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UNIDAD 2

CINEMÁTICA

Se llama cinemática al estudio del movimiento sin tener en cuenta las

fuerzas que lo determinan. Por movimiento se entiende el cambio de posición
de un objeto. Todo movimiento es relativo en el sentido de que depende del
sistema de referencia que se usa para describirlo. Por ejemplo, cuando un bus
pasa por un paradero donde hay un observador, éste describe que el bus está
en movimiento relativo a él. Por el contrario, un pasajero que viaja en el bus
describirá que el observador situado en el paradero se está moviendo respecto
a él. En este capítulo estudiaremos la cinemática de una partícula. Para
desarrollarlo es necesario definir previamente ciertos conceptos
fundamentales.

2.1. Conceptos básicos.

2.1.1. Sistema de referencia.

Es un sistema de coordenadas asociado a un observador u objeto (ver

figura 2.1). En realidad, el sistema de referencia está en la conciencia del
observador, porque cuando describimos el movimiento de un objeto es porque
somos concientes de ello. Un cuerpo se llama sistema de referencia inercial
cuando está en reposo o tiene movimiento rectilíneo uniforme, en cambio se
llama sistema de referencia no inercial cuando tiene movimiento acelerado.
Estrictamente, la materia es un sistema no inercial. Utilizaremos implícitamente
sistemas inerciales porque la física de Newton sólo es válida en dichos
sistemas.

Figura 2.1

2.1.2. Vector de posición.

La posición se entiende como el lugar que ocupa un objeto en el espacio

con respecto a un sistema de referencia. Se representa geométricamente por
un vector ( r ) dibujado desde el origen de coordenadas hasta un punto donde
 53


se localiza un objeto (véase el vector r en la figura 2.1). Analíticamente está
descrito por las coordenadas del punto representativo del objeto.

2.1.3. Desplazamiento.

Es una cantidad vectorial que nos indica qué tan lejos y en qué dirección se
mueve un objeto. Esto se expresa matemáticamentecomo la diferencia entre el
vector posición final ( r ) y el vector posición inicial ( ro ); tal como se indica en la
figura 2.2.
  
Desplazamiento: r r ro (cambio de posición) (2.1)

Figura 2.2

Un diagrama vectorial útil para describir el movimiento unidimensional en la

dirección del eje x es como se muestra en la figura 2.2. La coordenada x0
corresponde a la posición del móvil en el instante t 0 y la coordenada x
corresponde a la posición del móvil en un instante posterior t. por consiguiente,
x – x0 es el desplazamiento en el intervalo de tiempo de t 0 a t.

Figura 2.3


2.1.4. Velocidad media ( v ).

Es una cantidad vectorial que indica qué tan rápido y en qué dirección se
mueve un objeto. Esto se expresa por la razón de cambio:
 54

cambio de posición
velocidad
nedia int ervalo de tiempo

Por ejemplo, en la figura 2.3, si el móvil está en la posición xo en el instante

to y en un instante posterior t se encuentra en otra posición x, entonces su
velocidad media se expresa por

x xo x m
v = , Unidad S.I : (2.2)
t to t s

donde:

xo: posición (inicial) en el instante to.

x : posición (final) en el instante t.

(*) OBSERVACIÓN:

Si para intervalos de tiempo muy pequeños, las correspondientes

posiciones sucesivas del móvil están muy próximas, se define la velocidad
instantánea como sigue:

x dx
v lim = (2.3)
ins tan tánea t 0 t dt

donde la cantidad dx/dt se denomina derivada de la posición de la partícula

respecto al tiempo, en la dirección del eje x, (ver definición de derivada en el
apéndice C).

2.1.5. Distancia.

Es una cantidad escalar (positiva) que indica qué tan lejos se mueve un
objeto. Para el caso especial del movimiento rectilíneo en una sola dirección
se define como la longitud de la trayectoria recorrida por el objeto.

Distancia = x = x – xo (2.4)

2.1.6. Rapidez media.

Es una cantidad escalar (positiva) que nos dice qué tan rápido se mueve un
objeto. Esto se expresa por:

dis tan cia m

rapidez , Unidad S.I. :
nedia int ervalo de tiempo s
 55

x
rapidez = (2.5)
t

2.2. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Este tipo de movimiento se caracteriza por el hecho de que el móvil realiza

desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la
velocidad del móvil es un vector constante. La ecuación que describe la
posición (x) del móvil en función del tiempo (t) es:

x = xo + v (t – to), (2.6)

donde xo es la posición del móvil en el instante t o y v su velocidad.

(*) OBSERVACIONES

1ª) Si to = 0, la Ec.(2.5) se reduce a:

x = xo + v t (2.7)

2ª) Si to = 0, el desplazamiento del móvil está dado por:

x – xo ≡ x = v t (2.8)

3ª) Si to = 0, la distancia recorrida por el móvil se expresa por:

│ x│ = │v│t (2.9)

2.3. Descripción geométrica del MRU

El MRU se puede describir por medio de las gráficas posición versus tiempo
y velocidad versus tiempo (ver figuras 2.4). La gráfica posición versus tiempo
resulta ser una línea recta inclinada que indica que el móvil cambia de posición
uniformemente, y la gráfica velocidad versus tiempo es una línea recta
horizontal que indica que la velocidad del móvil es constante.
 56

Figura 2.4

tan = v , (velocidad del móvil) área = v t , (desplazamiento del móvil)

sombreada

(*) OBSERVACIONES

Para un objeto con MRU en la dirección del eje x se cumplen:

│ x│ ≡ distancia recorrida, │v│ ≡ rapidez

(2.10)

Ejemplo 2.1: En la figura 2.5, se muestra la gráfica de la posición (x) en

función del tiempo (t) de una partícula que se mueve en la dirección del eje x.

a) Hallar la velocidad de la partícula.

b) Determine la posición de la partícula en el instante t = 5 s.

Figura 2.5

Resolución:

a) De la gráfica, la velocidad media de la partícula es:

x xo 0 ( 4)
v = = + 2 m/s
t to 2 0

b) Usando los datos xo = – 4 m; v = + 2 m/s, la ecuación posición – tiempo es:

x = xo + v t = – 4 + 2 t

Para t = 5 s, la posición de la particula será:

x = – 4 + 2 (5) = + 6 m

Ejemplo 2.2: La figura 2.6 muestra la gráfica posición (x) – tiempo (t) de dos
móviles A y B que se desplazan rectilíneamente en la dirección del eje x.
 57

a) Escriba las ecuaciones posición – tiempo para ambos móviles. Haga un

diagrama vectorial.
b) ¿Qué distancia los separará al cabo de 20 segundos?

Figura 2.6

Resolución:

a) Para el móvil A, la ecuación posición – tiempo es

xA = xoA + vo t, (1)

donde xoA = +10 m (posición inicial para t = 0).

De la gráfica, su velocidad es:

50 10
vA = = + 8 m/s
5 0

Reemplazando estos datos en la Ec.(1) se obtiene:

xA = 10 + 8 t (2)

Análogamente, la ecuación posición – tiempo para el móvil B es

xB = xoB + vo t, (3)

donde xoB = +10 m (posición inicial para t = 0).

De la gráfica, su velocidad es:

30 10
vB = = + 2 m/s
10 0

Reemplazando estos datos en la Ec.(3) se obtiene:

xB = 10 + 2 t (4)
 58

Figura 2.7

b) Evaluando las Ecs.(2) y (4) para t = 20 s, se tiene:

xA = 10 + 8 (20) = + 170 m (5)

xB = 10 + 2 (20) = + 50 m (6)

Por tanto, la distancia que los separa es:

d = 170 – 50 = 120 m.

Ejemplo 2.3: Las posiciones de dos móviles A y B que se mueven

rectilíneamente en la dirección del eje x están descritas por las ecuaciones xA
= 8 – 3t; xB = 4 + t donde x se mide en metros y t en segundos

a) ¿Al cabo de qué tiempo los móviles se encontrarán en la misma posición?

¿Cuál es la posición de encuentro?
b) ¿Al cabo de qué tiempo la distancia que separa a los móviles será de 15 m?

