MARCO TEÓRICO

1.1.RESPUESTA DE PLANTAS DE SEGUNDO ORDEN

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es: [1]

𝑦(𝑠) 𝐾𝑊𝑛2
= (4)
𝑟(𝑠) 𝑠 2 + 2𝜁𝑊𝑛 𝑠 + 𝑊𝑛2

Donde el término 𝑊𝑛 es la frecuencia natural del sistema, 𝜁 es el coeficiente de

amortiguamiento y 𝐾 es la ganancia estática del sistema.
Los dos polos de este sistema pueden ser reales o complejos conjugados, dependiendo
del valor que tome el coeficiente de amortiguamiento, esto permite clasificar los
sistemas de segundo orden frente a una entrada escalón tal y como se muestra en la
Tabla1. [2]

𝜁<0 Sobreamortiguado
𝜁>1 Criticamente Amortiguado
0<𝜁<1 Subamortiguado
Tabla1: Clasificación de los sistemas de segundo orden [2]

La respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado, ante una entrada escalón

unitario, se muestra en la Figura 2, en donde también se identifican los parámetros
característicos. [3]

Figura 1: Sistema de segundo orden subamortiguado. [3]

Donde 𝑡𝑠 es el tiempo de establecimiento [3]

𝜋
𝑡𝑠 = (5)
𝜎
𝑡𝑟 es el tiempo de subida
𝜋−𝜑 𝑤𝑑
𝑡𝑟 = , 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) (6)
𝑤𝑑 𝜎
 𝑡𝑝 es el tiempo pico
𝜋
𝑡𝑝 = (7)
𝑤𝑑
𝑀𝑝 es la sobreoscilación
𝜁𝜋 𝜋
− −
𝑀𝑝 = 𝑒 √1−𝜁 2 = 𝑒 𝑡𝑔𝜃 (8)

o CONCEPTOS DE ESPACIOS DE ESTADOS

 ESPACIO DE ESTADOS
Es una representación de espacios de estados un modelo matemático de un sistema físico
descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas
por ecuaciones diferenciales de infinito orden que se combinan en una ecuación
diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados,
las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma
matricial.

 VARIABLES DE ESTADO

Figura 2. Variable de estado (sistema dinámico)

Estas variables de estado deben ser linealmente independientes; una variable de estado no
puede ser una combinación lineal de otras variables de estado. El número mínimo de variables
de estado necesarias para representar un sistema dado, n, es normalmente igual al orden de la
ecuación diferencial que define al sistema. Si el sistema es representado en forma de función
de transferencia, el número mínimo de variables de estado es igual al orden del denominador
de la función transferencia después de haber sido reducido a una fracción propia.

 ECUACIÓN DE ESTADO Y ECUACIÓN DE SALIDA

 Ecuacion de salida:
𝒚(𝒕) = 𝒈(𝒕, 𝒙(𝒕), 𝒖(𝒕))
  Ecuacion de salida:
̇
𝒙(𝒕) = 𝒇(𝒕, 𝒙(𝒕), 𝒖 (𝒕))
Dimensiones de los vectores:

 n: número de variables de estado, dimensión de x

 m: número de entradas, dimensión de u
 p: número de salidas, dimensión de y

 FORMAS CANÓNICAS
Cualquier función transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un espacio
de estados con la siguiente aproximación:
Dada una función transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador
y en el denominador. Resultando en la siguiente forma:

𝑛1 𝑠 3 + 𝑛2 𝑠 2 + 𝑛3 𝑠 + 𝑛4
𝐺(𝑠) =
𝑠 4 + 𝑑1 𝑠 3 + 𝑑2 𝑠 2 + 𝑑3 𝑠 + 𝑑4
Los coeficientes pueden ser ahora insertados directamente en el modelo de espacio de estados
mediante la siguiente aproximación:
−𝑑1 −𝑑2 −𝑑3 −𝑑4 1
1 0 0 0 0
𝑥̇ (𝑡) = | | 𝑥(𝑡) + | | 𝑢(𝑡)
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
𝑦(𝑡) = |𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 | 𝑥(𝑡)

