UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO FACULTAD DE CIENCIAS DE

LA INGENIERÍA
CARRERA INGENIERÍA INDUSTRIAL
QUINTO SEMESTRE

CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD

TÍTULO:
Resolución de Ejercicios o Casos U2
AUTOR:
Asitimbay Flor Moisés Aaróm

TUTOR:
Ing. Avilés Noles Manuel Andrés

04 de enero de 2021
 1. Los siguientes datos representan las mediciones de viscosidad de los últimos
tres meses de un producto lácteo. El objetivo es tener una viscosidad de 80±10
cps.
Producto lácteo
84 81 77 80 80 82 78 83
81 78 83 84 85 84 82 84
82 80 83 84 82 78 83 81
86 85 79 86 83 82 84 82
83 82 84 86 81 82 81 82
87 84 83 82 81 84 84 81
78 83 83 80 86 83 82 86
87 81 78 81 82 84 83 79
80 82 86 82 80 83 82 76
79 81 82 84 85 87 88 90
Construya una gráfica de capacidad de este proceso (Histograma con
tolerancias) y dé una primera opinión sobre la capacidad.

Analizando el Histograma, con las respectivas tolerancias máximas y mínimas que propone el
enunciado, se observa que la mayoria de los valores se encuentran dentro de las mismas a
excepcion de unos pocos valores que sobrepasan el límite máximo planteado, lo que
mayormente resalta de esta gráfica es que los valores no se encuentran centrados con respecto
al objetivo pkanteado que es de 80 cps, siendo esto un indicio de que existe una alta variavilidad
o dispersión entre los datos, también se observa que la mayor concentración de datos se dan
entre los rangos 81.75 – 83.25, con una frecuencia de 28, teniendo todo esto en cuenta se
expresar muy superficialmente que los datos si se mantienen dentro de los límites de tolerancia.
Calcule la media y la desviación estándar, y tomando a éstos como
parámetros poblacionales estime los índices 𝑪𝑷, 𝑪𝒑𝒌, 𝑪𝒑𝒎, 𝑲, e interprételos
con detalle.

Estadísticos descriptivos: C1
Estadísticas
Variable N Media Desv.Est. Varianza CoefVar
C1 80 82.450 2.624 6.884 3.18

las múltiples herramientas con las que cuenta el software Minitab, nos brindan una
mayor velocidad a la hora del cálculo, de cada una de estas incógnitas planteadas por el
ejercicio, pero se decidió, realizar el cálculo de cada una de ellas de manera manual e ir
describiendo detalladamente cada uno de estos resultados.
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎: 82.45 𝑐𝑝𝑠
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟: 2.624
 A partir de estas dos medidas de tendencia central se procederá a la resolución del
ejercicio:
Índice 𝑪𝑷
𝐸𝑠 − 𝐸𝑖
𝐶𝑝 =
6 (𝜎 )
90 − 70
𝐶𝑝 =
6(2.624)
𝐶𝑝 = 1.27
El resultado Obtenido del índice 𝐶𝑝 , expresa que el proceso que se está realizando
actualmente es parcialmente adecuado, pero requiere de un control estricto en el proceso, lo
que manifiesta que se deberá buscar la forma de como mejorar el proceso, este esfuerzo para
mejorar el índice 𝐶𝑝 , se deberá de enfocar principalmente en la disminución de la varaibiliadad
o dispersión que tienen los datos con respecto a su media.
Índice 𝑪𝒑𝒌
El índice 𝑪𝒑𝒌, se lo conoce como el índice de capacidad real que tendrá el proceso y se
lo determina de la siguiente manera:
Índice de capacidad Inferior
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝐿𝐸𝐼
𝐶𝑝𝑙 =
3 (𝜎 )
82.45 − 70
𝐶𝑝𝑙 =
3(2.624)
𝐶𝑝𝑙 = 1.58
Índice de capacidad Superior
𝐿𝐸𝑆 − 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎
𝐶𝑝𝑢 =
3 (𝜎 )
90 − 82.45
𝐶𝑝𝑢 =
3(2.624)
𝐶𝑝𝑢 = 0.96
De ambos tanto del índice de capacidad superior o inferior se escoge el menor, siendo
este el valor real que tomará el índice 𝑪𝒑𝒌, siendo este valor de 0.96, en comparación con el
índice 𝑪𝒑 , ambas se encuentran muy alejadas una de la otra, por tal motivo se puede afirmar
que el valor que tiene la media del proceso actual se mantiene alejado del valor de tolerancia
central de las especificaciones que es de 80. El problema que surge con el descentralizado de
los datos está ligado con que existe un valor considerable en la variabilidad de los datos, por
ende, se debe corregir con suma urgencia, porque de no ser así, ocasionaría que el proceso se
dañe por completo.
Índice 𝑪𝒑𝒎
El índice de capacidad a largo plazo o índice de TAGUCHI, expresará la capacidad del
proceso en un tiempo prologado a largo plazo, se lo calcula de la siguiente manera:
𝜏 = √(𝜎)2 + (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜)2

