Area de Ingeniería Mecánica.

Departamento de Tecnología.
Campus de Riu Sec. 12071-Castellón. Spain.
http://www.tec.uji.es/IngMec/Principal.html
Autor/es: Ximo Sancho, Francisco Sanchez
Código: PDM-UROSC2
Categoría: Diseño de Máquinas
Tema: Uniones mediante elementos roscados y roblonadas
www.tec.uji.es
Creación: 22-Dic-2000
Ultima revisión: 6-Nov-2002 - Francisco Sánchez

PDM-UROSC2
Una escuadra de acero se sujeta a la pared mediante 4 pernos, según muestra la figura. Sobre el
extremo de la escuadra se aplica una fuerza externa P de 51 kgf. Se pide:
A) Factor de seguridad de la unión (minoración de resistencia), suponiendo que los pernos se
pretensionan según las recomendaciones (considerar tornillos reutilizables).
B) Comprobar que en estas condiciones las placas no se separan en ningún momento. Calcular el factor
de seguridad de junta segura.
C) Si la carga externa P fluctua entre 0 y 59.5 kgf, estimar la vida de la unión con una confiabilidad del
95%.

Datos:
Las cabezas de los pernos y las tuercas apoyan sobre arandelas de diámetro exterior igual a 1.5 veces el
diámetro nominal.
Todas las piezas (escuadra, pared y suplemento) son de acero, con las siguientes características:
E=207GPa, Sy=600MPa
Los pernos son de acero, M8x1.25 y calidad 9.8.

P
200
Suplemento
20

M8x1.25
60
20

5 7 5 Pared

PDM-UROSC2.mcd 1
 Datos:
Cargas:
Pest := 51kgf (carga estática)
Pmin := 0kgf (carga mínima)
Pmax := 59.5kgf (carga máxima)
Datos de materiales y espesores.
Eac := 207GPa (módulo de elasticidad del acero)
Syac := 600MPa (límite de fluencia del acero)
tplaca := 5mm (espesor de la placa de la escuadra)
tpared := 7mm (espesor de la pared)
tsupl := 5mm (espesor del suplemento)

Datos del perno.

d := 8mm (diámetro nominal)
p := 1.25mm (paso del tornillo)
calidad 9.8
Sp := 650MPa (resistencia de prueba según la tabla 14-7)
Sub := 900MPa (resistencia última según la tabla 14-7)
2
At := 36.61mm (área equivalente de la parte roscada, tabla 14-2)

APARTADO A)
Análisis de reparto de la carga entre los 4 pernos.
Para el análisis, se considera que el cortante en la unión es absorbido por el rozamiento debido a la
pretensión, por lo que no se tendrá en cuenta. Por lo tanto, los esfuerzos que intentan separar cada una de
las uniones son las debidas al momento flector.
-Modelo 1: Suponiendo que solo la pared y los pernos se deforman (figura modelo 1), el modelo estaría
bastante próximo a la realidad. En él se observa cómo los dos pernos superiores se ven traccionados por
la carga P, mientras que los pernos inferiores no solo no se ven traccionados, sino que pierden pretensión.
-Modelo 2: Suponiendo que sólo los pernos se deforman (figura modelo 2), se observa que la escuadra gira
con respecto al su punto inferior de apoyo en la pared. En este caso los 4 pernos están sufriendo carga
externa de tracción, aunque en diferente intensidad los de arriba con respecto a los de abajo.
En realidad, todas las piezas que intervienen en la unión se deforman. La realidad será, por tanto, mucho
más compleja y, consecuentemente, muy difícil de ajustar a un modelo. Sin embargo, si que se puede
prever que el modelo 2 expuesto aquí será el más desfavorable para los pernos ya que cualquier otro
modelo (por ejemplo, el modelo 1) implica un menor alargamiento de los pernos y, por tanto, una menor
carga externa para los mismos.

