Resolución Numérica, Usando El Método de Newton

ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 1
2. MARCO TEÓRICO ...................................................................................... 2
2.1 Aplicación del Newton Raphson Generalizado ..................................... 2
3. PROBLEMA EN CUESTIÓN ....................................................................... 3
3.1 Resolución Analítica .............................................................................. 3
3.2 Resolución Numérica ............................................................................ 7
4. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 8
1. INTRODUCCIÓN
El presente trabajo es una resolución numérica, usando el método de Newton, la

cual es una de las técnicas numéricas para resolver un problema de búsqueda
de raíces de la ecuación f(x)=0 más poderosas y conocidas. Hay muchas formas
de introducirlo. La más común consiste en considerarlo gráficamente. Otra
posibilidad consiste en derivarlo como una técnica que permite lograr una
convergencia más rápida que la que ofrecen otros tipos de iteración funcional.
(Burden, 2001)
El método iterativo para sistema de ecuaciones converge linealmente. Como en

el método de una incógnita, pero puede crearse un método de convergencia
cuadrática; es decir, el método de Newton Raphson Generalizado. A
continuación, se obtendrá este procedimiento para dos variables; la extensión a
tres o más variables es viable generalizando resultados.
Supóngase que se está resolviendo el siguiente sistema:
𝐹1 (𝑋, 𝑌) = 0
𝐹2 (𝑋, 𝑌) = 0
Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan

expandirse en la serie de Taylor, en nuestro caso de primer orden (sistema de 2
ecuaciones).
𝛿𝑓1 (0) (0) 𝛿𝑓1 (0) (0) 2
𝑓1 (𝑥) = 𝑓1 (𝑥 (0) ) + (𝑥 ) (𝑥1 − 𝑥1 ) + (𝑥 ) (𝑥2 − 𝑥2 ) + 𝑂 (‖𝑥 − 𝑥 (0) ‖ )
𝛿𝑥1 𝛿𝑥2
𝛿𝑓2 (0) (0) 𝛿𝑓2 (0) (0) 2
𝑓2 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥 (0) ) + (𝑥 ) (𝑥1 − 𝑥1 ) + (𝑥 ) (𝑥2 − 𝑥2 ) + 𝑂 (‖𝑥 − 𝑥 (0) ‖ )
𝛿𝑥1 𝛿𝑥2
(Castellanos)
2. MARCO TEÓRICO
2.1 Aplicación del Newton Raphson Generalizado
Antes de realizar el ejercicio propuesto, es necesario tener presente los

siguientes conceptos:
El algoritmo de Newton Raphson Generalizado, se define como la extensión del

algoritmo de Newton Raphson a 2 o más dimensiones. En nuestro caso 2
dimensiones, por lo tanto, la fórmula es:
𝐽 (𝐹⃑ (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )) ∆𝑋
⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝑛 = −𝐹 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
Con:
 ⃑⃑⃑⃑⃑
𝑋𝑛 : Vector que contiene las variables que están en el sistema de
𝑥𝑛
ecuaciones no lineales, es el caso de nuestro problema; ⃑⃑⃑⃑⃑
𝑋𝑛 = ( 𝑦 ).
𝑛
∆𝑥 𝑥𝑛+1 𝑥𝑛
 ∆𝑥⃑𝑛 = 𝑥⃑𝑛+1 − 𝑥⃑𝑛 = ( 𝑛 ) = (𝑦 ) − (𝑦 ): Es la forma de expresar
∆𝑦𝑛 𝑛+1 𝑛
diferencia entre las iteraciones con el vector 𝑋⃑𝑛 .
 𝐹⃑ (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ): Es la forma de expresar las 2 ecuaciones en una matriz

de 2 filas y 1 columna, evaluando la matriz en (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ).
 𝐽 (𝐹⃑ (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )): Es la expresión del Jacobiano de 𝐹⃑ evaluando