Resolución:

a) Según las ecuaciones posición-tiempo, en la figura 2.8 se muestran,

respectivamente, para los móviles A y B, las posiciones iniciales (t o=0), el
instante en que se cruzan y el instante en que están separados 15 m.
 59

Figura 2.8

Cuando los móviles se cruzan se cumple:

xA = xB

8 – 3t = 4 + t

t=1s

La posición de encuentro es:

xA = xB = x = 8 – 3(1) = 4 + (1)

x=8–3=4+1

x=+5m

b) De la figura 2.8 se cumple que:

│xA│ + │xB│ = 15 m

– (8 – 3t) + 4 + t = 15 m

t = 19/4 s = 4,75 s

Ejemplo 2.4: Dos automóviles A y B se desplazan en la dirección del eje x, y

sus posiciones están descritas por las ecuaciones xA = 10 + 40t y xB = 50 + 20t,
respectivamente, donde x se mide en metros y t en segundos desde el
instante t0 = 0.

a) ¿Al cabo de qué tiempo el automóvil A alcanza al automóvil B?

b) ¿Al cabo de qué tiempo la distancia que separa a los automóviles será de
40 m? Interprete esta situación mediante un diagrama vectorial indicando las
posiciones y velocidades.
c) Haga la gráfica de la posición (x) versus el tiempo (t) para ambos
automóviles.

Resolución:

a) Cuando el auto A alcanza al auto B se cumple:

xA = xB 10 + 40t = 50 + 20t t=2s

b) Cuando el auto A está 40 m delante de B se cumple:

xA – xB = 40 10 + 40t – (50 + 20t) = 40 t=4s

 60

Para t = 4 s, los autos A y B están en las posiciones:

xA = 10 + 40 (4) = + 170 m, xB = 50 + 20 ( 4) = + 130 m

en la figura 2.9 se interpreta el movimiento de laos móviles A y B.

Figura 2.9

c) Utilicemos los datos de las tablas siguientes:

Auto “A” Auto “B”

t (s) xA (m) t (s) xB (m)
0 10 0 50
1 50 1 70
2 90 2 90
3 130 3 110
4 170 4 130

Las gráficas posición-tiempo se muestran en la figura 2.10.

Figura 2.10
 61

Ejemplo 2.5: La figura 2.11 muestra la gráfica de la posición (x) en función del
tiempo (t) de un cuerpo que se mueve rectilíneamente en la dirección del eje x.

Figura 2.11

a) Describa el movimiento que realiza el cuerpo durante todo su recorrido

indicando sus velocidades.
b) Escriba la ecuación de la posición del cuerpo en función del tiempo para
cada tramo de su recorrido.
c) ¿Cuál fue su desplazamiento y su velocidad media entre t = 1 s y t = 11
s?
d) Haga la conversión de la gráfica posición (x) versus tiempo (t) a una gráfica
velocidad (v) versus tiempo (t).

Resolución:

a) Entre t = 0 y t = 2s, el cuerpo tiene MRU, en la dirección del eje + x

La velocidad del cuerpo es:

4 0
v= = + 2 m/s
2 0

Entre t = 2 s y t = 4 s, el cuerpo está en reposo (v = 0) en la posición x = + 4m.

Entre t = 4 s y t = 6 s, el cuerpo tiene MRU en la dirección del eje – x

La velocidad del cuerpo es:

4 4
v= = – 4 m/s
6 4

Entre t = 6 s y t = 8 s, el cuerpo está en reposo (v = 0) en la posición x = – 4m.

Entre t = 8 s y t = 12 s, el cuerpo tiene MRU en la dirección del eje + x

La velocidad del móvil es:

0 ( 4)
v= = + 1 m/s
12 8
 62

b) Utilizando la ecuación general:

x = x0 + v(t – t0) (1)

Para 0 < t < 2 s, x0 = 0 y t0 = 0, la velocidad del cuerpo es v = + 2 m/s. Por

tanto, en Ec.(1):

x=2t (2)

Para 2 s < t < 4 s, el cuerpo está en reposo en la posición x = + 4 m.

Para 4 s < t < 6 s: x0 = + 4 m, t0 = 4 s, v = – 4 m/s. Por tanto, en (1) se obtiene:

x = 4 – 4 (t – 4) = 20 – 4t (3)

Para 6 s < t < 8 s: x = – 4 m, v = 0

Para 8 s < t < 12 s: x0 = – 4 m, t0 = 8 s, v = + 1 m/s. Por tanto, en (1) se obtiene:

x = – 4 + (t – 8) = – 12 + t (4)

c) Para t1 = 1 s, en la Ec.(2) se obtiene: x1 = 2t = 2 (1) = + 2 m

Para t2 = 11 s, en la Ec.(4) se obtiene: x2 = – 12 + 11 = – 1 m

El desplazamiento es: x2 – x1 = – 1 – 2 = – 3 m

Por tanto, la velocidad media es:

x2 x1 3
v= = = – 0,3 m/s.
t2 t1 11 1

d) La conversión a la gráfica velocidad versus tiempo es como se muestra en

la fugura 2.12.

Figura 2.12

2.4. Aceleración media.

 63

Es una cantidad vectorial qué indica qué tan rápido cambia la velocidad de
un objeto. Esto se expresa mediante la razón de cambio:

cambio de velocidad
aceleración
nedia int ervalo de tiempo

Por ejemplo, en la figura 2.13, si el móvil tiene en la posición xo una

velocidad vo en el instante to y en la posición x tiene otra velocidad v en el
instante t, entonces su aceleración se expresa por

v vo m
a , Unidad S.I. : (2.11)
t to s2

Figura 2.13

(*) OBSERVACIONES

1ª) Movimiento acelerado significa: aumento de la rapidez. Geométricamente

es como se muestra en la figura 2.14.

Figura 2.14

2ª) Movimiento desacelerado significa: disminución de la rapidez.

Geométricamente se muestra en la figura 2.15.

Figura 2.15

3ª) Si para intervalos de tiempo muy pequeños, las correspondientes

velocidades sucesivas del móvil están muy próximas, se define la aceleración
instantánea como sigue:
 64

v dv
a lim = (2.12)
ins tan tánea t 0 t dt

donde la cantidad dv/dt se denomina derivada de la velocidad de la partícula

respecto al tiempo, en la dirección del eje x (ver definición de derivada en el
apéndice C).
 65

LECCIÓN 2: MOVIMIENTO VARIADO

2.5. Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV).

Este movimiento se caracteriza por el hecho de que el móvil realiza cambios

de velocidad iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la
aceleración del móvil es un vector constante. Por ejemplo, el MRUV de un
móvil tiene las propiedades que se indica en la figura 2.16, se muestra el
MRUV es un móvil en la dirección del eje x.

Figura 2.16

2.6. Ecuaciones del MRUV.

Despejando v de la Ec.(2.11) se obtiene la fórmula velocidad (v) – tiempo (t):

v = vo + a (t – to), (2.13)
donde:

vo: velocidad (inicial) en el instante t o

v: velocidad (final) en el instante t.

Se demuestra que la fórmula posición (x) – tiempo (t) está dada por

x xo v o (t t o ) 1
2
a (t t o )2 (2.14)

donde:

xo: posición (inicial) en el instante t o

x: posición (final) en el instante t.

Eliminando t de las Ecs.(2.13) y (2.14) se obtiene la fórmula velocidad (v) –

posición (x):

v2 = vo2 + 2 a (x – xo) (2.15)

donde:

vo: velocidad (inicial) en la posición xo

v: velocidad (final) en la posición x,
 66

(*) OBSERVACIONES

1º) Para to = 0, las Ecs.(2.13) y (2.14) se reducen a:

v = vo + a t, (2.16)

x xo vot 1
2
a t2 (2.17)

2º) Para to = 0 y d = x – xo, las Ecs.(2.14) y (2.15) se reducen a:

d vot 1
2
a t2 (2.18)

v2 = vo2 + 2 a d (2.19)

3º) Sólo en el MRUV se cumple:

vo v
v (velocidad media) (2.20)
2

Además, combinando las Ecs.(2.16) y (2.19) se deduce:

vo v
d t (desplazamiento) (2.21)
2

donde: d = x – xo.

2.7. Descripción Geométrica del MRUV.

El MRUV de un móvil se puede describir mediante las siguientes gráficas:

2.7.1. Gráfica posición – tiempo.

Para un móvil que parte del reposo (vo = 0), la gráfica posición – tiempo para
los casos de movimiento acelerado y desacelerado es una parábola (véase la
figura 2.17).

(Movimiento acelerado) (Movimiento desacelerado)

 67

Figura 2.17

2.7.2. Gráfica velocidad – tiempo.

Para un móvil que tiene una velocidad inicial, v o, en el instante to, la gráfica
velocidad – tiempo, para los casos de movimiento acelerado y desacelerado,
resulta una línea recta inclinada (véase la figura 2.18). La pendiente de la
recta representa la aceleración media del móvil y el área sombreada
representa el desplazamiento d en el intervalo de tiempo t.

(Movimiento acelerado) (Movimiento desacelerado)

Figura 2.18

2.7.2. Gráfica aceleración – tiempo.

La gráfica aceleración – tiempo, resulta una línea recta horizontal (véase la

figura 2.19) que indica una aceleración constante. El área sombreada
representa el cambio de velocidad (v – vo) que experimenta el móvil en el
intervalo de tiempo t.

