ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas

FACULTAD DE INGENIERIA
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
SYLLABUS
Facultad de Ingeniería
Ingeniería de Sistemas
TERCER SEMESTRE
Gestión Académica I/2008

2
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y

competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado (a) estudiante:
El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus
docentes quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos
de enseñanza para brindarte una educación de la mas alta calidad. Este documento te
servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas
mucho mas productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.
3
SYLLABUS
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales

Código: MAT 207A
Requisito: MAT 112 A
Carga Horaria: 80 horas
Horas Teóricas: 60 horas
Horas prácticas: 20 horas
Créditos: 5
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
 Evaluar el rol de las Ecuaciones Diferenciales como métodos de análisis propias del
diseño.
 Valorar a las ecuaciones diferenciales como un lenguaje en el que se expresan
formulas y procedimientos de solución propias de cada carrera.
 Ejercitar el pensamiento crítico alternativo y reflexivo como rasgo cuantitativo del
perfil profesional.
 Fundamentar las bases teóricas y metodológicas del manejo y tratamiento de las
ecuaciones diferenciales.
 Resolver ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales.
 Interpretar problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales.
 Resolver problemas clásicos planteados en ecuaciones diferenciales lineales de
orden n a
coeficientes variables y constantes.
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
Tema 1. INTRODUCCIÓN A ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales
1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales
1.3 Origen de las ecuaciones diferenciales
Tema 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
2.1 Ecuaciones de primer orden

2.2 Ecuaciones de variables separables
2.3 Ecuaciones homogéneas
2.4 Ecuaciones NO homogéneas de M, N lineales
2.5 Ecuaciones diferenciales exactas
2.6 Ecuaciones diferenciales que se pueden convertir en exactas
2.7 Ecuación lineal de Primer Orden y primer grado.
2.8 Ecuación de Bernouilli
Tema 3. ALICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
4
1 ALICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
3.1 Grafica de las curvas solución de una ecuación diferencial

3.2 Método de las isoclinas
3.3 Aplicaciones en Física, Química y estadística.
Tema 4. INTRODUCCIÓN A ECUACIONES LINEALES DE ORDEN n
4.1 Forma general

4.2 Soluciones de ecuaciones
4.3 Independencia lineal de soluciones
4.4 Wronskiano
Tema 5. ECUACIONES DE ORDEN n A COEFICIENTES CONSTANTES
5.1 Ecuaciones lineales de orden n

5.2 Ecuaciones homogéneas
5.3 Ecuaciones no homogéneas
5.4 Método Continuo
5.5 Método de fracciones parciales
5.6 Métodos abreviados
Tema 6. ECUACIONES DE ORDEN n DE COEFICIENTES VARIABLES
6.1 Ecuaciones lineales de orden n

6.2 La Ecuación lineal de Cauchy
6.3 La Ecuación lineal de Legendre
6.4 La Ecuación general de segundo orden
6.5 Otros Metodos.
Tema 7. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
7.1 Ecuaciones de orden 1 y grado superior

7.2 Resolución respecto de p
7.3 Resolución respecto de y
7.4 Resolución respecto de x
7.5 Resolución por Claireaut
7.6 Resolución por Lagrange
Tema 8: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES E INTRODUCCIÓN A LAS

SERIES DE FOURIER
7.1 Definición sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

7.2 Teoremas fundamentales
7.3 Resolución mediante determinantes.
7.4 INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER.
7.5 Transformada de Fourier y de Laplace.
7.6 Resolución de ecuaciones con transformada de Laplace
5
III. PROYECTO
La materia de Ecuaciones Diferenciales es una herramienta básica y fundamental para la

carrera de Ingeniería de Gas y Petróleos. Es fundamental su estudio ya que es un
complemento en el área de matemáticas debido a la gran aplicación práctica y la
innumerable variedad de problemas modelados ya sea mediante ecuaciones diferenciales
ordinarias o ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. La materia contribuye al
desarrollo de cualquier proyecto como base de la matemática, principalmente en el área de
resolución de problemas, de manera que la actividad en aula se reduce a trabajos en grupos
para profundizar la materia propiamente dicha.
Considerando que la materia de Ecuaciones Diferenciales es netamente matemático y

sirve al futuro ingeniero de Gas y Petróleos para resolver problemas relacionados con su
profesión, el proyecto que se plantea en la materia estará íntimamente relacionado con la
búsqueda de bibliografía actualizada, relacionada con conocimientos previos de la materia y
temas propios de la materia
También al final del curso, cada estudiante de la materia de Ecuaciones Diferenciales,

deberá presentar una serie de problemas reales relacionados con su profesionalización, los
cuales deberán estar resueltos utilizando herramientas de la teoría de ecuaciones
diferenciales ordinarias
IV. EVALUACIÓN
La evaluación total de la materia se realiza considerando dos exámenes parciales y un

final mas proyectos. Cada una de estas instancias se evalúa sobre 100 puntos, siendo la
nota final un promedio de las tres.
La nota máxima de aprobación es 100 puntos y la mínima 51 puntos.
Cada examen parcial se evalúa considerando dos tipos de evaluaciones, como son la
evaluación formativa y la evaluación sumativa.
La evaluación sumativa consiste en rendir un examen escrito (u oral) sobre 50 puntos de

todo lo avanzado hasta la fecha del examen.
La evaluación formativa es equivalente a una evaluación continua que se desarrolla en el

transcurso del semestre, considerando herramientas tales como la participación activa en
clases, elaboración de trabajos prácticos, trabajos de investigación relacionados
principalmente con conocimientos previos, repaso continuos de la materia, etc., asignado
una nota total de 50 puntos.
El examen final, es un examen de todo lo avanzado en el semestre y también se considera la

nota asignada aun proyecto.
V. BIBLIOGRAFÍA.
6
El libro de texto básico aparece señalado con el No. 1 del listado bibliográfico.
1. MACARENCO G. Problemas de Ecuaciones Diferenciales. Editorial MIR. Moscú, 1991.

(Se encuentra en la Biblioteca UDABOL)
2. PISKUNOV N. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial MIR. Moscú, 1990. (Se encuentra
en la Biblioteca UDABOL)
3. CHUNGARA, Victor. Ecuaciones Diferenciales. S/e. La Paz. 2001. (Se encuentra en el

comercio Local)
4. AYRES, Frank. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum.

