ÁREA DE MATEMÁTICA

TERCERO DE BACHILLERATO

LUGARES GEOMÉTRICOS

DEFINICIÓN:

En Geometría Analítica se dan algunas definiciones de lugar geométrico, entre estas están:

 El lugar geométrico significa determinar la curva, cuerpo o superficie que genera una ecuación.
 Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una propiedad dada.
 Lugar geométrico es el conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan
una ecuación, se llama gráfica de la ecuación, o bien, su lugar geométrico. Asimismo, cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen una ecuación, pertenecen a ese lugar geométrico.

Por ejemplo; sea la ecuación 𝑦 = 𝑥 − 8𝑥 + 15𝑥. Dando diversos valores a la variable 𝒙 y calculando los valores
correspondientes de 𝒚 , obtenemos los pares de valores que constituyen la gráfica y por lo tanto, el lugar geométrico
de esta ecuación.

No toda ecuación tiene su lugar geométrico. Por ejemplo la ecuación: 𝑥 +𝑦 + 4 = 0 no

se satisface para ningún valor real, por lo tanto no se puede trazar ningún punto en el plano
cartesiano de valores reales.

Otro ejemplo es la ecuación 𝑥 +𝑦 = 0 en donde 𝑥 = 0; 𝑦 = 0 es el único par de valores

reales que la satisfacen. En este caso el lugar geométrico representa un solo punto en el
origen.

Para analizar el lugar geométrico de una ecuación, debemos DISCUTIR LA ECUACIÓN, es decir analizarla considerando
los siguientes puntos:

1. INTERCEPCIÓN CON LOS EJES.

2. SIMETRÍA
3. EXTENSIÓN DE LA CURVA
4. ASÍNTOTAS
5. CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA.

A continuación, desarrollaremos cada punto.

1. INTERCEPCIÓN CON LOS EJES.

Son los puntos de corte de la gráfica con los ejes 𝒙 y 𝒚. El método para obtener estos puntos es dando los
valores de 𝑥 = 0 y 𝑦 = 0 en la ecuación.
 Ejemplo:
y En la ecuación 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙
Para 𝑥 = 0 obtenemos el valor de 𝑦 = 0 por lo tanto uno de los puntos de corte tiene
coordenadas (0, 0).
Para 𝑦 = 0 la ecuación nos queda: 𝑥 − 8𝑥 + 15𝑥 = 0
Factorizando esta ecuación se obtiene: 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 0
Los valores para 𝑥 son: 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 3 ; 𝑥 = 5 que determinan las intercepciones
x
(0, 0); (0, 3) 𝑦 (0, 5) en el eje de las 𝑥.
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2. SIMETRÍA

El segundo punto para analizar en la discusión de una ecuación es la simetría de la curva con relación a los ejes y
al origen.

 Una gráfica es simétrica con relación al eje 𝑥 cuando al cambiar

ú𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝒚 𝑝𝑜𝑟 − 𝒚, 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎. (𝑥, 𝑦)

(𝑥, −𝑦)

 Una gráfica es simétrica con relación al eje 𝑦 cuando al cambiar

(−𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦)
únicamente el valor de la variable x por  x , la ecuación no se
altera.

 Una gráfica es simétrica con relación al origen, cuando al cambiar

simultáneamente los valores de 𝑥 y de 𝑦 por – 𝑥 y – 𝑦 la ecuación
no se altera. (𝑥, 𝑦)

(−𝑥, −𝑦)

 Ejemplo:

Sea la ecuación 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 determine la simetría.

a) Con relación al eje 𝑥: en la ecuación se cambia 𝒚 𝒑𝒐𝒓 − 𝒚

(−𝑦) = 2𝑥 + 1 → −𝑦 = 2𝑥 + 1
La ecuación resultante cambió con relación a la ecuación dada, por lo tanto la gráfica no es simétrica con
relación al 𝑒𝑗𝑒 𝑥.

b) Con relación al 𝑒𝑗𝑒 𝑦: cambiamos el valor de 𝒙 𝒑𝒐𝒓 – 𝒙 en la ecuación dada.

𝑦 = 2(−𝑥) + 1 → 𝑦 = 2𝑥 + 1
La ecuación resultante no ha cambiado con relación a la original, por lo tanto la gráfica es simétrica con
relación al 𝑒𝑗𝑒 𝑦.

c) Con relación al origen: cambiar simultáneamente las variables 𝑥, 𝑦

(−𝑦) = 2(−𝑥) + 1 → −𝑦 = 2𝑥 + 1
La ecuación si cambia con relación a la original, por tanto, la gráfica no es simétrica con relación al origen.
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3. EXTENSIÓN DE LA CURVA

Este punto hace referencia a los intervalos para los cuales los valores de 𝑥 y de 𝑦 son valores reales, es decir,
al dominio y rango de la ecuación, también definen la localización de la gráfica en el plano coordenado e indica
si la curva es cerrada o abierta.

