2 Bach-Mat2-T5-Puntos Rectas y Planos-Ejerc-Resuelt-16-17 PDF
2 Bach-Mat2-T5-Puntos Rectas y Planos-Ejerc-Resuelt-16-17 PDF
2 Bach-Mat2-T5-Puntos Rectas y Planos-Ejerc-Resuelt-16-17 PDF
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 a 3. Ejercicios resueltos.
4. Indica qué tipo de elemento geométrico (curva, recta, plano o superficie) representan, en cada caso, las
siguientes ecuaciones. Indica su dimensión y calcula las coordenadas de uno de sus puntos.
x t x 2 s x t s
a) y t2 b) y s 1 c) y t
z 0 z s z s
5. Representa los puntos del espacio de tres dimensiones A 2,2, 3 y B 1,2,1 tomando O , i , j , k como
referencia.
AF AB AE F 1,0,1
AG AC CG AB BC CG AB AD AE G 1,1,1
AC AB BC AB AD C 1,1,0
1 1 1
AM AC CM AC CG AB BC AE M 1,1,
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
AN AM MN AC CG AD AB AD AE AD AB AD AE N 1, ,
2 2 2 2 2 2 2 2
9. Las coordenadas de un vector son 4,0, 2 y las de su origen 3,2, 1 . Calcula las coordenadas de su
extremo.
b1 3 4 b1 1
b2 2 0 b2 2 B 1,2,, 3
b3 1 2 b3 3
10. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de vértices A 2,2, 1 , B 1,3,2
y C 0, 2, 4 .
Aplicando la fórmula para el cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento:
2 1 2 3 1 2 1 5 1
M punto medio de AB M , , M , ,
2 2 2 2 2 2
2 0 2 2 1 4 3
N punto medio de AC N , , N 1,0,
2 2 2 2
1 0 3 2 2 4 1 1
P punto medio de BC P , , P , ,3
2 2 2 2 2
4
a) Calcula las coordenadas del punto M tal que AM AB .
3
2
b) Calcula las coordenadas del punto N tal que AN AB .
3
4 4
a) M m1, m2 , m3 , AM AB m1 5, m2 4, m3 2 3, 3,0 4, 4,0
3 3
2 2
b) N n1, n2 , n3 , AN AB n1 5, n2 4, n3 2 3, 3,0 2, 2,0
3 3
x 1 2
Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P y tiene como vector director v : r : y 1
z 1 3
1
3 1 2
A 3,1,3 1 1 1 1 A r
3 1 3 4
3
3 1 2 2
B 3,1,5 1 1 1 1 B r
5 1 3 2
1 1 2
C 1, 1,2 1 1 C r
2 1 3
Dos puntos de esta recta se obtienen sustituyendo por dos valores distintos:
0 P1 1,1, 1 1 P2 3,1, 4
14. Considera la recta que pasa por el punto S 1, 2,5 y lleva la dirección del vector v 2,2,0 .
x 1 2
a) Ecuación vectorial: p 1, 2,5 2,2,0 b) Ecuaciones paramétricas: y 2 2
z 5
18. Calcula, en cada caso, unas ecuaciones implícitas de la recta que cumple las siguientes condiciones:
a) Pasa por el punto A 1,1,3 y lleva la dirección del vector u 1, 2, 4 .
x 1
x 1 y 1 z 3 2x 2 y 1 2x y 3 0
a) r : y 1 2 r:
1 2 4 4x 4 z 3 4x z 1 0
z 3 4
x 1
x 1 y 2 z 4x 4 y 2 4x y 2 0
b) r : y 2 4 r:
1 4 1 x 1 z x z 1 0
z
x 2
x 2 y 2 z 3 x 2
c) r : y 2 r:
0 1 0 z 3
z 3
x 1
x 1 y 1 z 1 2x 2 y 1 2x y 1 0
AB : y 1 2 AB :
1 2 1 x 1 z 1 x z 2 0
z 1
x 1
x 1 y 1 z 1 3x 3 0 x 1 0
AC : y 1 3 AC :
0 3 4 4 y 4 3z 3 4y 3z 1 0
z 1 4
x
x y 1 z 2 x y 1 x y 1 0
BC : y 1 BC :
1 1 5 5x z 2 5x z 2 0
z 2 5
20. Para cada una de las siguientes rectas, calcula dos puntos de ella y halla unas ecuaciones paramétricas:
x y 0 3 x 2y z 0
a) r : b) s :
2x y z 0 x y z 3 0
x
x y 0
a) r : y . Dos puntos de r: A 0,0,0 , B 1, 1, 3 .
2x y z 0
z 3
x
3 x 2y z 0
b) s : y 4 3 . Dos puntos de s: A 1,1,1 , B 0, 3,6 .
x y z 3 0
z 6 5
x y
21. Dada la recta r : :
x z 0
a) Calcula dos puntos de ella y los simétricos de ellos respecto del origen de coordenadas.
b) Calcula la recta simétrica de r respecto del origen de coordenadas.
1 a 1 b 1 c
0; 0; 0 A' 1, 1,1
2 2 2
b) La recta simétrica de r respecto de O es ella misma porque pasa por O.
x 1
: y
z 2
1 3
A 3, 2, 2 2 1, 3 . Compatible A .
2 2
1 1
1 1
B 1,0,1 0 , . Compatible B .
2 2
2 1
1 2
C 2,1, 1 1 Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene 1 3. Incompatible C .
2 1
26. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano que pasa por A 2,2, 2 y tiene como
vectores de dirección u 3, 2,1 y AB , donde B 1,2, 1 .
x 2 3
y 2 2
z 2 3
1 3 x 2
0 2 y 2 0 2z 4 9y 18 6x 12 y 2 0 : 3x 5y z 6 0
3 1 z 2
27. Calcula unas ecuaciones paramétricas del plano de ecuación implícita x y z 3 e indica uno de sus
puntos y dos vectores de dirección independientes.
x
Haciendo x , y : y
z 3
x 2 x s
: y ': y t s
z 2 z 4 2t s
s 2
A 2,0,2 t s 0 t 2, s 2 . Compatible A '.
