BombasProblema PDF
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122
Teoría y Aplicaciones.
__________________________________________________________________________________________________
Con el propósito de lograr una mejor comprensión de los conceptos tratados en los
capítulos anteriores, y de promover el hábil manejo de toda una serie de formulaciones
deducidas a lo largo de este libro, se han seleccionado y resuelto los siguientes problemas
ilustrativos.
Problema No. 1
Una bomba centrífuga para agua, que gira a 1000 rpm, tiene las siguientes especificaciones:
D2
D1 = 180 mm; = 2; b1 = 30 mm; b2 = 20 mm; 1 = 20°; 2 = 30°. La entrada en los
D1
álabes es radial; h = 81%, m = 95%; motor eléctrico = 0.85. Las bridas de entrada y de
salida se encuentran a la misma cota. Diámetro de la tubería de entrada y de la tubería de
salida: 220 mm y 200 mm, respectivamente. El desnivel entre el depósito de aspiración,
abierto a la atmósfera, y la brida de aspiración, es de 1.2 m. Las pérdidas en la tubería de
succión ascienden a 4.0 m.
Calcular:
La altura de Euler.
__________________________________________________________________________________________________
Solución.
1 20º
Luego,
c1 m c1 sen α1 c1 y
c1 u c1 cos α1 0
ω D1 rad 0.18
104.720
m
u 1 ω r1 m 9.425
2 s 2 s
ω D2 rad 0.36
104.720
m
u 2 ω r2 m 18.850
2 s 2 s
c1 m
tan β1
u1
3.430 ms
2
9.425
m
w 1 c12m u 12 10.030
2 2
2
s
Por continuidad:
Q A1 v1 A 2 v 2
Q π D1 b1 c1 m π D 2 b 2 c 2 m
D1 b 1
c2 m c1 m
D2 b2
c2 m
180 mm 30 mm 3.430 m 2.573 m
360 mm 20 mm s s
En el triángulo a la salida:
c 2 m w 2 sen β 2
m
2.573
c s 5.146 m
w2 2m
sen β 2 sen 30º s
u 2 c2 u
cos β 2
w2
c 2 u u 2 w 2 cos β 2
m m m
c 2 u 18.85 0 5.146 cos 30º 14.393
s s s
__________________________________________________________________________________________________
c2 c 2
2u c 2
2m 14.393 2
2.573
2
m2
s 2
14.621
m
s
c
tan 1
2.573
α 2 tan 1 2 m 10.136º
c2 u 14.393
Q π D1 b1 c1 m
m m3
Q π 0.18 m 0.03 m 3.430 0.05819
l
58.19
s s s
m m
18.850 14.393
Ht
s s
27.656 m
m
9.81 2
s
pe
4. Cálculo de la Altura de Presión a la entrada de la Bomba,
0 0
2
v v2
z A A A h A e z e e e
p p
(1)
γ 2g γ 2g
v 2A p
dado que: 0 y suponiendo presiones relativas, A 0
2g γ
pe v e2
z e z A h A e (2)
γ 2g
pe 8 Q2
H s 2 h A e (3)
γ π g D e4
Suponieenedo η v 1.0 , y q e q i 0
m6
8 0.05819
2
pe s2
1.2 m 4.0 m 5.319 m
γ m
π 9.81 2 0.22 m 4
2 4
s
ps
5. Cálculo de la Altura de Presión a la salida de la bomba,
pe v2 p v2
z e e H u z s s s (4)
γ 2g γ 2g
Luego,
ps p v 2 v s2
Hu e e (5)
γ γ 2g
ps p 8 Q2 1 1
H u e 2 4 4 (6)
γ γ π g De Ds
Hu
ηh
Ht
__________________________________________________________________________________________________
H u η h H t 0.81 (27.684 m) 22.424 m
m6
8 0.05819
2
ps s2
22.424 m 5.319 m
γ m 1 1
π 2 9.81 2 4
s 0.22 m
4 4
0.20 m
4
ps
17.105 m
γ
de (8),
Pa
Pred (9)
η motor
Pu
η total η h η m η v
Pa
de donde
Pu
Pa (10)
ηh ηm ηv
Pu
Pred
η h η m η v η motor
Pu t func.
E eléct. consu.
η h η m η v η motor
γ Q H u t func.
E eléct. consu. (11)
η h η m η v η motor
kgf m3
1000 3 0.05819 22.424 m
m s
E eléct. consu. 6 horas
0.81 0.95 1.0 0.85
kgf m Nm
E eléct. consu. 11969.752 h 11969.752 9.81 h
s s
J
E eléct. consu. 117423.267 h 117423.267 W h
s
Problema No. 2
D2
Una bomba centrífuga tiene las siguientes características: D1 = 100 mm; = 2; b1 = 20
D1
mm; b2 = 10 mm; 1 = 15°; 2 = 30°; n = 1500 rpm. Las tuberías de succión e impulsión
tienen el mismo diámetro. El manómetro de aspiración registra una altura de presión
relativa de -4 m c.a. El rendimiento total de la bomba es 65 %; m = 96%; v = 0.9 y la
entrada en los álabes es radial.
Calcular:
Solución:
__________________________________________________________________________________________________
1. Cálculo de los Triángulos de Velocidades.
D1 π n D1
u 1 ω r1 2 π n ; n (rpm)
2 60
u 1 π 1500
0.1 m 7.854 m
60 s s
u2
π n D2
π 1500
0.2 m 15.708 m
60 60 s s
m m
c1 u 1 tan β1 7.854 tan 15º 2.104 c1 m
s s
2.104 ms
2
7.854
m
w 1 c12m u 12 8.131
2 2
2
s
Por continuidad,
Q π D1 b1 c1 m π D 2 b 2 c 2 m
D1 b 1
c2 m c1 m
D2 b2
c2 m
100 20 2.104 m 2.104 m
200 10 s s
m
2.104
c m s 12.064 m
c2 u u 2 2 m 15.708
tan β 2 s tan 30º s
12.064 ms
2
2.104
m
c 2 c 22 u c 22 m 12.246
2 2
2
s
c
tan 1
2.104
α 2 tan 1 2 m 9.893º
c2 u 12.064
m
2.104
c s 4.208 m
w2 2m
sen β 2 sen 30º s
Q π D1 b1 c1 m
m m3
Q π 0.1 m 0.02 m 2.104 0.01322
l
13.22
s s s
Pu γ Q Hu γ Q η h H t γQ u c
Pa 2 2 u (1)
η total η h η v η m η h η v η m ηv ηm g
kgf m3
1000 3 0.01322
m s m m
Pa 15.708 12.604
0.9 0.96 9.81 m2 s s
s
kgf m
Pa 308.800 3029.3328 W 3.029 kW
s
__________________________________________________________________________________________________
ps v2 p v2
zs s H u z1 i i
γ 2g γ 2g
de donde,
pi v 2 v i2 p s
z s z i s Hu (2)
γ 2g γ
pi p p
H u s ηh H t s (3)
γ γ γ
Además, η total η h η m η v
η total
ηh (4)
ηm ηv
u 2 c2 u
y Ht (5)
g
pi η u c p
total 2 2 u s (6)
γ ηm ηv g γ
pi
10.532 m c.a.