Para calcular el dominio de la ecuación es necesario dejar la ecuación en función de x, es decir, se debe
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑦 y 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥.

Para calcular el rango de la ecuación, es necesario dejar la ecuación en función de 𝑦, pues se debe 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑥,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑦.

Para analizar tanto el dominio como el rango de la ecuación,

debemos considerar dos casos:
a) Cuando la variable que analizamos está dentro de una raíz
cuadrada, el discriminante debe ser mayor o igual a cero. (No se
puede extraer la raíz cuadrada de un número negativo).
b) Cuando la variable que se analiza está en el denominador de
la ecuación, en este caso todo el denominador debe ser diferente
de cero (No está definida la división para cero)
 Ejemplo:
Calcular la extensión (dominio y rango) de la ecuación: 𝒙𝟐 𝒚 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎

Dominio: Despejamos 𝑦 en función de 𝑥: Al analizar la ecuación vemos que hay tres términos que contienen
𝑦 pero ningún término contiene 𝑦 por lo tanto vamos a sacar factor común 𝑦:
1
𝑦(𝑥 − 𝑥 − 2) = 1 → 𝑦 =
𝑥 −𝑥−2

Ahora vamos a analizar la variable 𝑥: Observamos que 𝑥 está en el denominador de la ecuación, por lo que,
todo el denominador debe ser diferente de cero.

𝑥 − 𝑥 − 2 ≠ 0 . Esta desigualdad la resolvemos como si fuera una ecuación, y encontramos los valores de 𝑥
que cumplen con la misma.

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 → 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 2; 𝑥 = −1
Este resultado significa que los valores de 𝑥 que no cumplen (valores que hacen que el denominador sea cero)
son -1 y 2, lo podemos expresar de la siguiente manera:

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 𝒙𝟏 ≠ −𝟏 ; 𝒙𝟐 ≠ 𝟐
También podemos expresarlo mediante intervalos (−∞; −𝟏) ∪ (−𝟏; 𝟐) ∪ (𝟐; −∞)

Se interpreta este resultado diciendo que el valor de 𝑥 puede ser todo número real, excepto el -1 y el 2.

-1 2
Rango: Despejamos 𝑥 en función de 𝑦
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Al analizar la ecuación dada 𝒙𝟐 𝒚 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎 podemos observar que la variable 𝑥 tiene su máximo
exponente 2, por lo que al rato de despejar se debe formar una ecuación de segundo grado.
Los términos de la ecuación están ya ordenados para dejarla en la forma típica de la ecuación de segundo
grado 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0, en donde los términos son:
𝐴=𝑦
𝐵 = −𝑦
𝐶 = −(2𝑦 + 1)

Luego, aplicando la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado, y reemplazando sus valores,
obtenemos:

−𝑏 ± √𝑏 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎

−(−𝑦) ± (−𝑦) − 4(𝑦)(−2𝑦 − 1)

𝑥=
2(𝑦)

𝑦 ± 𝑦 + 8𝑦 + 4𝑦 𝑦 ± 9𝑦 + 4𝑦
𝑥= → 𝑥=
2𝑦 2𝑦
Una vez realizado este procedimiento y dejar la ecuación en su forma más simplificada, procedemos a analizar
la variable 𝑦 para saber qué valores reales cumplen.

En este caso vemos que la variable 𝑦 está dentro de una raíz cuadrada, y también en el denominador, por lo
tanto debemos analizar los dos aspectos.

a) El discriminante de la raíz cuadrada debe ser un número positivo para poder extraer de la raíz, por lo que:
9𝑦 + 4𝑦 ≥ 0. Resolviendo esta inecuación de segundo grado, tenemos:
−4
9𝑦 + 4𝑦 = 0 → 𝑦(9𝑦 + 4) = 0 → 𝑦 = 0; 𝑦 =
9

Para saber qué conjunto de valores cumplen en esta desigualdad, debemos dar valores en cada uno de los
intervalos (3) en los que estos valores dividen a la recta numérica (independiente si son valores en 𝑥 o en
𝑦)

−4 0
9

En el intervalo −∞; − podemos dar el valor de -1 y reemplazar en la desigualdad 9𝑦 + 4𝑦 ≥ 0, si

cumple, significa que este intervalo es parte de la solución de la inecuación.
9(−1) + 4(−1) ≥ 0 → 5 ≥ 0 → 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒.
Igual cosa hacemos en el intervalo − ; 0 , reemplazamos por ejemplo con −0,2

9(−0,2) + 4(−0,2) ≥ 0 → −0,44 ≥ 0 → 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒.

