4 MATERIALES HIPERELÁSTICOS

4.1 Energía de deformación de un sistema masa - resorte

m r
F

x
Figura 4.1
Supongamos que tenemos un sistema, como el que puede verse en la figura 4.1, formado por una partícula de masa m y
un resorte que consideraremos sin masa.
r
Se tiene una fuerza externa F aplicada sobre la partícula la cual también recibe una fuerza de valor -kx dada por el resorte.
Si aislamos la partícula podremos esquematizar aquellas fuerzas que sobre ella actúan y el sistema queda entonces representado
por la figura 4.2. r
− kx F

Figura 4.2
Del esrudio del sistema de fuerzas que está actuando y de la aplicación de la 2a ecuación de Newton se llega a la conocida
ecuación: F − kx = m&x& .
r
El trabajo externo dado por la fuerza F al sistema entre los instantes inicial, t0, y final, tf, será:
tf
r
∫
Wext = F( t ).x& ( t )dt
t0
r r
En la expresión anterior, el producto F( t ).x& ( t ) es la potencia entregada por F en el instante t.
Si ahora sumamos y restamos kxx& dentro de la ecuación anterior queda:
tf tf tf
d 1 1 2
∫ ∫ ∫ dt  2 mx&
2
Wext = (F( t ).x& − kxx& + kxx& )dt = (m&x&x& + kxx& )dt = + kx dt =
2 
t0 t0 t0

tf tf
1 1
mx& 2 + kx 2 = E c (t) − E c (t 0 ) + E R (t) − E R (t 0 )
2 t0 2 t0
1
En esta ecuación el término E c ( t ) = mx& ( t ) 2 representa la energía cinética del sistema en el instante t.
2
1
Si llamamos al término E R ( t ) = kx ( t ) 2 energía de deformación, tenemos que el trabajo exterior entregado por una
2
fuerza al sistema partícula - resorte se convierte en energía cinética más energía de deformación del resorte.

4.2 Energía de deformación de un sólido hiperelástico

Entendemos por sólido hiperelástico a aquel para el cual exista una función U0(D) definida positiva tal que integrada en
el volumen del cuerpo nos dé su energía de deformación, para el cual el trabajo externo se convierta en energía cinética más
energía de deformación.
tf
 r r r ∂ur 
∂u
∫∫
t0 V
∂t
S
∂t

∫
W =  b. dV + f . dA dt = E c ( t f ) − E c ( t 0 ) + U ( t f ) − U( t 0 )
 

r ∂u r r ∂ur
∫
Pot ( t ) = b. dV + f . dA
∂t
V S
∂t ∫
r r
Como Tn = f en la frontera entonces podemos escribir la potencia de la siguiente manera:

1
 r ∂ur r
r ∂u r ∂ur r
 ∂u  r
∫
V
∂t ∂t ∫
Pot ( t ) = b. dV + Tn. dA = b. dV +  T .ndA
∂t
S
 ∂t  ∫
V
∫
S

r ∂ur r
 ∂u  r ∂ur 
r
∂u
r
 ∂u  
∫
V
∫
= b. dV + ∇. T dV = b. dV +
∂t  ∂t 
V
∂t ∫
V
∫
V
 (∇.T). + T : ∇  dV
 ∂t  ∂t  

r r
∂u ∂ r
∫
= (b + ∇.T). dV + T : (∇u )dV
V
∂t ∂t ∫
V
r ∂
Como ∇u = D + W y por ser W antisimétrico T. ( W ) = 0 , entonces queda:
∂t
r r
∂ 2 u ∂u ∂
∫
Pot ( t ) = ρ 2 . dV + T. (D)dV
∂t ∂t
V
∂t ∫
V
r 2
d 1  ∂u  ∂D
Pot ( t ) =
dt ∫
V
ρ  dV + T :
2  ∂t  ∂t
dV
∫
V

r 2
1  ∂u 
tf tf
 
∂D
el trabajo W = Pot ( t )dt = E c ( t f ) − E c ( t 0 ) +  T : 
Si
V
∫ ρ  dV = E c ( t ) ⇒
2  ∂t 
t0
∫ 
t0  V
∫∫∂t
dV dt


Cambiando el orden de la integración del 2 término queda:
o

tf  tf 
 ∂D 
∫
W = Pot ( t )dt = E c ( t f ) − E c ( t 0 ) +  T :

v  t0
∫∫
dt dV
∂t 
t0 
Vemos que para que exista una energía de deformación debería ser:
tf
∂D
U 0 (t f ) − U 0 (t 0 ) = T :
∫
t0
∂t
dt y por lo tanto ∂U 0 = T : ∂D
∂t ∂t
∂U 0 ∂D ∂D ∂D
pero por la regla de la cadena: = ∇U 0 ( D) : ⇒ ∇U 0 ( D ) : =T: entonces debe cumplirse entonces
∂t ∂t ∂t ∂t

∇U 0 (D) = T , la cual sería la ecuación constitutiva de un sólido hiperelástico.