(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), es decir, es la derivada parcial de cada función con respecto a
cada variable involucrada.
𝛿𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) 𝛿𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
𝛿𝑥 𝛿𝑦
𝐽 (𝐹⃑ (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )) =
𝛿𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) 𝛿𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
[ 𝛿𝑥 𝛿𝑦 ]2𝑥2
 ‖ ‖∞ : Es la expresión utilizada para calcular errores. Las normas

más utilizadas son: Norma-1, Norma-2, Norma-infinito.
𝑚𝑎𝑥
‖𝐴‖1 = 𝑗=1,…,𝑛 ∑𝑛𝑖=1|𝑎𝑖𝑗 |
‖𝐴‖2 = √𝜌(𝐴𝐴𝑡 ) siendo 𝜌(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡[𝐵 − 𝜆𝐼]: radio espectral de la matriz A.
𝑚𝑎𝑥
‖𝐴‖∞ = 𝑖=1,…,𝑛 ∑𝑛𝑗=1|𝑎𝑖𝑗 |
Algunas propiedades importantes para algunas demostraciones, son las

siguientes:
a) ‖𝑥⃑‖ = 0 ↔ 𝑥⃑ = 0 .
b) ‖𝑎𝑥⃑‖ = |𝑎|‖𝑥⃑‖, 𝑥⃑ 𝜖 𝑉, 𝑎 𝜖 𝐼𝑅 (cuerpo, que por lo general son IR o C).
c) ‖𝑥⃑ + 𝑦⃑‖ ≤ ‖𝑥⃑‖ + ‖𝑦⃑‖, 𝑥⃑, 𝑦⃑ 𝜖 𝑉.
d) ‖𝑥⃑ ∗ 𝑦⃑‖ ≤ ‖𝑥⃑‖ ∗ ‖𝑦⃑‖: Lema de Schwartz.
(Álvarez)
3. PROBLEMA EN CUESTIÓN
3.1 Resolución Analítica
Dos Escaleras se cruzan en un pasillo de ancho W. Cada una llega de la base

de un muro a un punto en el muro de enfrente. Las escaleras se cruzan a una
altura H arriba del pavimento. Dado que las longitudes de las escaleras son
X1=20 pies, X2=30 pies y H=8 pies, Calcule W.
Solución
Situación Física de las Escaleras:
H=8 H=8
β Ɵ
H=8
Ɵ β W W
L W-L
Para resolver el ejercicio se deben plantear las siguientes ecuaciones

trigonométricas básicas.
𝑊 𝑊
cos(Ɵ) = ; cos(𝛽) =
30 20
𝐻 𝐻
tan(Ɵ) = → 𝐿=
𝐿 tan(Ɵ)
𝐻 𝐻
tan(𝛽) = → 𝑊−𝐿 =
𝑊−𝐿 tan(𝛽)
Sumando las dos últimas ecuaciones, obtenemos:

𝐻 sin(Ɵ + 𝛽)
𝑊=
sin(Ɵ) sin(𝛽)
𝐻 sin(Ɵ+𝛽) 𝐻 sin(Ɵ+𝛽)
cos(𝛼) = ; cos(𝛽) =
30 sin(Ɵ) sin(𝛽) 20 sin(Ɵ) sin(𝛽)
Despejando, se obtiene el sistema de ecuaciones no lineales:
𝑓1 = 30 cos(Ɵ) sin(Ɵ) sin(𝛽) − Hsin(Ɵ + 𝛽) = 0
𝑓2 = 20 cos(𝛽) sin(Ɵ) sin(𝛽) − Hsin(Ɵ + 𝛽) = 0