Mejico. 1991. (Se encuentra en la Biblioteca UDABOL)
7
IV. CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcial
Fecha 25 de marzo
Nota
2° evaluación parcial
Fecha 13 de mayo
Nota
Examen final
Fecha 17 de junio
Nota
APUNTES
SEMANA ACTIVIDADES ACADEMICAS OBSERVACIONES

1ra Avance de materia Tema 1
2da Avance de materia Tema 2
4ta Avance de materia Tema 3 Work Paper 1
5ta Avance de materia Tema 4 Dif 1
6ta Avance de materia Tema 5
7ma Avance de materia Tema 5 Work Paper 2
8va Avance de materia Tema 6 1ra.Evaluación Pàrcial
9na Avance de materia Tema 7
10ma Avance de materia Tema 8
11ra Avance de materia Tema 9 Work Paper 3
12da Avance de materia Tema 9 Dif 2
14ta Avance de materia Tema 11 Work Paper 4
15ta Avance de materia Tema 12 2da. Evaluación Parcial
16ta Avance de materia Tema 13
19na Evaluación final Presentación Proyecto
20va Segunda instancia Presentación notas
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WORK PAPER # 1
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS 4
ELABORÓ: Ing. Pérez Edwin

CÓDIGO:
TÍTULO DEL WORK PAPER: : Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
9
Ecuaciones diferenciales Lineales Ordinarias

Este tipo de ecuación toma la siguiente configuración:
a0 y" + a1 y' +a2 y = 0
Elementos que la conforman:

Variable independiente: x.
Variable independiente: y.
Grado de la ecuación diferencial: 2.
Grado algebráico: 2.
Coeficientes constantes o no variables: a0, a1 y a2
Si lográramos conocer una solución y1 de la ecuación diferencial, se la llama solución

particular.
Se utilizan la solución particular halladas por D'Alambert: y = erx, siendo r una constante
no arbitraria que se calculará.
Derivamos sucesivamente esta función para reemplazarla en la ecuación:

y' = r erx
y" = r2 erx
En la función se reemplaza y se opera de la siguiente manera:

a0 y" + a1 y' +a2 y = 0
a0 r2 erx + a1 r erx +a2 erx = 0
erx (a0 r2 + a1 r +a2) = 0
Como erx es una expresión exponencial nunca toma valor nulo, por lo que se opera con el paréntesis y se
calculan las raíces r1 y r2.
A continuación se estudian los casos de los resultados de las raíces r1 y r2:
CUESTIONARIO:
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. Cuando se indique, hallar la integral particular que verifica las
condiciones iniciales impuestas.
1)
Cálculo de las raíces:
La integral homogénea es:
10
y* = c1.e3.x + c2.e-1.x
Cálculo de la integral particular:
y = a.x5.e-x como s = 1
y = a.x.e-x Sus derivadas son:
debe verificar:
La integral particular es:
Luego la integral general es:
2) y" - y = x
y* = c1.e1.x + c2.e-1.x
Cálculo de la integral particular: y = x5.(a.x + b)
Como s = 0 y = a.x + b
Sus derivadas son: y' = a y" = 0
debe verificar:
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(0) - (a.x + b) = x  -a.x - b = x a = -1 b=0
La integral particular es: y = -1.x
Luego la integral general es: y = y* + y  y* = c1.ex + c2.e-x - x
3) y" - y = ex
La integral homogénea es: y* = c1.ex + c2.e-1.x
Cálculo de la integral particular: y = a.x.ex
Sus derivadas son:
Debe verificar:
La integral particular es:
La solución general es:
4) y" + 4.y = 16.x.sin 2.x
y* = c1.con 2.x + c2.sin 2.x
12
WORK PAPER # 2
ELABORÓ: Ing. Pérez Edwin CÓDIGO:
TÍTULO DEL WORK PAPER: Ecuaciones Homogéneas
DESTINADO A:
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
13
ECUACIONES HOMOGENEAS
La ecuación diferencial M( x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea sí M y N son funciones homogéneas del

mismo grado, o también si la ecuación puede escribirse como:
Definición de función Homogénea
Sea la función Z = ƒ(x, y), se dice que es homogénea de grado "n" si se verifica que f( tx, ty)=
tⁿf( x, y) ; siendo "n" un número real. En muchos casos se puede identificar el grado de homogeneidad de la
función, analizando el grado de cada término:
CUESTIONARIO:
Resuelve la ecuación diferencial y los PVI siguientes
14
WORK PAPER # 3
TÍTULO DEL WORK PAPER: Ecuaciones Diferenciales No - Homogéneas
DESTINADO A:
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
15
Ecuaciones Diferenciales No – Homogéneas

Una ecuación lineal de orden n de la forma
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea.

Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral
particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yp = 3 es una
solución particular de la ecuación no homogénea y + 9y = 27.
CUESTIONARIO:
1. Resuelve el ejercicio usando las condiciones iniciales en los límites de la integral.
2. Resuelve la ecuación diferencial y el PVI siguientes:
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. Cuando se indique, hallar la integral particular que verifica las
condiciones iniciales impuestas.
7) y" - y' - 2.y = x2 + cos x
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y* = c1.e2.x + c2.e-1.x
Cálculo de la integral particular: y1 = a.x2 + b.x + c y2 = d.cos x + e.sin x
Sus derivadas son: y1' = 2.a.x + b y1" = 2.a
y2' = -d.sin x + e.cos x
y2" = -d.cos x - e.sin x
La primer integral debe verificar:
Una primera integral particular es:
La segunda integral debe verificar:
La segunda integral es:
8) y" + y = 1 + sin 2.x y(0) = 1 y'(0) = 0
17
9) y" + 4.y = 3.cos 2.x - 7.x2 y(0) = 0 y'(0) = 0
10) y" + 4.y' + 4.y = x.ex + sin x
y* = c1.e-2.x + c2.e-2.x
y1 = a.x.ex + b.ex
y2 = a.cos x + b.sin x
Sus derivadas son:
y'1 = a.ex + a.x.ex + b.ex
y"1 = a.ex + a.ex + a.x.ex + b.ex y"1 = 2.a.ex + a.x.ex + b.ex
y'2 = -a.sin x + b.cos x
y"2 = -a.cos x - b.sin x
La primer integral debe verificar:
18
Una integral particular es:
La segunda integral debe verificar:
La segunda integral es:
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WORK PAPER # 4
TÍTULO DEL WORK PAPER: METODO DE VARIABLES SEPARABLES
DESTINADO A:
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
20
METODO DE VARIABLES SEPARABLES
Son las que pueden escribirse en la forma: f(x) dx = g(y) dy(1)
Es decir, con las variables separadas.
Se supondrá que f(x) y g(y) son continuas respectivamente en I y J . Por el teorema de existencia y unicidad,
habrá solución única por cada (xo , yo)  I  J, siempre que no se anule g(y) en J.
Si y =  (x) es una solución de la ecuación diferencial (1), habrá de cumplirse la identidad :
g(x) ´ (x) dx  f(x) dx  x  I
Luego:  g ( x ) ´ ( x ) dx   f ( x ) dx , x I
Por el cambio de variable y =  (x), se obtiene:  g( y ) dy   f ( x ) dx

Esta es la solución general que incluye una constante arbitraria C.
CUESTIONARIO:
1. Resuelva el ejercicio usando las condiciones iniciales en los límites de la integral.
2. Resuelva las ecuaciones diferenciales separable y los PVI en su caso.
21
WORK PAPER # 5
TÍTULO DEL WORK PAPER: Método de Coeficientes indeterminados
DESTINADO A:
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
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Método de Coeficientes indeterminados
El método que se expondrá es el de los coeficientes indeterminados.