4.3 Elasticidad

Trataremos en este numeral de analizar el comportamiento unidimensional de los cuerpos elásticos para poder generalizar
las conclusiones para el caso tridimensional.
Una de las observaciones más importantes sobre el comportamiento de los sólidos elásticos es que el estado de tensiones
no depende de la historia de deformaciones. El estado final no depende de ningún estado de carga intermedio.
Esta observación es muy importante, porque si el estado de tensiones fuera dependiente del camino tomado por las
deformaciones sería difícil deducir que el sólido retorna a la configuración indeformada después de ser descargado. Ésto no
es un problema en el caso uniaxial ya que solamente hay un camino para llegar a un estado de tensiones, y es la línea recta
que pasa por el origen. Pero en el caso tridimensional podemos encontrar varios caminos para llegar al mismo estado de
tensiones. Por ejemplo consideremos como estado de tensiones una presión hidrostática P. Podemos llegar a este estado
aplicando una tensión uniforme P en las tres caras de un cubo (de direcciones x1, x 2 y x 3 ) aumentando desde cero hasta P.
También podemos obtener este estado de tensiones aplicando una tensión P según x1 luego mantenerla constante y aplicar
otra según x 2 y repetir el proceso con x 3 . Por los dos caminos llegamos al mismo estado tensional, pero los caminos
utilizados son considerablemente diferentes.

2
 Según Trusdell podemos definir tres diferentes comportamientos elásticos.
1) Elasticidad de Cauchy
σ=Eε (4.3.1)
Este comportamiento presenta las características de:
• ser reversible, (si ε = 0 se hace σ = 0 y vuelve al estado inicial)
• ser independiente de la historia
• poder violar las leyes de la termodinámica

Por ejemplo, en un ciclo cerrado, la termodinámica dice que no debe acumular energía, si consideramos la ecuación
constitutiva de un material elástico lineal:

 σ1   a 11 a 12  ε1 
  =  
σ 2  a 21 a 22 ε 2 
La densidad de energía de deformación de la deformación ε f se define como:
εf

∫
U o (ε f ) = σdε
0
(4.3.2)

ε2

D C

ε1
A B
Figura 4.3
( )( )( )
Sean los puntos A, B, C, D de coordenadas, (0,0), ε1∗ ,0 , ε1∗ , ε∗2 , 0, ε∗2 respectivamente en el espacio de deformaciones.
Calculando la densidad de energía de deformación de la deformación ε c por los caminos ABC y ADC se tiene:
B C

∫ ∫
2 2
U o (ε c ) ABC = σ1dε1 + σ 2 dε 2 =a 11 ε1∗ / 2 + a 21ε1∗ε ∗2 + a 22 ε ∗2 / 2
A B
D C

∫ ∫
2 2
U o (ε c ) ADC = σ 2 dε 2 + σ1 dε1 =a 11 ε1∗ / 2 + a 12 ε1∗ε ∗2 + a 22 ε ∗2 / 2
A D

U o ABCDA = U o ABC − U o ADC

Entonces llegamos a que U o ABCDA = (a 21 − a12 )ε1∗ε ∗2 y observamos que U o ABCDA = 0 ⇔ a 21 = a 12 .

De lo anterior se concluye que para este ejemplo la energía de deformación es independiente del camino si y sólo si la
ecuación constitutiva del material elástico es simétrica.
2) Hiperelasticidad, o elasticidad de Green
Green define a un material elástico como aquel para el cual existe una función potencial definida positiva U o = U o (ε f )
de la deformación ε f tal que:
εf

U o (ε f ) =
∫ σ.dε
0

En este caso:
εB εB
∂U o
∫ σdε = ∫
AB
Uo = dε = U o ( ε B ) − U o ( ε A )
∂ε (4.3.3)
εA εA

3
 Entonces, en un ciclo cerrado, o sea cuando A coincide con B, se tienen que la energía de deformación agregada en el
ciclo es cero, es decir: U o AB =0
Cuando estudiemos el caso general vamos a probar que para el material hiperelástico la ecuación constitutiva es simétrica.
3) Hipoelasticidad
σ& = Cε& (4.3.4)
Para este comportamiento elástico se cumple que la tasa del tensor de tensiones es igual a una cierta función aplicada al
tensor velocidad de deformación.

