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CAPITULO 1
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
La ingeniería eléctrica se preocupa de la conversión de otras formas de energía en energía
eléctrica, de su transmisión y distribución y de su control y reconversión para su utilización
última. La energía eléctrica no es generalmente útil al final por sí misma; más bien, para su
utilización es convertida en energía mecánica por motores y relays; en energía calórica por
hornos y estufas; en energía acústica por parlantes; en energía luminosa por lámparas y
ampolletas; o en energía química por procesos electrolíticos.

La energía eléctrica es fácilmente convertible, es fácil de controlar y económicamente

conveniente para su transmisión a largas distancias.

El estudio de la ingeniería eléctrica es el estudio de los dispositivos usados en la

conversión y transmisión, con particular énfasis en las características internas requeridas para
obtener los comportamientos externos deseados. En este capítulo definiremos los conceptos
básicos necesarios introduciéndonos a la teoría de circuitos, a través de los circuitos de corriente
continua.

1.1. UNIDADES ELECTRICAS BASICAS

La unidad más elemental de electricidad es la Carga Eléctrica. Las cargas pueden ser
positivas (un protón) o negativas ( como un electrón) En el sistema mks la carga se mide en
Coulomb. Por ejemplo, la carga de un electrón es igual a 1,591*10-10 coulomb. En consecuencia,
se requieren alrededor de 6,2*1018 electrones para llegar a tener una carga de 1 coulomb.

La presencia de cargas eléctricas da lugar de la aparición de fuerzas en la región que las

rodea. Específicamente, dos
cargas de igual signo se repelen y
dos cargas de distinto signo se
atraen, con una fuerza que es
directamente proporcional al
producto de la magnitud de las
cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de su
separación. (Ley de Coulomb).
Este efecto se describe diciendo
que existe un campo de fuerza en
la vecindad de la carga; a este
campo de fuerza se le llama Campo Eléctrico.

Expresado en forma cuantitativa

Q1  q 2
F k (1-1)
r2
Donde: k = Constante del medio donde se encuentren las cargas
(Si el medio es el vacío, su valor es 9*109)
r = Distancia en metros, entre las cargas.
Q1 y q2 = Cargas eléctricas en [Coulomb]

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 2

En todo caso, estamos más interesados en el movimiento de cargas que en cargas

estacionarias, ya que las cargas deben moverse para producir la transferencia de energía.
Particularmente estamos interesados (aunque no exclusivamente) en aquellas situaciones donde
el movimiento está confinado a un camino definido formado por materiales tales como cobre y
aluminio, que son buenos conductores de electricidad. Por el contrario, otros materiales, tales
como la porcelana, la mica, el vidrio, el aire bajo ciertas condiciones, son muy pobres
conductores. Ellos son llamados Aisladores y son usados para confinar la electricidad a un
camino específico. Estos caminos son llamados Circuitos.

Se define como la intensidad de corriente o simplemente corriente eléctrica, a la cantidad

de carga que pasa por una sección transversal de un material por unidad de tiempo. La unidad de
corriente es el Amper; un amper es el paso de una carga de 1 coulomb en 1 segundo. Expresada
cuantitativamente:

dq
i amp (1-2)
dt

Entonces

q   i dt coulombs (1-3)

donde q es la carga que fluye en t segundos

La corriente tiene dirección y sentido. La dirección de la corriente es la dirección en que

fluyen las cargas positivas, es decir opuesta a la dirección del flujo de los electrones.

El movimiento de las cargas eléctricas está relacionado con el cambio de energía. La

Diferencia de Potencial entre dos puntos a y b en un circuito, es el trabajo o energía asociada
con la transferencia de una unidad positiva de carga (1 coulomb), desde un punto al otro. En
unidades mks, el trabajo o energía por unidad de carga es medida en volts. La energía asociada
con el movimiento de una carga q a través de una diferencia de potencial de e volts es

W eq joules, o watt – seg (1-4)

Si se ha realizado trabajo en una unidad de carga y consecuentemente su energía

potencial aumenta al ir desde a a b, entonces existe una subida de tensión (voltaje) en la
dirección de a a b. En el sentido inverso, existe una caída de tensión (voltaje) en la dirección de
b a a cuando una unidad de carga positiva pierde energía potencial al ir de b a a. Una diferencia
de potencial asociada con una fuente de energía eléctrica (como por ejemplo una batería) se le
llama fuerza electromotriz. ( abreviada fem).

Cuando hay corrientes en un circuito, aparece otro tipo de campo de fuerzas en la

vecindad del circuito. Este campo, llamado, campo magnético, existe simultáneamente con el
campo eléctrico causado por las cargas. Es capaz de producir fuerzas en otros elementos que
llevan corriente o en pedazos de fierro. Cuando la corriente que lo causa cambia en el tiempo,
crea voltajes en circuitos vecinos, que son llamados tensiones o voltajes inducidos,.

La Potencia, o la razón a la cual la energía es transferida, es el cambio de energía por

unidad de tiempo. Es decir

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 3

dw dq
p e  e i watts, o joules/seg (1-5)
dt dt

Si la corriente y la tensión son funciones del tiempo, la energía total transferida en un

intervalo de tiempo t, puede ser expresada como

t t
W   p dt   ei dt watts – seg, o joules (1-6)
0 0

Cuando e e i son constantes, con valores E e I (independientes del tiempo), la energía

transferida en un intervalo de tiempo t es

W  EI t joules (1-7)

La tabla 1-1. Resumen de unidades eléctricas

Variable Símbolo Unidad Ecuación
Eléctrica (Sistema mks) Relacionada
Carga q, Q Coulomb
Corriente i, I Amper i = dq/dt
Diferencia de Potencial, e, E o Volt e = W/q
Voltaje o Tensión v, V
Potencia p, P Watt p = ei
Energía o Trabajo W Joule o watt – seg W = eq ,o
t
W   eidt
0

1.2 ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Los circuitos eléctricos pueden definirse como caminos cerrados o continuos, en las que
quedan confinadas las corrientes eléctricas, que puedan hacerse circular. En los circuitos
eléctricos la corriente circula solo por conductores. Esto contrasta con los campos eléctricos, que
dan lugar a fenómenos eléctricos distribuidos en el espacio y el medio que los rodea.

Los circuitos eléctricos pueden descomponerse en partes o elementos, que constituyen entidades
independientes y poseen dos terminales y un camino conductor. Los elementos de circuito
pueden clasificarse de numerosas formas. A veces es útil clasificarlos, según si convierten o
inducen energía eléctrica en el circuito o no. Un elemento activo es el que suministra energía
eléctrica al circuito (Baterias y Generadores) . Un elemento pasivo, no suministra energía
eléctrica al circuito. Un elemento activo es un transductor. Convierte la energía mecánica,
luminosa, calórica, etc., en energía eléctrica. En los circuitos se precisa al menos un elemento
activo si la corriente ha de circular por él de modo indefinido.

Los elementos activos de circuitos son fuentes de energía eléctrica y los elementos
pasivos o bien la almacenan o la convierten en otras formas de energía. Los elementos pasivos,
son entonces dispositivos que almacenan la energía o transductores.

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 4

El principio de la conservación de la energía debe cumplirse también en los circuitos

eléctricos. Toda la energía que se convierta en eléctrica debe almacenarse como energía eléctrica
o convertirse en otra forma de energía.

ELEMENTOS ACTIVOS. FUENTES IDEALES

Fuentes ideales de voltaje

Una fuente ideal de voltaje es un dispositivo eléctrico que genera un voltaje prescrito entre sus
terminales. La capacidad de una fuente de voltaje ideal para generar su voltaje de salida no se
afecta por la corriente que debe suministrar a otros elementos del circuito. Otra forma de
presentar la misma idea, se muestra a continuación:

Una fuente ideal de voltaje suministra un voltaje prescrito a través

de sus terminales, independientemente de la corriente que fluye
por ella. El circuito conectado a la fuente determina la cantidad.de
corriente que suministra la fuente. i

La figura 2.9 muestra los símbolos con los cuales se

representan las fuentes de voltaje que se utilizan a través del libro.
Obsérvese que el voltaje de salida de una fuente ideal puede ser una
función del tiempo. En general, las notaciones de la figura se
emplearán en este libro, si no se indica lo contrario. Una fuente de
voltaje genérica se denominará por la letra minúscula v. Si es
necesario enfatizar que el voltaje producido por la fuente varía con
el tiempo entonces, se utilizará la notación v(t). Finalmente, una
fuente de voltaje constante, corriente directa o CC, se indicará con la
letra en mayúscula V. Nótese que por medio de esta convención la
dirección de una corriente positiva es la de salida de ésta, de la
fuente de voltaje por el terminal positivo.

