CUATERNIONES

ROBÓTICA

Ing. Mecatrónica
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Facultad de Ingeniería
Escuela Profesional de Ingeniería Mecatrónica

CUATERNIONES

Trabajo de Investigación formativa

Robótica

AUTOR(es):
HERRERA CHIQUEZ; Anthony
LLUMPO DEXTRE; Jose Alejandro
MIRANDA CABANILLAS; Jherson Aarón
MOZO CASTILLO; Cristhian Joel

DOCENTE:
ALVA ALCÁNTARA, Josmell

CICLO:
IX CICLO

TRUJILLO – PERÚ
2019
 CONTENIDO
CAPÍTULO 1.......................................................................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 5
OBJETIVOS .................................................................................................................................................... 6
 Objetivo general................................................................................................................... 6
 Objetivos específicos ........................................................................................................... 6
CAPÍTULO 2.......................................................................................................................................................... 7
CUATERNIONES ........................................................................................................................................... 7
1. DEFINICIÓN ........................................................................................................................................ 7
2. REPRESENTACIÓN DE LOS CUATERNIONES ......................... Error! Bookmark not defined.
2.1. REPRESENTACIÓN VECTORIAL .......................................... Error! Bookmark not defined.
2.2. REPRESENTACIÓN MATRICIAL .......................................... Error! Bookmark not defined.
3. ARITMÉTICA DE LOS CUATERNIONES ................................... Error! Bookmark not defined.
3.1. IGUALDAD Y SUMA DE CUATERNIONES .......................................................................... 7
3.2. MULTIPLICACIÓN .............................................................. Error! Bookmark not defined.
3.2.1. PRODUCTO POR UN ESCALAR...................................................................................... 8
3.2.2. PRODUCTO ENTRE CUATERNIONES............................................................................. 8
3.3. EL CONJUGADO COMPLEJO ...........................................................................................10
3.4. NORMA ...........................................................................................................................11
3.5. INVERSO DE UN CUATERNIÓN .......................................................................................11
3.6. DIVISIÓN ENTRE CUATERNIONES ..................................................................................12
3.7. EXPONENCIACIÓN CON CUATERNIONES.......................... Error! Bookmark not defined.
4. ALGEBRA DE CUATERNIONES ................................................... Error! Bookmark not defined.
4.1. PROPIEDADES DE LA SUMA: ............................................. Error! Bookmark not defined.
4.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO: ........................................ Error! Bookmark not defined.
5. ROTACIONES EN ℝ𝟑....................................................................... Error! Bookmark not defined.
5.1. OPERADOR DE ROTACIÓN ................................................ Error! Bookmark not defined.
5.2. ÁNGULO Y EJE DE ROTACIÓN ........................................... Error! Bookmark not defined.
5.3. ROTACIÓN Y ESCALAMIENTO ........................................... Error! Bookmark not defined.
6. CUATERNIONES DUALES ............................................................. Error! Bookmark not defined.
6.1. OPERACIONES ARITMÉTICAS DEL CUATERNIÓN DUAL ..... Error! Bookmark not defined.
6.1.1. Adición: .......................................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.2. Multiplicación escalar: ................................................... Error! Bookmark not defined.
 6.1.3. Multiplicación: ............................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.4. Conjugada: ..................................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.5. Norma: ........................................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.6. División: ......................................................................... Error! Bookmark not defined.
6.1.7. Condición unitaria ......................................................... Error! Bookmark not defined.
6.2. Rotación con cuaterniones duales ................................... Error! Bookmark not defined.
CAPÍTULO 3......................................................................................................... Error! Bookmark not defined.
CONCLUSIONES ......................................................................................... Error! Bookmark not defined.
REFERENCIAS..................................................................................................... Error! Bookmark not defined.
 CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

En la actualidad, las aplicaciones de los robots son numerosas: telecomunicaciones,

meteorología, investigación científica, espionaje, prótesis humanas y otras varias.
Dependiendo de la tarea para la cual son diseñados, estos objetos pueden ser muy diferentes
unos de otros. De cualquier manera, sin importar todas estas diferencias, las leyes físicas
que rigen el movimiento de estos cuerpos en el espacio son siempre las mismas.

Para la obtención del modelo dinámico de un robot suele utilizarse la representación

vectorial tradicional de la mecánica newtoniana, ya que se puede tratar como el movimiento
de una partícula. El modelo de orientación más extendido se basa en el empleo de la matriz
de cosenos directores y su evolución temporal.