4.4 Sólido elástico e hiperelástico en el caso tridimensional

Diremos que un cuerpo sólido B está constituido por un material elástico, si se verifica que
(∀P ∈ B) (∃C P : Sim → Sim / C p biyectiva, TP = C P (D P )) donde Sim representa el conjunto de los tensores simétricos de
orden dos y TP y D P a los tensores de tensiones y deformaciones respectivamente.
A la función C P la llamaremos función elástica.
Obsérvese que esta definición, implica el carácter reversible de la transformación y concuerda con la manera intuitiva de
definir un cuerpo elástico como un cuerpo que retoma su forma inicial una vez retiradas las cargas que provocaron su
deformación.
Diremos que un cuerpo sólido B es homogéneo si tiene la misma ecuación constitutiva en todos sus puntos, en el caso
particular del sólido elástico, la función elástica C P será independiente del punto P, en tal caso bastará con representar la
función elástica por la letra C .
En lo que sigue podemos trabajar, sin perder generalidad, con un material homogéneo teniendo en cuenta que en el caso
de no ser homogéneo alcanzará con especificar la ecuación constitutiva del material ahora diferente en cada punto del sólido.
Diremos que un cuerpo sólido B está constituido por un material hiperelástico, si se verifica que:
(∇P ∈ B)(∃U 0 : Sim → IR Tp = ∇U 0 (D p )) siendo U 0 (P ) una función definida positiva.
La función U 0 (P ) es la densidad de energía de deformación del sólido B en el punto P.
La densidad de energía de deformación se calcula como:
Dp

∫ dU (D) = U (D ) − U (0) = U (D )
0
0 0 p 0 0 p

porque U 0 (P ) es definuda positiva por lo cual al tensor deformación nulo le corresponde densidad de energía de
deformación cero. Dp

Por otro lado, de la regla de la cadena dU 0 (D) = ∇U 0 (D) : dD = T : dD por lo que U 0 (D) = T : dD
∫
0

4.5 Derivada direccional de f(T) = trTn con n∈ IN

Derivada direccional de f(T) = trT n con n ∈ IN

f ' (T, S) =
d
dα
f (T + αS) =
d
d
α
[
tr (T + αS) n ] =
d
dα
[
tr (T n + nαT n −1S + ..... + α n S n ) ] = tr (nT n −1S) =
α =0 α =0 α =0

= ntr(T n −1S) = n (T t ) n −1 : S ⇒ ∇( trT n ) = nT n −1

Aplicación 1:
∇I1 (D) = ∇( trD) = I

4
4.6 Derivada direccional de f(T) = (trT) 2
d
f ' (T, S) = (tr (T + αS))2 = 2tr (T + αS) α =0 d tr (T + αS) =
dα α=0 dα α =0

2 trT trS = 2( trT)I : S ⇒ ∇( trT) 2 = 2( trT)I

Aplicación 2:
∇I12 (D) = ∇( trD) 2 = 2( trD)I

Aplicación 3:
1 1 1
I 2 (D) = (I12 (D) − D : D) = I12 (D) − trD 2 ⇒
2 2 2
1 2 1 2 2 2
∇I 2 (D) = ∇I1 (D) − ∇( trD ) = ( trD)I − D = ( trD)I − D
2 2 2 2