Esta realización del espacio de estado se denomina forma canónica controlable porque
garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, dado que el control entra en una
cadena de integradores, puede modificar todos y cada uno de los estados). Si un sistema no es
controlable, entonces no es posible expresarlo en esta forma canónica.
Los coeficientes de la función transferencia pueden ser usados también para construir otro tipo
de forma canónica
−𝑑1 1 0 0 𝑛1
−𝑑 0 1 0 𝑛2
𝑥̇ (𝑡) = | 2 | 𝑥(𝑡) + |𝑛 | 𝑢(𝑡)
−𝑑3 0 0 1 3
−𝑑4 0 0 0 𝑛4
𝑦(𝑡) = |1 0 0 0| 𝑥(𝑡)

Esta disposición se denomina forma canónica observable y, análogamente al caso anterior, el

modelo resultante es necesariamente observable (esto es, al proceder la salida de una cadena
de integradores, su valor se ve afectado por todos y cada uno de los estados). Un sistema no
observable no puede ponerse en esta forma.

 EL ESPACIO DE ESTADOS A LA FUNCIÓN DE

TRANSFERENCIA

Se considera la transformación del modelo del sistema basado en su función de transferencia

al espacio de estados, y viceversa. Se comenzará el análisis con la transformación de una
función de transferencia al espacio de estados.
Se escribe la función de transferencia en lazo cerrado como

𝑌(𝑠) 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑠 𝑛𝑢𝑚

= =
𝑈(𝑠) 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑠 𝑑𝑒𝑛

 DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA AL ESPACIO DE

ESTADOS
La función de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el
tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:
Tomando la transformada de Laplace de:
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵 𝑈(𝑡)
tenemos que:
𝑠𝑋(𝑆) = 𝐴𝑥(𝑠) + 𝐵 𝑈(𝑠)
Luego, agrupamos y despejamos 𝑋(𝑠), dando
(𝑠𝐼 − 𝐴)𝑋(𝑠) = 𝐵 𝑈(𝑠)

𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 𝑈(𝑠)

esto es sustituido por 𝑋(𝑠) en la ecuación de salida
𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷 𝑈(𝑠), 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎
𝑌(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 𝑈(𝑠) + 𝐷 𝑈(𝑠)
Como la función de transferencia está definida como la tasa de salida sobre la entrada de un
sistema, tomamos
𝑌(𝑠)
𝐺(𝑠) =
𝑈(𝑠)
y sustituimos las expresiones previas por 𝑌(𝑠) con respecto a 𝑈(𝑠), quedando
𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷
Claramente 𝐺(𝑠) debe tener q por p dimensiones, así como un total de qp elementos.
Entonces para cada entrada hay q funciones de transferencias con uno por cada salida.
Esta es la razón por la cual la representación de espacios de estados puede fácilmente ser la
elección preferida para sistemas de múltiples entradas, múltiples salidas (MIMO, por sus siglas
en inglés: Multiple-Input, Multiple-Output).

 CONTROLABILIDAD
La condición de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas
admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un
intervalo de tiempo. Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo
es controlable si y solo si
𝑟𝑎𝑛𝑘[𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 .. 𝐴𝑁−1 𝐵 ] = 𝑛
 OBSERVABILIDAD
La observabilidad es la medida de cuán correctamente los estados internos de un sistema
pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observadlidad y la controlabilidad son
matemáticamente duales.
Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo es observable si y solo si:
𝐶
𝐶𝐴
𝑟𝑎𝑛𝑘 [ ]=𝑛
..
𝐶𝐴𝑁−1

o OBSERVADORES DE ESTADO

 ORDEN COMPLETO
Si el observador de estado capta todas las variables de estado del sistema sin importar si algunas
están disponibles por medición directa, se denominan observador de estado de orden completo.
 ORDEN MÍNIMO
Un observador que estima menos de n variables de estado, donde n es la dimensión del vector
de estado, se denomina observador de estado de orden reducido o, simplemente, un observador
de orden reducido. Si el observador de estado de orden reducido es el orden mínimo posible,
se denomina observador de estado de orden mínimo u observador de orden mínimo.