área sombreada cambio de velocidad v – vo = a t

Figura 2.19

Ejemplo 2.6: Una partícula se mueve rectilíneamente en la dirección del eje x

de acuerdo a la ecuación

x = 6 + 4t – 2 t2,
 68

donde x se mide en metros y t en segundos.

a) Hallar el tiempo que tarda la partícula en retornar al punto de partida.

b) ¿Cuál es su velocidad al retornar al punto de partida?

Resolución:

a) Comparando la ecuación dada con la ecuación general.

1 2
x xo vot a t , (1)
2

se deduce que la posición inicial de la partícula es:

xo = + 6 m

Cuando la partícula pasa por el punto de partida, ponemos x = + 6 m en la

ecuación posición – tiempo y se escribe:
2
x = 6 = 6 + 4t – 2 t ,

de donde

t=2s

b) Comparando la ecuación dada con la Ec.(1), se deduce que la velocidad

inicial de la partícula es:

vo = + 4 m/s

Además, la aceleración de la partícula se obtiene, como sigue:

1
a=–2 a = – 4 m/s2
2

La velocidad de la partícula en cualquier instante t es:

v = vo + a t = 4 – 4 t

Por tanto para t = 2 s:

v = 4 – 4 (2) = 4 – 8 = – 4 m/s

Ejemplo 2.7: Un automóvil viaja rectilíneamente (en la dirección del eje x) con
una rapidez de 20 m/s. Si al cabo de 10 segundos se aplican los frenos, se
 69

observa que en los siguientes 10 segundos la velocidad del automóvil

disminuye uniformemente hasta detenerse. Suponga que el movimiento del
automóvil es observado desde la posición x0=0, en el instante t0 = 0.

a) ¿Qué tipos de movimientos realiza el automóvil?

b) Escriba las ecuaciones de la posición (x) en función del tiempo (t).
c) ¿En qué posición se detiene el automóvil?
d) Haga un diagrama vectorial para el movimiento del automóvil indicando sus
posiciones y velocidades.
e) ¿Cómo será la gráfica de la velocidad (v) versus el tiempo (t) para todo su
recorrido?
f) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el automóvil?

Resolución:

a) Entre t0 = 0 y t = 10 s: MRU, con velocidad v = + 20 m/s = constante

Entre t = 10s y t = 20 s: MRUV (movimiento desacelerado), con aceleración:

0 20
a = = – 2 m/s2 = constante
20 10

b) Para 0 < t < 10 s, usamos la ecuación general:

x = xo + v(t –to) (1)

donde xo = 0, v = + 20m/s.

Reemplazando en (1):

x = 20t (2)

Para 10 s < t < 20 s, usamos la ecuación general:

1
x = xo + vo t + a (t –to)2 (3)
2

donde to = 10 s, vo = + 20 m/s (velocidad inicial).

La posición xo se obtiene reemplazando t = 10 s en la Ec.(2):

xo = 20 (10) = + 200 m (posición inicial)

Finalmente, reemplazando en la Ec.(3) se obtiene:

x = 200 + 20 (t – 10) – (t – 10)2 (4)

c) Usando la ecuación:
 70

v = vo + a(t – to) = 20 - 2 (t – 10) = 0

el auto se detiene en el instante:

t = 20 s (instante en que se detiene)

Reemplazando en la Ec.(4), el auto se detiene en la posición:

x = 200 + 20 (20 – 10) – (20 – 10)2 = + 300 m.

d) Interpretación del movimiento: la figura 2.20 muestra tres instantes del

movimiento del auto.

Figura 2.20

e) La figura 2.21 muestra la gráfica v versus t:

Figura 2.21

f) La distancia total recorrida es:

10 20
d= 20 300 m
2

Ejemplo 2.8: La ecuación de la posición (x) versus el tiempo (t) de una

partícula que se desplaza rectilíneamente en la dirección del eje x está dada
por x = –2 + 12t – 2t2, donde x se mide en metros y t se mide en segundos
desde el instante t0 = 0.

a) ¿Al cabo de qué tiempo el desplazamiento de la partícula será +18 m?

b) Determine la posición y velocidad de la partícula en el instante t = 3 s.
 71

c) Interprete el movimiento de la partícula mediante un diagrama vectorial,

indicando sus posiciones y velocidades.

Resolución:

a) Pongamos:

1 2
x = – 2 + 12t – 2t2 = x0 + v0t + at (1)
2

El desplazamiento está dado por:

x – x0 = x – (– 2) = + 18 m

12t – 2t2 = 18 t2 – 6t + 9 = 0

(t – 3)2 = 0 t=3s

b) De la Ec.(1) se obtiene la posición de la partícula poniendo t = 3 s:

x = – 2 + 12(3) – 2(3)2 = + 16 m

La velocidad de la partícula en cualquier instante está dada por:

v = v0 + at (2)

Comparando coeficientes en la Ec.(1) se deducen:

x0 = – 2 m (posición inicial) ; v0 = + 12 m/s (velocidad inicial)

1
a=–2 a = – 4 m/s2 (aceleración)
2

Reemplazando valores en la Ec.(2) da:

v = 12 – 4t
Por tanto, la velocidad de la partícula para t = 3 s es:

v = 12 – 4(3) = 0

c) En la figura 2.22 se muestran las posiciones inicial (t o = 0) y final (t = 3 s),

así como el desplazamiento del móvil.
 72

Figura 2.22

Ejemplo 2.9: La tabla adjunta indica la posición (x) de una partícula con
movimiento rectilíneo (en la dirección del eje x) en cada instante de tiempo (t).

t(s) 0 1 2 3 4
x(m) 0 6 12 13 16

a) Haga una gráfica de x en función de t, si entre t = 0 y t = 2 s la partícula

tiene MRU y entre t = 2 s y t = 4 s tiene MRUV con aceleración de + 2 m/s 2.
b) Escriba las ecuaciones posición – tiempo que describen el MRU y el MRUV
de la partícula. Suponga que, en el MRUV, la partícula parte del reposo.
c) ¿Cuál es la posición y la velocidad de la partícula en el instante t = 3,5 s?
d) ¿Cuál fue el desplazamiento de la partícula entre t = 0,5 s y t = 3,5 s? Haga
un diagrama vectorial de su desplazamiento.

Resolución:

a) La figura 2.23 muestra la gráfica de la posición (x) versus el tiempo (t).

Entre t = 0 y t = 2 s, la partícula tiene MRU, y entre t = 2 s y t = 4 s, la partícula
tiene MRUV.

Figura 2.23

b) Para 0 < t < 2 s:

 73

x = xo + v t, (1)

donde xo = 0 (posición inicial), y su velocidad es (ver figura 2.23):

12 0
v= = + 6 m/s
2 0

Por consiguiente, reemplazando en (1) se obtiene:

x=6t (2)

Análogamente, para 2 s < t < 4 s:

1
x = xo + vo (t – 2) + a (t – 2)2, (3)
2

donde vo = 0, xo = + 12 m, a = + 2 m/s2.

Insertando valores en la Ec.(3) da:

x = 12 + (t – 2)2 (4)

c) Para 2 s < t < 4 s:

v = vo + a (t – 2) ; vo = 0

Entonces la ecuación velocidad – tiempo es:

v = 2 (t – 2) (5)

Para t = 3,5 s, la posición y velocidad de la partícula son respectivamente:

x = 12 + (3,5 – 2)2 = + 14,25 m; v = 2 (3,5 – 2) = + 3 m/s

d) Para t = 0,5 s la Ec.(2) da x = 6 (0,5) = + 3 m y para t = 3,5 s la Ec.(4) da

x = + 14,25 m. Por tanto, el desplazamiento de la partícula es d = 14,25 – 3 =
+11,25m. La figura 2.24 muestra el diagrama vectorial de este desplazamiento.

Figura 2.24
 74

Ejemplo 2.10: Un cuerpo parte del reposo y se mueve rectilíneamente en la

dirección del eje x. Durante los primeros 6 segundos acelera a razón de 1 m/s 2,
luego continúa con velocidad constante durante los 5 segundos siguientes y
finalmente vuelve al reposo desacelerando a razón de 1,5 m/s 2.

a) Haga una gráfica de la aceleración del cuerpo en función del tiempo.

b) Escriba las ecuaciones de la velocidad del cuerpo en función del tiempo
para cada tramo de su recorrido.
c) ¿Cuánto tiempo permaneció el cuerpo en movimiento?
d) Haga una gráfica de su velocidad en función del tiempo.
e) Escriba la ecuación de la posición del cuerpo en función del tiempo para
cada tramo de su recorrido.
f) ¿Cuál fue su desplazamiento entre t = 4 s y t = 13 s? Suponga que el cuerpo
parte de la posición xo = 0 en el instante to = 0. Interprete el movimiento del
cuerpo mediante un diagrama.