𝜏 = √(2.624)2 + (82.45 − 80)2

𝜏 = 3.59
𝐿𝐸𝑆 − 𝐿𝐸𝐼
𝑪𝒑𝒎 =
6 (𝜏 )
90 − 70
𝑪𝒑𝒎 =
6(3.59)
𝑪𝒑𝒎 = 0.93
En función a este indicador se puede expresar que el proceso a largo plazo, no es el adecuado
para este proceso, requerirá de cambios serios y de un buen análisis en la variabilidad del
problema, por tal motivo no cumple con las restricciones del problema a corto y largo plazo, el
problema radica en la poca centralización de los datos y su alta variabilidad.
Índice K
Este índice de calidad, determinara que tan descentrado están los valores que se
determinan en el proceso en función de un valor objetivo, en este caso 80, se calcula de la
siguiente manera:
𝜇−𝑁
𝐾= ∗ 100
1
(𝐿𝐸𝑆 − 𝐿𝐸𝐼 )
2
82.45 − 80
𝐾= ∗ 100
1
(90 − 70)
2
𝐾 = 24.5%
Tomando como referencia el valor objetivo del proceso 80, se llega a la conclusión que
el proceso sufre de una desviación hacia la derecha del 24.5%, esto se da debido a que existe
una gran dispersión o variabilidad en los datos, por lo tanto, se deberá recurrir a realizar un
estudio minucioso del proceso con el objetivo de disminuir esta variabilidad en los datos.
 Con base en la Tabla 5.2, también estime el porcentaje fuera de
especificaciones.

Porcentaje fuera
Índice a corto plazo Valor de las PPM
especificaciones
𝑪𝒑 1.27 0.01467 146.7
𝑪𝒑𝒍 1.58 0.0004 4
𝑪𝒑𝒖 0.96 0.2096 2096

¿Las estimaciones realizadas en los dos incisos anteriores y las

correspondientes estimaciones se deben ver con ciertas reservas? ¿Porqué?
Si, debido a que los valores por cada millón que incumplirían con el límite inferior del
enunciado, es de tan solo 4 por tal motivo este no presentaría problemas, de datos de viscosidad
inferiores a 70 cps, el 𝑪𝒑 indica que por cada millón de datos 146.7 datos no cumplen o están
fuera de las indicaciones, siendo este ya un valor a tomar en cuenta, el mayor problema surge
del lado derecho de la restricción ya que por cada millón 2096 datos de viscosidad
sobrepasarían el límite máximo de 90 cps en su viscosidad, lo cual ya es una cantidad a tomar
en cuenta, por que estaría afectando directamente con la calidad del producto brindado.
 2. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media
y desviación estándar están dadas por 𝝁 = 𝟐𝟗. 𝟑 𝒚 𝝈 = 𝟎. 𝟓, calcule e interprete
a detalle los siguientes índices 𝑪𝑷 , 𝑪𝒑𝒌, 𝑪𝒑𝒎 , 𝑲, 𝑪𝒓 .
Analizaremos el comportamiento de estos datos, en una gráfica de distribución, para
determinar qué tan descentrado están los valores en función de su valor objetivo (30), esto se
realizará para tener una primera visión de la dispersión y el comportamiento de los datos.

