vasija de vidrio está llena justamente con 1 L de terpentina a 50 o F . Hallar el
volumen de liquido que se derrama si se calienta hasta 86 o F . El coeficiente de di-
latación lineal del vidrio vale 9.10 6 (o C) 1 y el de dilatación cúbica de la terpentina
es 97.10 5 (o C) 1 . Resp.: 19 cm3 .
18. La densidad del oro, a 20 o C es 19; 30 g=cm3 y su coeficiente de dilatación lineal vale
14; 3:10 6 (o C) 1 . Hallar la densidad del oro a 90 o C. Resp.: 19; 24 g=cm3 .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 332
5.5. ASIGNACIONES
21. Con una cinta métrica de acero se mide una varilla de cobre y resulta el valor
90; 00 cm a 10 o C. Deducir la lectura .que se obtendría a 30 o C. Los coeficientes de
dilatación lineal del cobre y del acero, son respectivamente, 17:10 6 (o C) 1 y 11:10 6
(o C) 1 . Se supone que la cinta métrica de acero mide correctamente a 10 o C. Resp.:
90; 01 cm.
22. Un bulbo de vidrio está lleno con 50; 00 cm3 . de mercurio a 18 o C. Calcular el
volumen (medido a 38 o C) que sale del bulbo si se eleva su temperatura hasta 38
o
C. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 9:10 6 (o C) 1 , y el correspondiente
cúbico del mercurio vale 18:10 5 (o C) 1 . Resp.: 0; 15 cm3 .
24. Los extremos de una varilla de acero de, exactamente, 1 cm2 de sección recta,
se mantienen con rigidez entre dos puntos fijos a una temperatura de 30 o C. Hallar
la fuerza mecánica a la que se encontrará sometida la varilla si se produce en el
sistema una disminución de temperatura hasta 20 o C. El módulo de Young del acero
vale 2; 3:106 Kp=cm2 , y su coeficiente de dilatación lineal es 18:10 5 (o C) 1 . Resp.: 253
Kp.
25. El espejo dç vidrio Pyrex del telescopio del observatorio de Monte Palomar tiene
un diámetro de 200 plg. En dicho lugar la temperatura varía desde 10 hasta 50
o
C. Determinar el cambio máximo en el diámetro del espejo. El coeficiente de
dilatación lineal del vidrio Pyrex es 3; 2:10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 038 plg.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 333
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
dejarse entre las secciones de los rieles para que no exista una compresión cuando
la temperatura se eleva hasta 42 o C?. El coeficiente de dilatación lineal del acero
es 11:10 6 (o C) 1 . Resp.: 0; 55 cm.
28. Una varilla de acero tiene un diámetro de 3; 000 cm a 25 o C. Un aro de latón tiene un
diámetro interior de 2; 992 cm a 25 o C. ¿A qué temperatura común podrá deslizarse
exactamente el anillo sobre la varílla?. El coeficiente de dilatación lineal del acero
es 11:10 6 (o C) 1 y el del latón es 19:10 6 (o C) 1 .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 334
5.5. ASIGNACIONES
= T
h= h T
35. (a) Demostrar que si las longitudes de dos varillas de diferentes sólidos son inver-
samente proporcionales a sus respectivos coeficientes de dilatación lineal a una
cierta temperatura inicial, la diferencia de longitud entre ellas será constante a to-
das las temperaturas. (b) ¿Cuáles serían las longitudes de unas varillas de acero y
de latón a 0 o C si a cualquier temperatura la diferencia entre sus longitudes fuese de
0; 30 m?. El coeficiente de dilatación lineal del acero es 11:10 6 (o C) 1 y el del latón
es 19:10 6 (o C) 1 . Resp.: Acero 71 cm; latón 41 cm.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 335
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
39. (a) Demostrar que el cambio del momento de inercia I con la temperatura de un
objeto sólido está determinada por
I=2 I T
(b) Demostrar que el cambio con la temperatura del período P de un péndulo físico
es
1
P = P T
2
40. Un tubo vertical de vidrio de 1; 0 m de largo se llena hasta la mitad con un líquido a
20 o C, ¿Cuánto cambia la altura de la columna líquida cuando el tubo se calienta
a 30 o C?. Tomar vidrio = 1; 0:10 5 (o C) 1 y l{quido = 4:10 5 (o C) 1 . Resp.: Aumenta en
0; 10 mm.
41. La distancia entre dos torres del tramo principal del puente Golden Gate en San
Francisco es de 4200 pies. La flecha del cable en el punto medio entre las torres es de
470 pies a 50 o F . Tomar = 6; 5:10 6 (o F ) 1 para el cable y calcular (a) el cambio en
la longitud del cable y (b) el cambio en la flecha para un cambio de temperatura
de 20 a 110 o F . Se supone que las torres no sufren curvaturas ni separaciones y que
el cable tiene una forma parabólica. Resp.: (a) 3; 7 pies y (b) 6; 5 pies.
42. Una autopista de concreto está construida con losas de 26 m de largo. ¿Qué
ancho deben tener los intersticios entre las losas para evitar que se traslapen, por
causa de la expansión, si el intervalo de temperatura es de 20 o C a +50 o C?. El
coeficiente de dilatación lineal del concreto es 12:10 6 (o C) 1 .
43. Una cinta métrica de acero se calibra a 20 o C a 40 o C, (a) ¿su lectura será más
grande o más chica? y (b) ¿cuál será su error porcentual? Resp.: (a) menor, (b)
0; 024 %.
44. Para hacer una junta segura con frecuencia se emplean remaches de mayor
diámetro que el agujero y luego se enfría (por lo regular en hielo seco) antes de
ponerlo en el agujero. Un remache de acero de 2; 385 cm de diámetro va a colo-
carse en un agujero de 2; 382 cm de diámetro. ¿A qué temperatura debe enfriarse
el remache si debe ajustar en el agujero a 20 o C?. El coeficiente de dilatación lineal
del acero es 12:10 6 (o C) 1 . Resp.: 85 o C.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 336
5.5. ASIGNACIONES
46. Una esfera de acero tiene 28; 0 cm de diámetro. ¿Cuál será su cambio en volumen
si se calienta de 20 o C a 200 o C?. El coeficiente de dilatación volumétrica del acero
es 35:10 6 (o C) 1 .
48. Un vaso ordinario se llena hasta el borde con 288; 3 mL de agua a 10 o C. Si luego
se incrementa la temperatura a 30 o C, ¿cuánta agua se derramará del vaso? El
coeficiente de dilatación volumétrica del agua es 210:10 6 (o C) 1 . Resp.: 1; 6 mL.
50. Un tonel de vino de 122; 860 cm de diámetro a 20 o C se debe ajustar con un aro de
acero. Este tiene un diámetro interior de 122; 848 cm a 20 o C. Tiene 8; 7 cm de ancho
y 0; 55 cm de grueso. (a) ¿A qué temperatura debe calentarse el aro de manera
que ajuste en el barril? (b) ¿Cuál será la tensión en el aro cuando se enfríe a 20 o C?.
El coeficiente de dilatación lineal del acero es 12:10 6 (o C) 1 y su módulo de Young
vale 200:109 N=m2 .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 337
CAPÍTULO 5. TEMPERATURA Y DILATACIÓN TÉRMICA
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 338
CAPÍTULO 6
Calorimetría
6.1 Calor
El calor Q es la transferencia de energía de una parte a otra de un cuerpo, o
entre diferentes cuerpos, en virtud de una diferencia de temperatura.
339
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Hasta principios del siglo XIX, el efecto del calor sobre la temperatura de un cuerpo
se explicaba postulando la existencia de una sustancia o forma de materia invisi-
ble, denominada calórico. Según la teoría del calórico, un cuerpo de temperatura
alta contiene más calórico que otro de temperatura baja; el primero cede parte del
calórico al segundo al ponerse en contacto ambos cuerpos, con lo que aumenta
la temperatura de dicho cuerpo y disminuye la suya propia. Aunque la teoría del
calórico explicaba algunos fenómenos de la transferencia de calor, las pruebas ex-
perimentales presentadas por el físico británico Benjamin Thompson en 1798 y por el
químico británico Humphry Davy en 1799 sugerían que el calor, igual que el trabajo,
corresponde a energía en tránsito (proceso de intercambio de energía). Entre 1840 y
1849, el físico británico James Prescott Joule, en una serie de experimentos muy pre-
cisos, demostró de forma concluyente que el calor es una transferencia de energía y
que puede causar los mismos cambios en un cuerpo que el trabajo.
Los procesos físicos por los que se produce la transferencia de calor son
la conducción y la radiación. Un tercer proceso, que también implica el mo-
vimiento de materia, se denomina convección. La conducción requiere con-
tacto físico entre los cuerpos -o las partes de un cuerpo- que intercambian ca-
lor, pero en la radiación no hace falta que los cuerpos estén en contacto ni que
haya materia entre ellos. La convección se produce a través del movimiento de
un líquido o un gas en contacto con un cuerpo de temperatura diferente.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 340
6.1. CALOR
Figura (6.2): Dispositivo utilizado por Joule para medir el equivalente mecánico del calor
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 341
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Q
C= (6.6)
T
La palabra “capacidad” puede ser mal interpretada como “la cantidad de calor
que un cuerpo puede contener”, mientras que lo que en realidad significa es simple-
mente la energía que debe suministrarse en forma de calor para que la temperatura
del cuerpo aumente en un grado (ver fig. 6.3 como ejemplo ilustrativo).
dQ = CdT (6.7)
Z T2
Q= CdT (6.8)
T1
cal Btu
oC
o o (6.9)
F
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 342
6.3. CALOR ESPECÍFICO
Kcal J
SUSTANCIA Kg:o C Kg:o C
Aluminio 0; 22 900
Cobre 0; 093 390
Vidrio 0; 20 840
Hielo ( 5o C) 0; 50 2100
Hierro o acero 0; 11 450
Plomo 0; 031 130
Mármol 0; 21 860
Plata 0; 056 230
Madera 0; 4 1700
Alcohol etílico 0; 58 2400
Mercurio 0; 033 140
Agua (15o C) 1; 00 4186
Vapor (110o C) 0; 48 2010
Cuerpo humano (promedio) 0; 83 3470
Proteínas 0; 4 1700
Tabla (6.1): Calor específico a 20o C y presión constante de 1 atm.