Resolución:

a) La figura 2.25 muestra la gráfica aceleración vs tiempo:

Figura 2.25

b) Usando la ecuación general :

v = vo + a (t – to) (1)
2
Para 0 < t < 6 s: to = 0, vo = 0, a = + 1 m/s

Reemplazando en la Ec.(1) se obtiene:

v = t, (2)

Para 6 s < t < 11 s: el cuerpo tiene MRU

v = + 6 m/s = constante
 75

Para 11 s < t < tF: to = 11 s, vo = + 6 m/s, a – 1,5 m/s2

Reemplazando en la Ec.(1) se obtiene:

v = 6 – 1,5 (t – 11) (3)

c) Poniendo v = 0 en la Ec.(3) se deduce:

v = 6 – 1,5 (tF -11) = 0 tF = 15 s

d) La figura 2.26 muestra la gráfica v vs t:

Figura 2.26

e) Usando la ecuación general posición – tiempo para el MRUV:

1
x = xo + vo (t –to) + a (t –to)2 (4)
2

Para: 0 < t < 6 s: xo = 0, vo = 0, a = + 1 m/s2

Reemplazando en la Ec.(4) se obtiene :

1 2
x= t (5)
2

Usando la ecuación general posición – tiempo para el MRU

x = xo + v (t – to) (6)

Para 6 s < t < 11 s: to = 6 s, xo = + 18 m, v = + 6 m/s.

Reemplazando en la Ec.(6) da:

x = 18 + 6 (t – 6) (7)

Para 11 s < t < 15 s: to = 11 s, vo = + 6 m/s, a = +1,5 m/s2.

Reemplazando en la Ec.(4) da:

x = 48 + 6 (t – 11) – 0,75 (t – 11)2 (8)

 76

f) La posición del cuerpo en el instante t = 4 s se obtiene de la Ec.(5):

1 2
x1 = (4) = + 8 m
2

Análogamente, la posición del cuerpo en el instante t = 13 s se obtiene de la

Ec.(8):
2
x2 = 48 + 6 (13 - 11) – 0,75 (13 - 11) = 48 + 12 – 3 = + 57 m

Por tanto, el desplazamiento entre t = 4 s y t = 13 s es:

x2 – x1 = 57 – 8 = + 49 m

Interpretación del movimiento: la figura 2.27 muestra cuatro instantes del

movimiento del cuerpo.

Figura 2.27

2.8. Movimiento vertical ("caída libre").

Es un caso especial de MRUV, el cual se verifica cerca de la superficie

terrestre siempre que se desprecie la resistencia del aire. La única aceleración
que experimenta el móvil es la aceleración de la gravedad, la cual se asume
constante y se expresa vectorialmente por: g 0, g , donde el signo negativo
indica que la dirección de la aceleración de la gravedad es hacia abajo (en la
dirección del eje – y).
 77

Figura 2.28

Supóngase que un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba (en la


dirección del eje + y) con una velocidad v o 0, v o desde la posición

y o 0, y o en el instante to = 0, tal como se muestra en la figura 2.28. Por
consiguiente, las ecuaciones que describen el movimiento vertical del cuerpo
son:

v = vo – g t (2.22)

y yo vo t 1
2 gt 2 (2.23)

2 2
v = vo – 2 g (y – yo) (2.24)

Ejemplo 2.11: Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una

velocidad de +5m/s desde una altura de 10 m con respecto a la superficie
terrestre. Suponga que el movimiento del proyectil es descrito desde el
instante t0 = 0, y considere g = 10 m/s2.

a) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar a la superficie terrestre.

b) ¿Con qué rapidez llega el proyectil a la superficie terrestre?
c) Haga una gráfica de la posición del proyectil en función del tiempo. ¿Qué
puede deducir según la gráfica?

Resolución:

a) Poniendo el origen de coordenadas en el suelo, la posición del proyectil en

cualquier instante t es:
 78

1 2
y = y0 + v0t – gt = 10 + 5t – 5 t2 (1)
2

Cuando el proyectil llega al suelo se tiene:

y = 10 + 5t – 5t2 = 0 (2)

Factorizando:

(t + 1) (t – 2) = 0

La raíz t = – 1 s se descarta porque t > 0. Por tanto, el proyectil llega al suelo

en t = 2 s.

b) La velocidad del proyectil en cualquier instante t es:

v = v0 – gt = 5 – 10 t (3)

Para t = 2 s, en la Ec.(3) se obtiene la velocidad:

v = 5 – 10(2) = – 15 m/s

c) Usando la Ec.(1), se obtienen la tabla adjunta y la gráfica y vs t (ver figura

2.29).
 79

t(s) y(m)
0 10
1 10
2 0

Figura 2.29

Por tanto, se deduce que el proyectil tiene MRUV.

Ejemplo 2.12: Un cuerpo A es soltado desde el borde del techo de un edificio

de 50 m de altura. Simultáneamente otro cuerpo B es lanzado verticalmente
hacia arriba con una velocidad de + 5 m/s desde una ventana exterior del
edificio situada a 10 m por debajo del punto de caída del cuerpo A. Suponga
que el movimiento de los cuerpos es descrito desde el instante t0 = 0, y
considere g = 10 m/s2.

a) ¿Al cabo de qué tiempo el cuerpo A y el cuerpo B se encontrarán en la

misma posición?
b) ¿Cuál es la posición de encuentro de ambos cuerpos respecto al punto de
lanzamiento del cuerpo B?
c) Haga una gráfica de la velocidad en función del tiempo para ambos cuerpos.
d) ¿Cuál de los cuerpos recorrió la mayor distancia hasta el instante del
encuentro? Explique por qué.

Resolución: +y
v0= 0
A +10 m

10 m
+5 m/s
B
0
yA yB

A B 10 m

Figura 2.30

a) La posición del cuerpo A en cualquier instante t es:

1
yA = 10 + (0)t – (10)t2 = 10 – 5t2 (1)
2
 80

Análogamente la posición del cuerpo B en cualquier instante t es:

1
yB = 0 + 5t – (10)t2 = 5 – 5t2 (2)
2

Los cuerpos A y B se encontrarán en la misma posición cuando yA = yB , o sea

cuando:

10 – 5t2 = 5t – 5t2,

de donde se obtiene: t = 2 s.

b) Evaluando la Ec.(1) o (2) para t = 2s, se obtiene el punto de encuentro:

yA = yB = 10 – 5(2)2 = 5(2) – 5(2)2 = – 10 m

Este resultado indica que, en t = 2 s, los cuerpos se encontrarán a 10m por

debajo de la ventana (ver figura 2.30).

c) Para el cuerpo A: vA = – 10t

t(s) 0 1 2 3
vA (m/s) 0 – 10 – 20 – 30

Para el cuerpo B: vB = 5 – 10t

t(s) 0 1 2 3
vB (m/s) 5 –5 – 15 – 25

Usando los datos de las tablas anteriores se obtienen las gráficas velocidad –
tiempo para los cuerpos A y B que se muestran en la figura 2.31.

v(m/s)
5
t(s)
0 1 2 3
5

10

15

20 B
A

Figura 2.31

d) De la gráfica (figura 2.31) se deduce que el cuerpo A recorre la distancia

 81

1
dA = (20) (2) = 20 m
2

Análogamente, de la gráfica (figura 2.31) se deduce que el cuerpo B recorre la

distancia:

1 3
5 (15 )
2 2
dB = = 12,5 m
2 2

Vemos que dA > dB. Esto se debe a que el cuerpo A desciende con mayor
rapidez que el cuerpo B, como se muestra en las tablas de la pregunta (c).

Ejemplo 2.13: Un objeto que cae pasa por una ventana que tiene una longitud
de 1,35 metros durante 0,3 segundos. ¿Desde qué altura sobre la ventana se
soltó el objeto? Considere g = 10 m/s2.

Resolución:

Figura 2.32

Utilizando la ecuación:

1 2
y = yo + vo t – gt, (1)
2

donde vo = 0. Además, según la ubicación de nuestro eje de referencia: yo = (h

+ 1,35).

En el instante t, la posición del cuerpo (ver figura 2.32) es:

1 2
y = + 1,35 = h + 1,35 – (10) t
2

Entonces:
 82

h = 5 t2 (2)

En el instante (t + 0,3) s, la posición del cuerpo (ver figura 2.32) es:

1
y = 0 = (h + 1,35) – (10) (t + 0,3)2,
2

de donde:

h + 1,35 = 5 (t + 0,3)2 (3)

Reemplazando Ec.(2) en (3):

5 t2 + 1,35 = 5 (t2 + 0,6 t + 0,09),

de donde se obtiene: t = 0,3 s

Finalmente, sustituyendo este resultado en la Ec.(2) se obtiene la altura:

h = 5 (0,3)2 = 0,45 m

Ejemplo 2.14: Una piedra es lanzada desde el suelo con un ángulo de

elevación de 53º hacia un árbol situado a una distancia horizontal de 36 m. Si
la piedra tarda 3 s en llegar a la punta del árbol:
(Considere g = 10 m/s2).
a) ¿Con qué rapidez se lanzó la piedra?
b) ¿Cuál es la altura del árbol?