PDM-UROSC2.mcd 2
 P

Perno traccionado

Perno que pierde

pretensión

Modelo 1

Deformación permanente de la pared

Perno traccionado

Modelo 2

Punto de rotación (fibra neutra)

Así, pues, se dimensionarán los pernos para el modelo 2, en el que la fibra neutra se encuentra sobre la
arista inferior de la escuadra en contacto con la pared. Llamando Ps a la carga externa sobre la unión en
cada uno de los pernos superiores y Pi a la carga externa sobre la unión en cada uno de los pernos
inferiores se tiene:
M = Pest⋅ 200 mm = 2⋅ Psup⋅ ( 60mm + 20mm) + 2 ⋅ Pinf ⋅ ( 20mm)

Por otro lado, dado que el punto de rotación está en la línea inferior, cada perno tiende a alargarse una
cantidad proporcional al radio de giro (distancia desde el perno hasta la fibra inferior). Considerando además
que la carga externa es proporcional al alargamiento del perno, se tiene:

Psup = CP⋅ ( 60mm + 20mm)

Pinf = CP⋅ ( 20mm) siendo CP una constante de proporcionalidad.

PDM-UROSC2.mcd 3
 Entonces sustituyendo en la expresión del momento:
Pest⋅ 200 mm = 2 ⋅ CP⋅ ( 60mm + 20mm) ⋅ ( 60mm + 20mm) + 2⋅ CP⋅ ( 20mm) ⋅ ( 20mm) y, despejando K:

Pest N kgf
CP := CP = 7355 CP = 750
68mm m m

Y ahora ya se pueden calcular la carga externa sobre la unión en cada perno:

Psup := CP⋅ ( 60mm + 20mm) Psup = 588.399 N

Pinf := CP⋅ ( 20mm) Pinf = 147.1 N

Dado que los 4 pernos van a ser iguales, se estudiará lo que ocurre en los pernos superiores, en los que la
fuerza de separación sobre la unión (Ps) es máxima. Esta fuerza será absorbida en parte por el tornillo, y
en parte por las piezas, en función de las rigideces de los elementos que intervienen en la unión.
Determinación de rigideces:
Perno.
Como no se dispone de información sobre cuál es la longitud de la parte no roscada, se
supondrá el caso más desfavorable. El caso más desfavorable es cuando todo el agarre es no
roscado salvo la última décima de milímetro, que ya tiene rosca. Esto es debido a que cuanto
mayor sea la rigidez del perno, mayor parte de la carga externa abosrbe, teniendo ésta que
estar soportada por la pequeña parte de longitud roscada que queda dentro del agarre. Así,
suponiendo que todo el agarre es no roscado se tiene que la rigidez es:
2
π⋅d
Eac⋅
4 5 N
Kb := Kb = 6.121 × 10
tsupl + tpared + tplaca mm

Placas.
Consideraremos el cono de Rotscher para el cálculo de rigideces. Consideraré 4 tronco de conos:
π ⋅ E⋅ d ⋅ tan( 30⋅ deg)
Kmf ( d , D , t , E) :=
( 2 ⋅ t⋅ tan( 30⋅ deg) + D − d ) ⋅ ( D + d ) 
ln 
 ( 2 ⋅ t⋅ tan( 30⋅ deg) + D + d) ⋅ ( D − d ) 
6 N
Placa: Kplaca := Kmf ( d , 1.5⋅ d , tplaca , Eac) Kplaca = 4.695 × 10
mm
 tpared  7 N
Pared1: Kpared1 := Kmf  d , 1.5⋅ d + 2 ⋅ tplaca⋅ tan( 30deg) , , Eac Kpared1 = 1.499 × 10
 2  mm
6 N
Suplemento: Ksupl := Kmf ( d , 1.5d , tsupl , Eac) Ksupl = 4.695 × 10
mm
 tpared  7 N
Pared2: Kpared2 := Kmf  d , 1.5⋅ d + 2 ⋅ tsupl⋅ tan( 30deg) , , Eac Kpared2 = 1.499 × 10
 2  mm

con lo que la rigidez total equivalente de las placas es:

1 6 N
Km := Km = 1.788 × 10
1 1 1 1 mm
+ + +
Kplaca Kpared1 Kpared2 Ksupl

PDM-UROSC2.mcd 4
 Nótese que, en este caso, debido a que las 3 placas unidas por los pernos son exáctamente del mismo
material, el mismo resultado se habría obtenido considerando únicamente dos conos con espesor igual a la
mitad del espesor de la pared:
17⋅ mm
Km1 := Kmf  d , 1.5⋅ d , , Eac
6 N
Km1 = 3.575 × 10
 2  mm

