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Matrices Simbologia y Operacionces
Matrices Simbologia y Operacionces
Matrices Simbologia y Operacionces
SIMBOLOGÍA Y OPERACIONCES
TEORIA Y EJERCICIOS
MATRICES
Matriz.
Se llama matriz de orden m×n a una tabla de números que consta de m filas y n columnas. La expresamos
en la siguiente forma:
A =¿( 2 1 3 ¿) ¿ ¿¿
Dada una matriz cualquiera, por ejemplo, ¿ , podemos escribirla
Igualdad de matrices.
Matriz traspuesta.
Dada una matriz A = (a ij), se llama traspuesta de A, y se representa por A t, a la matriz que se obtiene
cambiando filas por columnas.
Ejemplo:
Matriz simétrica.
Ejemplo:
Obsérvese que doblada por la diagonal principal los números que coinciden son iguales.
Matriz diagonal.
Es la que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. (subíndices iguales).
Ejemplo:
Matriz unidad.
Es la que tiene la diagonal principal formada por unos y los demás elementos nulos. Se designa por I.
Designamos por Mmxn el conjunto de las matrices de m filas y n columnas. Dadas las matrices A = (a ij)єMmxn y B
= (bij)єMmxn
Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Conmutativa: A + B = B + A
Elemento neutro: Es la matriz nula de orden m×n. Se denota por O y se verifica que A + O = A
Elemento opuesto: Cada matriz A tiene su opuesta que se obtiene cambiando el signo de todos sus
elementos. Se denota por –A.
α(A + B) = αA + αB
(αβ)A = α(βA)
I.A = A
Por cumplirse las citadas propiedades se dice que la terna (Mmxn,+, ) es un espacio vectorial respecto de las .
operaciones suma (+) y producto (∙).
Ejemplos:
3.A=¿ ( 15 6 12¿ ) ¿ ¿¿
¿
A=(a ij )∈ M mxn ;
B=( b jk )∈ M nxp
n
c ik =∑ aih . bhk
siendo h=1 , es decir, si
Ejemplo:
Matriz inversa.
Dada una matriz cuadrada A, Si existe otra matriz B, tal que A.B = B.A = I, se dice que A es inversible y la matriz
B recibe el nombre de inversa de A. Se expresa por A-1.
Una manera de proceder es mediante sistemas de ecuaciones y con operaciones vectoriales aunque la forma
práctica es mediante determinantes.
( 2 -2 2 ¿ )( 2 1 0 ¿ ) ¿ ¿¿
¿
Si hacemos B1 = (b11, b12, b13); B2 = (b21, b22, b23); B3 = (b31, b32, b33)
2B1−2B2+2B3=e1¿}2B1+B2 =e2¿}¿ ¿
y resolviendo el sistema se obtiene:
7
B 1=e3 −e 1 =(−1 , 0, 1) ; B 2=e2 −2 B 1=(2 , 1, -2 ) ; B 3=( , 1, -3 )
2
−1
A =¿ ( − 1 0 1¿ ) ( 2 1 -2 ¿ ) ¿ ¿
¿
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones.
a1 x1+. . . . . .+a1nxn=b1¿}. . . . . . . . . . . . . . . ¿} ¿
si tenemos en cuenta el producto y la igualdad de matrices, podemos expresarlo en la forma siguiente:
(a11........a1n ¿) (. ................¿ )¿ ¿¿
¿
Esta expresión recibe el nombre de forma matricial.
Expresión vectorial.
El mismo sistema podemos expresarlo también en forma vectorial. Basta realizar las siguientes
(a 11 x 1 ¿ )( a21 x 1 ¿ ) ( .. ¿ ) ¿ ¿¿
transformaciones: ¿
(x1¿ a11 ¿)(a21 ¿)(. .¿)¿¿ +.... ....+ xn¿(a1n ¿)(a2n ¿)(..¿)¿¿
es decir, ¿ ¿
1 2 n
y entonces resulta x 1 A +x 2 A +. . .. .. . .+ xn A =B que es la ecuación vectorial del sistema.
Esta forma vectorial obtenida nos permite afirmar que resolver un sistema es equivalente a expresar el vector
B como combinación lineal de los vectores A1, A2, . . .An.
