La toma de decisiones en un entorno incierto

La última encuesta indica que la tasa de aprobación del presidente es hoy de un 63 por ciento

El 98 por ciento de los pacientes de un estudio clínico no experimentó ningún efecto secundario
significativo con un nuevo medicamento contra el cáncer de mama

Cada vez es más frecuente que para hacer una valoración inteligente de los acontecimientos
actuales, necesitemos asimilar e interpretar una cantidad considerable de datos. La Administración,
las empresas y los investigadores científicos gastan miles de millones de dólares en la recogida de
datos.

La era de la informática nos ha permitido tanto procesar, resumir y analizar rápidamente los datos
como producir y almacenar más datos.

El muestreo
Antes de introducir un nuevo producto en el mercado, su fabricante quiere saber cuál será el nivel
probable de demanda y es posible que realice una encuesta de mercado. Lo que le interesa, en
realidad, son todos los compradores potenciales (la población). Sin embargo, las poblaciones a
menudo son tan grandes que es difícil analizarlas; sería imposible o prohibitivo recoger toda la
información de una población. Incluso en las circunstancias en las que parece que se dispone de
suficientes recursos, las limitaciones de tiempo obligan a examinar un subconjunto (muestra).

Población

Muestra

Ejemplos de poblaciones son:

- Todos los votantes inscritos en un país.

- Todos los estudiantes de una universidad.
- Todas las familias que viven en una ciudad.
- Todas las reclamaciones que recibe en un año dado una compañía de seguros médicos.
- Todas las cuentas pendientes de cobro de una empresa.

Nuestro objetivo final es hacer afirmaciones basadas en datos muestrales que tengan alguna
validez sobre la población en general. Necesitamos, pues, una muestra que sea representativa de
la población. ¿Cómo podemos lograrlo? Uno de los principios importantes que debemos seguir en
el proceso de selección de la muestra es la aleatoriedad.

Muestreo Aleatorio
El muestro aleatorio simple es un método que se emplea para seleccionar una muestra de n objetos
de una población en el que cada miembro de la población se elige estrictamente al azar, cada
miembro de la población se elige con la misma probabilidad y todas las muestras posibles de un
tamaño dado, n, tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.

Ej: Muestras para ver quién es el alcalde una ciudad.

Tomar una muestra es meramente un medio para llegar a un fin. Necesitamos estudiar estadística,
no para hacer afirmaciones sobre la muestra sino, más bien, para extraer conclusiones sobre la
población en general. La estadística es el estudio de cómo se toman decisiones sobre una población
cuando la información procede de una muestra. Siempre quedará alguna incertidumbre.

Supongamos que queremos saber cuál es la edad media de los votantes de un país. Es evidente
que el tamaño de la población es tan grande que sólo podríamos tomar una muestra aleatoria, por
ejemplo, 500 votantes, y calcular su edad media. Como esta media se basa en datos muéstrales, se
llama estadístico. Si pudiéramos calcular la edad media de toda la población, la media resultante
se llamaría parámetro.

Parámetro y estadístico

Un parámetro es una característica específica de una población. Un estadístico es una característica

específica de una muestra.

Ejercicio en clases

1) La universidad ha encuestado a sus estudiantes para averiguar el tiempo semanal medio

que dedican a navegar por Internet.
a) ¿Cuál es la población?
b) ¿Cuál es la muestra?
c) ¿Cuál es el estadístico?
d) ¿Es el valor de 6,1 horas un parámetro o un estadístico?

2) Una compañía aérea sostiene que menos de un 1 por ciento de los vuelos programados
que despegan del aeropuerto de Nueva York sale tarde. Se ha observado que el 1,5 por
ciento de una muestra aleatoria de 200 vuelos salió más tarde de la hora prevista.
a) ¿Cuál es la población?
b) ¿Cuál es la muestra?
c) ¿Cuál es el estadístico?
d) ¿Es 1,5 por ciento un parámetro o un estadístico?

Estadística Descriptiva e Inferencial

La estadística descriptiva está formada por los métodos gráficos y numéricos que se utilizan para
resumir y procesar los datos y transformarlos en información. La estadística inferencial constituye
la base para hacer predicciones, previsiones y estimaciones que se utilizan para transformar la
información en conocimiento.