La noción de una fuente ideal de voltaje se aprecia mejor dentro del

contexto de la representación fuente-carga de los circuitos
eléctricos, lo cual se mencionará frecuentemente en este libro. La
figura 2.10 presenta la conexión de una fuente de energía con un
circuito pasivo (un circuito que puede absorber y disipar. Las tres
diferentes representaciones permiten ilustrar el significado
conceptual, simbólico y físico del concepto fuente-carga.

En el análisis de los circuitos eléctricos, se escoge la aproximación suministrada por los

elementos ideales del circuito de la figura 2.10(b) para representar la realidad física de la figura
2.10( c).

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Fuentes ideales de corriente

Una fuente ideal de corriente es un dispositivo que puede generar una corriente prescrita,
independientemente del circuito al cual está conectada. Para lograrlo, debe generar un voltaje
arbitrario entre sus terminales. La figura 2.11 es el símbolo utilizado para representar las fuentes
ideales de corriente. Por analogía con la definición de la fuente de voltaje ideal establecida en la
sección anterior, se puede escribir:

Una fuente ideal de corriente suministra una corriente prescrita a

cualquier circuito conectado a ella. El circuito conectado a la fuente
determina el voltaje generado por ella.

Para denominar las fuentes de corriente se usará la misma convención de

mayúsculas y minúsculas utilizada en las fuentes de voltaje.

Fuentes dependientes ( controladas)

Hasta el momento se han descrito fuentes con la capacidad para generar un voltaje prescrito o
una corriente prescrita, independientemente de cualquier otro elemento en el circuito. Por eso, se
denominan fuentes independientes. Sin embargo, existe otra categoría de fuentes cuya salida
(corriente o voltaje) es una función de otro voltaje o de otra corriente en el circuito. Éstas se
llaman fuentes dependientes (o controladas). Se utiliza un símbolo diferente, en forma de
diamante, para representar las fuentes dependientes y así distinguidas de las fuentes
independientes. La figura 2.12 presenta los símbolos típicos para representar las fuentes
dependientes; la tabla ilustra la relación entre el voltaje o la corriente de la fuente y el voltaje o la
corriente de la cual depende -vx o ix respectivamente - las cuales pueden ser cualquier voltaje o
corriente en el circuito.

Las fuentes dependientes son muy útiles para describir cierto tipo de circuitos
electrónicos.

ELEMENTOS PASIVOS
En un circuito eléctrico existen tres tipos de elementos pasivos, según la forma como se
interrelacionan la tensión y la corriente en ellos

1. En un tipo de elemento de circuito, la corriente que fluye a través de él es

directamente proporcional a la tensión entre sus extremos. A la constante de
proporcionalidad se le llama Resistencia. Esta constante de circuito, o parámetro, está
íntimamente relacionada con la disipación de energía del circuito en forma de calor.
2. En otro tipo de elemento la tensión entre sus terminales es directamente proporcional
a la velocidad de variación de la corriente por unidad de tiempo. A la constante de
proporcionalidad se le llama Inductancia. Este parámetro de circuito está
íntimamente relacionado con el campo magnético del circuito.

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3. En el tercer tipo de elemento de circuito la tensión es proporcional a la integral en el

tiempo de la corriente. Al recíproco de la constante de proporcionalidad se le llama
Capacidad. Este parámetro de circuito está íntimamente relacionado con el campo
eléctrico del circuito.

En la figura 1.2 se representan diversos circuitos eléctricos. Como elemento activo, es

decir como fuente de energía eléctrica en el circuito, se indica una batería. Cada uno de los
rectángulos representa un elemento del circuito a través del cual circula la corriente. La fig. 1.2.a
indica un circuito que se denomina circuito serie, ya que la corriente circula sucesivamente a
través de cada uno de los elementos completando un circuito cerrado. La fig.1.2.b indica un
circuito paralelo; la corriente I de este circuito se divide en las corrientes I1 e I2 que circulan a
través de las dos ramas en paralelo. Los circuitos pueden estar constituidos por combinaciones de
elementos, tanto serie, como paralelo. Tales circuitos se denominan normalmente Redes. La
fig.1.2.c, es un ejemplo de una red, con una fuente de energía eléctrica y varias ramas de
elementos en serie y en paralelo. La unión entre dos o más ramas se llama nudo; las uniones
señaladas con a en las fig.1.2 a, b y c, son ejemplos de nudos.

Cuando una tensión es aplicada repentinamente a un circuito, la corriente tomará un valor

final después de un tiempo y el circuito alcanzará una situación estable llamada Estado
Estacionario. El estado estacionario no es alcanzado inmediatamente, existiendo un período a la
partida en que la corriente se va ajustando. Este periodo inicial de ajuste se llama Período
Transiente. Estudiaremos primero el comportamiento de los circuitos en estado estacionario.

1.3 RESISTENCIA; LEY DE OHM’S.

En el primer tipo de elemento de circuito mencionado en la sección anterior, la corriente
que circula por él es directamente proporcional a la tensión entre sus terminales. Expresado
cuantitativamente

eRi volts (1-8)

donde i es la corriente en amperes. La constante de proporcionalidad R es la Resistencia del

elemento y es medida en ohms. El elemento toma su nombre y es llamado Resistencia. La
relación expresada en la ecuación (1-8) es conocida como la ley de Ohm.

Ya que una carga eléctrica entrega energía al pasar por la resistencia, la tensión e de la
ecuación (1-8) es una caída de tensión en la dirección de la corriente. Alternativamente, e es una
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subida de tensión en la dirección opuesta a la corriente. El diagrama convencional de

representación de la resistencia, junto con la designación de la dirección de la corriente y la
polaridad de la tensión se muestran en
la figura 1.3. Los signos más y menos
indican una caida de tensión desde la
izquierda a la derecha; en sentido
contrario indica una subida de tensión
desde la derecha a la izquierda.

La potencia disipada por la resistencia puede ser determinada por la Ec. (1-5) combinada
con la Ec.(1-8).

p  e i  R i i  i 2 R watts (1-9)

e e
2
o, p  e i  e   wats
R R

La perdida de energía en un tiempo t está dada por la ecuación (1-6).

La resistencia de un conductor eléctrico es directamente proporcional a su largo,

inversamente proporcional a su sección transversal y es función del material del que está hecho.
La Resistividad del material conductor, es la resistencia de un volumen de sección y largo
unitarios. En el sistema mks la resistividad esta expresada en ohms por metro cuadrado por
metro. La resistencia de un conductor de resistividad ρ, largo l y área A es

l
R (1-10)
A

La resistencia del material conductor es dependiente también de la temperatura del

material. Puede ser demostrado experimentalmente que la resistencia R2 de un conductor a la
temperatura centígrada t2, en términos de su resistencia R1 a la temperatura t1, está dada por

R2  R1 1  1 t 2  t1  (1-11)

siendo α1 el coeficiente de temperatura de la resistencia del material a la temperatura t1. Para

cobre anódico estándar, una ecuación empírica conveniente es

234,5  t 2
R2  R1 (1-12)
234,5  t1

Las ecuaciones (1-11) y (1-12) son usadas frecuentemente para determinar el aumento de
temperatura con medidas de la resistencia en caliente y fría.

Para el cobre anódico estándar, la resistividad ρ a 20° C es 0,017241 μohms-m (1 μohm =

-6
10 ohm). El coeficiente de temperatura α a 20° C es 0,00393.
Todos los conductores eléctricos disipan calor cuando llevan corriente. La cantidad de
calor que puede disipar con seguridad está determinada por la temperatura máxima permitida
para el conductor.

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1.4 LA INDUCTANCIA
Consideremos ahora el elemento de circuito caracterizado por presentar una tensión entre
sus terminales proporcional a la velocidad de variación de la corriente. Esta característica puede
expresarse como
di
vK volts (1-13)
dt
donde K es una constante independiente del valor de la tensión o de la corriente. En ciertas
condiciones (presencia de hierro en las proximidades del elemento de circuito), K es una función
de i (o v) y no es constante.