Existe, sin embargo, otra forma de modelar las rotaciones en el problema de orientación y
es utilizando cuaterniones, un conjunto numérico introducido por Sir William Rowan
Hamilton cuando buscaba extender el concepto de número complejo a más de dos
dimensiones. Estos elementos, a pesar de haber sido bastante aceptados originalmente por la
comunidad científica de la época (Maxwell, por ejemplo, utilizó cuaterniones para presentar
su teoría electrodinámica original), durante la primera mitad del siglo XX se perdió interés
en ellos al desarrollarse el análisis vectorial y matricial.

No obstante, esto, en la segunda mitad del siglo XX empezaron a aparecer varias

aplicaciones de los cuaterniones, en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería. Por la
eficiencia con la que pueden utilizarse para representar rotaciones, han sido muy utilizados
para definir la orientación de cuerpos en el espacio y en aplicaciones de realidad virtual y
animación tridimensional. La representación de rotaciones en el espacio tridimensional
mediante cuaterniones es computacionalmente más eficiente, tanto en espacio de
almacenamiento requerido como en número de operaciones necesarias, que la
representación mediante matrices que se emplea comúnmente. Además de esto, la
representación de rotaciones con matrices presenta ambigüedades cuando se analizan
rotaciones sucesivas, problema que el uso de cuaterniones elimina completamente.

Este documento estudiará los puntos elementales para el estudio de los cuaterniones, como
su definición, operaciones aritméticas básicas y aplicaciones en la rotación y traslación en
tres dimensiones, también se tratarán los cuaterniones duales, y se explicará las operaciones
aritméticas básicas y su aplicación en rotación y traslación de cuerpos rígidos en el espacio.

OBJETIVOS

 Objetivo general
 Comprender los puntos fundamentales tanto cuaterniones como de los
cuaterniones duales.
 Objetivos específicos
 Definir los cuaterniones
 Entender las operaciones básicas y peculiaridades de los cuaterniones
 Entender la rotación en tres dimensiones con el uso de cuaterniones
 Definir los cuaterniones duales
 Entender las operaciones básicas y peculiaridades de los cuaterniones duales
 Entender la rotación y traslación en tres dimensiones con el uso de cuaterniones
duales.
CAPÍTULO 2
CUATERNIONES
1. DEFINICIÓN

Un cuaternión puede ser representado por 4 números reales, eso es un elemento en 𝑅 4 ,

entonces se escribiría:

𝑄 = (𝑞0 , 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 ) … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 01

Donde 𝑞0 , 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 𝜖 ℝ.

Una manera alternativa de representar un cuaternion seria primero definiendo un parte

escalar, el cual puede ser cualquier numero escalar real y lo denotaremos como 𝑞0 . Luego
definimos una parte vectorial, llamada 𝑞, el cual es un vector ordinario en 𝑅 3

𝑞 = 𝑞1 𝒊 + 𝑞2 𝒋 + 𝑞3 𝒌 … . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 02

Donde 𝑖, 𝑗 𝑦 𝑘 son la base ortonormal en 𝑅 3 , Ahora definimos un cuaternion como la suma

de la parte escalar y vectorial:

𝑄 = 𝑞0 + 𝑞1 𝒊 + 𝑞2 𝒋 + 𝑞3 𝒌 … . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 03

2. OPERACIONES ARTIMETICAS DE LOS CUATERNIONES

2.1. IGUALDAD
2 cuaterniones son equivalentes si y solo si ellos tiene exactamente los mismos
componentes, es decir:
𝑄 = 𝑞0 + 𝑞1 𝒊 + 𝑞2 𝒋 + 𝑞3 𝒌

𝑃 = 𝑝0 + 𝑝1 𝒊 + 𝑝2 𝒋 + 𝑝3 𝒌

Luego 𝑃 = 𝑄 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖
 𝑝0 = 𝑞0
𝑝1 = 𝑞1
𝑝2 = 𝑞2
𝑝3 = 𝑞3