La estadística descriptiva es la técnica matemática que obtiene, organiza, presenta y describe un

conjunto de datos con el propósito de facilitar el uso, generalmente con el apoyo de tablas y
gráficos.
La estadística inferencial es una parte de la Estadística que comprende los métodos y
procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una
pequeña parte de la misma (muestra). También permite comparar muestras de diferentes
poblaciones.

CLASIFICACIÓN GRÁFICA DE LAS VARIABLES

A menudo el número de observaciones recogidas es tan grande que los resultados efectivos del
estudio no están claros.

El objetivo es resumir los datos de manera que tengamos una imagen clara y precisa. Queremos
reducir lo más posible una masa de datos, evitando al mismo tiempo la posibilidad de ocultar
características importantes por reducirlos excesivamente. Se ha dicho que una imagen vale más que
mil palabras. Asimismo, un gráfico vale más que mil cifras.

Las tablas y gráficos: Distribuciones de frecuencia, gráficos de barras, gráficos de tarta, diagramas
de Pareto, gráficos de series temporales, histogramas, diagramas de tallo y hojas u ojivas.

Clasificación de las variables

Uno de los métodos de clasificación se refiere al tipo y la cantidad de información que contienen los
datos. Los datos son categóricos o numéricos. Otro método consiste en clasificar los datos por
niveles de medición, dando variables cualitativas o cuantitativas.

Las variables categóricas producen respuestas que pertenecen a grupos o categorías. Por ejemplo:

- las respuestas a preguntas sí/no son categóricas.

- Las respuestas a «¿Tiene usted teléfono móvil?»
- ¿Ha estado alguna vez en Quito?» se limitan a un sí o un no.
- Otros ejemplos de variables categóricas son las preguntas sobre el sexo, el estado civil y la
carrera universitaria. A veces, las variables categóricas permiten elegir entre varias
opciones, que pueden ir desde «totalmente en desacuerdo» hasta «totalmente de
acuerdo». Consideremos, por ejemplo, una evaluación del profesorado en la que los
estudiantes tienen que responder a afirmaciones como «El profesor de este curso es un
buen profesor» (1: totalmente en desacuerdo; 2: un poco en desacuerdo; 3: ni de acuerdo
ni en desacuerdo; 4: un poco de acuerdo; 5: totalmente de acuerdo).
- Las variables numéricas pueden ser variables discretas o variables continuas. Una variable
numérica discreta puede tener (pero no necesariamente) un número finito de valores. es
una variable que no puede tomar algunos valores dentro de un mínimo conjunto
numerable, quiere decir, no acepta cualquier valor, únicamente aquellos que pertenecen al
conjunto. Ejemplos de variables numéricas discretas son el número de estudiantes
matriculados en una clase, el número de créditos universitarios obtenidos por un estudiante
al final de un cuatrimestre, el número de acciones de Microsoft que contiene la cartera de
un inversor, el número de animales en una granja, el número de hijos en una familia.
- Una variable numérica continua puede tomar cualquier valor de un intervalo dado de
números reales y normalmente proviene de un proceso de medición (no de recuento).
 Ejemplos de variables numéricas continuas son la altura, el peso, el tiempo, la distancia y la
temperatura. Una persona puede decir que mide 1,89 metros, pero en realidad puede tener
una estatura de 1,81, 1,79 o algún otro número similar, dependiendo de la precisión del
instrumento utilizado para medir la estatura. Otros ejemplos de variables numéricas
continuas son el peso de las cajas de cereales, el tiempo que se hace una persona en una
carrera y la distancia entre dos ciudades.

Niveles de Medición

- También podemos dividir los datos en cualitativos y cuantitativos.

- Los datos cualitativos pueden ser niveles de medición nominales y ordinales. Los datos
cuantitativos pueden ser niveles de medición basados en intervalos y en razones.
- Escala Ordinal: Una variable pertenece a esta categoría sólo si satisface la propiedad de
ordenamiento natural (ascendente o descendente). ejemplo los sistemas de calificación
por letras (A,B,C) o los niveles de ingresos alto, medio y bajo.
- Escala Nominal: Estas variables no tienen ninguna propiedad de las variables de escala de
razón. estas variables son: Las variables como el género (masculino y femenino) y estado
civil (casado, soltero, divorciado, separado), simplemente denotan categorías.
- Escala de razón: cumple 3 propiedades. Es decir, puede tomar la razón x1/x2 y la distancia
(x2-x1) y tiene un ordenamiento natural (ascendente o descendente), por ejemplo, el
ingreso personal.
- Escala de Intervalo: puede tomar la distancia (x2-x1) y tiene un ordenamiento natural
(ascendente o descendente), pero no puede tomar la razón x1/x2. ej: la temperatura, ya
que esta no se mide en escala de razón pues no tiene sentido decir que en Machala hizo
50% más calor que en Guayaquil.