C 1 Q
c= = (6.10)
m m T
Se interpreta como la cantidad de calor que hay que suministrar a un cuerpo de
masa un gramo para que su temperatura aumente en un grado. La tabla 6.1 muestra
el calor específico de algunas sustancias a 20 o C y a una presión constante de 1 atm.
En forma diferencial,
dQ = mcdT (6.11)
UNIDADES: El calor específico puede medirse en,
cal
en el c.g.s.s. (6.12)
goC
Btu
o o en el Sistema Inglés
lb F
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 343
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
De aquí que, el calor necesario para fundir el sólido venga dado por,
Q = mLf (6.13)
Por ejemplo,
cal Kcal
Lfhielo = 80 o (a 0 o C y 1atm): (6.14)
g Kg
significando que para que 1 g de hielo pueda pasar al estado líquido necesita ab-
sorber 80 cal. De la misma maner, un gramo de agua cuando se congela desprende
80 cal (ver figura 6.4).
De aquí que, el calor necesario para vaporizar un líquido venga dado por,
Q = mLv (6.15)
donde m es su masa.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 344
6.6. CALOR DE COMBUSTIÓN
Por ejemplo,
cal Kcal
Lvagua = 540 o (a 100 o C y 1atm): (6.16)
g Kg
significando que 1 g de agua absorbe 540 cal; cuando pasa del estado líquido al ga-
seoso a la temperatura de 100 o C. De la misma manera 1 g de agua en estado gaseoso
a 100 o C desprende 540 cal cuando se condensa a esa temperatura (ver figura 6.5).
Q = mLc (6.17)
Q = mc T
Kcal
= 10Kg:0; 031 o
: (45o C 5o C)
Kg: C
= 12; 4 Kcal
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CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Q = mc T
Kcal
= 20Kg:0; 11 : (90o C 10o C)
Kg:o C
= 180 Kcal
Ejemplo 6.3 (a) Hallar la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de
100 g de cobre desde 10 o C a 100 o C. (b) Suponiendo que a 100 g de aluminio a 10
o
C se le suministrase la cantidad de calor del apartado (a), deducir qué cuerpo,
cobre o aluminio, estará más caliente. El calor específico del cobre es 0; 093 g:cal
oC
cal
y el del aluminio 0; 217 g:o C .
Solución:
(a) Al usar (6.10), se obtiene,
Q = mc T
cal
= 100g:0; 093 : (100o C 10o C)
g:o C
= 840 cal
(b) Como el calor específico del cobre es menor que el del aluminio, a igual masa,
se necesita más calor para elevar 1 o C la temperatura del aluminio que la del cobre,
por lo tanto, el cobre estará más caliente.
Ejemplo 6.4 Una caldera de vapor es de acero, pesa 400 Kp (400 Kg de masa) y con-
tiene 200 Kg de agua. Suponiendo que sólo el 70 % del calor comunicado se
emplea en calentar la caldera y el agua, hallar el número de calorías necesarias
para elevar la temperatura del conjunto desde 5 o C a 85 o C. El calor específico
del acero es 0; 11 g:cal Kcal
o C o 0; 11 Kng:o C .
Qcal = mc T
Kcal
= 400Kg:0; 11 : (85o C 5o C)
Kg:o C
= 3; 52:103 Kcal
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 346
6.6. CALOR DE COMBUSTIÓN
QH2 O = mc T
Kcal
= 200Kg:1 : (85o C 5o C)
Kg:o C
= 16:103 Kcal
Q = Qcal + QH2 O
= 3; 52:103 Kcal + 16:103 Kcal
= 19; 52:103 Kcal
Qcal = mc T
cal
= 1500g:0; 093 : (31o C 20o C)
g:o C
= 1530 cal
QH2 O = mc T
cal
= 2000g:1 : (31o C 20o C)
g:o C
= 22000 cal
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 347
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Por lo tanto, el poder calorífico o calor de combustión del carbón será, al usar (6.17),
Qcarb Qcal + QH2 O
Lc = =
mcarb mcarb
1530 cal + 22000 cal
=
3g
cal
= 7; 8:103
g
Ejemplo 6.6 Hallar el calor que se debe extraer de 20 g de vapor de agua a 100 o C
para condensarlo y enfriarlo hasta 20 o C.
Solución:
Q = Qvapor + QH2 O
= 10800 cal + 1600 cal
= 12400 cal
Ejemplo 6.7 Hallar el número de kilocalorías absorbidas por una nevera eléctrica al
enfriar 3 Kg de agua a 15 o C y transformarlos en hielo a 0 o C.
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6.7. EQUILIBRIO TÉRMICO Y LEY CERO
Solución:
Q = QH2 O + Qhielo
= 45 Kcal + 240 Kcal
= 285 Kcal
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 349
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Los estados de equilibrio son, por definición, estados independientes del tiempo
[14]. El estado de equilibrio termodinámico se caracteriza por la anulación por com-
pensación de flujos de intercambio y la homogeneidad espacial de los parámetros
que caracterizan el sistema que ya no dependen del tiempo.
Si ahora tenemos dos sistemas diferentes cuyas presiones y temperaturas son dife-
rentes, entonces si se mantienen alejados de manera que no interactúen entre sí1 y por
ende no puedan influir el uno sobre el otro, pueden permanecer a distintas presiones
y temperaturas. Ahora, si los ponemos en contacto de modo que interactúen entre
sí2 ,se dicen que están en contacto térmico.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 350
6.7. EQUILIBRIO TÉRMICO Y LEY CERO
Bien, como hemos visto, cuando varios cuerpos a temperaturas diferentes se ponen
en contacto, los cuerpos calientes ceden calor a los cuerpos fríos, hasta que después
de cierto tiempo todos estarán a la misma temperatura. En este proceso la capacidad
calorífica C del sistema de cuerpos permanece invariable, de modo que se cumple
siempre la siguiente igualdad, llamada ley de intercambio calórico,
expresando que el número total de unidades de calor despedidas por los cuerpos
calientes iguala al número total de unidades de calor absorbido por los cuerpos fríos.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 351
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Ejemplo 6.9 Un sistema termodinámico está constituido por la mezcla de 500 g de agua
y 100 g de hielo a la temperatura de equilibrio 0o C. Si se introducen en este sistema
200 g de vapor de agua a 100 o C. Hallar la temperatura final y la composición de
la mezcla.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 352
6.7. EQUILIBRIO TÉRMICO Y LEY CERO
Calor perdido por 200 g vapor al condensarse: Al usar (6.15) y (6.16), obtenemos,
Calor perdido por 200 g vapor al enfriarse (ya condensado, es decir, convertido en
agua líquida) hasta la temperatura Tf : Al usar (6.10), obtenemos,
Calor absorbido por el cuerpo frío = Calor perdido por el cuerpo caliente
Qhielo + QH2 O = Qvapor + Qvapor
cal cal
8000 cal + 600 o :Tf = 108000 cal + 200 o : (100o C Tf )
C C
Tf = 150 o C
Este resultado indica que se introduce en el sistema más vapor que el necesario
para elevar la temperatura del hielo y del agua a 100o C. Por lo tanto, la temperatura
final de la mezcla es de 100o C y lo que ocurre es que permanece parte del vapor sin
condensar.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 353
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Calor perdido por m gramos vapor al condensarse: Al usar (6.15) y (6.16), obtene-
mos,
Qvapor = Lvagua :m
cal
= 540 :m
g
Entonces, al usar (6.18), obtenemos,
De aquí que la mezcla final contiene 200 g 126 g = 74 g de vapor y 600 g + 126 g = 726
g de agua, todo a 100o C.
Por ejemplo, supongamos que se tiene una masa de hierro de 50 g. Como el calor
específico del hierro es de c = 0; 115 gcal
o C , su capacidad calorífica es,
cal cal
C = 50g:0; 115 o
= 5; 75 o (6.19)
g C C
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 354
6.9. CALOR ESPECÍFICO DE UN SÓLIDO
son equivalentes 50g de hierro y 5; 75g de agua; absorben o desprenden la misma can-
tidad de calor por cada grado que varíen sus temperaturas.
El vaso externo también está pulido y tiene por objeto reflejar el calor irradiado
tanto por el recipiente interno, el cual forma propiamente el calorímetro, como por
el calor externo del medio ambiente. El aparato se cierra con una tapa aisladora
térmica que tiene dos orificios para introducir el termómetro sensible y el agitador. Este
último está formado por un anillo metálico de la misma naturaleza que el calorímetro
y lleva una palanca para desplazario verticalmente, con el fin de mover el líquido.
El procedimiento es el siguiente:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 355
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
Es de advertir que debe conocerse previamente la masa del calorímetro, que des-
ignamos como mcal , y su calor específico ccal . Aquí se supone que entra la masa del
agitador y su calor específico. La del termómetro se puede despreciar.
Qc = mc cc (T1 T) (6.21)
de aquí que,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 356
6.10. CALOR ESPECÍFICO DE LOS LÍQUIDOS
pero,
Qc = mc cc (T2 T) (6.28)
entonces,
de aquí que,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 357
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
6.11 Problemas
1. Hallar la cantidad de calor necesaria para calentar, desde 15 o C hasta 650 o C: a) 1
g de agua, b) 5 g de vidrio, c) 20 g de platino. El calor específico del vidrio es 0; 20
cal
g:o C
y el del platino, 0; 032 g:cal
o C . Resp.: 50 cal; 50 cal; 32 cal.
2. Calcular el número de calorías que se deben extraer para enfriar desde 85 o C hasta
15 o C: a) 1 Kg de agua, b) 2 Kg de cuero, c) 3 Kg de asbesto. El calor específico del
cuero es 0; 36 g:cal cal 3 3 3
o C y el del asbesto 0; 20 g:o C . Resp.: 70:10 cal; 50; 4:10 cal; 42:10 cal.