Resolución:

Figura 2.33

a) Las componentes de la velocidad inicial son:

 83

3 4
vox = vo cos 53º = vo, voy = vo sen 53º = vo.
5 5

Poniendo el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, en el eje x se

cumple:

x = (vo cos 53º) t

Para t = 3 s:

3
x = 36 = vo (3) vo = 20 m/s
5

b) Usando:

1 2
y = voy t – gt
2

Cuando la piedra llega a la punta del árbol:

1 2
y = h = (vo sen 53º) t – gt
2

Para t = 3 s:

4 1 2
h = 20 3 10 3 = 3 m
5 2
 84

LECCIÓN 3: MOVIMIENTO PARABÓLICO

2.9. Movimiento parabólico.

Es un movimiento en dos dimensiones. La trayectoria del cuerpo es una

parábola siempre que el movimiento se realice cerca de la superficie terrestre
y se desprecie la resistencia del aire.

2.9.1. Descripción geométrica.

Considérese el movimiento de un proyectil lanzado desde la posición (0, 0)

en un sistema de coordenadas xy con una velocidad v o formando un ángulo
con respecto al eje x, según se indica en la figura 2.34. Este movimiento se
describe como la superposición de dos movimientos: MRU y MRUV, los cuales
se cumplen independientemente en los ejes x e y respectivamente. Por
consiguiente, la componente de la velocidad en la dirección del eje x será
constante y la componente de la velocidad en la dirección del eje y variará
debido a la gravedad.

Figura 2.34

2.9.2. Descripción analítica.

Para el caso de la figura 2.34, las ecuaciones que describen el movimiento

parabólico del proyectil son:

En la dirección del eje x: ax = 0, vox = vo cos = constante. La ecuación

posición – tiempo es:

x = (vo cos ) t (2.25)

En la dirección del eje y: ay = – g, voy = vo sen . Las ecuaciones son:

vy = voy – g t (2.26)

y v oy t 1
2
gt 2 (2.27)
 85

vy2 = voy2 – 2 g y (2.28)

(*) OBSERVACIONES

1º) La magnitud de la velocidad del proyectil en cualquier punto de la

trayectoria está dada por:

v v 2x v 2y (2.29)

2º) La altura máxima que alcanza el proyectil respecto al punto de lanzamiento

está dada por:
v o2 sen2
y máx (2.30)
2g

3º) El alcance horizontal del proyectil respecto al punto de lanzamiento está

dado por:

v o2 sen 2
x máx (2.31)
g

4º) El tiempo de vuelo del proyectil está dado por:

2v o sen
tv (2.32)
g

Ejemplo 2.15: Desde lo alto de una torre de 50 m de altura se lanza una

piedra con una velocidad de 30 m/s formando un ángulo de 30º sobre la
horizontal. (g = 10 m/s2)

a) ¿Al cabo de qué tiempo llega al suelo?

b) ¿A qué distancia de la base de la torre caerá la piedra?
c) ¿Con qué rapidez llega al suelo?
d) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra con respecto al suelo?

Resolución:
 86

Figura 2.35

a) Usamos la ecuación:

y yo v oy t 1
2
gt 2 , (1)

donde yo = +50 m, voy = vo sen 30º = +15 m/s. Reemplazando en (1):

y 50 15 t 1
2
(10 )t 2 (2)

Cuando el proyectil llega al suelo (ver figura 2.35) se pone:

y 50 15 t 5t 2 = 0,

o también:

t2 5t 10 0

Factorizando:

(t + 2) (t – 5) = 0

Como t 0, entonces la raíz t = – 2 s se descarta. Por consiguiente, el proyectil

llega al suelo en t = 5 s.

b) En la dirección del eje x, usamos la ecuación:

x = xo + vox t (3)

donde xo = 0, vox = vo cos 30º = + 15 3 m/s. Reemplazando en (3):

x 15 3 t (4)

Reemplazando t = 5 s, la distancia horizontal a la base de la torre es

x 75 3 m

c) Usando la ecuación:

vy = voy – g t (5)
Para t = 5 s:

vy = 15 – 10 (5) = – 35 m/s

Como vx = + 15 3 m/s, la rapidez con que llega al suelo es:

 87

2 2
v v 2x v 2y = 15 3 35 = 1900 10 19 m/s

d) La altura respecto al nivel del lanzamiento (ver figura 2.35) se calcula

usando la fórmula:

v o2 sen2
h (6)
2g

Reemplazando datos:

2
30 sen 30
h = 11,25 m
2(10)

Por tanto, la altura respecto al suelo es: 50 + 11,25 = 61,25 m.

Ejemplo 2.16: Una piedra es lanzada desde el punto A con una velocidad de
50 m/s y 30º sobre la horizontal. Simultáneamente se deja caer una piedra
desde el punto B como se indica en la figura 2.36. (considere g = 10 m/s2)

Figura 2.36

a) ¿Al cabo de qué tiempo chocarán?

b) ¿A qué altura h chocarán?
c) ¿Para qué ángulo de tiro el proyectil impactará con el otro a una altura h =
25/3 m si es lanzado con la misma rapidez?

Resolución:

a) Usando la ecuación:

y yo v oy t 1
2
gt 2 , (1)

Para el cuerpo A: yo = 0, voy = vo sen 30º = +25 m/s. Reemplazando en (1):

yA 25 t 5t 2 (2)
 88

Para el cuerpo B: yo = +50 m, voy = 0. Reemplazando en (1):

yB 50 5t 2 (3)

Cuando las piedras chocan se cumple:

yA yB ,

O sea:

25t 5t 2 50 5t 2

de donde se deduce que las piedras chocarán en t 2 s.

b) Reemplazando t = 2 s en la Ec.(2) se obtiene:

y 25(2) 5(2) 2 30 m

Por tanto, chocarán a la altura h = 30 m.

c) La posición en el eje x del proyectil lanzado desde A en cualquier instante t

es:

x v o cos t (4)

donde  es el ángulo de tiro buscado. Despejando t de esta ecuación:

x
t (5)
v o cos

Reemplazando la Ec.(5) en la Ec.(3) y considerando la nueva posición de

choque, yB = h, se tiene:

2
x
h 50 5 (6)
v o cos

La coordenada x es la misma para ambos cuerpos en el punto de impacto, y se

calcula reemplazando los datos vo = 50 m/s, = 30º, t = 2 s en la Ec.(2.79).

x 50 cos 30 2 = 50 3 m

Reemplazando estos datos en la Ec.(6) y despejando se obtiene:

 89

15
cos2
50 h

Para h = 25/3 m, se obtiene

9 3
cos2 cos
25 5

Por tanto, el nuevo ángulo de tiro será = 53º

Ejemplo 2.17: Una proyectil es lanzado horizontalmente desde el punto (0,0)

en el instante to = 0, y su trayectoria está descrita por la ecuación y = – x2/20,
donde x e y se miden en metros. Determinar:

a) La rapidez inicial del proyectil.

b) La rapidez del proyectil en el punto 10 3 , 15 m .

Resolución:

a) La ecuación de la trayectoria es:

x2
y (1)
20

En la dirección del eje x se cumple:

x vot (2)

donde vo es la velocidad inicial.

En la dirección del eje y se cumple:

1 2
y gt (3)
2

Despejando t de la Ec.(2):

x
t (4)
vo

Sustituyendo (4) en (3):

2
1 x
y g
2 vo
 90

O también:

g
y 2
x2 (5)
2v o

Comparando las Ecs.(1) y (5):

g 1
2v o2 20

De donde:

vo 10 m / s

(b) Como la velocidad horizontal permanece constante (v x = 10 m/s), sólo hay

que calcular la componente vy. Usando la fórmula:

v 2y 2 gy (6)

Para y = -15 m, se obtiene:

v 2y = – 2 (10) (– 15) = 300

vy = – 10 3 m/s

Aquí el signo negativo significa que la componente vertical de la velocidad y

tiene la dirección del eje – y (hacia abajo). Por tanto, la rapidez del proyectil en
el punto buscado es:

v v 2x v 2y 102 300 = 20 m/s.

La figura 2.37 muestra la trayectoria del proyectil hasta el punto considerado.