Como ejemplo de elemento de circuito representado por la Ec.(1-13), consideremos una

inductancia constituida por una bobina de alambre con núcleo de aire y resistencia cero. La
bobina tiene dos terminales y la tensión en ellos está dada por la citada ecuación, con K
independiente de la corriente i que circula por la bobina Si la corriente de la Ec.(1-13) circula a
través de los terminales entre los que se observa una diferencia de potencial v, la constante se
denomina coeficiente de autoinducción utilizándose para K el símbolo L. La relación entre la
tensión y la corriente será entonces

di
vL volts (1-14)
dt

siendo v e i los indicados en la

Fig.1.4a . La Ec.(1-14) da el valor
de la tensión entre los terminales
de la inductancia, pero se precisa
más información para determinar
el sentido de la tensión. A la Ec.(1-
30) debemos añadir la ley de Lenz,
que establece que el sentido de la
tensión inducida es tal que tiende a
oponerse a la variación de la
corriente. Así, en la Fig.1.4a, si la
corriente i aumenta, la tensión v
tendrá la polaridad indicada por los
signos + y -, a fin de oponerse a
que aumente la corriente en la
inductancia.

La tensión y la corriente de la Ec.(1-13) no necesitan ser comunes a un único par de

terminales, como indica la Fig.(1.4a). Si entre dos circuitos existe inducción mutua, la tensión v
de la Ec. (1-13) es debida a la variación de la corriente en la otra rama del circuito. Esto está
indicado en la Fig. 1.4b, en que la tensión v1 entre los terminales de la izquierda es debida a la
corriente i2 que circula entre los terminales de la derecha. Este efecto, conocido como inducción
mutua, está expresado por la siguiente ecuación

di2
v1  M volts (1-15)
dt

Las Ecs.(1.14) y (1.15) definen la autoinducción y la inducción mutua en función de las

variables tensión y corriente. En estos casos está presente un campo magnético. Recuerde que
una carga eléctrica en movimiento lleva asociado un campo magnético. Si consideramos ahora
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que la corriente cambia, el campo magnético cambiará también y el flujo magnético variable que
rodea las espiras de la bobina induce en esta forma una fuerza electromotriz. Esta es la tensión v
que figura en las Ecs.(1-14) y (1-15) expresada en función de la corriente.

El coeficiente de autoinducción L es una función de las características y las dimensiones

de la bobina. Si no está presente ningún material magnético como hierro, cobalto o níquel, una
ecuación empírica que da el valor de la inductancia es

 N2A
L henrios (1-16)
l  0,45 d

en la que N es el número de espiras, A la

sección recta en metros cuadrados, l la
longitud de la bobina en metros, d su
diámetro en metros y  la constante
410-7, denominada permeabilidad del
espacio libre. Esta ecuación es bastante
exacta para bobinas largas, pero su
exactitud disminuye rápidamente cuando
la longitud de la bobina es inferior a la
mitad del diámetro. La Fig. (1.5) define
las magnitudes l, d y A de la Ec. (1-5).

Hagamos ahora algunas consideraciones sobre la energía almacenada en una inductancia.

Una inductancia perfecta no tiene resistencia y, por lo tanto, cualquier energía que fluya en ella
será almacenada en el campo magnético que la rodea. Como la energía es la integral de la
potencia respecto al tiempo, durante el intervalo desde t = 0 hasta el instante t, la variación de
energía será
t
w   v i dt (1-17)
0

Sustituyendo la Ec.(1-14) en la Ec.(1-17) se obtiene, con i = 0 para t = 0.

i
i2
w   L i di  L (1-18)
0
2

1.5 LA CAPACIDAD
Si la tensión entre los terminales de un elemento de circuito es proporcional a di/dt, el
elemento es una inductancia ideal. Por el contrario, si la tensión entre los terminales es
proporcional a la integral de la corriente respecto al tiempo, el elemento de circuito es un
condensador ideal. Más específicamente, la tensión entre los terminales de un condensador en
instante t esta dada por

t
1
C 0
v i dt  V0 volts (1-19)

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Siendo V0 la tensión para t = 0. La constante C se denomina Capacidad.

Si derivamos los dos miembros de la Ec. (1-19) respecto al tiempo y despejamos i, se

obtiene

dv
iC amp (1-20)
dt

Como expresiones de la relación de dependencia entre la tensión y la corriente en una

capacidad, las Ecs. (1-19) y (1-20) son equivalentes.

Recordando que según la Ec. (1-2),

dq
i amps
dt

podemos despejar q multiplicando los dos miembros por dt e integrando; la ecuación resultante
es

t
q   i dt  Q0 coulombs (1-21)
0

siendo Q0, la constante de integración, igual a la carga existente en el condensador en el instante

t = 0. Sustituyendo la Ec. (1-21) en la Ec. (1-19), se obtiene

q
v volts (1-22)
C

siendo q la carga total instantánea y v la tensión instantánea en el condensador. La tensión para t

= 0 es

Q0
V0  volts (1-23)
C

En el sistema de unidades
mks, con v en volts y q en
coulombs, la unidad de capacidad
es el faradio. Unidades menores y
más prácticas son el microfaradio
(10-6 faradios), abreviadamente F,
y el micromicrofaradio o
picofaradio (10-12 faradios),
abreviadamente F o pF.

Un condensador
constituido por dos placas
conductoras planas y paralelas
separadas una pequeña distancia d
por un aislador (dieléctrico), tiene
una capacidad de
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A
C faradios (1-24)
d

siendo A el área de las placas en metros cuadrados, d la separación entre ellas en metros, que es
igual al espesor del aislador y  es una constante, llamada constante dieléctrica, que depende del
tipo de aislador utilizado.

La energía almacenada en un condensador puede calcularse integrando la potencia

respecto al tiempo. Suponiendo que la carga es cero para t = 0,
t
W   vi dt joules o Watts-seg
0

Sustituyendo i dada por la Ec. (1-20), se obtiene que

 dv 
t
W   v  C  dt joules
0  dt 

Si se cambia la variable de integración de tiempo a tensión,

v
W   Cv dv joules
0

con lo que,

v2
W C joules (1-25)
2

Por lo tanto, la energía almacenada en un condensador es proporcional al producto del cuadrado

de la tensión por la capacidad C.

1.6 LEYES FUNDAMENTALES DE LOS CIRCUITOS; LEYES DE KICHHOFF

Dos leyes establecidas por Kirchhoff son extremadamente útiles en la resolución de los
problemas sobre circuitos eléctricos:

Ley de las corrientes

En cualquier instante, la suma algebraica de todas las corrientes que concurren en un
nudo de un circuito es cero. O, en cualquier instante, la suma de las corrientes que
llegan al nudo de un circuito es igual a la suma de las que salen.

Ley de las tensiones

En cualquier instante, la suma algebraica de las tensiones alrededor de un camino
cerrado de un circuito eléctrico es cero. En otras palabras, la suma de las subidas de
tensión alrededor de cualquier camino cerrado, debe ser igual a la suma de las caídas
de tensión.

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Las leyes de Kirchhoff establecidas anteriormente se aplican a los valores instantáneos de

la tensión y de la corriente y son ciertas tanto si las tensiones y las corrientes del circuito son
constantes como si varían en el tiempo. Algunas veces se establecen en la forma

∑i=0
(1-26)
∑v=0

que poseen el mismo significado que lo enunciado anteriormente con palabras.

Al aplicar las leyes de Kirchhoff, debe, debe asignarse un signo algebraico a cada tensión
y a cada corriente para indicar su sentido. En cualquier instante, la corriente tiene tanto
intensidad como sentido. Para escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de corrientes de
Kirchhoff, es preciso definir un sentido como sentido positivo de circulación de la corriente. Al
establecer este sentido positivo, no se establece el sentido real de circulación de la corriente.
Ciertamente, en algunos circuitos la corriente es periódica e invierte periódicamente en sentido.
Lo que realmente se establece es que si la corriente circula en el sentido definido como positivo,
su signo algebraico será positivo y si circula en sentido contrario, su signo algebraico será
negativo.

La diferencia de potencial entre dos puntos lleva también asociados un valor absoluto y
un sentido. Al escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de tensiones de Kirchhoff, los
signos reales de las tensiones no tienen que corresponderse necesariamente con el sentido
positivo establecido arbitrariamente para la tensión.