10. Hallar el calor de fusión del hielo a partir de los siguientes datos:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 358
6.11. PROBLEMAS
12. Hallar la temperatura final que resulta introduciendo en un calorímetro, que con-
tiene 200 g de agua y 20 g de hielo a 0 o C con un equivalente de 30 g, 100 g de vapor
a 100 o C. Resp.: 49; 4 g de vapor condensado; temperatura final 100 o C.
14. ¿Qué cantidad de calor absorben 625 g de agua a 15 o C, para que su temperatura
sea de 60 o C? Resp.: 28125 cal.
16. ¿Qué cantidad de calor se necesita para que los 35 g de mercurio de un ter-
mómetro eleven su temperatura 30 o C?. Calor específico del Hg = 0; 033 g:cal
o C . Resp.:
34; 65 cal.
18. Un calorímetro de cobre de 150 g. El calor específico es 0; 095 g:calo C . Calcular las
o o
calorías que desprende al pasar su temperatura de 40 C a 15 C. Determinar el
equivalente en agua de dicho calorímetro. Resp.: 356; 25 cal; 14; 25 g.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 359
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
21. Se tienen 500 g de agua a 100 o C y se reemplazan 100 g. de esa agua por 150 g de
agua a 0 o C. Cuando se establece el equilibrio térmico se repite la operación dos
veces más. Calcular las temperaturas del agua en cada una de las operaciones.
Resp.: 1) 80 o C; b) 64 o C; c) 51; 2 o C.
23. En un vaso hay agua a 4 o C y en otro agua a 84 o C. ¿Que cantidad de agua debe
tomarse de cada vaso para obtener una mezcla de 1200 g de agua a 24 o C, en un
recipiente de latón de 500 g cuya temperatura es de 12 o C siendo su calor específico
0; 095 g:cal
o C ?. Resp.: 892; 875 g.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 360
6.11. PROBLEMAS
30. Calcular la masa de hielo necesaria para bajar la temperatura del agua de una
bañera de 50 o C a 40 o C, si tiene 120 L de agua cuya masa es de 120 Kg. El hielo está
a 20 o C. Resp.: 10378; 3 g.
31. En 1500 g de agua a 10 o C se introduce una masa de cobre de 200 g a 100 o C y 500
g de hielo a 0 o C. La temperatura queda a 0 o C. ¿Qué masa de hielo se funde?.
Resp.: 211; 25 g.
se necesita para calentar 500 g de agua a 15 C y evaporarla a 100 o C?. Resp.: 311000
o
cal:
33. ¿Cuántos litros de vapor de agua a 100 o C se necesitan para calentar 4 m3 de agua
de 20 o C a 80 o C, sabiendo que un litro de vapor de agua a 100 o C tiene una masa
de 0; 8 g?. Resp.: 5386000 L.
36. Se dispara una bala de plomo de 10 g sobre una placa de acero. ¿Cuál debe ser
la velocidad mínima de la bala, para que con el impacto se funda totalmente?. La
temperatura inicial de la bala es de 15 o C y absorbe el 80% del calor producido en
el choque. Resp.: 41357 cm=s.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 361
CAPÍTULO 6. CALORIMETRÍA
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 362
CAPÍTULO 7
Leyes 1 y 2 de la termodinámica
Con suficiente enrarecimiento, cualquier gas real se aproxima por sus propiedades
a un gas ideal. Ciertos gases, tales como el aire, nitrógeno, oxígeno, incluso a condi-
ciones normales, es decir, a temperatura ambiente y presión atmosférica, poco se
diferencian de un gas ideal. En particular, por sus propiedades, el helio e hidrógeno,
se aproximan a un gas ideal.
pV = nRT (7.1)
que es la denominada ecuación de estado de un gas ideal o ley de los gases ideales.
Aquí, p es la presión, V el volumen, n el número de moles de gas, R es la constante uni-
versal de los gases (encontrada experimentalmente igual para todos los gases) 8; 314
Jmol 1 K 1 = 1; 986 cal mol 1 K 1 = 1; 986 cal mol 1 (o C) 1 (puesto que K se define como
igual a un grado Celsius. Ver la sección dedicada a las escalas de temperaturas) y T
es la temperatura en la escala Kelvin.
363
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
an2 V
p+ b = RT (7.2)
V2 n
donde a y b son parámetros ajustables determinados a partir de medidas experimen-
tales en gases reales. Son parámetros de la sustancia y no constantes universales,
puesto que sus valores varían de un gas a otro. Por ejemplo, para el CO2 el mejor
m4 m3
ajuste se obtiene para a = 3; 6:10 3 N
mol2
y b = 4; 2:10 5 mol .
El análisis de van der Waals se basa en la teoría cinética y toma en cuenta:
a. El tamaño finito de las moléculas (en un gas ideal se desprecia el volumen total de
las propias moléculas, en comparación con el volumen total del recipiente, suposi-
ción que se aparta de la realidad cuando la densidad aumenta y las moléculas se
juntan).
b. Las moléculas interaccionan entre sí. La interacción es muy repulsiva a corta distan-
cia, se hace ligeramente atractiva a distancias intermedias y desaparece a distan-
cias más grandes. La ley de los gases ideales debe corregirse para considerar las
fuerzas atractivas y repulsivas. Por ejemplo, la repulsión mutua entre moléculas tiene
el efecto de excluir a las moléculas vecinas de una cierta zona alrededor de cada
1
Se denomina masa atómica Ar de un elemento químico, a la razón entre la masa del átomo de este
1
elemento y 12 de la masa del átomo 12 C (así se designa el isótopo de carbono con peso atómico 12).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 364
7.3. EL CALOR Y EL TRABAJO MECÁNICO
molécula. Así, una parte del espacio total deja de estar disponible para las molécu-
las en su movimiento aleatorio. En la ecuación de estado, se hace necesario restar
este volumen de exclusión b del volumen del recipiente; de ahí el término Vn b
(en un gas ideal se supone que las fuerzas intermoleculares actúan sólo durante las
colisiones, cuando las moléculas están en “contacto”).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 365
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
F = pS (7.3)
donde S es la sección transversal del émbolo. Por ende, el trabajo realizado para
!
mover el émbolo una distancia infinitesimal d l es,
! !
dW = F d l = pSdl = pdV (7.4)
!
Si el gas se comprimiera, de modo que d l apuntara hacia el gas, el volunmen se
reduciría y dV < 0, entonces el trabajo realizado por el gas sería negativo, lo que
equivale a decir que se efectúa un trabajo positivo sobre el gas y no es él quien lo
realiza.
2
Si el gas se expandiera o comprimiera rápidamente, habría turbulencia y partes diferentes estarían a
diferente presión y temperatura.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 366
7.3. EL CALOR Y EL TRABAJO MECÁNICO
Para un cambio finito de V1 a V2 , se tiene que el trabajo realizado por el gas viene
dado por,
Z Z V2
W = dW = pdV (7.5)
V1
Las ecuaciones (7.4) y (7.5) son válidas para el trabajo realizado en cualquier cam-
bio de volumen (de un gas, líquido o sólido) siempre y cuando se efectúe en forma
cuasiestática.
Para integrar la ecuación (7.5), necesitamos saber cómo varía la presión durante el
proceso, lo cual depende del tipo de proceso.
Figura (7.3): Diagrama para un gas ideal que experimenta un proceso isotérmico
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 367
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
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7.3. EL CALOR Y EL TRABAJO MECÁNICO
Z V2
W = pdV = p2 (V2 V1 ) (proceso isobárico) (7.8)
V1
que para un gas ideal es,
V1
W == nRT2 1 (proceso isobárico gas ideal) (7.9)
V2
En este caso, el trabajo realizado también se representa por medio del área entre
la curva abc sobre el diagrama pV y el eje V , representado por el área sombreada en
la figura 7.4. Nótese, además, que la temperatura no permanece costante durante el
proceso isobárico, aunque es la misma en los puntos finales del proceso isocórico más
el proceso isobárico (abc en la figura 7.4: T1 = T2 ).
Es fácil notar que el trabajo para llevar el sistema desde el estado 1 al estado 2 es
diferente para ambos procesos, lo cual es un resultado general que podemos enunciar
de la siguiente manera:
Lo mismo se cumple para el calor. El calor de entrada necesario para pasar el gas
del estado 1 al 2 depende del proceso. Para el proceso isotérmico de la figura 7.3
resulta ser mayor que para el proceso abc de la figura 7.4. En general:
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CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
W = p2 (V2 V1 )
= p2 (2V1 V1 )
= p2 V1
W = nRT
= 8; 0 moles:8; 314Jmol 1 K 1
:273; 15K
= 1; 8:104 J
Ejemplo 7.2 Determine el trabajo que realizan n moles de un gas de van der Waals
cuando se expande desde el volumen V1 hasta V2 isotérmicamente.
V2 nb 1 1
W = nRT ln + an2
V1 nb V2 V1
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7.5. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
Este último tipo de energía es tan pequeña, en comparación con la de los cuerpos
macroscópicos, que puede ser despreciada y se considera que la energía interna de
un sistema de cuerpos macroscópicos es igual a la suma de las energías internas de los
cuerpos que lo constituyen. De este modo, la energía interna es una magnitud aditiva.
La energía interna es función del estado del sistema, lo que significa que
cada vez que el sistema se encuentra en el estado dado, su energía interna
toma el valor propio de dicho estado, independientemente de la prehistoria
del sistema.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 371
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
En cualquier máquina, hace falta cierta cantidad de energía para producir trabajo;
es imposible que una máquina realice trabajo sin necesidad de energía. Una máquina
hipotética de estas características se denomina móvil perpetuo de primera especie.
La ley de conservación de la energía descarta que se pueda inventar nunca una
máquina así. A veces, la primera ley se enuncia como la imposibilidad de la existencia
de un móvil perpetuo de primera especie.