Figura 2.37
 91

LECCIÓN 3: MOVIMIENTO CIRCULAR

2.10. Movimiento circular.

Es un movimiento en dos dimensiones. La trayectoria de la partícula es una

circunferencia. Para describir el movimiento circular hay que tener en cuenta
los siguientes conceptos:

2.10.1. Desplazamiento angular.

Considere una partícula que describe una circunferencia de radio R (ver

figura 2.38). Si en el instante to, el vector de posición de la partícula forma un
ángulo o con el eje x, y en el instante posterior t, el vector de posición de la
partícula forma un ángulo con el eje x, se define el desplazamiento angular
por:

= - o (cambio de posición angular) (2.33)

Figura 2.38

(*) OBSERVACIONES

1º) La longitud de recorrido de la partícula entre to y t es:

s=R , (2.34)

donde R es el radio de la circunferencia.

2º) Las coordenadas x e y de la partícula en el instante t son:

x = R cos , y = R sen ,

donde R es el radio de la circunferencia. Elevando al cuadrado las ecuaciones

anteriores, y sumando se obtiene:
 92

x2 + y2 = R2, (2.35)

que es la ecuación de la circunferencia descrita por la partícula.

2.10.2. Velocidad angular media ( ).

Es una cantidad vectorial qué indica que tan rápido y en qué dirección gira
una partícula. Esto se expresa mediante la razón de cambio:

desplazamiento angular
int ervalo de tiempo

Por ejemplo, en la figura 2.38, si la partícula en el instante to tiene la

posición angular o (con respecto al eje x) y en un instante posterior t tiene otra
posición angular , entonces su velocidad angular media se expresa por:

o rad
, Unidad S.I. : (2.36)
t to t s
donde:

o: posición angular (inicial) en el instante to.

: posición angular (final) en el instante t.

(*) OBSERVACIONES:

1º) Si para intervalos de tiempo muy pequeños, las correspondientes

posiciones angulares sucesivas de la partícula están muy próximas, se define
la velocidad angular instantánea como sigue:

d
lim = , (2.37)
ins tan tánea t 0 t dt

donde el d /dt se denomina derivada de la posición angular de la partícula con

respecto al tiempo (ver definición de derivada en el apéndice C).

2º) La dirección de la velocidad angular ( ) se determina usando la regla de la
mano derecha como sigue: si los dedos de la mano derecha apuntan en la
dirección del radio vector de la partícula y se flexionan en el mismo sentido en
que gira la partícula, el pulgar extendido indicará la dirección de su velocidad
angular (véase la figura 2.39).
 93

figura 2.39.

2.10.2. Periodo (T) y frecuencia (f)

El periodo en el movimiento circular se define como el intervalo de tiempo

que demora la partícula en dar una vuelta. Por otro lado, la frecuencia en el
movimiento circular se define por:

Número de vueltas
f
int ervalo de tiempo

O también:

1 1 1
f Unidad S.I. : s Hertz Hz (2.38)
T s

2.11. Movimiento circular uniforme (MCU)

Se caracteriza por el hecho de que la partícula realiza desplazamientos

angulares iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la

velocidad angular ( ) del móvil es constante, y su magnitud se expresa por:

2
cons tan te (rapidez angular) (2.39)
T

La ecuación que describe la posición angular ( ) de la partícula en función

del tiempo (t) es:

= o + (t – to), (2.40)

donde:
 94

: posición angular de la partícula en el instante t

o: posición angular de la partícula en el instante to

(*) OBSERVACIONES:

1ª) Si to = 0, la Ec.(2.40) se reduce a:

= o + t, (2.41)

2ª) Si o = 0 para to = 0 la Ec.(2.40) se reduce a:

= t, (2.42)

2.12. Descripción geométrica del MCU.

En analogía con el MRU, el MCU también se puede describir por medio de

las gráficas posición angular versus tiempo y velocidad angular versus tiempo
(ver figuras 2.40). La gráfica posición angular versus tiempo resulta una línea
recta inclinada que indica que la posición angular de la partícula cambia
uniformemente. La gráfica velocidad angular versus tiempo es una línea recta
horizontal que indica que la velocidad angular de la partícula permanece
constante.

Figura 2.40

La pendiente de la recta inclinada en la gráfica posición angular – tiempo

representa la velocidad angular de la partícula, y el área sombreada en la
gráfica velocidad angular – tiempo representa el desplazamiento angular en el
intervalo de tiempo t.

2.12. Velocidad tangencial.

La velocidad tangencial se representa por un vector tangente en cada punto

de la circunferencia. Su dirección cambia en cada punto de la circunferencia
pero su magnitud, en el MCU, permanece constante (ver figura 2.41).
 95

Figura 2.41

En el MCU la magnitud de la velocidad tangencial equivale a la longitud de

recorrido de la circunferencia durante un periodo de tiempo. Esto se expresa
por:

2 R
v cons tan te , (rapidez tangencial) (2.43)
T

donde R es el radio de la circunferencia.

2.14. Relación general entre la velocidad tangencial y la velocidad

angular.

Combinando las Ecs.(2.39) y (2.43) se obtiene:

v= R, (2.44)

donde R es el radio de la circunferencia. Esta fórmula es válida para todo tipo

de movimiento circular.

OBSERVACIÓN:

La expresión vectorial que relaciona los vectores velocidad angular y

velocidad tangencial es
  
v r, (2.45)

donde r es el vector de posición de la partícula con movimiento circular. En la
figura 2.42 se muestra el diagrama vectorial de estos vectores en el
movimiento circular.
 96

Figura 2.42

Ejemplo 2.18: Dos móviles A y B con MCU son observados simultáneamente

desde un mismo punto con velocidades angulares de 3 /5 rad/s y 5 /3 rad/s
respectivamente, describiendo circunferencias de igual radio. ¿Cuántas
vueltas más que el móvil A habrá dado el móvil B al cabo de 2 minutos?
Considere o = 0 para to = 0.

Resolución:

La posición angular del móvil A en cualquier instante t es

A = A t, (1)

donde A = 3 /5 rad/s. Luego, para t = 2 min = 120 s, en la Ec.(1) se tiene

 A = (3 /5) (120) = 72 rad

El número de vueltas que da el móvil A es: NA = A /2 = 72 /2 = 36

La posición angular del móvil B en cualquier instante t es

B = B t, (2)

donde B = 5 /3 rad/s. Luego, para t = 2 min = 120 s, en la Ec.(2) se tiene

 B = (5 /2) (120) = 200 rad

El número de vueltas que da el móvil B es: NB = B /2 = 200 /2 = 100

Por tanto, el móvil B dará 100 - 36 = 64 vueltas más que el móvil A.

Ejemplo 2.19: La figura 2.43 muestra la gráfica de la posición angular ( ) en

función del tiempo (t) de una partícula que gira en un plano describiendo una
circunferencia de radio 25 cm.
 97

a) Calcular la rapidez angular de la partícula.

b) Escriba la ecuación de la posición angular de la partícula en función del
tiempo.
c) Hallar la magnitud de su velocidad tangencial.

Figura 2.43

Resolución:

a) De la gráfica, o = 6 para to = 0 y = 14 para t = 100 s. Por consiguiente,

la velocidad angular media es

o 14 6 2
= = = rad/s.
t to 100 0 25

b) Usando la ecuación del MCU:

= o + t

Reemplazando datos en esta ecuación se obtiene

2
=6 + t,
25

c) La rapidez tangencial es:

2 2
v= R= 25 10 m/s = 0,02 m/s
25

Ejemplo 2.20: La figura 2.44 muestra un disco que gira con velocidad
angular constante = rad/s y tiene un agujero a cierta distancia de su centro.
Un proyectil es lanzado desde el punto A con una rapidez v o = 20 m/s justo
cuando el agujero está frente al punto de lanzamiento. ¿Con qué ángulo de
elevación debe lanzarse el proyectil para que atraviese el agujero cuando el
disco ha dado una vuelta? Suponga que el proyectil es lanzado en el instante
 98

to= 0 cuando el agujero está en la posición indicada en la figura 2.44.

(Considere g = 10 m/s2).

Figura 2.44

Resolución:

Para que el proyectil atraviese el agujero se requiere que el tiempo de vuelo

sea igual al periodo de revolución del disco:

tvuelo = T disco

2 v o sen 2
=
g

Despejando sen , y reemplazando datos da:

g 10 1
sen = = = = 30º
vo 20 2

2.15. Aceleración angular media ( ).

Es una cantidad vectorial que indica qué tan rápido cambia la velocidad
angular de una partícula. Esto se expresa por la razón de cambio:

cambio de velocidad angular

aceleración angular
(MEDIA ) int ervalo de tiempo

o rad
, Unidad S.I. : (2.46)
t to t s2

donde:

o: velocidad angular (inicial) en el instante tooo

: velocidad angular (final) en el instante t.
 99

(*) OBSERVACIÓN

Si para intervalos de tiempo muy pequeños, las correspondientes

velocidades angulares sucesivas del móvil están muy próximas, se define la
aceleración angular instantánea como sigue:

d
lim = , (2.47)
ins tan tánea t 0 t dt

donde el d /dt se denomina derivada de la velocidad angular de la partícula

con respecto al tiempo (ver definición de derivada en el apéndice C).