4 2t s 2
s 3
B 3, 1,3 t s 1 t 2, s 3 . Compatible B '.
4 2t s 3
s 3
C 3,0,1 t s 0 t 3, s 3 . Compatible C '.
4 2t s 1
33. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A 2, 2,1 , B 1, 2, 1 y C 0, 1,2 .
1 2 x 2
0 1 y 2 0 z 1 4y 8 2x 4 y 2 0 : 2x 5y z 7 0
2 1 z 1
a) z 2 b) y 2 c) x 0
2 2 x 2
ABC : 3 0 y 0 15 x 30 10y 6z 0 ABC : 15 x 10y 6z 30 0
0 5 z
x 0, y 0 z 0 O 0,0,0 x 0, y 1 2 z 0 z 2 A 0,1, 2
1 1
37. Halla un vector director y otro normal del plano que pasa por los puntos A 1,2, y B , 1,0 , y por
3 2
el origen de coordenadas.
1
1 x
2 1 1
La ecuación del plano es 2 1 y 0 z y x z 0 : 2x y 0.
1 6 3
0 z
3
1
Un vector director es el OA 1,2, paralelo a 3,6,1 .
3
38. Un plano tiene como vector normal el n 2, 3,2 y pasa por el punto A 1,2, 5 . Escribe su ecuación
normal, su ecuación implícita y sus ecuaciones paramétricas.
Ecuación normal: 2 x 1 3 y 2 2 z 5 0
Ecuación implícita: 2 x 3y 2z 18 0
Ecuaciones paramétricas: y
3
z 9
2
x 1
x 1 y 2 z y 2
r: y 2
1 0 1 x z 1
z
x y
40. Halla el plano perpendicular a la recta z y que pasa por el origen de coordenadas.
2 1
El vector 2,1,1 es de dirección de la recta y, por tanto, normal del plano. En consecuencia, la ecuación del plano
será : 2x y z 0.
43. Estudia la posición relativa de los planos y ' en los siguientes casos.
a) : 2x y z 0 ' : 6x 3y 3z 3 0 b) : 2x y z 0 ' : 2x y z 3 0
2 1 1 2 1 1 0
a) M y M' . rg M 1, rg M ' 2 Los planos son paralelos.
6 3 3 6 3 3 3
2 1 1
b) M M' rg M 2, rg M ' 2 Los planos se cortan en una recta.
2 1 1
b) :x y 3z 1 ' : 2x 2y 6z 2 '' : x y z 0
c) :x y 2z 1 ' : 2x 3y z 15 '' : x z 4
1 3 2 1 3 2 2
a) M 2 6 4 y M' 2 6 4 1 . rg M 1 rg M ' 2 El sistema es incompatible y los tres
3 9 6 3 9 6 6
planos tienen el mismo vector normal. Además el primer y tercer plano son coincidentes. Por tanto, dos planos
son coincidentes y el otro es paralelo a ellos.
1 1 3 1 1 3 1
b) M 2 2 6 y M' 2 2 6 2 . rg M 2 rg M ' 2 El sistema es compatible
1 1 1 1 1 1 0
indeterminado con un parámetro. Además, los dos primeros planos son coincidentes. Se trata, por tanto, de
dos planos coincidentes y otro que los corta.
1 1 2 1 1 2 1
c) M 2 3 1 y M' 2 3 1 15 . rg M 3 rg M ' 3 El sistema es compatible determinado.
1 0 1 1 0 1 4
Los planos forman triedro. Para hallar el punto común P a los tres planos, se resuelve el sistema:
1 1 2 1 1 2 1 1 1
15 3 1 2 15 1 2 3 15
4 0 1 40 1 4 1 64 1 0 4 8
x 5; y 8; y 1. Luego P 5, 8,1 .
8 8 8 8 8 8
x 2 3
a) r : y 2 : 3x y 2z 1 0
z 2 4
x 2t 3
b) r : y t 1 : x 3y z 8 0
z t 2
1 7 2 14
a) 3 2 3 2 2 2 4 1 0 15 3 0 . Se cortan en el punto P , .
5 5 5 5
y z 2
48. Estudia la posición relativa de la recta r : y el plano :x 2y z 2 0.
x 3y 7 0
x 1 3
Unas posibles ecuaciones paramétricas de la recta son y 2 .
z
2x y 0
49. Calcula el valor de k para que la recta r : esté contenida en el plano x y z 1 0.
x z k
x
Unas posibles ecuaciones paramétricas de la recta son y 2 .
z k
x y z 1 2 k 1 0 0 k 1 k 1
x 1 x 2 2 x 1 x 3
a) r : y 2 s: y 1 b) r : y 2 s: y 2 4
z 3 z 1 3 z 2 3 z 1
1 2 1 2 3
Se calcula el rango de las matrices M 1 1 y M' 1 1 1 . Como rg M 2; rg M ' 3 Las
3 3 3 3 1
rectas se cruzan.
b) Punto de r: A 1,0,2 ; vector de r: u 1,2,3 . Punto de s: B 0, 2,1 ; vector de s: v 3,4,0 .
1 3 1 3 1
Se calcula el rango de las matrices M 2 4 y M' 2 4 2 . Como rg M 2; rg M ' 3 Las rectas
3 0 3 0 1
se cruzan.
x 2 2
2x y z 1 x y z 2 x 2y 2z 3
a) r : s: y 1 b) r : s:
x 2y 0 2x z 3 2x 3y 0
z 1 5
4 4 1 1 5 1 0 7
a) No hay ningún punto en común a las dos rectas.
2 2 2 2 0 0 0
Además, tienen el mismo vector de dirección 2,1,5 , por lo que las rectas son paralelas.
