Parte2 PDF
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Tres ciudades comparten la energía eléctrica por un cableado soportado básicamente por torres
ubicadas como se muestra en la figura, cada una de éstas puede deteriorarse e impedir el flujo continuo
con probabilidad p.
Solución:
a. Para que no haya flujo de A a B, al menos dos torres deben estar destruidas, pero siempre la
que comunica a A con B.
b. P (V) = (1 - p)2
P (N / K) = P ( N f ) K ) / P ( K ) = 2 p 2 ( l - p ) / 3 p 2 ( l - p ) = 2 / 3
Ejemplo 33
Una urna contiene cuatro fichas numeradas 000,011,101, 1 lOy se extrae una aleatoriamente. Sean
A, B, C los eventos tales que indican que el primero, segundo, y tercer dígito respectivamente en la ficha
elegida es uno. Calcular las probabilidades de los eventos individuales, de las intersecciones de dos
eventos, y de la triple intersección. Son independientes los eventos individuales por parejas? Por ternas?
Solución:
26
En general, en este ejemplo todos los sucesos en parejas son independientes.
Se estudian en este aparte algunos técnicas especiales que facilitan el trabajo de contar los casos
favorables y posibles que definen la medida de probabilidad.
Sea un experimento que se tiene que realizar en K diferentes etapas, cada una se puede hacer de
n¡ formas distintas, entonces el experimento completo puede hacerse en: n] * n 2 *...*nk formas.
Ejemplo 34
Las maneras diferentes de viajar de una ciudad A a otra C pasando por una B, asumiendo que hay
3 alternativas para ir de A a B, y 4 de B a C
Ejemplo 35
El número total de las placas de los carros en Colombia, si se asumieran 3 letras de las 28 y 3
dígitos de los 10 se puede calcular como:
Ejemplo 36
Las formas de hacer un viaje a un sitio determinado al cual viajan 3 empresas de buses, el tren y
4 compañías de aviación son por lo tanto 3 + 1 + 4 = 8 maneras diferentes para realizar el viaje.
27
Ejemplo 14
El evento compuesto definido en el ejemplo 22, E : el sistema no tiene más de una salida, implica
la unión de dos eventos, E, : El sistema no tiene salidas y E2: El sistema tiene una salida; por lo tanto
n(E!)= 3 y n(E2)= 2 de ahí que por el principio de adición n(E)= 5
ii. Con repetición o con reemplazo. Igual al caso anterior, pero cada vez que se realice una
selección se vuelve a tener en cuenta el elemento extraído anteriormente, así que el total de formas
diferentes con repetición es:
Ejemplo 38
b. MOCR: 4 2 = 16= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), A}
Ejemplo 39
28
a. Sin que ninguno dígito sea repetido.
Los números del 0 a 9 son distintos y se desean cifras sin que ningún dígito se repita, la
solución es a partir de MOSR, es decir: 10P4
La cifra debe empezar con cualquiera de los 9 dígitos distintos de cero, como no se puede
repetir un dígito entonces para el segundo número se cuenta con 9 dígitos, por la anterior
razón las posiciones tres y cuatro se pueden llenar con 8 y 7 dígitos, respectivamente. Aplicando
el principio de la multiplicación se tiene un total de cifras igual a: 9* 9*8*7
La distinción entre los dígitos se mantiene, pero ahora se considera la repetición, por lo tanto
la solución es través de MOCR (104), aquí se hace necesario reflexionar porque no se desean
cifras sin dígitos repetidos ( 10 P 4 ), por tanto la respuesta es: 104 - 10P4=4960
Vn N!