2.16. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV).

Este movimiento se caracteriza por el hecho de que el móvil realiza cambios

de velocidad angular iguales en intervalos de tiempo iguales. Es decir, la

aceleración angular ( ) es constante. Las ecuaciones que describen el MCUV
de una partícula son completamente análogas a las correspondientes
ecuaciones del MRUV.

Despejando de la Ec.(2.46) se obtiene la fórmula velocidad ( ) - tiempo

(t):

= o + (t – to), (2.48)

donde:

o : velocidad angular (inicial) en el instante t o

: velocidad angular (final) en el instante t.

Se demuestra que la fórmula posición angular ( ) – tiempo (t) está dada por

o o (t t o ) 1
2
(t t o )2 (2.49)

donde:

o : posición angular (inicial) en el instante t o,

: posición angular (final) en el instante t.

Eliminando t de las Ecs.(2.48) y (2.49) se obtiene la fórmula velocidad

angular ( ) – posición angular ():
2 2
= o +2 ( – o ) (2.50)

donde:
 100

o : velocidad (inicial) en la posición o,

: velocidad (final) en la posición ,

(*) OBSERVACIONES

1º) Para to = 0, las Ecs.(2.48) y (2.49) se reducen a:

= o + t, (2.51)

o o t 1
2
t2 (2.52)

2º) Para to = 0 y o = 0, las Ecs.(2.49) y (2.50) se reducen a:

o t 1
2
t2 (2.53)

2 2
= o +2 (2.54)

3º) Sólo en el MCUV se cumple:

o
(velocidad angular media) (2.55)
2

Además, combinando las Ecs.(2.51) y (2.52) se deduce:

o
t (desplazamiento angular) (2.56)
2

donde: = - o .

2.17. Descripción geométrica del MCUV.

El MCUV de una partícula se puede describir mediante las siguientes

gráficas:

2.17.1. Gráfica posición angular – tiempo.

Para una partícula que parte del reposo ( o = 0), la gráfica posición angular
– tiempo para los casos de movimiento acelerado y desacelerado es una
parábola (véase la figura 2.45).
 101

(Movimiento acelerado) (Movimiento desacelerado)

Figura 2.45

2.17.2. Gráfica velocidad angular – tiempo.

Para una partícula que tiene una velocidad angular inicial, o, en el instante
to, la gráfica velocidad angular – tiempo, para los casos de movimiento
acelerado y desacelerado, resulta una línea recta inclinada (véase la figura
2.46). La pendiente de la recta representa la aceleración angular media de la
partícula y el área sombreada representa el desplazamiento angular en el
intervalo de tiempo t.

(Movimiento circular acelerado) (Movimiento circular desacelerado)

Figura 2.46

2.17.2. Gráfica aceleración angular – tiempo.

La gráfica aceleración angular – tiempo, resulta una línea recta horizontal

(véase la figura 2.47) que indica una aceleración angular constante. El área
sombreada representa el cambio de velocidad angular ( – o) que experimenta
la partícula en el intervalo de tiempo t.
 102

Figura 2.47

 
2.18. Aceleración centrípeta ( a C ) y aceleración tangencial ( a T ).

Todo cuerpo que describe una circunferencia experimenta una aceleración

dirigida hacia su centro, llamada aceleración centrípeta (ver figura 2.48). Su
dirección cambia en cada punto de la circunferencia y su magnitud está dada
por:

v2
aC (2.57)
R

O también

2
aC R, (2.58)

donde R es el radio de la circunferencia. Las Ecs.(2.57) y (2.58) son válidas

para el MCU y el MCUV.

Si la velocidad angular de la partícula cambia uniformemente, según la

Ec.(2.44), la velocidad tangencial también cambiará, y por consiguiente existirá
una aceleración tangencial (ver figura 2.48), la cual cambia de dirección en
cada punto de la circunferencia pero su magnitud permanece constante. Esta
aceleración se define por:

aT aceleración angular radio

aT R (2.59)
 103

Figura 2.48

(*) OBSERVACIÓN.

En el MCUV, la aceleración resultante no está dirigida hacia el centro de la

trayectoria circular (ver figura 2.48). Su magnitud está dada por:

2 2
a aC aT (2.60)

Ejemplo 2.21: Un móvil parte del reposo y realiza MCUV dando 3 vueltas
durante los 2 primeros segundos. ¿Cuántas vueltas dará durante los
siguientes 2 segundos?

Resolución:

Supongamos que o = 0 para to = 0, entonces usando la ecuación ángulo-

tiempo:

o t 1
2
t2 . (1)

Por dato o = 0, entonces:

1
2
t2 (2)

Para t = 2 s:

= 3 (2 ) = 6 rad = 12 (2)2,

de donde se obtiene la aceleración angular: =3 rad/s2

Para t = 4 s:

1
= (3 ) (4)2 = 24 rad
2
 104

El desplazamiento angular entre t = 2 s y t = 4 s es:

2 - 1 = 24 rad – 6 rad = 16 rad (3)

Por tanto, el número de vueltas entre t = 2 s y t = 4 s es:

18
N= =9 (4)
2

Ejemplo 2.22: Hallar el radio de una pista circular si un ciclista aumenta su

rapidez de 20 m/s a 30 m/s, luego de dar dos vueltas en 40 segundos.

Resolución:

Usando la relación entre la rapidez tangencial y la rapidez angular, se tiene

inicialmente:

vo 20
o = = , (1)
R R

donde R es el radio de la pista.

La rapidez angular al cabo de dos vueltas es:

v 30
= = (2)
R R

La aceleración angular está dada por:

30 20
1
 = o
= R R = (3)
t to 40 4R

Usando la ecuación:

o t 1
2
t2

Para t = 40 s:

1
=4 = (20/R) (40) + (1/4R) (40)2,
2

de donde se obtiene:

R = 250/ m
 105

Ejemplo 2.23: Una partícula describe una circunferencia de radio 10 cm, de

acuerdo a la ecuación = 2 + 4 t2, donde  se expresa en radianes y t en
segundos. Calcular:

a) La magnitud de la aceleración centrípeta en el instante t = 2s.

b) La magnitud de la aceleración tangencial en el mismo instante de tiempo.

Resolución:

a) Comparando:

= 2 + 4 t2 = o + o t 1
2 t2 , (1)

se deducen:

o = 2 rad (posición angular en t = 0)

o = 0 (velocidad angular para t = 0)
1
2 = 4, entonces = 8 rad/s2 (aceleración angular)

La velocidad angular en cualquier instante está dada por:

= o t,

Sustituyendo datos da:

=8t (2)

Para t = 2 s: = 8 (2) = 16 rad/s

Por consiguiente, la magnitud de la aceleración centrípeta para t = 2 s es:

2
aC = R = (16)2 (10-1) = 25,6 m/s2

b) La magnitud de la aceleración tangencial es:

aT = R = 8 (10-1) = 0,8 m/s2

Ejemplo 2.24: Un cuerpo con MCUV tiene inicialmente una velocidad angular
de 24rad/s y una aceleración de 60 rad/s 2. Luego de 2 segundos el cuerpo
empieza a desacelerar uniformemente y se detiene después de girar 432 rad.
Determine:

a) El desplazamiento angular total realizado por el cuerpo hasta detenerse.

b) ¿Qué tiempo tarda en detenerse?
 106

Resolución:

a) Usando la ecuación posición angular - tiempo

1 2
o t t (1)
2
2
donde o = 24 rad/s y = 60 rad/s .

Para t = 2 s en (1) se obtiene

1
= 24 (2) + (60) 22 = 168 rad
2

Por tanto, el desplazamiento angular total hasta detenerse es = 168 + 432 =

600 rad.

b) Usando la ecuación velocidad angular – tiempo:

= 0 + t (2)

Para t = 2 s en la Ec.(2) el móvil tendrá una velocidad angular de:

= 24 + 60(2) = 144 rad/s

Con esta velocidad angular empieza el movimiento circular desacelerado.

Por consiguiente, para el movimiento circular desacelerado usamos la

ecuación:
2 2
– o =2 (3)

donde o = 144 rad/s, = 0 y = 432 rad. Reemplazando estos datos en la

Ec.(3) se obtiene la desaceleración angular

2
0 144
= = – 24 rad/s2
2( 432)

Entonces usando la Ec.(2) para calcular el tiempo que demora la

desaceleración es

0 0 144
t= = =6s
24

El tiempo total que dura el movimiento es 2 + 6 = 8 s.