CALCULO
 𝟏
𝑽𝒐 (𝒔) 𝑹𝟏𝑹𝟐𝑪𝟏 𝑪𝟐
=
𝑽𝒊 (𝒔) (𝑹𝟏 + 𝑹𝟐) 𝟏
𝒔𝟐 + 𝑹𝟏𝑹𝟐𝑪 𝒔 + 𝑹𝟏𝑹𝟐𝑪 𝑪
𝟏 𝟏 𝟐

(𝑅1 + 𝑅2) 1
𝑠2 + 𝑠+ =0
𝑅1𝑅2𝐶1 𝑅1𝑅2𝐶1 𝐶2

(𝑅1 + 𝑅2) 𝐶2
ζ= √
2 𝑅1𝑅2𝐶1

Sistema subamortiguado
0<ζ<1
(𝑅1 + 𝑅2) 𝐶2
0< √
2 𝑅1𝑅2𝐶1
<1

Sistema subamortiguado
0<ζ<1

(1 ∗ 103 + 5.6 ∗ 103 ) 1 ∗ 10−6

0< √ <1
2 1 ∗ 103 + 5.6 ∗ 103 ∗ 10−6

0 < 0.70 < 1

Figura 3: Código en Matlab.
 Figura 4: Respuesta de la planta Segundo Orden.

Figura 5: Respuesta de la planta Segundo Orden con sisotool donde podemos observar el lugar geométrico
de las raíces, diagramas de fase y magnitud.
Figura 6:Diseño en simulink de un regulador, observador.
Figura 7:Respuesta que obtenemos en simulink donde la línea azul representa el observador la línea amarilla
el regulador.
 Figura 8:Grafica de nuestra variable de estado.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
Conclusiones:
Los sistemas de control ayudan de gran forma a que un circuito llegue a ser estable en
el menor tiempo posible, es por esto la importancia de los diferentes tipos y orden que
existen.
En la actualidad hay un sinfín de plantas que cumplen una acción específica, es debido
a esto que se estudia el comportamiento de las plantas básicas, esto permite tener un
conocimiento de la forma de manipulación y mantenimiento de las mismas.

Los sistemas de control ayudan de gran forma a que un circuito llegue a ser estable en
el menor tiempo posible, es por esto la importancia de los diferentes tipos y orden que
existen.
 En la actualidad hay un sinfín de plantas que cumplen una acción específica, es debido
a esto que se estudia el comportamiento de las plantas básicas, esto permite tener un
conocimiento de la forma de manipulación y mantenimiento de las mismas.

Recomendaciones:
Se recomienda tener cuidado en el momento de armar la práctica, puesto a que cada
elemento altera de forma significativa el comportamiento de la planta, es por esto que
se debe considerar las variaciones en los elementos físicos (resistencias, capacitores,
inductor). Realizar cada proceso de forma ordenada para evitar la confusión en el
desarrollo de las distintas plantas a ser tratadas.

BIBLIOGRAFIA:

[1] Carlos Platero Dueñas, “Análisis en el dominio del tiempo de sistemas de primer y
segundo orden”, Dpto. Electrónica, Automática e Informática Industrial, 2008

[2] Señales y Sistemas, “Estudio Temporal de Sistemas Continuos de 1er y 2° Orden”,

Universidad Carlos III de Madrid. Departamento de Ingeniería de Sistemas Automática.

[3] Análisis de Sistemas en el dominio del tiempo, Regulación Automática,

Universidad de Oviedo, Gijón, Abril 2013.
ANEXO