γ
Una bomba centrífuga, en la cual se despreciarán las pérdidas, produce un caudal de agua
D2
de 300 m3/h y tiene las siguientes características: D1 = 150 mm; = 3; b1 = 40 mm;
D1
b2 1
; ß1 = 60°; ß2 = 40°; entrada radial.
b1 2
Calcular:
La potencia de la bomba.
Solución.
m3 m3 l
Q 300 0.08333 83.33
h s s
Q π D1 b1 c1 m π D 2 b 2 c 2 m
m3
0.08333
Q s m
c1 m 4.421
π D1 b1 π 0.15 m 0.04 m s
__________________________________________________________________________________________________
m3
0.08333
Q s m
c2 m 2.947
π D 2 b 2 π 0.45 m 0.02 m s
m
4.421
c1 m s 2.552 m
u1
tan β1 tan 60º s
2.552 ms
2
4.421
m
w 1 u 12 c12m 5.105
2 2
2
s
π D1 n
Por otro lado, u 1 (con n en rpm)
60
de donde,
m
60 s 2.552
60 u 1 s
n 324.93 rpm
π D1 π 0.15 m
π D 2 n π 0.45 m 324.93 m
u2 7.656
60 60 s s
m
2.947
m s 4.144 m
c2 u 7.656
s tan 40º s
2.947 ms
2
4.144
m
c 2 c 22 m c 22 u 5.085
2 2
2
s
m
c2 m 2.947
α 2 tan 1
tan 1 s 35.418º
c2 u 4.144 m
s
2.947 ms
2
w 2 c 22 m u 2 c 2 u 7.656 4.144
2 2 2
2
m
w 2 4.585
s
m m
0 7.656 4.144
u 2 c 2 u u 1 c 1 u u 2 c 2 u
s s
Ht 3.234 m
g g m
9.81 2
s
Hu
ηh 1
Ht
H u H t 3.234 m
3. Cálculo de la Potencia, P
Pu
η total 1
Pa
Pu Pa γ Q H u γ Q H t
__________________________________________________________________________________________________
m3 kgf m
3.234 m 269.392
kgf
Pu Pa 1000 3
0.0833
m s s
2πn
Pa M.ω M
60
kgf m
60 s 269.392
60 Pa s
M 7.917 kgf m
2πn 2 π 324.93
u 22 u 12 w 12 w 22
Hp
2g 2g
7.656 ms 5.105 ms
2 2
2.552 4.585
2 2 2 2
2 2
Hp
m m
2 9.81 2 2 9.81 2
s s
H p 2.912 m
5.085 ms
2
4.421
2 2
c c
2 2 2
Hd 2
1
2g m
2 9.81 2
s
H d 0.322 m
Una bomba centrífuga para agua suministra un caudal de 50 m3/h. La presión a la salida de
la bomba es de 2.6 bar. El vacuómetro de aspiración indica una depresión de 250 Torr. La
diferencia de cotas entre los ejes de las secciones, donde se conectan las tomas
manométricas, es de 0.6 m. Los diámetros de las tuberías de aspiración e impulsión son
iguales. El rendimiento total de la bomba es de 62%.
Solución:
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre la entrada (e) y la salida (s), de la bomba, se tiene:
pe v2 p v2
ze e Hu zs s s (1)
γ 2g γ 2g
de donde
ps pe
H u z s z e (2)
γ
kgf
p s 2.6 bar 2.6 1.02 2 2.6 1.02 10 4
kgf kgf
26520 2
cm 2
m m
kgf kgf
p e 250 Torr 250 mm Hg 0.25 m 13600 3 3400 2
m m
De otra parte:
__________________________________________________________________________________________________
Pu
η total
Pa
kgf 50 m 3
1000 3 30.520 m
Pu γ Q Hu m 3600 s
Pa
η total η total 0.62
kgf m N.m
Pa 683.69 683.69 9.81 6700 W 6.7 kW
s s
Problema No. 5
Una bomba centrífuga, cuya entrada en los álabes del rodete es radial, proporciona una
altura útil de 22 m, a una velocidad de 1200 rpm. D1 = 180 mm; D2 = 300 mm. cm es
m
constante en todo el rodete; c 2 u 25 . Las pérdidas hidráulicas en la bomba son iguales
s
a 0.027 c 22 m (c2 en m/s).
Calcular.
Solución:
m
Entrada radial: α1 90º ; c1 u 0 ; c1 m c1 c 2 m , c 2 u 25 ; H int 0.027 c 22 (en
s
metros); H u 22 m .
π D1 n π 0.18 m 1200 m
u1 11.31
60 60 s s
Hu
ηh (1)
Ht
m m
18.85 25
u 2 c2 u
s s
Ht 48.038 m
g m
9.81 2
s
22 m
ηh 0.4580 45.80%
48.038 m
H u H t H int (2)
H int H t H u (3)
26.038 m m
luego, c2 31.054
0.027 s s
__________________________________________________________________________________________________
c c c2 c2
β1 tan 1 1 m tan 1 2 m tan 1 2 2u
u1 u1 u1
m
31.0542 252
β1 tan 1 s tan 1 18.42 58.519º
m 11.31
11.31
s
m
c 18.47
β ' 2 tan 1 2m
tan 1 s 71.5844º
u 2 c2 u
18.85 25
m
s
Problema No. 6
Una bomba centrífuga proporciona una altura útil de 40 m, con rendimiento hidráulico de
80%. Las tuberías de aspiración e impulsión son de 150 mm de diámetro. D2 = 350 mm;
b2 = 25 mm; ß2 = 25°; n = 1400 rpm. La pérdida de carga en las tuberías de aspiración e
impulsión, incluyendo las pérdidas secundarias, es de 10 m.
