MECÁNICA DE CUERPO RÍGIDO FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL

EL CÍRCULO DE MOHR

CURSO:
MECÁNICA DE CUERPO RÍGIDO

ALUMNO:

PAITAN CALDERON KELVIN BRIAN- 20161295G

DOCENTE: ING. JOSE PACHAS

FECHA: 30/11/18

Lima, Perú
2018

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INTRODUCCION

El Círculo de Mohr es una de las pocas construcciones graficas en la ingeniería civil que no
ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y los computadores. La razón
para esta vigencia se encuentra en la información, simultáneamente general y detallada, que
el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería.

Las aplicaciones de esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de

transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de
Mohr representa con sencillez y claridad. Una de sus características más importantes es que,
aunque se trate de una solución gráfica, su construcción no exige, en la mayoría de las
aplicaciones, medidas de escala. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas
elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios
de la Resistencia de Materiales y de la mecánica de suelos.

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EL CÍRCULO DE MOHR

DEFINICIONES

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar

gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de
inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de
una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo
cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto
Mohr (1835-1918).

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS

Caso Tridimensional

Círculos de Mohr para representar un estado de tensión tridimensional en un punto

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Caso Bidimensional

Circunferencia de Mohr para un estado de tensión bidimensional.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA UN ESTADO DE TENSIÓN BIDIMENSIONAL.

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la compresión máxima y

mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que
forman 45º:

Medida 1 (σx , -r )

Medida 2 (σy , r )

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia
abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje
vertical representa la tensión cortante o tangencial. Para cada uno de los planos
anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

 Centro del círculo de Mohr:

C:= (σmedia, 0 ) = ((σx + σy )/2 , 0)

 Radio de la circunferencia de Mohr:

r: = ( (σx - σy/2)2 + I2xy )1/2

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La tensión máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente

por:

σmax = σmedia + r σmin=σmed - r

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor

tensión que en este caso viene dado por:

𝜎𝑥 𝜏
𝑇/𝑥, 𝑦 = ( 𝜏 𝜎𝑦)

CASO TRIDIMENSIONAL
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
T/x,y,z = 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧

=== Tensores esféricos y desviadores ===

Tensor Esférico

Dan lugar a cambios de volumen pero nunca de forma, es decir, su sentido físico es el de
fuerzas de distintas direcciones convergentes hacia un mismo punto, como por ejemplo
la presión que ejerce el agua a un objeto que se encuentra en las profundidades, la presión
hace que el sistema se colapse hacía el interior.

Tensor Desviador Dan lugar a cambios de forma pero no de volumen. En algunos tipos
de plasticidad la superficie de fluencia se calcula a partir del tensor desviador no del tensor
completo -->>

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia

de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es
necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado,
la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible
obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del
momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de
inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

 Centro de la circunferencia:

C:= (Imed , 0 ) = ((Ix + Iy )/2 , 0)

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 Radio de la circunferencia:

r: = ( (Ix - Iy/2)2 + I2xy )1/2

Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma.

Sea una barra, sometida a una carga P.

Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nos
aparecen unas fuerzas por unidad de superficie (tensiones) que van a ser uniformes y a las
que vamos a llamar σx porque van en la dirección del eje x.

σx = P / A

Si, ahora, cortamos a la barra inicial por la sección oblicua 2-2, de manera que la normal a la
sección forme un ángulo φ con el eje de la barra, de donde: σ = σxcos φ

La máxima tensión se produce en los puntos de la sección normal al eje de la barra. Esta
máxima tensión vale σx.

En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale
σxcos φ.

Descomposición de σ en una tensión normal y en otra tangencial o cortante.

Vamos a descomponer la tensión σ en otras dos: una en la dirección de la normal a dicha

sección, llamada tensión normal σn y la otra en dirección paralela a la sección,
llamada tensión cortante .

En figura vemos que:

σn = σ cos φ = σx cos φ

t = s sen j = s x sen j cos j = (s x / 2 ) sen 2j

Efectos que producen la tensión normal y la cortante.

Los esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se definen como un
conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones

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internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección
transversal plana de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana.
Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o
espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa
o lámina):

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la
resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos
determinar el esfuerzo normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de
tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el
esfuerzo cortante.