7.5.1 Enunciado
Para un sistema cerrado (de masa constante) la primera ley de la termodinámica
se expresa matemáticamente por medio de:
ET = Q W (7.10)
donde ET es el cambio total de energía del sistema, Q es el calor agregado al sis-
tema y W el trabajo realizado por el sistema. La primera ley de la termodinámica sólo
proporciona la expresión cuantitativa del principio de conservación de la energía. En
palabras, expresa que:
Ek + Ug + U =Q W (7.11)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 372
7.5. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
En el caso frecuente donde las energías potencial y cinética del sistema no cam-
bian, (7.11) se convierte en:
U =Q W (7.12)
o, en forma diferencial,
dU = Q W (7.13)
y todo el intercambio de energía con el entorno sirve para cambiar sólo la energía
interna4 .
a. Si el proceso no es cíclico U 6= 0.
g. Si el sistema cede calor al ponerlo en contacto térmico con un foco a una tempe-
ratura inferior, U disminuye.
mientras que denota una cantidad infinitesimal y la integración da una cantidad finita
Z Z
Q=Q y W =W
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 373
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Las ecuaciones (7.6), (7.7) y (7.8) permiten calcular el trabajo para un proceso
isotérmico, isocórico e isobárico respectivamente si el sistema está constituido por un
gas ideal.
Bien, en esta sección será mostrado cómo se aplica la primera ley de la termodi-
námica, mediante algunos ejemplos, a cada uno de estos procesos.
Solución:
(a) El trabajo realizado por el gas viene dado por la ecuación (7.6), entonces,
V2
W = nRT ln
V1
7; 00m3
= 2; 00 mol:8; 314 J mol 1 K 1
:300 K: ln
3; 50m3
= 3460 J
Puesto que para un gas ideal U sólo depende de la temperatura [ver ecuación
(7.23)] y en este proceso no cambia la temperatura, entonces,
U =0
Q= U + W = W = 3460 J
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 374
7.5. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
Wab = 0
V1
Wbc = nRT2 1
V2
3; 50m3
= 2; 00 mol:8; 314 J mol 1 K 1
:300 K: 1
7; 00m3
= 2490 J
W = 0 + 2490 J = 2490 J
y como U = 0, entonces,
Q= U + W = W = 2490 J
Solución:
W = p (V2 V1 )
N
= 1; 01:105 2 : 1; 67m3 1; 00:10 3 m3
m
= 1; 69:105 J
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CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
pV = ctte
para un gas ideal que experimenta un proceso adiabático (proceso que transcurre sin
intercambio de calor con el entorno del sistema), donde = CCVp . Esta ecuación recibe
el nómbre de ecuación adiabática de un gas ideal o ecuación de Poisson y la curva
definida con esta ecuación es llamada adiabática.
Solución: Bien, a partir de la primera ley de la termodinámica (7.12),
Q= U +W (7.14)
pero para un proceso adiabático Q = 0 y W = p V . Cómo el gas es ideal, U sólo
depende de la temperatura y viene dado por (??), entonces,
p V
0 = nCV T +p V ) T = (7.15)
nCV
Ahora, si p, V y T sufren pequeñas variaciones, a partir de (7.1) podemos escribir,
(p + p) (V + V ) = nR (T + T) (7.16)
pV + p V + V p+ p V = nRT + nR T (7.17)
p V +V p
p V +V p = nR T ) T = (7.18)
nR
Bien, ahora si igualamos (7.15) con (7.18) y tomamos en cuenta (7.32), obtenemos,
p V
p V Cp + V pCV = 0 ) + =0 (7.19)
p V
siendo en el caso límite de cambios diferenciales,
dp dV
+ =0 (7.20)
p V
que al ser integrada (suponiendo constante) resulta,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 376
7.5. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
Figura (7.5): Comparación de comportamientos isotérmico y adiabático para un mol de gas ideal.
pV = ctte (7.22)
la cual proviene de (7.1) al hacer la temperatura T constante y recibe el nómbre de
ecuación isotérmica de un gas ideal mientras que la curva definida con esta ecuación
es llamada isoterma.
Ejemplo 7.6 En cada uno de los siguientes casos, hallar la variación de energía interna
del sistema: (a) Un sistema absorbe 500 cal y realiza 40 Kpm de trabajo, (b) un
sistema absorbe 300 cal y se le aplica un trabajo de 419 J y (c) de un gas se
extraen 1500 cal a volumen constante.
(b) y en este,
U =Q W = 300cal ( 419=4; 19cal) = 400cal
(c) Por último, como no existe variación de volumen (proceso isocórico), no se realiza
trabajo alguno, entonces
U =Q W = 1500cal 0= 1500cal
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CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Ejemplo 7.7 En cada una de las siguientes transformaciones adiabáticas, hallar la va-
riación de energía interna: (a) Un gas produce, en un a expansión adiabática,
0; 5 Kpm de trabajo exterior y (b) durante una compresión adiabática se aplica a
un gas un trabajo de 80 J.
y aquí,
U =Q W =0 ( 80 J) = 80 J
Solución:
El calor equivalente a
y el porcentaje pedido
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7.6. ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL
3
U = nRT (7.23)
2
que es una predicción de la teoría cinética estableciendo que la energía interna
de un gas ideal es proporcional a la temperatura Kelvin y sólo depende de la tem-
peratura y del número de moles de gas, siendo independiente de la presión y del
volumen.
Si las moléculas del gas contienen más de un átomo, debe tomarse en cuenta la
energía rotacional y vibracional de las moléculas. La energía interna será mayor a
cualquier temperatura que para el caso de un gas monoatómico, pero seguirá siendo
sólo función de la temperatura.
Q
C= (7.24)
n T
En los gases, sólo son importantes dos tipos de capacidad calorífica molar:
Las consideradas a volumen constante CV y a presión constante Cp .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 379
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Figura (7.7): La temperatura dada de una masa de gas aumenta en la misma cantidad ya sea por un
proceso a presión constante ab o por un proceso a volumen constante ac.
Q = nCV T (7.25)
y además V = 0 ) W = p V = 0, por lo tanto al aplicar la primera ley de la termodi-
námica (7.12), se obtiene,
U = nCV T (7.26)
que en forma diferencial se escribe,
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7.7. CAPACIDADES CALORÍFICAS DE UN GAS IDEAL
dU = nCV dT (7.27)
Ahora hagamos que el sistema regrese a su estado original y que su temperatura
aumente de nuevo en T , pero esta vez evitando que la carga de arena se altere, de
manera que la presión p no cambie. Este proceso a presión constante lleva al sistema
desde su estado inicial en la figura 7.6(a) a su estado final en la figura 7.6(b) o, lo que
es lo mismo, lo lleva desde el punto a hásta el punto b en la figura 7.7.
Q = nCp T (7.28)
y por ser el proceso isobárico, a partir de (7.8),
W =p V (7.29)
y además, como los procesos ab y ac de las figuras 7.6 y 7.7 implican el mismo cambio
T en la temperatura, también deben implicar el mismo cambio U en la energía
interna, es decir, el que establece (7.26). Así, en un proceso a presión constante, la
primera ley de la termodinámica (7.12) nos permite escribir,
p V = nR T (7.31)
se obtiene,
Cp CV = R (7.32)
La ecuación (7.32) demuestra que la capacidad calorífica molar de un gas ideal,
a presión constante, es siempre mayor que la obtenida a volumen constante, en una
cantidad igual a la constante universal de los gases R.
Q = mcV T (7.33)
Q = mcp T (7.34)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 381
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Q nCV T m
= ) CV = cV
Q mcV T n
) CV = M cV (7.35)
donde,
m
M= (7.36)
n
es la denominada masa molecular del gas. Análogamente,
Cp = M cp (7.37)
Ahora bien, al usar (7.35) y (7.37), la ecuación (7.32), se puede escribir como,
R
cp cV = (7.38)
M
A partir de (7.23) y (7.27) en el límite de cambios diferenciales, encontramos que,
1 dU 3
CV = = R (7.39)
n dT 2
cal
Este resultado de t 3 mol:K es bastante aproximado para los gases monoatómicos,
sin embargo, está en serio desacuerdo con los de los gases diatómicos y poliatómi-
cos. Esto sugiere que (7.23) no es del todo correcta y como dicha relación se obtuvo
directamente del modelo de la teoría cinética, se sugiere un cambio en el modelo
si queremos que la teoría cinética sobreviva como una aproximación útil al compor-
tamiento de los gases reales. Al sustituir (7.39) en (7.32), obtenemos,
5
Cp = R (7.40)
2
Ahora, para los gases biatómicos, la teoría cinética predice que,
5
CV = R (7.41)
2
que al sustituir en (7.32), resulta,
7
Cp = R (7.42)
2
Ejemplo 7.9 El calor específico del nitrógeno a volumen constante es cV = 0; 177 g:cal
oC .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 382
7.7. CAPACIDADES CALORÍFICAS DE UN GAS IDEAL
Solución: Al usar (7.42) por ser el O2 un gas biatómico y teniendo presente (7.37), se
obtiene,
7R 7 1; 986 cal mol 1 (o C) 1 cal
cp = = 1
= 0; 217 o
2M 2 32; 00 g mol g: C
Por otro lado, al usar (7.41) por ser el O2 un gas biatómico y teniendo presente (7.35),
se obtiene,
1
5R 5 1; 986 cal mol 1 (o C) cal
cV = = = 0; 155
2M 2 32; 00 g mol 1 g:o C
Ejemplo 7.11 Se comprime adiabáticamente un volumen de 22; 4 L de nitrógeno ga-
seoso a 0 o C y 1 atm a 1=10 de su volumen inicial. Hallar: (a) la presión final, (b) la
temperatura final, (c) el trabajo que hay que realizar sobre el sistema. Para el gas
g
N2 , = 1; 40; cV = 0; 178 g:cal
o C y masa molecular = 28; 0 mol .
Solución:
a. Al usar (7.21),
V1
p1 V1 = p2 V2 ) p2 = p1
V2
1
pero V2 = V,
10 1
entonces,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 383
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
1
pero como V2 = V
10 1
y por (5.1) T1 = 273; 15K, entonces,
1
T2 = T1 (10) = 273; 15 K (10)0;40 = 686 K
U =Q W )W = U
W = nM cV (T2 T1 )
g cal
W = 1 mol:28; 0 :0; 178 o (686 K 273; 15 K)
mol g: C
= 2; 06:10 cal = 8; 62:103 J
3
donde se ha tenido presente que 1cal = 4; 1855 Joules. El resultado es negativo pues
se realiza trabajo sobre el sistema.