4.7 Ecuación constitutiva de un sólido hiperelástico lineal, isótropo y homogéneo.

Demostraremos a continuación que la ecuación constitutiva de un sólido hiperelástico lineal, isótropo y homogéneo es
de la forma: TP = C(D P ) = 2µD P + λ ( trD P )I , donde trD P representa la traza del tensor D P , I la transformación idéntica,
mientras que λ y µ son los coeficientes de Lamé.
Por la simetría del tensor de deformaciones la función densidad de energía de deformación se puede escribir como:
U o (D)= U o (D11, D 22 , D 33 , D12 , D13 , D 23 ) , donde los coeficientes D ij son las componentes de la matriz asociada al tensor
de deformaciones en una base dada. Como estos coeficientes se pueden determinar en función de los invariantes I1, I 2 , I 3
r r r
del tensor de deformaciones y de las direcciones principales d1, d 2 , d 3 se puede escribir que
r r r
U o (D)= U o (I1, I 2 , I 3 , d1, d 2 , d 3 ) .
Debido a la hipótesis de isotropía U o (D) debe ser independiente de las direcciones principales, por lo cual es solamente
dependiente de los tres invariantes del tensor de deformaciones: U o (D)= U o (I1, I 2 , I 3 ) .
Recordando que los invariantes vienen dados por las ecuaciones:
( )
I1 = trD , I 2 = ( trD) 2 − D : D /2 , I 3 = det(D)
las cuales son respectivamente funciones lineales, cuadráticas y cúbicas de las componentes del tensor de deformaciones.
Si buscamos una ecuación constitutiva T = C(D) lineal, la densidad de energía de deformación U o (D) debe ser una
función cuadrática pura de las deformaciones, consecuentemente U o (D) dependerá exclusivamente de I12 y de I 2 , por lo
cual U o (D) = αI12 + βI 2 , donde α y β son dos constantes reales.
Ahora estamos en condiciones de determinar la fórmula de nuestra ecuación constitutiva en función de las constantes
α y β.
T = ∇U 0 (D) = α∇I12 (D) + β∇ I 2 (D)
Observando que:
∇I12 (D) = 2( trD)I
∇I 2 (D) = ( trD)I − D
Se obtiene:
T = (2α + β)( trD)I − βD
Llamando µ = −β/2 y λ = 2α + β se llega a la ecuación constitutiva del material hiperelástico:
TP = C(D P ) = 2µD P + λ ( trD P )I (4.7.1)

5
 4.8 Simetría del tensor hiperelástico

Demostraremos ahora que el tensor elástico T = C(D) es simétrico, para ello debemos probar que para todo par de
tensores de orden dos D y D′ , y el producto interno definido en el espacio vectorial de los tensores de orden dos, se
verifica D : C(D′)=D′ : C(D) .
La demostración es muy simple luego de observar que la transformación idéntica I verifica I : D = trD , pues
D : C(D′) = D : (2µD′ + λ( trD′)I) = 2µD : D′ + λ( trD′)( trD) = D′ : (2µD + λ( trD)I) = D′ : C(D) .
Observemos que la hipótesis de trabajar con un material hiperelástico, que implica la existencia de la función densidad de
energía de deformación, nos permite probar que el tensor elástico correspondiente es simétrico. Sin embargo trabajando
solamente con la hipótesis de un material elástico podemos encontrar ejemplos teóricos donde el tensor elástico no sea
simétrico.

4.9 Energía de deformación

Demostraremos que si un cuerpo hiperelástico lineal e isótropo, ocupa una región V del espacio, su energía de deformación
está dada por la fórmula:
1
∫
U = U o dV =
V
2 ∫
T : DdV
V
(4.9.1)

Para ésto basta con observar que:

T : D = (−β D + ( 2α + β)( trD )I) : D = −β D : D + 2α ( trD ) 2 + β( trD ) 2 = 2αI12 + 2β I 2 = 2 U o

4.10 Direcciones principales de los tensores de tensiones y deformaciones para un material

hiperelástico lineal e isótropo

Probaremos a continuación, que si C es la ecuación constitutiva correspondiente a un material hiperelástico lineal e

isótropo ( T = C(D) ) los correspondientes tensores de tensiones T y de deformaciones D , tienen las mismas direcciones
principales.
r r r
Un versor n es dirección principal del tensor D ⇔ (∃ε n ∈ ℜ / Dn = ε n n )
r r r r
Si calculamos Tn = 2µDn + λ( trD)In = (2µε n + λ( trD))n , llamando 2µε n + λ ( trD) = σ n se tiene que
r r r
(∃σ n ∈ ℜ / Tn = σ n n ) ⇔ n es dirección principal del tensor T , lo que prueba que ambos tensores tienen las mismas
direcciones principales.

4.11 Expresión de la ecuación constitutiva del material hiperelástico lineal e isótropo en función
del módulo de elasticidad volumétrico K , y del módulo de elasticidad transversal G .