Para ello nos valdremos de un ejemplo:
y" - 3 y' + 2 y = x
Para empezar se halla la llamada solución de la homogénea o yh, que es cuando x=0, hallando una solución
particular.
Aplicamos lo estudiado en "2do miembro nulo",
y = erx
y' = r erx
y" = r2 erx
formamos la ecuación característica,
r2 - 3 r + 2 = 0
r1 = 1
r2 = 2
resultando la solución de la homogénea:
yh = C1 ex + C2 e2x
Seguidamente se propone una función como solución particular. Las funciones que se pueden utilizar son:
Polinómicas: P(x)
Exponenciales: m.e nx
Trigonométricas: p.cos nx ó q.sen mx
Como la f(x) es polinómica, se toma como solución particular una P(x), que debe ser del mismo grado que la f(x):
yp = ax + b
yp'= a
yp"= 0
Se reemplazan en la ecuación:
y" - 3 y' + 2 y = x
0 - 3 a + 2 (ax + b) = x
-3 a + 2ax + 2b = x
2ax + (2b - 3a) = x
Para que se cumpla ésta última expresión se le asignan valores de la siguiente manera:
2a = 1
2b - 3a = 0
Se resuelve éste último sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, resultando:

a=½
b=¾
Y la solución particular buscada resulta ser:

yp = ½ x + ¾
La solución general yg será la combinación lineal de yh con yp.
yg = yh + yp
y g = C 1 e x + C 2 e 2x + ½ x + ¾
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CUESTIONARIO:
1.- Según el tipo de término no homogéneo, determina como deben ser los operadores anuladores
Q(t) = e r t Exponenciales
Q(t) = t n Polinomios
Q(t) = Cos b t Polinomios trigonométricos
Q(t) = Sen c Polinomios trigonométricos
Q(t) = k Constantes
2. Verifica que si aplicamos primero el segundo operador anulador y después el primer operador anulador
también se anula la suma de funciones.
3. Verifica que se vale la conmutatividad entre este tipo de operadores, es decir, .
4. Halla la solución particular:
5. Encuentra la solución completa del siguiente PVI
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WORK PAPER # 6
TÍTULO DEL WORK PAPER: Método de Variación de Parámetros
DESTINADO A:
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN:
FECHA DE ENTREGA:
25
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS

Para resolver a2y + ay + ay = g(x), primero se halla la función complementaria yc = C1y1 + C2y2, y después se
calcula el wronkiano W(y1(x),y2(x)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reducida y + Py + Qy =
f(x) para hallar f(x). Se determina u1 y u2 integrando, respectivamente u1 = W1/W y u2 = W2/W, donde se define
W1 y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular es Yp = u1y1 +u2y2, la solución general de al ecuación es,
por consiguiente,
y = yc + yp.
CUESTIONARIO:
1. Encuentra la solución general de la siguiente edo.
2. Resuelve los PVI siguientes:
Advertencia: Hay que considerar que el método para obtener la solución fue con el supuesto de que el coeficiente
de y'' es 1.
3. Resuelve el PVF
4. Halla dos soluciones linealmente independientes de
de la forma . Usa las soluciones para encontrar la solución general de
26
27
DIF’S
DIF: 1 Nº DE HOJAS:
TITULO: HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EC. DIFERENCIALES (F.C.y T.)
AUTO: http://www-history.mcs.st-
andrews.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC,
aunque hay indicios desde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines
del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza.
Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a través del
estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se estudiaron
problemas que involucraban a ecuaciones lineales simultáneas y algunos
de estos son conservados en tabletas de arcilla que permanecieron en el
tiempo. Por ejemplo, una tableta que data alrededor de 300 años AC
contiene el siguiente problema:
"Hay dos terrenos cuya área total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una proporción de 2/3 de una medida por yarda
cuadrada mientras el otro produce granos en una proporción de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la producción total es 1100
medidas, ¿Cuál es el tamaño de cada terreno?"
Los Chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho más
cerca de las matrices que los babilonios. Verdaderamente es justo
decir que el texto “Nueve Capítulos de Arte Matemático”, escrito
durante la Dinastía Han, da el primer ejemplo conocido sobre métodos
matriciales. Por ejemplo, el problema siguiente es muy similar al
ejemplo anterior dado en Babilonia:
"Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del
tercero hacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y 1 del tercero hacen 34
medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas
medidas de cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?"
Ahora, para resolver este problema, el autor hace algo realmente extraordinario. Coloca los
coeficientes del sistema de tres ecuaciones lineales en una especie de "tablero contador".
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En nuestro siglo XX, escribimos las ecuaciones lineales por medio de filas más que por columnas pero, naturalmente, el método es idéntico.
Más extraordinario, es que hace 200 años AC, el autor escribió instrucciones al lector:
1. Multiplicar la columna dos por tres y la columna tres por dos, restar la nueva columna tres
a la columna dos, generando una nueva columna dos. Luego, multiplicar la columna uno
por tres y restarle la columna tres generando una nueva columna uno. El tablero contador
queda así:
2. Multiplicar la columna uno por cinco y la columna dos por cuatro, restar la nueva columna
dos a la columna uno, generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así:
Con esto, tenemos la solución para el tercer tipo de cereal, de este modo se puede
encontrar la solución para el segundo y por último para el primero por medio de la sustitución
hacia atrás. Este método, conocido ahora como Eliminación Gaussiana, no se volvería a
retomar sino hasta inicios del siglo XIX.
Cardan, en “Ars Magna” (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales que llama regla de modo. Resulta que esta regla corresponde en esencia a nuestra
conocida Regla de Cramer para la resolución de un sistema de (2 x 2). Aunque Cardan no
daba aún el paso final, no alcanzó la definición de determinante pero, ahora podemos ver
que su método conducía a la definición.
Muchos resultados estándar de teoría de matrices elementales aparecieron antes de que las
matrices fueran objeto de investigación matemática. Por ejemplo, de Witt en “Elementos de
curvas”, publicado como una parte de la comentada “Versión Latina de la Geometría de
Descartes” en 1660, muestra como una transformación de ejes reducen una ecuación dada
de una cónica a la forma canónica. Esto resultaba de la diagonalización de una matriz
simétrica pero, de Witt nunca pensó en estos términos.
La idea de determinante apareció en Japón y Europa casi al mismo tiempo, aunque Seki en
Japón ciertamente lo publicó primero. En 1683, Seki escribía “Métodos de Resolución de
problemas Disimulados” que contienen métodos matriciales escritos exactamente como en
las tablas del método chino descrito anteriormente. Sin tener alguna palabra que
correspondiera a 'determinante', Seki los introdujo y dio métodos generales para calcularlos
basados en ejemplos. Usando sus 'determinantes' Seki fue capaz de encontrar
determinantes en matrices de orden (2 x 2), (3 x 3), (4 x 4) y (5 x 5) y los aplicó para resolver
ecuaciones pero, no sistemas de ecuaciones lineales. Más extraordinario aún, es que la
aparición del primer determinante en Europa coincidía con el mismo año 1683. En ese año
Leibniz escribía a de l'Hôpital.
29
Tenía una solución porque:
Esta es exactamente la condición para que el coeficiente de la matriz tenga determinante