3 1
Puntos de s: C 3,2, 2 y D 0,0, Vector de s: v 3, 2,
2 2
2 3 2 3 1
Se calcula el rango de M 2 2 y M' 2 2 1 . Como rg M 2 3 rg M ' Las rectas se
1 1
4 4 3
2 2
cruzan.
a) Se debe calcular un vector de dirección de la recta. Para ello, se obtienen dos puntos de ella:
A 0,0,0 y B 2,2,1 u AB 2,2,1
x 1 y 2 z 3
El haz de rectas paralelas a r viene dado por la expresión:
2 2 1
x 1 y 4 z
b) , con 1, 2 y 3 no nulos los tres a la vez.
1 2 3
b) Que tienen como vector normal el n 1,2, 3 d) Paralelos al plano coordenado XZ.
a) 3 x 3 y z 0 , con
b) x 2y 3z 0 , con
d) y 0 , con
58. Escribe la ecuación del haz de planos que contiene a la recta que pasa por los puntos A 1, 1,3 y
B 0,2, 1 .
x 1 y 1 z 3 3x 3 y 1 3x y 2 0
1 3 4 4x 4 z 3 4x z 1 0
3x y 2 4x z 1 0 , con añadiendo 4 x z 1 0
59. Escribe la ecuación del haz de planos que contiene a la recta de ecuaciones paramétricas:
x 1 t
r: y 2 t
z 2 2t
x 1 y 2 z 2 x 1 y 2 x y 3 0
Las ecuaciones en forma continua de AB son:
1 1 2 2x 2 z 2 2x z 0
60. Comprueba que todos los planos que tienen por ecuación : 2 x y z 1 0 , siendo cualquier
número real, contienen una misma recta. Escribe la ecuación de dicha recta.
2 x y z 1 0 2x x y z 1 0 2x y 1 x z 0
2x y 1 0
Por tanto, todos los planos de esta forma contienen a la recta r :
x z 0
63. Calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano : 2x 2y 3z 6 y que pasa por el punto
A 2,3, 4 .
La recta buscada r tiene como vector de dirección a n 2,2, 3 normal del plano y pasa por A 2,3,4 .
x 2 2
x 2 y 3 z 4 x y 5 0
Por tanto, r : y 3 2
2 2 3 3 x 2z 2 0
z 4 3
El plano buscado tiene como vectores de dirección u 1, 1,2 de la recta r y el normal n 1, 1,3 del plano .
1 1 x 1
Además, pasa por el punto 1,2,3 de la recta r. Plano buscado: ': 1 1 y 2 0 x y 3 0
2 3 z 3
1 2 x 1
AB 1,1, 2 ; AC 2,1,1 1 1 y 1 0 0 3 x 3y 3z 9 0 :x y z 3
2 1 z 1
x 2y 3z 6
66. Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta r : y al punto A 2,2, 2 .
y z
7
x 2y 3z 6 y z 0 2 4 6 6 2 2 0
2
7
x 2y 3z 6 y z 0 : 2x 3y z 12 0
2
EJERCICIOS
Coordenadas de un vector
77. Para cada uno de los siguientes casos calcula las coordenadas del vector de origen el punto A y de
extremo el punto B.
1 2 3
a) A 2,0, 3 ; B 0,3, 5 b) A , 2, ; B 1, ,2
2 2 5
3 13
a) AB 2,3, 2 b) AB , ,1
2 5
78. Del vector PQ 2,0,3 se sabe que el origen tiene coordenadas P 1, 2,3 . Calcula las coordenadas del
extremo Q.
OP OQ QP OQ PQ 2, 3, 4 4, 1,2 2, 2, 6 P 2, 2, 6
División de un segmento
80. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A y B para cada uno de los siguientes
casos.
1 4 2
a) A 3,2, 3 ; B 1, 2,1 b) A , 3, ;B 2, ,2 c) A 5,3, 2 ; B 10,2, 7
3 3 3
5 7 1 15 5 9
a) M 1,0, 1 b) M , , c) M , ,
6 6 3 2 2 2
81. Calcula las coordenadas de dos puntos A y B que dividan al segmento de extremos P 2,2, 1 y
Q 5, 4, 7 en tres segmentos de la misma longitud.
PQ 3PA 3, 6, 6 3 a1 2, a2 2, a3 1 a1 3, a2 0, a3 3 A 3,0, 3
3 3
PQ PB 3, 6, 6 b1 2, b2 2, b3 1 b1 3, b2 2, b3 5 B 4, 2, 5
2 2
1 2
82. Calcula las coordenadas de tres puntos A, B y C que dividan al segmento de extremos P 1, , y
2 3
3 2
Q 3, , en cuatro segmentos de la misma longitud.
2 3
4 1 2 3 1 3 1
PQ 4PA 4,1, 4 a1 1,a2 ,a3 a1 0, a2 , a3 A 0, ,
3 2 3 4 3 4 3
4 1 2
PQ 2PB 4,1, 2 b1 1, b2 ,b3 b1 1, b2 1, b3 0 B 1,1,0
3 2 3
4 4 4 1 2 5 1 5 1
PQ PC 4,1, c1 1,c2 ,c3 c1 2, c2 , c3 C 2, ,
3 3 3 2 3 4 3 4 3
a) Calcula las coordenadas del punto C de forma que B sea el punto medio del segmento AC.
b) Calcula las coordenadas de dos puntos P y Q pertenecientes al segmento AB y tales que dividan a este
segmento en tres segmentos de igual longitud.
b) AB 3 AP 3, 3,9 3 p1 2, p2 1, p3 1 p1 3, p2 0, p3 2 P 3,0,2
3 3
AB AQ 3, 3,9 q1 2,q2 1, q3 1 q1 4, q2 1, q3 5 Q 4, 1,5
2 2
2 1 1 1
c) Que pasa por el punto A , 2, y lleva la dirección del vector u ,0, .