2.2.SUMA
La suma de dos cuaterniones P y Q queda definido como la adición de sus componentes
correspondientes, es decir:
𝑝 + 𝑞 = (𝑝0 + 𝑞0 ) + (𝑝1 + 𝑞1 )𝒊 + (𝑝2 + 𝑞2 )𝒋 + (𝑝3 + 𝑞3 )𝒌 … . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 04
La adición para cuaterniones, definida de esta manera, es exactamente igual que sumar
2 vectores de componentes reales cada uno, podemos notar que la suma de 2 cuaternios
es otro cuaternio.
Existe el cuaternio cero denominado así porque cada uno de sus 4 componentes es cero,
por otra parte cada cuaternio tiene su negativo denotado por -Q, el cual cada
componente es el negativo de los componentes correspondientes de Q.
2.3.MULTIPLICACIÓN
2.3.1. PRODUCTO POR UN ESCALAR
Justo como el en caso de los vectores en 𝑅 2 y 𝑅 3 , si 𝑐 es un escalar real y 𝑄 es el
cuaternion, el producto está dado por

𝑐𝑄 = 𝑐𝑞0 + 𝑐𝑞1 𝒊 + 𝑐𝑞2 𝒋 + 𝑐𝑞3 𝒌 … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 05

Así el producto de un cuaternio por un escalar es simplemente multiplicar cada

componente del cuaternio por el escalar, notamos que el resultado es otro cuaternio.

2.3.2. PRODUCTO ENTRE CUATERNIONES

El producto de dos cuaterniones es más complicado, debe ser definido de modo que
satisfagan los siguientes productos especiales fundamentales:

𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1
 𝑖𝑗 = 𝑘 = −𝑗𝑖
𝑗𝑘 = 𝑖 = −𝑘𝑗
𝑘𝑖 = 𝑗 = −𝑖𝑘

Estos productos elementales son no conmutativos, de modo que el producto de 2

cuaterniones no será conmutativo en general. Ahora usando las reglas ordinarias para la
multiplicación algebraica junto con los productos fundamentales anteriores, el producto
será:

𝑃 𝑄 = (𝑝0 + 𝑝1 𝒊 + 𝑝2 𝒋 + 𝑝3 𝒌 )(𝑞0 + 𝑞1 𝒊 + 𝑞2 𝒋 + 𝑞3 𝒌)
𝑃 𝑄 = 𝑝0 𝑞0 + 𝑝1 𝑞0 𝒊 + 𝑝2 𝑞0 𝒋 + 𝑝3 𝑞0 𝐤 + p0 q1 𝐢𝟐 + p2 q1 𝐢𝐣 + p3 q1 𝐢𝐤 + p0 q 2 𝐣 + p1 q 2 𝐣𝐢
+ p2 q 2 𝐣𝟐 + p3 q 2 𝐣𝐤 + p0 q 3 𝐤 + p1 q 3 𝐤𝐢 + p2 q 3 𝐤𝐣 + p3 q 3 𝐤 𝟐
𝑃 𝑄 = 𝑝0 𝑞0 + 𝑝0 𝑞1 𝒊 + 𝑝0 𝑞2 𝒋 + 𝑝0 𝑝3 𝐤 + p1 𝑞0 𝒊 − p1 𝑞1 + 𝑝1 𝑞2 𝒌 − p1 𝑞3 + 𝑝2 𝑞0 𝒋 − p2 𝑞1 𝒌
− p2 𝑞2 + 𝑝2 𝑞3 𝒊 + 𝑝3 𝑞0 𝒌 + p3 𝑞1 𝒋 + p3 𝑞2 𝒊 − p3 𝑞3

Reagrupando los términos, la expresión puede ser escrita como:

𝑃 𝑄 = 𝑝0 𝑞0 − (𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 + 𝑝3 𝑞3 ) + 𝑝0 (𝑞1 𝒊 + 𝑞2 𝒋 + 𝑞3 𝒌) + 𝑞𝟎 (𝑝1 𝒊 + 𝑝2 𝒋 + 𝑝3 𝒌 )

+ (𝑝2 𝑞3 − 𝑝3 𝑞2 )𝒊 + (𝑝3 𝑞1 − 𝑝1 𝑞3 )𝒋 + (𝑝1𝑞2 − 𝑝2 𝑞1 )𝒌 … . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 06

Para reducir la expresión de la ecuación 06 usamos los conceptos de producto escalar y

cruz, y nos quedaría:

𝑃 𝑄 = 𝑝0 𝑞0 − 𝒑 • 𝒒 + 𝑝0 𝒒 + 𝑞0 𝒑 + 𝒑 × 𝒒 … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 07

En donde • y × representan, respectivamente, los productos punto y cruz definidos en el

álgebra de vectores en ℝ3 .