1.7 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

Los circuitos de corriente continua son aquellos en que la tensión aplicada es constante
respecto al tiempo. Entonces, la corriente producida por estas tensiones en el estado estacionario
también será constante a través del tiempo. Bajo estas circunstancias el único elemento de
circuito que requiere ser considerado es la resistencia. En efecto, de la Ec.(1-14) se deduce que,
al ser constante la corriente que circula por una impedancia, la tensión producida entre sus
terminales es cero ( es como si se tuviera un elemento con resistencia cero, o en corto circuito).
En el caso de la capacidad, de la Ec. (1-20) se deduce que al ser constante la tensión entre sus
terminales, la corriente que la circula es cero (es como un elemento de resistencia infinita, o
circuito abierto).

El análisis de los circuitos de corriente continua dependen de la aplicación directa de la

ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff..

Ejemplo 1.1 Determine la magnitud y la

dirección de la corriente producida por la
fuente en el circuito de la Fig.(1.7). También
determine la tensión V2 a través de la
resistencia de 50 ohms y la potencia perdida en
ella.

Solución. El circuito es de una sola malla; una

sola corriente es común a cada elemento del
circuito y sólo se requiere la aplicación de una
ecuación de tensión de Kirchhoff. El primer
paso es elegir una dirección para la corriente.

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Como se ha indicado anteriormente, esta elección es arbitraria.

Para ilustrar esta arbitrariedad, asumamos la dirección de la corriente que se indica en la Fig.(1.7). Las
tensiones en cada resistencia toman la polaridad indicada ya que son caídas de tensión en el sentido
elegido de la corriente. La Ley de tensiones de Kirchhoff, aplicada a la malla comenzando en la esquina
inferior izquierda y yendo en el sentido del reloj, entrega la siguiente ecuación

+110 + V1 + V2 = 0

es decir

110 + 5 I + 50 I = 0 o, I = - 110/55 = -2 amps.

El signo negativo significa que la corriente tiene el sentido opuesto al elegido.

La tensión V2 será

V2  50  I   50 2  100 volts

Lo que indica que la caída de potencial en esta resistencia es opuesta a lo indicado en la figura.

La potencia perdida en esta resistencia es

P = I2 R = (2)2 (50) = 200 watts

o, alternativamente

P  V2 I  1002  200 watts

Las resistencias del circuito del ejemplo 1.1 están conectadas en serie. Consideremos el
circuito serie general de la Fig. 1.8, en que n resistencias están conectadas en serie. Supongamos
la dirección de la corriente en el sentido de los punteros del reloj. La ley de tensiones de
Kirchhoff da

V  I R1  I R2    I Rn  0

V  I R1  R2    Rn  (1-27)

Frecuentemente es deseable reemplazar un circuito (o parte de una circuito) por una simple
resistencia por la que circulará la misma corriente que la malla que reemplaza. Este concepto de

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Resistencia Equivalente es útil para reducir el trabajo que demanda la resolución de circuitos.
De la Ec. (1-14), se deduce que la resistencia equivalente que reemplaza a las resistencias en
serie en los terminales a b del circuito es

Req  R1  R2    Rn (1-28)

Las resistencias en serie, entonces, se suman directamente.

Ejemplo 1.2 Determine la magnitud y dirección de la corriente total entregada por la batería en
el circuito de la Fig. 1.9.

Solución. En el circuito
serie del ejemplo 1.1 la
corriente I es común a
todos los elementos. En el
circuito de la Fig. 1.9, la
tensión de la batería es
común. Las tres corrientes
son

I1 = 24/48 = 0,5
amps
I2 = 24/12 = 2,0 amps
I3 = 24/16 = 1,5 amps.

La dirección de estas corrientes son todas positivas en el sentido que se muestran. La

corriente total I puede ser encontrada con la ley de las corrientes de Kirchhoff:

I – I1 – I2 – I3 = 0

o I = I1 + I2 + I3 = 0,5 + 2,0 + 1,5 = 4,0 amps

La dirección de ésta corriente es la mostrada en la figura.

Las resistencias del ejemplo 1.2 están conectadas en paralelo. En circuitos paralelos la
cantidad eléctrica común es la tensión. Las características generales de una malla paralela
pueden ser determinadas examinado el circuito de la Fig.1.10, en el cual n resistencias están
conectadas en paralelo. La corriente Ix en cualquiera resistencia Rx es, por la ley de Ohm V/Rx. La
corriente I entregada por la batería es

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 15

V V V  1 1 1 
I    V     (1-29)
R1 R2 Rn  R1 R2 Rn 

La resistencia equivalente Req por la cual la combinación paralela puede ser reemplazada
es
V 1
Req   (1-30)
I 1 R1  1 R2    1 Rn

La resistencia equivalente es entonces el recíproco de la suma de los recíprocos de las

resistencias individuales en paralelo. Para el caso especial de dos resistencias en paralelo,

R1 R2
Req  (1-31)
R1  R2

1.8 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA MAS COMPLEJOS

En casos más generales, un circuito eléctrico consistirá de múltiples mallas con una o
más fuentes de tensión. Los métodos básicos de los circuitos serie y paralelo todavía son
aplicables, pero debe tenerse mayor cuidado con el uso de los signos correctos, ya que estos
pueden no ser tan obvios como en los ejemplos anteriores.

Las leyes de tensiones y corrientes de Kirchhoff para varios nudos y mallas deben
producir el número necesario de ecuaciones independientes para encontrar las corrientes y
tensiones desconocidas. El número de ecuaciones independientes de corriente es igual a uno
menos que el número de nudos del circuito. El número de ecuaciones independientes de
tensiones es igual al número de mallas independientes. Una ecuación de tensión será
independiente de aquellas previamente escritas cuando el camino elegido para escribirla incluye
al menos un nuevo elemento de circuito o fuente de poder.

Ejemplo 1.3 Calcular la tensión E en el circuito de la Fig. 1.11. Encuentre también el balance
de potencia para demostrar que la potencia entregada al circuito por la fuente es igual a la
potencia absorbida por las resistencias.

Solución. Suponga las corrientes de ramas I1, I2 e I3 en las direcciones que se muestran. La ley
de corrientes en el nudo a entrega

JGL
 16

I1 + I2 - I3 = 0

La ley de tensiones a través de las mallas cabc y badb, yendo en el sentido de los punteros del
reloj, nos entrega, respectivamente

 20 I1  6 I 3  140  0
 6 I 3  5 I 2  90  0

Por resolución simultanea de estas tres ecuaciones

I1 = 4,0 amps
I2 = 6,0 amps
I3 = 10,0 amps

La tensión E se encuentra por la ley de Ohm

E  6,0 I 3  6,010,0  60 volts

Determinemos el balance de potencia.

La potencia perdida en las resistencias está determinada por la Ec.(1-9) y la potencia

entregada por las baterías es encontrada con la Ec.(1-5).

La potencia entregada por las baterías es

Batería de 140 volts P = EI = (140)(4,0) = 560

Batería de 90 volts P = (90)(6,0) = 540
Total = 1.100 watts

La potencia tomada por el circuito es

Resistencia de 5 ohms P = I2R = (6,0)2(5) = 180

Resistencia de 6 ohms P = (10,0)2(6) = 600
2
Resistencia de 20 ohms P = (4,0) (20) = 320
Total = 1.100 watts

Ejemplo 1.4 Determinar las corrientes

de mallas en el circuito de la Fig. 1.12

Solución. En este circuito hay cuatro

mallas independientes y cinco nodos; se
pueden escribir cuatro ecuaciones de
tensión y cuatro ecuaciones de
corriente. En todo caso la solución
puede ser bastante más expedita, si
definimos arbitrariamente las corrientes
de malla I1, I2, I3 e I4 para las ramas ab,
be, ce y de y escribimos las ecuaciones
en función de ellas. Como resultado de
esta operación, el número de variables
es reducido de ocho a cuatro,

JGL
 17

simplificando la resolución algebraica del problema.

Se pueden escribir cuatro ecuaciones de tensión considerando las cuatro mallas abea, ebce,
decd y aeda. Tomando los recorridos en el sentido del reloj, se obtienen las siguientes
ecuaciones, en el mismo orden en que los recorridos fueron nombrados.