cero. Note que Leibniz no estaba usando coeficientes numéricos pero...
"dos caracteres, el primero marcando en que ecuación ocurre, el segundo marcando a que
columna pertenece."
Así, 21 significa lo que nosotros escribimos como a21.
Leibniz estaba convencido de que una buena notación matemática era la llave hacia el
progreso, así, experimentó con diferentes notaciones para sistemas de coeficientes. Sus
inéditos manuscritos contienen mas de 50 formas diferentes para escribir sistemas de
coeficientes. Trabajó con esto durante un período de 50 años, comenzando en 1678. Solo
dos publicaciones (1700 y 1710) contienen resultados sobre sistemas de coeficientes y estos
usaron la misma notación como en su nota a de l'Hôpital. mencionada anteriormente.
Leibniz usó la palabra 'resultante' para cierta suma combinatorial de términos de un

determinante. Probó resultados diversos en resultantes, incluyendo lo que en esencia
corresponde a la Regla de Cramer. El también sabía que un determinante podía ser
expandido usando alguna columna, método que es llamado ahora "Expansión de Laplace".
Así como estudió sistemas de coeficientes de ecuaciones que lo guiaron a los
determinantes, Leibniz también estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas que
lo llevaron, naturalmente, hacia la teoría de matrices.
Por los años 1730, Maclaurin escribió “Tratados de álgebra” el cual no fue publicado sino
hasta 1748, dos años después de su muerte. Este tratado contiene los primeros resultados
publicados sobre determinantes probando la regla de Cramer para sistemas de (2 x 2) y (3 x
3) e indicando como trabajar para sistemas de (4 x 4). Cramer daba la regla general para
sistemas de (n x n) en “Introducción al análisis de curvas algebraicas” (1750). Esto surgió
motivado por el deseo de encontrar la ecuación de una curva plana pasando a través de un
número dado de puntos. La regla aparece en un apéndice del documento, pero la prueba no
aparece:
"Se encuentra el valor de cada incógnita formando n fracciones de las cuales el común
denominador tiene tantos términos como hay permutaciones de n cosas."
Cramer explica precisamente el cálculo de estos términos como el producto de ciertos

coeficientes en las ecuaciones y como se puede determinar el signo. El también explica
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como los n numeradores de las fracciones pueden ser encontrados reemplazando ciertos
coeficientes en este cálculo por términos constantes del sistema.
Los trabajos sobre determinantes empezaban a aparecer con regularidad. En 1764 Bezout
daba métodos para calcular determinantes como lo hacia Vandermonde en 1771. En 1772,
Laplace afirma que los métodos introducidos por Cramer y Bezout eran impracticables y, en
un escrito donde él estudiaba las órbitas de planetas, discutía la solución de sistemas de
ecuaciones lineales sin calcularlos pero, usando determinantes. Más sorprendente aún,
Laplace usaba la palabra 'resultante’ para denotar determinantes. Es más sorprendente que
Laplace usara la misma palabra que Leibniz, más aún, teniendo presente que Laplace no
conocía el trabajo de Leibniz. Laplace daba la expansión de un determinante como se
conoce actualmente y por ello lleva su nombre.
Lagrange, en un escrito de 1773, estudia la identidad para determinantes de (3x3). Sin

embargo, este comentario es hecho en restrospectiva a partir de que Lagrange mismo no vio
ninguna conexión entre su trabajo y el de Laplace y Vandermonde. Sin embargo, este escrito
de 1773 sobre mecánica, contiene por primera vez lo que nosotros conocemos ahora como
la interpretación del volumen de un determinante. Lagrange mostró que el tetraedro formado
por O(0,0,0) y los tres puntos:
El término 'determinante' fue introducido por primera vez por Gauss en “Disquisiciones
Aritméticas” (1801) mientras se discutían formas cuadráticas. Gauss usó este término porque
el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, este
concepto de determinante no era el mismo que conocemos ahora. En el mismo trabajo,
Gauss pone los coeficientes de sus formas cuadráticas en arreglos rectangulares. Describe
la multiplicación de matrices (la cual piensa como una composición, lo que implica que no
había alcanzado aun el concepto de álgebra de matrices) y la inversa de una matriz en el
contexto particular de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas.
La Eliminación Gaussiana, que primero aparece en el texto” Nueve Capítulos de Arte

Matemático” escrito 200 años AC, era usada por Gauss en sus estudios de la órbita del
asteroide Pallas. Usando las observaciones de Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss
obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas. Gauss ideó un método
sistemático para resolver tales ecuaciones, el que precisamente conocemos ahora como
“Eliminación Gaussiana” con los coeficientes de una matriz.
Fue Cauchy en 1812 quien usó el término 'determinante' en el sentido moderno. El trabajo de
Cauchy es el más completo de los primeros trabajos sobre determinantes. Él desaprobaba
los primeros resultados y daba nuevos resultados propios sobre menores. En este escrito, de
1812, por primera vez fue probada la multiplicación de determinantes aunque, en la misma
reunión del Instituto de Francia, Binet lee un escrito que contenía la prueba del teorema de la
multiplicación pero que fue menos satisfactoria que la realizada por Cauchy.
31
Jacques Sturm dio una generalización del problema de los autovalores en el contexto de
resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto de
autovalores apareció 80 años antes en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales, hechos por D'Alembert acerca de la generalización del movimiento de una cuerda
con masas pegadas a él en diversos puntos.
Es una pena que ni Cauchy ni Jacques Sturm realizaron la generalidad de las ideas que ellos
estaba introduciendo, las mostraron solo en los contextos específicos en que ellos estaban
trabajando. Jacobi, alrededor 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en los años 1850 y 1860
también miraron resultados matriciales pero otra vez en un contexto especial, esta vez
relativo a la idea de un transformación lineal.
Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes en 1841. Esto fue de gran importancia, ya
que por primera vez la definición de determinante fue hecha en forma algorítmica y las
entradas en los determinantes no fueron especificados. Así, sus resultados fueron aplicados
igualmente bien a casos donde las entradas eran números o eunciones. Estos tres escritos
de Jacobi hicieron la idea de determinante ampliamente conocido.
Cayley, también publicó en 1841, la primera contribución Inglesa a la teoría de