3 2 3 2
x 1
x 1 y 2 z x 1 y 2 x y 1 0
a) AB : y 2 AB : AB : AB :
1 1 1 x 1 z x z 1 0
z
x 2
x 2 y 2 z x 2 y 2 x y 0
b) r : y 2 r: r: r:
1 1 4 4x 8 z 4x z 8 0
z 4
2 1
x 2 1
3 3 x z y 2 0
3 y 2 2 y 2 0
c) r : y 2 r: r: 1 1 1 1 r:
1 0 1 x z 3 x 2z 3 0
1 1 2 3 3 6
z 3 2
2 2
85. Dados los puntos A 1, 1,2 y B 1, 2,0 , calcula unas ecuaciones paramétricas y unas implícitas para
la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene como vector de dirección al vector AB .
AB 2, 1, 2
x 2
x 2y 0
Ecuaciones paramétricas: AB : y Ecuaciones implícitas: AB :
x z 0
z 2
x 2 2
x 1 y 2 z x 2y z 0
a) r : y 1 b) r : c) r :
1 2 2 2x y z 0
z 1 2
87. Calcula un punto y un vector de dirección de cada una de las siguientes rectas.
x 3
x y 2 z 2 2x y 3
a) r : y 2 3 b) r : c) r :
2 1 3 2x z 1
z 1 4
a) P 0, 2,1 ; u 3,3, 4
b) P 0,2, 2 ; u 2,1,3
c) P 0,3, 1 ; u 1, 2,2
x 1
r: y 2 2
z 3 3
x 1 y 2 z 3 2x y 4 0
Se despeja el valor del parámetro :
1 2 3 3x z 0
89. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación en forma continua de la recta de ecuaciones implícitas:
3x y z 1 0
r:
x y z 3 0
x
x y 1 z 2
Ecuaciones paramétricas: r : y 1 Ecuación en forma continua: r :
1 1 2
z 2 2
y 0 x 3 z 0
a) b) c)
z 0 z 2 x y
91. Escribe la ecuación en forma continua de las rectas que se indican a continuación. Calcula un punto y un
vector director de cada una de ellas. Ten en cuenta que las ecuaciones dadas no están en forma continua.
x 2y 2 z 1 x 1 2y 4 3z 2
a) r : b) r :
2 3 3 3 2 4
x 2y 2 z 1 x y 1 z 1 3
a) r : Punto: 0,1,1 Vector director: 2, , 3 4,3, 6
2 3 3 2 3 3 2
2
2
z
x 1 2y 4 3z 2 x 1 y 2 3 2 4
b) r : Punto: 1,2, Vector director: 3,1, 9,3, 4
3 2 4 3 1 4 3 3
3
3
P 5, 1,3 Q 3,3, 4 R 0, , 2
2
c) Escribe dos puntos más de dicha recta.
x 1 2
x 1 y 2 z 3
a) Ecuaciones paramétricas: y 2 Ecuación en forma continua:
2 1 2
z 3 2
1
b) P sí pertenece 3 ; Q no pertenece (no existe ningún valor de ); R sí pertenece .
2
93. Verifica si los siguientes puntos pertenecen o no a una misma recta. En caso afirmativo, calcula sus
ecuaciones paramétricas.
x 2
a) AB 1,1,1 , AC 2,2,2 . Como AC 2 AB , entonces A, B y C están alineados: y 1
z 2
a) Que pasa por el punto A 1,3,1 y lleva la dirección de los vectores u 1, 1,3 y v 1, 1, 4 .
3 1 1 1 1 1 3
c) Que pasa por el punto A ,2, y lleva la dirección de los vectores u ,0, y v , , .
2 2 3 2 2 2 2
x 1 1 1 x 1
a) y 3 1 1 y 3 0 x 7y 2z 22 0
z 1 3 4 3 4 z 1
x 1 2 1 2 x 1
b) AB 1,1, 3 ; AC 4,2, 2 || 2,1, 1 y 1 1 1 y 1 0 2 x 7y 3z 1 0
z 2 3 3 1 z 2
3 3
x 2 2 1 x
2 2
c) y 2 0 1 y 2 0 6 x 6y 4z 23 0
1 1
z 3 3 3 3 z
2 2
x 1
d) AB 1,1,0 ; AC 1,0,1 y x y z 1 0
z
95. Dados los puntos A 1,1, 2 , B 1, 2, 3 y C 1,1,0 , calcula la ecuación implícita del plano que pasa por
el origen de coordenadas y tiene como vectores directores AB y AC .
AB 2, 3, 1 y AC 0,0,2
2 0 x
3 0 y 0 6x 4y 0 3x 2y 0
1 2 z
x 1
a) : y 2 2 b) : 2x y 3z 1
z 3 3 2
x 1
a) : y 3 2 b) : 3x y 2z 0
z 1 2
1 0 x 1
a) P 1,0,1 ; u 1,3, 2 , v 0, 2, 1 ; 3 2 y 0 7x y 2z 9 0 n 7, 1,2
2 1 z 1
x
b) n 3, 1, 2 ; y 3 2 O 0,0,0 ;u 1,3,0 ,v 0, 2,1
z
x 1 2 3
y
z
99. Escribe las ecuaciones paramétricas para el plano que pasa por A 1,3, 2 y tiene como vector normal
n 1, 2,0 .
x 2y D 0 . Como A 1,3, 2 1 6 D 0 D 5 x 2y 5 0.
x 5 2
Ecuaciones paramétricas: : y
z
x 2 2 3
: y 1 2 2
z 1 2 2
2 3 x 2
Ecuación implícita: 2 2 y 1 0 4x y 5z 2 0
2 2 z 1
1 3 4
a) rg 1 1 1 2 Coplanarios: x 2y z 3 0
3 1 6
2 1 3
b) rg 1 2 1 3 No coplanarios.
0 0 1
2 2 1
c) rg 1 0 2 3 No coplanarios.
0 0 5
1 4 4
d) rg 1 2 4 3 No coplanarios.
