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    Lógica Matemática y Conjuntos Ejercicios Resueltos

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    El documento presenta varios ejercicios de lógica matemática y teoría de conjuntos. En el primer ejercicio, se evalúan proposiciones según valores de verdad. En el segundo ejercicio, se comprueban propiedades distributivas de las leyes de Morgan a través de tablas de verdad. El tercer ejercicio involucra traducir enunciados a notación lógica y derivar sus negaciones.

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    El documento presenta varios ejercicios de lógica matemática y teoría de conjuntos. En el primer ejercicio, se evalúan proposiciones según valores de verdad. En el segundo ejercicio, se comprueban propiedades distributivas de las leyes de Morgan a través de tablas de verdad. El tercer ejercicio involucra traducir enunciados a notación lógica y derivar sus negaciones.

    Descripción original:

    Ejercicios resueltos

    Título original

    LÓGICA MATEMÁTICA Y CONJUNTOS EJERCICIOS RESUELTOS

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    El documento presenta varios ejercicios de lógica matemática y teoría de conjuntos. En el primer ejercicio, se evalúan proposiciones según valores de verdad. En el segundo ejercicio, se comprueban propiedades distributivas de las leyes de Morgan a través de tablas de verdad. El tercer ejercicio involucra traducir enunciados a notación lógica y derivar sus negaciones.

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    El documento presenta varios ejercicios de lógica matemática y teoría de conjuntos. En el primer ejercicio, se evalúan proposiciones según valores de verdad. En el segundo ejercicio, se comprueban propiedades distributivas de las leyes de Morgan a través de tablas de verdad. El tercer ejercicio involucra traducir enunciados a notación lógica y derivar sus negaciones.

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    LÓGICA MATEMÁTICA

    Actividad de aprendizaje 1.1


    1. Del archivo en PDF de la página 40 resuelva el ejercicio 1:

    Evalúa cada proposición según los valores de verdad p = F, q = V, r = F.

    a) ￢(p ∨ q) ∧ (￢p ∨ r)

    (¬𝑝 ∨ 𝑟)
    p q r ¬𝑝 (𝑝 ∨ 𝑞 ) ¬ (𝑝 ∨ 𝑞 ) ¬(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑟)
    F V F V V F V F

    b) ￢p ∧ (q ∨ r)

    (𝑞 ∨ 𝑟 )
    p q r ¬𝑝 ¬𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)
    F V F V V V

    2. Del archivo en PDF de la página 41 resuelva el ejercicio 5:

    Compruebe a través de las tablas de verdad, las propiedades distributivas de las leyes de
    Morgan.

    (𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)) ⟺ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟))

    p q r (𝑝 ∨ 𝑞 ) (𝑞 ∧ 𝑟 ) (𝑝 ∨ 𝑟 ) (𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)) (𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ∨ 𝑟 )
    V V V V V V V V
    V V F V F V V V
    V F V V F V V V
    F V V V V V V V
    V F F V F V V V
    F V F V F F F F
    F F V F F V F F
    F F F F F F F F

    JAQUELINE PACHECO M.
    (𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)) ⟺ ((𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟))

    p q r 𝒑∧𝒒 𝒒∨𝒓 𝒑∧𝒓 (𝒑 ∧ (𝒒 ∨ 𝒓)) (𝒑 ∧ 𝒒) ∨ (𝒑 ∧ 𝒓)


    V V V V V V V V
    V V F V V F V V
    V F V F V V V V
    F V V F V F F F
    V F F F F F F F
    F V F F V F F F
    F F V F V F F F
    F F F F F F F F

    (𝑝 ⟹ (𝑞 ∧ 𝑟)) ⟺ ((𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑝 ⟹ 𝑟))

    p q r 𝒒∧𝒓 𝒑⟹𝒒 𝒑⟹𝒓 𝒑 ⟹ (𝒒 ∧ 𝒓) (𝒑 ⟹ 𝒒) ∧ (𝒑 ⟹ 𝒓)


    V V V V V V V V
    V V F F V F F F
    V F V F F V F F
    F V V V V V V V
    V F F F F F F F
    F V F F V V V V
    F F V F V V V V
    F F F F V V V V

    (𝑝 ⟹ (𝑞 ∨ 𝑟)) ⟺ ((𝑝 ⟹ 𝑞) ∨ (𝑝 ⟹ 𝑟))

    p q r 𝒒∨𝒓 𝒑⟹𝒒 𝒑⟹𝒓 𝒑 ⟹ (𝒒 ∨ 𝒓) (𝒑 ⟹ 𝒒) ∨ (𝒑 ⟹ 𝒓)


    V V V V V V V V
    V V F V V F V V
    V F V V F V V V
    F V V V V V V V
    V F F F F F F F
    F V F V V V V V
    F F V V V V V V
    F F F F V V V V

    JAQUELINE PACHECO M.
    3. Del archivo en PDF de la página 46 resuelva el ejercicio 2:

    Escriba las siguientes frases con notación lógica y escriba también sus negaciones.