𝜕𝑓1 (𝜃, 𝛽)
= 30 sin(𝛽)[− sin(𝜃) sin(𝜃) + cos(𝜃) cos(𝜃)] −Hcos(𝜃 + 𝛽) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑓1 (𝜃, 𝛽)
= 30 cos(𝜃) sin(𝜃) cos(𝛽) −Hcos(𝜃 + 𝛽) = 0
𝜕𝛽
𝜕𝑓2 (𝜃, 𝛽)
= 20 cos(𝛽) sec(𝛽) cos(𝜃) − Hcos(𝜃 + 𝛽) = 0
𝜕𝜃
𝜕𝑓2 (𝜃, 𝛽)
= 20 sin(𝜃)[− sin(𝛽) sin(𝛽) + cos(𝛽) cos(𝛽)] −Hcos(𝜃 + 𝛽) = 0
𝜕𝛽
0 0,14142
𝐷𝑓−1 [ ]
0,09428 0
Aplicando el método de Newton-Raphson generalizado:
𝑥⃑𝑘+1 = 𝑥⃑𝑘 − 𝐷𝑓−1 𝐹⃑ (𝑥⃑𝑘 )
Donde:
𝜃
𝑥⃑ = { }
𝛽
Y 𝐷𝑓 viene dado por:
𝛿𝑓1 𝛿𝑓1
𝛿𝑥 𝛿𝑦
𝐷𝑓 =
𝛿𝑓2 𝛿𝑓2
[ 𝛿𝑥 𝛿𝑦 ]
1era Iteración:
Suponiendo que las escaleras están a 45°.
𝑥⃑1 = 𝑥⃑0 − 𝐷𝑓−1 𝐹⃑ (𝑥⃑0 )
𝜋⁄4
𝑥⃑0 = { };
𝜋⁄4
𝜋⁄4 0 0,14142 2,60660 0,91676
( )−[ ]( )=( )
𝜋⁄4 0,09428 0 −0,92893 0,53964
2da Iteración:
0,91676 −0,07869 0,13774 −0,50475 1,00801
𝑥2 = ( )−[ ]( )=( )
0,53964 0,05324 0,05882 −0,95080 0,62245
3era Iteración:
1,00801 −0,05609 0,10923 −0,09293 0,999874
𝑥3 = ( )−[ ]( )=( )
0,62245 0,05265 0,06716 0,02680 0,62554
4ta Iteración:
0,999874 −005541 0,11125 −0,00072 0,99987
𝑥4 = ( )−[ ]( )=( )
0,62554 0,05387 0,06648 −0,00040 0,62560
5ta Iteración:
0,99987 −005540 0,11125 −8,9260𝑥10−10 0,99987
𝑥5 = ( )−[ ]( )=( )
0,62560 0,05388 0,06648 −4,8511𝑥10−8 0,62560
3.2 Resolución Numérica
4. BIBLIOGRAFÍA
Álvarez, J. (s.f.). Algoritmo de Newton Raphson Generalizado. Santiago de

Chile.
Burden, R. L. (2001). Metodo de Newton. En R. L. Burden, Analisis Numerico

(pág. 66). Estados Unidos: Brooks/Cole.
Castellanos, K. (s.f.). sites.google. Obtenido de

https://sites.google.com/site/danaly7/unidad-3/newton-raphson-
modificado

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ÍNDICE

2. MARCO TEÓRICO ...................................................................................... 2

2.1 Aplicación del Newton Raphson Generalizado ..................................... 2

3. PROBLEMA EN CUESTIÓN ....................................................................... 3

3.1 Resolución Analítica .............................................................................. 3

3.2 Resolución Numérica ............................................................................ 7

El presente trabajo es una resolución numérica, usando el método de Newton, la

El método iterativo para sistema de ecuaciones converge linealmente. Como en

Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan

Antes de realizar el ejercicio propuesto, es necesario tener presente los

El algoritmo de Newton Raphson Generalizado, se define como la extensión del

diferencia entre las iteraciones con el vector 𝑋⃑𝑛 .

 𝐹⃑ (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ): Es la forma de expresar las 2 ecuaciones en una matriz

 𝐽 (𝐹⃑ (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )): Es la expresión del Jacobiano de 𝐹⃑ evaluando

 ‖ ‖∞ : Es la expresión utilizada para calcular errores. Las normas

‖𝐴‖2 = √𝜌(𝐴𝐴𝑡 ) siendo 𝜌(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡[𝐵 − 𝜆𝐼]: radio espectral de la matriz A.

Algunas propiedades importantes para algunas demostraciones, son las

3.1 Resolución Analítica

Dos Escaleras se cruzan en un pasillo de ancho W. Cada una llega de la base

Situación Física de las Escaleras:

Para resolver el ejercicio se deben plantear las siguientes ecuaciones

Sumando las dos últimas ecuaciones, obtenemos:

Despejando, se obtiene el sistema de ecuaciones no lineales:

𝑓1 = 30 cos(Ɵ) sin(Ɵ) sin(𝛽) − Hsin(Ɵ + 𝛽) = 0

𝑓2 = 20 cos(𝛽) sin(Ɵ) sin(𝛽) − Hsin(Ɵ + 𝛽) = 0

Aplicando el método de Newton-Raphson generalizado:

𝑥⃑𝑘+1 = 𝑥⃑𝑘 − 𝐷𝑓−1 𝐹⃑ (𝑥⃑𝑘 )

Y 𝐷𝑓 viene dado por:

𝑥⃑1 = 𝑥⃑0 − 𝐷𝑓−1 𝐹⃑ (𝑥⃑0 )

Álvarez, J. (s.f.). Algoritmo de Newton Raphson Generalizado. Santiago de

Burden, R. L. (2001). Metodo de Newton. En R. L. Burden, Analisis Numerico

Castellanos, K. (s.f.). sites.google. Obtenido de

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