Prueba de Hipotesis para La Diferencia de Medias Con Var. Conocidas

ESTADÍSTICA Y
PROBABILIDADES II
Mg. Erick Reyes Martinez

TEMA: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA
LA DIFERENCIA DE MEDIAS
(CON VARIANZAS CONOCIDAS)
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Planteamiento de la hipótesis
CASO 1
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 < 𝜇2 𝛼
CASO 2
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2
1−𝛼
CASO 3
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝛼 𝛼
𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 1− 1−
2 2
Prueba de hipótesis para la diferencia de
medias
Caso I : Varianza poblacional conocida, n>30
𝑥1ҧ − 𝑥ҧ2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑍=
𝜎12 𝜎22
+
𝑛1 𝑛2
Prueba de hipótesis para la diferencia de
medias
Caso II : Varianza poblacional desconocida, n>30
𝑥1ҧ − 𝑥ҧ2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑍=
𝑠12 𝑠22
+
𝑛1 𝑛2
Si la Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestras grande (n ≥ 30)

EJERCICIO 1
Usted produce agua embotellada de una marca determinada y desea determinar si el

consumo de agua promedio diaria en la costa Atlántica es superior al consumo en los
Llanos Orientales. Para ello, realiza las siguientes muestras aleatorias: 150 individuos
de la costa atlántica, con un promedio muestral de 280 mililitros de agua diario, y 120
individuos de los llanos, con un promedio muestral de 250 mililitros de agua diarios.
Suponga desviaciones poblacionales de 30 mililitros para costa y 35 mililitros para los
llanos. ¿Existe evidencia de mayor consumo en la costa? Pruebe a un nivel de
significancia de 2,5%.
DATOS: Plantear la hipótesis:

1 COSTA 2 LLANOS
𝑥ҧ1 = 280 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝑥ҧ2 = 250
𝐻1 : 𝜇1 > 𝜇2
𝑛1 = 150 𝑛2 = 120
𝜎1 = 30 𝜎2 = 35
Calcular el valor de Z calculado:
𝑥1ҧ − 𝑥ҧ2 − 𝜇1 − 𝜇2 280 − 250

𝑍= 𝑍= = 7,45
302 352
𝜎12 𝜎22 150
+ 120
+
𝑛1 𝑛2
Calcular el valor de Z de la tabla:
El nivel de significancia:2,5%
1−𝛼 1 − 0,025 = 0,975 Se busca en la tabla de la

Distribución Normal
1 − 0,025 = 0,975
En la tabla de la distribución Z
1,96
R. No Rechazo 𝑯𝟎 R. Rechazo 𝑯𝟎
𝟏, 𝟗𝟔 𝟕, 𝟒𝟓
Conclusion: El valor de Z
Se rechaza la 𝑯𝟎 y no se rechaza 𝑯𝟏 calculado
Interpretación:
A un nivel de significación del 2.5%, Existe evidencia estadística para rechazar
hipótesis nula, existe evidencia de mayor consumo en la costa.
EJERCICIO 2
Se desea compara las constantes dieléctricas entre dos tipos de
asfalto, HL3 y HL8, utilizados comúnmente en los pavimentos. Para 42
elementos del asfalto HL3 el promedio de la constante dieléctrica fue
de 5,92 con desviación estándar de 0,15, y para 37 elementos del
asfalto HL8 el promedio de la constante dieléctrica fue 6,05 con
desviación estándar de 0,16. ¿Se puede concluir que la media de las
constantes dieléctricas difiere entre los dos tipos de asfalto?
DATOS:
Plantear la hipótesis:
1 HL3 2 HL8
𝑥ҧ1 = 5,92 𝑥ҧ2 = 6,05 𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝑛1 = 42 𝑛2 = 37 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
𝜎1 = 0,15 𝜎2 = 0,16
Calcular el valor de Z calculado:
𝑥1ҧ − 𝑥ҧ2 − 𝜇1 − 𝜇2 5,92 − 6,05

𝑍= 𝑍= = −3,71
0,152 0,162
𝜎12 𝜎22 42
+
37
+
𝑛1 𝑛2
Calcular el valor de Z de la tabla:
El nivel de significancia:5%
𝛼 0,05 Se busca en la tabla de la