3 2 1
b)
c)
a) z 0
b) y 1
a a x a x y z
c) b 0 y 0 bc x a acy abz 0 bcx acy abz abc 1
0 c z a b c
: 2x y z 0 : 2x y z 0 : 2x y z 0 :x y 1 0
a) b) c) d)
' : 2x y z 1 ' : 4x 2y 2z 1 ' : 4x 2y 2z 0 ':x z 2 0
: 2x y z 0 : 2x y 3z 3 : 2x 4y 6z 1 0 :x y z 0
b) ' :x y z 0 d) ' : 6 x 3y 9z 9 f) ' : x 2y z 0 h) ' :x y z 0
'' : x 2z 1 '' : 10 x 5 y 15z 15 '' : x 2y 3z 1 0 '' : x 0
h) rg M rg M ' 2 Se cortan en una recta sin que haya ninguna pareja de planos coincidentes.
105. En cada uno de los siguientes casos, estudia la posición relativa del plano :x y 2z 1 y las rectas
siguientes.
x 1 t x 1 2t
a) r : y 2t b) s : x y z 1 c) t : y 4t
2 4 1
z 3t z t
x y 2z 1 1 1 2 1 1 2 1
b) 4 x 2y 0 , M 4 2 0 , M' 4 2 0 0 . rg M 2;rg M ' 3 Recta paralela al plano.
x 2z 2 1 0 2 1 0 2 2
x 10 3t
x y z
a) r : : 2x y z 0 b) r : y 7 2t : 3x 2y z 1 0
1 1 1
z 1 t
x 2t x 3 t
x y 1 z x y 2 z 5
b) r : s: y 2t e) r : s: y 5 t
2 2 3 3 2 4
z 3t z 6 3t
x t
c) r : x y z s: y t
z t
1 1 1 1 1
M 2 2 , M' 2 2 2 . rg M 2 rg M ' Rectas secantes.
1 1 1 1 1
2 2 2 2 0
M 2 2 , M' 2 2 1 . rg M 1 rg M ' 2 Rectas paralelas.
3 3 3 3 0
1 1 1 1 0
M 1 1 , M' 1 1 0 . rg M 1 rg M ' Rectas coincidentes.
1 1 1 1 0
1 3 1 3 1
M 2 2 , M' 2 2 1 . rg M 2 rg M ' 3 Rectas que se cruzan.
3 1 3 1 0
3 1 3 1 3
M 2 1 , M' 2 1 7 . rg M 2 rg M ' Rectas secantes.
4 3 4 3 1
2x 3z 0
a) Paralelas a r :
2x y 2z 8
2x y z 2
b) Que pasan por el punto de intersección del plano :x 2y z 4 y la recta r :
x y z 1
a) Se calculan dos puntos de la recta y, con ellos, un vector de dirección: A 0,8,0 , B 3,6,2 , BA 3,2, 2 .
x 1 y 2 z 3
La ecuación del haz de rectas paralelas es:
3 2 2
b) El punto de intersección de la recta y el plano es:
x 2y z 4
x 1 y 1 z 1
2x y z 2 x 1, y 1, z 1 P 1,1, 1 . Ecuación del haz de rectas secantes:
x y z 1 1 2 3
x 1
x 1 y 2 z
a) r : y 2 b) s :
2 1 3
z 1 2
x 1 y 2 z 1 x y 1 0
a) r : Haz: x y 1 2x z 1 0 , añadiendo 2 x z 1 0 .
1 1 2 2x z 1 0
x 1 y 2 z x 2y 3 0
b) s : Haz: x 2y 3 3x 2z 3 0 ,
2 1 3 3 x 2z 3 0
añadiendo 3 x 2z 3 0
110. Escribe la ecuación del haz de planos paralelos, tal que uno de ellos pase por los puntos A 2,1,1 ,
B 3,0, 3 y C 2,1, 4 .
5 0 x 2
Plano que pasa por A, B y C: 1 0 y 1 0 :x 5y 3 0 Haz: x 5 y 0, .
4 3 z 1
Síntesis
111. Dados los puntos A 1,2,0 y B 5, 2, 4 , calcula las coordenadas del punto C que está situado en el
interior del segmento de extremos A y B, tal que la distancia de C a B sea el triple que la distancia de C a A.
1
Equivale a partir el segmento en cuatro partes iguales, luego buscamos C tal que AC AB .
4
1 1 1
Tomando coordenadas, se tiene que: c1 1, c2 2, c3 6, 4,4 c1 , c2 1, c3 1 C ,1,1
4 2 2
3 2 1 2
AB || AC 3,2, 1 || 1, a,1 a a
1 a 1 a 3
113. Calcula todos los valores de m que hacen que los puntos del espacio A 0,2, 2 , B 1,1, m 2 1 y
C 2,0,2m pertenezcan a una misma recta.
AB 1, 1, m 2 3 ; AC 2, 2,2m 2 2 m2 3 2m 2 2m 2 2m 4 0 m 2, m 1
x y 2 z 2 x y 2 x y 2 z 2 x y 2
Si m 2: Si m 1:
1 1 1 x z 2 1 1 2 2x z 2
114. Calcula el valor de m para que los puntos del espacio A 0,1,2 , B 1,0,3 , C 1, m ,1 y D m , 1,2m
pertenezcan a un mismo plano.
Para que A, B, C y D sean coplanarios se debe verificar que el rango de la matriz cuyas filas son los vectores AB ,
AC y AD sea 2. Por tanto:
1 1 1
rg 1 m 1 1 2 m2 4 0 m 2, m 2
m 2 2m 2
115. Calcula el valor de a para que los puntos A 3,0,2 , B 0, a , a , C 1,2,2 y D 1, 1,0 sean coplanarios.
Para este valor hallado, calcula la ecuación del plano que contiene a los cuatro puntos.