El caudal de la bomba.
La diferencia de cotas entre los niveles de agua en los depósitos de succión e impulsión,
si ambos están abiertos a la atmósfera.
Solución:
Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C, sobre la superficie libre del
agua, en sendos tanques, se tiene:
0 0 0 0
2 2
v v
z A A A h asp h imp H u z C C C
p p
γ 2g γ 2g
z C z A H u h asp h imp
Luego,
H H u h totales 40 m 10 m 30 m
π D 2 n π 0.35 m 1400 m
u2 25.656
60 60 s s
__________________________________________________________________________________________________
Del triángulo de velocidades a la salida, se tiene:
c2 m
tan β 2 (1)
u 2 c2 u
c 2 m u 2 c 2 u tan β 2 (2)
Además,
Hu g Hu
ηh (3)
H t u 2 c 2 u u 1 c1 u
g Hu
ηh (4)
u 2 c2 u
de donde,
m
9.81 2 40 m
g Hu
s m
c2 u 19.1
ηh u 2 m s
0.8 25.656
s
c 2 m 25.656 19.1
m m
tan 25º 3.057
s s
Q π D2 b 2 c2 m
m m3
Q π 0.35 m 0.025 m 3.057 0.084
l
84
s s s
Problema No. 7
Solución:
__________________________________________________________________________________________________
Aplicando Bernoulli entre las bridas de aspiración (a) y de impulsión (i), resulta:
pa v a2 pi v i2
za Hu zi (1)
γ 2g γ 2g
de donde,
pi p a v i2 v a2
H u z i z a (2)
γ γ 2g
p p 8 Q2 1 1
H u z i i z a a 2 4 4 (3)
γ γ π g Di Da
pa γ p
z i z a l Δh m Δh l i
γ γ γ
p p γ
z i i z a a Δh m 1 (5)
γ γ γ
γ 8 Q2 1 1
H u Δh m 1 2 4 4 (6)
γ π g Di Da
Pu γ Q H u
kgf 300 m 3
Pu 1000 2.732 m
m 3 3600 s
kgf m
Pu 227.67
s
Pu 2.23 kW
Problema No. 8
Una bomba centrífuga para alimentación de una caldera de vapor, que desarrolla una altura
efectiva de 80 m, bombea agua a 90°C, desde un depósito de aspiración, abierto a la
atmósfera, hasta la caldera. La pérdida de carga en la tubería de succión es de 0.5 m. La
presión barométrica es de 725 Torr. El caudal de la bomba es 0.25 m3/s: El diámetro de la
tubería de aspiración es de 400 mm y el coeficiente de cavitación de la bomba, = 0.1.
Esquematice la instalación, indicando la cota del eje de la bomba con respecto al nivel
superficial en el pozo de succión.
Solución:
__________________________________________________________________________________________________
kgf
γ agua 965
m3
kgf
p vapor 70.11 kPa 7154 (absoluta).
m2
kgf
p atmosferica 725 Torr 725 mm Hg 0.725 m 13600 3
m
kgf
p atmosferica 9860
m2
pA pV
H s max h A e Δh (1)
γ
p atmosferica p V
H s max h A e σ H u (2)
γ
H s max 5.7 m
La bomba operará en carga, es decir, con su eje situado a 5.7 m, máximo, por debajo de
la superficie libre de agua en el tanque de succión.
0 0
2 2
p v p v
z A A A H T asp. H u H T imp z C C C (3)
γ 2g γ 2g
pA pC
H T imp. H u h T asp z C z A (4)
γ
__________________________________________________________________________________________________
kgf kgf
1.02 10 4 2
p A 8.2 bar cm 2
m 83640 kgf
bar kgf m2
cm 2
Problema No. 9
rad
Una bomba centrífuga opera a 150 y necesita 294 h.p. Determine la descarga a través
s
de la bomba, si la velocidad absoluta del agua a la entrada no tiene componente tangencial.
D2 = 16", b2 = 1" y ß2 = 45°. Además, η total 1
¿Por qué existen dos posibles soluciones y por qué la bomba no operaría eficientemente en
una de ellas?.
Solución:
Q π D2 b 2 c2 m (2)
Q
c2 m
π D2 b2
c2 m
tan β 2
u 2 c2 u
c2 m c
u 2 c2 u 2 m c2 m
tan β 2 tan 45º
c2 u u 2 c2 m (3)
Q
c2 u u 2 (4)
π D2 b2
Pu γ Q H u (5)
Además, η total η h η V η m 1
de donde,
Hu
ηh 1
Ht
Luego,
u 2 c2 u
Hu Ht (6)
g
__________________________________________________________________________________________________
γ Q u 2 c2 u
Pu
g
g Pu
Q c2 u (7)
u2 γ
g Pu Q
Q u 2
u2 γ π D 2 b 2
g Pu Q2
Q u2
u2 γ π D2 b2
o mejor,
1 2 g Pu
Q u 2 Q 0 (8)
π D 2 b 2 γ u2
que es una ecuación cuadrática para Q, con dos raíces o soluciones para el caudal, la cual se
resolverá sustituyendo en ella los valores numéricos, así:
m kgf m
9.81 2 294 76
m s s
2
Q
30.48 Q 0
π 16 0.0254 m 1 0.0254 m s kgf m
1000 3 30.48
m s
m3 l
Q1 0.60043 600.43
s s
Existen dos valores posibles para Q, puesto que, dada la forma de la curva H vs. Q, se
pueden obtener dos valores de H correspondientes a sendos valores de Q, para un único
valor de P, que satisfacen la ecuación
Pu γ Q1 H u 1 γ Q 2 H u 2 constante
de donde se deduce que, para el mayor valor de Q, corresponde el menor valor de Hu, y
viceversa. Ello se puede observar en el siguiente esquema:
Además, para la curva vs. Q, de la misma bomba, se puede observar que existe un valor
de Q2 , cuya eficiencia es menor que la correspondiente a Q1. La conclusión es que, para el
l
mayor de los dos caudales posibles (Q = 600.42 ) se obtiene mejor eficiencia.
s
__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 10
Una bomba centrífuga que aspira directamente de la atmósfera (patm = 740 mm Hg) da un
l
caudal de 555 , a una altura efectiva de 13.5 m, cuando gira a 730 rpm. El NPSHneces es
s
3.33 m; la temperatura del agua es 20°C y las pérdidas de carga en el tubo de aspiración
ascienden a 0.54 m.