Comenzaremos demostrando que las componentes esféricas y desviadoras de los tensores de tensiones y de deformaciones
se corresponden en la función elástica, es decir:
Te = C(D e )
Td = C(D d )
Estas componentes están definidas como:
trT
Te = I trTe = trT Td = T − Te
3
trD
De = I trD d = trD D d = D − D e
3

6
 Demostración:
T = 2µD + λtrDI
tr (2µD + λtrDI) trD
Te = I = 2µ I + λtrDI
3 3
⇒ Te = 2µD e + λtrD e I = C(D e ) (4.11.1)
También
⇒ T = Te + Td = C(D) = C(D e + D d ) = C(D e ) + C(D d ) = Te + C(D d )
Simplificando el término Te queda:
Td = C(D d ) (4.11.2)
trD e
Viendo que D e = I la ecuación (4.11.1) queda:
3
Te = (2µ + 3λ )D e
2µ + 3λ
Si definimos K =
3
⇒ Te = 3KD e (4.11.3)
Td = C(D d ) = 2µD d + λtrD d I = 2µD d
Definiendo G = µ
⇒ Td = 2GD d (4.11.4)
De las ecuaciones (4.11.3) y (4.11.4) podemos deducir la ecuación constitutiva escrita en función de K y G .
T = Td + Te = 2GD d + 3KD e
Sustituyendo D d = D − D e queda:
T = 2GD + (3K − 2G )D e
3K − 2G
T = 2GD + trDI (4.11.5)
3

4.12 La energía de deformación es la suma de la energía de deformación esférica o energía

dilatacional y la energía de deformación desviadora o energía de distorción

La densidad de energía de deformación expresada en función de los tensores D e y D d es:

1 1 1
U 0 = T : D = (D e + D d ) : C(D) = (D e + D d ) : (3KD e + 2GD d )
2 2 2
Observemos que el producto de los tensores de deformaciones esféricos y desviadores es:
1 1
D e : D d = ( trD)(I : D d ) = ( trD)( trD d ) = 0
3 3
Por las ecuaciones (4.7.3) y (4.7.4):
1 1 1
U 0 = (3KD e : D e + 2GD d : D d ) = Te : D e + Td : D d
2 2 2
Definiendo energía de deformación esférica como :
1
U eo = Te : D e
2
Y definiendo energía de deformación desviadora como:
1
U do = Td : D d
2
Se concluye que U o = U eo + U do (4.12.1)

7
 4.13 El tensor hiperelástico es una función definida positiva

Por definición de material hiperelástico la densidad de energía de deformación es definida positiva.

Luego:
U o (D) > 0,∀D ≠ 0
De aquí se concluye inmediatamente que el tensor hiperelástico C es definido positivo, ya que:
D : C(D) = 2 U o (D) > 0, ∀D ≠ 0

4.14 Las constantes elásticas K y G son positivas.

Del hecho de que el tensor hiperelástico es una función definida positiva, se deduce que las constantes elásticas K y
G son positivas, pues para un estado de deformación de corte, D = D d y la densidad de energía de deformación es:
D d : C(D d ) = 2GD d : D d > 0, ∀D d ≠ 0 , de las propiedades del producto interno sabemos que D d : D d > 0 , de donde se
deduce que G > 0 .
Análogamente para un estado de deformación esférico, D = D e , se tiene que: D e : C(D e ) = 3KD e : D e > 0, ∀D e ≠ 0 y
como D e : D e > 0 , por las propiedades formales del producto interno, por lo cual K > 0 .
Este resultado coincide con lo que indica la evidencia experimental. Para ver ésto supongamos que sobre un cubo
infinitesimal de volumen Vi se aplica una presión hidrostática p , el tensor de tensiones correspondiente será T = pI , y su
traza trT = 3p , supongamos también que luego de la deformación el volumen del cubo es Vf .
De la ecuación constitutiva se deduce que trT =3KtrD , mientras que de las propiedades del tensor de deformaciones
V − Vi
trD = ∆V / Vi = (Vf − Vi ) / Vi . Por lo cual p = K f .
Vi
Se concluye entonces, que si p es de tracción, deberá ser p > 0 , y como sabemos que K > 0 , entonces Vf > Vi .
Mientras que si p es de compresión, se tendrá p < 0 por lo cual Vf < Vi resultados que confirman la evidencia experimental.

4.15 Todo material hiperelástico es elástico

Para probar esta propiedad alcanza con demostrar que la función C es biyectiva.
La ecuación constitutiva escrita en función de K y G es:
3K − 2G
T = 2G D + ( trD)I
3
1
Además trD = ( trT) porque K > 0
3K
1 1 1 1
Por lo tanto D = T+ ( − )( trT)I , porque probamos que G > 0 y K > 0 .
2G 3 3K 2G
1 1 1 1
Luego D = C −1 (T) = K (T ) = T+ ( − )( trT)I y la función C es entonces biyectiva.
2G 3 3K 2G
Como consecuencia de que el tensor elástico C es simétrico y definido positivo, es inmediato que el tensor K, también lo
es, ya que:
• por la simetría de C ⇒ D : C(D′) = D′ : C(D), ∀D, D′ ∈ Lin
• llamando C(D) = E ⇒ K (E) = D y análogamente C(D′) = E ′ ⇒ K (E ′) = D′
• se tiene: K (E ) : E ′ = E : K (E′) ∀E, E ′ ∈ Lin ⇒ K también es simétrico.
• C es definido positivo, entonces: D : C(D) = 2U o (D) > 0, ∀D ≠ 0 ⇒ D : C(D) = K (E ) : E = 2U o (E) > 0, ∀E ≠ 0 , por
lo tanto K también es definido positivo.