2 4 x 3
Ecuación del plano que pasa por A, C y D: 2 1 y 0 : 2x 2y 5z 4 0
0 2 z 2
4
Para que B pertenezca a , se debe verificar: 2a 5a 4 0 a
3
¿Existe algún valor de k que haga que estas rectas sean secantes?
x kz 2
1 0 k 1 0 k 2
y z 3 0 1 1 , 0 1 1 3 . Entonces,
, M M' M' 0 k 2
x 2z 1 1 0 2 1 0 2 1
y z 1 0 1 1 0 1 1 1
En cualquier caso, el sistema es incompatible. Por tanto, no existe ningún valor de k para el cual las rectas se
corten en un punto.
Recta r: Punto: A 1, 5,0 , vector director: ur 1,1,2 . Recta s: Punto: B 2,2, 1 , vector director: us 2,m,2
1 1 2 1 1 2
1 1 2 , M' 2 m 2 , rg M 2, 2 m 2 0 m 14
M
2 m 2
1 7 1 1 7 1
Si m 14, rg M ' 2 y las rectas se cortan. Si m 14, rg M ' 3 y las rectas se cruzan.
CUESTIONES
118. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) Dos rectas paralelas determinan un único plano.
b) Desde un punto exterior a una recta solo se puede trazar una paralela a ella.
c) Desde un punto exterior a una recta solo se puede trazar una perpendicular a ella.
d) Dos rectas que se cruzan no forman ningún ángulo.
e) Dadas dos rectas que se cruzan y un punto exterior a ellas, solo hay una recta que pase por ese punto y toque
a las dos rectas.
a) Verdadero, porque basta tomar dos puntos A y B de una de las rectas y otro punto C de la otra recta. Entonces
se puede definir el plano que pasa por A y lleva la dirección AB y AC que es el plano determinado por las
dos rectas paralelas.
b) Verdadero, porque sería la recta que pasa por ese punto y tiene por vector director el de la recta dada.
c) Falso, hay infinitas rectas perpendiculares a una recta que pasan por un punto exterior, solo una de ellas
cortará a la recta, pero la afirmación no exige que sea secante.
d) Falso, porque el ángulo que forman dos rectas que se cruzan es el formado por los vectores directores de esas
rectas.
e) Verdadero, puede ser una o ninguna. Si el plano que contiene a una de las rectas y pasa por el punto exterior
es paralelo a la otra recta, no hay ninguna. Y si dicho plano es secante a la recta en un punto, la recta buscada
es la que pasa por el punto de corte y el punto exterior.
b) Calcula las coordenadas de A, B y C, que son los puntos de corte de los ejes de coordenadas con el plano .
c) Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A, B y C.
a) 6 2 4 0 3 0 D D 12 : 6x 4y 3 z 12 0
y 0 x 0 x 0
b) Eje X: x 2 Eje Y: y 3 Eje Z: z 4
z 0 z 0 y 0
2 4
c) Baricentro: G ,1,
3 3
121. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos A 2,1,3 y B 2, 1, 4 . El baricentro está situado en el
1 1
punto G , ,3 .
3 3
2 2 a 1 1 1 b 1 3 4 c
a 1 b 1 3 c 2
3 3 3 3 3
122. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A 3,1, 1 y B 2,0, 3 , y es paralelo a la recta de
ecuaciones:
x 2 y 1 z 3
r:
1 3 4
1 1 x 3
AB 1, 1,4 , ur 1,3,4 1 3 y 1 0 : 8x 4y z 19 0
4 4 z 1
123. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P 2, 3,2 y es paralelo a las rectas:
x 2 3t
x 2 y 1 z 3 s: y t
r:
1 3 4
z 1 t
1 3 x 2
ur 1,3, 4 , us 3,1, 1 3 1 y 3 0 : x 13y 10z 17 0
4 1 z 2
x 1 t s
: 2x 3y z 0 ': y t s
z 2 2t s
1 1 x 1 3 x y 2z 1 0
': 1 1 y 0 ' : 3x y 2z 1 0 r s: ur (5, 7, 11)
2 1 z 2 2x 3y z 0
x 2 5
La recta buscada es r : y 3 7 .
z 11
125. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P 1,1, 2 y es perpendicular a la recta
2x y z 1
r: .
x y z 0
x 1 2
r: y u 2, 1, 3 es normal a 2x y 3z D 0 2 1 6 D 0 D 3 : 2x y 3z 3 0
z 1 3
126. Halla la ecuación de la recta perpendicular al plano : 2x y 2z 1 0 y que pasa por el punto P 1, 0,3 .
x 1 2
El vector normal del plano es el de dirección de la recta buscada. Por tanto, r : y
z 3 2
127. Halla la ecuación del plano paralelo al plano : x 2y 3z 4 0 que pasa por el punto medio del
segmento de extremos A 1, 2,3 y B 3, 4, 3 .
128. Determina el plano perpendicular al segmento de extremos A 2, 1,0 y B 2,2, 1 y que pasa por su
punto medio.
1 1
El punto medio es M 0, , . El vector normal al plano será AB 4,3, 1 .
2 2
3 1
El plano será 4x 3y z D 0 D 0 D 2 : 4x 3y z 2 0.
2 2
129. Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos A 1, 1,1 y B 0,3, 2 y es paralelo al eje Z.
1 0 x 1
El plano será: 4 0 y 1 0 : 4x y 3 0
3 1 z 1
x 1 y 1 z 3 y 1
1 0 0 z 3
132. Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, donde:
x 2t
x 1 y
r: z s: y t 1
2 2
z t 1
2 2 x 1
El plano es: 2 1 y 0 :x 2z 1 0
1 1 z
133. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0,1,3 y corta a las rectas siguientes. Para ello,
estudia previamente la posición relativa que ocupan las dos rectas.
x t
x y z 2 x 2y 1 x y z 2
a) r : s: b) r : y 1 t s:
3 2 1 2x 2y z 2 x 2y z 8
z 2 t
Vector AB : AB 1,0, 2
3 0 x
El plano que pasa por P y tiene como vectores ur y PA : 2 1 y 1 0 x y z 2
1 1 z 3
2 1 x
El plano ' que pasa por P y tiene como vectores us y PB : 1 1 y 1 0 x 4y z 1
2 3 z 3
x y z 2
La recta buscada será t : .