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En el último intervalo [0; +∞) vamos a reemplazar el valor de 1.

9(1) + 4(1) ≥ 0 → 13 ≥ 0 → 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒.

Ahora vamos a expresar el resultado de los intervalos que cumplen.

𝟒
−∞; − 𝟗 ∪ [𝟎; +∞) resultado 1.

este es un resultado parcial del rango de la ecuación planteada, ya que falta analizar el denominador, que
también contiene la variable 𝑦.

±
Al despejar el valor de 𝑥, obtuvimos la ecuación: 𝑥 = hemos analizado el discriminante,
ahora vamos a analizar el denominador 2𝑦 que debe ser diferente de cero, puesto que la división para
cero no está definida.

2𝑦 ≠ 0 → 𝑦 ≠ 0 resultado 2.
Como vemos en el resultado 2 el valor de 𝑦 debe ser diferente de cero, ahora vamos a unir las dos
respuestas que hemos obtenido para poder determinar el rango de la ecuación.
En el resultado 1, el cero está incluido en la respuesta, pero en el resultado 2, el cero no es parte de la
solución, por lo tanto, tomando solamente la parte común de las dos respuestas, (intersección)
obtenemos la respuesta definitiva para el rango que estamos calculando.

𝟒
Rango: −∞; − 𝟗 ∪ (𝟎; +∞)

4. ASÍNTOTAS.

Como concepto de asíntota, podemos decir que es una línea imaginaria en el gráfico, a la cual la curva se
acerca cada vez más sin llegar a tocarla.

Para determinar si en el gráfico existe una o más asíntotas, lo analizamos en el dominio y rango de la ecuación,
pues, siempre que se obtenga la variable en el denominador significa que habrá una asíntota.
Para calcular el o los valores de las asíntotas, es decir sus ecuaciones, debemos igualar a cero el denominador
siempre que la variable esté presente aquí.

 Ejemplo:
En la ecuación analizada en el apartado anterior, 𝒙𝟐 𝒚 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎 calculamos el dominio y el rango,
para lo cual se tuvo que despejar las variables.

Dominio: 𝑦 =

±
Rango: 𝑥 =
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En el caso de esta ecuación, cuando se despeja 𝑦, encontramos 𝑥 en el denominador, significa que habrá dos
asíntotas verticales, porque tenemos un 𝑥

Cuando se despeja 𝑥 para calcular el rango, encontramos 2𝑦 en el denominador, por tanto, habrá una asíntota
horizontal, ya que el valor de 𝑦 tiene potencia 1.

Para calcular las asíntotas, se iguala a cero el denominador en cada caso, así:
𝑥 − 𝑥 − 2 = 0 → 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 𝑥 = 2; 𝑥 = −1

Significa que tenemos dos asíntotas verticales, la recta 𝑥 = 2 y la recta 𝑥 = −1

También igualamos a cero el denominador 2y.
2𝑦 = 0 → 𝑦=0
Tenemos entonces la asíntota horizontal 𝑦 = 0 .
Al haber asíntotas, la gráfica de esta es abierta.

𝑥 = −1 𝑥=2

𝑦=0

Cabe indicar que no todas las ecuaciones tienen asíntotas en sus gráficas.

 Ejemplo:
Sea la ecuación 𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎

Como se indicó, para calcular las asíntotas debemos primero despejar tanto 𝑥 como 𝑦.

9𝑦 + 36 9(𝑦 + 4) 3
𝑥=± → 𝑥=± → 𝑥=± 𝑦 +4
4 4 2

4𝑥 − 36 4(𝑥 − 9) 2
𝑦=± → 𝑦=± → 𝑦=± 𝑥 −9
9 9 3

Como podemos observar, al despejar la variable 𝑥 no encontramos 𝑦 en el denominador, igual ocurre cuando
despejamos 𝑦, pues no encontramos 𝑥 en el denominador. Esto significa que la gráfica de esta ecuación es
una gráfica cerrada y no da lugar a las asíntotas.
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5. CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA

Construir la gráfica significa realizar una tabla de valores basándonos únicamente en el dominio y rango obtenidos,
para luego estos puntos trasladarlos a un sistema coordenado y finalmente unir puntos y determinar la respectiva
gráfica.

Es muy importante, ubicar primero los puntos de intersección de la gráfica con los ejes y las asíntotas en caso de existir,
esto nos va a dar una guía para ubicar los otros puntos. En este momento veremos que todo lo analizado
anteriormente en la discusión de la ecuación, se cumple en la gráfica de nuestra ecuación.

Fuente: Geometría Analítica de Lehmann

Teoría.

https://www.youtube.com/watch?v=qDPBd8eoC24