8
4.16 Expresión de la ecuación constitutiva del material hiperelástico lineal e isótropo en función
del módulo de Young E , y del coeficiente de Poisson ν

Consideremos un estado de tensiones uniaxial, tal que la matriz asociada con su tensor de tensiones en una base
r r r
{e1 , e 2 , e3 } es:
 σ1 0 0 
 
[T] =  0 0 0 
 0 0 0
 

 13 σ1 0 0   23 σ1 0 0 
[Te ] =  0 1
σ
3 1

0  [Td ] =  0 − 1
σ
3 1
0 

 0 0 1
σ   0 0 − 13 σ1 
 3 1 
1 1 1 1
Aplicando la ecuación constitutiva de la forma: D = T+ ( − )( trT)I se obtiene la matriz asociada con el
2G 3 3K 2G
tensor de deformaciones en la misma base:

 ε1 0 0
 
[D] =  0 ε 2 0  , donde de acuerdo con la ecuación constitutiva ε 2 = ε 3
0 0 ε 3 

Definiendo entonces dos nuevas constantes E y ν , de modo que:
σ
ε 1= 1
E
ε 2 = ε 3 = −νε 1
1 − 2ν 1 trT E
Se tiene que trD = (1 − 2ν)ε 1= σ1 , pero además trT = σ1 , por lo que: K = =
E 3 trD 3(1 − 2ν)
Por otro lado Td = 2GD d e igualando las componentes de la primera fila y columna de estas dos matrices se tiene:
2 2 1 4 E
σ1 = Eε 1 = 2G (ε 1− (ε 1− 2νε 1)) = G(1 + ν)ε 1⇒ G =
3 3 3 3 2(1 +ν)
Escribimos la ecuación constitutiva en términos de E y ν de la forma:
E E
−
E 1 − 2ν 1 + ν E Eν (4.16.1)
T= D+ ( trD)I = D+ ( trD)I
1+ ν 3 1+ ν (1 − 2ν)(1 +ν)
y análogamente la función inversa:
1+ ν 1  1 − 2ν 1 +ν  1+ ν ν
D= T+  − ( trT)I = T − ( trT)I (4.16.2)
E 3 E E  E E
Como demostramos que K y G son números reales mayores que cero, se tiene:
E
K 3(1 − 2ν) 2 1 +ν 1
0< = = ⇒ −1 <ν<
G E 3 1 − 2ν 2
2(1 +ν)
Teóricamente el coeficiente de Poisson debe estar comprendido entre -1 y 0,5.
E
Al ser 0 < G = , con −1 < ν se deduce que el módulo de Young E > 0 , lo cual confirma la evidencia experimental
2(1 +ν)
de que al traccionar una barra ésta se alarga y al comprimirla se acorta.

9
 4.17 Teorema de unicidad de la solución de un problemas de valores de contorno mixto en
hiperelasticidad lineal.

r
{ r r
}
Se considera un problema de valores de contorno mixto b( x ), f ( x t ), w ( x u ) en un cuerpo hiperelástico lineal, libre de
tensiones iniciales, que ocupa una región Ω del espacio de contorno Γ .
r r
Si las ternas {T1 , D1 , u 1 } y {T2 , D 2 , u 2 } son dos soluciones del problema. de valores de contorno mixto, demostraremos
r r
que T1 = T2 , D1 = D 2 , u1 = u 2 .
Demostración:
Consideremos los campos de tensiones, deformaciones y desplazamientos diferencia de estas soluciones:
r r r
T = T1 − T2 , D = D1 − D 2 , u = u 1 − u 2
Como supusimos que el cuerpo está libre de tensiones iniciales, si consideremos un nuevo problema de valores mixto
r r r
sobre el mismo cuerpo pero con densidad de fuerzas de masa b( x) = b − b = 0, ∀x ∈ Ω , densidad de fuerzas de contacto
r r r r r r
f ( x ) = f − f = 0, ∀x ∈ Γt y un campo de desplazamientos prescritos w(x ) = w − w = 0, ∀x ∈ Γu , debido al principio de
r
superposición, el cual es consecuencia de la hipótesis de linealidad; la terna {T, D, u} es solución de este nuevo problema.
Como para el nuevo problema, la condición cinemática de contorno es homogénea, el campo de desplazamientos solución
de este problema cumple con los requerimientos de la definición de un campo de desplazamientos virtuales, por lo que
r
u ∈ ℑ( u ) .
La ecuación del principio de los trabajos virtuales del nuevo problema, es entonces:
r r
∫
Γt
∫ ∫
0 . u dS + 0 .u dV = T : D dV = 0
Ω Ω