Calcular:
Solución:
p atmosférica p v
H s máx h asp NPSH necesario (1)
γ
kgf kgf
A T = 20°C, pv = 2337 Pa = 238.47 (abs.) y γ 998
m2 m3
H s máx 5.975 m
1/2
m3
n s 3.65 730 rpm 0.555 13.5 m
3/4
281.85
s
Una bomba centrífuga cuyo coeficiente de cavitación = 0.11, desarrolla una altura útil de
90 m. La presión barométrica del lugar es 1.0 bar. La presión de saturación del vapor de
líquido bombeado ( = 1.4), para la temperatura de funcionamiento, es 0.03 bar (abs.). Las
pérdidas de carga en la tubería de aspiración ascienden a 1.5 m.
Calcular la altura máxima permisible a la cual puede colocarse el eje de la bomba, con
respecto al nivel del agua en el depósito de aspiración.
Solución:
p atm p v
H s máx h asp Δh
γ
p atm p v
H s máx h asp σ H u
γ
H s máx 4.33 m
La bomba operará en carga, es decir, su eje estará 4.33m, como máximo, por debajo de la
superficie libre de agua en el tanque de succión.
Problema No. 12
l
Una bomba centrífuga de 0.5 m de diámetro de impulsor, eleva 20 de agua a una altura
s
de 18 m, con una potencia absorbida de 4 kW, cuando opera a 1170 rpm, en su máximo
rendimiento. Si las relaciones de alturas de elevación y de diámetros de rodetes, con una
__________________________________________________________________________________________________
bomba modelo, son 4/1 y 5/1, respectivamente, a iguales rendimientos, ¿cuál es el número
específico de revoluciones del modelo?.
Solución.
Para que exista semejanza dinámica entre bombas rotodinámicas, debe cumplirse que:
ns p = ns m (1)
l
D p 0.5 m ; Q p 20 ; H p 18 m ; Pa p 4 kW 4000 W ; n p 1170 rpm
s
Hp 4 Dp 5
ηp ηm ; ;
Hm 1 Dm 1
Existen dos maneras de resolver este problema, una más rápida que la otra, y se desarrollan
a continuación:
Primera Solución:
n s p n s m n p Pp1/2 H p5/4
1 c.v.
1W 1.359157322 10 -3 c.v.
9.81 75
1.359157322 10 -3 c.v
Pa p 4000 W 5.43662929 c.v.
1W
n s p n s m 73.58
np D Hm
m
nm D H
p p
Dp Hm
n s np (4)
D m H p
3 5
n D
Pm m m Pp
n D
p p
3 5
2925 1
Pm 5.43662929 c.v.
1170 5
Pm 2.718314644 10 2 c.v.
Hp
4
Hm
Hp 18 m
Hm 4.5 m
4 4
__________________________________________________________________________________________________
Finalmente, se obtiene ns m reemplazando los parámetros correspondientes al modelo,
en la ecuación (2):
n s m n m Pm1/2 H m5/4
n sm 73.58
Problema No. 13
Solución:
Prototipo Modelo
D1 = 8" D2 = 7"
Q1 = 350 US gpm n2 = n1 = 3500 rpm
H1 = 200 pie Q2 = ?
P1 = 26 h.p. H2 = ?
n1 = 3500 rpm P2 = ?
3
D
3
7
Q 2 2 Q1 350 US gpm 234.47 US gpm
D1 8
2
D
2
7
H 2 2 H1 200 pie 153.13 pie
D1 8
5
D
5
7
P2 2 P1 26 h.p. 13.34 h.p.
D1 8
Problema No. 14
Solución:
__________________________________________________________________________________________________
kgf
Para T 55º C, p vapor 1560 (abs)
m2
kgf
y γ 986
m3
p A p v
NPSH disp H s h succión (succión negativa, Hs < 0)
γ
Problema No. 15
Una bomba situada a nivel del mar debe elevar agua a 15°C, desde un tanque subterráneo
conectado a la atmósfera. La superficie de agua en el tanque de succión está localizada
2.15 m por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas totales de carga en la tubería de
succión son equivalentes a 0.55 m de columna de agua. ¿Cuál es el NPSH disponible?.
Solución:
kgf
Para T 15º C, p vapor 183 (abs) .
m2
kgf
γ 999.2
m3
kgf
A nivel del mar, p atmosférica 10336
m2
p A p v
NPSH disp H s h succión
γ
Problema No. 16
Se emplea una bomba para elevar agua desde un tanque que recibe una mezcla de agua y
vapor de una caldera, a una temperatura de 115°C. El nivel de líquido en dicho tanque está
7 m por encima del eje de la bomba, y las pérdidas de carga en la tubería de succión son
__________________________________________________________________________________________________
equivalentes a 0.46 m de agua caliente. ¿Cuál es el NPSHdisponible de la instalación de
kgf
bombeo, si ésta se encuentra a 578 m sobre el nivel del mar ( p atmosféric 9659 ). Presión
m2
kgf
de vapor, a T = 115°C, p vapor 17675 (abs.)
m2
Solución:
p A p v
NPSH disp H s h succión ( succión negativa, Hs < 0)
γ
p p
NPSH disp v v H s h succión
γ
Se necesita una bomba para elevar 10000 gpm de agua a una cabeza de 25 pie. Una bomba
similar, con un impulsor de 36" de diámetro, descarga 2500 gpm a una cabeza de 120 pie,
cuando gira a 800 rpm.
Solución.