Ejercicio en clases

1) Indique si cada una de las siguientes variables es categórica o numérica. Si es categórica,

indique el nivel de medición. Si es numérica, ¿es discreta o continua?
- a) Número de mensajes de correo electrónico enviados diariamente por un planificador
financiero.
- b) Coste efectivo de los libros de texto de un estudiante para un cuatrimestre.
- c) Su factura mensual de electricidad.
- d) Las categorías de profesores universitarios (profesor, profesor asociado, profesor
ayudante, profesor colaborador).
2) La oficina de relaciones públicas de un equipo de baloncesto profesional quiere
información sobre los aficionados que acuden a los partidos después de la temporada.
En los partidos que se celebran después de la temporada, se entrega a la entrada un
cuestionario a cada aficionado. ¿Es la respuesta a cada una de las siguientes preguntas
categórica o numérica? Si es categórica, indique el nivel de medición. Si es numérica, ¿es
discreta o continua?
- a) ¿Tiene usted una entrada de temporada?
- b) ¿Vive en el condado de Orange?
- c) ¿Cuánto le costó realmente la entrada para este partido de después de temporada?
 3) En una facultad universitaria se ha repartido un cuestionario entre los estudiantes para
averiguar su grado de satisfacción con diversas actividades y servicios. Por ejemplo, por
lo que se refiere al «método de matriculación para las clases del próximo cuatrimestre»,
se pide a los estudiantes que pongan una cruz en una de las casillas siguientes:
- Muy satisfecho
- Moderadamente satisfecho
- Neutral
- Moderadamente insatisfecho
- Muy insatisfecho
¿Es la respuesta de un estudiante a esta pregunta numérica o categórica? Si es numérica,
¿es discreta o continua? Si es categórica, indique el nivel de medición.
4) En una encuesta reciente se pidió al profesorado de una universidad que respondiera a
una serie de preguntas. Indique el tipo de datos de cada pregunta.
- a) Indique su nivel de satisfacción con la carga docente (muy satisfecho;
moderadamente satisfecho; neutral; moderadamente insatisfecho; muy insatisfecho).
- b) ¿Cuántos artículos ha publicado en revistas con evaluación anónima durante el último
año?
- c) ¿Ha asistido a la última reunión del consejo de departamento?
- d) ¿Cree usted que el proceso de evaluación de la docencia debe revisarse?

Gráfico para describir variables categóricas

Las variables categóricas pueden describirse utilizando tablas de distribución de frecuencias y

gráficos como gráficos de barras, gráficos de tarta. Estos gráficos son utilizados habitualmente por
los directivos y los analistas de mercado para describir los datos procedentes de encuestas y de
cuestionarios.

Distribución de frecuencias

Una distribución de frecuencias es una tabla utilizada para organizar datos. La columna de la
izquierda (llamada clases o grupos) contiene todas las respuestas posibles sobre una variable
estudiada. La columna de la derecha es una lista de las frecuencias o número de observaciones
correspondientes a cada clase.

Estado_civil
Porcentaje Porcentaje
Frecuencia Porcentaje válido acumulado
Válido casado 18 40.9 40.9 40.9
soltero 14 31.8 31.8 72.7
divorciado 12 27.3 27.3 100.0
Total 44 100.0 100.0
 Rango de edad
Porcentaje Porcentaje
Frecuencia Porcentaje válido acumulado
Válido Entre 18 y 25 15 34.9 34.9 34.9
Entre 26 y 35 18 41.9 41.9 76.7
mayores a 35 10 23.3 23.3 100.0
Total 43 100.0 100.0

Gráfico de barras

Los gráficos de barras y los gráficos de tarta se utilizan normalmente para describir datos
categóricos. Si nuestro objetivo es llamar la atención sobre la frecuencia de cada categoría, lo más
probable es que tracemos un gráfico de barras. Si es hacer hincapié en la proporción de cada
categoría, es probable que elijamos un gráfico de tarta.