x 4y z 1
Vector AB : AB 4,1, 2
t 1 t 2 t 2 t 1
Q 1,2,3
t 2 2t 2 t 8 t 1
x
La recta t buscada pasa por P y Q. PQ 1,1,0 t: y 1
z 3
134. Se considera la recta r que pasa por el punto A 3,0,0 y tiene como dirección la del vector n 1,1, 1 .
Se consideran, también, los planos paralelos de ecuaciones : 2x y 0 y ' : 2x y 3 0 .
x 3 t
Ecuación de la recta: r : y t
z t
2 3 t t 0 t 2 P 1, 2,2
1 5 5
Por tanto, el punto medio es M , ,
2 2 2
135. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1,2,3 y que toca a los ejes de coordenadas X y
Z.
x
Por tanto: t : y 2
z 3
137. Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A 2,0,1 , B 1, 1,2 y C 4,2, 3 .
a) En un paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio. El punto medio de estas diagonales es M,
que es el punto medio de AC, es decir, M 1,1, 1
1 a
1 a 1
B 1, 1,2 2
1 b
D a, b, c 1 b 3 D 1,3, 4
2
M 1,1, 1
2 c
1 c 4
2
3 3 x 2
1 1 y 0 ABCD : x 9y 6z 4 0
1 2 z 1
x 2 y z 1 x 1 y 1 z 2
c) Diagonal AC: Diagonal BD:
3 1 2 0 2 3
a) Calcula las coordenadas de los puntos medios M, N, P y Q de sus aristas AB, AC, DC y DB.
d) Comprueba que los puntos M, N, P y Q son coplanarios.
e) Estudia la posición relativa de la recta que contiene a la arista AD y del plano que contiene a M, N, P y Q.
1 1 1 1 3 1
a) M ,0, , N ,0,2 , P 1, , , Q 0, ,0 .
2 2 2 2 2 2
b) Plano que pasa por M, N y P:
3 1
1 x
2 2
1
0 y 0 : 6 x 10y 4z 5 0
2
3 1
1 z
2 2
1
Se comprueba que Q pertenece a : 6 0 10 4 0 5 0
2
c) La recta es paralela al plano.
b) Sabiendo que todas las diagonales del paralelepípedo se cortan en el punto M 1,4,1 , calcula las coordenadas
de los otros cuatro vértices de la figura.
a) Verifica si de esos cuatro puntos hay tres que están alineados. ¿Forman un cuadrilátero?
b) Comprueba que pertenecen a un mismo plano y calcula su ecuación.
1 1 x 2
1 0 y 1 0 ABCD : x y z 3 0
0 1 z
a) A 0,0,0 E 0,0,1
B 1,0,0 F 1,0,1
C 1,1,0 G 1,1,1
D 0,1,0 H 0,1,1 .
b) HGC : y 1 BCD : z 0
z 0 x z
c) DB : DG :
x y 1 y 1
1 1 2
d) P ,1,1 , M ,0,1 , N ,1,0
2 3 3
1 2 2
e) Baricentro: G , ,
2 3 3
1 1 1
x
6 3 3
f) 1 1 y 0 PMN : 6 x y z 3 0
0 1 z 1
1
x
3 y z 1
g) MN :
1 3 3
b) Entre AB , AC y AD no hay dos proporcionales. BC y BD tampoco son proporcionales. Por tanto, no hay
tres puntos alineados.
x y 1 0 2x 3y 6 0
c) Diagonal AC: . Diagonal BD:
2x z 4 0 y 2z 0
x y 1 0
2x z 4 0 9 4 2
Punto de corte: R , ,
2x 3y 6 0 5 5 5
y 2z 0
3 1
d) Punto medio del lado AB: M 1, ,
2 2
1 3
Punto medio del lado BC: N ,1,
2 2
5 1
Punto medio del lado DA: Q , ,0
2 2
1 1 1 1
e) MN , ,1 , QP , ,1
2 2 2 2
3 3 3
Por tanto, S , ,
2 4 4
2 x y 1 z 0
c) ¿Hay alguna recta que esté contenida en todos los planos considerados? En caso afirmativo, escribe su
ecuación.
a) 0 2x y z 0 1 3x y 0
2x y z 0
c) 2 x y z x z 0 r:
x z 0
b) CBE : x y 1 0
x 1
x 1 y z y z
c) BE : y
1 1 1 x y 1
z
1 2
d) M ,0,0 N 0, ,1
3 3
1
x 1
3 x
3 y z 3 y 2z 0
e) MN : y 2
1 2 3 6x 3y 2
z 3
1 1 2 1 1 2 7
M 1 1 5 , M' 1 1 5 8
a 2 1 a 2 1 b
1 2 7
M 7a 14 1 5 8 23 7b
2 1 b
23
7a 14 0 a 2 23 7b 0 b
7
23
a) Para a 2 y b , rg M 2,rg M ' 3 La recta es paralela al plano.
7
23
c) Para a 2 y b , rg M rg M ' 2 La recta está contenida en el plano.
7
146. Escribe la condición que deben verificar a, b y c para que los puntos A 1,0, a , B 1, b,0 y C c ,0,1 estén
alineados.
AB 0, b, a ; AC c 1,0,1 a
147. ¿Qué condición deben verificar a, b y c para que A 1,0, a , B 1, b,0 , C c ,0,1 y D 1,1,1 sean
coplanarios?
AB 0, b, a , AC c 1,0,1 a , AD 0,1,1 a
Para que A, B, C y D sean coplanarios, debe verificarse que rg AB, AC, AD 3 . Por tanto:
0 c 1 0 c 1
b 0 1 0 1 c a b 1 c 1 a 0 1 c a b ab 0
a 1 a 1 a a b ab
148. Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los diferentes valores de m:
: mx y z 1
' : x my z 1
'' : x y mz 1
M (m 1)2(m 2)
1 1 1
Si m 2 , los tres planos forman triedro y se cortan en el punto P , , .
m 2 m 2 m 2
1 2 1 1 2 1 0
M 1 2 2 , M' 1 2 2 1
a 2 b a 2 b 1
Para que los planos se corten en una recta, el sistema debe ser compatible indeterminado con un parámetro.