107
 108

Problemas propuestos

2.1. Un motociclista viaja rectilíneamente con una velocidad de 90 km/h hacia

el norte durante 10 minutos; luego viaja rectilíneamente con una velocidad
de 18 km/h hacia el oeste durante 30 minutos, y finalmente viaja
rectilíneamente con una velocidad de 108 km/h hacia el sur durante 15
minutos. Suponiendo que el movimiento del motociclista es descrito desde
el origen de un sistema de coordenadas x e y, en el instante t o = 0:

a) Haga un diagrama vectorial que muestre los desplazamientos sucesivos

del motociclista.
b) Calcule la distancia total recorrida.
c) Determine la magnitud y dirección de su desplazamiento total.
d) Escriba las ecuaciones posición – tiempo para cada tramo de su
recorrido, considerando el eje +x a la derecha y el eje +y arriba.

2.2. Dos automóviles A y B se desplazan en la dirección del eje x. Si sus

ecuaciones posición – tiempo son xA = 10 + 5 t, xB = 60 – 20 t
respectivamente, donde x se mide en metros y t en segundos:

a) ¿Al cabo de qué tiempo y en qué punto se cruzarán ambos

automóviles?
b) ¿Cuál es la distancia que los separa dos segundos después de
cruzarse? Haga un diagrama vectorial.
c) Haga una gráfica posición – tiempo para cada automóvil.

2.3. La figura 2.49 muestra las gráficas posición (x) en función del tiempo (t) de
dos móviles A y B que se desplazan en la dirección del eje x.

a) Determinar el tiempo en que los móviles se encuentran en la misma

posición.
b) Hallar la posición en el instante en que se cruzan.
c) Interpretar el movimiento de los móviles mediante un diagrama vectoria.

Figura 2.49
 109

2.4. La figura 2.50 muestra la gráfica de la aceleración (a) en función del

tiempo (t) de un cuerpo que se mueve en una trayectoria recta. Si
inicialmente la velocidad y la posición son nulas, ¿cuál es la velocidad del
cuerpo en el instante t = 5 s?

2
a (m/s )

0 1 2 3 4 5 t(s

Figura 2.50

2.5. Utilizando la gráfica posición (x) versus tiempo (t) que se muestra en la
figura 2.51, determinar la velocidad media del móvil entre t 1 = 1s y t2 = 9s.

Figura 2.51

2.6. La figura 2.52 muestra la gráfica de la velocidad (v) en función del tiempo
(t) de un cuerpo que se desplaza en línea recta, en la dirección del eje x.
Determinar la posición del cuerpo en t = 5 s, si para t o = 0 está en la
posición xo = – 20m.

v(m/s)
8

t(s)
0 1 2 3 4 5

Figura 2.52
 110

2.7. Un móvil se desplaza en la dirección del eje x, de tal manera que la

ecuación de su trayectoria es x = – 2 + 4t – 2t2, donde x se mide en metros
y t en segundos. Hallar la distancia máxima que recorre en la dirección del
eje + x respecto de la posición inicial.

2.8. Un cuerpo se mueve en línea recta en la dirección del eje x. Si la ecuación

de su posición es x = (1 + 2t) 2, donde x está en metros y t en segundos,
hallar su aceleración.

2.9. Un objeto se desplaza con MRUV en la dirección del eje + x y la ecuación

de su velocidad (v) en función de su posición (x) es v 2 = 4 + x, donde x se
mide en metros. Si el objeto está en x = 0 para t = 0, hallar su velocidad
en el instante t = 10 s.

2.10. Se suelta un cuerpo desde cierta altura y llega al suelo en 4 s. ¿Con qué
rapidez hay que lanzarlo hacia abajo, desde la misma altura, para que
llegue al suelo en 2 s?
(Considere g = 10 m/s2).

2.11. Se suelta un cuerpo desde una altura de 10 m. Si desde el mismo lugar

se lanza hacia abajo otro cuerpo cuando el primero está a la mitad de su
recorrido, ¿qué rapidez inicial debe tener el segundo para que ambos
lleguen al suelo al mismo tiempo?
(Considere 2 =1,4 y g = 10 m/s2).

2.12. Un observador a 15 m del piso ve pasar una piedra verticalmente hacia

arriba y 2 s después la ve pasar hacia abajo. ¿Con qué rapidez fue
lanzada la piedra desde el piso?
(Considere g = 10 m/s2)

2.13. Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle,
junto a una casa y la atrapa una persona que está asomada a una
ventana a 50 m sobre la calle. La rapidez inicial de la bola es de 35 m/s y
es atrapada cuando está en caída. Calcular el tiempo que permaneció en
el aire.
(Considere g = 10 m/s2).

2.14. Se dispara un proyectil desde el punto A con una rapidez v0 = 10 m/s y

un ángulo de tiro de 53º, como se muestra en la figura 2.54.

a) Hallar la distancia d sobre el plano inclinado si el proyectil llega al

punto B en 1s.
b) ¿Con qué rapidez impactará en el punto B.

(Considere g = 10 m/s2)
 111

Figura 2.54

2.15. Se lanza un proyectil con una rapidez de 20 m/s y un ángulo de tiro de

60º impactando sobre la cima de un edificio, tal como se indica en la
figura 2.55.

(Considere 3 = 1,7; g = 10 m/s2)

v0 h

60º
20 m

Figura 2.55

a) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en impactar en el edificio?

b) ¿Qué altura tiene el edificio?
c) ¿Qué altura máxima alcanza el proyectil respecto al suelo?
d) Si el ángulo de tiro fuera de 53º, ¿el proyectil alcanzaría la cima del
edificio? Justifique su respuesta.

2.16. Dos proyectiles A y B se lanzan simultáneamente, como muestra la figura

2.57. Hallar la rapidez vo y el tiempo que tardan en colisionar. ¿A qué
altura chocan los proyectiles?
(g = 10 m/s2)

Figura 2.57
 112

2.17. Una piedra lanzada desde la superficie de la Tierra con velocidad de

vo = 12 m/s formando un ángulo de 45° sobre la horizontal cayó a una
distancia R del punto de lanzamiento como muestra la figura 2.58.
¿Desde qué altura habrá que lanzar horizontalmente esta piedra con la
misma rapidez para que llegue a Tierra a la distancia R?
(g = 10 m/s2)

Figura 2.58

2.18. El secundero de un reloj tiene una longitud de 21cm. Determinar la

22
rapidez tangencial de la punta del segundero. Considerar
7

2.19. Una rueda gira a 1200 RPM (revoluciones por minuto). ¿En qué tiempo
se detiene, si es frenada uniformemente, dando 200 vueltas hasta
detenerse?

2.20. Una plataforma gira con aceleración angular constante. Si en 1s giró 4

rad y hasta el siguiente segundo giró 3 vueltas, hallar el valor de su
aceleración angular.

2.21. Una piedra sujeta al extremo de una cuerda efectúa MCU en un plano
horizontal. Si la piedra tiene un radio de giro de 0,6 m y realiza 2
revoluciones por segundo, determine:

a) El periodo y la rapidez tangencial de la piedra.

b) La magnitud de su aceleración centrípeta.
c) Su desplazamiento angular en un minuto.
d) Haga una representación esquemática de los vectores aceleración
centrípeta y velocidad tangencial.

2.22. Determinar la magnitud de la aceleración de un punto periférico de una

rueda que realiza MCUV sabiendo que dicho punto triplica su rapidez
tangencial luego de realizar 600 vueltas en 20 segundos.

2.23. Un ventilador gira con una rapidez de 900 rpm (revoluciones por minuto).
Al desconectarlo su movimiento pasa a ser uniformemente retardado
 113

hasta detenerse después de dar 75 vueltas. Calcular el tiempo que

transcurre desde que se desconecta hasta que se detiene.

2.24. En la figura 2.59 se muestran dos poleas A y B conectadas por una

cuerda. Si A inicia su movimiento con una aceleración angular constante
de 4 rad/s2. Hallar luego de qué tiempo de iniciado el movimiento la
polea B tendrá una frecuencia de 120 rpm.

Figura 2.59

2.25. Una esfera hueca de radio 1m gira alrededor de un eje vertical que pasa
por su centro. Un proyectil se desplaza horizontalmente con rapidez de
200 m/s y perpendicularmente al eje de la esfera, como indica la figura
2.60. Si el proyectil pasa por el agujero en la posición A, ¿a qué rapidez
angular constante debe girar la esfera para que el proyectil pase
nuevamente por el mismo agujero cuando está en la posición B?

Figura 2.60