Solución:
Kcal
Q = mcp (T2 T1 ) = 5 Kg:0; 248 :120K
Kg:K
= 149 Kcal
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7.8. ENERGÍA INTERNA DE UN GAS REAL
nRT m
pero como V = p
según (??) y n = M
según (7.36), entonces,
nRT2 nRT1
W = p ) W = nR (T2 T1 )
p p
m
) W = R (T2 T1 )
M
entonces,
5 Kg cal
W = g :1; 986 :120 K = 42; 5 Kcal
28; 0 mol mol K
y por último, al usar (7.12),
Q = U = mcV (T2 T1 ) =
Kcal
= 5 Kg:0; 177 :120 K = 106; 2 Kcal
Kg:K
La energía interna del gas de Van der Waals debe contener, además de la energía
cinética de las moléculas, la energía de interacción entre éstas. Con el fin de hallar la
energía interna de un gas de Van der Waals, hagamos uso del hecho que el trabajo
W que se realiza durante la dilatación de un gas contra las fuerzas de la atracción
recíprocas de las moléculas, es igual al incremento de la energía de interacción Ep , es
decir,
dW = dEp (7.43)
an2
dW = dV (7.44)
V2
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 385
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
an2
dV dEp = (7.45)
V2
La integración de la anterior expresión nos da,
an2
+ ctte
Ep = (7.46)
V
La energía interna de un gas de Van der Waals depende tanto del volumen, como
de la temperatura. Por lo tanto, la expresión para U tiene la forma,
an2
U = f (T ) (7.47)
V
donde la constante de la expresión (7.46) ha sido incluida en f (T ).
an2
U = nCV T (7.48)
V
Con esta ecuación se pueden hallar los valores aproximados de la energía interna
de los gases reales.
(p1 ; V1 ; T1 ) (7.49)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 386
7.9. PROCESOS CÍCLICOS
El émbolo puede moverse entre los topes N y M . Si se ejerce una fuerza sobre el
émbolo por medio de pesas, se puede calentar el gas hasta que ejerza la presión p2
con el mismo volumen V1 .
(p2 ; V1 ; T2 ) (7.50)
La figura 7.9 representa esta situación por el punto P , cuyas coordenadas son
(V1 ; p2 ).
(p2 ; V2 ; T3 ) (7.51)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 387
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Si se colocan nuevas pesas que ejerzan la presión p1 enfriando el gas para obte-
nerla, el volumen permanece constante a V2 . Las condiciones ahora son:
(p1 ; V2 ; T1 ) (7.52)
El punto M del plano representa esta nueva situación, cuyas coordenadas son:
(V2 ; p1 )
2. Desde P a Q, el gas ha hecho trabajo, dado por el área del rectángulo V1 P QV2 .
5. El trabajo entregado al exterior por el sistema está dado por la diferencia de las dos
áreas.
W = V1 P QV2 V2 M N V1 (7.53)
Como ha sido recorrido el ciclo en el sentido de la aguja del reloj, el trabajo reali-
zado es positivo y ejecutado por el sistema. En caso contrario, el trabajo sería negativo,
o sea recibido por el sistema y realizado por el exterior.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 388
7.10. PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES
Los procesos cuasiestáticos pueden ser o no reversibles, pero aquí sólo consider-
aremos los reversibles.
Al quitar los topes el gas se dilata adiabáticamente, ya que por estar encerrado en
el cilindro térmicamente aislado no intercambia calor con el entorno del sistema.
b. La presión ha disminuido.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 389
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Los fenómenos y procesos de la naturaleza son irreversibles; por lo tanto las transfor-
maciones reversibles son imaginarias (ideales).
El motor térmico más simple posible fue estudiado, en forma teórica, por
Sadi Carnot. Se trata de un motor ideal, debido a que se supone que opera
mediante procesos cuasiestáticos sin rozamiento y el fluido termodinámico em-
pleado es un gas ideal.
La máquina de Carnot utiliza el denominado ciclo de Carnot, el cual se ilustra en la
figura 7.11 (Para un gas real, el diagrama pV sería un poco diferente).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 390
7.11. MÁQUINA TÉRMICA DE CARNOT
podemos imaginar que el gas está en contacto con un reservorio térmico a tempera-
tura Tc que entrega el calor jQc j a nuestra sustancia de trabajo (el gas). Después el gas
se expande adiabáticamente y reversiblemente, trayectoria BC; no se intercambia
calor y la temperatura del gas se reduce a Tf . La tercera etapa es una compresión
isotérmica reversible, trayectoria CD, en contacto con un reservorio térmico a baja
temperatura, Tf , durante el cual fluye el calor jQf j hacia afuera de la sustancia de
trabajo. Por último, el gas se comprime adiabáticamente, trayectoria DA, regresando
a su estado original. De modo que un ciclo de Carnot se compone de dos procesos
isotérmicos y de dos adiabáticos.
Es fácil mostrar que el trabajo neto que se realiza en un ciclo en una máquina de
Carnot (o por cualquier otra máquina que efectúe un ciclo reversible) es igual al área
encerrada por la curva que representa el ciclo en el diagrama pV , la curva ABCD en
la figura 7.11.
Para un ciclo completo de Carnot, como para cualquier ciclo, se tiene que,
U =0 (7.54)
de manera que al usar la primera ley de la termodinámica (7.12) nos queda,
Q W =0)Q=W (7.55)
Si indicamos con jQc j y jQf j los módulos de la cantidad de calor que el fluido inter-
cambia con las dos fuentes a lo largo de la isoterma caliente y fría respectivamente,
se tiene que,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 391
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
W
= (7.58)
jQc j
Qc = WAB (7.60)
VB
WAB = nRTc ln (7.61)
VA
según la ecuación (7.6).
Puesto que VB > VA ) WAB > 0, entonces de (7.60) y (7.61) se obtiene que,
VB
jQc j = Qc = nRTc ln (7.62)
VA
Análogamente, para la compresión de C a D,
VD
Qf = WCD = nRTf ln (7.63)
VC
y puesto que VD < VC ) WCD < 0, entonces,
VC
jQf j = Qf = nRTf ln (7.64)
VD
Ahora, de (7.62) y (7.64) obtenemos,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 392
7.11. MÁQUINA TÉRMICA DE CARNOT
VC
jQf j Tf ln VD
= (7.65)
jQc j Tc ln VB
VA
Por otro lado, para las trayectorias AB y CD la temperatura es constante (son isoter-
mas), por lo tanto, a partir de (7.22), podemos escribir respectivamente,
pA VA = pB VB (7.66)
pC VC = pD VD (7.67)
y para las trayectorias AD y BC los procesos son adiabáticos, por lo tanto, a partir de
(7.21),
pB VB = pC VC (7.68)
pD VD = pA VA (7.69)
1 1 VB VC
(VB VD ) = (VC VA ) ) = (7.70)
VA VD
Sustituyendo ahora (7.70) en (7.65), resulta,
jQf j Tf
= (7.71)
jQc j Tc
Por último, al sustituir este resultado en (7.59), se obtiene,
Tf
=1 (7.72)
Tc
Sería posible imaginar otros ciclos reversibles factibles que podrían emplearse para
una máquina ideal reversible. De acuerdo al teorema establecido por Carnot:
Todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas dos temperatu-
ras tienen lel mismo rendimiento; ninguna máquina irreversible que opere entre
las mismas dos temperaturas puede tener un rendimiento mayor que éste.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 393
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Ejemplo 7.13 Una máquina de vapor opera entre 490 o C y 265 o C. ¿Cuál es el máximo
rendimiento posible de esta máquina?.
T (K) = T ( C) + 273; 15
entonces,
Tf 538; 15K
=1 =1 = 0; 29
Tc 763; 15K
que representa un 29 %.
Ejemplo 7.14 Calcular el rendimiento ideal de una máquina térmica que funciona en-
tre dos focos a 100 o C y 400 o C de temperatura, respectivamente.
Solución: Igual que en el ejemplo anterior, lo primiero que debemos hacer es trans-
formar las temperaturas a K. Bien, usando la ecuación (5.1), obtenemos
T (K) = T ( C) + 273; 15
entonces,
Tf 373; 15K
=1 =1 = 0; 445
Tc 673; 15K
que representa un 44; 5 %.
Ejemplo 7.15 Una máquina de Carnot opera entre dos fuentes a temperaturas de Tc =
500 K y Tf = 300 K. Calcular:
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7.11. MÁQUINA TÉRMICA DE CARNOT
Solución:
Tf 300K
=1 =1 = 0; 4
Tc 500K
que representa un 40 %.
b. De la misma manera,
Tf 300K
=1 =1 = 0; 42
Tc + T 500K + 20K
que representa un 42 %.
c. Por último,
Tf T 300K 20K
=1 =1 = 0; 44
Tc 500K
que representa un 44 %.
Ejemplo 7.16 Una máquina térmica de gas ideal opera en un ciclo de Carnot entre
227 o C y 127 o C. Absorbe 6; 0:104 cal de la temperatura mayor (a) ¿cuál es la efi-
ciencia de la máquina? y (b) ¿cuánto trabajo por ciclo es capaz de producir
esta máquina?.
Solución:
que representa un 20 %.
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CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
7.12 Entropía
7.12.1 Definición
El concepto de entropía S fue introducido por primera vez por el ingeniero francés
R. J. Clausius a mediados del siglo XIX. La entropía (que es una finción de estado),
permite la formulación matemática de la segunda ley que fue propuesta por el mismo
ingeniero en los años 1860.
Como vimos al estudiar el motor térmico de Carnot tenemos, según (7.71), que
para el ciclo reversible de Carnot,
jQf j Tf
= (7.73)
jQc j Tc
En la ecuación anterior, si eliminamos las barras de valor absoluto y tenemos pre-
sente que Q es positivo cuando representa un flujo de calor hacia el sistema (como
Qc ) y negativo cuando sale del sistema (como Qf ), podemos escribir,
Qc Qf
+ =0 (7.74)
Tc Tf
Si ahora consideramos cualquier ciclo reversible, como el representado por medio
de la curva continua (en forma de óvalo) de la figura 7.12, llegamos a la conclusión
de que:
Figura (7.12): Todo ciclo reversible puede aproximarse mediante una serie de ciclos de Carnot.