Lo cual implica que:

∫ D : C(D) dV = 0
Ω
Estamos trabajando con un material hiperelástico y para estos materiales ya demostramos que la función C es definida
positiva, por lo que D : C(D) > 0 , y su integral puede ser cero si y solamente si D = 0 y consecuentemente.
r
Además, si D = 0 , u debe ser un movimiento de cuerpo rígido lo cual en la hipótesis de que las condiciones cinemáticas
r
de contorno impidan los movimientos de cuerpo rígido, implica u = 0 .
r r
Luego T1 − T2 = 0, D1 − D 2 = 0, u1 − u 2 = 0 , lo que implica la unicidad de la solución del problema.
Este teorema de unicidad de la solución del problema de valores de contorno mixto es el fundamento de la resolución de
problemas elásticos por el método de los potenciales, porque prueba que una solución encontrada por cualquier método, es
la solución del problema.
Pero es esencial saber cuando este teorema de unicidad puede ser violado de alguna manera, lo cual ocurre cuando no se
cumple alguna de las hipótesis, como por ejemplo:
1) Si la ecuación constitutiva deja de ser definida positiva (ocurre cuando el material plastifica).
2) Si existen tensiones iniciales. En la demostración del teorema supusimos que las tensiones desaparecen cuando el
cuerpo se libera de la acción de fuerzas externas.
3) Si las ecuaciones de equilibrio cambian, porque en ese caso deja de ser válida la ecuación del principio de los trabajos
virtuales. Ésto puede ocurrir de una variedad de maneras, por ejemplo en presencia de grandes deformaciones, si las fuerzas
no son conservativas, si las fuerzas son funcionales de la deformación o de la historia de deformaciones.

4.18 Teorema de reciprocidad de Betti

Notación: r
r r r
Una terna (T, D, u ) que satisfaga las relaciones 2D = ∇u + ∇u t , ∇.T + b = 0 y T = CD para una densidad de fuerzas de
r r
masa b dada la llamaremos «estado elástico correspondiente al campo de fuerzas de masa b ».

10
 Teorema de Betti:
r ~ ~
Dado un cuerpo hiperelástico lineal Ω y dos estados elásticos (T, D, u ) , y (T, D, ~
u ) correspondientes a los campos de
r ~
fuerzas de masa b y b respectivamente, entonces:
r r ~r r ~r
∫
Γ
Tn.~
∫
udS + b.~
Ω
∫
udV = Tn.udS + b.udV
Γ
∫
Ω
Demostración:
De acuerdo con el lema previo al principio de los trabajos virtuales
∇~u + ∇~ut r~ r~ ~
∫ ∫ ∫
r
∫
Tn.~
Γ
∫
udS = (∇.T).~
Ω
udV + T :
∫
Ω
2
dV ⇒ Tn.udS = − b.udV + T : DdV
Γ Ω Ω

r r ~
por lo que
∫
Γ
Tn.~
∫
udS + b.~
Ω
∫
udV = T : DdV
Ω
~r r ~r ~
Análogamente
∫
Γ
∫
Ω
∫
Tn.udS + b.udV = T : DdV
Ω

Aplicando la simetría de la ecuación constitutiva:

~ ~ ~ ~ ~
T : D = CD : D = D : C* D = D : CD = D : T

r r ~r r ~r
∫ ∫ ∫ ∫
~ ~ Tn.~
udS + b.~
Por lo que
∫
Ω
∫
T : DdV = T : DdV y
Ω Γ Ω
udV = Tn.udS + b.udV , lo que demuestra el teorema.
Γ Ω
Observación:
Observamos que el primer término de la ecuación del teorema de Betti es el trabajo hecho por las fuerzas del primer
sistema sobre los desplazamientos del segundo, mientras que el segundo miembro es el trabajo hecho por las fuerzas del
segundo sistema sobre los desplazamientos del primero. Por lo que el teorema puede enunciarse así:
«Si sobre un mismo cuerpo hiperelástico lineal actúan en forma separada dos sistemas de fuerzas, el trabajo hecho por las
fuerzas externas (incluidas las reactivas) del primer sistema sobre los desplazamientos del segundo, es igual al trabajo hecho
por las fuerzas del segundo sistema sobre los desplazamientos del primero.»