1− 1− = 0.975 Distribución Normal
2 2
0,05
1− = 0,975
2
En la tabla de la distribución Z
1,96
R. Rechazo 𝑯𝟎 R. No Rechazo 𝑯𝟎 R. Rechazo 𝑯𝟎
−𝟑, 𝟕𝟏 - 𝟏, 𝟗𝟔 𝟏, 𝟗𝟔
Conclusion:
El valor de Z calculado
Se rechaza la 𝑯𝟎 y no se rechaza 𝑯𝟏
Interpretación:
A un nivel de significación del 5%, Existe evidencia estadística para rechazar
hipótesis nula, existe evidencia que los asfaltos HL3 es diferente al HL8.
EJERCICIO 1
Dos fabricantes A y B producen un artículo similar, cuyas vidas útiles tienen desviaciones
estándar respectivas de 120 horas y 90 horas. Para comparar el promedio de vida útil de
estos artículos se extrae una muestra aleatoria de 60 artículos de cada fabricante
encontrándose la duración media de 1230 horas para la marca A y de 1190 horas para la
marca B. ¿Se puede concluir a un nivel de significación del 5% que los artículos de marca
A tienen mayor duración media que los artículos de marca B?
EJERCICIO 2
Las horas extras promedio laboradas en el 2000 por 50 obreros de una petrolera de la
región fue de 68.2 horas con una desviación estándar de 2.5 horas, mientras que 50
obreros de la misma petrolera en el 2001 tenían un promedio de horas extras laboradas
igual a 67.5 horas con una desviación tipita de 2.8 horas. El Gerente de Recursos
Humanos de la empresa mantiene que el promedio de horas extras laboradas por los
obreros de la empresa en el 2000 es más alto que el promedio de horas extras laboradas
por los obreros en el 2001, para ello se utiliza un nivel de significancia del 1%. ¿Cuál es la
conclusión?
EJERCICIO 3
Para determinar el impacto de las escuelas sin ventanas sobre el desarrollo psicológico de los
escolares, se sometió a una misma prueba de ansiedad a un grupo de 40 niños de una escuela sin
ventanas dio una media de 117 y una desviación estándar de 10 y otro grupo de 30 niños de una
escuela con ventanas dio una media de 112 y una desviación estándar de 12. Usted está dispuesto
a rechazar esta hipótesis verdadera a un nivel de significancia del 10% .Puede concluir que le
impacto de los dos tipos de escuela sobre la ansiedad de los niños no es el mismo.
EJERCICIO 4
Se compara las propiedades de soldaduras hechas con dióxido de carbono como gas de
protección con respecto a las de soldaduras hechas mediante una mezcla de argón y dióxido de
carbono. Una propiedad estudiada era el diámetro de inclusiones, que son partículas incrustadas
en la soldadura. Una muestra de 544 inclusiones en soldaduras hechas al usar argón como
protección tiene un diámetro promedio de 0,37 mm, con desviación estándar de 0,25 mm. Una
muestra de 581 inclusiones en soldaduras hechas al emplear dióxido de carbono como protección
tiene diámetro promedio de 0,40 mm, con desviación estándar de 0,26 mm ¿Se puede concluir
que las medias de los diámetros de las inclusiones son diferentes entre los dos gases de
protección?
EJERCICIO 5
La Corporación Eléctrica Subterránea (CES) afirma que sus fuentes de energía suministradas
para computadoras personales duran más que la de su competidor, Productos para Aparatos
Zircon (PAZ). Se toman muestras aleatorias independientes de 75 unidades de cada una de las
fuentes de energía de los dos fabricantes y se calculan las medias y las desviaciones estándar
muestrales:
𝐶𝐸𝑆: 𝑥ҧ1 = 4387 ℎ 𝑠1 = 252 ℎ
𝑃𝐴𝑍: 𝑥ҧ2 = 4260 ℎ 𝑠1 = 331 ℎ
¿Puede concluir que las fuentes de potencia CES duran más que las de PAZ?
EJERCICIO 6
Se consideran dos métodos en un proceso de fabricación de pintura con la finalidad de
aumentar la producción. En una muestra aleatoria de 100 días, la media de producción diaria
con el primer método fue de 625 toneladas, y la desviación estándar era de 40 toneladas. En
una muestra aleatoria de 64 días, la media de la producción diaria que usaba el segundo
método era de 640 toneladas y la desviación estándar, de 50 toneladas. Suponga que las
muestras son independientes. ¿Puede concluir que el segundo método produce la media de la
producción diaria mayor?

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ESTADÍSTICA Y

Mg. Erick Reyes Martinez

Caso I : Varianza poblacional conocida, n>30

Caso II : Varianza poblacional desconocida, n>30

Si la Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestras grande (n ≥ 30)

Usted produce agua embotellada de una marca determinada y desea determinar si el

DATOS: Plantear la hipótesis:

𝑥1ҧ − 𝑥ҧ2 − 𝜇1 − 𝜇2 280 − 250

Calcular el valor de Z de la tabla:

1−𝛼 1 − 0,025 = 0,975 Se busca en la tabla de la

𝑥1ҧ − 𝑥ҧ2 − 𝜇1 − 𝜇2 5,92 − 6,05

Calcular el valor de Z de la tabla:

𝛼 0,05 Se busca en la tabla de la

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