La figura 7.12 muestra sólo ocho ciclos de Carnot (las isotermas, se conectan por
medio de trayectorias adiabáticas para cada una) y la aproximación se vuelve mejor
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 396
7.12. ENTROPÍA
H
Figura (7.13): La integral dS de la entropía para un ciclo reversible es igual a cero. Por tanto, la dife-
Rb
rencia de entropía entre los estados a y b, Sa Sb = a dS, es la misma para la trayectoria I que para la
II.
XQ
=0 (7.75)
T
Ahora, notemos que el calor de salida Qf de un ciclo es aproximadamente igual
al negativo del calor de entrada Qc del ciclo que le sigue (la igualdad real se da
en el límite de un número infinito de ciclos de Carnot infinitamente pequeños); en
consecuencia, el calor que fluye en las trayectorias internas de todos estos ciclos de
Carnot se cancela, de manera que el calor neto que se transfiere, así como el trabajo
realizado, son los mismos para las series de los ciclos de Carnot y para el ciclo original.
Por lo tanto, en el límite de un número infinito de ciclos de Carnot, la ecuación (7.75)
se aplica a cualquier ciclo reversible; en este caso (7.75) se convierte en,
I
Q
=0 (7.76)
T
H
donde Q representa un flujo de calor infinitesimal y significa que tomamos la integral
alrededor de una trayectoria cerrada. La integral puede iniciarse en cualquier punto
de la trayectoria tal como a o b en la figura 7.12 y proceder en cualquier dirección.
Si dividimos el ciclo de la figura 7.12 en dos partes como se indica en la figura 7.13,
podemos reescribir (7.76) como,
Z b Z a
Q Q
+ =0 (7.77)
a T b T
I II
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 397
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
y si una trayectoria se toma en sentido inverso, por ejemplo II, Q en cada punto se
vuelve Q, ya que la trayectoria es reversible. Por lo tanto, podemos escribir,
Z b Z b
Q Q
= (7.78)
a T a T
I II
Cómo nuestro ciclo es arbitrario, la ecuación (7.78) nos dice que la integral de TQ
entre cualesquiera dos estados de equilibrio a y b, no depende de la trayectoria del
proceso. En consecuencia, podemos definir una nueva cantidad, la cual denominare-
mos entropía S, por medio de la relación,
Q
dS = (7.79)
T
donde Q es la cantidad de calor absorbida por un cuerpo en proceso isotérmico y T
la temperatura del cuerpo donador de calor.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 398
7.12. ENTROPÍA
La entropía para un proceso irreversible no viene dada por (7.79), en este caso para
poder calcularla debemos resolver algún otro proceso reversible que siga el sistema
entre los mismos dos estados de equilibrio del irreversible y calculamos S para este
proceso reversible. Este valor será igual al S para el proceso irreversible, ya que S
depende sólo de los estados inicial y final del sistema.
En la práctica, generalmente los procesos no son del todo reversibles por lo que
la entropía aumenta , no es conservativa y ello es en gran parte el misterio de este
concepto.
J cal
UNIDADES: Las unidades comunes de la entropía son K
o bien K
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 399
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Z b
dU + W
S= (7.82)
a T
dU = Q W (7.83)
= Q (7.84)
y al usar (6.11),
dU = mcdT (7.85)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 400
7.12. ENTROPÍA
Z b
dU
S = (7.86)
a T
Z b
dT
= mc (7.87)
a T
Tb
S = mc ln (7.88)
Ta
dU = nCV dT (7.89)
nRT
W = pdV = dV (7.90)
V
que al sustituir en (7.82) e integrar resulta,
Tb Vb
S = nCV ln + nR ln (7.91)
Ta Va
La energía interna para un gas de van der Waals viene dada por (7.48),
an2
U = nCV T (7.92)
V
que al diferencial resulta,
an2
dU = nCV dT + dV (7.93)
V2
Por otro lado, de (7.2), se sabe que,
nRT an2
p= (7.94)
V nb V2
y de aquí, a usar (7.4) , obtenemos,
nRT an2
W = dV (7.95)
V nb V2
Ahora, al usar (7.82), obtenemos,
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 401
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Z b nCV dT + an2
dV + nRT an2
dV
V2 V nb V2
S=
a T
que al ser integrada resulta,
Tb Vb nb
S = nCV ln + nR ln (7.96)
Ta Va nb
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7.14. TERCERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
7.13.1 Enunciado
S>0 (7.97)
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CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Solución:
de aquí que,
80 Kcal Kcal
Shielo = = 0; 292
273; 15 K K
(b) El calor necesario para fundir el hielo se extrae del reservorio de calor, por lo que
(puesto que T = 273; 15 K y es constante),
Q Kcal
Sreservorio = = 0; 292
T K
Notar que el cambio total en la entropía Shielo + Sreservorio = 0.
Solución:
(a) El proceso es irreversible (se reliza en forma rápida), pero el mismo cambio de
entropía ocurrirá en un proceso reversible. Suponemos que el calor específico del
hierro es constante, en consecuencia, al usar (7.88) obtenemos,
T2 Kcal 280K Kcal
Shierro = mc ln = 2; 0Kg:0; 11 ln = 0; 25
T1 Kg:K 880K K
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 404
7.15. MÁQUINAS
(b) Las temperaturas final e inicial del lago son las mismas, T = 280 K. El lago recibe
del hierro una cantidad de calor dada por (6.10),
Kcal
Q = mc T = 2; 0Kg:0; 11 (880 K 280 K) = 130Kcal
Kg:K
Q 130Kcal Kcal
Slago = = = 0; 46
T 280K K
Podemos observar que, aun cuando la entropía del hierro en realidad disminuye, el
cambio total en la entropía del hierro más la de los alrededores es positiva,
Kcal
Shierro + Slago = 0; 21
K
7.15 Máquinas
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CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Figura (7.14): Máquina de combustión externa (izquierda) y máquina de combustión interna (derecha).
Figura (7.15): Máquina térmica real (izquierda) y máquina térmica perfecta (derecha).
7.15.2 Refrigeradores
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7.16. MOTORES DE COMBUSTIÓN EXTERNA
a. Un generador de vapor.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 407
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Las calderas son de tipo tubular, es decir, que están formadas por una serie de tubos
que reciben directamente el calor y un tanque superior llamado acumulador. Los
tubos están unidos al tanque, presentan gran superficie de radiación calórica; de esta
forma la producción de vapor es rápida y abundante. Los vapores se acumulan en la
parte superior a grandes presiones. Cuando la presión es superior al límite estipulado,
salen por la llamada válvula de escape o de seguridad, parecida en cierto modo a
la válvula de las ollas a presión que hemos visto en nuestros hogares. Lleva también
indicaciones de nivel. del agua, manómetro, termómetro, etc. (ver figura 7.18).
Figura (7.18): Caldera de vapor. (A) cilindro con agua y vapor, (B) válbula de seguridad, (C) tubo de
conducción del vapor, (D) entrada del agua a la caldera, (E) manómetro, (F) nivel, (G) chimenea, (H)
fogón, (I) sección tubular de la caldera, (J) tabiques deflectores del calor y (K) colector de cenizas.
b. Un cilindro o distribuidor.
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7.16. MOTORES DE COMBUSTIÓN EXTERNA
V1 , empuja elo émbolo hacia la derecha y expulsa los vapores o aire que están en el
cilindro.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 409
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
alrededor del eje del volante. El movímiento se comunica al resto de la máquina que
lo utiliza. La manivela es sustituida a veces por una excéntrica (ver figura 7.20).
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7.17. MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA
El espacio que queda en la parte superior del cilindro cuando el émbolo está
subido se denomina cámara de combustión. Lleva dos válvulas llamadas: válvula de
admisión y válvula de escape. La primera permite la entrada de la mezcla gaseosa
a la cámara de combustión. La otra deja escapar los gases producidos en la com-
bustión.
El sistema de ignición o encendido lo forma una bujía, que no es otra cosa que
un conductor eléctrico aislado que penetra en la cámara, y que al producirse una
corriente eléctrica salta la chispa eléctrica entre dos puntas produciendo la explosión.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 411
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
La explosión lanza al pistón con fuerza hacia afuera. y su eje mueve a la biela y
ésta comunica un movimiento de giro al cigüeñal. Durante todo este proceso. las dos
válvulas han permanecido cerradas (ver 3 de la figura 7.21).
El depósito comunica por medio de un tubo estrecho con el tubo ancho de ad-
misión del aire exterior hacia el cilindro. El tubo estrecho tiene una aguja en su centro
y hace que el combustible salga en forma de diminutas gotas, favoreciendo la eva-
poración. El tubo de admisión del aire está provisto de dos válvulas, una superior, que
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 412
7.17. MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA
Entre las dos válvulas, el tubo presenta una estrangulación formando un tubo de
Venturi y una tobera. En la parte estrecha es precisamente donde termina el tubo pul-
verizador. De esta forma se provoca una evaporación rápida y una mezcla simultánea
con el aire.
Todo motor de explosión genera gran cantidad de calor; una pequeña parte se
transforma en energía mecánica, el resto debe sustraerse del sistema por medio del
refrigerador o sistema de enfriamiento. Los motores de explosión se enfrían por aire o
por agua.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 413
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 414
7.18. PROBLEMAS
7.18 Problemas
1. (a) Hallar el calor específico a volumen constante, cV , del gas monoatómico argón
(Ar), para el cual cp = 0; 125 g:cal
oC y = 1; 67. (b) Calcular el valor de cp del gas
biatómico óxido de nitrógeno (N O) para el cual cV = 0; 166 g:cal
oC y = 1; 40. Resp.: (a)
cal cal
0; 0749 g:o C y (b) 0; 232 g:o C .
2. Calcular los calores específicos cp y cV del gas (a) monoatómico neón (N e), (b)
biatómico hidrógeno (H2 ). Las masas moleculares del N e y del H2 son 20; 18 y 2; 016
g=mol, respectivamente. Resp.: (a) 0; 148 g:cal cal cal cal
o C y 0; 247 g:o C y (b) 2; 47 g:o C y 3; 45 g:o C .