4.19 Principio de la mínima energía potencial

r
Sea s = {u , D, T} la solución de un problema de un sólido hiperelástico lineal con condiciones de contorno mixtas, donde
T = C(D) es la ecuación constitutiva del material.
~ ~
Sean ~ u y D un campo de desplazamientos y uno de deformaciones cinemáticamente admisibles. Sea T el campo de
~ ~ ~
tensiones correspondiente al campo de deformaciones cinemáticamente admisible D por lo que T = C( D) . A la terna
{
~s = ~ }
~ ~
u, D, T la llamaremos estado cinemáticamente admisible.
Representaremos por Σ al conjunto de todos los estados cinemáticamente admisibles correspondientes al problema con
condiciones de contorno mixtas considerado. Observemos que el estado s , correspondiente a la solución del problema
también pertenece a Σ .
Sea Π la energía potencial, tal que:
~ r r
∫
Π (~s ) = U(D) − b . ~
Ω
∫
Γ
u dS, ∀ ~s ∈ Σ
u dV − t . ~

Demostraremos que:
~ ~
Π (s) ≤ Π ( s ), ∀ s ∈ Σ
Es decir de todos los estados cinemáticamente admisibles, el estado correspondiente a la solución del problema produce
un mínimo en la energía potencial del sistema.

11
 Demostración:
Restando las energías potenciales correspondientes a un estado cinemáticamente admisible cualquiera y al estado
correspondiente a la solución del problema, se tiene:
~ r r r r
∫
Π (~s ) − Π (s) = U(D) − U(D) − b . (~
Ω
∫
u − u ) dV − t . (~
Γ
u − u ) dS

r
El campo de desplazamientos u = ~ u − u , es la diferencia entre dos campos de desplazamientos cinemáticamente admisibles
y entonces será por la definición dada anteriormente un campo de desplazamientos virtuales.
~
En consecuencia D = D − D será su deformación virtual correspondiente, por lo cual la ecuación del principio de los
trabajos virtuales quedará de la forma:
r r
∫
Ω
∫ ∫
b . u dV + t . u dS = T : D dV
Γ Ω
Por lo que, la diferencia de las energías potenciales se puede escribir como:

∫
Π (~s ) − Π(s) = U(~s ) − U(s) − T : D dV
Ω
A partir de la hipótesis de trabajar con un material hiperelástico lineal es fácil probar que:
~
∫
U(D) − U(D) − T : D dV = U( D)
Ω
~ ~
ya que, por la hipótesis de linealidad D : T = (D + D) : C(D + D) = D : T + D : T + D : T + D : C( D) .
Como sabemos que el tensor correspondiente a un material hiperelástico es simétrico, entonces se cumple que
D : C(D) = D : C(D) = D : T
Sustituyendo este resultado en el último término de la ecuación anterior, e integrando en el volumen se llega a:
~ ~
∫ D : T dV = ∫ D : T dV + ∫ D : T dV + 2 ∫ D : T dV
Ω Ω Ω Ω
Dividiendo entre 2 y usando la fórmula de la energía de deformación se obtiene:
~
∫
U(D) = U(D) + U( D) + D : T dV
Ω
Lo que prueba la fórmula propuesta, luego:
1 1
Π (~s ) − Π(s) = U( D) =
2 ∫
D : T dV =
Ω
2 ∫
D : C( D) dV
Ω
Cuando el material es hiperelástico probamos que C es definida positiva por lo tanto D : C( D ) ≥ 0, ∀ D ≠ 0 ⇒
U ( D ) ≥ 0, ∀ D ≠ 0 .
El signo de igual se verificará si y sólo si D = 0 , y entonces u , será un movimiento de cuerpo rígido, pero suponiendo
que las condiciones cinemáticas de contorno son tales que impiden los movimientos de cuerpo rígido, deberá cumplirse
r r
u=~ u y s = ~s .
u − u = 0 , por lo tanto u = ~
Demostramos entonces que Π (~s ) ≥ Π (s) , cumpliéndose además que Π (~s ) = Π (s) ⇔ ~s = s .

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