Ley de Los Cosenos

Ley de los cosenos
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de

un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la
medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados
(LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los
senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y

si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y
se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso
especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .
Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.
Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.
Ejemplo 2: Tres lados-LLL
Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos.
Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso,
ese es el lado b.
Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.
B ≈ 116.80°
Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso,

sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.
Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.
Ley de los senos
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no
rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un
lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los
lados y ángulos en un triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c ,
entonces .
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del
triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA).
Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que
utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo
caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es
porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el
caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.
Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados
faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).

Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
y
El caso ambiguo
Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades
pueden ocurrir.
(1) No existe tal triángulo.
(2) Dos triángulos diferentes existen.
(3) Exactamente un triángulo existe.
Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A . (La altitud h del vértice B al

lado , por la definición de los senos es igual a b sin A .)
(1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.
(2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.
(3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.

Ejemplo 1: No existe solución
Dado a = 15, b = 25 y A = 80°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6
Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución. Verifique esto usando la
ley de los senos.
Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo.

Ejemplo 2: Dos soluciones exist en
Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5
h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.
Por la ley de lo senos,
Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69°
y 144.31°.
Si B ≈ 35.69° Si B ≈ 144.31°
C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31° C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°
Ejemplo 3: Una solución existe

Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
a>b
B es agudo.
C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°
Si se nos dan dos lados y un ángulo incluído de un triángulo o si se nos dan 3

lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los senos porque no podemos
establecer ninguna proporción donde información suficiente sea conocida. En
estos dos casos debemos usar la ley de los cosenos .
El teorema de Pitágoras
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
o Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo

recto, es decir de 90º.
o En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el
nombre de hipotenusa y los otros dos lados se
llaman catetos.
Teorema de Pitágoras.- En un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.
Demostración:
Si tenemos un triángulo rectángulo como el del
dibujo del enunciado del teorema podemos
construir un cuadrado que tenga de lado justo lo
que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c,
es decir b+c, como en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado
será (b+c)2.
Si ahora trazamos las hipotenusas de los

triángulos rectángulos que salen tendremos
la figura de la izquierda. El área del
cuadrado, que es la misma de antes, se
puede poner ahora como la suma de las
áreas de los cuatro triángulos rectángulos
azules (base por altura partido por 2):
más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del
cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4
veces el área del triángulo:
Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado

grande y tenemos:
si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:
que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un

triángulo rectángulo cuyos ángulos sean
iguales serán proporcionales.
Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo
de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras).
Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y
el triple (según corresponda).
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo.
Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón
de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y
la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre
un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es
única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que
llamaremos trigonométrica.
Funciones Trigonométricas:
Si dividimos: llamaremos a esta función:
Seno y la denotaremos
por Sen(a)
Coseno y la denotaremos
por Cos(a)
Tangente y la
denotaremos por Tan(a)
Cotangente y la
denotaremos por Cot(a)
Secante y la denotaremos
por Sec(a)
Cosecante y la
denotaremos por Csc(a)
NOTA: Las funciones Seno y Cosecante son inversas. También son inversas las
funciones Coseno y Secante. Finalmente son inversas las funciones Tangente
con Cotangente.
Esto es:
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de

imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores

angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a
intervalos de 45º:
Función Seno:
a sen a
0 0
45 0,71
90 1
135 0,71
180 0
-
225
0,71
270 -1
-
315
0,71
360 0
Función Coseno:
a cos a
0 1
45 0,71
90 0
135 -0,71
180 -1
225 0,71
270 0
315 0,71
360 1
Función Tangente:
a tg a
0 0
45 1
90 ////
135 -1
180 0
225 1
270 ////
315 -1
360 0
//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe
(asíntota).
Función Cotangente:
a Cotg a
0 ////
45 -1
90 0
135 1
180 ////
225 - 1
270 0
315 ////
360 -1
Función Secante
a sec a
0 1
45 1,41
90 ////
135 -1,41
180 -1
225 1,41
270 ////
315 1,41
360 1
Función Cosecante:
a Cosec a
0 ////
45 1,41
90 1
135 1,41
180 ////
225 - 1,41
270 -1
315 - 1,41
360 ////
Sistema Circular de Medición de Ángulos:
El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es

el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una,
obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en
física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en
trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba
pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo
al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular,
donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la
circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio)
mide 3,14 (que es el valor aproximado de "p"). De esa manera un giro completo
(que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.
180º = p ó 360º = 2p
En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º ( p/2)
cada una, que va desde 0º hasta 360º (2p), a las que se denomina cuadrantes:
1er cuadrante: 0º a 90º
2do cuadrante: 90º a 180º
3 er cuadrante: 180º a 270º
4to cuadrante: 270 a 360º
Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios
Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios

mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son
complementarios entre si: a + b = 90º Þ b = 90º - a
tg (90 - a) = cotg a
cotg (90 - a) = tg a
sec (90 - a) = cosec a
cosec (90 - a) = sec a
Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En

caso de los ángulos de (90º - a) los ángulos caen en el primer cuadrante y los
signos son todos positivos.
Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios
Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : a + b = 180º Þ b = 180º - a
En este caso las funciones quedan iguales sólo cambia el signo según el
cuadrante que caiga: sen (180º - a) = sen a
Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x,

así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo
llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia,
la designaremos "r".
Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las

funciones trigonométricas en el primer cuadrante son
positivas.
Sen Csc Tan Cot Cos Sec

+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae

sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto
opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio
(la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los
cuadrantes. Por lo tanto: el Coseno, la Tangente y sus
inversas (Secante y Cotangente) tienen resultados
negativos.

+ + - - - -
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente
como el cateto opuesto tienen sus signos negativos,
ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En
este caso la Tangente (y su inversa, la Cotangente)
resultan positivas (- : - = +)

- - + + - -
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a

estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el
cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y.
En este caso, las únicas funciones cuyo resultado
será positivo son el Coseno y la Secante.

- - - - + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en

tres cuadros sinópticos:
Seno - Coseno - Tangente -
cuadrantes
Cosecante Secante Cotangente
II I
+ + - + - +
III IV
- - - + + -

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Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de

La ley de los cosenos establece:

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y

La ley de los cosenos también puede establecerse como

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso,

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c ,

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).

C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°

Por la ley de los senos,

Por las propiedades de las proporciones

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).

El tercer ángulo del triángulo es:

C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°

Por la ley de los senos,

Por las propiedades de las proporciones

(1) No existe tal triángulo.

(2) Dos triángulos diferentes existen.

(3) Exactamente un triángulo existe.

Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A . (La altitud h del vértice B al

(1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.

(2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.

(3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.

h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6

Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo.

h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5

h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.

Por la ley de lo senos,

C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31° C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°

Ejemplo 3: Una solución existe

C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°

Por la ley de lo senos,

Si se nos dan dos lados y un ángulo incluído de un triángulo o si se nos dan 3

o Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo

Si ahora trazamos las hipotenusas de los

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un

iguales serán proporcionales.

Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo.

Si dividimos: llamaremos a esta función:

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de

Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores

Sistema Circular de Medición de Ángulos:

El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es

2do cuadrante: 90º a 180º

3 er cuadrante: 180º a 270º

4to cuadrante: 270 a 360º

Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios

Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios

sec (90 - a) = cosec a

cosec (90 - a) = sec a

Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En

Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : a + b = 180º Þ b = 180º - a

Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x,