Taller #3 Movimiento Oscilatorio Amortiguado
Taller #3 Movimiento Oscilatorio Amortiguado
Taller #3 Movimiento Oscilatorio Amortiguado
A. Preguntas:
3. ¿Es posible tener oscilaciones amortiguadas cuando un sistema se encuentra en resonancia? Explique.
5. Un pelotón de soldados marcha llevando el paso a lo largo de un camino. ¿Por qué se les ordena
romper el paso cuando pasan por un puente?
6. Mencione todos los ejemplos que pueda en el funcionamiento de un automóvil donde se presente
movimiento armónico simple o amortiguado.
B. Problemas:
2. Demuestre que la ecuación x = A exp (-ßt / 2m) Cos (ωt + δ) es una solución de la ecuación:
–kx - ßdx/dt = m d2x / dt2, siempre y cuando ß2 < 4mk.
4. Describa una posible interpretación física del problema de valor inicial dado:
4 1
(a) x´´ + 3x = 0; x(0) = -3, x´(0) = -2 (b) x´´ + 4x = 0; x(0) = 0.7, x´(0) = 0
32 16
1 16
(c) x´´ + 2x´ + x = 0; x(0) = 0, x´(0) = - 1.5 (d) x´´ + x´+ 2x = 0; x(0) = -2; x´(0) = 1
16 32
(e) x´´ + 4x = - 5 Sen2t + 3 Cos 2t; x(0) = -1, x´(0) = 1
5. Las figuras representan la gráfica de la ecuación de movimiento de una masa sujeta a un resorte. El
sistema masa resorte está amortiguado. Utilice la gráfica para determinar: (a) cuándo el desplazamiento
inicial de la masa se encuentra arriba o debajo de la posición de equilibrio, y (b) cuándo la masa es
soltada, partiendo del reposo, hacia abajo o hacia arriba.
1
6. Un peso de 4 Lb se sujeta a un resorte cuya constante es de 2 Lb / pie. El medio ofrece una
resistencia al movimiento del peso numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el peso se suelta
desde un punto que está 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo
de 8 pies / s, determine el instante en que el peso pasa por la posición de equilibrio. Encontrar el
instante en el cual dicho peso alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál
es la posición del peso en ese instante?
SOL. 1/4 s; 1/2 s; x(1/2) = e- 2; esto es, el peso está aproximadamente 0.14 pie por debajo de la
Posición de equilibrio.
7. Un resorte de 4 pies de largo mide 8 pies después de que se le sujeta un peso que pesa 8 Lb. El
medio en el cual se mueve el peso ofrece una resistencia numéricamente igual a √2 veces la velocidad
instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si el peso se suelta desde la posición de equilibrio
con una velocidad hacia abajo de 5 pies / s. Halle el instante en el cual el peso alcanza su
desplazamiento extremo a partir de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición del peso en dicho
instante?
9. En los incisos (a) y (b) del problema anterior determine si el peso pasa por la posición de equilibrio.
En cada caso, determine el instante en el cual el peso alcanza su desplazamiento extremo desde la
posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición del mencionado peso en dicho instante?
10. Una fuerza de 2 Lb estira un resorte 1 pie. Un peso de 3,2 Lb se sujeta al resorte y luego el sistema
se sumerge en un medio que comunica una fuerza de amortiguación numéricamente igual a 0,4 veces la
velocidad instantánea. (a) Obtenga la ecuación de movimiento si el peso se suelta, a partir del reposo,
desde un punto que se encuentra 1 pie por encima de la posición de equilibrio; (b) Exprese la ecuación
de movimiento en la “forma alternativa de solución”, (c) Encuentre el primer instante en el cual el peso
pasa por la posición de equilibrio en dirección hacia arriba.
11. Después de que un peso de 10 Lb se sujeta a un resorte de 5 pies de largo, el resorte mide 7 pies.
Se quita el peso de 10 lb. y se remplaza por uno de 8 lb.; el sistema completo se coloca en un medio que
ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea. (a) Encuentre la ecuación de
movimiento si el peso se suelta 1/2 pie por debajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia
abajo de 1 pie/s; (b) Expresar la ecuación de movimiento en la forma dada por la “forma alternativa de
solución”; (c) Hallar los instantes en los cuales el peso pasa por la posición de equilibrio en dirección
hacia abajo; (d) Graficar la ecuación de movimiento.
SOL. (a) β > 5/2 (b) β = 5/2 (c) 0 < β < 5/2
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13. Una masa de 40 g alarga un resorte 10 cm. Un mecanismo de amortiguación comunica una
resistencia al medio numéricamente igual a 560 (medida en dinas / (cm/s)) veces la velocidad
instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se suelta a partir de la posición de equilibrio
con una velocidad hacia abajo de 2 cm / s.
2
SOL. x(t) = e- 7t Sen7t
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14. Hallar la ecuaciòn de movimiento para la masa del problema anterior si la constante de amortiguaciòn
se duplica.
15. Una masa de 1 slug se sujeta a un resorte cuya constante es de 9 lb / pie. El medio ofrece una
resistencia al movimiento numéricamente igual a 6 veces la velocidad instantánea. La masa se suelta
desde un punto que está 8 pulgadas sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo
de v0 pie/s. Determinar los valores de v0 de modo que posteriormente la masa pase por la posición de
equilibrio.
16. Una masa de 1 slug sujeta a un resorte oscila en forma subamortiguada con un cuasí-período de
π / 2 segundos. Si la constante del resorte es de 25 lb/pie, hallar la constante de amortiguación β.
17. Para el caso del movimiento subamortiguado, demostrar que el tiempo transcurrido entre dos
màximos positivos sucesivos de la ecuaciòn de movimiento es 2𝜋⁄ 2
√𝜔 − 𝛾 2