determinantes. En este escrito, uso dos líneas verticales en ambos lados del arreglo para
denotar el determinante, una notación que ahora es común.
Eisenstein en 1844 denotó las sustituciones lineales con una simple letra y mostró como
sumarlas y multiplicarlas como números ordinarios excepto porque no hay commutatividad.
Es justo decir que Eisenstein fue el primero en pensar las sustituciones lineales como la
formación de un álgebra como pueder ser visto en la siguiente cita de su escrito de 1844:
"Un algoritmo para cálculo puede ser basado en esto, consiste en aplicar las reglas
normales para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación a ecuaciones
simbólicas. Entre sistemas lineales, ecuaciones simbólicas correctas son obtenidas siempre,
teniendo en consideración que el orden de los factores no puede ser alterado."
El primero en usar el término "matriz" fue Sylvester en 1850. Sylvester definió matriz como
un arreglo rectangular de términos y vio como algunas matrices contenían dentro de ellas
varios determinantes representados como arreglos cuadrados. Después de dejar América,
Sylvester volvió a Inglaterra en 1851, y se formó como abogado. Más tarde junto a Cayley,
un abogado como él, compartió sus intereses matemáticos. Cayley rápidamente vio el
significado del concepto de matriz y en 1853 había publicado una nota dando, por primera
vez, la inversa de una matriz.
Cayley, en 1858, publicó “Memorias sobre la teoría de matrices” que contiene la primera
definición abstracta de matriz. Él muestra que los arreglos de coeficiente estudiados
tempranamente para formas cuadráticas y para transformaciones lineales son casos
especiales de su concepto general. Cayley daba una definición algebraica sobre adición de
matrices, multiplicación, multiplicación por un escalar y matriz inversa. Él daba una
construcción explícita de la inversa de una matriz en términos del determinante. Cayley
también probó que, en el caso de matrices de orden (2 x 2), la matriz satisface su ecuación
característica propia. Él declaraba que había comprobado el resultado para matrices de
orden (3 x 3), indicando su prueba, pero dice:
"Yo no tengo la condición necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente el
teorema para el caso general de una matriz de cualquier grado."
32
Que una matriz satisfaga su ecuación característica propia es lo que se conoce como el
"Teorema de Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con
Hamilton. En efecto, el también probó un caso especial del teorema, para matrices de orden
(4 x 4), en el curso de sus investigaciones sobre cuaterniones.
En 1870, la forma canónica de Jordan aparece en “ Tratado sobre sustituciones y ecuaciones

algebraicas” por Jordan. Aparece en el contexto de una forma canónica para sustituciones
lineales sobre un campo finito de orden primo.
Frobenius, en 1878, escribió un importante trabajo sobre matrices en “Sustituciones lineales

y formas bilineales” cuando el no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius
trabajaba en su artículo con coeficientes de formas cuadráticas y no usa el término matriz.
Sin embargo probó importantes resultados sobre matrices canónicas como representaciones
de clases de equivalencia de matrices. Él menciona a Kronecker (1874) y Weierstrass
(1868) como casos especiales de sus resultados respectivamente. Frobenius además probó
el resultado general de que una matriz satisfaga su ecuación característica. Este escrito de
1878 también contiene la definición del rango de una matriz el cual usaba en sus trabajos
sobre formas canónicas y la definición de Matrices Ortogonales. La nulidad una matriz
cuadrada fue definida por Sylvester en 1884. Él definía la nulidad de A, n(A), como el mayor
i tal que cada de A de orden (n-i+1) es nula. Sylvester estaba interesado en invariantes de
matrices, esto es, propiedades que cumplen algunas matrices y que no son alteradas bajo
ciertas transformaciones. Sylvester provó que:
max(n(A),n(B)) <= n(AB) <= n(A) + n(B).
En 1896, Frobenius conoció las “Memorias sobre la teoria de matrices” de Cayley (1858) y
despues comenzó a usar el término matriz. A pesar del hecho que Cayley solo había
probado el teorema de Cayley-Hamilton para matrices de (2 x 2) y (3 x 3), Frobenius
generosamente atribuyó el resultado a Cayley a pesar de haber sido el, el primero en probar
el teorema general.
Un importante texto que abre un espacio para las matrices dentro de las matemáticas fue
“Introduccion al álgebra lineal” escrito por Bôcher en 1907. Turnbull y Aitken escribieron
textos influyentes en los años 1930 y Mirsky con “Una introducción al álgebra lineal”, en
1955, mostró laTeoría de Matrices estableciendola como uno de los más importantes tópicos
matemáticos para estudiantes de pregrado.
33
TITULO: HISTORIA DE LOS NÚMEROS EC. DIFERENCIALES (F.C.yT.)
AUTOR: http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtn/aritmetica
Historia de los Números
Por Martín A. Cagliani
La noción de número y de contar, así como los nombres de los números mas pequeños y
más comúnmente empleados, se remonta a épocas prehistóricas.
Con la invención de la escritura, se tubo que dar el paso siguiente, que fue el de escribir los
números. Los primeros números escritos, eran simplemente signos iguales que se limitaban
a contar hasta llegar al numero deseado. Por ejemplo uno era ', dos '', cinco ''''', ocho '''''''', y
así sucesivamente hasta llegar al numero deseado. Como se hace difícil leer muchos signos
de este estilo, por ejemplo 27 seria muy moleste tener que leer ''''''''''''''''''''''''''', así que se los
empezó a separar en grupos, preferentemente de a diez (es el que se utilizo mas en la
antigüedad). Luego se invento un símbolo para lo diez grupos de diez, os sea cien, y así
sucesivamente. Este sistema lo utilizaban los babilonios, pero con un sistema cuneiforme,
que eran formas de cuya marcadas en arcilla.
En las primeras etapas de su desarrollo, los griegos usaron un sistema semejante al de los
babilonios, pero en épocas posteriores se generalizó un método alternativo. Recurrieron al
empleo de otro sistema ordenado: el de las letras del alfabeto.
Los griegos serian los que inventarían los números irracionales, mas precisamente
Pitagoras.
El cero lo inventaron los hindúes por el año 500, los hindúes denominaron a este símbolo
sunya, que quiere decir "vacío". Este fue un gran avance porque ya no se confundirían los
números como el 507 con el 57, esta era la forma utilizada anteriormente, dejando un
espacio. Este símbolo de la nada fue recogido por los árabes hacia el s. VIII, quienes lo
denominaron céfer, que en su idioma quería decir "vacío". Esta palabra dio origen a las
palabras castellanas cero y cifra. Con mucha lentitud llegaron los números arábigos a
occidente y reemplazaron a los números romanos, que estos habían esparcido por todo su
imperio.
Fue un matemático italiano, Leonardo Fibonacci (1170-1240), el primero en escribir sobre los
números arábigos en occidente. Tuvo la ocasión de viajar ampliamente por el norte de Africa.
Allí aprendió la numeración árabe y la notación posicional (el cero). Fibonacci escribió un
libro sobre el tema en 1202, Liber Abaci (o libro del ábaco), que sirvió para introducir los
números arábigos en Europa, pero los romanos aún se mantuvieron en vigor durante tres
siglos más.
El matemático italiano Geronimo Cardano (1501-1575), fue el que demostró, en 1545, que
las deudas y los fenómenos similares se podían tratar con números negativos. Hasta ese
momento, los matemáticos habían creído que todos los números tenían que ser mayores
que cero.
En la antigüedad no se contaba mas de varios miles, si así era se limitaban a exagerar
diciendo cientos de miles o mas que las estrellas. El numero millón y la palabra, (que viene
del latín que significa "gran millar"), que son mil millares, data de la alta Edad Media, época
en que que el comercio había revivido, hasta alcanzar un punto de necesitar una palabra
especial. Los billones y los trillones vinieron mas tarde.
34
En 1614 John Napie, llamado Neper o Neperius, invento los logaritmos, del griego logos,
razón, y arithmos, número. Un logaritmo es un numero que indica la potencia a la que hay
que elevar otro dado para que resulte un tercero tambien conocido. El matemático ingles
John Wallis (1616-1703) fue el que consiguió dar sentido a los números imaginarios (numero
que se inventa y se le asigna un símbolo com i)en 1685, así como los números complejos.
En 1744 el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) descubrió los números
trascendentales, que son los que jamás constituirán una solución a cualquier ecuación
algebraica que pueda escribirse. En 1845 el matemático irlandés William Rowan Hamilton
(1815-1865) comenzó a trabajar con números hipercomplejos, o como el los llamo
cuaternios.
Investigación y elaboración a cargo de Martín A. Cagliani, estudiante de Antropología