N Cn formas diferentes. Muestras no Ordenadas sin repetición:
n! n!(N-n)! vny
MNOSR
ii. Con repetición o con reemplazo. En este caso se puede asumir que en cada etapa de selección
se va agregando un elemento "nuevo", desde luego a excepción de la primera etapa, equivale esto a
aumentar la población en el número de etapas de selección menos una. Implica decir que (n-1) de los
N elementos pueden volver a ser seleccionados. La combinatoria que aparece a continuación permite
contar el total de muestras
+ (n- 1)A
"[N+(n-l)] ^ n - C[N+( N -I);n] Muestras no ordenadas con repetición: MNOCR
Ejemplo 40
29
4i
a. =6 B = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}
2! 2!
r4+2-r 5!
b. ? = 10 E = {(a,b),(a,c),(a,d), (b,c),(b,d),(c,d),(a,a), (b,b), (c,o),(d,d)}
v / 2! 3!
Ejemplo 41
Los dígitos a utilizar pueden ser 0 y 1 que ocuparan 7 posiciones de cada sucesión generando así
un número cada vez. Como se trata de conocer el número de sucesiones que se pueden establecer y no
la cantidad de cifras de 7 números, el problema se reduce a seleccionar de una línea de 32 posiciones
7 de ellas, teniendo en cuenta que estas no requieren distinción y que además no es posible tomar una
cualquiera más de una vez, entonces se tienen muestras no ordenadas sin repetición (MNSR) y por
tanto la respuesta es 32 C 7
Le queda como ejercicio al lector, establecer la cantidad de números diferentes que se pueden
construir con este tipo de sucesiones.
Ejemplo 42
Calcular el número de formas de escoger 3 de los 7 días de la semana, con y sin repetición.
Se parte del hecho de que no hay restricción en relación a cuales días deban ser seleccionados
estando esto en relación con las muestras no ordenadas o no distinguibles. En cuanto a la repetición,
equivale a que los dos días seleccionados previamente sean factibles de aparecer dos o tres veces, por
tanto las ternas pedidas son 84, o sea C(7+3_1;3)=84
Del oiro modo, sin repetición, las tríadas son C(7 3)= 35
El total de formas diferentes en que se pueden repartir N elementos en K subconjuntos cada uno
de tamaño N¡, i = l,2,....k se representa por:
N N"
N„N2...Nk, N,!N 2 !...N k !
30
se corrigen conociendo los N¡ que causan esas formas idénticas por tanto el total de ordenaciones
diferentes se calcula según la formula anterior.
Ejemplo 43
Se reparte un naipe de 52 cartas entre cuatro personas de tal manera que al primero le correspondan
los ases, al segundo las figuras, al tercero los números impares y al cuarto las demás cartas. ¿De
cuántas maneras se puede lograr esta partición?
Solución:
En una baraja de póquer hay 4 ases, en cada una de las cuatro pintas se tienen 3 figuras y las
demás cartas están numeradas del 2 al 10. Por lo tanto:
N = 52 N! = 4 N 2 = 12 N 3 = 16 N 4 = 20
52 521
26
1.378338781 * 10
.4,12,16,20; 4! 12! 16! 20!
Ejemplo 44
Diez libros distintos son colocados aleatoriamente en un estante. Halle la probabilidad de que
tres de ellos estén ubicados uno después del otro.
Solución:
Hay 10! formas posibles de colocar los libros; los 3 libros de interés pueden ordenarse de 3:
formas y deben considerarse como un todo para colocarlos con los demás. Se tendrían en total 8 textos
que se pueden ubicar de 8! formas.
Los casos favorables y posibles se han determinado con base en el principio de la multiplicación
teniendo en cuenta las formas de colocar los 8 elementos y a la vez los 3 libros que deben ir juntos; al
igual que los 10 libros.
/ \ 3' 8'
P(E)
v ;
= - = 0.0667
10!
31
Ejemplo 14
A una cena asisten n hombres y n mujeres. Halle la probabilidad de que 2 personas del mismo
sexo no estén sentadas una al lado de la otra.