1 2 1 2 1 0
1 2 2 0 2 2a 0 a 1 2 2 1 0 2b 0 b 0
a 2 b 2 b 1
Luego, los parámetros buscados para que los dos planos se corten en una misma recta son a 1yb 0.
150. Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los diferentes valores de m y n:
:x y z 1
' : x 2y 3 z 1
'' : y mz n
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 1 0 1 2 0
0 1 m n 0 0 m 2 n
n 2n n
Si m 2 , los tres planos forman un triedro y se cortan en el punto P 1 , , .
m 2 2 m m 2
Si m 2yn 0 los tres planos tienen una recta en común.
Si m 2yn 0 los tres planos forman un prisma.
1. En cada caso, calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación en forma continua de la recta r que
cumple las siguientes condiciones:
b) Pasa por el punto A 3,4,0 y su dirección es perpendicular a la de los vectores u 1,2, 3 y v 0, 2,5 .
x 1 2t
x 1 y 2 z 4
a) Un vector director será el AB 2,2, 11 y 2 2t
2 2 11
z 4 11t
i j k x 3 4t
b) Un vector director será el u v 1 2 3 4i 5j 2k y 4 5t
0 2 5 z 2t
2. En cada caso, calcula las ecuaciones paramétricas y la general del plano que cumple las siguientes
condiciones:
0 0 x 1
a) 2 0 y 2 0 x 1 0
4 4 z 1
3 4 3 D 0 D 2
Por tanto, x 2y 3z 2 0
3. a) Decide si los puntos A, B y C están alineados o forman triángulo: A 1,2, 2 , B 2,0,1 y C 0,4, 4 .
b) Decide si los puntos A, B, C y D son coplanarios o forman tetraedro: A 2,1,1 , B 1,0, 2 , C 1,2,0 y
D 2,0, 5
a) AB 1, 2,3 , AC 1,2, 2 , rg 1 2 3
2 A, B y C forman triángulo.
1 2 2
1 3 4
rg 1 1 1 2 A, B, C y D son coplanarios.
3 1 6
El plano pedido será el que pasa por A y tiene como vectores directores u y AP 2, 3,2 .
2 2 x 1
1 3 y 1 0 x 2y 4z 5 0
1 2 z 2
'' : 2 x 2 y 5 z 21 0.
x
r: y 2 :x y z 1
z 1 3
x y 5 z 6 2x y 1
r: s:
1 2 1 x y z 3
2 3 5 2 3 5 25
a) M 3 2 3 , M' 3 2 3 4 rg M 3 rg M ' Los planos se cortan en un punto.
2 2 5 2 2 5 21
Las coordenadas del punto de corte se obtienen resolviendo el sistema. Aplicando el método de Gauss:
2 x 3 y 5 z 25
5 y 21z 83 P 1, 4, 3
21z 63
2x y 5
x z 6
Las coordenadas del punto de corte se obtienen al resolver el sistema: P 1, 3,5
2x y 1
x y z 3
Para que las rectas se corten en un punto debe ocurrir que rg ur ,us 2 y rg Ar As , ur , us 2 . Entonces:
2 2 4
4 1 3 0 10 10k 0 k 1
k 4 2 5
2 4 4 3 3 5
b) Sustituyendo los valores de s en r: 1 P 0,2,1
2 1 2
2 4 x
El plano que determinan r y s en este caso es: 1 3 y 2 0 : 11x 2y 10z 6 0
2 5 z 1
7. Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P 1, 2,0 , que es paralela al plano : 2x y 3
y que es perpendicular a la recta r : x y 1 z.
Sean ur 1,1,1 vector director de r y n 2,1,0 vector normal al plano. El vector w , director de la recta
buscada, debe ser perpendicular a u r y n a la vez. Por tanto, w ur n 1,2, 1 .
x 1 y 2 z
La recta s pedida tendrá por ecuaciones: s : .
1 2 1
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso
x 2
1. Calcula el valor de m para que la recta r : y sea paralela al plano : 2x y mz 1 0.
z 1 3
La solución es B. Un vector de dirección de la recta es 1,1,3 . Un vector normal del plano es 2,1, m . Para que
la recta sea paralela al plano, los dos vectores deben ser perpendiculares y, por tanto, su producto escalar nulo:
1,1,3 2,1 m 2 1 3m 0 m 1
x 3 z
La solución es C. r : y 1 . Se observa que el punto y el vector director son los indicados en esa
2 1
respuesta.
3. Si A y B son dos puntos diferentes del espacio y el vector n 2,1,3 es un vector normal del plano .
Una solución es A porque n es perpendicular a cualquier vector de dirección del plano y a AB . La otra solución
correcta es D porque si A y B pertenecen al plano, entonces n es perpendicular AB .
A. Si a b 0 A, B, C y D son coplanarios.
El plano que pasa por los puntos A, B y C es bcx acy abz abc . Para que O pertenezca a este plano es
suficiente con que uno de los valores a, b o c sea igual a 0.
Las soluciones son A y B.
1. El rango de la matriz M es 2.
2. Los planos se cortan en una recta.
A. 1 2 C. 2 1 pero 1 2.
A B C
El rango de la matriz M A ' B ' C ' puede ser 3, por tanto 1 2. Por tanto, la solución es C.
A '' B '' C ''
6. Para calcular el área y el perímetro del cuadrilátero es ABCD se dan los siguientes datos:
1. Las coordenadas de los vértices opuestos A y C.
2. Las coordenadas del vértice B.
3. Las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales.
4. El hecho de que el cuadrilátero es un paralelogramo.
Puede eliminarse el dato:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
No es necesario conocer el punto donde se cortan las diagonales del cuadrilátero. Por tanto, la respuesta correcta
es C.