Teorema de Rouché.
a . . . . a ( . . . . . . . . . ¿) ¿ a . . . . a b ( . . . . . . . . . . . ¿) ¿
A=¿( 1 1n ¿) ¿¿ A=¿( 1 1n 1 ¿) ¿¿
¿ ; ¿
, o bien,
A= { A 1 , A 2 , A n} ; A ¿ = { A1 , A 2 , An , B }
El teorema de Rouché dice:
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que el rango de la
matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.
Demostración:
Supongamos que el sistema tiene solución: Entonces el vector B puede escribirse como combinación lineal de
1 2 n
A1, A2, ...,An, es decir, B=α 1 A + α 2 A +.. .. . .. .+α n A , luego
rang { A1 , A2 ,. .. . .. .. . ,A n }=rang { A 1 , A 2 , .. .. . .. .. ,A n , B }
Supongamos ahora que A y A* tienen el mismo rango: Si rang A = rang A* , habrá r vectores que son
linealmente independientes: A1, A2, .......,Ar.
Si { A1 , A2 , . .. .. . ,Ar } es una base del espacio vectorial que engendran, el vector B podrá escribirse como
combinación lineal de los vectores que integran la base:
1 2 r
B=α 1 A +α 2 A +.. .. . .. .+α r A , es decir,
1 2 r r +1 r+2 n
B=α 1 A + α 2 A +.. .. . .. .+α r A +0 A +0 A + .. .. .. . ..+0 A
Si el rango de las matrices es menor que el número de incógnitas, existen infinitas soluciones y el sistema se
llama indeterminado.
Sistemas homogéneos:
En los sistemas homogéneos siempre hay solución: (0, 0, . . . .0). Para que exista solución distinta de la trivial
se ha de cumplir que rang(A)<número de incógnitas.
Ejercicios resueltos.
1.- Demuestra que (A + B)t = At + Bt.
Solución:
t t t
( A + B) =(a ji +b ji )=( a ji )+( b ji )= A + B
Solución:
n
A . B=(c ik )=
( ∑ air brk
r=1
)
n n
t
( A . B) =( c )=
ki
(∑ ) ( ∑ )
r =1
a ri b kr =
r=1
bkr a ri =( b kj ).( a ji )=Bt . A t
t t t
es decir, ( A .B ) =B . A
Solución:
AX – B = X; AX – X = B; (A – I )X = B; X = (A – I)-1 .B.
(1 2 ¿) ¿ ¿ ¿
A–I= ¿ . Hallamos la inversa de A –I:
(0 2 ¿) ¿ ¿ ¿
¿ ;
2 c =1 ¿ } 2 d = 0 ¿ } 3 a −2 c =0 ¿ } ¿ y de aquí d=0; c=1/2; a=1/3; b=1/3
(( A−I ) =¿ 3 3 ¿ ¿ ¿¿
−1
(1 1 )
¿ , con lo que resulta que
1 1
X =¿ ( 3 3 )
¿ ¿¿¿
¿
(1 2 3 t ¿)(2 4 6 8¿)¿¿¿
4.- Calcula el rango de la matriz ¿ para los distintos valores de t.
( 1 2 3 t ¿ ) (2 4 6 8 ¿ ) ¿ ¿ ¿
¿
Si t≠4, el rango es 2 (nº de vectores no nulos)
Si t=4, el rango es 1
¿¿¿
5.- Resuelve el sistema: ¿
Solución:
9 X+6Y =¿ ( 3 -3¿ ) ¿ ¿¿
¿
15X+10Y=¿ ( 5 -5¿ ) ¿ ¿¿
¿
−1 −1 −1
1.- Demuestra que ( AB ) =B . A si A y B son inversibles.
2 2 2 2 2
( A + B) = A + 2 AB+B y ( A +B).( A−B )= A −B
A=¿( 2 3¿ ) ¿ ¿¿
4.- Siendo ¿ , calcula A2 – 3A –I donde I es la matriz identidad.
( a b¿) ¿ ¿¿
6.- Se considera el conjunto M2x2 de las matrices cuadradas de la forma ¿ con a, b y c números reales.
a) Prueba que M2x2 es un subespacio vectorial del espacio de las matrices de orden 2x2.
2
9.- Estudia, según los valores de a el sistema
x−2y+az=a¿}x+4y+a z=6+a¿}¿ ¿
10.- Halla los valores del parámetro real a que hacen compatible el sistema