Está gráfica nos brinda los primeros indicios de información del comportamiento de la media
y la desviación estándar, se puede observar que los valores dentro de ella se encuentran
descentrado del valor objetivo en su mayoría estos se encontraran por debajo de 30, aunque
positivamente se pude observar que los valores si se mantienen dentro de los límites del
ejercicio, ahora se procederá al cálculo de los índices de calidad para determinar si el proceso
es el adecuado a corto y largo plazo:
Índice 𝑪𝑷
𝐸𝑠 − 𝐸𝑖
𝐶𝑝 =
6 (𝜎 )
32 − 28
𝐶𝑝 =
6(0.5)
𝐶𝑝 = 1.33
El primer índice, indica que el proceso actual que se ejecuta es el adecuado a corto
plazo, por tal motivo el proceso actual si cumple con el primer índice de capacidad de proceso.
 Índice 𝑪𝒑𝒌
Índice de capacidad Inferior
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝐿𝐸𝐼
𝐶𝑝𝑙 =
3 (𝜎 )
29.3 − 28
𝐶𝑝𝑙 =
3(0.5)
𝐶𝑝𝑙 = 0.867
Índice de capacidad Superior
𝐿𝐸𝑆 − 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎
𝐶𝑝𝑢 =
3 (𝜎 )
32 − 29.3
𝐶𝑝𝑢 =
3(0.5)
𝐶𝑝𝑢 = 1.8
Como se expuso anteriormente para determinar el valor real que tomará el índice 𝑪𝒑𝒌 .
De ambos tanto del índice de capacidad superior como del inferior se escoge el de menor valor,
siendo este valor de 0.867, en comparación con el índice 𝑪𝒑 , este no cumple con las
especificaciones siendo inadecuado para el proceso actual, cade destacar que este índice tiene
como objetivo determinar la relación que existe entre la media del proceso actual y la distancia
que tiene esta con el límite de tolerancia, en otras palabras indica si los datos del proceso se
ajustan adecuadamente a las especificaciones planteada, como se observó con anterioridad
aunque todos los valores se encuentran dentro de los límites, estos no se mantienen centrados
con respecto al valor objetivo de 30, por tanto el proceso actual no cumple con este índice de
capacidad.
Índice 𝑪𝒑𝒎