Solución:
Existen 2(n!)2 casos favorables, empezar la asignación de asientos con un hombre o con una
mujer, puesto que en total hay un número par de invitados. Hay n! formas de colocar los hombres y n!
de colocar las mujeres. Por el principio de la multiplicación se tendría (n!)2. Los casos posibles equivalen
a sentarlos de cualquier manera, siendo diferentes las 2n personas, cada una será un arreglo ordenado
sin repetición. Por lo tanto se tendrán (2n)! formas distintas.
(2n)!
Ejemplo 46
Los casos posibles son los anteriores además de las alternativas en las cuales varias de las personas
que van en el ascensor se bajan en el mismo piso, siendo aplicable las MNOCR, para este caso 7C3.
Definiendo B como el evento que denota máximo un pasajero deja el ascensor en un mismo piso.
p(B) = - ^ - = 0.2857
7 C3
ii. Queda como ejercicio del lector la solución para cuando se distinguen los pisos.
NOTA 5. Sean r partículas que deben ocupar n celdas (n > r) siendo rk el número de partículas
en la celda k, k=l, 2, ,n ^ + r2 + + rn = r, rk > 0
f r >
-El número de ocupaciones de las r partículas en las n celdas esta dado por: r,,r 2 ...r
32
- Si las n r colocaciones son igualmente probables, entonces la probabilidad de obtener r,, r7y. ,rn
' r ^
n
ocupaciones es: r
conocida como Distribución de Maxwell - Boltzmann.
l ' r2 • • • rn
2. Todos los arreglos no distinguibles que satisfacen la primera condición, tienen probabilidades
iguales.
NOTA 6.
n
k gn-k
A partir del teorema del binomio (A + B ) n = ^ A
k=0 v k y
a:
k=0 v k y k=0 v k y
6. PROBABILIDAD CONDICIONAL
Dado (Q, ¿ñ, P) es frecuente estudiar la probabilidad de diferentes sucesos bajo la hipótesis de
que ocurre un evento B (B e J{) el cual corresponde a una información básica que se conoce a priori
para obtener probabilidades a posteriori de otros sucesos.
33
TEOREMA 7
Sea ( Q , 31, P) y sea B e 31 tal que P (B) > 0 se define probabilidad condicional de un evento
A e ^ I dada la aparición de un suceso B a la función P B con dominio en y valorada en los reales.
P B : 3K -> fi[o,\]
1
A
A -->
» P
P b ((A)
A ) - PP^ÍAA/ B/ E
j - ) - pH AOMAflB)
(B)
DEMOSTRACION
A. P(A/B)=^Q^>O P(AHB)>0
P(B)
B. p (VQ / B ); = ^ q B ) ^ = l
P(B) P(B)
C. Sea {Ai} e ¿ft i = 1,2, Los A¡ son mutuamente excluyentes
\
Ai B
U fl
— Z ^ M P(B)
i!=Zp(Al/B)
Wi
U Ai/B
VieN p(B) Vi
Ejemplo 47
La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad p, una señal útil con una interferencia
superpuesta, y con probabilidad 1-p solo la interferencia ^ura.
Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con
probabilidad P b cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad P2.
34
Solución:
PxP
p(u/s)- >
PxP,+(l-P)P2
Ejemplo 48
Entre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran parte de su
tiempo por lo menos a trabajos técnicos, 40 de los cuales son graduados. Sí se toma al azar uno de
estos empleados, ¿cuál es la probabilidad de que:
Solución:
150 _ 40
, P ( 0 ) . •ti'G
n r > j i ( o •-ji< r m . 200- 2 0 0 . n o . „
G
785
P(T C ) P(T°) 140
140
200
b P (G c / T c ) = P ( ° C n r )
^P(G ÜT)C - 1
"P Ü T )
- 0 211
P(T C ) P(T C ) P(T°)
P ( G ( j T ) = P ( G ) + P ( T ) - P ( G f l T ) = 0.85
TEOREMA 8.