 2 I1  12  2 I1  15  2( I1  I 2 )  10( I 4  I1 )  2  0
2( I1  I 2 )  15  I 2  7 I 2  12  2( I 2  I 3 )  3  0
 3  5( I 3  I 4 )  3  2( I 2  I 3 )  24  3 I 3  0
2  10( I 4  I1 )  5( I 3  I 4 )  3  7 I 4  I 4  0

La resolución de este sistema de ecuaciones simultaneas da

I1  3,13 amps I 2  1,12 amps I 3  3,58 amps I 4  1,92 amps

y I a  I1  I 2  2,01 amps I b  I 2  I 3  2,46 amps

I c  I 3  I 4  1,66 amps I d  I 4  I1 amps

Los ejemplos anteriores ilustran el uso de las leyes de Ohm y de Kirchhoff para resolver
problemas de circuitos de corriente continua. Estas leyes son suficientes en si para resolver
cualquier circuito de corriente continua en estado estacionario. Para simplificar la resolución de
circuitos más complejos se han desarrollado otros métodos de análisis basados en estas leyes.
Algunos de estos métodos son solamente sistemas que reducen el número y complejidad de las
ecuaciones requeridas. Otro grupo de herramientas de análisis son llamas más apropiadamente
teoremas de circuitos. Además de reducir el esfuerzo matemático para resolver el problema,
estos teoremas presentan una aproximación diferente a la filosofia de la teoría de circuito. Un
ejemplo es el concepto de una resistencia equivamente que puede reemplazar a una grupo de
resistencias en un circuito. Una de las desventajas de la aplicación directa de las leyes de
Kirchhoff es la complejidad de las ecuaciones resultantes. Los teoremas de redes pueden
clarificar algunas de estas complejidades. Muchos de estos teoremas son particularmente útiles
cuando un simple elemento o grupo de elementos van a ser estudiados. Si por ejemplo es el
generador el elemento que nos preocupa principalmente, el resto del sistema puede ser reducido
a un circuito equivalente simple, con el resultado de que la atención será enfocada en el
generador más que en el resto de la malla.

1.9 SIMPLIFICACION DE REDES

La simplificación de redes es un método de análisis muy útil para reducir la complejidad
de un circuito. El concepto de resistencia equivalente para circuitos serie y paralelo ya ha sido
presentado en secciones anteriores. La simplificación de redes solamente expande este concepto
para incluir cualquier malla resistiva, tanto si es serie, paralelo, serie-paralelo u otra
combinación. Los mismos métodos que han sido aplicados para casos serie y paralelo simples
también aplican para circuitos serie, paralelo o una combinación de serie y paralelo.

Ejemplo 1.5 El circuito mostrado en la Fig 1.13 es una red de 2-terminales. Los terminales x e y
están conectados a la fuente. Las cuatro cargas están conectadas a la fuente por medio de
alimentadores. Las resistencias de las cargas y de los alimentadores están dadas en el
diagrama. Para facilitar el estudio de los requerimientos de la fuente, se propone reemplazar el

JGL
 18

circuito de cargas-alimentadores por una simple resistencia equivalente. Determine el valor de

esta resistencia equivalente.

Solución. Para aplicar la simplificación de la red, las resistencias serán combinadas

comenzando por el punto más alejado de la fuente trabajando hacia la fuente.

Las resistencias de 2 y 8 ohms a la derecha de la linea ab están en serie. La resistencia

equivalente, mirando hacia la derecha de ab es entonces

Rab = 2 + 8 = 10 ohms

La resistencia equivalente Rab está en paralelo con la carga de 10 ohms justo a la izquierda de
la linea ab. La resistencia equivalente a la derecha de la linea cd es, desde la Ec.(1-18)

( 10 )( 10 )
R cd   5 ohms
10  10

La resistencia equivalente Rcd está ahora en serie con la resistencia de 1 ohms del alimentador;
la resistencia equivalente mirando a la derecha de la linea ef es entonces

Ref = 1 + 5 = 6 ohms

La resistencia equivalente Ref está en paralelo con las resistencias de 4 y 12 ohms. La

resistencia equivamente mirando a la derecha de la linea gh es, desde la Ec.(1-17),

1 1 1 1 1
   
Rgh 6 4 12 2
o, Rgh = 2 ohms

La resistencia equivalente Rgh está en serie con la resistencia de 1 ohms. La resistencia

equivalente Rxy que reemplazará a la malla completa en los punto xy es entonces

Rxy = 1 + 2 = 3 ohms

JGL
 19

Hay ciertas configuraciones de circuitos que no pueden ser resueltas sólo por
combinaciones serie-paralelo. Estas combinaciones pueden ser manejadas con el uso de
Transformaciones Estrella-Triángulo ( Y-∆.). Esta transformación permite que tres resistencias
que están conectadas en una configuración Y sean reemplazadas por tres resistencias conectadas
en ∆ o viceversa.. Las mallas de las Fig. 1.14a y 1.14b están en ∆ (Triángulo) y en Y (Estrella),

respectivamente. Si estas mallas tienen que ser equivalentes, la resistencia entre cualquier par de
terminales debe ser la misma tanto en Y como en ∆. Deben ser escritas tres ecuaciones
simultaneas para expresar esta equivalencia de resistencias entre terminales.. Así, considerando
los terminales x e y, la resistencia equivalente ∆ es la resistencia Rc en paralelo con la
combinación serie de Ra y Rb y la resistencia equivalente Y es la combinación serie de R1 y R2.
Expresado algebraicamente,

Rc ( Ra  Rb )
Rxy  R1  R2  (1-32)
( Ra  Rb )  Rc

Ecuaciones similares pueden ser escritas para los otros dos pares de terminales. Las tres
ecuaciones resultantes pueden ser resueltas simultáneamente para los valores Ra, Rb y Rc de la
configuración en triángulo o para R1, R2 y R3 de la configuración estrella. Los resultados son

Rb Rc
R1  (1-33)
Ra  Rb  Rc

Ra Rc
R2  (1-34)
Ra  Rb  Rc

Ra Rb
R1  (1-35)
Ra  Rb  Rc

o,

R1 R2  R2 R3  R3 R1
Ra  (1-36)
R1

JGL
 20

R1 R2  R2 R3  R3 R1
Rb  (1-37)
R2

R1 R2  R2 R3  R3 R1
Rc  (1-38)
R3

Ejemplo 1.6 Determine la resistencia equivalente que reemplazará la malla de la Fig (1.15),
entre los terminales a y b

Solución. En el circuito de la Fig. 1.15 no hay resistencias directamente en paralelo o

directamente en serie. Note, ahora, que la sección acd y bcd ambos están en la forma de
configuración Triángulo; cualquiera de ellas puede ser convertida en una configuración
equivalente en Estrella (mostrada en la Fig.1.15 en lineas punteadas). Los valores equivalentes
son

( 1.000 )( 2.000 )
R1   571 ohms
1.000  2.000  500

( 1.000 )( 500 )
R2   143 ohms
1.000  2.000  500

( 2.000 )( 500 )
R3   286 ohms
1.000  2.000  500

La malla que resulta de reemplazar la configuración en Triángulo acd por su equivalente en

Estrella, se muestra en la Fig.1.16. En esta malla Rec y Rcb están conectadas en serie, así como
las resistencias Red y Rdb. Entonces

Recb = 143 + 180 = 323 ohms

y
Redb = 286 + 400 = 686 ohms

Las resistencias Recb y Redb están en paralelo y pueden ser combinadas usando la Eq.(1-31).

JGL
 21

( 323 )( 686 )
Reb   220 ohms
323  686

La resistencia equivalente desde a a b es entonces la combinación serie de Rae y Reb, luego

Rab = 571 + 220 ohms

1.10 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En cualquier circuito eléctrico, las corrientes son los efectos producidos por las tensiones
aplicadas. Si la malla tiene varias fuentes de tensión, cada corriente de rama puede ser
considerada compuesta por varias componentes de corrientes, en que cada componente es
producida por cada una de las fuentes de tensión individuales. El principio de superposición,
cuando es aplicado a circuitos con resistencias constantes, establece que la corriente en cualquier
rama, producida por varias fuentes de poder actuando simultáneamente, es la suma de las
corrientes producidas en esa rama por cada fuente de tensión actuando separadamente.

Para aplicar el principio de superposición, cada fuente de tensión es considerada actuando

separadamente. Se toma una fuente para el cálculo y el resto de fuentes de tensión son
consideradas en cortocircuito (tensión igual a cero). Se efectúa el cálculo para cada tensión y
finalmente se suman las corrientes.

Ejemplo 1.7 Calcule las corrientes en el circuito del ejemplo 1.3 por el principio de
superposición.

