Matemática Financiera

Matemática Financiera
Probabilidades
Definición de probabilidad: La probabilidad de un suceso es un número,
comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse
cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos deterministas: Son los experimentos de los que podemos
predecir el resultado antes de que se realicen.
Ejemplo. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a
dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá
durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios: Son aquellos en los que no se puede predecir el
resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos
 Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o

cruz.
 Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que
vamos a obtener.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible
resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar
dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Suceso: Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Ejemplos
 Al lanzar una moneda salga cara.
 Al lanzar una moneda se obtenga 4.
Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una
experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio: Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener
múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres

bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Probabilidad compuesta
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes. p(A B) = p(A) ·

p(B/A).
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de extraer dos ases?
Probabilidad de la diferencia de sucesos
Cuando se analizan fenómenos aleatorios complejos como puedan ser el

lanzamiento de varios dados a la vez o la extracción de bolas de una bolsa
sin reintegrarlas a la misma después de sacadas, el cálculo de
probabilidades sigue principios especiales, aunque perfectamente
mensurables. En estos casos se habla de experimentos aleatorios y
probabilidades compuestos o condicionados.
Probabilidad condicionada
Cuando se producen sucesos estocásticos consecutivamente de un espacio

muestral, pueden darse dos tipos genéricos de situaciones:
 Los sucesos son independientes entre sí, de manera que no influyen uno
en el otro.
 Cada suceso está condicionado por el resultado del anterior.
Cuando un suceso A influye en el resultado de un segundo suceso B, se
dice que la probabilidad de éste es una probabilidad condicionada,
expresado como P (B / A), cuyo valor es:
Probabilidad total
Cuando los sucesos elementales de un experimento no se refieren a todo el

espacio muestral sino a algún subconjunto del mismo, el cálculo de
probabilidades se hace más complejo. Un ejemplo típico de este problema
es el experimento consistente en sacar bolas de tres bolsas distintas, de
manera que en cada bolsa existe una distribución de bolas diferente. ¿Cuál
sería la probabilidad de que una bola extraída sea de un determinado color?
En estos casos se recurre al llamado teorema de la probabilidad total, según
el cual si se parte el espacio muestral E en un conjunto de n sucesos
incompatibles A1, A2, ¿, An, donde E = A1 È A2 È ¿ È An, y se analiza un
suceso cualquiera B, conocidas todas las probabilidades de A1, A2, ¿, An y
las probabilidades condicionadas de B con respecto a cada uno de estos
sucesos incompatibles
Tablas de contingencia
Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es

mediante las tablas de contingencia.
Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual

podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.
Ejemplo
Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de
automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres
casadas. Se pide:
1¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
2Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de

que sea una mujer?
Diagrama de árbol
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama

para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual

parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el
nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada
nudo ha de dar 1.
Ejemplos
1. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al

azar, hallar la probabilidad de:
a-Seleccionar tres niños.

1. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al
azar, hallar la probabilidad de:
a-Seleccionar tres niños.

b- Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c- Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
d- Seleccionar tres niñas.
2. Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.
Teorema de la probabilidad total
Si A 1, A 2,..., A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A2 ... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Ejemplo
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las

cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de
ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera
de las cajas, esté fundida?
Teorema de bayes
Si A 1, A 2 ,... , An son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A2 ... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son
economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de
los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas
solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un
empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma

es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es
de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es
0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de

que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.

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 Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o

Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio: Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes. p(A B) = p(A) ·

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Cuando se analizan fenómenos aleatorios complejos como puedan ser el

Cuando se producen sucesos estocásticos consecutivamente de un espacio

Cuando los sucesos elementales de un experimento no se refieren a todo el

Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es

Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual

1¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

2Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual

1. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al

a-Seleccionar tres niños.

a-Seleccionar tres niños.

c- Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

d- Seleccionar tres niñas.

2. Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A2 ... A n = E).

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A2 ... A n = E).

Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de

Sean los sucesos:

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