3. Hallar el trabajo que hay que suministrar a un gas para comprimirlo desde un volu-
men de 30 L a 1 atm hasta un volumen de 3 L, permaneciendo constante la tempe-
ratura. Resp.: 6990 J.
8. Calcular el trabajo que realiza un gas cuyo volumen inicial es de 3 L y cuya tem-
peratura aumenta de 27 o C a 227 o C, al expansionarse en contra de una presión
constante de 2 atm. Resp.: 405 J.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 415
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
10. La temperatura de 3 Kg del gas criptón (Kr) se eleva desde 20 o C hasta 80 o C. (a)
Si el proceso se realiza a presión constante (proceso isobárico), calcular la cantidad
de calor necesaria, el aumento de energía interna y el trabajo exterior producido
por el gas y (b) hallar la cantidad de calor necesaria para llevar a cabo la transfor-
mación a volumen constante (proceso isocórico). En cuanto al gas monoatómico
cal cal
criptón, cV = 0; 0357 g:K , cp = 0; 0595 g:K y masa molecular M = 83; 7g=mol. Resp.: (a)
17; 8 Kcal; 10; 7 Kcal; 7; 1 Kcal y (b) 10; 7 Kcal.
12. Calcular el rendimiento del ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoató-
mico y que está constituido de dos isócoras y dos isóbaras, como se muestra en la
figura 7.25. PA = 4 atm, PD = 2 atm, VA = 1 L y VB = 4 L. Resp.: = 0; 188.
Figura (7.25): Problema 12: Ciclo reversible efectuado por un gas ideal monoatómico-
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 416
7.18. PROBLEMAS
15. Calcular:
16. Se hace que un sistema termodinámico pase de su estado inicial A hasta otro
estado B y regrese de nuevo a A a través del estado C como lo muestra la trayec-
toria ABCA del diagrama p V de la figura 7.27-a. (a) Completar la tabla de la
figura 7.27-b con los signos + o adecuados a las indicaciones de los signos de
las cantidades termodinámicas asociadas con cada proceso. (b) Calcular el valor
numérico del trabajo efectuado por el sistema en un ciclo completo ABCA.
17. La figura 7.28-a muestra un cilindro que contiene gas y está cerrado por un ém-
bolo móvil. El cilindro se sumerge en una mezcla de hielo y agua. Rápidamente
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 417
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
Figura (7.27): Problema 16: Sistema termodinámico que pasa de su estado inicial A hasta otro estado B
y regresa de nuevo a A a través del estado C como lo muestra la trayectoria ABCA.
se empuja el émbolo hacia abajo desde la posición (1) hasta la posición (2). Se
mantiene el émbolo en la posición (2) hasta que el gas se encuentre de nuevo a
0 o C y entonces se le levanta lentamente hasta regresar a la posición (1). La figura
7.28-b es un diagrama p V de este proceso. Si durante el ciclo se funden 100 g de
hielo, ¿cuánto trabajo se ha efectuado sobre el gas?. El calor de fusión del hielo es
80 cal
g
. Resp.: 8000 cal.
Figura (7.28): Problema 17: Cilindro que contiene gas y que está cerrado por un émbolo móvil. El cilindro
se sumerge en una mezcla de hielo y agua.
18. (a) Una máquina de Carnot opera entre un recipiente caliente a 320 K y un re-
cipiente frío a 260 K. Si absorbe 500 J de calor del recipiente caliente, ¿cuánto
trabajo produce? (b) Si la misma máquina, trabajando en reversa, funciona como
un refrigerador entre los mismos dos depósitos, ¿cuánto trabajo debe sumínístrársele
para extraer 1000 J de calor del recipiente frío?. Resp.: (a) 94 J y (b) 230 J.
19. En una máquina térmica de dos etapas, en la primera se absorbe una cantidad
de calor Q1 a una temperatura T1 y se hace un trabajo W1 cediendo una cantidad
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 418
7.18. PROBLEMAS
20. Una turbina que funciona mediante una combinación de mercurio y de vapor de
agua, toma vapor de mercurio saturado en una caldera a 876 o F y lo invierte en ca-
lentar una caldera de vapor de agua a 460 o F . La turbina de vapor recibe el vapor
a esta temperatura y lo cede a un condensador a 100 o F .¿Cuál es el rendimiento
máximo de la combinación?. Resp.: 58 %.
21. Usando la ecuación de estado de un gas ideal (7.1) y la ecuación que describe
un proceso adiabático para un gas ideal (7.21), demostrar que la pendiente dp=dV ,
de una adiabática en un diagrama p V , puede escribirse como,
dp p
=
dV V
dp p
=
dV V
Con estos resultados, demostrar que las adiabáticas tienen mayor pendiente que
las isotermas.
22. Si se provocan pocas perturbaciones en el agua, se puede extraer calor del agua
a 0 o C y a la presión atmosférica sin hacer que se congele. Supóngase que el
agua se enfría hasta 5; 0 o C antes de que empiece a formarse el hielo. ¿Cuál es
el cambio de la entropía por unidad de masa que tiene lugar durante el repentino
cal
congelamiento que ocurre entonces? Resp.: 0; 30 g:K .
24. Un cubo de hielo de 8; 00 g a 10; 0 o C se deja caer en un termo que contiene 100
cm3 de agua a 20; 0 o C. ¿Cuál es el cambio de la entropía del sístema cuando se
alcanza un estado final de equilibrio?. El calor específico de hielo es de 0; 52 g:cal
oC .
Resp.: 0; 15 cal
K
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 419
CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
26. Un gas ideal monoatómico se expande lentamente hasta que su presión se re-
duce a la mitad de su valor riginal. ¿Cómo cambia su volumen si el proceso es (a)
adiabático y (b) isotérmico?. Resp.: (a) VV21 = 1; 52 y (b) VV21 = 2; 0.
27. Un gas ideal se comprime a una presión constante de 2; 0 atm desde 10; 0 L hasta
2; 0 L. (En este proceso un poco de calor circula hacia afuera y la temperatura
disminuye.) Después suministra calor al gas, manteniendo el volumen constante y
se deja que la presión y la temperatura aumenten hasta que esta última alcance
su valor original. Calcule (a) el trabajo total que realiza el gas en el proceso y (b) el
flujo de calor total hacia el gas. Resp.: (a) 1; 6 KJ y (b) 1; 6 KJ.
29. ¿Cuál será el aumento de temperatura si se suministran 80 Kcal de calor a 300 moles
de CO2 mantenido a presión constante?. Resp.: 13 o C.
30. ¿Cuánto calor debe suministrarse a 12; 0 m3 de gas nitrógeno a 20 o C para duplicar
su volumen a una presión de 1; 00 atm?. Resp.: 4; 25:106 J.
31. Una muestra de 800 moles de gas nitrógeno se mantiene a una presión constante
de 1; 00 atm en un recipierite flexible. El gas se calienta de 40 o C a 180 o C. Calcule (a)
el calor que se suministra al gas, (b) el trabajo realizado por el gas y (c) el cambio
en la energía interna. Resp.: (a) 780 Kcal,(b) 220 Kcal y (c) 560 Kcal.
T3
C=k
To3
que en ocasiones se denomina ley de Debye. Para la sal gema, To = 281 K y k = 1940
J
mol:K
. Determine el calor que se necesita para elevar la temperatura de 3; 5 moles
de sal gema de 12; 0 K a 38; 0 K. Resp.: 158 J.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 420
7.18. PROBLEMAS
33. Demuestre, empleando las ecuaciones (7.4) y (7.21), que el trabajo realizado por
un gas que se expande lentamente en un proceso adiabático desde la presión p1
y el volumen V1 hasta p2 , V2 , está determinado por,
p1 V1 p2 V2
W =
1
35. La temperatura de escape de una máquina térmica es de 280 o C. ¿Cuál debe ser
el valor de la temperatura mayor si el rendimiento de Carnot debe ser del 32 %?.
Resp.: 540 o C.
36. Una máquina que funciona a la mitad de su rendimiento teórico (de Carnot)
opera entre 525 o C y 290 o C cuando produce trabajo a razón de 850 KW . ¿Cuánto
calor se desecha por hora?. Resp.: 1; 77:1010 J=h.
37. Una máquina térmica utiliza una fuente de calor a 610 o C y tiene un rendimiento de
Carnot de 27 %. Para incrementar la eficiencia hasta 35 %, ¿cuál será la temperatura
de la fuente de calor?. Resp.: 713 o C.
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CAPÍTULO 7. LEYES 1 Y 2 DE LA TERMODINÁMICA
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APÉNDICE A
Factores de Conversión
Longitud
1 kilómetro (Km) =1000 metros (m)
1 m = 100 centímetros (cm)
1 cm = 10 2 m
1 milímetro (mm) = 10 3 m
1 micra ( ) (micrómetro) = 10 3 mm
1 milimicra (m ) = 10 9 m
o
1 angstrom (A) = 10 10 m
1 pulgada (pulg) = 2; 540 cm
1 pie = 30; 48 cm
1 milla (mi) = 1; 609 Km
1 mi = 10 3 pulg
1 cm = 0; 3937 pulg
1 m = 39; 37 pulg
1 Km = 0; 6214 mi
Area
1 m2 = 10; 76 pie2
1 pie2 =929 cm2
1 mi2 = 640 acres
1 acre = 43560 pies2
Volumen
1 litro (L) = 1000 cm3 =1057 cuartillos (qt) = 61; 02 pulg 3
= 0; 03532 pies3
1 m3 = 1000 L = 35; 32 pies3
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APÉNDICE A. FACTORES DE CONVERSIÓN
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 424
1 N=m2 = 105 dinas=cm2 = 9; 869:10 8 atmósferas (atm)
= 2; 089:10 2 lbf =pie2
1 lbf =pulg 2 = 6895 N=m2 = 5; 171 cm de mercurio (cmHg)
= 27; 68 pulg agua
1 atm = 1; 013:105 N=m2 = 1; 013:108 dinas=cm2
= 14; 70 lbf =pulg 2 = 76 cmHg = 406; 8 pulg agua.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 425
APÉNDICE A. FACTORES DE CONVERSIÓN
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 426
APÉNDICE B
Derivación
dF dF (x)
= (x; y) =y = ;x X (B.3)
dx dx
d2 F
y sea p 6= 0: Si existe una función con la propiedad:
dx2
427
APÉNDICE B. DERIVACIÓN
dF (x + p) dF (x)
d2 F (x) dx dx
= L{m (B.4)
dx2 p!0 p
dF (x + p) dF (x)
L{m dx dx (B.5)
p!0 p
d2 F
La derivada de recibe el nombre de tercera derivada de F y se denota por
dx2
d3 F
: Las derivadas superiores siguen esta pauta.