𝜏 = √(𝜎)2 + (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜)2

𝜏 = √(0.5)2 + (29.3 − 30)2

𝜏 = 0.86
𝐿𝐸𝑆 − 𝐿𝐸𝐼
𝑪𝒑𝒎 =
6 (𝜏 )
32 − 28
𝑪𝒑𝒎 =
6(0.86)
𝑪𝒑𝒎 = 0.775
 El indicador 𝑪𝒑𝒎, se encuentra ente los valores 0.67 y 1 por tal motivo, no es adecuado
a largo plazo el proceso que se está desarrollando actualmente, el problema radica
principalmente por un problema en el centrado de los datos, se debe realizar cambios urgentes
en cómo se está dando el proceso con el objetivo de buscar la manera de que los datos se
encuentren en su mayoría en el centro del valor objetivo (30), o cambiar el proceso totalmente.
Esto se puede garantizar debido a que, al observar la gráfica de distribución de los datos, la
desviación estándar no perjudica grandemente al proceso, porque su valor es ínfimo, lo que si
se ratificó con el análisis de esta grafica es que los valores que tomaran en este proceso actual
se encuentran descentrados hacia el lado izquierdo.
Índice 𝑪𝒓
Este índice es conocido como el índice 3 sigma, es el encargado de medir la capacidad
potencial que tiene el proceso, siendo este inverso al índice 𝑪𝒑 , debido a que este estudia la
relación entre la variación real frente a la tolerada.
6(𝜎)
𝐶𝑟 =
𝐿𝐸𝑆 − 𝐿𝐸𝐼
6(0.5)
𝐶𝑟 =
32 − 28
𝐶𝑟 = 0.75
El valor que toma este índice es parcialmente adecuado, debido a que indica que la
variación que se produce en el proceso cubre tan solo un 75% de las especificaciones de la
banda, el problema de este índice radica en que no toma en consideración si el proceso se
encuentra descentrado o no.
Índice K
𝜇−𝑁
𝐾= ∗ 100
1
(𝐿𝐸𝑆 − 𝐿𝐸𝐼 )
2
29.3 − 30
𝐾= ∗ 100
1
(32 − 28)
2
𝐾 = −35%
Este valor de -35% expresa que el 35% de los datos sufren de una desviación hacia la
izquierda como se pudo observar en la gráfica de distribución, tomando como punto medio el
valor objetivo de 30, lo cual afirma la Hipótesis planteada de que el proceso no esta centrado
y que la mayoría de los valores que se dan dentro del proceso son inferiores a 30. Por tal motivo
el proceso no cumple con este índice tampoco.
 Se podría decir de forma general que aunque a simple vista pareciera que el proceso
que se da actualmente es el indicado, y que el primer índice maquilla un poco la realidad que
se da dentro del proceso, siempre es importante analizar todos y cada uno de estos índices, para
no caer en un error muy grave, analizando todos los datos que tenemos actualmente se puede
decir que existen graves problemas con el centrado de los datos en este proceso actual y que se
deben ejecutar medidas que ayuden a cambiar esta tendencia, por que a largo plazo este proceso
no es viable e incluso a corto plazo causaría muchos problemas, la recomendación que se da,
es que, se debe realizar un estudio para determinar que factor esta perjudicando al centrado de
los datos, como opinión propia el problema no esta ligado con la varianza o variabilidad que
tienen esto debido a que su valor es muy ínfimo, se debe centrar 100% en buscar la manera de
centrar los valores dentro del proceso, para que este sea adecuado o bien cambiar el proceso
actual por uno nuevo.
3. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la
concentración de grasa. En una industria en particular se fijó 3.0% como el
estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente de
los establos lecheros. Si de los datos históricos se sabe que μ = 4.1 y σ = 0.38:
Calcule el 𝑪𝒑𝒊 he interprételo.
Índice de capacidad Inferior
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝐿𝐸𝐼 4.1 − 3 𝐶𝑝𝑖 = 0.965
𝐶𝑝𝑖 = 𝐶𝑝𝑖 =
3(𝜎) 3(0.38)

El índice 𝐶𝑝𝑖 , indica si el proceso es capaz de cumplir o no con las restricciones del
límite inferior del enunciado, en este caso al ser de tan solo 0.965, se llega a la conclusión de
que este proceso no es adecuado para el trabajo que se está realizando actualmente debido a
que requiere de correcciones e inspecciones severas para determinar, el factor causante de estos
problemas.
Con base en la tabla 5.2, estime el porcentaje fuera de especificaciones
Siendo el valor del 𝐶𝑝𝑖 , de 0.965 el porcentaje fuera de las especificaciones estimado
será de 0.2048% dando como resultado que de cada millón de envases de leche 2048
envases cuentan con menos del 3% de concentración de grasa.
¿La calidad es satisfactoria?
No, la calidad del proceso es demasiado baja de tan solo 0.965, se deben realizar
cambios con urgencias, por que el proceso actual no esta cumpliendo con el 3% de
grasa mínima en la leche impuesta en el ejercicio.
 4. Para el ejercicio 21 del capítulo 2, estime el 𝑪𝒑𝒊 he interprételo
En el caso del problema anterior, a continuación, se muestran 100 datos obtenidos
en las pruebas destructivas de la resistencia de botellas. resistencia mínima de 20 kg
fuerza.

