Ejercicios 01 (Métodos Númericos) PDF
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∗∗ I NSTRUCCIONES .
a) En todos los problemas, intente resolver cada ejercicio de manera independiente. Solo después de esto, busque ayuda en los
solucionarios, internet o grupos de estudio. El trabajo independiente forjará sus conocimientos en el tema.
b) Los ejercicios planteados reflejan el tipo de problema que se pueden pedir en el previo de la materia. Sin embargo, en ningún
momento, esto representa que sean los mismos problemas.
c) Muestre explı́citamente todo el trabajo que ha realizado para justificar sus respuestas. (JUSTIFIQUE O GUÍE SUS OPE-
RACIONES CON PALABRAS).
Definiciones de error:
Error verdadero:
Et = V alor verdadero − V alor aproximado
Laboratorio
Problema 1. Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones correctas con un error
menor a 10−5 para los siguientes problemas:
1. x − 2−x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1,
2. ex + 2−x + 2 cos(x) − 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2,
3. ex − x2 + 3x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1,
4x − 7
Problema 2. Aplique el algoritmo de bisección a la ecuación = 0, usando los intervalos
(x − 2)2
[1.2, 2.2] y 1.5, 2.5. Explique sus resultados gráficamente.
Problema 3. Use el método de Newton para aproximar las soluciones de las ecuaciones siguientes
con precisión de 10−5
2 − ex + x2
a) x = b) 3x2 − ex = 0
3
c) ex + 2−x + 2 cos(x) − 6 = 0 d) x2 + 10 cos(x) = 0
Compare los resultados con las raı́ces exactas: 1.241677, 1.970446 y −0.356062 ± 0.162758i.
Problema 12. Use los distintos métodos estudiados (incluyendo bisección) para encontrar los
ceros de
13 11 41 5 1
p(x) = x6 − 4x5 + x4 − x3 + x2 − x +
2 2 16 8 16
Analice los resultados encontrados.
Problema 13. Se tiene que construir una lata de forma cilı́ndrica que contenga 1000 cm3 . Las
tapas circulares de la lata al cortarse deben tener 0.25cm más de radio que el radio real de la lata
para que el excedente se use para sellar con la parte lateral. El pedazo de material que formará la
parte lateral de la lata debe ser también 0.35cm más largo que la circunferencia de la lata para que
se pueda sellar. Encuentre, con una precisión de 10−4 , la cantidad minima de material necesario
para construir la lata.
Problema 14. Dos escaleras se cruzan en un pasillo de ancho W . Cada una llega de la base de
un pared a un punto en la pared de enfrente. Las escaleras se cruzan a una altura H arriba del
piso. Dado que las longitudes de las escaleras son x1 = 20m y x2 = 30m y que H = 8m, calcule
W.
Problema 15. Lee y Duffy (1976) relacionan el coeficiente de fricción para el flujo de una sus-
pensión de partı́culas fibrosas con el número de Reynolds mediante la siguiente ecuación empı́rica:
1 1 p 5.6
√ = ln(Re f ) + 14 −
f k k
En su relación, f es el coeficiente de fricción. Re es el número de Reynolds y k es una constante
determinada por la concentración de la suspensión. Para una suspensión con 0.08 % de concentra-
ción, k = 0.28. Use los métodos de Bisección y Newton para determinar el valor del coeficiente de
fricción si el número de Reynolds es de 3750.
Problema 16. Se quiere diseñar un tanque esférico (ver Figura 1) para almacenar agua para un
poblado pequeño. El volumen del lı́quido que puede contener se calcula con
3R − h
V = πh2
3
donde V es el volumen (m3 ), h la profundidad del agua en el tanque (m), y R el radio del tanque
(m). Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m3 ? Use
cualquiera de los métodos, a fin de obtener la respuesta. Determine el error relativo aproximado
después de cada iteración.
Figura 1: Tanque de agua del Problema 16
Problema 17. Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20 m3 /s. La profundidad
crı́tica Y para dicho canal satisface la ecuación
Q2
1− B=0
gA3c
donde g = 9.81 m/s2 , Ac es el área de la sección transversal (m2 ), y B el ancho del canal en la
superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la
profundidad Y por medio de
Y2
B = 3+Y y Ac = 3Y +
2
Encuentre la profundidad crı́tica usando bisección con [a, b] = [0.5, 2.5] y ejecute iteraciones hasta
que el error aproximado caiga por debajo del 1 % o el número de iteraciones supere a 10. Analice
sus resultados.
Problema 18. El volumen V de un lı́quido contenido en un tanque horizontal cilı́ndrico de radio
r y longitud L está relacionado con la profundidad del lı́quido h por
h r − h p i
V = r 2 cos−1 − (r − h) 2rh − h2 L
r
Determine h para r = 2 m, L = 5 m y V = 8.5 m3 .