dx3
Sea la función:
@F (x; y) F (x + p; y) F (x; y)
= L{m (B.7)
@x p!0 p
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 428
B.4. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES MÁS COMUNES
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APÉNDICE B. DERIVACIÓN
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APÉNDICE C
Ecuaciones diferenciales
d2 y dy
+ a + by = 0 (C.1)
dx2 dx
donde a y b son constantes.
y = eRx (C.2)
que al derivarla, se obtiene:
dy
= ReRx (C.3)
dx
d2 y
= R2 eRx (C.4)
dx2
y al ser sustituidas en (C.1), resulta:
R2 + aR + b = 0 (C.5)
es decir, la expresión (C.2) es una solución particular de la ecuación dada si R es
una raíz de (C.5) ; que recibe el nombre de Ecuación Auxiliar o Característica de la
ecuación (C.1) :
431
APÉNDICE C. ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Caso A:
1. Caso B:
1. Caso C:
que, al hacer,
A = C1 + C2 (C.11)
B = i (C1 + C2 ) (C.12)
p
= A2 + B 2 (C.14)
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A B
y = eax Cos (bx) + Sen (bx) (C.15)
A
Sen = (C.16)
B
Cos = (C.17)
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APÉNDICE C. ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 434
APÉNDICE D
Minibiografías
Después de una interrupción de casi dos años provocada por una epidemia de
peste, Newton volvió al Trinity College, donde le nombraron becario en 1667. Recibió
el título de profesor en 1668. Durante esa época se dedicó al estudio e investigación
de los últimos avances en matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba la
naturaleza como un organismo de mecánica compleja. Casi inmediatamente realizó
descubrimientos fundamentales que le fueron de gran utilidad en su carrera científica.
435
APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS
A los 17 años escribió un tratado de las secciones cónicas y a los 18 inventó una
máquina calculadora. Demostró más tarde que la presión atmosférica aumenta la
altura de una columna de mercurio en un tubo.
En 1648 realizó una experiencia con el barómetro en Puy de Dome, que corroboró
los resultados antes obtenidos por su inventor, el italiano Torricelli. Otros experimentos
físicos fueron resumidos en una obra magisterial sobre el equilibrio de los fluidos.
En los últimos años de su vida, se entregó a las prácticas ascéticas, enseñó apolo-
gética cristiana en Port Royal y redactó una serie de notas, las cuales después de su
muerte, acaecida prematuramente, fueron publicadas por los jansenistas bajo el título
de Pensées.
Pascal fue uno de los más eminentes matemáticos y físicos de su época y uno
de los más grandes escritores místicos de la literatura cristiana. Sus trabajos religiosos
se caracterizan por su especulación sobre materias que sobrepasan la comprensión
humana. Se le clasifica, generalmente, entre los más finos polemistas franceses, espe-
cialmente en Provinciales, un clásico de la literatura de la ironía. El estilo de la prosa
de Pascal es famoso por su originalidad y, en particular, por su total falta de artificio
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 436
D.3. ARQUÍMEDES (287-212 A.C.)
Obras: Cartas provinciales, Ensayo sobre las secciones cónicas, Nuevas experien-
cias sobre el vacío, Tratado de las facultades numéricas, Pensamientos.
Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por
un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena.
Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al
intruso al decirle: ”No desordenes mis diagramas”. Todavía subsisten muchas de sus
obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El
arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de
su pensamiento matemático.
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APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS
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D.6. BERNOULLI, DANIEL (1700-1782)
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APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS
Pitot puso a punto una sonda que, dirigida en el sentido del flujo, permite medir la
presión estática en un fluido. El dispositivo está perforado con pequeños orificios late-
rales suficientemente alejados del punto de parada (punto del flujo donde se anula
la velocidad) para que las líneas de corriente sean paralelas a la pared. Esta sonda,
combinada con una sonda de presión de impacto (perpendicular a la dirección de
flujo), forma una sonda de presión cinética llamada tubo de Pitot. Este dispositivo se
emplea a menudo en aeronáutica: situado en un lugar de poca turbulencia, permite
medir la velocidad de avance de un avión con respecto al aire.
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D.10. JOULE, JAMES PRESCOTT (1818-1889)
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APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS
Boyle fue el primer químico que aisló un gas. Perfeccionó la bomba de aire y sus es-
tudios le condujeron a formular, independientemente de su colega francés Edme Ma-
riotte, la ley de física conocida hoy como ’ley de Boyle-Mariotte’. Esta ley establece
que a una temperatura constante, la presión y el volumen de un gas son inversamente
proporcionales. En el campo de la química, Boyle observó que el aire se consume en
el proceso de combustión y que los metales ganan peso cuando se oxidan. Recono-
ció la diferencia entre un compuesto y una mezcla, y formuló su teoría atómica de la
materia basándose en sus experimentos de laboratorio. En su obra El químico escép-
tico (1661), Boyle atacó la teoría propuesta por el filósofo y científico griego Aristóteles
(384-322a.C.) según la cual la materia está compuesta por cuatro elementos: tierra,
aire, fuego y agua. Propuso que partículas diminutas de materia primaria se com-
binan de diversas maneras para formar lo que él llamó corpúsculos, y que todos los
fenómenos observables son el resultado del movimiento y estructura de los corpúscu-
los. Boyle fue también el primero en verificar las diferencias entre ácidos, bases y sales
(véase Ácidos y bases). Entre sus obras están Origen de formas y características según
la filosofía corpuscular (1666) y Discurso de las cosas más allá de la razón (1681). Boyle
fue uno de los miembros fundadores de la Sociedad Real de Londres.
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D.14. GALILEO (GALILEO GALILEI) (1564-1642)
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APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS
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D.18. DAVY, SIR HUMPHRY (1778-1829)
Durante los primeros años en dicha institución, Davy comenzó sus investigaciones
sobre los efectos de la electricidad en los compuestos químicos. En 1807 recibió el
premio Napoleón del Instituto Francés por su trabajo teórico y práctico iniciado el año
anterior. Fabricó la mayor batería construida hasta entonces, con 250 células y pasó
una corriente eléctrica potente a través de soluciones de varios compuestos sospe-
chosos de contener elementos químicos no descubiertos. Davy aisló rápidamente con
este método electrolítico el potasio y el sodio. También preparó calcio con el mismo
método. En experimentos posteriores, no descritos, descubrió el boro y demostró que
el diamante está compuesto de carbono. Davy mostró, asimismo, que las llamadas
tierras raras eran óxidos de metales en lugar de elementos. Sus experimentos con los
ácidos indicaron que es el hidrógeno, y no el oxígeno, el que produce las característi-
cas de los ácidos. Davy también realizó descubrimientos notables sobre el calor.
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APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS
Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda
no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diploma-
cia, política, historia, filología y física.
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D.22. ARRHENIUS, SVANTE AUGUST (1859-1927)
sí mismo de un cuerpo más frío a un cuerpo más caliente. Fue uno de los primeros
que aplicó las leyes de la termodinámica, especialmente el concepto de entropía, a
la teoría de la máquina de vapor. También tuvo un papel importante en el desarrollo
de la teoría cinética de los gases. Su teoría de la electrólisis se adelantó en parte a la
teoría iónica del químico sueco Svante Arrhenius.
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APÉNDICE D. MINIBIOGRAFÍAS
Planck recibió muchos premios por este trabajo, especialmente, el Premio Nobel de
Física, en 1918. En 1930 Planck fue elegido presidente de la Sociedad Kaiser Guillermo
para el Progreso de la Ciencia, la principal asociación de científicos alemanes, que
después se llamó Sociedad Max Planck. Sus críticas abiertas al régimen nazi que había
llegado al poder en Alemania en 1933 le forzaron a abandonar la Sociedad, de la
que volvió a ser su presidente al acabar la II Guerra Mundial. Murió en Gotinga el 4
de octubre de 1947. Entre sus obras más importantes se encuentran Introducción a la
física teórica (5 volúmenes, 1932-1933) y Filosofía de la física (1936).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 448
BIBLIOGRAFÍA
[5] Savéliev I.V. Mecánica - Física Molecular. Tomo I, Editorial MIR - Moscú, (1989).
[6] Hewitt P.G. Conceptos de Física. Editorial Limusa - México. Primera edición, (1992).
[8] Balloffet A., Gotelli L.M. y Meoli G.A. Hidráulica. Tomo I, Editorial EDIAR - Buenos
Aires, segunda edición, (1952).
[9] Taylor H.E. y Wade T.L. Cálculo diferencial e integral. Editorial Limusa - México,
(1981).
[10] Braun M. Differential Equations and Their Applications. Springer - Verlag, (1984).
[11] Boyce W.E. y DiPrima R.C. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la
Frontera. Editorial Limusa - México, tercera edición, (1992).
449
BIBLIOGRAFÍA
[13] Abbott, M.M., Vanness, H.C. Termodinámica. McGraw-Hill - México, 2a. edición,
(1991).
[14] Callen, H.B. Thermodynamics. Wiley & Sons - New York, (1985).
[16] Fishbane, Paul M., Gasiorowicz, Stephen y Thornton, Stephen T. Física para Cien-
cias e Ingeniería. Volumen I. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. - Mexico Engle-
wood Cliffs. (2000).
[17] Serway, Raymond A. Física. Tomo I. McGraW-Hill. - Mexico 4ta. edición, (1997).
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2011. Pág.: 450