El producto de cuaterniones definido en la ecuación 07, puede ser escrito usando el álgebra
de matrices. Si designamos un cuaterion al producto, es decir:

𝑃 𝑄 = 𝑅 = 𝑟0 + 𝑟 = 𝑟0 + 𝑟1 𝒊 + 𝑟2 𝒋 + 𝑟3 𝒌
Luego tenemos:

𝑟0 = 𝑝0 𝑞0 − 𝑝1 𝑞1 − 𝑝2 𝑞2 − 𝑝3 𝑞3
𝑟1 = 𝑝0 𝑞1 + 𝑝1 𝑞0 + 𝑝2 𝑞3 − 𝑝3 𝑞2
𝑟2 = 𝑝0 𝑞2 − 𝑝1 𝑞3 + 𝑝2 𝑞0 + 𝑝3 𝑞1
𝑟3 = 𝑝0 𝑞3 + 𝑝1 𝑞2 − 𝑝2 𝑞1 + 𝑝3 𝑞0

O, si es expresado en una matriz:

𝑟0 𝑝0 −𝑝1 −𝑝2−𝑝3 𝑞0
𝑟1 𝑝 𝑝 −𝑝 𝑝 𝑞
[ ] = [ 1 0 3 2 ] [ 1 ] … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 08
𝑟2 𝑝2 𝑝3 𝑝0 −𝑝1 𝑞2
𝑟3 𝑝3−𝑝2 𝑝1 𝑝0 𝑞3

2.4.EL CONJUGADO COMPLEJO

Un importante concepto algebraico relacionado con los cuaterniones, así como con los
números complejos ordinarios, es conocer el complejo conjugado de un cuaternion.
Definimos el complejo conjugado del cuaternion 𝑄 como el cuaternion, denotado por
𝑄 ∗ ,dado por:

𝑄 ∗ = 𝑞0 − 𝑞1 𝒊 − 𝑞2 𝒋 − 𝑞3 𝒌 … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 09

como un ejemplo, el complejo conjugado del producto de los cuaterniones es equivalente al

producto de sus complejos conjugado en orden inverso, es decir:

(𝑄 𝑃)∗ = 𝑄 ∗  𝑃∗ … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 10

Además la suma de un cuatrion con su respectivo complejo conjugado, nos resulta un

escalar:

𝑄 + 𝑄 ∗ = (𝑞0 + 𝑞) + (𝑞0 − 𝑞) = 2𝑞0 … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 11

2.5. NORMA

Otro importante concepto algebraico relacionado con los cuaterniones es la norma de un

cuaternion. La norma de un cuaternion Q, denotado por ‖𝑄‖, alguna vez llamado longitud
de Q,es el escalar denotado por:

‖𝑄‖2 = 𝑄 ∗  𝑄 … . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 12

Usando la definición del producto de cuaterniones, además sabiendo que 𝑞 𝑥 𝑞 = 0, la

ecuación 12 nos quedaría:

‖𝑄‖2 = (𝑞0 − 𝑞)(𝑞0 + 𝑞)

‖𝑄‖2 = 𝑞0 𝑞0 − (−𝑞) • 𝑞 + 𝑞0 𝑞 + (−𝑞)𝑞0 + (−𝑞) 𝑥 𝑞
‖𝑄‖2 = 𝑞02 + 𝑞 • 𝑞
‖𝑄‖2 = 𝑞02 + 𝑞12 + 𝑞22 + 𝑞32 … . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 13

Tenga en cuenta además que si un cuaternión tiene la norma 1, cada uno de sus
componentes debe tener un valor absoluto menor o igual a 1. Dichos cuaterniones se
denominan cuaternion unitario.

Finalmente es relativamente fácil demostrar que la norma del producto de 2 cuaterniones es

el producto de las normas individuales.

‖𝑃 𝑄‖2 = (𝑃 𝑄)(𝑃 𝑄)∗

‖𝑃𝑄‖2 = 𝑃 𝑄 𝑄 ∗  𝑃∗
‖𝑃𝑄‖2 = 𝑃 𝑃∗ ‖𝑄‖2
‖𝑃𝑄 ‖2 = ‖𝑃‖2 ‖𝑄 ‖2 … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 14

2.6. INVERSO DE UN CUATERNIÓN

Usando las ideas del complejo conjugado y la norma de un cuaternión, ahora podemos
demostrar que cada cuaternión distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, y podemos
desarrollar de la siguiente manera:
 𝑄 −1  𝑄 = 𝑄 𝑄 −1 = 1

Si nosotros pre y post-multiplicamos por un complejo conjugado nos quedaría:

𝑄 −1  𝑄 𝑄 ∗ = 𝑄 ∗  𝑄 𝑄 −1 = 𝑄 ∗

Usando la ecuación 12, obtenemos:

𝑄∗
𝑄 −1 = 2 … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 15
||𝑄||

Nostamos que si Q es un cuaternio unitario, ||𝑄|| = 1, luego la ecuación 15 nos quedaría:

𝑄 −1 = 𝑄 ∗ … 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 16

2.7.DIVISIÓN ENTRE CUATERNIONES

Una vez definido el inverso de un cuaternión es posible definir la división entre

cuaterniones, es posible escribir dos cocientes de cuaterniones como:

𝑃𝑄 ∗
𝑃𝑄 −1 = 2
||𝑄||

−1
𝑃∗ 𝑄
𝑄 𝑃= 2 … . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 17
||𝑄||

3. COMPOSICIÓN DE CUATERNIONES

Definimos el operador de rotación de cuaternión, LQ (asociado con el cuaternión Q y

aplicado a un vector v).

𝑤 = 𝐿𝑄 (𝑣) = 𝑄𝑣𝑄 ∗ … … … … … … … … … … … . (6.1)

= 2𝑞0(𝑞 𝑥 𝑣)
 = (𝑞0 + 𝑞)(0 + 𝑣)(𝑞0 − 𝑞)

= (2𝑞02 − 1)(𝑣) + 2(𝑞. 𝑣)𝑞 + 2𝑞0(𝑞 𝑥 𝑣)

Trabajamos la composición de rotaciones como una secuencia de operadores de rotación de

cuaternión.
Por tal secuencia nos referimos a un operador aplicado después de otro, y así
sucesivamente, en algún orden específico. Por lo tanto, necesitamos saber que una
secuencia de tales operadores en sí misma representa una rotación en R3

Figura N° 1.

Ahora, sea “u” un vector al que se aplica el operador Lp como se muestra en la Figura 1,
para obtener:

𝑣 = 𝐿𝑃 (𝑢) = 𝑃𝑣𝑃∗

A este resultado aplicamos el operador LQ, obteniendo así lo que a veces se llama la
composición de los operadores LQ y LP , denotado LQ∘LP.

𝑤 = 𝐿𝑄 (𝑢) = 𝑄𝑣𝑄 ∗

= 𝑄(𝑃𝑣𝑃∗ )𝑄 ∗

= (𝑄𝑃)𝒖(𝑄𝑃)∗ = 𝐿𝑄𝑃 (𝑢) … … … … … … … … … … . . (6.2)

Dado que P y Q son unidades cuaternarias, también lo es el producto QP. Por lo tanto, la
Ecuación 5.18 describe un operador de rotación de la ecuación de forma 6.2, en el que el
cuaternión de definición es exactamente el producto de los dos cuaterniones constituyentes
p y q.
La composición de rotaciones con cuaternios resulta tan sencilla como multiplicar
cuaternios entre sí. De tal forma que el resultado de rotar según el cuaternio Q1, para
posteriormente rotar según Q2, es el mismo que el de rotar según Q3:
𝑄3 = 𝑄2 ∘ 𝑄1 … … … … … … … … … … … … . . (6.3)
Se debe tener en cuenta el orden de multiplicación, el producto de cuaternios no es
conmutativo.

En el caso de componer rotaciones con traslaciones se procede como sigue:

 El resultado de aplicar una traslación del vector P seguida de una rotación Q al

sistema 0YXZ, es un nuevo sistema OUVW, tal que las coordenadas de un vector R
en el sistema OXYZ, conocidas en OUVW.

(0, 𝑹𝑿𝒀𝒁 ) = 𝑸 ∘ (𝟎, 𝑹𝑼𝑽𝑾 ) ∘ 𝑸∗ + (𝟎, 𝑹)

 El resultado si primero se aplica la rotación Q y luego la traslación del vector P.

(0, 𝑹𝑿𝒀𝒁 ) = 𝑸 ∘ (𝟎, 𝑹𝑼𝑽𝑾 + 𝑷) ∘ 𝑄 ∗

 Si se mantiene el sistema OXYZ fijo y se traslada el vector R según P y luego se le

rota según Q se obtendrá el vector R’ de coordenadas:

(0, 𝑹′) = 𝑸 ∘ (𝟎, 𝑹 + 𝑷) ∘ 𝑄 ∗

 El resultado si primero el giro y después la traslación:

(0, 𝑹′) = 𝑸 ∘ (𝟎, 𝑹) ∘ 𝑸∗ + (𝟎, 𝑷)