Gráfico de Torta
Ejercicio en clases

Los gastos de viaje de una empresa son:

Se ha pedido a los empleados que indiquen su grado de satisfacción con el seguro médico actual.
Éstas son las respuestas de una muestra aleatoria de empleados:
Gráfico de series temporales

Un gráfico de series temporales representa una serie de datos en varios intervalos de tiempo.
Midiendo el tiempo en el eje de abscisas y la cantidad numérica que interesa en el de ordenadas se
obtiene un punto en el gráfico por cada observación. Uniendo los puntos contiguos en el tiempo por
medio de líneas rectas se obtiene un gráfico de series temporales.

Pareto
 Medidas de tendencia central
A menudo podemos averiguar si los datos tienden a estar centrados o a agruparse en torno a algún
valor construyendo un histograma. Las medidas de la tendencia central suministran información
numérica sobre una observación «típica» de los datos.

Media, mediana, moda

Un parámetro se refiere a una característica poblacional específica; un estadístico se refiere a una

característica muestral específica. Las medidas de la tendencia central normalmente se calculan a
partir de datos muestrales más que a partir de datos poblacionales.
Para localizar la mediana, debemos reordenar los datos en sentido ascendente o descendente.

Ejemplo:

a) 45, 53, 45, 50, 48

b) 45, 45, 48, 50, 53, 53

¿Cuál es la mejor medida para describir la tendencia central de los datos: la media, la mediana o la
moda? Depende del contexto. Uno de los factores que influyen en la decisión es el tipo de datos,
categóricos o numéricos. La media generalmente es la medida preferida para describir datos
numéricos, pero no datos categóricos. Si una persona está totalmente de acuerdo con una
afirmación (código 5) y otra está totalmente en desacuerdo (código 1), ¿es la media «ninguna
opinión»? Por poner otro ejemplo, supongamos que un comité está formado por dos hombres (cada
uno responde 1) y tres mujeres (cada una responde 2). La media aritmética [(1!1!2!2!2)/5%1,6] no
tiene sentido. Pero la moda de 2 indica que hay más mujeres que hombres en este comité. Es
evidente que los datos categóricos se describen mejor por medio de la moda o de la mediana. Quizá
el uso más obvio de la mediana y la moda sea el de los fabricantes que producen bienes, como
prendas de vestir, de varias tallas. La talla de los artículos que se venden más a menudo, la moda,
es, pues, la más demandada. Saber que la talla media de las camisas de los hombres europeos es
41,13 o que el número medio del calzado de las mujeres estadounidenses es 8,24 no sirve de nada,
pero saber que la talla modal de las camisas es 40 o que el número modal del calzado es 7 es valioso
para tomar decisiones sobre las existencias. Sin embargo, la moda puede no representar el
verdadero centro de los datos numéricos. Por este motivo, se utiliza menos que la media o la
mediana en las aplicaciones empresariales.

Ejercicio en clases

1) En una muestra aleatoria de 5 semanas se observó que una agencia de cruceros recibía el
siguiente número de programas semanales especiales de cruceros al Caribe:
20 73 75 80 82
a) Calcule la media, la mediana y la moda.
b) ¿Qué medida de la tendencia central describe mejor los datos?
2) El director de unos grandes almacenes tiene interés en saber cuántas reclamaciones recibe
el departamento de atención al cliente sobre la calidad de los aparatos eléctricos que
venden los almacenes. Los registros de un periodo de 5 semanas muestran el siguiente
número de reclamaciones semanales:
13 15 8 16 8
a) Calcule el número medio de reclamaciones semanales.
b) Calcule el número mediano de reclamaciones semanales.
c) Halle la moda.