Convenio de signos de la tensión normal.

La tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la existencia

de tensiones normales, pero estas tensiones normales también pueden estar producidas
por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos también provocan
tensiones normales por efecto del alabeo seccional.

La tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que
implican la existencia de tensiones tangenciales.

Convenio de signos de la tensión cortante.

La tensión cortante es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele denotar
por la letra griega tau . En piezas prismáticas las tensiones cortantes aparece en caso de
aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.

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Círculo de Morh para la tracción simple.

El círculo de Morh es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia

son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de
la barra.

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor
simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los
mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo
del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma:

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas situamos las tensiones
normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A continuación se traza la
circunferencia como se puede ver en la figura.

Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares

definen un diámetro del círculo de mohr.

Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y
de sentido contrario.

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes
detalles:

– El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano
AB en la realidad.

– El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las
agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.

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– El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales
correspondientes.

ESFUERZOS EN EL ESPACIO

Un elemento de material como el indicado en la figura siguiente se encuentra en un estado

de esfuerzo triaxial, pues además de los esfuerzos asociados a las direcciones X y Y aparecen
ahora los esfuerzos en la dirección Z.

Estado de los esfuerzos en el espacio

Solo se muestran los esfuerzos sobre las

Caras positivas del cubo elemental.

APLICACIONES DEL CIRCULO DE MOHR

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Teoría:

Supongamos el sólido de la figura sometido a un estado tensional plano (σz=τzx=τzy=0). Sea

P un punto elástico (Punto geométrico más un entorno material de forma paralelepipédica de
lados infinitesimales) de su interior. Su estado tensional vendrá definido por las tensiones σx,
σy y τxy tal como se representa en la figura.

El criterio de signos para estas tensiones que se adopta es el siguiente:

Tensiones normales: positivas si son de tracción y negativas si fueran de compresión.

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Supongamos que deseáramos determinar las tensiones en una dirección cualquiera como la
definida en la figura mediante el ángulo θ:

Antes de continuar, conviene dejar claro que, los signos de las tensiones actuantes sobre el
plano considerado, son las siguientes:

- La tensión normal será positiva si es de tracción

- La tensión tangencial es positiva si desde el centro del punto elástico produjera un giro en
sentido horario, tal como se indica en la figura siguiente.

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Representacion de la grafica de las leyes de transformacion de esfuerzos

Son positivos los esfuerzos normales de tracción y son negativos los esfuerzos normales de
compresión. En las aplicaciones del círculo de Mohr a la mecánica de suelos se empleara

El esfuerzo cortante (x=cara positiva, y = dirección negativa) es positivo si tiende a producir

una rotación del elemento en sentido anti horario

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Para definir el signo del esfuerzo cortante solo bastan con fija del signo de 𝜏𝑥𝑦

Las componentes de la vector tensión actuante σ ′ sobre el plano considerado, así como sus
componentes normal y tangencial, pueden calcularse como sigue

Las Ecuaciones (1) pueden ponerse como:

(2) Operando se obtiene:

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Que corresponde a la ecuación de una circunferencia centro:

Y radio

Respecto a unos ejes en los que en el de abcisas se llevaran los valores de σ y en el de

ordenadas los de τ. El plano así definido se denomina plano de Mohr y, la circunferencia
anterior se denomina círculo (no circunferencia) de Mohr.

Realizando la construcción gráfica anterior se observa que existe una correspondencia

biunívoca entre cada dirección y un punto del círculo de Mohr: a cada dirección que pasa por
las proximidades del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr cuya abcisa es la
componente normal del vector tensión que actúa sobre la dirección considerada y cuya
ordenada es la componente tangencial de dicho vector tensión.
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Se podría demostrar que, para pasar del punto representativo de la dirección paralela al eje
y (tensiones actuantes: σx y τxy) al punto representativo de la dirección que forma un ángulo
θ en sentido antihorario con dicho eje, bastaría con girar el radio vector que une el centro del
círculo de Mohr con el punto representativo del eje y un ángulo doble del que en la realidad
forman las dos direcciones consideradas y en el mismo sentido, tal como se aprecia en la
figura:

Ecuaciones finales:

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Ejemplos de aplicación del circulo de mohr a la mecanica de suelos :

En un punto sobre la superficie de un cilindro a presión, el material está sometido a tensiones

biaxiales  x  90Mpa y  y  20 Mpa , según se ve sobre el elemento de tensiones de la

figura 1-1a. Usar el circulo de Mohr para determinar las tensiones que actúan sobre un
elemento inclinado en un ángulo de   30º .Considerar solo las tensiones en el plano.