Estadísticos descriptivos: C1
Estadísticas
Variable Media Desv.Est.
C1 27.095 1.389
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝐿𝐸𝐼
𝐶𝑝𝑖 =
3 (𝜎 )
27.095 − 20
𝐶𝑝𝑖 =
3(1.389)
𝐶𝑝𝑖 = 1.70
El proceso si es adecuado porque su valor de 𝐶𝑝𝑖 es mayor a 1.33, por tal motivo el proceso
actual si es el adecuado. En la gráfica de distribución se puede garantizar que con la media
actual y la desviación estándar la resistencia mínima que tiene cada botella siempre será mayor
a 20kg.
 5. El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De
acuerdo con los datos históricos se tiene que μ = 318 y σ = 4. ¿El proceso de
envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.

Partiendo de la gráfica de distribución se puede dar una primera opinión sobre los datos del
envasado, al principio se observa que los datos si cumplirían con lo expuesto por las
limitaciones de un mínimo de 310 y un máximo de 330 de ml, aunque se observa que los valores
en función del valor objetivo que es de 320 se encuentran desviados hacia la izquierda, se
procederá al calculo de los índices de capacidad correspondientes:
Índice 𝑪𝑷
𝐸𝑠 − 𝐸𝑖
𝐶𝑝 =
6 (𝜎 )
330 − 310
𝐶𝑝 =
6(4)
𝐶𝑝 = 0.83

Índice 𝑪𝒑𝒌
Índice de capacidad Inferior
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝐿𝐸𝐼
𝐶𝑝𝑙 =
3 (𝜎 )
318 − 310
𝐶𝑝𝑙 =
3(4)
𝐶𝑝𝑙 = 0.67
 Índice de capacidad Superior
𝐿𝐸𝑆 − 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎
𝐶𝑝𝑢 =
3 (𝜎 )
330 − 318
𝐶𝑝𝑢 =
3(4)
𝐶𝑝𝑢 = 1
Analizando ambos indicadores se observa que el proceso no es adecuado a corto plazo
ya que ambos indicies tanto el 𝑪𝑷 y 𝑪𝒑𝒌 son menos a 1 por lo tanto se afirma que el proceso
no es el adecuado.
Índice 𝑪𝒑𝒎

𝜏 = √(𝜎)2 + (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 − 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜)2

𝜏 = √(4)2 + (318 − 320)2

𝜏 = 4.47
𝐿𝐸𝑆 − 𝐿𝐸𝐼
𝑪𝒑𝒎 =
6(𝜏)
330 − 310
𝑪𝒑𝒎 =
6(4.47)
𝑪𝒑𝒎 = 0.745
Incluso el índice 𝑪𝒑𝒎 que indica si el proceso es optimo a largo plazo, indica que el
proceso actual no es adecuado, y que sufre problemas por alta variabilidad y por descentrado
de los datos.
Índice K
𝜇−𝑁
𝐾= ∗ 100
1
( )
2 𝐿𝐸𝑆 − 𝐿𝐸𝐼
318 − 320
𝐾= ∗ 100
1
(330 − 310)
2
𝐾 = −20%
El índice K afirma lo expuesto anteriormente los datos sufren una desviación en función de su
valor objetivo del 20 % hacia el lado izquierdo, siendo esto una de las razones por las cuales el
proceso no es el adecuado para el trabajo.
En conclusión, el proceso actual no es adecuado y se necesita cambiar por otro, o
solucionar los problemas que se tienen con la dispersión de los datos y el centrado de estos
mismos en función de su valor objetivo.
 Link de los ejercicios resueltos en el software Minitab
https://drive.google.com/drive/folders/100RiM8TqAXVlP_-5_jTfiJkhnh87Tci-
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