Medidas de la Variabilidad

La media no es por sí sola una descripción completa o suficiente de los datos. Existen
números descriptivos que miden la variabilidad o dispersión de las observaciones con
respecto a la media. En concreto, incluimos la varianza, la desviación típica y el coeficiente
de variación.
No existen dos cosas exactamente iguales. Éste es uno de los principios básicos del control
de calidad estadístico. En todas las áreas hay variaciones. En los deportes, el jugador estrella
de baloncesto puede anotar cinco canastas de 3 puntos en un partido y ninguna en el
siguiente o puede jugar 40 minutos en un partido y sólo 24 en el siguiente. La variación es
obvia en el sector de la música; el tiempo meteorológico varía mucho de un día a otro e
incluso de una hora a otra; las calificaciones de un examen varían de unos alumnos a otros
dentro de un mismo curso con un mismo profesor; la presión sanguínea, el pulso, el nivel
de colesterol y la ingesta de calorías de una persona varían diariamente. Aunque dos
conjuntos de datos tuvieran la misma media, las observaciones individuales de uno de ellos
podrían variar con respecto a la media más que las del segundo.
Consideremos los dos conjuntos siguientes de datos muestrales:
Muestra A 1 2 1 36
Muestra B 8 9 10 13
Aunque la media es 10 en ambas muestras, es evidente que los datos de la muestra A están
más alejados de 10 que los de la muestra B. Necesitamos números descriptivos para medir
esta dispersión.

Varianza y desviación típica

La desviación típica, que es la raíz cuadrada de la varianza, hace que los datos vuelvan a su
unidad original de medición. Si las mediciones originales estuvieran en pies, la varianza
estaría en pies cuadrados, pero la desviación típica estaría en pies. La desviación típica mide
la dispersión media en torno a la media.
Coeficiente de Variación

El coeficiente de variación expresa la desviación típica en porcentaje de la media.

Si se comparan las desviaciones típicas de las ventas de los grandes y los pequeños almacenes que
venden bienes similares, la desviación típica de los grandes almacenes casi siempre será mayor. Una
sencilla explicación es que los grandes almacenes pueden concebirse como un conjunto de
pequeños almacenes. La comparación de la variación utilizando la desviación típica sería engañosa.
El coeficiente de variación resuelve este problema teniendo en cuenta la escala en la que se miden
las unidades poblacionales.

Media Ponderada y medidas de datos agrupados

Algunas situaciones requieren un tipo especial de media llamado media ponderada.

Medidas de las relaciones entre Variables

Introducimos la covarianza y la correlación, que permiten describir numéricamente una relación

lineal. La covarianza es una media del sentido de una relación lineal entre dos variables.
El coeficiente de correlación muestral nos da una medida estandarizada de la relación lineal entre
dos variables. Generalmente es una medida más útil, ya que indica tanto el sentido como el grado
de relación. La covarianza y el coeficiente de correlación correspondiente tienen el mismo signo
(ambos son positivos o ambos son negativos).

El coeficiente de correlación va de -1 +1. Cuanto más cerca se encuentra r de +1, más cerca se
encuentran los datos de puntos de una línea recta ascendente que indica una relación lineal positiva.
Cuanto más cerca se encuentra r de -1, más cerca se encuentran los datos de puntos de una línea
recta descendente que indica una relación lineal negativa. Cuando r%0, no existe ninguna relación
lineal entre x e y, pero eso no quiere decir necesariamente que no exista ninguna relación.

Probabilidad

Un hospital sabe por experiencia que los sábados por la tarde se registra una media de 1,0 ingresos
por hora en la sala de urgencias. La sala de urgencias tiene tres salas de cuidados intensivos. Si se
mantiene esta pauta en el futuro, al hospital le gustaría saber cuál es la probabilidad de que sean
ingresadas más de tres personas en la sala de urgencias en cualquier hora. Si la probabilidad de que
ocurra ese suceso es alta, el hospital necesitará abrir más salas de cuidados intensivos para
satisfacer la demanda de los pacientes. Pero si la probabilidad de que haya más de tres ingresos es
baja, las caras instalaciones de cuidados intensivos estarán vacías la mayor parte del tiempo, por lo
que sería mejor utilizar los recursos para otros fines médicos. Las probabilidades de que ocurran
estos sucesos son, pues, muy importantes para decidir el número de salas que deben crearse.
Mostraremos cómo se utilizan modelos de probabilidad para estudiar la variación de los datos
observados de manera que puedan hacerse inferencias sobre el proceso subyacente.

Para el directivo, la probabilidad de que ocurra un suceso en el futuro presenta un nivel de

conocimiento. El directivo podría saber con certeza que el suceso ocurrirá; por ejemplo, habrá un
contrato legal. O podría no saber si ocurrirá; por ejemplo, el suceso podría ocurrir o no como parte
de una nueva oportunidad empresarial. En la mayoría de las situaciones empresariales, no podemos
estar seguros de que ocurrirá un suceso en el futuro, pero si se conoce la probabilidad de que ocurra,
tenemos más probabilidades de tomar la mejor decisión posible, en comparación con la situación
en la que no conocemos la ocurrencia probable del suceso. Las decisiones y las políticas
empresariales a menudo se basan en un conjunto implícito o supuesto de probabilidades.