Arqueológica e Historia en la Facultad de Filosofía y Letras de la Universidad de
Buenos Aires.
35
TITULO: HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EC. DIFERENCIALES (F.C.yT.)
AUTOR:http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC,
aunque hay indicios desde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines
del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza.
Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a través del
estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se estudiaron
problemas que involucraban a ecuaciones lineales simultáneas y algunos
de estos son conservados en tabletas de arcilla que permanecieron en el
tiempo. Por ejemplo, una tableta que data alrededor de 300 años AC
contiene el siguiente problema:
"Hay dos terrenos cuya área total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una proporción de 2/3 de
una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una proporción de 1/2 de una medida por
metro cuadrado. Si la producción total es 1100 medidas, ¿Cuál es el tamaño de cada terreno?"
Los Chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho más
cerca de las matrices que los babilonios. Verdaderamente es justo
decir que el texto “Nueve Capítulos de Arte Matemático”, escrito
durante la Dinastía Han, da el primer ejemplo conocido sobre métodos
matriciales. Por ejemplo, el problema siguiente es muy similar al
ejemplo anterior dado en Babilonia:
"Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del
tercero hacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y 1 del tercero hacen 34
medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas
medidas de cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?"
Ahora, para resolver este problema, el autor hace algo realmente extraordinario. Coloca los
coeficientes del sistema de tres ecuaciones lineales en una especie de "tablero contador".
En nuestro siglo XX, escribimos las ecuaciones lineales por medio de filas más que por
columnas pero, naturalmente, el método es idéntico. Más extraordinario, es que hace 200
años AC, el autor escribió instrucciones al lector:
1. Multiplicar la columna dos por tres y la columna tres por dos, restar la nueva columna tres
a la columna dos, generando una nueva columna dos. Luego, multiplicar la columna uno por
tres y restarle la columna tres generando una nueva columna uno. El tablero contador queda
así:
36
2. Multiplicar la columna uno por cinco y la columna dos por cuatro, restar la nueva columna
dos a la columna uno, generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así:
Con esto, tenemos la solución para el tercer tipo de cereal, de este modo se puede
encontrar la solución para el segundo y por último para el primero por medio de la sustitución
hacia atrás. Este método, conocido ahora como Eliminación Gaussiana, no se volvería a
retomar sino hasta inicios del siglo XIX.
Cardan, en “Ars Magna” (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales que llama regla de modo. Resulta que esta regla corresponde en esencia a nuestra
conocida Regla de Cramer para la resolución de un sistema de (2 x 2). Aunque Cardan no
daba aún el paso final, no alcanzó la definición de determinante pero, ahora podemos ver
que su método conducía a la definición.
Muchos resultados estándar de teoría de matrices elementales aparecieron antes de que las
matrices fueran objeto de investigación matemática. Por ejemplo, de Witt en “Elementos de
curvas”, publicado como una parte de la comentada “Versión Latina de la Geometría de
Descartes” en 1660, muestra como una transformación de ejes reducen una ecuación dada
de una cónica a la forma canónica. Esto resultaba de la diagonalización de una matriz
simétrica pero, de Witt nunca pensó en estos términos.
La idea de determinante apareció en Japón y Europa casi al mismo tiempo, aunque Seki en
Japón ciertamente lo publicó primero. En 1683, Seki escribía “Métodos de Resolución de
problemas Disimulados” que contienen métodos matriciales escritos exactamente como en
las tablas del método chino descrito anteriormente. Sin tener alguna palabra que
correspondiera a 'determinante', Seki los introdujo y dio métodos generales para calcularlos
basados en ejemplos. Usando sus 'determinantes' Seki fue capaz de encontrar
determinantes en matrices de orden (2 x 2), (3 x 3), (4 x 4) y (5 x 5) y los aplicó para resolver
ecuaciones pero, no sistemas de ecuaciones lineales. Más extraordinario aún, es que la
aparición del primer determinante en Europa coincidía con el mismo año 1683. En ese año
Leibniz escribía a de l'Hôpital.
Tenía una solución porque:
Esta es exactamente la condición para que el coeficiente de la matriz tenga determinante