η 1 total η 2 total
D1 = ? D2 = 36"
n1 = ? n2 = 800 rpm
Q1 = 10000 gpm Q2 = 2500 gpm
H1 = 25 pie H2 = 120 pie
3
n 1 Q1 D 2
(2)
n 2 Q 2 D1
Además,
2 2
H 1 n 1 D1
(3)
H 2 n 2 D 2
__________________________________________________________________________________________________
2 6 2
H 1 Q 1 D 2 D1
H 2 Q 2 D1 D 2
2 4
H 1 Q1 D 2
H 2 Q 2 D1
2
D2 H Q2
4 1
D1 H2 Q1
Luego,
2
H Q
D1 2 1 D 2
4
H1 Q 2
Entonces,
2
120 10000
D1 4 36 pulg.
25 2500
Luego,
10000 36
n1 800 rpm
2500 106.57
n1 123.35 rpm
Para abastecer de agua a una comunidad rural, situada a 1500 m sobre el nivel del mar, se
ha construido un pozo cuyo nivel medio de agua se encuentra a 40 m por debajo del
correspondiente a un tanque de almacenamiento, como se muestra en la figura. Se instalará
l
un sistema de bombeo que, dada las necesidades de consumo, eleve 50.5 y opere 6 horas
s
diariamente. Las tuberías de succión e impulsión serán de hierro galvanizado (C =100 ), y
los accesorios requeridos en la instalación se indican en la figura. Se instalará una bomba
centrifuga con motor de velocidad variable, cuyas especificaciones se desean conocer, para
lo cual se pide seleccionar una bomba apropiada, y calcular:
Potencia requerida (potencia absorbida) por la bomba, Pa, si se sabe que la eficiencia de
la bomba es del 68%.
El NPSHdisonible de la bomba.
El NPSHrequerido de la bomba.
__________________________________________________________________________________________________
Solución:
Aplicando Bernoulli entre los puntos A y B, situados en la superficie libre del agua en
sendos tanques, se tiene:
0 0
2 2
v v
zA A A hTs hTi HB zB B B
p p
(1)
γ 2g γ 2g
de donde,
H B z B z A h T s h T i (2)
Por continuidad,
π D2
0.54
h
Q V A 0.355 C D 0.63 f
L 4
de donde,
1.851
3.5866
hf L Q1.851 (4)
C D 2.63
LONGITUD VIRTUAL
VÁLVULAS/ACCESORIO
EQUIVALENTE (m)
Válvula de pie con rejilla (D = 6”) 39.0
__________________________________________________________________________________________________
1.851
50.4 0.0505
3.5866
1.851
2.63
hTs m
100 6 0.0254
h T s 4.02 m
LONGITUD VIRTUAL
VÁLVULAS/ACCESORIO
EQUIVALENTE (m)
Válvula de compuerta abierta (D = 5”) 0.9
1.851
151.8 0.0505
3.5866
1.851
2.63
hTi m
100 5 0.0254
h T i 29.42 m
H B 40 m 4.02 m 29.42 m
H B 73.44 m
Pu γ Q H u γ Q H B
m3
73.44 m
kgf
Pu 1000 0.0505
m3 s
kgf m 3708.72
Pu 3708.72 h.p.
s 76
Pu 48.8 h.p.
Pu
η bomba (5)
Pa
Pu 48.8 h.p.
Pa 71.76 h.p.
η bomba 0.68
4. Selección de la Bomba
Para elegir la bomba más apropiada a las condiciones dadas del problema, se utilizará la
siguiente gráfica suministrada por el fabricante de las bombas centrifugas. Para ello, se
l l
entrará a dicha figura con los valores de Q 50.5 3030 y H B 73.44 m .
s min
__________________________________________________________________________________________________
En dicha figura se observa que la bomba que cumple con estas exigencias quedaría en
una situación intermedia entre las bombas comerciales No. 1 ( n 1750 rpm,
Pa1 75 h.p. ) y la No. 2 (n = 2000 rpm, P2 = 100 h.p.).
Por tanto, se seleccionará la Bomba No. 2, por tener una potencia mayor que la
requerida y por suministrar una cabeza, H, y un caudal, Q, mayores que los exigidos por
la situación real. Luego, la bomba seleccionada tiene las siguientes especificaciones:
Bomba: 5 x 6 x 15
Conexión a la impulsión: Di = 5”
pA pv
NPSH disponible Hs h T s (6)
γ
p Atmosférica p v
NPSH disponible Hs h T s (7)
γ
N kgf kgf
A 1500 m sobre el nivel del mar, patm = 8.4 2
= 0.8571 2
= 8571 2
cm cm m
N kgf kgf
Para una temperatura del agua, T = 20ºC, p v 0.234 2
0.0239 2 239 2
cm cm m
De esta manera,
__________________________________________________________________________________________________
7. Cálculo de la Altura Máxima de Succión, Hs máx
pA pv
H s máx Δh h T s (8)
γ
p Atmosferica p v
H s máx NPSH requerido h T s (9)
γ
H s máx 2.31 m
Problema No. 19
Solución.
m3
H B m ; Q
s
1.852
3.5866
Potencia útil: Pu Q H h L Q1.852
B u f 2.63
CD
p A v 2A p D v 2D
zA hf 1 HB hf 2 hf 3 zD
2g 2g
Q1 Q 2 Q 3 q
__________________________________________________________________________________________________
1.852
3.5866
z D z A
2.63
L1 Q 3 q
1.852
68.58 639.66 Q 3 q
1.5
C3.5866
D
L
C1 D 1
2.63 2
2 2
1.852
3.5866
Q 3 q L 3 Q13.852
1.852
2.63
C3 D3
1.852
3.5866
91.4 38.1 68.58 639.66 Q 3 0.0212 Q 3 0.0212
1.5 1.852
120
67.1 670.6 304.8 Q13.852
0.405 0.305 4.87
4.87
0.305 4.87
Organizando se tiene:
m3
Q 3 0.0501046
s
l
Q 3 50.1
s
m3 m3
Q1 Q 2 Q B Q 3 0.0212 0.0501046 0.0212
s s
m3
Q1 Q 2 Q B 0.0713046
s
H u 56.4 m
Pu Q B H u
m3
56.4 m
kgf
Pu 1000 0.0713046
m3 s
kgf m
Pu 4021.58
s
4021.58
Pu c.v. 53.62 c.v.
75
4021.58
Pu h.p. 52.92 h.p.