Experimento Aleatorio

Un experimento aleatorio es un proceso que tiene dos o más resultados posibles y existe
incertidumbre sobre el resultado que se obtendrá.

Ejemplos de experimentos aleatorios:

1. Se lanza una moneda al aire y el resultado puede ser cara o cruz.

2. En una hora se ingresa en la sala de urgencias de un hospital un cierto número de personas.
3. Un cliente entra en una tienda y compra una camisa o no la compra.
4. Se lanza al aire un dado de seis lados.

En cada uno de los experimentos aleatorios citados podemos especificar los resultados posibles,
que denominamos resultados básicos. Por ejemplo, un cliente compra o no una camisa.

Espacio Muestral

Los resultados posibles de un experimento aleatorio se llaman resultados básicos y el conjunto de

todos los resultados básicos se llama espacio muestral y se representa por medio del símbolo S.

Los resultados básicos deben definirse de tal forma que no puedan ocurrir simultáneamente dos
resultados. Además, el experimento aleatorio debe llevar necesariamente a la ocurrencia de uno de
los resultados básicos.
En muchos casos, nos interesa un subconjunto de los resultados básicos y no los resultados por
separado. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de un dado al aire, podría interesarnos saber si
el resultado es par, es decir, 2, 4 o 6.

Suceso

Un suceso, E, es cualquier subconjunto de resultados básicos del espacio muestral. Un suceso ocurre
si el experimento aleatorio genera uno de los resultados básicos que lo constituyen. El suceso nulo
representa la ausencia de un resultado básico.

En algunas aplicaciones, nos interesa la ocurrencia simultánea de dos o más sucesos. Por ejemplo,
si se lanza un dado al aire, dos sucesos que podrían considerarse son «el número resultante es par»
y «el número resultante es como mínimo un 4». Una posibilidad es que ocurran todos los sucesos
de interés. Ocurrirán si el resultado básico del experimento aleatorio pertenece a todos estos
sucesos. El conjunto de resultados básicos que pertenecen a todos los sucesos de un grupo de
sucesos se denomina intersección de estos sucesos. La intersección de los sucesos «el número
resultante es par» y «el número resultante es como mínimo un 4» sería que las caras del dado sean
iguales a 4 o a 6.
Interacción de Sucesos

Es posible que la intersección de dos sucesos sea el conjunto vacío.

Mutuamente excluyentes

Probabilidad Clásica

Estamos ya en condiciones de utilizar el lenguaje y los conceptos desarrollados en el apartado

anterior para averiguar cómo se halla una probabilidad efectiva de que ocurra un proceso.
Supongamos que se realiza un experimento aleatorio y que queremos averiguar la probabilidad de
que ocurra un determinado suceso. La probabilidad se mide en una escala de 0 a 1. Una probabilidad
de 0 indica que el suceso no ocurrirá y una probabilidad de 1 indica que el suceso es seguro que
ocurra. Ninguno de estos dos extremos es habitual en los problemas aplicados. Por lo tanto, nos
interesa asignar probabilidades comprendidas entre 0 y 1 a los sucesos inciertos. Para ello, es
necesario utilizar toda la información de que podamos disponer. Por ejemplo, si las rentas son altas,
será más frecuente que se vendan automóviles de lujo. Un director de ventas con experiencia puede
ser capaz de saber qué probabilidad tienen las ventas de ser superiores al nivel de rentabilidad que
se ha fijado la empresa como objetivo. En este apartado examinamos tres definiciones de
probabilidad:

1. Probabilidad clásica.

2. Frecuencia relativa.

3. Probabilidad subjetiva.

Probabilidad Clásica
 Una caja contiene 2 bolas rojas, 3 negras, 4 azules, y 6 blancas. Cual es la probabilidad de
seleccionar:

a) Una bola blanca

b) Una bola azul
c) Una bola roja o negra

P(x) = al número de resultados favorables a x / S(espacio muestral)

a) P(a) = 6/15 = 0.4

b) P(b) = 4/15 = 0.2666
c) P(c) = 5/15 = 0.33