    Cuando use cuantificadores especifique los universos, utilice R si no se especifica ningún


    universo:

    a) Para toda x > 0, existe n en N tal que n > x y x > 1/n.

    𝟏
    ∀𝒙 ∈ 𝑵, (∃𝒏 ∈ 𝑵 ∕ 𝒏 > 𝒙 > )
    𝒏

    1 1
    ¬ (∀𝑥 ∈ 𝑁, (∃𝑛 ∈ 𝑁⁄𝑛 > 𝑥 > )) ≡ ∃𝑥 ∈ 𝑁, ¬ (∃𝑛 ∈ 𝑁⁄𝑛 > 𝑥 > )
    𝑛 𝑛

    1 𝟏
    ≡ ∃𝑥 ∈ 𝑁, (∀𝑛 ∈ 𝑁/¬ (𝑛 > 𝑥 > )) ≡ ∃𝒙 ∈ 𝑵, (∀𝒏 ∈ 𝑵/ (𝒏 < 𝒙 < ))
    𝑛 𝒏

    c) Existe u ∈ N tal que u = n para toda n ∈ N.

    ∃𝒖 ∈, (∀𝒏 ∈ 𝑵⁄𝒖 = 𝒏)

    ¬(∃𝑢 ∈, (∀𝑛 ∈ 𝑁 ⁄𝑢 = 𝑛)) ≡ ∀𝑢 ∈ 𝑁, ¬(∀𝑛 ∈ 𝑁 ⁄𝑢 = 𝑛) ≡ ∀𝑢 ∈ 𝑁, (∃𝑢 ∈ 𝑁 ⁄¬(𝑢 = 𝑛))

    ≡ ∀𝒖 ∈ 𝑵, (∃𝒖 ∈ 𝑵⁄𝒖 ≠ 𝒏)

    4. Del archivo en PDF de la página 51 resuelva el ejercicio 1:

    Sean p, q, r las proposiciones siguientes:

    p: “está lloviendo”

    q: “el sol está brillando”

    r: “hay nubes en el cielo”.

    Traduzca lo siguiente a notación lógica, utilizando p, q, r y conectivos lógicos.

    a) Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo.

    ¬𝑝 ⟹ (¬𝑞 ∧ 𝑟)

    b) Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando.

    ¬𝑟 ⟹ 𝑞

    JAQUELINE PACHECO M.
    5. Del archivo en PDF de la página 52 resuelva el ejercicio 9:

    Para la siguiente proposición compuesta, elabore las tabla de verdad correspondiente:

    a) [(p ∨ q) ∧ r] ⇒ (p ∧ ￢q)

    p q r ¬𝒒 𝒑∨𝒒 (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ 𝒓 𝒑 ∧ ¬𝒒 [(𝒑 ∨ 𝒒) ∧ 𝒓] ⟹ (𝐩 ∧ ￢𝐪)


    V V V F V V F F
    V V F F V F F V
    V F V V V V V V
    F V V F V V F F
    V F F V V F V V
    F V F F V F F V
    F F V V F F F V
    F F F V F F F V

    ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.2.


    1. Del archivo en PDF de la página 16 resuelva el ejercicio 8:

    Para cada uno de los siguientes pares de conjuntos A y B definir por extensión A y B y
    decir si A ⊆ B, B ⊆ A o ninguna de las anteriores.

    A = {x ∈ N | x es par y x2 ≤ 149}

    𝑥 2 ≤ 149 𝑥 ≤ √149

    𝐴 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

    B = {x ∈ N | x + 1 es impar y x ≤ 10}

    𝑥 ≤ 10

    𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}

    𝐴⊊𝐵 𝐵⊊𝐴

    2. Del archivo en PDF de la página 17 resuelva el ejercicio 13:

    Describe por extensión el conjunto de partes del siguiente conjunto y calcula su cardinal:

    JAQUELINE PACHECO M.
    C = {1, a, x, w}.