cero. Note que Leibniz no estaba usando coeficientes numéricos pero...
37
"dos caracteres, el primero marcando en que ecuación ocurre, el segundo marcando a que
columna pertenece."
Así, 21 significa lo que nosotros escribimos como a21.
Leibniz estaba convencido de que una buena notación matemática era la llave hacia el
progreso, así, experimentó con diferentes notaciones para sistemas de coeficientes. Sus
inéditos manuscritos contienen mas de 50 formas diferentes para escribir sistemas de
coeficientes. Trabajó con esto durante un período de 50 años, comenzando en 1678. Solo
dos publicaciones (1700 y 1710) contienen resultados sobre sistemas de coeficientes y estos
usaron la misma notación como en su nota a de l'Hôpital. mencionada anteriormente.
Leibniz usó la palabra 'resultante' para cierta suma combinatorial de términos de un
determinante. Probó resultados diversos en resultantes, incluyendo lo que en esencia
corresponde a la Regla de Cramer. El también sabía que un determinante podía ser
expandido usando alguna columna, método que es llamado ahora "Expansión de Laplace".
Así como estudió sistemas de coeficientes de ecuaciones que lo guiaron a los
determinantes, Leibniz también estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas que
lo llevaron, naturalmente, hacia la teoría de matrices.
Por los años 1730, Maclaurin escribió “Tratados de álgebra” el cual no fue publicado sino
hasta 1748, dos años después de su muerte. Este tratado contiene los primeros resultados
publicados sobre determinantes probando la regla de Cramer para sistemas de (2 x 2) y (3 x
3) e indicando como trabajar para sistemas de (4 x 4). Cramer daba la regla general para
sistemas de (n x n) en “Introducción al análisis de curvas algebraicas” (1750). Esto surgió
motivado por el deseo de encontrar la ecuación de una curva plana pasando a través de un
número dado de puntos. La regla aparece en un apéndice del documento, pero la prueba no
aparece:
"Se encuentra el valor de cada incógnita formando n fracciones de las cuales el común
denominador tiene tantos términos como hay permutaciones de n cosas."
Cramer explica precisamente el cálculo de estos términos como el producto de ciertos
coeficientes en las ecuaciones y como se puede determinar el signo. El también explica
como los n numeradores de las fracciones pueden ser encontrados reemplazando ciertos
coeficientes en este cálculo por términos constantes del sistema.
Los trabajos sobre determinantes empezaban a aparecer con regularidad. En 1764 Bezout
daba métodos para calcular determinantes como lo hacia Vandermonde en 1771. En 1772,
Laplace afirma que los métodos introducidos por Cramer y Bezout eran impracticables y, en
un escrito donde él estudiaba las órbitas de planetas, discutía la solución de sistemas de
ecuaciones lineales sin calcularlos pero, usando determinantes. Más sorprendente aún,
Laplace usaba la palabra 'resultante’ para denotar determinantes. Es más sorprendente que
Laplace usara la misma palabra que Leibniz, más aún, teniendo presente que Laplace no
conocía el trabajo de Leibniz. Laplace daba la expansión de un determinante como se
conoce actualmente y por ello lleva su nombre.
Lagrange, en un escrito de 1773, estudia la identidad para determinantes de (3x3). Sin
embargo, este comentario es hecho en restrospectiva a partir de que Lagrange mismo no vio
ninguna conexión entre su trabajo y el de Laplace y Vandermonde. Sin embargo, este escrito
de 1773 sobre mecánica, contiene por primera vez lo que nosotros conocemos ahora como
la interpretación del volumen de un determinante. Lagrange mostró que el tetraedro formado
por O(0,0,0) y los tres puntos:
38
El término 'determinante' fue introducido por primera vez por Gauss en “Disquisiciones
Aritméticas” (1801) mientras se discutían formas cuadráticas. Gauss usó este término porque
el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, este
concepto de determinante no era el mismo que conocemos ahora. En el mismo trabajo,
Gauss pone los coeficientes de sus formas cuadráticas en arreglos rectangulares. Describe
la multiplicación de matrices (la cual piensa como una composición, lo que implica que no
había alcanzado aun el concepto de álgebra de matrices) y la inversa de una matriz en el
contexto particular de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas.
La Eliminación Gaussiana, que primero aparece en el texto” Nueve Capítulos de Arte
Matemático” escrito 200 años AC, era usada por Gauss en sus estudios de la órbita del
asteroide Pallas. Usando las observaciones de Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss
obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas. Gauss ideó un método
sistemático para resolver tales ecuaciones, el que precisamente conocemos ahora como
“Eliminación Gaussiana” con los coeficientes de una matriz.
Fue Cauchy en 1812 quien usó el término 'determinante' en el sentido moderno. El trabajo de
Cauchy es el más completo de los primeros trabajos sobre determinantes. Él desaprobaba
los primeros resultados y daba nuevos resultados propios sobre menores. En este escrito, de
1812, por primera vez fue probada la multiplicación de determinantes aunque, en la misma
reunión del Instituto de Francia, Binet lee un escrito que contenía la prueba del teorema de la
multiplicación pero que fue menos satisfactoria que la realizada por Cauchy.
En 1826 Cauchy, en el contexto de formas cuadráticas en n variables, usó el término
'tableau' para la matriz de coeficientes. Él encuentra el autovalores de matrices y dio
resultados sobre diagonalización de una matriz en el contexto de convertir una forma
cuadrática a la suma de cuadrados. Cauchy también introdujo la idea de matrices similares
(pero no el término) y mostró que si dos matrices son similares ellas tienen la misma
ecuación característica. También probó, nuevamente en el contexto de formas cuadráticas,
que toda matriz simétrica real es diagonalizable.
Jacques Sturm dio una generalización del problema de los autovalores en el contexto de
resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto de
autovalores apareció 80 años antes en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales, hechos por D'Alembert acerca de la generalización del movimiento de una cuerda
con masas pegadas a él en diversos puntos.
Es una pena que ni Cauchy ni Jacques Sturm realizaron la generalidad de las ideas que ellos
estaba introduciendo, las mostraron solo en los contextos específicos en que ellos estaban
trabajando. Jacobi, alrededor 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en los años 1850 y 1860
también miraron resultados matriciales pero otra vez en un contexto especial, esta vez
relativo a la idea de un transformación lineal.
Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes en 1841. Esto fue de gran importancia, ya
que por primera vez la definición de determinante fue hecha en forma algorítmica y las
entradas en los determinantes no fueron especificados. Así, sus resultados fueron aplicados
igualmente bien a casos donde las entradas eran números o eunciones. Estos tres escritos
de Jacobi hicieron la idea de determinante ampliamente conocido.
39
Cayley, también publicó en 1841, la primera contribución Inglesa a la teoría de