Problema 19. En una sección de tubo, la caı́da de presión se calcula ası́:
LρV 2
∆p = f
2D
donde ∆p es la caı́da de presión (P a), f es el factor de fricción, L la longitud del tubo (m), ρ
la densidad (kg/m3 ), V la velocidad (m/s), y D el diámetro (m). Para el flujo turbulento, la
ecuación de Colebrook proporciona un medio para calcular el factor de fricción,
1 ε 2.51
√ = −2.0log + √
f 3.7D Re f
Figura 2: Problema 20. a) Fuerzas que actúan sobre una sección AB de un cable flexible que
cuelga. La carga es uniforme a lo largo del cable (pero no uniforme por la distancia horizontal x).
b) Diagrama de cuerpo de la sección AB.
fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable el siguiente modelo de ecuación diferencial:
r
d2 y ω dy 2
= 1 +
dx2 TA dx
Puede emplearse elcálculo para resolver esta ecuación para la altura y del cable como función de
la distancia x.
TA ω TA
y(x) = cosh x + y0 −
ω TA ω
donde el coseno hiperbólico se calcula por medio de la ecuación: cosh(x) = 0.5(ex + e−x ). Utilice
un método para calcular un valor para el parámetro TA dados los valores de los parámetros ω = 12
y y0 = 6, de modo que el cable tenga una altura de y = 15 en x = 50.
Problema 21. En la Figura 3a se muestra una viga uniforme sujeta a una carga distribuida
uniformemente que crece en forma lineal. La ecuación para la curva elástica resultante es (ver la
Figura 3b)
ω0
y(x) = (−x5 + 2L2 x3 − L4 x)
120EIL
Utilice el método de la bisección para determinar el punto de máxima deflexión (es decir, el valor
de x donde dy/dx = 0). Después, sustituya este valor en la ecuación anterior a fin de determinar
el valor de la deflexión máxima. En sus cálculos, utilice los valores siguientes para los parámetros:
L = 600 cm, E = 50000 kN/cm2 , I = 30000 cm4 y ω0 = 2.5kN/cm.
Figura 3: Problema 21.
2k2 d5/2 1
+ k1 d2 − mgd − mgh = 0
5 2
Utilice un método numérico para encontrar el valor de d para los siguientes valores de los paráme-
tros: k1 = 50000 g/s2 , k2 = 40 g/s2 , m = 90 g, g = 9.81 m/s2 , y h = 0.45 m.
Figura 4: Problema 24.
Problema 25. La forma general para un campo tensorial de tres dimensiones es la siguiente:
σxx σxy σxz
σxy σyy σyz
σxz σyz σzz
Para resolver cuáles son los esfuerzos principales, es necesario construir la matriz siguiente (de
nuevo en MPa):
10 − σ 14 25
14 7−σ 15
25 15 16 − σ
σ1 , σ2 y σ3 se obtienen con la ecuación
σ 3 − Iσ 2 + IIσ − III
donde
I = σxx + σyy + σzz
2 2 2
II = σxx σyy + σxx σzz + σyy σzz − σxy − σxz − σyz
2 2 2
III = σxx σyy σzz − σxx σyz − σyy σxz − σzz σxy + 2σxy σxz σyz
I, II y III se conocen como las invariantes de esfuerzos. Encuentre σ1 , σ2 y σ3 por medio de uno
de los métodos vistos.
Problema 26. Un fluido se bombea en la red de tubos que se muestra en La Figura 5. En estado
estacionario, se cumplen los balances de flujo siguientes:
Q1 = q 2 + Q3 , Q3 = Q4 + Q5 , Q5 = Q6 + Q7
Figura 5: Problema 26.
donde Qi es el flujo en el tubo i (m3 /s). Además, la caı́da de presión alrededor de los tres lazos
en los que el flujo es hacia la derecha debe ser igual a cero. La caı́da de presión en cada tramo de
tubo circular se calcula por medio de la ecuación
16 f Lρ 2
∆P = Q
π 2 2D 5
donde ∆P es la caı́da de presión (P a), f es el factor de fricción (adimensional), L la longitud
del tubo (m), ρ densidad del fluido (kg/m3 ), y D ek diámetro del tubo (m). Use los métodos
numéricos estudiados para calcular el flujo en cada tramo de tubo, dado que Q1 = 1 m3 /s y
ρ = 1.23 kg/m3 . Todos los tubos tienen D = 500 mm y f = 0.005. Las longitudes de los tubos
son: L3 = L5 = L8 = L9 = m; L2 = L4 = L6 = 4 m; y L7 = 8 m.
Repita el problema, pero ahora incorpore el hecho de que el factor de fricción se calcula con la
ecuación de von Karman
1 p
√ = 4log10 (Re f ) − 0.4
f
donde Re es el número de Reynolds Re = ρV D/µ, donde V es la velocidad del fluido en el tubo
(m/s), y µ viscosidad dinámica (N · s/m2 ). Obsérvese que para un tubo circular, V = 4Q/πD 2 .
Asimismo, suponga que el fluido tiene una viscosidad de 1.79 × 10−5 N · s/m2 -
MATLAB
Apéndice A ¿Cómo calcula MATLAB las raı́ces? MATLAB proporciona la función
x = fzero(nombre_funcion,x0,tol,it)
para obtener la raı́z de una función. La función que ha de ser de la forma y = nombre_funcion(x)
se introduce como primer argumento, x0 es la aproximación inicial, el número de iteraciones del
proceso iterativo para alcanzar la solución se introduce por medio del argumento it. Si it es
igual a 1, el proceso se repite hasta que la solución esté dentro de una tolerancia tol. Los dos
últimos argumentos se pueden omitir. Esta función emplea el método de Brent que combina la
interpolación cuadrática inversa con la bisección.