Solución. La malla se muestra en la Fig. 1.11. Si la tensión de la fuente de 90 volts es reducida a

cero, el circuito queda reducida al de la Fig. 1.17a; La Fig.1.17b muestra el circuito con la
fuente de tensión de 140 volts reducida a cero. De estos circuitos, la ley de las corrientes en el
nudo a entrega

I1’ + I2’ – I3’ = 0 I1” + I2” – I3” = 0

JGL
 22

La ley de tensiones aplicada a los recorridos bcab y badb entrega, respectivamente

140 – 20I1’ – 6I3’ = 0 -20I1” – 6I3” = 0

6I3’ + 5 I2’ = 0 6I3” + 5 I2” – 90 = 0
Resolviendo estas ecuaciones simultaneas, se llega a

I1’ = +6,16 amps I1” = -2,16 amps

I2’ = -3,36 amps I2” =+9,36 amps
I3’ = +2,80 amps I3” = +7,20 apms

Las tres corrientes, I1, I2 e I3 en el circuito de la Fig. 1.11son las sumas de las componentes de
corrientes de los circuitos de las Fig 1.17a y b.

I1 = I1’ + I1” = +6,16 -2,16 = 4,0 amps

I2 = I2’ + I2” = -3,36+9,36 = 6,0 amps
I3 = I3’ + I3” = +2,80+7,20 = 10,0 apms

Estos valores son los mismos encontrados en el desarrollo del ejemplo 1.3

La aplicación directa del principio de superposición no reduce el trabajo aritmético en la

solución de problemas con circuitos, puesto que cada fuente debe ser considerada
separadamente. Sin embargo, permite que nos concentremos en el efecto de una sola fuente a la
vez, disminuyendo la complejidad en el pensamiento.

1.11 TEOREMA DE THEVENIN

Uno de los teoremas de circuitos extremadamente útil es el Teorema de Thévenin. Para

circuitos de corriente continua queda expresado de la siguiente forma.

Cualquier red de dos terminales constituida por resistencias lineales y fuentes de

tensión constantes es equivalente; a una fuente ideal de tensión V en serie con una resistencia
R, siendo V la tensión a circuito abierto entre los dos terminales y R la resistencia equivalente
vista en los dos terminales después de reemplazar las fuentes de tensión por resistencias
iguales a cero (cortocircuito).

Para ilustrar el empleo de este teorema, consideremos el circuito de la Fig 1.18a ,

excitado por una única fuente de tensión E. El circuito equivalente de Thévenin se indica en la
Fig.1.18b; El nuevo generador de tensión V se obtiene de la Fig.1.18a, en la que la tensión entre
los terminales a y b , por la acción del divisor de tensión, es igual a

JGL
 23

R3
V E
R1  R3

y la Resistencia equivalente vista en los terminales a-b es

R1 R3
R  R2 
R1  R3

De este modo, un circuito de cuatro elementos ha sido reemplazado por un circuito de

dos elementos. El comportamiento en los terminales a-b es el mismo para los dos circuitos, con
independencia del valor de la resistencia RL conectada a ellos.

El circuito equivalente de Thévenin es especialmente útil cuando se desea estudiar el

comportamiento específico de un elemento de la malla. Bajo esta condicion, comúnmente se
sigue el siguiente procedimiento.

1. Se elige el elemento o grupo de elementos.

2. Estos elementos son removidos de la malla, dejando los dos terminales en circuito
abierto.
3. La tensión en circuito abierto es calculada usando las leyes de Kirchhoff y de Ohm.
4. La tensión de la fuente en la malla se reduce a cero y se calcula la resistencia
equivalente.
5. Se forma el circuito equivalente de Thévenin, los elementos removidos son
reemplazados y la malla resultante es analizada.

Ejemplo 1.8 En el circuito de la Fig 1.19, determine la resistencia R que absorberá la mayor potencia.

Solución. Para determinar la potencia, es necesario

conocer tanto la corriente I como la resistencia R.
Evidentemente es deseable encontrar una relación
que de I en función de R. Ya que la resistencia R
va a ser estudiada, ella será removida y se formará
el circuito equivalente de Thévenin con el resto
del circuito. El circuito con R removido se
muestra en la Fig. 1.20a .

Para calcular la tensión de circuito-abierto E0,

suponga una corriente I1 en la dirección mostrada.

JGL
 24

La ley de tensiones alrededor de la malla externa da

140 – 20I1 - 5 I1 – 90 = 0

o, I1 = 50 / 25 = 2 amps

La tensión en circuito-abierto E0 es entonces

E0 = 140 – (20)(2) = 100 volts

Para determinar la resistencia equivalente R0, la tensión de las fuentes son reducidas a cero y se calcula la
resistencia equivalente entre los puntos a-b. La malla resultante de haber reducido a cero las tensiones se
muestra en la Fig 1.20b. Las resistencias de 20 y 5 ohms están en paralelo entre los puntos a-b, luego la
resistencia equivalente R0 es, aplicando la Ec.(1-31).

R0 
205  4 ohms
20  5

El circuito equivalente Thévenin, entre los terminales a-b de la malla de la Fig 1.20a es entonces, una
fuente de 100 volts en serie con una resistencia de 4 ohms. Agregando la resistencia R se obtiene el nuevo
circuito que se muestra en la Fig.1.21

La ecuación de tensión alrededor de la malla en la Fig.1.21

entrega

100  4 I  R I  0

100
o, I
4 R

La potencia absorbida por la resistencia es

10.000 R
P  I 2R 
4  R 2

Para encontrar la resistencia para la máxima potencia, diferenciamos la potencia respecto de la resistencia
y la derivada la hacemos igual a cero; esto es

JGL
 25

dP 10.0004  R   20.0004  R 
2
 0
dR 4  R 4
lo que da R = 4 ohms

100
La corriente de la carga es entonces I  12,5 amps
44

Pmax  12,5 4  625 watts

2
y la máxima potencia es

Este ejemplo ilustra la facilidad con que las características de una malla, respecto de un simple
elemento de circuito, puede ser determinada por el teorema de Thévenin. Este ejemplo también
ilustra el hecho de que para una máxima transferencia de potencia, la resistencia R es igual a la
resistencia equivalente de la fuente mirada desde los terminales de R. Esto no es una
coincidencia sino una verdad general.

Ejemplo 1.9. La malla de la Fig.1.22 es un puente desbalanceado usado en la medición de resistencias.

Con los parámetros de circuito especificados, determine la corriente en el ampérmetro A. La resistencia
del ampérmetro es de 9 ohms.

Solución. La solución de este problema puede ser altamente simplificado a través del uso del circuito
equivalente de Thévenin. El primer paso es remover el ampérmetro del circuito y calcular la tensión E0 (vea
la Fig.1.23). En esta figura

100 100
I1   2 amps I2   1 amps
20  30 10  90

Por la ley de tensiones

E0  20I1  10I 2  202  101  30 volts

La resistencia equivalente R0 es encontrada reduciendo la tensión a cero y evaluando la resistencia entre a

y b (ver Fig.1.24).
JGL
 26

R0 
2030  1090  21 ohms
20  30 10  90

El circuito equivalente Thévenin es entonces una fuente de 30 volts en serie con una resistencia de 21
ohms. La Fig.1.25 muestra el circuito, incluido el ampérmetro. La corriente en el ampérmetro es

30
I  1 amper
21  9

1.12 FUENTES REALES DE VOLTAJES Y CORRIENTES

Los modelos ideales de las fuentes de voltaje y de corriente
analizados anteriormente fallan al considerar la resistencia
interna de las fuentes reales de voltaje y de corriente.
Considérese, por ejemplo, el modelo de la fuente de voltaje
ideal de la figura 2.9; como la resistencia de la carga (R)
disminuye, se requiere que la fuente suministre mayores
cantidades de corriente para mantener el voltaje vil) entre sus
terminales:

v s (t )
i (t )  (2.24)
R

Este circuito indica que la fuente de voltaje ideal debe

suministrar una cantidad infinita de corriente a la carga, en el
límite cuando su resistencia tiende a cero. Naturalmente, es
imposible; por ejemplo considérense las especificaciones de la
batería de un auto: 12 V, 450 A-h (amperios-hora). Esto
implica que existe un límite (grande) de la cantidad de
corriente que la fuente práctica puede suministrar a la carga.
Afortunadamente, no es necesario profundizar en la naturaleza
física de cada tipo de fuente para describir el desempeño de
una fuente real de voltaje: las limitaciones de una fuente real se