determinantes. En este escrito, uso dos líneas verticales en ambos lados del arreglo para
denotar el determinante, una notación que ahora es común.
Eisenstein en 1844 denotó las sustituciones lineales con una simple letra y mostró como
sumarlas y multiplicarlas como números ordinarios excepto porque no hay commutatividad.
Es justo decir que Eisenstein fue el primero en pensar las sustituciones lineales como la
formación de un álgebra como pueder ser visto en la siguiente cita de su escrito de 1844:
"Un algoritmo para cálculo puede ser basado en esto, consiste en aplicar las reglas
normales para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación a ecuaciones
simbólicas. Entre sistemas lineales, ecuaciones simbólicas correctas son obtenidas siempre,
teniendo en consideración que el orden de los factores no puede ser alterado."
El primero en usar el término "matriz" fue Sylvester en 1850. Sylvester definió matriz como
un arreglo rectangular de términos y vio como algunas matrices contenían dentro de ellas
varios determinantes representados como arreglos cuadrados. Después de dejar América,
Sylvester volvió a Inglaterra en 1851, y se formó como abogado. Más tarde junto a Cayley,
un abogado como él, compartió sus intereses matemáticos. Cayley rápidamente vio el
significado del concepto de matriz y en 1853 había publicado una nota dando, por primera
vez, la inversa de una matriz.
Cayley, en 1858, publicó “Memorias sobre la teoría de matrices” que contiene la primera
definición abstracta de matriz. Él muestra que los arreglos de coeficiente estudiados
tempranamente para formas cuadráticas y para transformaciones lineales son casos
especiales de su concepto general. Cayley daba una definición algebraica sobre adición de
matrices, multiplicación, multiplicación por un escalar y matriz inversa. Él daba una
construcción explícita de la inversa de una matriz en términos del determinante. Cayley
también probó que, en el caso de matrices de orden (2 x 2), la matriz satisface su ecuación
característica propia. Él declaraba que había comprobado el resultado para matrices de
orden (3 x 3), indicando su prueba, pero dice:
"Yo no tengo la condición necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente el
teorema para el caso general de una matriz de cualquier grado."
Que una matriz satisfaga su ecuación característica propia es lo que se conoce como el
"Teorema de Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con
Hamilton. En efecto, el también probó un caso especial del teorema, para matrices de orden
(4 x 4), en el curso de sus investigaciones sobre cuaterniones.
En 1870, la forma canónica de Jordan aparece en “ Tratado sobre sustituciones y ecuaciones
algebraicas” por Jordan. Aparece en el contexto de una forma canónica para sustituciones
lineales sobre un campo finito de orden primo.
Frobenius, en 1878, escribió un importante trabajo sobre matrices en “Sustituciones lineales
y formas bilineales” cuando el no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius
trabajaba en su artículo con coeficientes de formas cuadráticas y no usa el término matriz.
Sin embargo probó importantes resultados sobre matrices canónicas como representaciones
de clases de equivalencia de matrices. Él menciona a Kronecker (1874) y Weierstrass
(1868) como casos especiales de sus resultados respectivamente. Frobenius además probó
el resultado general de que una matriz satisfaga su ecuación característica. Este escrito de
1878 también contiene la definición del rango de una matriz el cual usaba en sus trabajos
sobre formas canónicas y la definición de Matrices Ortogonales. La nulidad una matriz
cuadrada fue definida por Sylvester en 1884. Él definía la nulidad de A, n(A), como el mayor
i tal que cada de A de orden (n-i+1) es nula. Sylvester estaba interesado en invariantes de
matrices, esto es, propiedades que cumplen algunas matrices y que no son alteradas bajo
ciertas transformaciones. Sylvester provó que:
max(n(A),n(B)) <= n(AB) <= n(A) + n(B).
40
En 1896, Frobenius conoció las “Memorias sobre la teoria de matrices” de Cayley (1858) y
despues comenzó a usar el término matriz. A pesar del hecho que Cayley solo había
probado el teorema de Cayley-Hamilton para matrices de (2 x 2) y (3 x 3), Frobenius
generosamente atribuyó el resultado a Cayley a pesar de haber sido el, el primero en probar
el teorema general.
Una definición axiomática de determinante fue usado por Weierstrass en sus clases y,
despues de fallecido, fue publicado, en 1903, en la nota “Teoría de determinantes”. En el
mismo año, también fueron publicados los apuntes de Kronecker sobre determinantes,
nuevamente despues de su muerte. Con estas dos publicaciones, la teoría moderna de
determinantes estaba desarrollada pero, la teoría de matrices tomaba un poco más de
tiempo para convertirse en una teoría completamente aceptada.
Un importante texto que abre un espacio para las matrices dentro de las matemáticas fue
“Introduccion al álgebra lineal” escrito por Bôcher en 1907. Turnbull y Aitken escribieron
textos influyentes en los años 1930 y Mirsky con “Una introducción al álgebra lineal”, en
1955, mostró laTeoría de Matrices estableciendola como uno de los más importantes tópicos
matemáticos para estudiantes de pregrado.
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FACULTAD DE INGENIERIA

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

Gestión Académica I/2008

Ser la Universidad líder en calidad educativa.

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y

Estimado (a) estudiante:

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.

Tema 1. INTRODUCCIÓN A ECUACIONES DIFERENCIALES.

Tema 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

2.1 Ecuaciones de primer orden

Tema 3. ALICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

1 ALICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

3.1 Grafica de las curvas solución de una ecuación diferencial

Tema 4. INTRODUCCIÓN A ECUACIONES LINEALES DE ORDEN n

4.1 Forma general

Tema 5. ECUACIONES DE ORDEN n A COEFICIENTES CONSTANTES

5.1 Ecuaciones lineales de orden n

Tema 6. ECUACIONES DE ORDEN n DE COEFICIENTES VARIABLES

6.1 Ecuaciones lineales de orden n

Tema 7. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR

7.1 Ecuaciones de orden 1 y grado superior

Tema 8: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES E INTRODUCCIÓN A LAS

7.1 Definición sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

La materia de Ecuaciones Diferenciales es una herramienta básica y fundamental para la

Considerando que la materia de Ecuaciones Diferenciales es netamente matemático y

También al final del curso, cada estudiante de la materia de Ecuaciones Diferenciales,

La evaluación total de la materia se realiza considerando dos exámenes parciales y un

La nota máxima de aprobación es 100 puntos y la mínima 51 puntos.

La evaluación sumativa consiste en rendir un examen escrito (u oral) sobre 50 puntos de

La evaluación formativa es equivalente a una evaluación continua que se desarrolla en el

El examen final, es un examen de todo lo avanzado en el semestre y también se considera la

1. MACARENCO G. Problemas de Ecuaciones Diferenciales. Editorial MIR. Moscú, 1991.

3. CHUNGARA, Victor. Ecuaciones Diferenciales. S/e. La Paz. 2001. (Se encuentra en el

4. AYRES, Frank. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum.

IV. CONTROL DE EVALUACIONES

SEMANA ACTIVIDADES ACADEMICAS OBSERVACIONES

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

No. DE PROCEDIMIENTO: No. DE HOJAS 4

ELABORÓ: Ing. Pérez Edwin

TÍTULO DEL WORK PAPER: : Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias

DPTO.: Facultad de Ingeniería

DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS

Ecuaciones diferenciales Lineales Ordinarias

Elementos que la conforman:

Si lográramos conocer una solución y1 de la ecuación diferencial, se la llama solución

Derivamos sucesivamente esta función para reemplazarla en la ecuación:

En la función se reemplaza y se opera de la siguiente manera:

Cálculo de las raíces:

La integral homogénea es:

Cálculo de la integral particular:

y = a.x.e-x Sus derivadas son:

La integral particular es:

Luego la integral general es:

Cálculo de las raíces:

La integral homogénea es:

Cálculo de la integral particular: y = x5.(a.x + b)