Sean (Q, Jl, P) A,, A 2 e J l , tal que P(A 2 ) > 0 y Á1 y A 2 son independientes => P (A,/ A 2 ) = P(A,)
35
7. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Hay ocasiones en las cuales es necesario obtener probabilidades de eventos que se interceptan y
son dependientes entre si, es decir, el segundo evento puede ocurrir tan solo si el primero ha ocurrido,
el tercero ocurre con probabilidad que depende de la de los dos primeros, y así sucesivamente.
TEOREMA 9
n A,
'k-i
Entonces,
\ k-2 \ f k-1
p d a , =P(A)P(A2/A,)P(A3/402)*• / FI 4 P A / R 4
Viel J v ¡=i J v 1=1 y
= P i A ) f [ Á A Í { \ A.
«=2 V M
Ejemplo 49
El 5% de la población de una ciudad sufre de presión sanguínea alta. De la población con presión
sanguínea alta el 75% toman licor mientras que solamente el 50% que no sufren de presión sanguínea
alta lo toman. Calcule el porcentaje de tomadores de licor que sufren de presión sanguínea alta.
Solución:
0 . 2 5 \ B C - > P ( A ) P ( B C / A ) = P ( A n B C ) = 0.0125
0 P ( A u ) P f B C / AC) = P f A L í 1 B l ) = 0.475
36
P(B / Ac) = P(B n Ac) / P(AC) P(B /A) = P(B fl A) / P(A)
=> P(B f | A) = P(A) P(B / A) = 0.05 * 0.75 = 0.0375
Ejemplo 50
Sean 20 artículos de los cuales 12 son defectuosos y 8 no defectuosos son inspeccionados uno
por uno. Si los artículos son seleccionados al azar, calcular la probabilidad de que:
Solución:
;
a. P (E) = P(D, f | D 2 ) = P(D,)P(D 2 / D,) ~ j = 0.347
128 7 8 7 12 8 12 7
= _ * _ * — * _ * — * _ + _ * _ * — = 3 * 0 0 9 8 2 4 = 02947
20 ¡9 18 20 19 18 20 19 18
c. P ( F ) = P [ ( D 1 D 2 D 3 ) | J ( D 1 B 2 D 3 ) | J ( B , B 2 D 3 ) | J (B,D 2 D 3 )]=O.6
d. P ( A c e p t a r ) = P [ ( B , B 2 B 3 B 4 ) | J ( B , B 2 B 3 D 4 ) | J ( B 1 B 2 D 3 B 4 ) | J ( B 1 D 2 B 3 B 4 ) | J ( 0 , 8 2 8 3 8 4 ) 1 = 0.1
8. PROBABILIDAD TOTAL
TEOREMA 10
37
i. Bif|Bj=0 Vi ^ j
P(A) = P U ( A f | B i ) = Z P ( A f l B i ) = E P(A/Bi)p(Bi)
Vi Vi
Ejemplo 51
Una fábrica tiene 3 máquinas M b M 2 y M 3 cuya producción es 60%, 30% y 10% respectivamente.
Cada máquina produce cierto porcentaje de artículos defectuosos, M¡ el 2%, M 2 el 3% y M 3 el 4%. Se
selecciona un artículo al azar, calcular la probabilidad de que sea defectuoso (D)? Bueno (B)?
Solución:
9. REGLA DE BAYES
Cuando se trabajan eventos como los mencionados en el teorema anterior, denominando los
primeros "causas" con probabilidades llamadas a priori, y "efectos" a los siguientes, es de interés
cuantificar la probabilidad de una "causa" especifica habiendo ocurrido un determinado "efecto", tal
probabilidad se conoce como a posteriori.