76
Nm J
Pu 4021.58 9.8 39411.48 39411.48 W 39.41 kW
s s
p C v C2
Bernoulli entre A y C: zA 0 0 h f 1 HB h f 2 zC
2g
pC 8 Q 22
H B z C z A h f 1 h f 2 2
g D 42
1.852
3.5866 3.5866
68.58 639.66 Q1.5
B z C z1
pC
L1 Q1.852
2.63 1
2.63
γ C1D1 C2D2
8 1 Q 2
2
L 2 Q1.852
π 2 g D 42
2
Reemplazando valores:
pC
68.58 12.179 m 7.6 m 0.0611 m 2.46 m 0.0486 m
pC
56.401 m 7.6 m 0.0611 m 2.46 m 0.0486 m 46.2313 m c. a.
__________________________________________________________________________________________________
pC kgf kgf kgf
46.2313m 1000 3 46231.3 2 4.6231 2
m m cm
p A v 2A p v e2
Bernoulli entre A y e: zA hf 1 ze e
2g 2g
pe v e2
zA h f 1 ze
2g
pe 8 Q12
z A z e h f 2
g D14
8 1 0.0713046
38.1 35.05 m 0.0611 m 2
2
pe
m
9.8 0.406
4
pe
3.05 m 0.0611 m 0.0155 m 2.9734 m
p e v e2 p v s2
ze HB zs s
2g 2g
ps pe
HB
v e2 v s2
2g
4 Q B 4 Q B
2 2
ps pe
HB
2 g D e2 2 D s2
8 Q 2B 1 1
2 2
ps pe
HB
2 g D e4 D s4
8 10.0713046
2 m
2
1
2
ps
2.9734 m 56.401 m s 2 1 1
0.406 4 0.305 4 m4
2 9.8
m
s2
ps
2.9734 m 56.401 m 0.0331 m
ps
59.341 m
Problema No. 20
Los resultados de un ensayo elemental de una bomba rotodinámica, girando a 1450 rpm, se
presentan en la siguiente tabla:
Aplicando las ecuaciones de regresión lineal por mínimos cuadrados, ajuste una expresión
de la forma H a c Q 2 , y otra de la forma η dQ e Q 2 , para dicha bomba.
__________________________________________________________________________________________________
N N N N N
H i a N c Q i2
i 1 i 1
ηi Q i d Q i2 e Q 3i
i 1 i 1 i 1
N N N N N N
H i Q i2 a Q i2 c Q i4
i 1 i 1 i 1
ηi Q i2 d Q 3i e Q i4
i 1 i 1 i 1
N N N N N
H
i 1
i a N c Q i2
i 1
(1) η
i 1
i Q i d Q i2 e Q 3i
i 1 i 1
(3)
N N N N N N
H i Q i2 a Q i2 c Q i4
i 1 i 1 i 1
(2) ηi Q i2 d Q 3i e Q i4
i 1 i 1 i 1
(4)
Donde N es el número de puntos (Hi, Qi) ó (i, Qi) de las respectivas curvas
características.
H
i 1
i 135 ; Q
i 1
2
i 0.088 ; H
i 1
i Q i2 2.0768 ; Q
i 1
4
i 0.00250624
De (1):
a
1
N
H i c Q i2 (5)
(5) en (2):
H i Q i2
1
N
H i
c Q i2 Q i2 c Q i4
1 c
H i Q i2
N
H i Q i2 c Q i4 Q i2 Q i2
N
H i Q i2
1
H i Q i2 c Q i4
1
Q
2 2
i
N N
1
H i H i Q i2
Q i2
N
c (6)
1
Q i4 N Q i2
2
Reemplazando las respectivas sumatorias en la ecuación (6), se tiene:
135 0.088
2.0768
c 5 312.5 (7)
0.00250624
0.088
2
a
1
135 312.5 0.088 32.5 (8)
5
kgf m
3
Pu γ Q H γ 3 Q H m (10)
m s
m3 kgf m Nm
H m 1000 Q H
kgf
Pu 1000 3
Q 1000 9.81 Q H
m s s s
J 1000 9.81
Pu 1000 9.81 Q H 1000 9.81 Q H W Q H kW
s 1000
m3
Pu 9.81 Q H m kW (11)
s
__________________________________________________________________________________________________
Sustituyendo los valores de Q (m3/s) y de H (m) de la Tabla de Datos en la ecuación
(11), se obtienen los correspondientes valores Pu.
Pu
η 100 (12)
Pa
12.5568 kW
η 100 36.7958 % (13)
34.2 kW
De la ecuación (2),
d
η i Q i e Q 3i
(14)
Q 2
i
η Q i e Q 3i
ηi Q i2 Q e Q i4
i 3
Q i2
i
η Q i Q 3i e Q 3i Q 3i
η Q e Q i4
2 i
Q i2 Q i2
i i
η Q i Q 3i
e Q i4
Q
3 2
ηi Q
2 i i
Q Q
i 2 2
i
i
η Q i Q 3i
ηi Q i2
i
e
Q 2
i
(15)
Q 3 2
Q
4 i
Q
i 2
i
η i Q i2 5.812952003 ; Q 2
i 0.088 ; η i Q i 39.03049303 ;
Q 3
i 0.0144 ; Q 4
i 0.00250624
39.03049303 0.0144
5.812952003
e 0.088 3828.862226 (16)
0.00250624
0.0144
2
0.088
1070.069421 2 3828.862226 Q
dη
dQ
__________________________________________________________________________________________________
dη
1070.069421 7657.724452 Q 0 (19)
dQ
1070.069421 m3
Q 0.1397372685 (20)
7657.724452 s
l
Q N 139.74 (21)
s
Recuérdese que las características nominales de una bomba son las que corresponden al
punto de mejor rendimiento, PMR, es decir a la máx.
l
Q N 139.74 (23)
s
H N 26.4 m (24)
Pu N γ Q N H N
Pu N 36.19 kW (25)
Pu N
η máx
Pa N
Pu N 36.19 kW
Pa N 48.40565 kW
η máx 0.74764
Pa N 48.4 kW (26)
n Q1/2
ns N
, con n (rpm), QN (m3/s) y HN (m)
H 3/4
N
1450 0.13974
1/2
ns 46.53989794
26.43/4
n s 46.54
A continuación, se presenta una tabla con los valores iniciales del problema y los resultados
obtenidos durante su resolución.