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Figura 2-2

a) Elemento en tensión plana

b) Circulo de mohr correspondiente

Solución:

Construcción del círculo de Mohr. Comenzamos fijando los ejes para las tensiones normales
y tangenciales, con  x1 positivo hacia la derecha y  x1 y1 positivo hacia abajo, como se muestra

en la figura 2-2b. Luego situamos el centro C del circulo sobre el eje  x1 en el punto en que la

tensión es igual a la tensión normal promedio.

 x  y 90Mpa  20Mpa
 prom    55Mpa
2 2

El punto A, que representa las tensiones sobre la cara x del elemento (   0 ), tiene
coordenada:

 x1  90Mpa xy  0
1 1

De manera similar, las coordenadas dl punto B, que representan las tensiones sobre la cara
y ( (  90º ) , son:

 x1  20Mpa xy  0
1 1

Ahora dibujamos el círculo a través del punto A y B con centro C y radio R igual a:

 x  y
2
 90Mpa  20Mpa 
2

R      xy 2     0  35Mpa
 2   2 

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Tensiones sobre un elemento a   30º .Las tensiones que actúan sobre un plano orientado
según un ángulo   30º están dados por las coordenadas del punto D que se halla a un
ángulo 2  60º del punto A (Figura 2-2b).

Por inspección del círculo, vemos que las coordenadas del punto D son:

(Punto D)  x1   prom  R cos 60º

 55Mpa  (35Mpa )(cos 60º )  72.5Mpa

 x1 y1   Rsen 60º  (35Mpa )( sen60º )  30.3Mpa

De manera similar, podemos encontrar las tensiones representadas por el punto D’, que
corresponde a un ángulo   120º (o2  240º ) :

(Punto D’)  x1   prom  R cos 60º

 55Mpa  (35Mpa )(cos 60º )  37.5Mpa

 x1 y1  Rsen 60º  (35Mpa )( sen60º )  30.3Mpa

Figura 2-2 continuación

Las tensiones que actúan sobre un elemento orientado a un   30º

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Estos resultados se presentan en la figura 2-2 sobre un croquis de un elemento orientado a

un ángulo   30º , con todas las tensiones en sus direcciones verdaderas.
Note que la suma de las tensiones normales sobre el elemento inclinado es igual a  x   y ,

o 110 Mpa.

Ejercicio 2:

Un elemento infinitesimal está sometido a los esfuerzo  x  y rxy , indicados en cada

uno de los ejercicios numéricos indicados a continuación:

Encontrar:

a) Los esfuerzos principales y su orientacion

b) Los esfuerzos cortantes maximos y su orientacion

COORDENADAS CIRCULO DE MORH

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a) Esfuerzos principales

b) Esfuerzos cortantes máximos

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ECUACIONES DE TRANSFORMACION DE ESFUERZOS.

Supóngase que se quiera calcular los esfuerzos que se generan en un plano

oblicuo cuya dirección en el espacio viene determinada por los cosenos
directores de la normal N al plano, es decir por l, m y n.

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CONCLUSIONES

La representación gráfica del circulo de Mohr es de gran utilidad porque permite visualizar las
relaciones entre las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre varios planos
inclinados en un punto de un cuerpo sometido a tensiones; permite calcular tensione
principales, tangenciales máximas y las tensiones en planos inclinado.

BIBLIOGRAFIAS

 Túnel Manizales http://www.bdigital.unal.edu.co/2046/

 Anexo 2: Mecánica de los suelos http://www.bdigital.unal.edu.co/1864/
 Anexo 3: Gestión del riesgo http://galeon.com/manualgeo/riesgo.pdf
 Anexo 4: La Luna http://www.bdigital.unal.edu.co/1663/
 Anexo 5: Economía para el constructor http://www.bdigital.unal.edu.co/1698/
 El Autor Gonzalo Duque-Escobar http://godues.webs.com

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