T E O R E M A 11
Sea (Q, ¿ñ, P) espacio de probabilidad, {Ai; i e N} & ¿71 mutuamente excluyentes y
colectivamente exhaustivos, B e ¿71 y ocurre asociado a cada A. tal que P(B) > 0. Entonces:
P(A,)P(B/A)
P(A/B) VJeN
X P(A,)P(B/A)
38
Ejemplo 14
Un paciente de un hospital puede tener una y sólo una de tres enfermedades E j , E2 , E 3 , con
probabilidad a priori 5/8, 2/8, 1/8 respectivamente. Para finalizar un diagnóstico se somete al paciente
a un examen que conduce a un resultado positivo con probabilidad 0.2 para E j , 0.3 para E 2 , 0.9 para
E3. Si el resultado es positivo ¿Cuál es la probabilidad a posteriori de cada enfermedad?
Solución:
P(E¡ / DP) = ?
La probabilidad total de DP es: P(DP) = 0.3125 con
P(E! / DP)= 0.4 P(E2 / DP)= 0.24 P(E3 / DP)= 0.36
DN
m U r P
PÍE/DP)-- (£j)P(DP/Ej) Para algún J,
DN X P(Ei)P(DP/Ei) í <J<3
Vi
a. Describa Q
c. Calcule la probabilidad de
i. A, B, A U B, A fl Bc, Ac f| Bc
ii. Dado que el primer artículo producido es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que la
inspección se detenga antes de seleccionar cuatro artículos?
iii. Dado que el último artículo observado es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que la
inspección se detenga antes de seleccionar cuatro artículos?
39
2: Considere los eventos A, B, C, en un experimento aleatorio. Traduzca a la simbología correspondiente
los siguientes planteamientos
3. Si los tres eventos del ejercicio anterior conforman el espacio muestral, = Partes de £2 ,
P(A) = p, , P(B) = p 2 P(C) = p3 . A, B, C son independientes. Calcular la probabilidad de cada
uno de los literales de los ejercicios 1C y 2.
4. Un juguete está formado por tres partes. Si la probabilidad de que cada parte sea defectuosa es 0.1.
Calcule la probabilidad de que el juguete sea defectuoso.
Se sabe también por experiencia, que en los pacientes que tienen la enfermedad A el análisis es
positivo con probabilidad 0.99, y en los que padecen la enfermedad B lo es con 0:06. Si al enfermo
se le hizo un análisis. ¿Cuál en la probabilidad de que:
6. La probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81, de que tenga
alta selectividad es de 0.32 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es 0.18.
¿Cuál es la probabilidad de que dado que un sistema tiene alta fidelidad tenga también alta
selectividad? ¿Cuál es la probabilidad de que dado que un sistema tiene alta selectividad tenga
también alta fidelidad?
7. En cierta ciudad, durante el mes de mayo, la probabilidad de que un día lluvioso sea seguido por
otro día también lluvioso es 0.8, y la probabilidad de que un día soleado anteceda a un día lluvioso
es 0.6. Suponiendo que cada día es clasificado como lluvioso o soleado y que el tiempo de cualquier
día depende solamente del día anterior. Calcular la probabilidad de que en la ciudad citada un día
lluvioso de mayo anteceda a dos días lluviosos más, luego a un día soleado y finalmente a otro día
lluvioso.
Calcular: P(A), P(B), P(C), P(A B), P(A C), P(A B C), son independientes A, B y C?
40
9. La tabla siguiente presenta un resumen de las características solicitadas en 940 órdenes de compra
de computadoras
MEMORIA ADICIONAL
PROCESADOR OPCIONAL:
SI: B NO: B c
SI: A 514 68
NO: A c 112 246
10. La probabilidad de que falle un conector eléctrico que se mantiene seco durante el período de
garantía, es de 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad de que falle durante el período de
garantía es de 5%. Si el 90% de los conectores se mantienen secos y el 10% se humedece ¿Qué
proporción de conectores fallará durante el período de garantía? ¿Si falló un conector, qué
probabilidad existe de que halla sido uno que se mantiene húmedo?
11. En un dispositivo de almacenamiento magnético, se hacen 3 intentos para leer datos antes de
invocar el procedimiento de recuperación de error, el cual se encarga de volver a posicionar la
cabeza de lectura- escritura. El procedimiento de recuperación de error intenta posicionar la cabeza
con probabilidad 0.8 de lograrlo antes de enviar el mensaje de "operación abortada" al operador.