__________________________________________________________________________________________________
Problema No. 21
H B2 54 71 Q - 4285 Q 2 ; η 2 37 Q - 380 Q 2
Se desea determinar:
El costo unitario por m3 de agua elevada por el conjunto en serie, sabiendo que el costo
de la energía es 219 $/kW∙h.
ks = 0.2 mm = 0.0002 m
Ds = Di = 350 mm
Q T Q B1 Q B2 , y H T H B1 H B2 (1)
H A H A-C H B1 H B2 H C (2)
0 0
0 0
h f s h L s h f i h L i H B1 H B2 z C γ 2 g
p A α v 2A p C α v C2
zA γ 2 g (3)
z C z A h f s h f i h L s h L i H B1 H B2 (4)
8 h L s Q T 8 h L i Q T
2 2 2 2
z C z A 8 f s2 L s Q5 T 8 f i2 L i Q5T
2 g D4 2 g D4
H B1 H B2
(5)
g Ds g Di s i
z C z A 8 Q T
f s L s f i L i 8 Q T2
2
5 2
h Ls
h Li
H B1 H B2
g D 5s
2
Di g
D 4
s D 4
i
z C z A 8 Q T
f s L s f i L i
2
5
h Ls
h Li
H B1 H B2
g D 5s
2
Di
D 4
s D 4
i
f s L s f i L i h L s h L i 2
z C z A
8
5 Q T H B1 H B2 (6)
2 g D 5s D i D s4 D i4
Curva Resistente Curva Motriz
H m H B1 H B2 (7)
H m A1 B1 Q B1 C1 Q 2B1 A 2 B2 Q B 2 C 2 Q 2B 2 (8)
__________________________________________________________________________________________________
Q B1 Q B2 Q T (9)
Luego,
H r z C z A
8 f s L s f i L i
5
h Ls
h Li 2
Q T (11)
2 g D 5s D i D s4 D i4
Ecuación general de la curva resistente del sistema.
En este problema, los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son iguales, es
decir, D s D i D . Además, por tratarse de tuberías de idéntico material
H r z C z A
8 f L s f i L i
5
k Ls
k Li 2
Q T (12)
2 g D 5 D D4 D4
f L s L i k L s k L i 2
H r z C z A
8
Q T
(13)
2 g D5 D4
k Ls kLi kT
8 f LT 8 kLT 2
H r z C z A Q T2 2 QT (14)
gD
2 5
g D4
H r z C z A
8
f L T D k L T Q T2 (15)
gD 2 5
Hr Hm (16)
z C z A 8
f L T D k L T Q T2 A1 A 2 B1 B2 Q T C1 C 2 Q T2
g D5
2
ecuación (17)
1 k 2.51
2 log s (18)
f 3.7 D R f
4 QT
con R (19)
πD
1 k 2.51 π D
2 log s (20)
f 3.7 D 4 Q T f
__________________________________________________________________________________________________
La manera más ágil de resolver el sistema de ecuaciones (17) y (20) es eliminando f y
obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita: QT.
D2 h k 2.51
QT 2 g D f T log s (21)
2 LT 3.7 D h
D 2 g D f T
LT
h f T z C z A k L s k L i H B1 H B 2 (22)
8 k L T Q T2
h f T z C z A A1 A 2 B1 B 2 Q T C1 C 2 Q T2 (23)
gD2 4
2 g D5 8 k L T Q T2
Q T 0.5 A1 A 2 B1 B 2 Q T C1 C 2 Q T z C z A
2
L T 2 g D 4
2.51
log
2 g D3 8 k L T Q T2
A1 A 2 B1 B 2 Q T C1 C 2 Q T z C z A
2
L T 2 g D 4
ecuación (24)
En la ecuación (24), todos los valores son conocidos, excepto el del caudal, QT.
Por lo tanto, el caudal impulsado por las dos bombas conectadas en serie es
m3 l
Q T 0.080913 80.91 . Además, f 0.0187958368401 .
s s
2.2. Cálculo de la altura suministrada por cada bomba en el punto de funcionamiento, HBi
m3
Q B1 Q B2 Q T 0.080913
s
H B1 31.889 m
H B2 54 71 Q B2 - 4285 Q 2B2
H B2 20.202 m
H T H B1 H B2
H T 31.889 m 20.202 m
H T 52.091 m
__________________________________________________________________________________________________
3. Cálculo del caudal nominal de cada bomba, QN
η 1 25 Q - 230 Q 2
d η1
25 - 460 Q 0
dQ
25 m3
Q N1 0.05435
460 s
m3 m3
Obsérvese que Q N 1 0.05435 Q T 0.080913
s s
η 2 37 Q - 380 Q 2
dη2
37 - 760 Q 0
dQ
37 m3
QN 2 0.04868
760 s
m3 m3
Nótese que Q N 2 0.04868 Q T 0.080913
s s
η máz , 1 25 Q N 1 - 230 Q 2N 1
η máz , 2 37 Q N 2 - 380 Q 2N 2
η B1 25 Q T - 230 Q T2
η B 2 37 Q T - 380 Q T2
Pu i γ Q B i H B i
Pa i
ηB i ηB i
m3
31.889 m
kgf
1000 3
0.080913
γ Q B1 H B 1 m s kgf m
Pa1 4990.78
η B1 0.517 s
kgf m3
1000 3 0.080913 20.202 m
γ QB 2 HB 2 m s kgf m
Pa2 3230.44
ηB 2 0.506 s
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7. Cálculo de la potencia útil del conjunto, PuT
kgf m3 kgf m
Pu T γ Q T H T 1000 3 0.080913 52.091 m 4214.84
m s s
N m 4214.84 9.81
Pu T 4214.84 9.81 kW 41.35 kW
s 1000
Pu T Pa T γ QT HT
ηT
N
Pa 1 Pa 2 γ Q T H B 1 γ Q T H B 2
P
i 1
ai
η B1
ηB 2
kgf m
4214.84
ηT s 0.5127 51.27 %
kgf m
4990.78 3230.44
s
Pu T 41.35 kW
Pa T 80.65 kW
ηT 0.5127
$
219 80.65 kW 1 h
kW h $
Cu 60.64 3
m 3
m
0.080913 3600 s
s
En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya
intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede
observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.