JGL
 27

pueden considerar muy sencillas mediante el uso de la noción de la resistencia interna de la

fuente. A pesar que los modelos descritos en esta sección son sólo aproximaciones del
desempeño real de las fuentes de energía, suministran una buena idea de las limitaciones de las
fuentes de voltaje y de corriente reales. La figura 2.38 presenta un
modelo para una fuente de voltaje real, compuesta de una fuente
ideal de voltaje, vs, en serie con una resistencia, rs. La resistencia
rs impone un límite a la corriente máxima que la fuente de voltaje
puede suministrar:
v
i S max  S (2.25)
rS

Típicamente, rs es pequeña. Sin embargo, su presencia afecta

el voltaje entre los terminales de la resistencia de carga: este
voltaje, ahora, no es igual al voltaje de la fuente. Como la corriente
suministrada por la fuente es
vS
iS  (2.26)
rS  RL

el voltaje de la carga se puede determinar por

RL
v L  i S RL  v S (2.27)
rS  RL

Por tanto, en el límite cuando la resistencia interna de la fuente, rs,

tiende a cero, el voltaje de la carga, VL, es exactamente igual al voltaje de la fuente. Una
característica deseable en una fuente ideal de voltaje consiste en tener una resistencia interna
muy pequeña, de tal forma que se puedan satisfacer los requerimientos de corriente de una carga
arbitraria. Frecuentemente, la resistencia interna efectiva de una fuente de voltaje se estipula en
las especificaciones técnicas de la fuente, de tal manera que el usuario tenga en cuenta este
parámetro.
Una modificación semejante del modelo de la fuente ideal de corriente se puede usar para
describir el desempeño de una fuente real de corriente. El circuito ilustrado en la figura 2.39 hace
una represent<\.ción sencilla de una fuente real de corriente, la cual consiste en una fuente ideal
en paralelo con un resistor. Cuando la resistencia de carga tiende a infinito (un circuito abierto),
el voltaje de salida de la fuente de corriente tiende a su límite,

vS max  iS rS (2.28)

Una buena fuente de corriente debe aproximar su desempeño al de una fuente ideal de corriente.
Por tanto, una característica deseable en una fuente de corriente consiste en tener una resistencia
interna tan grande como sea posible.

1.13 APARATOS DE MEDICION

En esta sección, se deben adquirir los conocimientos básicos de las propiedades de los aparatos
reales para la medición de los parámetros eléctricos. Las mediciones de mayor interés son las de
corriente, voltaje, potencia y resistencia. En analogía con los modelos desarrollados para
describir el desempeño no ideal de las fuentes de voltaje y de corriente, se presentarán modelos
de circuitos adecuados de los instrumentos reales de medición para describir las propiedades no

JGL
 28

ideales de estos aparatos.

El ohmímetro

El ohmímetro es un aparato que, cuando se conecta entre los

terminales de un elemento de un circuito, puede medir la resistencia
del elemento. La figura 2.40 presenta la conexión de un ohmímetro a
una resistencia. Recuerde una regla muy importante:

La resistencia de un elemento se puede medir solamente cuando el

elemento esté desconectado de cualquier circuito.

El amperímetro

El amperímetro es un aparato que, cuando se conecta en serie con un elemento del circuito,
puede medir la corriente a través del elemento. La figura 2.41 ilustra esta idea y de ella se
desprenden dos requisitos para obtener una medición correcta de la corriente:

1. El amperímetro se debe conectar en serie con el elemento cuya corriente se desea

medir (por ejemplo, el resistor R2).
2. El amperímetro no debe restringir el flujo de la corriente (causar una caída de voltaje),
de lo contrario no medirá la verdadera corriente en el circuito. Un amperímetro ideal
tiene una resistencia interna igual a cero.

El voltímetro

El voltímetro es un aparato que puede medir el voltaje entre los terminales de un elemento del
circuito. Como el voltaje es la diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito, el
voltímetro se debe conectar entre los terminales del elemento cuyo voltaje se desea medir. Un
voltímetro debe satisfacer dos requerimientos:

1. El voltímetro se debe conectar en paralelo con el elemento cuyo voltaje se desea medir.

2. El voltímetro no debe tomar corriente del elemento cuyo voltaje se está midiendo, de
lo contrario, no medirá el verdadero voltaje entre los terminales del elemento. Por
tanto, un voltímetro ideal tiene una resistencia interna infinita.

JGL
 29

La figura 2.42 ilustra estos dos puntos.

De nuevo, las definiciones establecidas para el voltímetro ideal

y para el amperímetro ideal se deben aumentar para considerar las
limitaciones prácticas de los aparatos. Un amperímetro real
introducirá alguna resistencia en serie en el circuito en el cual se está
midiendo la corriente; un voltímetro real no actuará como un circuito
abierto ideal, sino que tomará alguna corriente del circuito en el cual
se hace la medición. Los problemas de la tarea verifican que estas
restricciones prácticas no establezcan necesariamente un límite para
la precisión de la medición que se obtiene con los aparatos de
medición reales, siempre y cuando la resistencia interna del
instrumento de medición sea conocida. La figura 2.43 muestra el
modelo del voltímetro y el amperímetro reales.

Todas las consideraciones mencionadas para los voltímetro s y

los amperímetros reales se pueden aplicar a la operación del
vatímetro, un instrumento encargado de medir la potencia disipada
por un elemento de circuito, ya que el vatímetro es una combinación de un voltímetro y de un
amperímetro. La figura 2.44 ilustra la conexión típica de un vatímetro en el circuito en serie
usado en los párrafos anteriores. En efecto, el vatímetro mide la corriente de la carga y,
simultáneamente, el voltaje entre los terminales de ella y multiplica las dos para suministrar una
lectura de la potencia disipada por la carga. En los problemas de la tarea, se analiza el consumo
interno de potencia de los vatímetros reales.

JGL
 30

1.14 Tierra
La selección de la palabra tierra no es arbitraria. Este punto se puede ilustrar por medio de una
analogía sencilla con la física del movimiento de un fluido. Considérese un tanque de agua,
como el de la figura 2.51, localizado a una cierta altura sobre la tierra. La energía potencial
debida a la gravedad causará que el agua fluya hacia afuera de la tubería a una cierta tasa de
flujo. La presión que fuerza el agua hacia afuera de la tubería está directamente relacionada con
la cabeza, (h1 - h2), de tal forma que esta presión es cero cuando h2 = h1. Ahora el punto h3, el
cual corresponde al nivel de la tierra, se define como un punto que tiene una energía potencial
igual a cero. Debe ser evidente que la presión que actúa sobre el fluido en la tubería es realmente
causada por la diferencia de potencial, (h1 - h3) - (h2 - h3). Se puede ver, entonces, que no es
necesario asignar un nivel energético preciso a la altura h3; en efecto, sería extremadamente
complicado hacerlo, ya que las ecuaciones que describen el flujo del agua serían entonces
diferentes, por ejemplo, en Denver (h3 = 1,600 m sobre el nivel del mar) de aquellos que se
aplacarían en Miami (h3 = 0 m sobre el nivel del mar). Se ve, por tanto, que lo importante es la
diferencia relativa de la energía potencial en el problema del tanque de agua.

En forma análoga, en todo circuito se puede definir un punto que se reconozca como "tierra",
y se asigna por conveniencia el potencial eléctrico de cero voltios. Se debe notar que si no se
conectan a propósito, las tierras en dos circuitos completamente separados no están
necesariamente al mismo potencial.

JGL
 31

PROBLEMAS CAPITULO I

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

1-1. Los American Standards for Rotating, Machinery , patrocinados por la American Standards
Association, especifican que las resistencias de una máquina serán las que se obtengan a 75 C°.
Si la resistencia del inducido de un motor, medida a 20 C°, es 0,0537 ohms, ¿ cuál será el valor
corregido a 75 C° ?

1-2. Para medir la elevación de temperatura en un gran turbo-alternador, se instala una bobina
especial de hilo de cobre en las ranuras del devanado, que actúa como un detector interior. La
resistencia de dicha bobina a la temperatura ambiente (21C°) es de 100 ohms; después de varias
horas de funcionamiento, la resistencia se ha elevado hasta 110 ohms. Determinar la elevación
de la temperatura en el devanado del generador.