    ∅, {1}, {𝑎}, {𝑥 }, {𝑤}, {1, 𝑎}, {1, 𝑥 }, {1, 𝑤}, {𝑎, 𝑥 }, {𝑎, 𝑤}, {𝑥, 𝑤}, {1, 𝑎, 𝑥 },
    𝑃 (𝐶 ) = { }
    {1, 𝑎, 𝑤}, {1, 𝑥, 𝑤}, {𝑎, 𝑥, 𝑤}, {1, 𝑎, 𝑥, 𝑤}

    |𝐶 | = 4 𝑃(𝐶) = 24 = 16

    3. Del archivo en PDF de la página 24 resuelva el ejercicio 2:

    Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},

    C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos

    a) (A ∪ B) ∩ CC

    𝐶 𝑐 = 𝑈 − 𝐶 ∴ 𝐶 𝑐 = {1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11}

    𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}

    (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 𝑐 = {1, 5, 7, 9, 11}

    b) (B − D) ∪ (D − B)

    𝐵 − 𝐷 = {3, 5, 7, 11}

    𝐷 − 𝐵 = {4, 8}

    (𝐵 − 𝐷 ) ∪ (𝐷 − 𝐵) = {3, 4, 5, 7, 8, 11}

    4. Del archivo en PDF de la página 25 resuelva el ejercicio 4:

    De un total de 60 alumnos de un colegio: 15 estudian francés solamente, 11 estudian


    francés e inglés; 12 estudian alemán solamente; 8 estudian francés y alemán; 10 estudian
    inglés solamente; 5 estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas. Determina:

    a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?

    b) ¿Cuántos estudian alemán?

    c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?

    d) ¿Cuántos estudian francés?

    JAQUELINE PACHECO M.
    U=60

    FRANCÉS (F) INGLÉS (I)

    X=8
    10
    15

    Y=5

    12
    W=5

    ALEMÁN (A)

    Estudian francés e inglés 11


    Estudian alemán y francés 8
    Estudian inglés y alemán 5

    𝑛 (𝐹 ∩ 𝐼 ∩ 𝐴 ) = 3 𝑛 (𝐹 ∩ 𝐴 ) = 8

    𝑛(𝐹 ∩ 𝐼 ) = 11 𝑛 (𝐼 ∩ 𝐴 ) = 5

    a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?

    𝑛(¬𝐹, ¬𝐼, ¬𝐴)


    = 𝑈 − [15 + 10 + 12 + 𝑛(𝐹 ∩ 𝐼 ) + 𝑛(𝐹 ∩ 𝐴) + 𝑛(𝐼 ∩ 𝐴) − 2 ∗ 𝑛(𝐹 ∩ 𝐼 ∩ 𝐴)]
    𝑛(¬𝐹, ¬𝐼, ¬𝐴) = 60 − (37 + 11 + 8 + 5 − 6)
    = 60 − 55
    =5

    No estudian ningún idioma 5.

    b) ¿Cuántos estudian alemán?


    𝑛(𝐴) = 12 + 𝑛(𝐼 ∩ 𝐴) + 𝑛(𝐹 ∩ 𝐴) − 𝑛(𝐹 ∩ 𝐼 ∩ 𝐴)
    𝑛(𝐴) = 12 + 5 + 8 − 3

    JAQUELINE PACHECO M.
    𝑛(𝐴) = 22
    Estudian alemán 22.

    c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?


    𝑛 (𝐼 ∩ 𝐴 ) − 𝑛 (𝐹 ∩ 𝐼 ∩ 𝐴 ) = 5 − 3
    =2
    Estudian alemán e inglés solamente 2

    d) ¿Cuántos estudian francés?


    𝑛(𝐹 ) = 15 + 𝑛(𝐹 ∩ 𝐴) + 𝑛(𝐹 ∩ 𝐼 ) − 𝑛(𝐹 ∩ 𝐼 ∩ 𝐴)
    𝑛(𝐹 ) = 15 + 8 + 11 − 3
    𝑛(𝐹 ) = 31

    Estudian francés 31.

    5. Del archivo en PDF de la página 26 resuelva el ejercicio 6:

    Utilizando las propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad de la unión y


    la intersección, y las Leyes de Morgan, compruebe las siguientes identidades. Ilustre cada
    caso con un diagrama de Venn. Recuerde que A − B = A ∩ BC.

    a) A ∩ (B ∪ A)C = ∅

    𝐴 ∩ ( 𝐵 𝐶 ∩ 𝐴𝐶 ) = ∅
    ( 𝐴 ∩ 𝐵 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 ) = ∅
    (𝐴 ∩ 𝐵 𝐶 ) ∩ ∅ = ∅
    (𝐴 − 𝐵 ) ∩ ∅ = ∅
    ∅=∅

    A B

    JAQUELINE PACHECO M.
    b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ BC) = A

    𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ) = 𝐴
    𝐴∩𝑈 =𝐴
    𝐴=𝐴

    A B

    JAQUELINE PACHECO M.

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