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Problema No. 22
Resolver el problema (21) bajo la consideración de que las dos bombas estarán asociadas en
paralelo.
Solución Analítica:
z A h f s h L s h f i h L i H T z C (2)
z C z A h f s h L s h f i h L i H T (3)
z C z A 8 f s 1 L s 1
k L s1 2
Q B1 8
f i Li k L i
2
QT HT (4a)
2 g D 5s 1 D s41
2 g D5
i D i4
z C z A 8 f s 2 L s 2
k Ls2 2
QB 2 8
f i Li k L i
2
QT H T (4b)
g D 5s 2
2
D 4
s2
2 g D5
i D i4
8
f i L i D i k L i Q T2 H T H B1 H B2
z C z A (5)
g Di5 2
H B1 A1 B1 Q B1 C1 Q 2B1 (7)
B1 B12 4 C1 A1 H B 1
Q B1 (8)
2 C1
Así mismo,
H B 2 A 2 B2 Q B 2 C 2 Q 2B 2 (9)
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B 2 B 22 4 C 2 A 2 H B 2
QB 2 (10)
2 C2
B1 B12 4 C1 A1 H T B 2 B 22 4 C 2 A 2 H T
QT (11)
2 C1 2 C2
z C z A 8
f i L i D i k
g D 5i
2 Li
(12)
135 18225 16000 69 H T 71 5041 17140 54 H T
2
HT
8000 8570
D i2 h k 2.51
QT 2 g D i f i log s i (13)
2 Li 3.7 D i hf i
Di 2 g D i
L i
A continuación, se presenta la ecuación general que integra en una sola a las ecuaciones
(11), (12) y (13), adecuada para calcular HT, dados los valores de las restantes variables:
B1 B12 4 C1 A 1 H T B 2 B 22 4 C 2 A 2 H T
2 C1 2 C2
D i2 8 kLi B B 2 4 C A H
2 g Di
H T z C z A 2 1 1 1 1 T
2 Li g D i4 2 C1
2
B 2 B 22 4 C 2 A 2 H T ksi 2.51
log
2 C2 3.7 D i D 2 g Di
i H T z C z A
Li
2
8 k L i B1 B12 4 C1 A 1 H T B 2 B 22 4 C 2 A 2 H T
2
g D i4 2 C1 2 C2
(14)
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Al resolver la ecuación (14) para HT, resulta:
H T 51.189 m (15)
m3 l
Q B1 0.0519536 51.95
s s
m3 l
Q B2 0.0186321 18.63
s s
m3 l
Por lo tanto, Q T Q B1 Q B2 0.0705857 70.59
s s
En efecto,
η B1 25 Q B1 - 230 Q 2B1
η B 2 37 Q B 2 - 380 Q 2B 2
Pu i γ Q B i H B i
Pa i
ηB i ηB i
kgf m3
1000 3 0.051954 51.189 m
γ Q B1 H B 1 m s kgf m
Pa1 3922.53
η B1 0.678 s
kgf m3
1000 3 0.0186321 51.189 m
γ QB 2 HB 2 m s kgf m
Pa2 1712.31
ηB 2 0.557 s
kgf m3 kgf m
Pu T γ Q T H T 1000 3 0.0705857 51.189 m 3613.21
m s s
Nm J
Pu T 3613.21 9.81 35445.59 35.45 kW
s s
kgf m
3613.21
Pu T Pa T s
ηT 0.6412 64.12 %
N
Pa 1 Pa 2 kgf m
P ai
3922.53 1712.31
i 1 s
Pu T 35.45 kW
Pa T 55.29 kW
ηT 0.6412
__________________________________________________________________________________________________
$
219 55.29 kW 1 h
kW h $
Cu 47.65 3
m
3
m
0.0705857 3600 s
s
En la siguiente figura se muestran las curvas motriz y resistente del sistema, de cuya
intersección resulta el punto de funcionamiento PF (QT, HT). Además, en ella se puede
observar las curvas de eficiencia correspondientes a cada una de las bombas.
COSTO DE
BOMBAS Y ECUACIÓN CAUDAL ALTURA EFICIENCIA POTENCIA
ELEVACIÓN
ASOCIACIÓN CARACTERÍSTICA Q (m3/s) H (m) (%) P (kgf.m/s) Cu ($/m3)
Pa1 = 4990.78
QB1 = 0.080913 HB1 = 31.89 B1 = 51.7
QT = QB1 = QB2 Pa2 = 3230.44
EN SERIE QB2 = 0.080913 HB2 = 20.20 B2 = 50.6 60.64
HT = HB1 + HB2 PaT = 8220.87
QT = 0.080913 HT = 52.09 T = 51.27
PuT = 4214.84
Pa1 = 3922.53
QB1 = 0.051954 HB1 = 51.189
QT = QB1 + QB2 B1 = 67.8 Pa2 = 1712.31
EN PARALELO QB2 = 0.018632 HB2 = 51.189 47.65
HT = HB1 = HB2 B2 = 55.7 PaT = 5635.07
QT = 0.070586 HT = 51.189
PuT = 3613.21
En el cuadro resumen, se presentan los resultados de los problemas 21 y 22, en los que se
considera la asociación de las bombas en serie y en paralelo, respectivamente. De dicho
cuadro se pueden extraer las siguientes conclusiones:
ii. Bombas distintas acopladas en serie o, lo que es lo mismo, acoplar rodetes diferentes en
una misma bomba multietapas, no pueden funcionar simultáneamente cerca o en el
punto óptimo de funcionamiento respectivo.
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iv. Es mucho más interesante acoplar dos o más bombas en paralelo, pues se obtienen
mejores rendimientos y caudales más cercanos a los de máximo rendimiento, aún
tratándose de bombas diferentes, como ocurre en este caso.
v. Debido a que las potencias absorbidas en el eje, Pa, son menores cuando las bombas se
acoplan en paralelo, que las correspondientes al acoplamiento en serie, y a que el
consumo de energía eléctrica de las bombas asociadas en paralelo es menor que el
correspondiente al de las bombas asociadas en serie, se genera un menor costo unitario
de elevación del agua favorable a los sistemas de bombas acopladas en paralelo.
vi. En cualquier caso, es más conveniente acoplar bombas iguales que asociar bombas
distintas entre sí.