1-3. La resistencia de un miliamperímetro de corriente continua es 20,0 ohmios.El

desplazamiento de la aguja sobre la escala de medida es directamente proporcional a la corriente
en el devanado de la bobina móvil; el recorrido total de la escala se produce por una corriente de
10 ma (0,010 amperes).

a. Se propone fabricar un voltímetro de corriente continua utilizando el miliamperímetro

y la adecuada resistencia en serie (llamada multiplicador). La tensión para un recorrido completo
ha de ser de 300 volts. Determinar la resistencia del multiplicador .

b. Si se coloca una baja resistencia en paralelo con el miliamperímetro, la combinación

resultante puede utilizarse como un amperímetro de corriente continua. Determinar la resistencia
en paralelo necesaria para que el miliamperímetro marque el máximo cuando la corriente total es
de 10 amperes.

c. Determinar la energía requerida para hacer funcionar el voltímetro del apartado a y el

amperímetro del apartado b, cuando cada uno de ellos marque el máximo.

1-4. En el circuito de la Fig. p1.1, E1 = 45 volts y E2 = 6 volts. Determinar:

a. La magnitud y el sentido de la corriente
b. La elevación de tensión desde a hasta b.
c. La caída de tensión desde a hasta c.
c. La energía absorbida por la parte ad.

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1-5. En la Fig. p1.1 la elevación de tensión de a a b es de 16,0 volts, y la de c a d es de 17 ,4

volts. Determinar:
a. La magnitud de cada f.e.m. E1 y E2.
b. La producción diaria de energía en watts-hora de la parte cb.

1-6. Una batería que tiene una resistencia interna de 1,0 ohms y una f.e.m. de 6,0 volts, alimenta
dos cargas de 4,0 ohms, que están conectadas en paralelo a los bornes de la batería.
a. Hallar la corriente suministrada por la batería a la combinación en paralelo.
b. Hallar la energía suministrada a cada carga.
c. Hallar la energía disipada en la batería.

1-7. El esquema del circuito de un óhmetro del tipo serie se ilustra en la Figura p1.2. El aparato
de medida M es el miliamperímetro del Problema 1-3. La resistencia R2 se ajusta para que la
corriente en el aparato sea 10 ma (recorrido máximo de la escala) cuando los bornes del óhmetro
se hallan en cortocircuito (Rx = 0).
a. Determinar el valor requerido de R2.
b. Determinar el valor de Rx necesario para producir media deflexión en el aparato cuando R2
se encuentre ajustada al valor hallado en el apartado a.

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1-8. Determinar la corriente I en la resistencia de 4 ohms del circuito de la Fig. p1.3.

1-9. El circuito que aparece en la Fig. p1.4 es el de un shunt Ayrton utilizado para disminuir la
sensibilidad de los instrumentos indicadores al efectuar medidas aproximadas. El aparato M es el
miliamperímetro del Problema 1-3. La corriente I vale 10 ma.
a. Determinar la corriente en el miliamperímetro cuando el conmutador está en a.
b. Determinar la corriente en el miliamperímetro cuando el conmutador está en b.
c. Repetir los apartados a y b para un aparato que tenga una resistencia de 100 ohms.
¿Puede sacarse alguna conclusión considerando el efecto del shunt para diferentes
aparatos?

1-10. En el sistema de tres hilos de la Fig. p1.5, las cargas R1, R2 y R3 llevan corrientes de 100,
200 y 500 amperes, respectivamente. ¿Cuáles son las tensiones ab, bc y ac?

1-11- En el sistema de distribución de corriente continua de tres hilos de la Fig. p1.6, cada uno
de los equipos de lámparas tiene 50. Cada lámpara toma una potencia de 60 watts cuando la
tensión es de 115) volts. Los tres conductores son de la misma sección.

a. Especificar el tipo de hilo de cobre que ha de utilizarse para que la tensión en cada
equipo sea de 115 voltios con todas las lámparas encendidas.
b. Si se utiliza hilo con aislamiento de goma, ¿tendrá la adecuada capacidad para llevar
la corriente ?
c. Evaluar el rendimiento de la instalación (es decir, la razón entre la potencia tomada
por las lámparas y la potencia de salida de la fuente), en las condiciones del apartado
a.
d. Supongamos que cualquiera de las lámparas de uno y otro equipo puede ser
encendida o apagada inesperadamente. Establecer la condición en la que se obtenga la
mínima tensión en los equipos de lámparas y calcular dicha tensión. Para ello,
considérese que una lámpara puede representarse por una resistencia constante.

1-12. Dos generadores de corriente continua alimentan una carga L por medio de la red que
aparece en la Fig. p1.7. La resistencia de carga es de 3,5 ohms.
a. Determinar la energía, la tensión y la corriente de carga.
b. Determinar la energía suministrada por cada uno de los generadores.
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c. Hallar el rendimiento del sistema (es decir, la razón entre la energía tomada por la carga y
la energía total de los generadores).

1-13. Las carga R1 y R2 (Fig. p1.8) toman corrientes de 1.000 y 1.500 amperes, respectivamente.

Hallar las tensiones en dichas cargas y la corriente en cada línea.

1-14. Determinar la corriente I en el circuito de la Fig. p1.9 por simplificación de la red.

1-15. El puente de resistencias abcd de la Fig. p1.10 recibe el nombre de divisor de tensión,
porque permite disponer de diferentes tensiones para las distintas cargas A, C y D, todas ellas
alimentadas desde una fuente común de 250 voltios. Por razones de conveniencia, el punto b

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puede considerarse arbitrariamente como un punto de potencial cero, o de referencia, desde el

que se miden las tensiones. Primero, consideremos que las cargas A, C y D están en circuito
abierto. La resistencia de b a d ha de ser de 15.000 ohmios, a ha de tener un potencial de - 3
volts, y c ha de tener un potencial de + 100 volts.
a. Hallar las resistencias Rab, Rbc y Rcd.

Después, considérese que la carga D necesita 3 ma; la carga C, 0,8 ma; y la carga A,
corricnte nula. (Por ejemplo, podrían ser, respectivamente, la placa, la rejilla pantalla y la rejilla
de control de una válvula termoiónica.) Las resistencias son las halladas en el apartado a.
b. ¿Cuáles son los potenciales de los puntos a, c y d?.
c. Debe especificarse el régimen de disipación de energía de las resistencias. ¿Cuál es la
energía disipada en la resistencia Rab y en la resistencia Rbc + Rcd ?.

1-16. En relación con el circuito de la Fig. p1.11.

a. Determinar las corrientes I1, I2 e I3 con cl conmutador S en la posición b.
b. Utilizando los resultados obtenidos en el apartado a y el principio de superposición,
determinar las corrientes I1, I2 e I3, con el conmutador S en la posición a

1-17 Resolver el Problema 1-8 aplicando el teorema de Thévenin.

1-18 La carga L (Fig.p1.12) es alimentada desde dos generadores G1 y G2, de 50 y 25 kw

nominales, respectivamente. La carga L necesita 35 kw, 1manteniendose una tensión de 220 vots
cn sus bornes. ¿Cuáles deben ser las tensiones en bornes de G1, y G2, para que sus potencias de
salida sean proporcionales a sus características nominales ?

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1-19 Aplicar el teorema de Thévenin para hallar la corriente I que hay en el circuito de la
Fig.p1-13, cuando el interruptor está cerrado.

1-20. En el circuito de la Fig.p1-14, aplicar cl teorema de Thévenin para hallar:

a. La corriente I en la resistencia de 10 ohms
b. La energía suministrada a la resistencia de 10 ohms.

1-21. Resolver el Problema 1-12a utilizando el teorema de Thévenin.

1-22. Dos generadores de corriente continua alimentan una carga con una corriente de 1.000
amperes; la tensión en bornes de cada generador se mantiene constante a 250 volts, por medio de
reguladores de tensión. El generador A se encuentra situado a 5 kilómetros al oeste de la carga, a
la que se halla conectado mediante un feeder, cuya resistencia (en ambos hilos) es de 0,015
ohms/km; el generador B está a una distancia de 2 kilómetros al este de la carga y conectado a
ella por un feeder con una resistencia (en ambos hilos) de 0,020 ohms/km.
a. Dibujar el esquema del circuito para dicho sistema.
b. Determinar la tensión de la carga y la resistencia equivalente de la carga sin utilizar el
teorema de Thévenin.
c. Repetir el apartado b aplicando el teorema de Thévenin.

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