Encuentre la probabilidad de que se produzca este mensaje si la operación de lectura es exitosa en
el 98% durante el primer intento, 90% en el segundo intento y 40% en el tercer intento.
12. Una tarjeta de circuito impreso tiene 8 posiciones en las que puede ubicarse un componente. Si se
van a colocar 4 componentes distintos sobre la tarjeta:
13. Una pieza se etiqueta mediante la impresión de 4 líneas delgadas, 3 líneas medianas y 2 líneas
gruesas. Cada ordenamiento representa una etiqueta diferente:
41
14. En el diseño de un sistema de comunicación deben crearse prefijos de tres dígitos de teléfono para
representar un área geográfica en particular.
15. Encuentre la probabilidad para cada evento del ejemplo 16, asumiendo que son igualmente
probables.
17. Una urna contiene tres monedas con probabilidad de caer cara iguales a 0.4, 0.5 y 0.6,
respectivamente. Una moneda es extraída y se lanza 20 veces y aparece cara 11 veces, cuál es la
probabilidad de que la moneda seleccionada haya sido la legal?
18. La calidad de tono de cuatro sistemas de audio va a clasificarse como superior, promedio o inferior,
determine el total de sistemas diferentes y la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan
tono de calidad superior. Suponga:
i) Sistemas diferentes
ii) Sistemas no distinguibles
19. Un alumno debe estudiar cero, una o dos horas para un examen en una noche. De cuantas maneras
puede estudiar un total de seis horas para el examen durante cuatro noches consecutivas? Cuál es
la probabilidad de que ese evento ocurra?
20. Sí las posibilidades están 5 a 3 de que un evento M ocurra, 2 a 1 de que un evento N no ocurra, y
4 a 1 de que ninguno ocurra. Se puede decir que los eventos son disjuntos?. Independientes?.
Encuentre la probabilidad de que al menos uno de los eventos pueda suceder.
21. Entre 150 personas entrevistadas como parte de un estudio transporte urbano masivo, 110 de ellas
viven a más de tres kilómetros del centro de la ciudad, 100 se transportan regularmente a su
trabajo en su auto, a 85 les gustaría usar el transporte de servicio público para movilizarse, 74
viven a más de tres kilómetros del centro de la ciudad y se transportan regularmente a su trabajo en
su auto, 62 viven a más de tres kilómetros del centro de la ciudad y les gustaría usar el transporte
de servicio público para movilizarse, 45 se transportan regularmente a su trabajo en su auto y les
gustaría usar el transporte de servicio público para movilizarse, 30 viven a más de tres kilómetros
del centro de la ciudad, les gustaría usar el transporte de servicio público y se transportan
regularmente a su trabajo en su auto. Calcular e interpretar la probabilidad de todas las intersecciones
y uniones posibles de los eventos considerados.
42
22. Se efectúa un torneo deportivo con cuatro jugadores, sin que puedan ocurrir empates, con eliminación
sencilla (por ejemplo tenis, dominó, naipes, etc). Suponiendo que los participantes tienen las mismas
habilidades, calcule la probabilidad de que:
23. Una persona se transporta diariamente en un determinado vehículo para ir de su casa al trabajo. Los
vehículos salen de la estación a las 7.00, 7.13,7.20,7.25, 7.32, 7.45, 7.55 de la mañana. Usualmente
la persona por diferentes factores llega a la estación entre las 7.15 y 7.45 de la mañana:
14. Una red de interruptores a, b, c y d está conectada a través de las líneas de potencia A y B como se
muestra en la figura. Asuma que los interruptores operan eléctricamente y tienen mecanismos de
operación independientes. Todos son controlados simultáneamente por los mismos impulsos; esto
es, se entiende que con un impulso todos los interruptores se deben cerrar simultáneamente. Pero
cada interruptor tiene una probabilidad P de fallar (No cerrar cuando debe hacerlo)
16. Hay un radar, una computadora y un giroscopio a bordo de un avión. La probabilidad de que el
radar falle es 0.2. Si el radar falla, el giroscopio también fallará y la probabilidad de que la
computadora falle es de 0.3. Si el radar funciona adecuadamente entonces la computadora funciona
correctamente y la probabilidad de que el giroscopio falle es 0.2.