6 N
Km2 := Km1 Km2 = 3.575 × 10
mm

1 6 N
Km := Km = 1.788 × 10
1 1 mm
+
Km1 Km2

Determinación de los coeficientes de reparto:

Kb
Cb := Cb = 0.255 Cb = 25.5 %
Kb + Km

Cm := 1 − Cb Cm = 0.745 Cm = 74.5 %

Cálculo de la pretensión:
Por recomendación, para pernos reutilizables la precarga debe ser:
Fi := 0.75⋅ At⋅ Sp Fi = 17.847 kN
Determinación del factor de seguridad ante fallo de los pernos por resistencia:
El esfuerzo sobre cada uno de los pernos superiores será:
Fb := Fi + Cb⋅ Psup Fb = 17.997 kN

Así, la tensión sobre la parte roscada será:

Fb
σ b := σ b = 491.6 MPa
At

Y el factor de seguridad:
Sp Sp
σb ≤ n s := n s = 1.322
ns σb

APARTADO B)
El coeficiente de seguridad de junta segura en la unión comprendida por los pernos superiores es:
Fi
n sj := n sj = 40.718 dado que es mucho mayor que 1, habrá una buena estanqueidad en
Cm⋅ Psup la unión.

APARTADO C)
Dado que la carga fluctúa, hay que determinar qué parte de la carga máxima va a la unión de los pernos
superiores y qué parte va a la unión de los pernos inferiores:
Para la carga máxima:
Pmax N
CPmax := CPmax = 8580.8
68mm m
Psmax := CPmax⋅ ( 60mm + 20mm) Psmax = 686.466 N para cada uno de los pernos superiores.
Pimax := CPmax⋅ ( 20mm) Pimax = 171.616 N para cada uno de los pernos inferiores.

Para la carga mínima, dado que su valor es nulo, ningún perno soportará ninguna carga:
Psmin := 0N para cada uno de los pernos superiores.
Pimin := 0N para cada uno de los pernos inferiores.

PDM-UROSC2.mcd 5
 Así, pues, se observa que los pernos superiores sufren la situación más desfavorable y la comprobación de
resistencia se realizará sobre éstos.
La rigidez de los elementos que intervienen en la unión no cambia, por lo que las constantes de reparto de la
carga entre perno y placas serán las mismas que en el apartado a). Consecuentemente:
Fbmax := Fi + Cb⋅ Psmax Fbmax = 18.022 kN

Fbmin := Fi + C b⋅ Psmin Fbmin = 17.847 kN

A partir de aquí se calculan las tensiones en la sección del perno más desfavorable dentro del agarre (es
decir, la perteneciente a la parte roscada):
Fbmax
σ bmax := σ bmax = 492.283 MPa
At
Fbmin
σ bmin := σ bmin = 487.5 MPa
At

Y de aquí se llega a los valores de tensión media y alternante:

σ bmax + σ bmin
σ bm := σ bm = 489.891 MPa
2
σ bmax − σ bmin
σ ba := σ ba = 2.391 MPa
2

Determinación del límite de fatiga para la sección de comienzo de la rosca.

Se = Ktemp⋅ Kconf ⋅ Kconc⋅ Set

Set := 0.5⋅ Sub Set = 450 MPa es menor que 700MPa

Ktemp := 1 (se supone 20ºC)

Kconf := 0.868 (confianza 95%)

1
Kconc := (se supone rosca laminada)
3.0
Se := Ktemp⋅ Kconf ⋅ Kconc⋅ Set Se = 130.2 MPa

Determinación del coeficiente de seguridad ante fallo por fatiga.

Según el modelo de Goodman (que emplea Su) se tiene:

Sub Sub Sub

σ bm + ⋅ σ ba ≤ n s := n s = 1.777
Se ns Sub
σ bm + ⋅ σ ba
Se

Luego el perno no fallará nunca por fatiga con una confianza del 95% y un factor de seguridad n s = 1.777

PDM-UROSC2.mcd 6