43
II. VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es una función cuyos valores son números reales y dependen del azar.
Para todo subconjunto de los reales 8, 8 c R, {X e rB\ = {oo / X (co) e 8} e 3K, la función
ie valor real X recibe el nombre de Variable Aleatoria sobre (Q, A, P)
Ejemplo 1
En el experimento aleatorio lanzar un dado, suponga que una de la posibles variables aleatorias
5s X, que indica el resultado del lanzamiento del dado, entonces
Ejemplo 2
Se observó el movimiento de una partícula tres veces cuyo resultado es un fenómeno aleatorio,
por lo tanto se pueden describir como sigue:
45
Sea X: número de movimientos a la izquierda, de los tres realizados.
X: Q — > %
DDD —> X(DDD) = 0 Jl= [0,3]
DDI —> =1 Sí por ejemplo !B = {0, 1}
DID —> =1 entonces
IDD —> =1 {XÉS} ={X = 0 , X = 1 }
DII —> =2 (DDD), (DDI) |
6 JI
(DID), (IDD) J
IDI —> =2
IID —> =2
III —> =3
Sea X una variable aleatoria discreta. Se puede definir la función de probabilidad como
K - > f x ( k ) = P(X = k)
i) fx(k)>0
Ejemplo 3
46
fx
X: £2 -> ' K - ^ — » K Xn n
U - > 1 / 8 = 1X(U)
1 -> 3/8= f x ( l )
3/8
k = 0,3
2 -> 3/8 = f x (2) 2/8
fx(k) =
1/8
3 - > 1 / 8 = f x (3) k = 1,2
o i X
Sea (Q, P), X una variable aleatoria. La función de distribución de una variable aleatoria X,
;stá definida como:
Fx : k K [01]
Fx(k)=Ifx(k) S c Z
VkeS
Ejemplo 4
n — >
R [o.i]
0 > 1/8 = P ( X < 0 ) =F X (0)
i - » 4/8 = P ( X < 1 ) =F X (1)
2 —> 7/8 = P ( X < 2 ) =F X (2)
3 > 1 = P ( X < 3 ) =F X (3)
47
0 K<0 1
1/8 0<K<1 7/8
Fx
Fx(k) = 4/8 1< K < 2 4/8
Observe que:
c. F x (2.5) = F x (2)
d. F x (-1) = 0
e. F x (5) = 1
Ejemplo 5
La variable aleatoria X denota el número de vehículos detenidos ante un determinado semáforo
en rojo, se describe a partir de la siguiente función de distribución:
Número de
Vehículos X<0 0<X< 1 1 <X<3 3 <X < 4 4 <X < 6 6<X<8 X> 8
detenidos: X
Fx (x) 0 0.1 0.3 0.6 0.8 0.9 1
Solución:
f x (8) = F x ( 8 ) - F x ( 7 ) = 1 . 0 - 0 . 9 = 0.1
48
b. P(X > 3 ) = 1 - F x ( 3 ) = 0.4
Más de tres autos se detienen en el 40% de los casos en los cuales el semáforo se encuentra
en rojo.
En el 70% de los cambios del semáforo a rojo se detienen entre uno y cuatro autos
Ejemplo 6
Solución:
C, C2cC 3 - > 1
c,c c2 C 1
c, c2cc3c — > 1
c^ c2 c3c - > 0
c^c/c 0 fx
0.7 - -
0.1 --
0.729 k=2
•X
49